2910:
2694:
1313:
2683:
3214:
Watson, J. (1960). On the non-linear mechanics of wave disturbances in stable and unstable parallel flows Part 2. The development of a solution for plane
Poiseuille flow and for plane Couette flow. Journal of Fluid Mechanics, 9(3),
1850:
2463:
1992:
786:
885:
1469:
2378:
664:
2905:{\displaystyle |A|_{\mathrm {max} }\rightarrow {\frac {|l_{r}|}{2\beta _{r}}}\pm {\sqrt {{\frac {l_{r}^{2}}{4\beta _{r}^{2}}}+{\frac {2|l_{r}|\sigma _{r}}{\beta _{r}}}}},\quad {\text{as}}\quad t\gg 1/\sigma _{r}}
3149:
1087:
138:
3205:
Stuart, J. T. (1960). On the non-linear mechanics of wave disturbances in stable and unstable parallel flows Part 1. The basic behaviour in plane
Poiseuille flow. Journal of Fluid Mechanics, 9(3), 353-370.
3081:
1131:
3022:
2304:
244:
2141:
2038:
3260:
Schumm, M., Berger, E., & Monkewitz, P. A. (1994). Self-excited oscillations in the wake of two-dimensional bluff bodies and their control. Journal of Fluid
Mechanics, 271, 17-53.
2951:
2260:
2216:
2512:
1342:
2100:
1894:
1510:
1123:
1606:
494:
431:
193:
295:
3269:
Dušek, J., Le Gal, P., & Fraunié, P. (1994). A numerical and theoretical study of the first Hopf bifurcation in a cylinder wake. Journal of Fluid
Mechanics, 264, 59-80.
398:
2172:
2504:
1573:
531:
1635:
972:
322:
359:
1540:
1372:
463:
is a small number), the nonlinear term in the above equation is negligible in comparison to the other two terms in which case the amplitude grows in time only if
461:
2061:
908:
1996:
It is instructive to consider a hydrodynamic stability case where it is found that, according to the linear stability analysis, the flow is stable when
3233:
Provansal, M., Mathis, C., & Boyer, L. (1987). Bénard-von Kármán instability: transient and forced regimes. Journal of Fluid
Mechanics, 182, 1-22.
1643:
2506:, we must include a negative term of higher order to arrest the unbounded increase of the perturbation. In this case, the Landau equation becomes
2386:
1899:
675:
797:
1377:
2309:
543:
3155:, that is to say, in the metastable region, the flow is stable to infinitesimal perturbations, but not to finite amplitude perturbations.
2915:
where the plus sign corresponds to the stable branch and the minus sign to the unstable branch. There exists a value of a critical value
980:
58:
3086:
52:
was given by Stuart, Watson and Palm in 1960. The perturbation in the vicinity of bifurcation is governed by the following equation
1308:{\displaystyle |A(t)|^{-2}={\frac {l_{r}}{2\sigma _{r}}}+\left(|A(0)|^{-2}-{\frac {l_{r}}{2\sigma _{r}}}\right)e^{-2\sigma _{r}t}.}
45:
3027:
533:
because otherwise the amplitude will grow indefinitely (see below equations and the general solution in the next section). The
44:
based on a phenomenological argument and an attempt to derive this equation from hydrodynamic equations was done by Stuart for
3224:
Palm, E. (1960). On the tendency towards hexagonal cells in steady convection. Journal of Fluid
Mechanics, 8(2), 183-192.
2956:
2265:
200:
919:
3196:
Stuart, J. T. (1958). On the non-linear mechanics of hydrodynamic stability. Journal of Fluid
Mechanics, 4(1), 1-21.
3251:
Kuramoto, Y. (2012). Chemical oscillations, waves, and turbulence (Vol. 19). Springer
Science & Business Media.
2105:
2678:{\displaystyle {\frac {d|A|^{2}}{dt}}=2\sigma _{r}|A|^{2}-l_{r}|A|^{4}-\beta _{r}|A|^{6},\quad \beta _{r}>0.}
1999:
2221:
2177:
2102:
is the critical
Reynolds number; a familiar example that is applicable here is the critical Reynolds number,
433:
because otherwise the system is stable in the linear sense, that is to say, for infinitesimal disturbances (
3187:
Landau, L. D. (1944). On the problem of turbulence. In Dokl. Akad. Nauk SSSR (Vol. 44, No. 8, pp. 339-349).
911:
1321:
2918:
2070:
1858:
1474:
3169:
1095:
36:
proposed an equation for the evolution of the magnitude of the disturbance, which is now called as the
1578:
466:
403:
2144:
914:. Due to the universality of the equation, the equation finds its application in many fields such as
149:
251:
364:
3293:
2150:
2476:
1545:
503:
915:
1611:
937:
3242:
Drazin, P. G., & Reid, W. H. (2004). Hydrodynamic stability. Cambridge university press.
300:
335:
8:
3303:
1515:
1347:
436:
2043:
3298:
893:
25:
3278:
Landau, L. D. (1959). EM Lifshitz, Fluid
Mechanics. Course of Theoretical Physics, 6.
21:
2064:
1845:{\displaystyle \phi (t)-\phi (0)=\sigma _{i}t-{\frac {l_{i}}{2l_{r}}}\ln \left.}
3287:
3164:
2458:{\displaystyle |A|_{\mathrm {max} }\propto {\sqrt {Re-Re_{\mathrm {cr} }}}.}
1987:{\displaystyle \phi \sim (\sigma _{i}/\sigma _{r}-l_{i}/l_{r})\sigma _{r}t.}
1374:
approaches a constant value that is independent of its initial value, i.e.,
781:{\displaystyle {\frac {d|A|}{dt}}=\sigma _{r}|A|-{\frac {l_{r}}{2}}|A|^{3}.}
2380:
wherein the constant is positive. Thus, the limiting amplitude is given by
880:{\displaystyle {\frac {d\phi }{dt}}=\sigma _{i}-{\frac {l_{i}}{2}}|A|^{2}.}
1464:{\displaystyle |A|_{\mathrm {max} }\rightarrow (2\sigma _{r}/l_{r})^{1/2}}
2373:{\displaystyle \sigma _{r}={\text{const}}.\times (Re-Re_{\mathrm {cr} })}
659:{\displaystyle {\frac {d|A|^{2}}{dt}}=2\sigma _{r}|A|^{2}-l_{r}|A|^{4},}
400:. Here the real part of the growth rate is taken to be positive, i.e.,
41:
33:
29:
332:
The evolution of the actual disturbance is given by the real part of
1082:{\displaystyle {\frac {d|A|^{-2}}{dt}}+2\sigma _{r}|A|^{-2}=l_{r}.}
20:
describes the behavior of a nonlinear oscillating system near the
133:{\displaystyle {\frac {dA}{dt}}=\sigma A-{\frac {l}{2}}A|A|^{2}.}
3144:{\displaystyle Re_{\mathrm {cr} }'<Re<Re_{\mathrm {cr} }}
3076:{\displaystyle Re_{\mathrm {cr} }'<Re_{\mathrm {cr} }}
2147:
in the problem of flow past a cylinder. The growth rate
934:
is linear when it is written for the dependent variable
537:
is the equation for the magnitude of the disturbance,
3089:
3030:
2959:
2921:
2697:
2515:
2479:
2389:
2312:
2268:
2224:
2180:
2153:
2108:
2073:
2046:
2002:
1902:
1861:
1646:
1614:
1581:
1548:
1518:
1477:
1380:
1350:
1324:
1134:
1098:
983:
940:
896:
800:
678:
546:
506:
469:
439:
406:
367:
338:
303:
254:
203:
152:
61:
3143:
3075:
3016:
2945:
2904:
2677:
2498:
2457:
2372:
2298:
2254:
2210:
2166:
2135:
2094:
2055:
2032:
1986:
1888:
1844:
1629:
1600:
1567:
1534:
1504:
1463:
1366:
1336:
1307:
1117:
1081:
966:
902:
879:
791:Similarly, the equation for the phase is given by
780:
658:
525:
488:
455:
425:
392:
353:
316:
289:
238:
187:
132:
1608:. The associated solution for the phase function
195:is a complex quantity describing the disturbance,
3285:
3017:{\displaystyle \sigma _{r}=-|l_{r}|/8\beta _{r}}
2299:{\displaystyle Re\rightarrow Re_{\mathrm {cr} }}
239:{\displaystyle \sigma =\sigma _{r}+i\sigma _{i}}
48:in 1958. The formal derivation to derive the
2136:{\displaystyle Re_{\mathrm {cr} }\approx 50}
2468:
3083:, indicating that the flow in the region
2033:{\displaystyle Re\leq Re_{\mathrm {cr} }}
2255:{\displaystyle Re>Re_{\mathrm {cr} }}
2211:{\displaystyle Re<Re_{\mathrm {cr} }}
890:For non-homogeneous systems, i.e., when
1896:, the phase varies linearly with time,
3286:
2473:When the Landau constant is negative,
2953:where the above two roots are equal (
2143:, corresponding to the transition to
2688:The limiting amplitude then becomes
1337:{\displaystyle t\rightarrow \infty }
910:depends on spatial coordinates, see
2946:{\displaystyle Re_{\mathrm {cr} }'}
2262:and therefore in the neighbourhood
1344:, the magnitude of the disturbance
925:
13:
3135:
3132:
3102:
3099:
3067:
3064:
3043:
3040:
2934:
2931:
2720:
2717:
2714:
2444:
2441:
2412:
2409:
2406:
2361:
2358:
2290:
2287:
2246:
2243:
2202:
2199:
2121:
2118:
2095:{\displaystyle Re_{\mathrm {cr} }}
2086:
2083:
2024:
2021:
1889:{\displaystyle t\gg 1/\sigma _{r}}
1512:. The above solution implies that
1505:{\displaystyle t\gg 1/\sigma _{r}}
1403:
1400:
1397:
1331:
14:
3315:
1542:does not have a real solution if
1118:{\displaystyle \sigma _{r}\neq 0}
3165:Landau's phase transition theory
1601:{\displaystyle \sigma _{r}>0}
669:which can also be re-written as
489:{\displaystyle \sigma _{r}>0}
426:{\displaystyle \sigma _{r}>0}
3272:
3263:
2877:
2871:
2658:
188:{\displaystyle A=|A|e^{i\phi }}
40:, to explain the transition to
3254:
3245:
3236:
3227:
3218:
3208:
3199:
3190:
3181:
2992:
2977:
2839:
2824:
2748:
2733:
2726:
2708:
2699:
2645:
2636:
2612:
2603:
2579:
2570:
2532:
2523:
2400:
2391:
2367:
2337:
2275:
2040:and unstable otherwise, where
1965:
1909:
1831:
1799:
1761:
1756:
1750:
1743:
1671:
1665:
1656:
1650:
1624:
1618:
1528:
1520:
1444:
1412:
1409:
1391:
1382:
1360:
1352:
1328:
1226:
1221:
1215:
1208:
1154:
1149:
1143:
1136:
1050:
1041:
1000:
991:
951:
942:
864:
855:
765:
756:
731:
723:
694:
686:
643:
634:
610:
601:
563:
554:
500:is also taken to be positive,
449:
441:
377:
369:
348:
342:
290:{\displaystyle l=l_{r}+il_{i}}
168:
160:
117:
108:
1:
3175:
920:Belousov–Zhabotinsky reaction
393:{\displaystyle |A|\cos \phi }
7:
3158:
2167:{\displaystyle \sigma _{r}}
246:is the complex growth rate,
10:
3320:
2499:{\displaystyle l_{r}<0}
1568:{\displaystyle l_{r}<0}
526:{\displaystyle l_{r}>0}
1125:of the above equation is
1092:The general solution for
2469:Negative Landau constant
1630:{\displaystyle \phi (t)}
967:{\displaystyle |A|^{-2}}
912:Ginzburg–Landau equation
297:is a complex number and
3170:Ginzburg–Landau theory
3145:
3077:
3018:
2947:
2906:
2679:
2500:
2459:
2374:
2300:
2256:
2212:
2168:
2137:
2096:
2057:
2034:
1988:
1890:
1846:
1631:
1602:
1569:
1536:
1506:
1465:
1368:
1338:
1309:
1119:
1083:
968:
916:hydrodynamic stability
904:
881:
782:
660:
527:
490:
457:
427:
394:
355:
318:
291:
240:
189:
134:
18:Stuart–Landau equation
3146:
3078:
3019:
2948:
2907:
2680:
2501:
2460:
2375:
2301:
2257:
2218:and is positive when
2213:
2169:
2138:
2097:
2058:
2035:
1989:
1891:
1847:
1632:
1603:
1570:
1537:
1507:
1466:
1369:
1339:
1310:
1120:
1084:
969:
905:
882:
783:
661:
528:
491:
458:
428:
395:
356:
319:
317:{\displaystyle l_{r}}
292:
241:
190:
135:
46:plane Poiseuille flow
3087:
3028:
2957:
2919:
2695:
2513:
2477:
2387:
2310:
2306:, it may written as
2266:
2222:
2178:
2151:
2145:Kármán vortex street
2106:
2071:
2044:
2000:
1900:
1859:
1644:
1612:
1579:
1546:
1516:
1475:
1378:
1348:
1322:
1132:
1096:
981:
938:
894:
798:
676:
544:
504:
467:
437:
404:
365:
354:{\displaystyle A(t)}
336:
301:
252:
201:
150:
59:
3110:
3051:
2942:
2810:
2791:
1535:{\displaystyle |A|}
1367:{\displaystyle |A|}
456:{\displaystyle |A|}
3141:
3093:
3073:
3034:
3014:
2943:
2925:
2902:
2796:
2777:
2675:
2496:
2455:
2370:
2296:
2252:
2208:
2164:
2133:
2092:
2056:{\displaystyle Re}
2053:
2030:
1984:
1886:
1842:
1627:
1598:
1565:
1532:
1502:
1461:
1364:
1334:
1305:
1115:
1079:
964:
900:
877:
778:
656:
523:
486:
453:
423:
390:
351:
314:
287:
236:
185:
130:
26:John Trevor Stuart
2875:
2866:
2864:
2812:
2768:
2551:
2450:
2329:
2174:is negative when
1797:
1720:
1269:
1197:
1022:
903:{\displaystyle A}
852:
819:
753:
707:
582:
102:
80:
3311:
3279:
3276:
3270:
3267:
3261:
3258:
3252:
3249:
3243:
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3234:
3231:
3225:
3222:
3216:
3212:
3206:
3203:
3197:
3194:
3188:
3185:
3150:
3148:
3147:
3142:
3140:
3139:
3138:
3106:
3105:
3082:
3080:
3079:
3074:
3072:
3071:
3070:
3047:
3046:
3023:
3021:
3020:
3015:
3013:
3012:
3000:
2995:
2990:
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2980:
2969:
2968:
2952:
2950:
2949:
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2938:
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2909:
2908:
2903:
2901:
2900:
2891:
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2804:
2790:
2785:
2776:
2774:
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2765:
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2751:
2746:
2745:
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2725:
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2667:
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