1860:
6668:
6233:
6663:{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {sinc} _{\text{H}}(\mathbf {x} )={\tfrac {1}{3}}{\big (}&\cos \left(\pi {\boldsymbol {\xi }}_{1}\cdot \mathbf {x} \right)\operatorname {sinc} \left({\boldsymbol {\xi }}_{2}\cdot \mathbf {x} \right)\operatorname {sinc} \left({\boldsymbol {\xi }}_{3}\cdot \mathbf {x} \right)\\&{}+\cos \left(\pi {\boldsymbol {\xi }}_{2}\cdot \mathbf {x} \right)\operatorname {sinc} \left({\boldsymbol {\xi }}_{3}\cdot \mathbf {x} \right)\operatorname {sinc} \left({\boldsymbol {\xi }}_{1}\cdot \mathbf {x} \right)\\&{}+\cos \left(\pi {\boldsymbol {\xi }}_{3}\cdot \mathbf {x} \right)\operatorname {sinc} \left({\boldsymbol {\xi }}_{1}\cdot \mathbf {x} \right)\operatorname {sinc} \left({\boldsymbol {\xi }}_{2}\cdot \mathbf {x} \right){\big )}.\end{aligned}}}
69:
6228:
2090:
1318:
5362:
5153:
6026:
6019:
4732:
4927:
4517:
3411:
3554:
2330:
4117:
3950:
5591:
5159:
4950:
5880:
4547:
4240:
4759:
707:
5763:
4367:
6223:{\displaystyle {\boldsymbol {\xi }}_{1}={\tfrac {2}{3}}\mathbf {u} _{1},\quad {\boldsymbol {\xi }}_{2}={\tfrac {2}{3}}\mathbf {u} _{2},\quad {\boldsymbol {\xi }}_{3}=-{\tfrac {2}{3}}(\mathbf {u} _{1}+\mathbf {u} _{2}),\quad \mathbf {x} ={\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}},}
3269:
2469:
2129:
3975:
3758:
3656:
3765:
2590:
183:
1292:
in his 1952 article "Information theory and inverse probability in telecommunication", in which he said that the function "occurs so often in
Fourier analysis and its applications that it does seem to merit some notation of its own", and his 1953 book
1644:
1855:
5389:
3417:
1494:
2739:
2845:
2084:
3110:
899:
4126:
1980:
5602:
1165:
3230:
5357:{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n+1}\,\operatorname {sinc} ^{3}(n)=\operatorname {sinc} ^{3}(1)-\operatorname {sinc} ^{3}(2)+\operatorname {sinc} ^{3}(3)-\operatorname {sinc} ^{3}(4)+\cdots ={\frac {1}{2}}.}
5148:{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n+1}\,\operatorname {sinc} ^{2}(n)=\operatorname {sinc} ^{2}(1)-\operatorname {sinc} ^{2}(2)+\operatorname {sinc} ^{2}(3)-\operatorname {sinc} ^{2}(4)+\cdots ={\frac {1}{2}},}
583:
775:
6014:{\displaystyle \mathbf {u} _{1}={\begin{bmatrix}{\frac {1}{2}}\\{\frac {\sqrt {3}}{2}}\end{bmatrix}}\quad {\text{and}}\quad \mathbf {u} _{2}={\begin{bmatrix}{\frac {1}{2}}\\-{\frac {\sqrt {3}}{2}}\end{bmatrix}}.}
1073:
4727:{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\operatorname {sinc} ^{2}(n)=\operatorname {sinc} ^{2}(1)+\operatorname {sinc} ^{2}(2)+\operatorname {sinc} ^{2}(3)+\operatorname {sinc} ^{2}(4)+\cdots ={\frac {\pi -1}{2}}.}
2335:
596:
908:
977:
4922:{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n+1}\,\operatorname {sinc} (n)=\operatorname {sinc} (1)-\operatorname {sinc} (2)+\operatorname {sinc} (3)-\operatorname {sinc} (4)+\cdots ={\frac {1}{2}}.}
2491:
1699:
907:
6238:
5850:
of the unit hexagon in the frequency space. For a non-Cartesian lattice this function can not be obtained by a simple tensor product. However, the explicit formula for the sinc function for the
1513:
491:
4512:{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\operatorname {sinc} (n)=\operatorname {sinc} (1)+\operatorname {sinc} (2)+\operatorname {sinc} (3)+\operatorname {sinc} (4)+\cdots ={\frac {\pi -1}{2}}.}
1747:
1404:
2646:
3662:
3560:
3406:{\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }{\frac {\sin ^{2}(\theta )}{\theta ^{2}}}\,d\theta =\pi \quad \Rightarrow \quad \int _{-\infty }^{\infty }\operatorname {sinc} ^{2}(x)\,dx=1,}
2756:
1990:
3031:
89:
431:
909:
3549:{\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }{\frac {\sin(\theta )}{\theta }}\,d\theta =\int _{-\infty }^{\infty }\left({\frac {\sin(\theta )}{\theta }}\right)^{2}\,d\theta =\pi .}
2325:{\displaystyle \prod _{n=1}^{k}\cos \left({\frac {x}{2^{n}}}\right)={\frac {1}{2^{k-1}}}\sum _{n=1}^{2^{k-1}}\cos \left({\frac {n-1/2}{2^{k-1}}}x\right),\quad \forall k\geq 1,}
399:
4112:{\displaystyle \lim _{a\to 0}{\frac {\sin \left({\frac {\pi x}{a}}\right)}{\pi x}}=\lim _{a\to 0}{\frac {1}{a}}\operatorname {sinc} \left({\frac {x}{a}}\right)=\delta (x).}
242:
1885:
3945:{\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {dx}{x^{n}+1}}=1+2\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k+1}}{(kn)^{2}-1}}={\frac {1}{\operatorname {sinc} ({\frac {\pi }{n}})}}.}
1087:
3130:
793:
367:
5586:{\displaystyle {\frac {\sin x}{x}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}x^{2n}}{(2n+1)!}}=1-{\frac {x^{2}}{3!}}+{\frac {x^{4}}{5!}}-{\frac {x^{6}}{7!}}+\cdots }
288:
4259:, the number of oscillations per unit length of the sinc function approaches infinity. Nevertheless, the expression always oscillates inside an envelope of
1014:
4310:, and illustrates the problem of thinking of the delta function as a function rather than as a distribution. A similar situation is found in the
4235:{\displaystyle \lim _{a\to 0}\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {1}{a}}\operatorname {sinc} \left({\frac {x}{a}}\right)\varphi (x)\,dx=\varphi (0)}
932:
509:
720:
5862:
and other higher-dimensional lattices can be explicitly derived using the geometric properties of
Brillouin zones and their connection to
1649:
6742:
5758:{\displaystyle {\frac {\sin \pi x}{\pi x}}=1-{\frac {\pi ^{2}x^{2}}{3!}}+{\frac {\pi ^{4}x^{4}}{5!}}-{\frac {\pi ^{6}x^{6}}{7!}}+\cdots }
1211:
1859:
20:
702:{\displaystyle \operatorname {sinc} 'x={\begin{cases}{\dfrac {\cos x-\operatorname {sinc} x}{x}},&x\neq 0\\0,&x=0\end{cases}}}
6777:
1321:
The local maxima and minima (small white dots) of the unnormalized, red sinc function correspond to its intersections with the blue
3962:
910:
7295:
6996:
6963:
6821:
6786:
1189:
of the function over the real numbers to equal 1 (whereas the same integral of the unnormalized sinc function has a value of
2464:{\displaystyle {\frac {\sin(x)}{x}}=\lim _{N\to \infty }{\frac {1}{N}}\sum _{n=1}^{N}\cos \left({\frac {n-1/2}{N}}x\right).}
1215:
7099:
6730:
5822:
of a square in the frequency space (i.e., the brick wall defined in 2-D space). The sinc function for a non-Cartesian
449:
3967:
3753:{\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }{\frac {\sin ^{4}(\theta )}{\theta ^{4}}}\,d\theta ={\frac {2\pi }{3}}.}
3651:{\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }{\frac {\sin ^{3}(\theta )}{\theta ^{3}}}\,d\theta ={\frac {3\pi }{4}}.}
6709:
3125:
2585:{\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\operatorname {sinc} (t)\,e^{-i2\pi ft}\,dt=\operatorname {rect} (f),}
178:{\displaystyle \operatorname {sinc} x={\begin{cases}{\dfrac {\sin x}{x}},&x\neq 0\\1,&x=0\end{cases}}}
1879:
1195:). As a further useful property, the zeros of the normalized sinc function are the nonzero integer values of
1639:{\displaystyle x_{n}=q-q^{-1}-{\frac {2}{3}}q^{-3}-{\frac {13}{15}}q^{-5}-{\frac {146}{105}}q^{-7}-\cdots ,}
2854:
2474:
1302:
404:
19:"Sinc" redirects here. For the designation used in the United Kingdom for areas of wildlife interest, see
1226:
1850:{\displaystyle {\frac {\sin(\pi x)}{\pi x}}=\prod _{n=1}^{\infty }\left(1-{\frac {x^{2}}{n^{2}}}\right)}
7290:
6866:
1489:{\displaystyle {\frac {d}{dx}}\operatorname {sinc} (x)={\frac {\cos(x)-\operatorname {sinc} (x)}{x}}.}
4249:
2734:{\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }{\frac {\sin(\pi x)}{\pi x}}\,dx=\operatorname {rect} (0)=1}
1401:
is zero and thus a local extremum is reached. This follows from the derivative of the sinc function:
993:
378:
622:
518:
110:
6955:
6913:
6748:
225:
2840:{\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\left|{\frac {\sin(\pi x)}{\pi x}}\right|\,dx=+\infty .}
2079:{\displaystyle {\frac {\sin(x)}{x}}=\prod _{n=1}^{\infty }\cos \left({\frac {x}{2^{n}}}\right),}
1175:
6736:
6725:
5783:
3105:{\displaystyle \int _{0}^{x}{\frac {\sin(\theta )}{\theta }}\,d\theta =\operatorname {Si} (x).}
502:
299:
73:
Part of the normalized sinc (blue) and unnormalized sinc function (red) shown on the same scale
6988:
5842:
of that lattice. For example, the sinc function for the hexagonal lattice is a function whose
1340:
The local maxima and minima of the unnormalized sinc correspond to its intersections with the
7208:
Ye, W.; Entezari, A. (June 2012). "A Geometric
Construction of Multivariate Sinc Functions".
6828:
1237:
894:{\displaystyle \operatorname {sinc} x=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}x^{2k}}{(2k+1)!}}}
6980:
6947:
4121:
This is not an ordinary limit, since the left side does not converge. Rather, it means that
7217:
7054:
7043:"A highly efficient Shannon wavelet inverse Fourier technique for pricing European options"
6796:
6685:
2593:
2479:
1222:
1207:
1182:
218:
8:
7126:
6948:
5859:
5855:
5770:
famously compared this series to the expansion of the infinite product form to solve the
346:
248:
7221:
7058:
7241:
7183:
7164:
7156:
7021:
6894:
6703:
6697:
5847:
5835:
5819:
2746:
997:
442:
255:
7263:
7233:
7002:
6992:
6981:
6959:
6898:
6886:
6817:
6782:
6768:
5870:
5851:
5843:
5831:
5827:
5815:
2915:
2750:
2742:
2633:
1241:
1203:
982:
7245:
5379:
function can be obtained from that of the sine (which also yields its value of 1 at
7225:
7146:
7142:
7138:
7107:
7103:
7070:
7062:
6928:
6878:
6691:
4311:
1975:{\displaystyle {\frac {\sin(\pi x)}{\pi x}}={\frac {1}{\Gamma (1+x)\Gamma (1-x)}}.}
1741:
1265:
7266:
7168:
2849:
The normalized sinc function has properties that make it ideal in relationship to
1863:
The cardinal sine function sinc(z) plotted in the complex plane from -2-2i to 2+2i
6811:
6792:
6714:
5823:
2982:
2637:
2093:
1322:
1306:
1289:
1245:
6673:
5839:
5767:
4245:
1868:
713:
7120:
6882:
1160:{\displaystyle \operatorname {sinc} 0:=\lim _{x\to 0}{\frac {\sin(ax)}{ax}}=1}
7284:
7229:
7122:
7006:
6890:
5787:
5771:
5372:
3762:
The following improper integral involves the (not normalized) sinc function:
3225:{\displaystyle x{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}+2{\frac {dy}{dx}}+\lambda ^{2}xy=0.}
3025:
2850:
1330:
1298:
786:
3124:(not normalized) is one of two linearly independent solutions to the linear
7237:
6932:
7151:
6771:; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F.; Clark, Charles W., eds. (2010),
6688: – Mathematical transformation reducing the damage caused by aliasing
1337:, while zero crossings of the normalized sinc occur at non-zero integers.
578:{\displaystyle {\begin{cases}x\csc x,&x\neq 0\\1,&x=0\end{cases}}}
6719:
5874:
2919:
2857:
2629:
1240:
at zero is understood to be the limit value 1. The sinc function is then
1221:
The only difference between the two definitions is in the scaling of the
314:
41:
33:
24:
7160:
2877:
770:{\displaystyle \int \operatorname {sinc} x\,dx=\operatorname {Si} (x)+C}
7075:
7066:
5863:
1297:. The function itself was first mathematically derived in this form by
589:
7040:
6921:
Proceedings of the IEE - Part III: Radio and
Communication Engineering
7271:
7026:
7188:
1068:{\displaystyle \operatorname {sinc} x={\frac {\sin(\pi x)}{\pi x}}.}
2923:
1186:
4322:
All sums in this section refer to the unnormalized sinc function.
981:
Alternatively, the unnormalized sinc function is often called the
6914:"Information theory and inverse probability in telecommunication"
6841:
914:
The sinc function as audio, at 2000 Hz (±1.5 seconds around zero)
37:
7020:
Euler, Leonhard (1735). "On the sums of series of reciprocals".
6816:(illustrated ed.). Tata McGraw-Hill Education. p. 15.
1740:
The normalized sinc function has a simple representation as the
6867:"The cardinal sine function and the Chebyshev–Stirling numbers"
6751: – Pseudoazimuthal compromise map projection (cartography)
6230:
one can derive the sinc function for this hexagonal lattice as
4737:
3955:
1341:
23:. For the signal processing filter based on this function, see
7042:
6983:
Probability and information theory, with applications to radar
1333:
of the unnormalized sinc are at non-zero integer multiples of
1295:
Probability and
Information Theory, with Applications to Radar
6733: – Important functions in solving differential equations
2089:
1984:
2628:, and zero otherwise. This corresponds to the fact that the
6772:
1277:
972:{\displaystyle \operatorname {sinc} x={\frac {\sin x}{x}}.}
695:
571:
171:
68:
4931:
The alternating sums of the squares and cubes also equal
1317:
1274:
6767:
7129:(December 2008). "Surprising Sinc Sums and Integrals".
1190:
7261:
6269:
6196:
6135:
6089:
6046:
5968:
5904:
1214:
a continuous bandlimited signal from uniformly spaced
6236:
6029:
5883:
5782:
The product of 1-D sinc functions readily provides a
5605:
5392:
5162:
4953:
4762:
4550:
4370:
4129:
3978:
3768:
3665:
3563:
3420:
3272:
3133:
3034:
2759:
2649:
2494:
2338:
2132:
1993:
1888:
1750:
1652:
1516:
1407:
1280:
1271:
1090:
1017:
935:
796:
723:
626:
599:
512:
452:
407:
381:
349:
258:
228:
114:
92:
2981:
The unnormalized sinc is the zeroth-order spherical
2977:
Other properties of the two sinc functions include:
1694:{\displaystyle q=\left(n+{\frac {1}{2}}\right)\pi ,}
7182:Baillie, Robert (2008). "Fun with Fourier series".
1709:to a local maximum. Because of symmetry around the
1498:The first few terms of the infinite series for the
1268:
6662:
6222:
6013:
5757:
5585:
5356:
5147:
4921:
4726:
4511:
4234:
4111:
3944:
3752:
3650:
3548:
3405:
3224:
3104:
2839:
2733:
2643:This Fourier integral, including the special case
2584:
2477:of the normalized sinc (to ordinary frequency) is
2463:
2324:
2078:
1974:
1849:
1693:
1638:
1488:
1236:. In both cases, the value of the function at the
1159:
1067:
971:
893:
769:
701:
577:
485:
425:
393:
361:
282:
236:
177:
7041:Luis Ortiz-Gracia; Cornelis W. Oosterlee (2016).
6722: – Ideal low-pass filter or averaging filter
16:Special mathematical function defined as sin(x)/x
7282:
6700: – Integral of sin(x)/x from 0 to infinity.
4131:
4042:
3980:
2367:
1104:
486:{\displaystyle \pi k,k\in \mathbb {Z} _{\neq 0}}
6739: – Special function defined by an integral
1727:. In addition, there is an absolute maximum at
6911:
3960:The normalized sinc function can be used as a
1210:with no scaling. It is used in the concept of
56:, has two forms, normalized and unnormalized.
6912:Woodward, P. M.; Davies, I. L. (March 1952).
6706: – Application of a mathematical formula
6648:
6282:
5786:sinc function for the square Cartesian grid (
3956:Relationship to the Dirac delta distribution
4740:alternate and begin with +, the sum equals
2086:and because of the product-to-sum identity
7207:
6809:
6745: – Signal (re-)construction algorithm
2636:, meaning rectangular frequency response)
21:Site of Importance for Nature Conservation
7203:
7201:
7199:
7187:
7150:
7074:
7025:
5599:. The normalized version follows easily:
5209:
5000:
4809:
4288:This complicates the informal picture of
4210:
3722:
3620:
3530:
3463:
3387:
3329:
3074:
2818:
2700:
2554:
2528:
736:
470:
230:
6978:
6672:This construction can be used to design
2088:
1858:
1316:
905:
7181:
6945:
6778:NIST Handbook of Mathematical Functions
6743:Whittaker–Shannon interpolation formula
6676:for general multidimensional lattices.
6623:
6587:
6551:
6500:
6464:
6428:
6377:
6341:
6305:
6118:
6075:
6032:
3263:, unlike its sinc function counterpart.
2864:It is an interpolating function, i.e.,
2332:Euler's product can be recast as a sum
7283:
7196:
6954:. Morgan Kaufmann Publishers. p.
6939:
6694: – Type of mathematical integrals
1251:The function has also been called the
7262:
7210:IEEE Transactions on Image Processing
7019:
6864:
6839:
7175:
5777:
1202:The normalized sinc function is the
1084:is defined to be the limiting value
426:{\displaystyle x=\pm 4.49341\ldots }
7114:
7100:Mathematical Association of America
6810:Singh, R. P.; Sapre, S. D. (2008).
6761:
6731:Trigonometric functions of matrices
5366:
4521:The sum of the squares also equals
1174:(the limit can be proven using the
13:
6987:. London: Pergamon Press. p.
5873:can be generated by the (integer)
5430:
5179:
4970:
4779:
4567:
4387:
4159:
4154:
3842:
3779:
3679:
3674:
3577:
3572:
3486:
3481:
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7092:American Mathematical Monthly
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6755:
5595:The series converges for all
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3966:, meaning that the following
1312:
1077:In either case, the value at
7296:Elementary special functions
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1290:Philip M. Woodward
189:Motivation of invention
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7264:Weisstein, Eric W.
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