4322:
3645:
3101:
4317:{\displaystyle {\begin{aligned}g((a,b),(c,d)&,(e,f))=ace\times g({\textbf {e}}_{1},{\textbf {e}}_{1},{\textbf {e}}_{1})+acf\times g({\textbf {e}}_{1},{\textbf {e}}_{1},{\textbf {e}}_{2})\\&+ade\times g({\textbf {e}}_{1},{\textbf {e}}_{2},{\textbf {e}}_{1})+adf\times g({\textbf {e}}_{1},{\textbf {e}}_{2},{\textbf {e}}_{2})+bce\times g({\textbf {e}}_{2},{\textbf {e}}_{1},{\textbf {e}}_{1})+bcf\times g({\textbf {e}}_{2},{\textbf {e}}_{1},{\textbf {e}}_{2})\\&+bde\times g({\textbf {e}}_{2},{\textbf {e}}_{2},{\textbf {e}}_{1})+bdf\times g({\textbf {e}}_{2},{\textbf {e}}_{2},{\textbf {e}}_{2}).\end{aligned}}}
2633:
3096:{\displaystyle \{{\textbf {e}}_{1},{\textbf {e}}_{1},{\textbf {e}}_{1}\},\{{\textbf {e}}_{1},{\textbf {e}}_{1},{\textbf {e}}_{2}\},\{{\textbf {e}}_{1},{\textbf {e}}_{2},{\textbf {e}}_{1}\},\{{\textbf {e}}_{1},{\textbf {e}}_{2},{\textbf {e}}_{2}\},\{{\textbf {e}}_{2},{\textbf {e}}_{1},{\textbf {e}}_{1}\},\{{\textbf {e}}_{2},{\textbf {e}}_{1},{\textbf {e}}_{2}\},\{{\textbf {e}}_{2},{\textbf {e}}_{2},{\textbf {e}}_{1}\},\{{\textbf {e}}_{2},{\textbf {e}}_{2},{\textbf {e}}_{2}\}.}
32:
6274:
2054:
5794:
3386:
1532:
5492:
5083:
3634:
2512:
5906:
1804:
2344:
5523:
914:
3169:
1339:
6672:
1643:
6531:
1760:
5257:
4711:
4469:
3441:
4400:
989:
208:
1170:
6269:{\displaystyle D(A)=A_{1,1}A_{1,2}D({\hat {e}}_{1},{\hat {e}}_{1})+A_{1,1}A_{2,2}D({\hat {e}}_{1},{\hat {e}}_{2})+A_{1,2}A_{2,1}D({\hat {e}}_{2},{\hat {e}}_{1})+A_{1,2}A_{2,2}D({\hat {e}}_{2},{\hat {e}}_{2}),\,}
2352:
4866:
1258:
5890:
742:
2133:
5229:
2049:{\displaystyle f({\textbf {v}}_{1},\ldots ,{\textbf {v}}_{n})=\sum _{j_{1}=1}^{d_{1}}\cdots \sum _{j_{n}=1}^{d_{n}}\sum _{k=1}^{d}A_{j_{1}\cdots j_{n}}^{k}v_{1j_{1}}\cdots v_{nj_{n}}{\textbf {b}}_{k}.}
2191:
448:
6812:
5789:{\displaystyle D(A)=\sum _{1\leq k_{1}\leq n}\ldots \sum _{1\leq k_{i}\leq n}\ldots \sum _{1\leq k_{n}\leq n}A(1,k_{1})A(2,k_{2})\dots A(n,k_{n})D({\hat {e}}_{k_{1}},\dots ,{\hat {e}}_{k_{n}}).}
4519:
3650:
3161:
4855:
3433:
295:
1331:
4569:
257:
2565:
674:
6385:
6331:
3381:{\displaystyle {\textbf {v}}_{i}=\sum _{j=1}^{2}v_{ij}{\textbf {e}}_{ij}=v_{i1}\times {\textbf {e}}_{1}+v_{i2}\times {\textbf {e}}_{2}=v_{i1}\times (1,0)+v_{i2}\times (0,1).}
1796:
837:
5122:
1527:{\displaystyle f({\textbf {e}}_{1j_{1}},\ldots ,{\textbf {e}}_{nj_{n}})=A_{j_{1}\cdots j_{n}}^{1}\,{\textbf {b}}_{1}+\cdots +A_{j_{1}\cdots j_{n}}^{d}\,{\textbf {b}}_{d}.}
641:
2598:
1198:
1052:
1024:
6707:
2625:
514:
479:
374:
1664:
1279:
1094:
1073:
6405:
4609:
4589:
832:
809:
789:
769:
545:
347:
315:
6536:
1540:
6410:
5487:{\displaystyle D(A)=D\left(\sum _{j=1}^{n}A(1,j){\hat {e}}_{j},a_{2},\ldots ,a_{n}\right)=\sum _{j=1}^{n}A(1,j)D({\hat {e}}_{j},a_{2},\ldots ,a_{n}).}
1672:
4617:
3629:{\displaystyle g({\textbf {v}}_{1},{\textbf {v}}_{2},{\textbf {v}}_{3})=\sum _{i=1}^{2}\sum _{j=1}^{2}\sum _{k=1}^{2}A_{ijk}v_{1i}v_{2j}v_{3k},}
4411:
2507:{\displaystyle g({\textbf {e}}_{1i},{\textbf {e}}_{2j},{\textbf {e}}_{3k})=f({\textbf {e}}_{i},{\textbf {e}}_{j},{\textbf {e}}_{k})=A_{ijk},}
4342:
931:
150:
1102:
5078:{\displaystyle D(a_{1},\ldots ,ca_{i}+a_{i}',\ldots ,a_{n})=cD(a_{1},\ldots ,a_{i},\ldots ,a_{n})+D(a_{1},\ldots ,a_{i}',\ldots ,a_{n}).}
1203:
5817:
697:
2070:
5143:
2339:{\displaystyle \{{\textbf {e}}_{i1},\ldots ,{\textbf {e}}_{id_{i}}\}=\{{\textbf {e}}_{1},{\textbf {e}}_{2}\}=\{(1,0),(0,1)\}.}
96:
6888:
2600:
is a function value at one of the eight possible triples of basis vectors (since there are two choices for each of the three
582:
68:
379:
6715:
4477:
75:
3109:
115:
49:
4787:
489:
likewise scales by a factor of two. If both are scaled by a factor of 2, the cross product scales by a factor of
82:
3394:
262:
1284:
53:
20:
64:
6909:
4528:
216:
909:{\displaystyle D^{k}\!F\colon \mathbb {R} ^{m}\times \cdots \times \mathbb {R} ^{m}\to \mathbb {R} ^{n}}
2520:
650:
6336:
6282:
1768:
5091:
601:
485:
vectors; if one of these vectors is scaled by a factor of 2 while the other remains unchanged, the
624:
42:
6843:
4333:
1097:
137:
6876:
2570:
1175:
1029:
1001:
89:
6677:
6848:
4746:
with identity, as a function of the rows (or equivalently the columns) of the matrix. Let
2603:
492:
457:
352:
322:
8:
1648:
1263:
1078:
1057:
597:
571:
6883:. Graduate Texts in Mathematics. Vol. 211 (3rd ed.). Springer. pp. 511–.
6667:{\displaystyle D({\hat {e}}_{2},{\hat {e}}_{1})=-D({\hat {e}}_{1},{\hat {e}}_{2})=-D(I)}
6390:
4594:
4574:
995:
817:
812:
794:
774:
754:
593:
578:
530:
332:
300:
6884:
1638:{\displaystyle \{A_{j_{1}\cdots j_{n}}^{k}\mid 1\leq j_{i}\leq d_{i},1\leq k\leq d\}}
6838:
6526:{\displaystyle D({\hat {e}}_{1},{\hat {e}}_{1})=D({\hat {e}}_{2},{\hat {e}}_{2})=0}
4740:
684:
567:
563:
326:
745:
586:
451:
6833:
4522:
1755:{\displaystyle {\textbf {v}}_{i}=\sum _{j=1}^{d_{i}}v_{ij}{\textbf {e}}_{ij}\!}
129:
570:. Multilinear maps and multilinear forms are fundamental objects of study in
144:
separately in each variable. More precisely, a multilinear map is a function
6903:
688:
644:
618:
486:
6823:
A multilinear map has a value of zero whenever one of its arguments is zero.
4706:{\displaystyle f(v_{1},\ldots ,v_{n})=F(v_{1}\otimes \cdots \otimes v_{n}).}
614:
524:
318:
680:
4464:{\displaystyle F\colon V_{1}\otimes \cdots \otimes V_{n}\to W{\text{,}}}
6872:
520:
482:
141:
4395:{\displaystyle f\colon V_{1}\times \cdots \times V_{n}\to W{\text{,}}}
984:{\displaystyle f\colon V_{1}\times \cdots \times V_{n}\to W{\text{,}}}
203:{\displaystyle f\colon V_{1}\times \cdots \times V_{n}\to W{\text{,}}}
1281:(using bold for vectors), then we can define a collection of scalars
1165:{\displaystyle \{{\textbf {e}}_{i1},\ldots ,{\textbf {e}}_{id_{i}}\}}
31:
559:
16:
Vector-valued function of multiple vectors, linear in each argument
6853:
3391:
The function value at an arbitrary collection of three vectors
1253:{\displaystyle \{{\textbf {b}}_{1},\ldots ,{\textbf {b}}_{d}\}}
3163:
can be expressed as a linear combination of the basis vectors
5885:{\displaystyle {\hat {e}}_{k_{1}},\dots ,{\hat {e}}_{k_{n}}}
737:{\displaystyle F\colon \mathbb {R} ^{m}\to \mathbb {R} ^{n}}
577:
If all variables belong to the same space, one can consider
2128:{\displaystyle g\colon R^{2}\times R^{2}\times R^{2}\to R,}
5224:{\displaystyle a_{i}=\sum _{j=1}^{n}A(i,j){\hat {e}}_{j}.}
6709:, we get the determinant function on 2×2 matrices:
4716:
592:-linear maps. The latter two coincide if the underlying
5128:
th row of the identity matrix, we can express each row
6718:
6680:
6539:
6413:
6393:
6339:
6285:
5909:
5820:
5526:
5260:
5146:
5094:
4869:
4790:
4620:
4597:
4577:
4531:
4480:
4414:
4345:
3648:
3444:
3397:
3172:
3112:
2636:
2606:
2573:
2523:
2355:
2194:
2073:
1807:
1771:
1675:
1651:
1543:
1342:
1287:
1266:
1206:
1178:
1105:
1081:
1060:
1032:
1004:
934:
840:
820:
797:
777:
757:
700:
653:
627:
533:
495:
460:
382:
355:
335:
303:
265:
219:
153:
443:{\displaystyle f(v_{1},\ldots ,v_{i},\ldots ,v_{n})}
6807:{\displaystyle D(A)=A_{1,1}A_{2,2}-A_{1,2}A_{2,1}.}
4514:{\displaystyle V_{1}\otimes \cdots \otimes V_{n}\!}
4336:one-to-one correspondence between multilinear maps
687:multilinear function of the columns (or rows) of a
56:. Unsourced material may be challenged and removed.
6806:
6701:
6666:
6525:
6399:
6379:
6325:
6268:
5884:
5788:
5486:
5223:
5116:
5077:
4849:
4705:
4603:
4583:
4563:
4513:
4463:
4394:
4316:
3628:
3427:
3380:
3155:
3095:
2619:
2592:
2559:
2506:
2338:
2127:
2048:
1790:
1754:
1658:
1637:
1526:
1325:
1273:
1252:
1192:
1164:
1088:
1067:
1046:
1018:
983:
908:
826:
803:
783:
763:
736:
668:
635:
604:different from two, else the former two coincide.
539:
508:
473:
442:
368:
341:
309:
289:
251:
202:
4510:
1787:
1751:
1655:
1270:
1189:
1085:
1064:
1043:
1015:
851:
6901:
6877:"XIII. Matrices and Linear Maps §S Determinants"
3156:{\displaystyle {\textbf {v}}_{i}\in V_{i}=R^{2}}
527:. More generally, for any nonnegative integer
19:For multilinear maps used in cryptography, see
4729:One can consider multilinear functions, on an
4327:
1645:completely determine the multilinear function
643:-vector space is a multilinear map, as is the
481:. One way to visualize this is to imagine two
4850:{\displaystyle D(A)=D(a_{1},\ldots ,a_{n}),}
3087:
3036:
3030:
2979:
2973:
2922:
2916:
2865:
2859:
2808:
2802:
2751:
2745:
2694:
2688:
2637:
2554:
2542:
2330:
2294:
2288:
2254:
2248:
2195:
1632:
1544:
1247:
1207:
1159:
1106:
920:
3428:{\displaystyle {\textbf {v}}_{i}\in R^{2}}
290:{\displaystyle n\in \mathbb {Z} _{\geq 0}}
6265:
5900:In the case of 2×2 matrices, we get
1506:
1447:
1326:{\displaystyle A_{j_{1}\cdots j_{n}}^{k}}
896:
881:
860:
724:
709:
656:
629:
329:), with the following property: for each
274:
116:Learn how and when to remove this message
617:is a multilinear map. For example, any
519:A multilinear map of one variable is a
6902:
5497:Continuing this substitution for each
4571:. The relation between the functions
6871:
6407:to be an alternating function, then
54:adding citations to reliable sources
25:
4564:{\displaystyle V_{1},\ldots ,V_{n}}
4293:
4276:
4259:
4221:
4204:
4187:
4142:
4125:
4108:
4070:
4053:
4036:
3998:
3981:
3964:
3926:
3909:
3892:
3847:
3830:
3813:
3775:
3758:
3741:
3488:
3471:
3454:
3401:
3296:
3263:
3227:
3176:
3116:
3076:
3059:
3042:
3019:
3002:
2985:
2962:
2945:
2928:
2905:
2888:
2871:
2848:
2831:
2814:
2791:
2774:
2757:
2734:
2717:
2700:
2677:
2660:
2643:
2468:
2451:
2434:
2405:
2385:
2365:
2277:
2260:
2227:
2201:
2032:
1840:
1817:
1737:
1679:
1510:
1451:
1385:
1352:
1236:
1213:
1138:
1112:
252:{\displaystyle V_{1},\ldots ,V_{n}}
13:
14:
6921:
4775:. Then the multilinear function
811:in its domain can be viewed as a
2560:{\displaystyle i,j,k\in \{1,2\}}
2064:Let's take a trilinear function
669:{\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}
30:
6380:{\displaystyle {\hat {e}}_{2}=}
6326:{\displaystyle {\hat {e}}_{1}=}
2567:. In other words, the constant
1791:{\displaystyle 1\leq i\leq n\!}
41:needs additional citations for
6865:
6728:
6722:
6690:
6684:
6661:
6655:
6643:
6631:
6609:
6599:
6587:
6575:
6553:
6543:
6514:
6502:
6480:
6470:
6461:
6449:
6427:
6417:
6374:
6362:
6347:
6320:
6308:
6293:
6259:
6247:
6225:
6215:
6174:
6162:
6140:
6130:
6089:
6077:
6055:
6045:
6004:
5992:
5970:
5960:
5919:
5913:
5863:
5828:
5810:is uniquely determined by how
5780:
5761:
5726:
5716:
5710:
5691:
5682:
5663:
5657:
5638:
5536:
5530:
5478:
5434:
5424:
5418:
5406:
5330:
5320:
5308:
5270:
5264:
5206:
5196:
5184:
5117:{\displaystyle {\hat {e}}_{j}}
5102:
5069:
5015:
5006:
4955:
4943:
4873:
4841:
4809:
4800:
4794:
4697:
4665:
4656:
4624:
4450:
4381:
4304:
4253:
4232:
4181:
4153:
4102:
4081:
4030:
4009:
3958:
3937:
3886:
3858:
3807:
3786:
3735:
3714:
3711:
3699:
3689:
3677:
3671:
3659:
3656:
3499:
3448:
3372:
3360:
3338:
3326:
2479:
2428:
2419:
2359:
2327:
2315:
2309:
2297:
2116:
1851:
1811:
1406:
1346:
970:
891:
719:
437:
386:
349:, if all of the variables but
189:
1:
6859:
6817:
994:be a multilinear map between
140:of several variables that is
21:Cryptographic multilinear map
5895:
5234:Using the multilinearity of
636:{\displaystyle \mathbb {R} }
562:of a multilinear map is the
523:, and of two variables is a
7:
6827:
4328:Relation to tensor products
607:
10:
6926:
2059:
18:
4717:Multilinear functions on
921:Coordinate representation
4611:is given by the formula
376:are held constant, then
3639:or in expanded form as
2593:{\displaystyle A_{ijk}}
1193:{\displaystyle V_{i}\!}
1047:{\displaystyle d_{i}\!}
1019:{\displaystyle V_{i}\!}
547:, a multilinear map of
6844:Homogeneous polynomial
6808:
6703:
6702:{\displaystyle D(I)=1}
6668:
6527:
6401:
6381:
6327:
6270:
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