4037:
2027:
3011:
3325:
597:
939:
825:
457:
In other words, when we hold the first entry of the bilinear map fixed while letting the second entry vary, the result is a linear operator, and similarly for when we hold the second entry fixed.
3199:
3091:
2466:
Many bilinear maps that occur in practice are separately continuous but not all are continuous. We list here sufficient conditions for a separately continuous bilinear map to be continuous.
2753:
1770:
2663:
2562:
2803:
714:
2608:
2522:
2237:
2067:
1965:
665:
179:
2448:
2349:
412:
272:
508:
1729:
1030:
3351:
2099:
3389:
3257:
2381:
2282:
3146:
2908:
2407:
2308:
345:
205:
372:
232:
2175:
1537:
968:
91:
455:
319:
3219:
3111:
3034:
2869:
2823:
2195:
619:
478:
432:
296:
138:
111:
3926:
1970:
3762:
2913:
3589:
3752:
3879:
3734:
3262:
513:
3710:
2825:
is not continuous (no matter what topologies the spaces of linear maps are given). We do, however, have the following results:
3525:
3495:
830:
719:
3151:
3043:
3602:
146:
3691:
3582:
2843:
2675:
376:
236:
3961:
3606:
2836:
2623:
1738:
3757:
3560:
3487:
1819:
4066:
4040:
3813:
3747:
3575:
3777:
3555:
2631:
2530:
4022:
3976:
3900:
3782:
2758:
670:
3550:
2575:
2489:
2204:
2034:
1941:
624:
4017:
3833:
2412:
2313:
3869:
3767:
3670:
2198:
487:
1712:
3966:
3742:
4061:
3997:
3941:
3905:
1585:
1000:
141:
28:
3330:
2072:
3704:
3356:
3224:
2357:
2258:
40:
3700:
3116:
2878:
2454:
Many separately continuous bilinear that are not continuous satisfy an additional property:
2386:
2287:
324:
184:
3980:
3513:
1665:
1455:
1081:
350:
210:
47:
3567:
2151:
1513:
8:
3946:
3884:
3598:
1732:
947:
118:
70:
437:
301:
3971:
3838:
3479:
3412:
3204:
3096:
3019:
2854:
2808:
2180:
1488:
1038:
604:
463:
417:
281:
123:
96:
3951:
3531:
3521:
3501:
3491:
3406:
3956:
3874:
3843:
3823:
3808:
3803:
3798:
3490:. Vol. 8 (Second ed.). New York, NY: Springer New York Imprint Springer.
1085:
3635:
2569:
1076:
The definition works without any changes if instead of vector spaces over a field
3818:
3772:
3720:
3715:
3686:
3421:
2669:
1444:
1097:
3645:
4007:
3859:
3660:
3400:
3037:
2872:
2666:
2455:
1065:
1057:
4055:
4012:
3936:
3665:
3650:
3640:
3535:
3505:
1935:
1783:
1061:
1052:
2022:{\displaystyle \mathbb {R} ^{3}\times \mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {R} ^{3}.}
4002:
3655:
3625:
3424: – Vector-valued function of multiple vectors, linear in each argument
2613:
If a bilinear map is continuous at (0, 0) then it is continuous everywhere.
1700:
1451:
1337:
114:
32:
3931:
3921:
3828:
3630:
2565:
2475:
1707:
1393:
20:
3006:{\displaystyle C{\big \vert }_{L(X;Y)\times E}:L(X;Y)\times E\to L(X;Z)}
3864:
3696:
2483:
2102:
1812:
275:
36:
2828:
Give all three spaces of linear maps one of the following topologies:
1596:; then each bilinear map can be uniquely represented by the matrix
1163:
51:
3320:{\displaystyle \left(v_{i}\circ u_{i}\right)_{i=1}^{\infty }}
592:{\displaystyle B(\lambda v,w)=B(v,\lambda w)=\lambda B(v,w).}
3597:
3456:
3446:
3444:
3442:
3440:
3438:
1448:
3435:
1539:
that is, bilinear forms, the dimension of this space is
3417:
Pages displaying short descriptions of redirect targets
2461:
934:{\displaystyle B(v,w_{1}+w_{2})=B(v,w_{1})+B(v,w_{2}).}
3415: – Method of interpolating functions on a 2D grid
820:{\displaystyle B(v_{1}+v_{2},w)=B(v_{1},w)+B(v_{2},w)}
3359:
3333:
3265:
3227:
3207:
3154:
3119:
3099:
3046:
3022:
2916:
2881:
2857:
2811:
2761:
2678:
2634:
2578:
2533:
2492:
2415:
2389:
2360:
2316:
2290:
2261:
2207:
2183:
2154:
2143:
2075:
2037:
1973:
1944:
1741:
1715:
1516:
1003:
950:
833:
722:
673:
627:
607:
516:
490:
466:
440:
420:
379:
353:
327:
304:
284:
239:
213:
187:
149:
126:
99:
73:
3518:
Topological Vector Spaces, Distributions and
Kernels
2458:. All continuous bilinear maps are hypocontinuous.
35:
to yield an element of a third vector space, and is
2832:
give all three the topology of bounded convergence;
1348:An immediate consequence of the definition is that
3927:Spectral theory of ordinary differential equations
3383:
3345:
3319:
3251:
3213:
3194:{\displaystyle \left(v_{i}\right)_{i=1}^{\infty }}
3193:
3140:
3105:
3086:{\displaystyle \left(u_{i}\right)_{i=1}^{\infty }}
3085:
3028:
3005:
2902:
2863:
2817:
2797:
2747:
2657:
2602:
2556:
2516:
2442:
2401:
2375:
2343:
2302:
2276:
2231:
2189:
2169:
2093:
2061:
2021:
1959:
1764:
1723:
1625:is a space of higher dimension, we obviously have
1531:
1024:
962:
933:
819:
708:
659:
613:
591:
502:
472:
449:
426:
406:
366:
339:
313:
290:
266:
226:
199:
173:
132:
105:
85:
1417:) and moving the scalar 0 "outside", in front of
4053:
3403: – Mathematical operation on vector spaces
2748:{\displaystyle C:L(X;Y)\times L(Y;Z)\to L(X;Z)}
16:Function of two vectors linear in each argument
2572:then every separately continuous bilinear map
2486:then every separately continuous bilinear map
3583:
3478:
3462:
2923:
1735:, then the inner product is a bilinear map
3590:
3576:
1866:be vector spaces over the same base field
1765:{\displaystyle V\times V\to \mathbb {R} .}
3409: – Generalization of a bilinear form
2006:
1991:
1976:
1947:
1755:
1717:
1095:-ary functions, where the proper term is
3880:Group algebra of a locally compact group
3013:is continuous for all three topologies.
1056:, which are well-studied (for example:
46:A bilinear map can also be defined for
4054:
3512:
3450:
2251:if the following two conditions hold:
1228:-module homomorphism. This satisfies
3571:
3520:. Mineola, N.Y.: Dover Publications.
2462:Sufficient conditions for continuity
480:satisfies the following properties.
2658:{\displaystyle X,Y,{\text{ and }}Z}
2557:{\displaystyle X,Y,{\text{ and }}Z}
621:is additive in both components: if
13:
3312:
3186:
3078:
2755:be the composition map defined by
2617:
2144:Continuity and separate continuity
1392:. This may be seen by writing the
1197:-module homomorphism, and for any
14:
4078:
3543:
2844:topology of pointwise convergence
2798:{\displaystyle C(u,v):=v\circ u.}
709:{\displaystyle w_{1},w_{2}\in W,}
4036:
4035:
3962:Topological quantum field theory
2603:{\displaystyle b:X\times Y\to Z}
2517:{\displaystyle b:X\times Y\to Z}
2232:{\displaystyle b:X\times Y\to Z}
2062:{\displaystyle B:V\times W\to X}
1960:{\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}
660:{\displaystyle v_{1},v_{2}\in V}
174:{\displaystyle B:V\times W\to X}
62:
3472:
2837:topology of compact convergence
2624:Topology of uniform convergence
2443:{\displaystyle x\mapsto b(x,y)}
2344:{\displaystyle y\mapsto b(x,y)}
1774:In general, for a vector space
407:{\displaystyle w\mapsto B(v,w)}
267:{\displaystyle v\mapsto B(v,w)}
3375:
3363:
3243:
3231:
3135:
3123:
3000:
2988:
2982:
2973:
2961:
2944:
2932:
2897:
2885:
2777:
2765:
2742:
2730:
2724:
2721:
2709:
2700:
2688:
2594:
2508:
2437:
2425:
2419:
2393:
2338:
2326:
2320:
2294:
2223:
2085:
2053:
2001:
1790:is the same as a bilinear map
1751:
925:
906:
897:
878:
869:
837:
814:
795:
786:
767:
758:
726:
583:
571:
559:
544:
535:
520:
401:
389:
383:
261:
249:
243:
165:
1:
3758:Uniform boundedness principle
3428:
2805:In general, the bilinear map
1343:
503:{\displaystyle \lambda \in F}
57:
3482:; Wolff, Manfred P. (1999).
1724:{\displaystyle \mathbb {R} }
50:. For that, see the article
7:
3556:Encyclopedia of Mathematics
3394:
1659:
1621:, and vice versa. Now, if
1050:, then the map is called a
10:
4083:
3901:Invariant subspace problem
2621:
1443:of all bilinear maps is a
1128:, a bilinear map is a map
1104:For non-commutative rings
1071:
39:in each of its arguments.
31:combining elements of two
4031:
3990:
3914:
3893:
3852:
3791:
3733:
3679:
3621:
3614:
3484:Topological Vector Spaces
3463:Schaefer & Wolff 1999
2239:be a bilinear map. Then
2199:topological vector spaces
1584:). To see this, choose a
1025:{\displaystyle v,w\in V,}
3870:Spectrum of a C*-algebra
3346:{\displaystyle v\circ u}
3040:then for every sequence
2094:{\displaystyle L:U\to W}
1820:canonical evaluation map
3967:Noncommutative geometry
3384:{\displaystyle L(Y;Z).}
3252:{\displaystyle L(Y;Z),}
2376:{\displaystyle y\in Y,}
2277:{\displaystyle x\in X,}
2069:be a bilinear map, and
1917:defines a bilinear map
1845:is a bilinear map from
1811:is a vector space with
4023:Tomita–Takesaki theory
3998:Approximation property
3942:Calculus of variations
3385:
3347:
3321:
3253:
3215:
3195:
3142:
3141:{\displaystyle L(X;Y)}
3107:
3087:
3030:
3007:
2904:
2903:{\displaystyle L(Y;Z)}
2865:
2819:
2799:
2749:
2659:
2604:
2558:
2518:
2444:
2403:
2402:{\displaystyle X\to Z}
2377:
2345:
2304:
2303:{\displaystyle Y\to Z}
2278:
2233:
2191:
2171:
2095:
2063:
2023:
1961:
1766:
1725:
1573:forms is of dimension
1533:
1026:
964:
935:
821:
710:
661:
615:
593:
504:
474:
451:
428:
408:
368:
341:
340:{\displaystyle v\in V}
315:
292:
268:
228:
201:
200:{\displaystyle w\in W}
175:
140:. A bilinear map is a
134:
107:
87:
4018:Banach–Mazur distance
3981:Generalized functions
3386:
3348:
3322:
3254:
3216:
3196:
3143:
3108:
3088:
3031:
3008:
2910:then the restriction
2905:
2866:
2820:
2800:
2750:
2660:
2605:
2559:
2519:
2445:
2404:
2378:
2346:
2305:
2279:
2247:separately continuous
2234:
2192:
2172:
2129:is a bilinear map on
2096:
2064:
2024:
1962:
1767:
1726:
1666:Matrix multiplication
1534:
1027:
965:
936:
822:
711:
662:
616:
594:
505:
475:
452:
429:
414:is a linear map from
409:
369:
367:{\displaystyle B_{v}}
342:
316:
293:
269:
229:
227:{\displaystyle B_{w}}
202:
176:
135:
108:
88:
41:Matrix multiplication
3763:Kakutani fixed-point
3748:Riesz representation
3357:
3331:
3263:
3225:
3205:
3152:
3117:
3097:
3044:
3020:
2914:
2879:
2855:
2809:
2759:
2676:
2632:
2576:
2531:
2490:
2413:
2387:
2358:
2314:
2288:
2259:
2205:
2181:
2170:{\displaystyle X,Y,}
2152:
2073:
2035:
1971:
1942:
1739:
1713:
1532:{\displaystyle X=F,}
1514:
1411:(and similarly for 0
1166:, and for which any
1091:. It generalizes to
1001:
948:
831:
720:
671:
625:
605:
514:
488:
464:
438:
418:
377:
351:
325:
302:
282:
237:
211:
185:
147:
124:
97:
71:
4067:Multilinear algebra
3947:Functional calculus
3906:Mahler's conjecture
3885:Von Neumann algebra
3599:Functional analysis
3480:Schaefer, Helmut H.
3453:, pp. 424–426.
3316:
3190:
3148:and every sequence
3082:
2842:give all three the
2835:give all three the
1458:) of all maps from
963:{\displaystyle V=W}
117:over the same base
86:{\displaystyle V,W}
3972:Riemann hypothesis
3671:Topological vector
3551:"Bilinear mapping"
3413:Bilinear filtering
3381:
3343:
3317:
3266:
3249:
3211:
3191:
3155:
3138:
3103:
3083:
3047:
3026:
3003:
2900:
2861:
2815:
2795:
2745:
2655:
2600:
2554:
2514:
2440:
2399:
2373:
2341:
2300:
2274:
2229:
2187:
2167:
2091:
2059:
2019:
1967:is a bilinear map
1957:
1855:to the base field.
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