8286:
7302:) are treated as lower indices in this convention. When indices are applied and interpreted in this manner, the number of upper indices minus the number of lower indices in each term of an expression is conserved, both within the sum and across an equal sign, a feature that serves as a useful mnemonic device and helps pinpoint errors made during manual computation.]
3398:
8051:
7991:
2373:; that is, the form has a value of 0 whenever two of its arguments are equal. Note, however, that some authors use this last condition as the defining property of alternating forms. This definition implies the property given at the beginning of the section, but as noted above, the converse implication holds only when
3129:
10704:
7030:
8939:
763:
9472:
8281:{\displaystyle dx^{\alpha _{1}}\wedge \cdots \wedge dx^{\alpha _{p}}\wedge \cdots \wedge dx^{\alpha _{q}}\wedge \cdots \wedge dx^{\alpha _{m}}=-dx^{\alpha _{1}}\wedge \cdots \wedge dx^{\alpha _{q}}\wedge \cdots \wedge dx^{\alpha _{p}}\wedge \cdots \wedge dx^{\alpha _{m}}.}
2214:
12330:
7046:
and differential geometry in which multivectors and multicovectors are written with lower and upper indices, respectively. Since differential forms are multicovector fields, upper indices are employed to index them. The opposite rule applies to the
1809:
10074:
7802:
8738:
7794:
7692:
7578:
5021:
6688:
5323:
3393:{\displaystyle (f\wedge g)(v_{1},\ldots ,v_{k+\ell })={\frac {1}{k!\ell !}}\sum _{\sigma \in S_{k+\ell }}(\operatorname {sgn}(\sigma ))f(v_{\sigma (1)},\ldots ,v_{\sigma (k)})g(v_{\sigma (k+1)},\ldots ,v_{\sigma (k+\ell )}),}
11670:
1062:
945:
2879:
11126:
10517:
10225:
6864:
2805:
1400:
3852:
2942:
The tensor product of alternating multilinear forms is, in general, no longer alternating. However, by summing over all permutations of the tensor product, taking into account the parity of each term, the
10149:
10369:
2371:
1862:
1133:
11455:
10947:
9825:
8792:
563:
9327:
6032:
551:
10469:
5938:
3121:
9003:
6463:
9764:
9693:
4097:
3910:
9198:
2033:
10773:
8043:
5682:
8515:
7300:
4730:
10304:
9569:
3612:
6601:
1458:
4571:
3552:
3063:
2409:
2041:
824:
493:
8405:
6242:
5798:
3739:
1280:
5605:
1898:
5880:
3792:
1340:
3506:
3017:
427:
12203:
11589:
11337:
10822:
9642:
of a differential form. Roughly speaking, when a differential form is integrated, applying the pullback transforms it in a way that correctly accounts for a change-of-coordinates.
8784:
8347:
5521:
5126:
4185:
1962:
8547:
7200:
9055:
6833:
6381:
4507:
11859:
11795:
8579:
7252:
7136:
7084:
6294:
6131:
4911:
4623:
4442:
4407:
4277:
3990:
3950:
3667:
2604:
2564:
1538:
1498:
1188:
353:
313:
12424:
is a linear combination of functions that maps to its edges in a counterclockwise manner. The boundary of a chain is distinct from the notion of a boundary in point-set topology.
8437:
6533:
4798:
4764:
4345:
4311:
12208:
8463:
7986:{\displaystyle \omega \wedge \eta =a_{i_{1}\ldots i_{k}}a_{j_{1}\ldots j_{\ell }}\,dx^{i_{1}}\wedge \cdots \wedge dx^{i_{k}}\wedge dx^{j_{1}}\wedge \cdots \wedge dx^{j_{\ell }}.}
1682:
11026:
9897:
120:
10973:
5089:
2522:
2498:
271:
11547:
11240:
10418:
5221:
5050:
4944:
4876:
4827:
4652:
4218:
2700:
1648:
12362:
6792:
6495:
12113:
11997:
8627:
6065:
5439:
4117:
in the classical sense. Though conceptually and computationally useful, differentials are founded on ill-defined notions of infinitesimal quantities developed early in the
2286:
2726:
2474:
244:
5639:
3460:
12422:
11187:
7051:
of multivectors and multicovectors, which instead are written with upper and lower indices, respectively. For instance, we represent the standard coordinates of vector
7428:
6161:
2912:
9319:
11265:
9515:
9264:
9224:
9080:
8599:
7332:
6748:
6708:
5459:
5146:
3427:
2967:
11498:
6195:
5751:
5172:
11301:
11161:
9849:
9620:
9296:
8619:
7480:
7396:
6092:
4372:
2639:
1565:
447:
7697:
1610:
9108:
6856:
6317:
5705:
4121:. Differential forms provide a mathematically rigorous and precise framework to modernize this long-standing idea. Differential forms are especially useful in
12399:
12077:
12057:
12037:
12017:
11883:
11819:
11518:
11403:
11382:
11359:
11207:
11047:
10862:
10842:
10509:
10489:
10389:
9889:
9869:
9713:
9589:
9495:
9244:
9128:
7448:
7376:
7356:
6728:
5982:
5962:
5725:
5541:
5479:
5403:
5383:
5363:
5343:
5241:
5192:
4847:
4238:
4014:
3687:
2932:
2663:
2452:
2432:
2240:
1228:
1208:
381:
222:
202:
167:
143:
75:
52:
7594:
7491:
6606:
5610:
We first construct differential 1-forms from 0-forms and deduce some of their basic properties. To simplify the discussion below, we will only consider
5246:
4949:
5984:. (Recall that the total derivative is a linear transformation.) Of particular interest are the projection maps (also known as coordinate functions)
11594:
950:
836:
10699:{\displaystyle \int _{^{n}}\omega =\int _{^{n}}f\,dx^{1}\wedge \cdots \wedge dx^{n}:=\int _{0}^{1}\cdots \int _{0}^{1}f\,dx^{1}\cdots dx^{n}.}
2810:
7025:{\displaystyle df=\sum _{i=1}^{n}D_{i}f\;dx^{i}={\partial f \over \partial x^{1}}\,dx^{1}+\cdots +{\partial f \over \partial x^{n}}\,dx^{n}.}
11055:
10154:
4129:
because they possess transformation properties that allow them be integrated on curves, surfaces, and their higher-dimensional analogues (
2731:
1345:
3797:
8934:{\displaystyle \omega =\sum _{i_{1}<\cdots <i_{k}}a_{i_{1}\ldots i_{k}}\,dx^{i_{1}}\wedge \cdots \wedge dx^{i_{k}},\qquad (*)}
10082:
758:{\displaystyle (f\otimes g)(v_{1},\ldots ,v_{k},v_{k+1},\ldots ,v_{k+\ell })=f(v_{1},\ldots ,v_{k})g(v_{k+1},\ldots ,v_{k+\ell }),}
10312:
9467:{\displaystyle d\omega :=\sum _{i_{1}<\ldots <i_{k}}da_{i_{1}\ldots i_{k}}\wedge dx^{i_{1}}\wedge \cdots \wedge dx^{i_{k}}.}
2291:
1817:
1073:
11408:
10874:
9769:
4113:
Differential forms are mathematical objects constructed via tangent spaces and multilinear forms that behave, in many ways, like
7584:). As is true in general for the exterior product, the exterior product of differential forms is bilinear, associative, and is
5987:
498:
10423:
5885:
3068:
11920:
8947:
6386:
9718:
9648:
4019:
3857:
9133:
1967:
10712:
9625:
7999:
5644:
8468:
4657:
2209:{\displaystyle f(x_{1},\ldots ,x_{p},\ldots ,x_{q},\ldots ,x_{k})=-f(x_{1},\ldots ,x_{q},\ldots ,x_{p},\ldots ,x_{k}).}
10230:
9520:
7261:
3557:
11948:
11467:
6538:
1405:
4512:
3511:
3022:
2376:
771:
452:
9828:
8352:
6200:
5756:
3692:
1233:
8621:
are the sums of several terms, their exterior product obeys distributivity with respect to each of these terms.
5546:
1871:
5803:
4138:
3744:
1292:
3465:
2976:
386:
12157:
12139:
11552:
11307:
10785:
9592:
8747:
8294:
5484:
5096:
4155:
1911:
8520:
5052:, there are other, more sophisticated constructions that are better suited for defining the tangent spaces of
12325:{\textstyle \delta :X\times X\to \{0,1\},\ (i,j)\mapsto {\begin{cases}1,&i=j\\0,&i\neq j\end{cases}}}
9008:
7141:
6797:
6322:
12129:
4447:
1804:{\displaystyle f(x_{\sigma (1)},\ldots ,x_{\sigma (k)})=\operatorname {sgn}(\sigma )f(x_{1},\ldots ,x_{k}),}
12450:
11824:
11760:
10069:{\displaystyle (f^{*}\eta )_{p}(v_{1p},\ldots ,v_{kp}):=\eta _{f(p)}(f_{*}(v_{1p}),\ldots ,f_{*}(v_{kp})),}
9638:
To integrate a differential form over a parameterized domain, we first need to introduce the notion of the
8552:
7205:
7089:
7054:
6247:
6101:
4881:
4576:
4412:
4377:
4243:
3955:
3915:
3620:
2569:
2529:
1503:
1463:
1141:
318:
278:
8410:
6504:
4769:
4735:
4316:
4282:
11676:
can be further generalized to arbitrary smooth manifolds-with-boundary and even certain "rough" domains (
8442:
1905:
1667:
86:
11164:
10978:
10956:
8733:{\displaystyle \{dx^{i_{1}}\wedge \cdots \wedge dx^{i_{k}}\mid 1\leq i_{1}<\cdots <i_{k}\leq n\}}
7482:-form. Thus, both operations generate differential forms of higher degree from those of lower degree.
5072:
4114:
2505:
2481:
254:
11523:
11216:
10394:
5197:
5026:
4920:
4852:
4803:
4628:
4194:
1615:
12440:
12335:
6468:
2934:
argument function of the column vectors, is an important example of an alternating multilinear form.
2668:
12274:
12082:
11966:
6753:
6037:
5408:
2245:
178:
11912:
2709:
2457:
227:
12445:
5617:
5053:
4130:
3432:
12404:
11169:
11703:
7401:
6136:
4122:
2891:
2220:
9301:
7580:
of differential forms is a special case of the exterior product of multicovectors in general (
11250:
9500:
9249:
9203:
9065:
8584:
7317:
6733:
6693:
5444:
5131:
4126:
3406:
2952:
1901:
12364:
is used to conform to the tensor calculus convention on the use of upper and lower indices.
11904:
11473:
7789:{\displaystyle \eta =a_{j_{1}\ldots i_{\ell }}dx^{j_{1}}\wedge \cdots \wedge dx^{j_{\ell }}}
6170:
5730:
5151:
12373:
The formal definition of the boundary of a chain is somewhat involved and is omitted here (
11274:
11134:
9834:
9598:
9269:
8604:
7453:
7381:
6070:
4350:
2617:
1543:
432:
170:
8:
11905:
7585:
5023:. While the definition given here provides a simple description of the tangent space of
4118:
1908:
multilinear forms are antisymmetric with respect to swapping of any two arguments (i.e.,
1589:
55:
24:
9090:
7687:{\displaystyle \omega =a_{i_{1}\ldots i_{k}}\,dx^{i_{1}}\wedge \cdots \wedge dx^{i_{k}}}
6838:
6299:
5687:
12384:
12062:
12042:
12022:
12002:
11868:
11804:
11679:
11673:
11503:
11463:
11388:
11367:
11344:
11192:
11032:
10847:
10827:
10494:
10474:
10374:
9874:
9854:
9698:
9574:
9480:
9229:
9113:
7573:{\displaystyle \wedge :\Omega ^{k}(U)\times \Omega ^{\ell }(U)\to \Omega ^{k+\ell }(U)}
7433:
7361:
7341:
6713:
5967:
5947:
5710:
5526:
5464:
5388:
5368:
5348:
5328:
5226:
5177:
4832:
4223:
4134:
3999:
3672:
2917:
2648:
2437:
2417:
2225:
1213:
1193:
366:
207:
187:
152:
128:
60:
37:
12135:
11944:
11916:
11737:
11734:
10709:
Next, we consider a domain of integration parameterized by a differentiable function
4108:
2703:
78:
5016:{\textstyle T\mathbb {R} ^{n}:=\bigcup _{p\in \mathbb {R} ^{n}}\mathbb {R} _{p}^{n}}
16:
Map from multiple vectors to an underlying field of scalars, linear in each argument
11698:
9633:
7486:
7358:) are two fundamental operations on differential forms. The exterior product of a
6683:{\displaystyle {\mathcal {A}}^{1}(\mathbb {R} _{p}^{n})=(\mathbb {R} _{p}^{n})^{*}}
5941:
5318:{\displaystyle \omega _{p}:=\omega (p)\in {\mathcal {A}}^{k}(\mathbb {R} _{p}^{n})}
2945:
174:
20:
12039:. However, this notation is more commonly reserved for the space of differential
9110:
was defined by taking the exterior derivative of the 0-form (continuous function)
11713:
7043:
6498:
4147:
830:
of multilinear forms is not commutative; however it is bilinear and associative:
8465:
can be arranged in ascending order by a (finite) sequence of such swaps. Since
12125:
11936:
11665:{\displaystyle \omega :p\in M\mapsto \omega _{p}\in {\mathcal {A}}^{k}(T_{p}M)}
2611:
827:
9497:
that holds for all smooth forms is that the second exterior derivative of any
12434:
5059:
3462:. The exterior product is bilinear, associative, and graded-alternating: if
1581:
1057:{\displaystyle (af_{1}+bf_{2})\otimes g=a(f_{1}\otimes g)+b(f_{2}\otimes g),}
177:. The rest of this article, however, will only consider multilinear forms on
940:{\displaystyle f\otimes (ag_{1}+bg_{2})=a(f\otimes g_{1})+b(f\otimes g_{2})}
11900:
11693:
32:
1654:. A familiar and important example of a (symmetric) bilinear form is the
11708:
2885:
1865:
1655:
2874:{\displaystyle {\mathcal {A}}^{0}(V)={\mathcal {T}}^{0}(V)=\mathbb {R} }
6858:
that coincides with the classical expression for a total differential:
5611:
2642:
1287:
1283:
4144:
The synopsis below is primarily based on Spivak (1965) and Tu (2011).
11742:
11121:{\displaystyle \int _{C}\omega :=\sum _{i}n_{i}\int _{c_{i}}\omega .}
10220:{\displaystyle f_{*}:\mathbb {R} _{p}^{n}\to \mathbb {R} _{f(p)}^{m}}
9130:. We now extend this by defining the exterior derivative operator
4444:
fixed) with vector addition and scalar multiplication defined by
2800:{\displaystyle {\mathcal {A}}^{1}(V)={\mathcal {T}}^{1}(V)=V^{*}}
1395:{\displaystyle \phi ^{i_{1}}\otimes \cdots \otimes \phi ^{i_{k}}}
169:
arguments. More generally, one can define multilinear forms on a
9634:
Integration of differential forms and Stokes' theorem for chains
2526:, and the vector space of such alternating forms, a subspace of
3847:{\displaystyle \phi ^{i_{1}}\wedge \cdots \wedge \phi ^{i_{k}}}
146:
4148:
Definition of differential k-forms and construction of 1-forms
10144:{\displaystyle v_{1p},\ldots ,v_{kp}\in \mathbb {R} _{p}^{n}}
3403:
where the sum is taken over the set of all permutations over
10364:{\displaystyle \omega =f\,dx^{1}\wedge \cdots \wedge dx^{n}}
4133:). One far-reaching application is the modern statement of
2366:{\displaystyle f(x_{1},\ldots ,x,\ldots ,x,\ldots ,x_{k})=0}
1857:{\displaystyle \sigma :\mathbf {N} _{k}\to \mathbf {N} _{k}}
1128:{\displaystyle (f\otimes g)\otimes h=f\otimes (g\otimes h).}
12318:
11450:{\displaystyle \int _{C}d\omega =\int _{\partial C}\omega }
10942:{\displaystyle \int _{c}\omega :=\int _{^{n}}c^{*}\omega .}
9820:{\displaystyle f^{*}\eta \in \Omega ^{k}(\mathbb {R} ^{n})}
9571:. This can be established directly from the definition of
7305:
2807:, while, by convention, 0-forms are defined to be scalars:
11732:
8624:
The collection of the exterior products of basic 1-forms
6027:{\displaystyle \pi ^{i}:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }
546:{\displaystyle f\otimes g\in {\mathcal {T}}^{k+\ell }(V)}
10464:{\displaystyle \omega \in \Omega ^{n}(\mathbb {R} ^{n})}
5933:{\displaystyle Df|_{p}:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }
4347:
can be defined most conveniently as the set of elements
3116:{\displaystyle f\wedge g\in {\mathcal {A}}^{k+\ell }(V)}
275:, and the vector space of such forms is usually denoted
8998:{\displaystyle a_{i_{1}\ldots i_{k}}:U\to \mathbb {R} }
6458:{\displaystyle dx_{p}^{i}((e_{j})_{p})=\delta _{j}^{i}}
4849:. The collection (disjoint union) of tangent spaces of
12211:
10981:
9759:{\displaystyle \eta \in \Omega ^{k}(\mathbb {R} ^{m})}
9688:{\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}}
7264:
7144:
6756:
4952:
4092:{\textstyle {\tbinom {n}{k}}={\frac {n!}{(n-k)!\,k!}}}
4024:
4022:
2671:
12407:
12387:
12338:
12160:
12085:
12065:
12045:
12025:
12005:
11969:
11871:
11827:
11807:
11763:
11597:
11555:
11526:
11506:
11476:
11411:
11391:
11370:
11347:
11310:
11277:
11253:
11219:
11195:
11172:
11137:
11058:
11035:
10959:
10952:
To integrate over more general domains, we define an
10877:
10850:
10830:
10788:
10715:
10520:
10497:
10477:
10426:
10397:
10377:
10315:
10233:
10157:
10085:
9900:
9877:
9857:
9837:
9772:
9721:
9701:
9651:
9601:
9577:
9523:
9503:
9483:
9330:
9304:
9272:
9252:
9232:
9206:
9136:
9116:
9093:
9068:
9011:
8950:
8795:
8750:
8630:
8607:
8587:
8555:
8523:
8471:
8445:
8413:
8355:
8297:
8054:
8002:
7805:
7700:
7597:
7494:
7456:
7436:
7404:
7384:
7364:
7344:
7320:
7208:
7092:
7057:
6867:
6841:
6800:
6736:
6716:
6696:
6609:
6541:
6507:
6471:
6389:
6325:
6302:
6250:
6203:
6173:
6139:
6104:
6073:
6040:
5990:
5970:
5950:
5888:
5806:
5759:
5733:
5713:
5690:
5647:
5620:
5549:
5529:
5487:
5467:
5447:
5411:
5391:
5371:
5351:
5331:
5249:
5229:
5200:
5180:
5154:
5134:
5099:
5075:
5029:
4923:
4884:
4855:
4835:
4806:
4772:
4738:
4660:
4631:
4579:
4515:
4450:
4415:
4380:
4353:
4319:
4285:
4246:
4226:
4197:
4158:
4002:
3958:
3918:
3905:{\displaystyle 1\leq i_{1}<\cdots <i_{k}\leq n}
3860:
3800:
3747:
3695:
3675:
3623:
3560:
3514:
3468:
3435:
3409:
3132:
3071:
3025:
2979:
2955:
2920:
2894:
2813:
2734:
2712:
2651:
2620:
2572:
2532:
2508:
2484:
2460:
2440:
2420:
2379:
2294:
2248:
2228:
2044:
1970:
1914:
1874:
1820:
1685:
1618:
1592:
1546:
1506:
1466:
1408:
1348:
1295:
1236:
1216:
1196:
1144:
1076:
953:
839:
774:
566:
501:
455:
435:
389:
369:
321:
281:
257:
230:
210:
190:
155:
131:
89:
63:
40:
11549:) can be defined. Analogously, a differential form
9193:{\displaystyle d:\Omega ^{k}(U)\to \Omega ^{k+1}(U)}
2028:{\displaystyle \sigma (i)=i,1\leq i\leq k,i\neq p,q}
10768:{\displaystyle c:^{n}\to A\subset \mathbb {R} ^{m}}
12416:
12393:
12356:
12324:
12197:
12107:
12071:
12051:
12031:
12011:
11991:
11877:
11853:
11813:
11789:
11757:Many authors use the opposite convention, writing
11664:
11583:
11541:
11512:
11492:
11449:
11397:
11376:
11353:
11331:
11295:
11259:
11234:
11213:(Stokes–Cartan theorem) for chains in a subset of
11201:
11181:
11155:
11120:
11041:
11020:
10967:
10941:
10856:
10836:
10816:
10767:
10698:
10503:
10483:
10463:
10412:
10383:
10363:
10298:
10219:
10143:
10068:
9883:
9863:
9843:
9819:
9758:
9707:
9687:
9614:
9593:equality of mixed second-order partial derivatives
9583:
9563:
9509:
9489:
9466:
9313:
9290:
9258:
9238:
9218:
9192:
9122:
9102:
9074:
9049:
8997:
8933:
8778:
8740:constitutes a basis for the space of differential
8732:
8613:
8593:
8573:
8541:
8509:
8457:
8431:
8399:
8341:
8280:
8038:{\displaystyle \{\alpha _{1}\ldots ,\alpha _{m}\}}
8037:
7985:
7788:
7686:
7572:
7474:
7442:
7422:
7390:
7370:
7350:
7326:
7294:
7246:
7194:
7130:
7078:
7024:
6850:
6827:
6786:
6742:
6722:
6702:
6682:
6595:
6527:
6489:
6457:
6375:
6311:
6288:
6236:
6189:
6155:
6125:
6086:
6059:
6026:
5976:
5956:
5932:
5874:
5792:
5745:
5719:
5699:
5677:{\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }
5676:
5633:
5599:
5535:
5515:
5473:
5453:
5433:
5397:
5377:
5357:
5337:
5317:
5235:
5215:
5186:
5166:
5140:
5120:
5083:
5044:
5015:
4938:
4905:
4870:
4841:
4821:
4792:
4758:
4724:
4646:
4617:
4565:
4501:
4436:
4401:
4366:
4339:
4305:
4271:
4232:
4212:
4179:
4091:
4008:
3984:
3944:
3904:
3846:
3786:
3733:
3681:
3661:
3606:
3546:
3500:
3454:
3421:
3392:
3115:
3057:
3011:
2961:
2926:
2906:
2873:
2799:
2720:
2694:
2657:
2633:
2598:
2558:
2516:
2492:
2468:
2446:
2426:
2403:
2365:
2280:
2234:
2208:
2027:
1956:
1892:
1856:
1803:
1642:
1604:
1559:
1532:
1492:
1452:
1394:
1334:
1274:
1222:
1202:
1182:
1127:
1056:
939:
818:
757:
545:
487:
441:
421:
375:
347:
307:
265:
238:
216:
196:
161:
137:
114:
69:
46:
9057:placed in ascending order, (*) is said to be the
8510:{\displaystyle dx^{\alpha }\wedge dx^{\alpha }=0}
7295:{\textstyle {\frac {\partial f}{\partial x^{i}}}}
4725:{\displaystyle ((e_{1})_{p},\ldots ,(e_{n})_{p})}
12432:
10299:{\displaystyle v_{p}\mapsto (Df|_{p}(v))_{f(p)}}
9564:{\displaystyle d^{2}\omega =d(d\omega )\equiv 0}
9005:are smooth functions. With each set of indices
8581:. Finally, as a consequence of bilinearity, if
6835:. Furthermore, we can derive an expression for
3607:{\displaystyle f\wedge g=(-1)^{k\ell }g\wedge f}
1672:An important class of multilinear forms are the
1661:
7042:In this article, we follow the convention from
6596:{\displaystyle (dx_{p}^{1},\ldots ,dx_{p}^{n})}
6501:. Thus, as the dual of the standard basis for
2973:) of multicovectors can be defined, so that if
1453:{\displaystyle 1\leq i_{1},\ldots ,i_{k}\leq n}
7254:. In addition, superscripts appearing in the
4829:(a set of tangent vectors) based at the point
4566:{\displaystyle a\cdot (v_{p}):=(a\cdot v)_{p}}
3547:{\displaystyle g\in {\mathcal {A}}^{\ell }(V)}
3058:{\displaystyle g\in {\mathcal {A}}^{\ell }(V)}
2404:{\displaystyle \operatorname {char} (K)\neq 2}
819:{\displaystyle v_{1},\ldots ,v_{k+\ell }\in V}
488:{\displaystyle g\in {\mathcal {T}}^{\ell }(V)}
8400:{\displaystyle J=\{j_{1},\ldots ,j_{\ell }\}}
6237:{\displaystyle v_{p}\in \mathbb {R} _{p}^{n}}
5793:{\displaystyle v_{p}\in \mathbb {R} _{p}^{n}}
4152:To define differential forms on open subsets
4040:
4027:
3734:{\displaystyle (\phi ^{1},\ldots ,\phi ^{n})}
1275:{\displaystyle (\phi ^{1},\ldots ,\phi ^{n})}
12242:
12230:
9044:
9012:
8727:
8631:
8394:
8362:
8336:
8304:
8032:
8003:
5684:be a smooth function. We define the 1-form
5614:differential forms constructed from smooth (
5600:{\displaystyle f\in C^{0}(U)=\Omega ^{0}(U)}
2606:, or, using the notation for the isomorphic
1904:(+1 if even, –1 if odd). As a consequence,
1893:{\displaystyle \operatorname {sgn}(\sigma )}
5875:{\displaystyle (df)_{p}(v_{p}):=Df|_{p}(v)}
5523:. By convention, a continuous function on
3787:{\displaystyle V^{*}={\mathcal {A}}^{1}(V)}
1335:{\displaystyle V^{*}={\mathcal {T}}^{1}(V)}
12154:The Kronecker delta is usually denoted by
11943:(2nd ed.). Van Nostrand. p. 50.
11462:Using more sophisticated machinery (e.g.,
10491:-cell as the iterated Riemann integral of
7430:-form, while the exterior derivative of a
6911:
3501:{\displaystyle f\in {\mathcal {A}}^{k}(V)}
3012:{\displaystyle f\in {\mathcal {A}}^{k}(V)}
1676:, which have the additional property that
422:{\displaystyle f\in {\mathcal {T}}^{k}(V)}
12198:{\displaystyle \delta _{ij}=\delta (i,j)}
11584:{\displaystyle \omega \in \Omega ^{k}(M)}
11529:
11332:{\displaystyle A\subset \mathbb {R} ^{m}}
11319:
11222:
10817:{\displaystyle \omega \in \Omega ^{n}(A)}
10755:
10663:
10588:
10448:
10400:
10325:
10193:
10173:
10126:
9804:
9743:
9675:
9660:
8991:
8868:
8779:{\displaystyle \omega \in \Omega ^{k}(U)}
8342:{\displaystyle I=\{i_{1},\ldots ,i_{k}\}}
7878:
7634:
7066:
7005:
6955:
6821:
6770:
6655:
6629:
6510:
6219:
6113:
6020:
6006:
5926:
5912:
5775:
5670:
5656:
5516:{\displaystyle \omega \in \Omega ^{k}(U)}
5297:
5203:
5121:{\displaystyle U\subset \mathbb {R} ^{n}}
5108:
5032:
4998:
4984:
4958:
4926:
4893:
4858:
4809:
4775:
4741:
4634:
4424:
4389:
4322:
4288:
4259:
4200:
4180:{\displaystyle U\subset \mathbb {R} ^{n}}
4167:
4079:
2867:
2714:
2462:
1957:{\displaystyle \sigma (p)=q,\sigma (q)=p}
232:
12134:. W. A. Benjamin, Inc. pp. 75–146.
10471:), we define its integral over the unit
8542:{\displaystyle I\cap J\neq \varnothing }
7306:Basic operations on differential k-forms
7195:{\textstyle v=\sum _{i=1}^{n}v^{i}e_{i}}
6296:, then application of the definition of
2219:With the additional hypothesis that the
10961:
9050:{\displaystyle \{i_{1},\ldots ,i_{k}\}}
6828:{\displaystyle a_{i}:U\to \mathbb {R} }
6376:{\displaystyle dx_{p}^{i}(v_{p})=v^{i}}
5077:
2510:
2486:
259:
12433:
12376:
12124:
11935:
11591:on a general smooth manifold is a map
4766:. In other words, each tangent space
4502:{\displaystyle v_{p}+w_{p}:=(v+w)_{p}}
11854:{\displaystyle {\mathcal {T}}_{k}(V)}
11790:{\displaystyle {\mathcal {T}}^{k}(V)}
11733:
8574:{\displaystyle \omega \wedge \eta =0}
7247:{\displaystyle (e_{1},\ldots ,e_{n})}
7131:{\displaystyle (v^{1},\ldots ,v^{n})}
7079:{\displaystyle v\in \mathbb {R} ^{n}}
6289:{\displaystyle (v^{1},\ldots ,v^{n})}
6126:{\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{n}}
4906:{\displaystyle p\in \mathbb {R} ^{n}}
4618:{\displaystyle (e_{1},\ldots ,e_{n})}
4437:{\displaystyle p\in \mathbb {R} ^{n}}
4402:{\displaystyle v\in \mathbb {R} ^{n}}
4272:{\displaystyle T_{p}\mathbb {R} ^{n}}
4102:
3985:{\displaystyle {\mathcal {A}}^{k}(V)}
3945:{\displaystyle {\mathcal {A}}^{k}(V)}
3662:{\displaystyle (v_{1},\ldots ,v_{n})}
2728:) are trivially alternating, so that
2599:{\displaystyle {\mathcal {A}}^{k}(V)}
2559:{\displaystyle {\mathcal {T}}^{k}(V)}
1533:{\displaystyle {\mathcal {T}}^{k}(V)}
1493:{\displaystyle {\mathcal {T}}^{k}(V)}
1183:{\displaystyle (v_{1},\ldots ,v_{n})}
348:{\displaystyle {\mathcal {L}}^{k}(V)}
308:{\displaystyle {\mathcal {T}}^{k}(V)}
11895:
11893:
11891:
11209:, allows us to state the celebrated
9087:In the previous section, the 1-form
8432:{\displaystyle I\cap J=\varnothing }
7996:Furthermore, for any set of indices
6528:{\displaystyle \mathbb {R} _{p}^{n}}
4800:can simply be regarded as a copy of
4793:{\displaystyle \mathbb {R} _{p}^{n}}
4759:{\displaystyle \mathbb {R} _{p}^{n}}
4732:is the analogous standard basis for
4340:{\displaystyle \mathbb {R} _{p}^{n}}
4306:{\displaystyle \mathbb {R} _{p}^{n}}
11911:(2nd ed.). Springer. pp.
9226:. If the standard presentation of
8458:{\displaystyle \omega \wedge \eta }
4137:, a sweeping generalization of the
2937:
13:
12408:
12087:
11971:
11899:
11831:
11767:
11632:
11563:
11436:
11173:
11021:{\textstyle C=\sum _{i}n_{i}c_{i}}
10796:
10434:
9790:
9729:
9166:
9144:
8758:
7546:
7524:
7502:
7276:
7268:
6989:
6981:
6939:
6931:
6613:
6197:. If the standard coordinates of
6167:; they are conventionally denoted
5626:
5579:
5495:
5413:
5281:
5194:-covector on the tangent space of
4187:, we first need the notion of the
4031:
3962:
3922:
3764:
3524:
3478:
3087:
3035:
2989:
2843:
2817:
2764:
2738:
2576:
2536:
1510:
1470:
1312:
517:
465:
399:
325:
285:
115:{\displaystyle f\colon V^{k}\to K}
14:
12462:
12379:, pp. 98–99 for a discussion
11888:
11131:An appropriate definition of the
10968:{\displaystyle {\boldsymbol {n}}}
8536:
8426:
5084:{\displaystyle {\boldsymbol {k}}}
2517:{\displaystyle {\boldsymbol {k}}}
2493:{\displaystyle {\boldsymbol {k}}}
1575:
557:, can be defined by the property
358:
266:{\displaystyle {\boldsymbol {k}}}
11941:Finite-Dimensional Vector Spaces
11542:{\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}
11235:{\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}
10413:{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}
9645:Given a differentiable function
5216:{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}
5045:{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}
4939:{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}
4871:{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}
4822:{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}
4647:{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}
4213:{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}
2695:{\textstyle \bigwedge ^{k}V^{*}}
1844:
1829:
1643:{\displaystyle f:V\times V\to K}
12357:{\displaystyle \delta _{j}^{i}}
8921:
7202:in terms of the standard basis
6787:{\textstyle \sum a_{i}\,dx^{i}}
6490:{\displaystyle \delta _{j}^{i}}
5365:-covector field. The space of
4139:fundamental theorem of calculus
12367:
12266:
12263:
12251:
12227:
12192:
12180:
12148:
12118:
12108:{\displaystyle \Omega ^{k}(V)}
12102:
12096:
11992:{\displaystyle \Omega ^{k}(V)}
11986:
11980:
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11278:
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9153:
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8767:
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5566:
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5504:
5434:{\displaystyle \Omega ^{k}(U)}
5428:
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4664:
4661:
4612:
4580:
4573:, respectively. Moreover, if
4554:
4541:
4535:
4522:
4490:
4477:
4073:
4061:
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3573:
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1700:
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1634:
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1001:
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476:
416:
410:
342:
336:
302:
296:
106:
1:
11719:
11520:(not necessarily embedded in
10782:. To define the integral of
2281:{\displaystyle x_{p}=x_{q}=x}
1674:alternating multilinear forms
1662:Alternating multilinear forms
11907:An Introduction to Manifolds
11797:to denote the contravariant
5325:. In brief, a differential
2721:{\displaystyle \mathbb {R} }
2469:{\displaystyle \mathbb {R} }
2288:implies as a corollary that
239:{\displaystyle \mathbb {R} }
7:
12079:. In this article, we use
11687:
11189:, known as the boundary of
8786:can be written in the form
5634:{\displaystyle C^{\infty }}
3952:. Hence, the dimension of
3455:{\displaystyle S_{k+\ell }}
2414:An alternating multilinear
2221:characteristic of the field
1668:Alternating multilinear map
1570:
10:
12467:
12417:{\displaystyle \partial C}
11182:{\displaystyle \partial C}
6098:th standard coordinate of
5543:is a differential 0-form:
4625:is the standard basis for
4106:
2706:(multilinear 1-forms over
1665:
1658:(dot product) of vectors.
1579:
1210:-dimensional vector space
7423:{\displaystyle (k+\ell )}
6156:{\displaystyle d\pi ^{i}}
5128:is defined as a function
2907:{\displaystyle n\times n}
11861:to denote the covariant
9314:{\displaystyle d\omega }
7258:of an expression (as in
6690:. As a consequence, if
4141:to higher dimensions.
4131:differentiable manifolds
3794:, the exterior products
2478:multicovector of degree
12401:maps to a square, then
11500:of any smooth manifold
11260:{\displaystyle \omega }
9510:{\displaystyle \omega }
9259:{\displaystyle \omega }
9219:{\displaystyle k\geq 1}
9075:{\displaystyle \omega }
8594:{\displaystyle \omega }
7327:{\displaystyle \wedge }
6743:{\displaystyle \omega }
6703:{\displaystyle \omega }
5454:{\displaystyle \omega }
5141:{\displaystyle \omega }
4946:and is usually denoted
3422:{\displaystyle k+\ell }
2962:{\displaystyle \wedge }
2914:matrices, viewed as an
2566:, is generally denoted
12418:
12395:
12358:
12332:. Here, the notation
12326:
12199:
12109:
12073:
12053:
12033:
12013:
11993:
11879:
11855:
11815:
11791:
11704:Homogeneous polynomial
11666:
11585:
11543:
11514:
11494:
11493:{\displaystyle T_{p}M}
11460:
11451:
11399:
11378:
11355:
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11261:
11236:
11203:
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11122:
11043:
11022:
10969:
10943:
10858:
10844:, we "pull back" from
10838:
10818:
10769:
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10505:
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9865:
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9689:
9626:closed and exact forms
9616:
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9517:vanishes identically:
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8575:
8543:
8511:
8459:
8439:, then the indices of
8433:
8401:
8343:
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5167:{\displaystyle p\in U}
5148:that assigns to every
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1656:standard inner product
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9871:and define it as the
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9266:is given by (*), the
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2601:
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1560:{\displaystyle n^{k}}
1535:
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