1176:
1593:
1020:
1025:
1444:
872:
1255:
689:
498:
354:
623:
1205:
396:
1400:
292:
1439:
789:
573:
246:
200:
436:
1280:
815:
746:
534:
1671:
1304:
1648:
1618:
1350:
1329:
1229:
859:
835:
161:
141:
120:
99:
1171:{\displaystyle f(x_{\sigma (1)},\dots ,x_{\sigma (n)})=(\operatorname {sgn} \sigma )f(x_{1},\dots ,x_{n})\quad {\text{ for any }}\sigma \in \mathrm {S} _{n},}
866:
1588:{\displaystyle g(x_{1},\ldots ,x_{n})\mathrel {:=} \sum _{\sigma \in S_{n}}\operatorname {sgn}(\sigma )f(x_{\sigma (1)},\ldots ,x_{\sigma (n)})}
1935:
1881:
73:) is used to derive an alternating multilinear map from any multilinear map of which all arguments belong to the same space.
1015:{\displaystyle f(\dots ,x_{i},x_{i+1},\dots )=-f(\dots ,x_{i+1},x_{i},\dots )\quad {\text{ for any }}1\leq i\leq n-1,}
1908:
1959:
1954:
1727:
1234:
17:
633:
442:
298:
1873:
1964:
582:
1181:
363:
1363:
251:
1405:
751:
539:
166:
1258:
401:
213:
1265:
794:
54:) that is zero whenever any pair of its arguments is equal. This generalizes directly to a
724:
55:
8:
1737:
1717:
1700:
513:
35:
1653:
1286:
1677:
1633:
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1307:
1214:
844:
838:
820:
626:
146:
126:
105:
84:
1931:
1914:
1904:
1887:
1877:
1732:
1208:
1844:
1747:
713:
of a matrix is a multilinear alternating map of the rows or columns of the matrix.
59:
51:
1742:
1696:
43:
1752:
1948:
1704:
1688:
47:
1918:
1891:
1722:
1684:
1903:. Graduate Texts in Mathematics. Vol. 148 (4th ed.). Springer.
710:
706:
702:
536:
be vector spaces over the same field. Then a multilinear map of the form
31:
1865:
1692:
1691:
is bilinear. This fact plays a crucial role in identifying the second
46:
with all arguments belonging to the same vector space (for example, a
27:
Multilinear map that is 0 whenever arguments are linearly dependent
1851:. Vol. Algèbre Chapitres 1 à 3 (reprint ed.). Springer.
1782:
1799:
1797:
1794:
1772:
1770:
1768:
575:
is alternating if it satisfies the following condition:
1765:
1687:
is bilinear. Most notably, the alternatization of any
366:
216:
1728:
Exterior algebra § Alternating multilinear forms
1656:
1636:
1606:
1447:
1408:
1366:
1338:
1317:
1289:
1268:
1237:
1217:
1184:
1028:
875:
847:
823:
797:
754:
727:
636:
585:
542:
516:
445:
404:
301:
254:
206:
if it satisfies the following equivalent conditions:
169:
149:
129:
108:
87:
1809:
1876:. Vol. 211 (revised 3rd ed.). Springer.
1665:
1642:
1612:
1587:
1433:
1394:
1344:
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1298:
1274:
1249:
1223:
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1170:
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853:
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740:
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286:
240:
194:
155:
135:
114:
93:
748:of an alternating multilinear map is replaced by
1946:
1821:
862:, then the value of that map is not changed.
1856:Dummit, David S.; Foote, Richard M. (2004).
1855:
1803:
1250:{\displaystyle \operatorname {sgn} \sigma }
1843:
1788:
684:{\displaystyle f(x_{1},\ldots ,x_{n})=0}
493:{\displaystyle f(x_{1},\ldots ,x_{n})=0}
349:{\displaystyle f(x_{1},\ldots ,x_{n})=0}
1901:An Introduction to the Theory of Groups
14:
1947:
1898:
1815:
865:Every alternating multilinear map is
709:is an alternating bilinear map. The
1864:
1776:
1360:Given a multilinear map of the form
618:{\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}}
24:
1925:
1827:
1355:
1352:-multilinear form is alternating.
1187:
1155:
25:
1976:
1650:-multilinear alternating map is
1402:the alternating multilinear map
1200:{\displaystyle \mathrm {S} _{n}}
505:
391:{\textstyle 1\leq i\neq j\leq n}
163:. A multilinear map of the form
1141:
982:
1582:
1577:
1571:
1549:
1543:
1532:
1526:
1520:
1483:
1451:
1425:
1383:
1138:
1106:
1100:
1088:
1082:
1077:
1071:
1049:
1043:
1032:
979:
935:
923:
879:
672:
640:
559:
481:
449:
337:
305:
186:
13:
1:
1874:Graduate Texts in Mathematics
1837:
1395:{\displaystyle f:V^{n}\to W,}
716:
287:{\displaystyle x_{i}=x_{i+1}}
76:
1930:. Springer-Verlag New York.
1928:An Introduction to Manifolds
1434:{\displaystyle g:V^{n}\to W}
784:{\displaystyle x_{i}+cx_{j}}
568:{\displaystyle f:V^{n}\to W}
241:{\textstyle 1\leq i\leq n-1}
195:{\displaystyle f:V^{n}\to W}
7:
1711:
1332:, then every antisymmetric
431:{\displaystyle x_{i}=x_{j}}
40:alternating multilinear map
10:
1981:
1899:Rotman, Joseph J. (1995).
1630:The alternatization of an
696:
101:be a commutative ring and
1683:The alternatization of a
1676:The alternatization of a
1849:Eléments de mathématique
1758:
1804:Dummit & Foote 2004
1275:{\displaystyle \sigma }
810:{\displaystyle j\neq i}
34:, more specifically in
1960:Mathematical relations
1955:Functions and mappings
1926:Tu, Loring W. (2011).
1860:(3rd ed.). Wiley.
1667:
1644:
1614:
1589:
1435:
1396:
1346:
1325:
1300:
1276:
1251:
1225:
1201:
1172:
1016:
855:
831:
811:
785:
742:
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392:
360:whenever there exists
350:
288:
242:
210:whenever there exists
196:
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137:
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1668:
1645:
1615:
1590:
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1017:
856:
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741:{\displaystyle x_{i}}
686:
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570:
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393:
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243:
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138:
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1654:
1634:
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1235:
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1182:
1026:
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795:
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364:
299:
252:
214:
167:
147:
127:
106:
85:
1965:Multilinear algebra
1738:Multilinear algebra
1718:Alternating algebra
1144: for any
985: for any
529:{\displaystyle V,W}
36:multilinear algebra
1779:, pp. 511–512
1666:{\displaystyle n!}
1663:
1640:
1610:
1595:is said to be the
1585:
1513:
1431:
1392:
1342:
1321:
1299:{\displaystyle n!}
1296:
1272:
1247:
1221:
1197:
1168:
1022:or equivalently,
1012:
851:
827:
807:
781:
738:
681:
627:linearly dependent
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565:
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346:
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133:
112:
91:
1937:978-1-4419-7400-6
1883:978-0-387-95385-4
1733:Map (mathematics)
1643:{\displaystyle n}
1613:{\displaystyle f}
1491:
1345:{\displaystyle n}
1324:{\displaystyle R}
1310:in the base ring
1224:{\displaystyle n}
1209:permutation group
1145:
986:
854:{\displaystyle R}
830:{\displaystyle c}
721:If any component
156:{\displaystyle R}
136:{\displaystyle W}
115:{\displaystyle V}
94:{\displaystyle R}
16:(Redirected from
1972:
1941:
1922:
1895:
1861:
1858:Abstract Algebra
1852:
1831:
1825:
1819:
1813:
1807:
1801:
1792:
1786:
1780:
1774:
1748:Multilinear form
1693:cohomology group
1672:
1670:
1669:
1664:
1649:
1647:
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1641:
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1619:
1617:
1616:
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896:
869:, meaning that
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335:
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263:
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244:
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198:
193:
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184:
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160:
159:
154:
143:be modules over
142:
140:
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52:multilinear form
21:
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1979:
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1743:Multilinear map
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1703:of alternating
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1597:alternatization
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1373:
1365:
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1361:
1358:
1356:Alternatization
1337:
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511:
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