8013:
5530:
8008:{\displaystyle {\begin{array}{r|l}{\text{General case}}&(P,Q)=(1,-1)\\\hline (P^{2}-4Q)U_{n}={V_{n+1}-QV_{n-1}}=2V_{n+1}-PV_{n}&5F_{n}={L_{n+1}+L_{n-1}}=2L_{n+1}-L_{n}\\V_{n}=U_{n+1}-QU_{n-1}=2U_{n+1}-PU_{n}&L_{n}=F_{n+1}+F_{n-1}=2F_{n+1}-F_{n}\\U_{2n}=U_{n}V_{n}&F_{2n}=F_{n}L_{n}\\V_{2n}=V_{n}^{2}-2Q^{n}&L_{2n}=L_{n}^{2}-2(-1)^{n}\\U_{m+n}=U_{n}U_{m+1}-QU_{m}U_{n-1}={\frac {U_{m}V_{n}+U_{n}V_{m}}{2}}&F_{m+n}=F_{n}F_{m+1}+F_{m}F_{n-1}={\frac {F_{m}L_{n}+F_{n}L_{m}}{2}}\\V_{m+n}=V_{m}V_{n}-Q^{n}V_{m-n}=DU_{m}U_{n}+Q^{n}V_{m-n}&L_{m+n}=L_{m}L_{n}-(-1)^{n}L_{m-n}=5F_{m}F_{n}+(-1)^{n}L_{m-n}\\V_{n}^{2}-DU_{n}^{2}=4Q^{n}&L_{n}^{2}-5F_{n}^{2}=4(-1)^{n}\\U_{n}^{2}-U_{n-1}U_{n+1}=Q^{n-1}&F_{n}^{2}-F_{n-1}F_{n+1}=(-1)^{n-1}\\V_{n}^{2}-V_{n-1}V_{n+1}=DQ^{n-1}&L_{n}^{2}-L_{n-1}L_{n+1}=5(-1)^{n-1}\\DU_{n}=V_{n+1}-QV_{n-1}&F_{n}={\frac {L_{n+1}+L_{n-1}}{5}}\\V_{m+n}={\frac {V_{m}V_{n}+DU_{m}U_{n}}{2}}&L_{m+n}={\frac {L_{m}L_{n}+5F_{m}F_{n}}{2}}\\U_{m+n}=U_{m}V_{n}-Q^{n}U_{m-n}&F_{n+m}=F_{m}L_{n}-(-1)^{n}F_{m-n}\\2^{n-1}U_{n}={n \choose 1}P^{n-1}+{n \choose 3}P^{n-3}D+\cdots &2^{n-1}F_{n}={n \choose 1}+5{n \choose 3}+\cdots \\2^{n-1}V_{n}=P^{n}+{n \choose 2}P^{n-2}D+{n \choose 4}P^{n-4}D^{2}+\cdots &2^{n-1}L_{n}=1+5{n \choose 2}+5^{2}{n \choose 4}+\cdots \end{array}}}
2815:
2271:
2810:{\displaystyle {\begin{array}{r|l|l}n&U_{n}(P,Q)&V_{n}(P,Q)\\\hline 0&0&2\\1&1&P\\2&P&{P}^{2}-2Q\\3&{P}^{2}-Q&{P}^{3}-3PQ\\4&{P}^{3}-2PQ&{P}^{4}-4{P}^{2}Q+2{Q}^{2}\\5&{P}^{4}-3{P}^{2}Q+{Q}^{2}&{P}^{5}-5{P}^{3}Q+5P{Q}^{2}\\6&{P}^{5}-4{P}^{3}Q+3P{Q}^{2}&{P}^{6}-6{P}^{4}Q+9{P}^{2}{Q}^{2}-2{Q}^{3}\end{array}}}
2171:
1447:
1897:
1674:
1128:
888:
1908:
1165:
1685:
1462:
3098:
899:
656:
10827:
as in RSA or Diffie–Hellman. However, a paper by
Bleichenbacher et al. shows that many of the supposed security advantages of LUC over cryptosystems based on modular exponentiation are either not present, or not as substantial as
8950:
3617:
4257:
5169:
4134:
4720:
4596:
3496:
5290:
3421:
5390:
4484:
3900:
4003:
2166:{\displaystyle {\begin{bmatrix}U_{n}(P,Q)\\V_{n}(P,Q)\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}P/2&1/2\\(P^{2}-4Q)/2&P/2\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}U_{n-1}(P,Q)\\V_{n-1}(P,Q)\end{bmatrix}}.}
1170:
904:
661:
205:
9408:
9305:
3209:
1442:{\displaystyle {\begin{aligned}U_{n}(P,Q)&={\frac {P\cdot U_{n-1}(P,Q)+V_{n-1}(P,Q)}{2}},\\V_{n}(P,Q)&={\frac {(P^{2}-4Q)\cdot U_{n-1}(P,Q)+P\cdot V_{n-1}(P,Q)}{2}}.\end{aligned}}}
3758:
8375:
8169:
4837:
4785:
1892:{\displaystyle {\begin{bmatrix}V_{n}(P,Q)\\V_{n+1}(P,Q)\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0&1\\-Q&P\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}V_{n-1}(P,Q)\\V_{n}(P,Q)\end{bmatrix}},}
1669:{\displaystyle {\begin{bmatrix}U_{n}(P,Q)\\U_{n+1}(P,Q)\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0&1\\-Q&P\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}U_{n-1}(P,Q)\\U_{n}(P,Q)\end{bmatrix}},}
3674:
4937:
3250:
5522:
5461:
2959:
9160:
8803:
9954:
9910:
4883:
8854:
8765:
8614:
8314:
8066:
343:
8269:
8215:
8108:
5025:
4983:
4378:
4336:
3019:
3007:
2907:
2865:
2263:
2221:
644:
602:
429:
387:
298:
115:
73:
3140:
8412:
4294:
3341:
9026:
1157:
10889:
10862:
9524:
9497:
9462:
9359:
9256:
9206:
9122:
9072:
9000:
8714:
8683:
8641:
8555:
8520:
8470:
8443:
3794:
3307:
3280:
1123:{\displaystyle {\begin{aligned}V_{0}(P,Q)&=2,\\V_{1}(P,Q)&=P,\\V_{n}(P,Q)&=P\cdot V_{n-1}(P,Q)-Q\cdot V_{n-2}(P,Q){\mbox{ for }}n>1.\end{aligned}}}
883:{\displaystyle {\begin{aligned}U_{0}(P,Q)&=0,\\U_{1}(P,Q)&=1,\\U_{n}(P,Q)&=P\cdot U_{n-1}(P,Q)-Q\cdot U_{n-2}(P,Q){\mbox{ for }}n>1,\end{aligned}}}
9866:
9844:
3708:
560:
540:
473:
453:
248:
228:
8870:
3515:
4140:
4028:
9429:
states that all but finitely many of the terms in a Lucas sequence have a primitive prime factor. Indeed, Carmichael (1913) showed that if
4602:
10768:
10757:
10738:
10727:
10708:
10697:
10678:
10667:
10648:
10629:
10610:
10591:
10580:
10561:
10550:
10531:
10520:
10501:
10490:
10471:
10452:
10441:
10422:
10403:
10392:
10373:
10362:
10343:
10332:
10313:
10302:
10283:
10272:
10253:
10242:
10223:
10212:
10193:
10174:
10155:
10136:
10117:
10106:
10087:
10076:
10057:
10046:
10027:
10016:
9997:
9986:
9967:
9815:
5032:
2276:
4490:
3429:
5190:
3357:
11583:
11472:
11409:
11149:
5296:
4390:
3802:
3908:
11571:
5535:
133:
9364:
9261:
11498:
11371:
3146:
10801:
11165:
10823:(LUCRSA). The encryption of the message in LUC is computed as a term of certain Lucas sequence, instead of using
9316:
10794:
3713:
11645:
8319:
8113:
9632:
9323:
of the last fact does not hold, as the converse of Fermat's little theorem does not hold. There exists a
11598:
10918:
3625:
118:
3215:
11650:
9312:
8226:
5469:
5408:
2915:
11565:
11334:
11193:
11108:
9678:
9127:
8770:
4889:
3093:{\displaystyle a={\frac {P+{\sqrt {D}}}{2}}\quad {\text{and}}\quad b={\frac {P-{\sqrt {D}}}{2}}.\,}
9916:
9872:
4790:
4738:
10808:
9426:
8819:
8730:
8579:
8278:
8026:
303:
8232:
8178:
8071:
4988:
4946:
4341:
4299:
2970:
2870:
2828:
2226:
2184:
607:
565:
392:
350:
261:
78:
36:
11575:
11329:
11103:
10824:
9601:
11592:
9421:
of a term in a Lucas sequence that does not divide any earlier term in the sequence is called
3109:
10913:
9756:
9736:
9698:
8391:
8378:
8172:
4848:
4270:
3320:
9005:
1136:
11424:
11351:
11292:
11233:
11050:
11024:
10867:
10840:
9502:
9475:
9440:
9337:
9234:
9184:
9100:
9050:
8978:
8692:
8661:
8655:
8619:
8573:
8533:
8498:
8448:
8421:
8415:
3767:
3285:
3258:
3010:
1453:
10804:, and the N+1 and hybrid N−1/N+1 methods such as those in Brillhart-Lehmer-Selfridge 1975.
8:
9850:
9828:
5402:
The terms of Lucas sequences satisfy relations that are generalizations of those between
4019:
3687:
647:
125:
11428:
11237:
11557:
11525:
11366:. Progress in Mathematics. Vol. 126 (2nd ed.). Birkhäuser. pp. 107–121.
11249:
11213:
11080:
11028:
10997:
10816:
545:
525:
458:
438:
255:
233:
213:
11075:
11058:
11606:
11579:
11529:
11494:
11468:
11367:
11145:
11032:
10908:
10790:
9717:
9617:
9411:
499:
11320:
Lagarias, J. C. (1985). "The set of primes dividing Lucas
Numbers has density 2/3".
3309:
also satisfy the recurrence relation. However these might not be integer sequences.
11609:
11517:
11460:
11432:
11394:
11339:
11278:
11270:
11241:
11205:
11135:
11070:
11012:
9556:
9324:
9320:
8480:
5403:
483:
121:
11440:
11274:
511:
11490:
11482:
11456:
11347:
11302:"The divisibility properties of primary Lucas Recurrences with respect to primes"
11288:
11124:
11020:
10820:
9647:
8953:
8945:{\displaystyle U_{p}\equiv \left({\tfrac {D}{p}}\right),V_{p}\equiv P{\pmod {p}}}
3612:{\displaystyle U_{n}={\frac {a^{n}-b^{n}}{a-b}}={\frac {a^{n}-b^{n}}{\sqrt {D}}}}
487:
11538:
11045:
10963:
11561:
11301:
11054:
11046:
9468:
is negative, a deep result of Bilu, Hanrot, Voutier and
Mignotte shows that if
11464:
11283:
11639:
11343:
11140:
9663:
4381:
503:
11399:
11382:
11261:
Ward, Morgan (1954). "Prime divisors of second order recurring sequences".
10996:
Bilu, Yuri; Hanrot, Guillaume; Voutier, Paul M.; Mignotte, Maurice (2001).
9571:
9418:
8218:
5464:
4252:{\displaystyle \sum _{n\geq 0}V_{n}(P,Q)z^{n}={\frac {2-Pz}{1-Pz+Qz^{2}}}.}
2965:
2825:
The characteristic equation of the recurrence relation for Lucas sequences
495:
254:. Any sequence satisfying this recurrence relation can be represented as a
20:
11436:
11016:
3501:
It follows that the terms of Lucas sequences can be expressed in terms of
11359:
9586:
491:
476:
27:
10800:
Lucas sequences are used in some primality proof methods, including the
4725:
4129:{\displaystyle \sum _{n\geq 0}U_{n}(P,Q)z^{n}={\frac {z}{1-Pz+Qz^{2}}};}
11521:
11253:
11217:
11084:
432:
11134:. Lecture Notes in Computer Science. Vol. 963. pp. 386–396.
11122:
11614:
11098:
P. J. Smith; M. J. J. Lennon (1993). "LUC: A new public key system".
11245:
11209:
11624:
10812:
9780:
251:
11224:
Lehmer, D. H. (1930). "An extended theory of Lucas' functions".
11196:(1913), "On the numerical factors of the arithmetic forms α±β",
9662: : Numbers of the form 2 + 1, which include the
4715:{\displaystyle V_{2n+1}(P,-1)^{2}-D\cdot U_{2n+1}(P,-1)^{2}=-4.}
11628:
5164:{\displaystyle P'^{2}-4Q'=(P+2c)^{2}-4(cP+Q+c^{2})=P^{2}-4Q=D.}
507:
11539:"A simple proof of Carmichael's theorem on primitive divisors"
10964:"A simple proof of Carmichael's theorem on primitive divisors"
11508:
Luca, Florian (2000). "Perfect
Fibonacci and Lucas numbers".
11100:
Proceedings of the Ninth IFIP Int. Symp. On
Computer Security
10998:"Existence of primitive divisors of Lucas and Lehmer numbers"
10772:
10761:
10742:
10731:
10712:
10701:
10682:
10671:
10652:
10633:
10614:
10595:
10584:
10565:
10554:
10535:
10524:
10505:
10494:
10475:
10456:
10445:
10426:
10407:
10396:
10377:
10366:
10347:
10336:
10317:
10306:
10287:
10276:
10257:
10246:
10227:
10216:
10197:
10178:
10159:
10140:
10121:
10110:
10091:
10080:
10061:
10050:
10031:
10020:
10001:
9990:
9971:
4591:{\displaystyle V_{2n}(P,-1)^{2}-D\cdot U_{2n}(P,-1)^{2}=4,}
11097:
3491:{\displaystyle b^{n}={\frac {V_{n}-U_{n}{\sqrt {D}}}{2}}.}
11487:
My
Numbers, My Friends: Popular Lectures on Number Theory
10995:
5285:{\displaystyle U_{n}(cP,c^{2}Q)=c^{n-1}\cdot U_{n}(P,Q),}
3416:{\displaystyle a^{n}={\frac {V_{n}+U_{n}{\sqrt {D}}}{2}}}
11567:
10811:
based on Lucas sequences that implements the analogs of
11604:
5385:{\displaystyle V_{n}(cP,c^{2}Q)=c^{n}\cdot V_{n}(P,Q).}
4479:{\displaystyle V_{n}(P,1)^{2}-D\cdot U_{n}(P,1)^{2}=4,}
9499:
has a primitive prime factor and determines all cases
9385:
9282:
8892:
2083:
1990:
1917:
1815:
1773:
1694:
1592:
1550:
1471:
1101:
858:
10937:
For such relations and divisibility properties, see (
10870:
10843:
9919:
9875:
9853:
9831:
9505:
9478:
9443:
9367:
9340:
9264:
9237:
9187:
9130:
9103:
9053:
9008:
8981:
8873:
8822:
8773:
8733:
8695:
8664:
8622:
8582:
8536:
8501:
8451:
8424:
8394:
8322:
8281:
8235:
8181:
8116:
8074:
8029:
5533:
5472:
5411:
5299:
5193:
5035:
4991:
4949:
4892:
4851:
4793:
4741:
4726:
Relations between sequences with different parameters
4605:
4493:
4393:
4344:
4302:
4273:
4143:
4031:
3911:
3895:{\displaystyle U_{n}(P,Q)=U_{n}(2S,S^{2})=nS^{n-1}\,}
3805:
3770:
3716:
3690:
3628:
3518:
3432:
3360:
3323:
3288:
3261:
3218:
3149:
3112:
3022:
2973:
2918:
2873:
2831:
2274:
2229:
2187:
1911:
1688:
1465:
1168:
1139:
902:
659:
610:
568:
548:
528:
461:
441:
395:
353:
306:
264:
236:
216:
136:
81:
39:
11364:
Prime
Numbers and Computer Methods for Factorization
11059:"New Primality Criteria and Factorizations of 2 ± 1"
3998:{\displaystyle V_{n}(P,Q)=V_{n}(2S,S^{2})=2S^{n}.\,}
11570:. Dolciani Mathematical Expositions. Vol. 27.
11123:D. Bleichenbacher; W. Bosma; A. K. Lenstra (1995).
200:{\displaystyle x_{n}=P\cdot x_{n-1}-Q\cdot x_{n-2}}
10883:
10856:
9948:
9904:
9860:
9838:
9518:
9491:
9456:
9402:
9353:
9299:
9250:
9200:
9154:
9116:
9066:
9020:
8994:
8944:
8848:
8797:
8759:
8708:
8677:
8635:
8608:
8549:
8514:
8464:
8437:
8406:
8369:
8308:
8263:
8209:
8163:
8102:
8060:
8007:
5516:
5455:
5384:
5284:
5163:
5019:
4977:
4931:
4877:
4831:
4779:
4714:
4590:
4478:
4372:
4330:
4288:
4251:
4128:
3997:
3894:
3788:
3752:
3702:
3668:
3611:
3490:
3415:
3335:
3301:
3274:
3244:
3203:
3134:
3092:
3001:
2953:
2901:
2859:
2809:
2257:
2215:
2165:
1891:
1668:
1441:
1151:
1122:
882:
638:
596:
554:
534:
467:
447:
423:
381:
337:
292:
242:
222:
199:
109:
67:
11380:
506:(see below). Lucas sequences are named after the
11637:
9403:{\displaystyle l=n-\left({\tfrac {D}{n}}\right)}
9300:{\displaystyle l=p-\left({\tfrac {D}{p}}\right)}
8282:
11410:"Efficient computation of full Lucas sequences"
3204:{\displaystyle ab={\frac {1}{4}}(P^{2}-D)=Q\,,}
482:Famous examples of Lucas sequences include the
11407:
8384:Other divisibility properties are as follows:
8225:is prime. Another consequence is an analog of
11556:
11381:Ribenboim, Paulo; McDaniel, Wayne L. (1996).
7989:
7976:
7954:
7941:
7860:
7847:
7816:
7803:
7742:
7729:
7714:
7701:
7636:
7623:
7595:
7582:
16:Certain constant-recursive integer sequences
11358:
11125:"Some Remarks on Lucas-Based Cryptosystems"
10793:tests, which are part of the commonly used
9464:has a primitive prime factor. In the case
3351:are distinct and one quickly verifies that
11192:
10938:
10789:Lucas sequences are used in probabilistic
8018:
11481:
11450:
11398:
11333:
11282:
11166:"Combinatorial Functions - Combinatorics"
11139:
11107:
11074:
10946:
9945:
9901:
9857:
9835:
9816:On-Line Encyclopedia of Integer Sequences
9814:Some Lucas sequences have entries in the
3994:
3891:
3753:{\displaystyle P=2S{\text{ and }}Q=S^{2}}
3665:
3238:
3197:
3128:
3089:
2950:
11319:
10957:
10955:
562:, the Lucas sequences of the first kind
19:Not to be confused with the sequence of
9534:The Lucas sequences for some values of
4013:
2820:
517:
23:, which is a particular Lucas sequence.
11638:
11536:
11223:
10961:
10942:
8370:{\displaystyle (U_{m}(P,Q))_{m\geq 1}}
8164:{\displaystyle (U_{m}(P,Q))_{m\geq 1}}
11605:
11383:"The square terms in Lucas Sequences"
11299:
10952:
3796:. In this case one easily finds that
1452:The above relations can be stated in
11507:
11453:The New Book of Prime Number Records
11408:Joye, M.; Quisquater, J.-J. (1996).
11260:
11039:
9223:is an odd prime and does not divide
8487:. If the smallest positive integer
8175:. This implies, in particular, that
11623:
11572:Mathematical Association of America
11132:Advances in Cryptology — CRYPT0' 95
8934:
8557:is exactly the set of multiples of
3669:{\displaystyle V_{n}=a^{n}+b^{n}\,}
13:
7980:
7945:
7851:
7807:
7733:
7705:
7627:
7586:
5397:
3245:{\displaystyle a-b={\sqrt {D}}\,.}
14:
11662:
11629:"Lucas Sequences in Cryptography"
11076:10.1090/S0025-5718-1975-0384673-1
9529:
9410:. Such a composite is called a
5517:{\displaystyle L_{n}=V_{n}(1,-1)}
5456:{\displaystyle F_{n}=U_{n}(1,-1)}
4262:
3312:
2181:Initial terms of Lucas sequences
1133:It is not hard to show that for
9677: : The square roots of the
9169:is an odd prime and divides not
9085:is an odd prime and divides not
8229:that allows fast computation of
3679:
347:More generally, Lucas sequences
10783:
9526:has no primitive prime factor.
9315:. These facts are used in the
8927:
8023:Among the consequences is that
3057:
3051:
11158:
11116:
11091:
10989:
10931:
9942:
9930:
9898:
9886:
8938:
8928:
8352:
8348:
8336:
8323:
8297:
8285:
8258:
8246:
8204:
8192:
8146:
8142:
8130:
8117:
8097:
8085:
8055:
8043:
7521:
7511:
7109:
7099:
6950:
6940:
6803:
6793:
6668:
6658:
6604:
6594:
6147:
6137:
5607:
5585:
5578:
5563:
5557:
5545:
5511:
5496:
5450:
5435:
5376:
5364:
5335:
5310:
5276:
5264:
5229:
5204:
5127:
5099:
5084:
5068:
5014:
5002:
4972:
4960:
4943:have the same discriminant as
4826:
4804:
4774:
4752:
4694:
4678:
4641:
4625:
4570:
4554:
4523:
4507:
4458:
4445:
4417:
4404:
4367:
4355:
4325:
4313:
4182:
4170:
4070:
4058:
3972:
3950:
3934:
3922:
3866:
3844:
3828:
3816:
3188:
3169:
2954:{\displaystyle x^{2}-Px+Q=0\,}
2896:
2884:
2854:
2842:
2333:
2321:
2306:
2294:
2252:
2240:
2210:
2198:
2149:
2137:
2114:
2102:
2043:
2021:
1971:
1959:
1942:
1930:
1875:
1863:
1846:
1834:
1754:
1742:
1719:
1707:
1652:
1640:
1623:
1611:
1531:
1519:
1496:
1484:
1423:
1411:
1383:
1371:
1349:
1327:
1314:
1302:
1276:
1264:
1242:
1230:
1195:
1183:
1097:
1085:
1057:
1045:
1013:
1001:
971:
959:
929:
917:
854:
842:
814:
802:
770:
758:
728:
716:
686:
674:
633:
621:
591:
579:
418:
406:
376:
364:
329:
317:
287:
275:
104:
92:
62:
50:
1:
11275:10.1215/S0012-7094-54-02163-8
11186:
9759:of first kind multiplied by 2
9155:{\displaystyle n=1,2,\ldots }
8798:{\displaystyle n=1,2,\ldots }
4932:{\displaystyle Q'=cP+Q+c^{2}}
4008:
522:Given two integer parameters
9949:{\displaystyle V_{n}(P,Q)\,}
9905:{\displaystyle U_{n}(P,Q)\,}
9035:is an odd prime and divides
8963:is an odd prime and divides
8379:strong divisibility sequence
4832:{\displaystyle V_{n}(P',Q')}
4780:{\displaystyle U_{n}(P',Q')}
7:
11599:Encyclopedia of Mathematics
10902:
10832:
9317:Lucas–Lehmer primality test
8849:{\displaystyle U_{n},V_{n}}
8760:{\displaystyle U_{n},V_{n}}
8609:{\displaystyle U_{n},V_{n}}
8309:{\displaystyle \gcd(P,Q)=1}
8061:{\displaystyle U_{km}(P,Q)}
2176:
338:{\displaystyle V_{n}(P,Q).}
10:
11667:
11063:Mathematics of Computation
10795:Baillie–PSW primality test
9311:The last fact generalizes
8264:{\displaystyle U_{n}(P,Q)}
8227:exponentiation by squaring
8210:{\displaystyle U_{n}(P,Q)}
8103:{\displaystyle U_{m}(P,Q)}
5020:{\displaystyle V_{n}(P,Q)}
4978:{\displaystyle U_{n}(P,Q)}
4373:{\displaystyle V_{n}(P,Q)}
4331:{\displaystyle U_{n}(P,Q)}
3002:{\displaystyle D=P^{2}-4Q}
2902:{\displaystyle V_{n}(P,Q)}
2860:{\displaystyle U_{n}(P,Q)}
2258:{\displaystyle V_{n}(P,Q)}
2216:{\displaystyle U_{n}(P,Q)}
639:{\displaystyle V_{n}(P,Q)}
597:{\displaystyle U_{n}(P,Q)}
424:{\displaystyle V_{n}(P,Q)}
382:{\displaystyle U_{n}(P,Q)}
293:{\displaystyle U_{n}(P,Q)}
110:{\displaystyle V_{n}(P,Q)}
68:{\displaystyle U_{n}(P,Q)}
18:
11510:Rend. Circ Matem. Palermo
11465:10.1007/978-1-4612-0759-7
11451:Ribenboim, Paulo (1996).
9679:square triangular numbers
11344:10.2140/pjm.1985.118.449
11300:Somer, Lawrence (1980).
11141:10.1007/3-540-44750-4_31
10924:
10802:Lucas–Lehmer–Riesel test
9633:Jacobsthal–Lucas numbers
9604:(companion Pell numbers)
8856:are even if and only if
8522:exists, then the set of
3135:{\displaystyle a+b=P\,,}
2265:are given in the table:
10919:Somer–Lucas pseudoprime
10809:public-key cryptosystem
9437:is not 1, 2 or 6, then
9313:Fermat's little theorem
8616:are always even except
8407:{\displaystyle n\mid m}
8019:Divisibility properties
4878:{\displaystyle P'=P+2c}
4289:{\displaystyle Q=\pm 1}
3336:{\displaystyle D\neq 0}
3255:Note that the sequence
604:and of the second kind
431:represent sequences of
258:of the Lucas sequences
11400:10.1006/jnth.1996.0068
10885:
10858:
10825:modular exponentiation
9950:
9906:
9862:
9840:
9520:
9493:
9458:
9404:
9355:
9301:
9252:
9202:
9156:
9118:
9068:
9022:
9021:{\displaystyle n>1}
8996:
8946:
8867:is an odd prime, then
8850:
8799:
8761:
8710:
8679:
8637:
8610:
8551:
8516:
8466:
8439:
8408:
8371:
8310:
8265:
8211:
8165:
8104:
8062:
8009:
5518:
5457:
5386:
5286:
5165:
5021:
4979:
4933:
4879:
4833:
4781:
4716:
4592:
4480:
4374:
4332:
4296:, the Lucas sequences
4290:
4253:
4130:
3999:
3896:
3790:
3754:
3704:
3670:
3613:
3492:
3417:
3337:
3303:
3276:
3246:
3205:
3136:
3094:
3003:
2955:
2903:
2861:
2811:
2259:
2217:
2167:
1893:
1670:
1443:
1153:
1152:{\displaystyle n>0}
1124:
884:
640:
598:
556:
536:
469:
449:
425:
383:
339:
294:
244:
224:
201:
111:
69:
11226:Annals of Mathematics
11198:Annals of Mathematics
11017:10.1515/crll.2001.080
10914:Frobenius pseudoprime
10886:
10884:{\displaystyle V_{n}}
10859:
10857:{\displaystyle U_{n}}
9951:
9907:
9863:
9841:
9757:Chebyshev polynomials
9737:Chebyshev polynomials
9699:Fibonacci polynomials
9542:have specific names:
9521:
9519:{\displaystyle U_{n}}
9494:
9492:{\displaystyle U_{n}}
9459:
9457:{\displaystyle U_{n}}
9405:
9356:
9354:{\displaystyle U_{l}}
9302:
9253:
9251:{\displaystyle U_{l}}
9203:
9201:{\displaystyle U_{n}}
9157:
9119:
9117:{\displaystyle U_{n}}
9069:
9067:{\displaystyle U_{n}}
9023:
8997:
8995:{\displaystyle U_{n}}
8947:
8851:
8800:
8762:
8711:
8709:{\displaystyle V_{n}}
8680:
8678:{\displaystyle U_{n}}
8638:
8636:{\displaystyle U_{1}}
8611:
8552:
8550:{\displaystyle U_{n}}
8517:
8515:{\displaystyle U_{r}}
8467:
8465:{\displaystyle V_{n}}
8440:
8438:{\displaystyle V_{m}}
8409:
8372:
8311:
8266:
8212:
8173:divisibility sequence
8166:
8110:, i.e., the sequence
8105:
8063:
8010:
5519:
5458:
5387:
5287:
5166:
5022:
4980:
4934:
4880:
4834:
4782:
4717:
4593:
4481:
4375:
4333:
4291:
4254:
4131:
4000:
3897:
3791:
3789:{\displaystyle a=b=S}
3755:
3705:
3671:
3614:
3493:
3418:
3338:
3304:
3302:{\displaystyle b^{n}}
3277:
3275:{\displaystyle a^{n}}
3247:
3206:
3137:
3095:
3004:
2956:
2904:
2862:
2812:
2260:
2218:
2168:
1894:
1671:
1444:
1154:
1125:
885:
641:
599:
557:
537:
470:
450:
426:
384:
340:
295:
245:
225:
202:
112:
70:
11646:Recurrence relations
11051:Derrick Henry Lehmer
11005:J. Reine Angew. Math
10868:
10841:
10837:Sagemath implements
9917:
9873:
9851:
9829:
9503:
9476:
9441:
9427:Carmichael's theorem
9365:
9338:
9330:relatively prime to
9262:
9235:
9185:
9128:
9101:
9051:
9006:
8979:
8871:
8820:
8771:
8731:
8693:
8662:
8620:
8580:
8534:
8499:
8449:
8422:
8392:
8320:
8279:
8271:for large values of
8233:
8179:
8114:
8072:
8027:
5531:
5470:
5409:
5297:
5191:
5033:
4989:
4947:
4890:
4849:
4791:
4739:
4603:
4491:
4391:
4342:
4300:
4271:
4141:
4029:
4020:generating functions
4014:Generating functions
3909:
3803:
3768:
3714:
3710:occurs exactly when
3688:
3626:
3516:
3430:
3358:
3321:
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