7244:
15108:
5044:
4644:
1496:
1719:
6169:
7520:
This is useful in computer science, since most data structures have members with 2 possible values. For example, a byte has 256 (2) possible values (0–255). Therefore, to fill a byte or bytes with random values, a random number generator that produces values 1–256 can be used, the byte taking the
1093:
can be deduced from the equalities 641 = 2 × 5 + 1 and 641 = 2 + 5. It follows from the first equality that 2 × 5 ≡ −1 (mod 641) and therefore (raising to the fourth power) that
1101:
Fermat was probably aware of the form of the factors later proved by Euler, so it seems curious that he failed to follow through on the straightforward calculation to find the factor. One common explanation is that Fermat made a computational mistake.
5039:{\displaystyle {\begin{aligned}(a-b)\sum _{k=0}^{n-1}a^{k}b^{n-1-k}&=\sum _{k=0}^{n-1}a^{k+1}b^{n-1-k}-\sum _{k=0}^{n-1}a^{k}b^{n-k}\\&=a^{n}+\sum _{k=1}^{n-1}a^{k}b^{n-k}-\sum _{k=1}^{n-1}a^{k}b^{n-k}-b^{n}\\&=a^{n}-b^{n}\end{aligned}}}
1302:
1535:
5954:
7872:
Because of the ease of proving their primality, generalized Fermat primes have become in recent years a topic for research within the field of number theory. Many of the largest known primes today are generalized Fermat primes.
2322:. Although Pépin's test and Proth's theorem have been implemented on computers to prove the compositeness of some Fermat numbers, neither test gives a specific nontrivial factor. In fact, no specific prime factors are known for
7052:
1038:
9918:
7607:
4631:
10929:
576:
1977:
4649:
7506:
4352:
671:
2190:
5814:
2260:
7228:
8177:
7817:
7752:
465:
8038:
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5502:
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5636:
5312:
397:
5946:
4411:
6258:
15137:
9649:
1776:
786:
6312:
3174:
187:
6415:
6216:
4255:
3945:
3869:
3715:
3252:
2427:
1847:
4021:
3793:
3639:
3492:
1491:{\displaystyle \sum _{n\geq 33}{\frac {1}{\ln F_{n}}}<{\frac {1}{\ln 2}}\sum _{n\geq 33}{\frac {1}{\log _{2}(2^{2^{n}})}}={\frac {1}{\ln 2}}2^{-32}<3.36\times 10^{-10}.}
4177:
4099:
3561:
3483:
3407:
2034:
1511:
This argument is not a rigorous proof. For one thing, it assumes that Fermat numbers behave "randomly", but the factors of Fermat numbers have special properties. Boklan and
5892:
3097:
8122:
7696:
5383:
5222:
10969:
6583:
10309:
10245:
10005:
9699:
6924:
6792:
6716:
6457:
4487:
7980:
6617:
5754:
9535:
9130:
9053:
8591:
8509:
8427:
8345:
8250:
8077:
7918:
4262:
As of July 2023, 368 prime factors of Fermat numbers are known, and 324 Fermat numbers are known to be composite. Several new Fermat factors are found each year.
6878:
6829:
6670:
6534:
6338:
5669:
5088:
7944:
5854:
5161:
4215:
4137:
4059:
3981:
3905:
3829:
3675:
3599:
3521:
3443:
3367:
5335:
3753:
3288:
3212:
3133:
3057:
2378:
2061:
1888:
5190:
9725:
5409:
1714:{\displaystyle \sum _{n\geq 5}\sum _{k\geq 1}{\frac {1}{k(k2^{n}+1)\ln(k2^{n})}}<{\frac {\pi ^{2}}{6\ln 2}}\sum _{n\geq 5}{\frac {1}{n2^{n}}}\approx 0.02576;}
10809:
9803:
9781:
9760:
9575:
9555:
9088:
8553:
8531:
8471:
8449:
8389:
8367:
8307:
8285:
8214:
5692:
5429:
5245:
5135:
5108:
2289:
2214:
6164:{\displaystyle 0\equiv {\frac {2^{2m\lambda }-1}{2^{m}+1}}=(2^{m}-1)\left(1+2^{2m}+2^{4m}+\cdots +2^{2(\lambda -1)m}\right)\equiv -2\lambda {\pmod {2^{m}+1}}.}
13210:
4108:
11685:
9150:
2, 4, 6, 10, 12, 16, 18, 22, 28, 30, 36, 40, 42, 46, 52, 58, 60, 66, 70, 72, 78, 82, 88, 96, 100, 102, 106, 108, 112, 126, 130, 136, 138, 148, 150, ...
9176:
2, 4, 6, 16, 20, 24, 28, 34, 46, 48, 54, 56, 74, 80, 82, 88, 90, 106, 118, 132, 140, 142, 154, 160, 164, 174, 180, 194, 198, 204, 210, 220, 228, ...
9163:
2, 4, 6, 10, 14, 16, 20, 24, 26, 36, 40, 54, 56, 66, 74, 84, 90, 94, 110, 116, 120, 124, 126, 130, 134, 146, 150, 156, 160, 170, 176, 180, 184, ...
6943:
12697:
11662:
Křížek, Michal; Luca, Florian & Somer, Lawrence (2002), "On the convergence of series of reciprocals of primes related to the Fermat numbers",
9215:
30, 54, 96, 112, 114, 132, 156, 332, 342, 360, 376, 428, 430, 432, 448, 562, 588, 726, 738, 804, 850, 884, 1068, 1142, 1198, 1306, 1540, 1568, ...
3724:
1094:
2 × 5 ≡ 1 (mod 641). On the other hand, the second equality implies that 5 ≡ −2 (mod 641). These
10714:
9189:
2, 4, 118, 132, 140, 152, 208, 240, 242, 288, 290, 306, 378, 392, 426, 434, 442, 508, 510, 540, 542, 562, 596, 610, 664, 680, 682, 732, 782, ...
11929:
9202:
2, 44, 74, 76, 94, 156, 158, 176, 188, 198, 248, 288, 306, 318, 330, 348, 370, 382, 396, 452, 456, 470, 474, 476, 478, 560, 568, 598, 642, ...
9358:
48594, 108368, 141146, 189590, 255694, 291726, 292550, 357868, 440846, 544118, 549868, 671600, 843832, 857678, 1024390, 1057476, 1087540, ...
953:
12300:
9241:
120, 190, 234, 506, 532, 548, 960, 1738, 1786, 2884, 3000, 3420, 3476, 3658, 4258, 5788, 6080, 6562, 6750, 7692, 8296, 9108, 9356, 9582, ...
9371:
62722, 130816, 228188, 386892, 572186, 689186, 909548, 1063730, 1176694, 1361244, 1372930, 1560730, 1660830, 1717162, 1722230, 1766192, ...
9345:
70906, 167176, 204462, 249830, 321164, 330716, 332554, 429370, 499310, 524552, 553602, 743788, 825324, 831648, 855124, 999236, 1041870, ...
9267:
46, 1036, 1318, 1342, 2472, 2926, 3154, 3878, 4386, 4464, 4474, 4482, 4616, 4688, 5374, 5698, 5716, 5770, 6268, 6386, 6682, 7388, 7992, ...
9228:
102, 162, 274, 300, 412, 562, 592, 728, 1084, 1094, 1108, 1120, 1200, 1558, 1566, 1630, 1804, 1876, 2094, 2162, 2164, 2238, 2336, 2388, ...
15238:
11237:
Number theory in science and communication: with applications in cryptography, physics, digital information, computing, and self-similarity
9809:
9384:
24518, 40734, 145310, 361658, 525094, 676754, 773620, 1415198, 1488256, 1615588, 1828858, 2042774, 2514168, 2611294, 2676404, 3060772, ...
9332:
67234, 101830, 114024, 133858, 162192, 165306, 210714, 216968, 229310, 232798, 422666, 426690, 449732, 462470, 468144, 498904, 506664, ...
9293:
150, 2558, 4650, 4772, 11272, 13236, 15048, 23302, 26946, 29504, 31614, 33308, 35054, 36702, 37062, 39020, 39056, 43738, 44174, 45654, ...
9306:
1534, 7316, 17582, 18224, 28234, 34954, 41336, 48824, 51558, 51914, 57394, 61686, 62060, 89762, 96632, 98242, 100540, 101578, 109696, ...
9254:
278, 614, 892, 898, 1348, 1494, 1574, 1938, 2116, 2122, 2278, 2762, 3434, 4094, 4204, 4728, 5712, 5744, 6066, 6508, 6930, 7022, 7332, ...
15295:
15233:
9319:
30406, 71852, 85654, 111850, 126308, 134492, 144642, 147942, 150152, 165894, 176206, 180924, 201170, 212724, 222764, 225174, 241600, ...
9280:
824, 1476, 1632, 2462, 2484, 2520, 3064, 3402, 3820, 4026, 6640, 7026, 7158, 9070, 12202, 12548, 12994, 13042, 15358, 17646, 17670, ...
15207:
15144:
7550:
4516:
9397:
75898, 341112, 356926, 475856, 1880370, 2061748, 2312092, 2733014, 2788032, 2877652, 2985036, 3214654, 3638450, 4896418, 5897794, ...
15290:
11618:
10814:
9729:
9489:
9479:
9474:
9444:
9057:
8254:
8190:
6485:
2999:
905:
310:
224:
103:
1515:
published a more precise analysis suggesting that the probability that there is another Fermat prime is less than one in a billion.
13203:
12382:
11365:
7521:
output value −1. Very large Fermat primes are of particular interest in data encryption for this reason. This method produces only
10553:
The following is a list of the five largest known generalized Fermat primes. The whole top-5 is discovered by participants in the
2071:
algorithm. But Fermat numbers grow so rapidly that only a handful of them can be tested in a reasonable amount of time and space.
480:
15202:
7982:, or 30 + 1. Besides, we can define "half generalized Fermat numbers" for an odd base, a half generalized Fermat number to base
12305:
10996:
11160:
3005:
The following factors of Fermat numbers were known before 1950 (since then, digital computers have helped find more factors):
1893:
1268:. If one uses the heuristic that a Fermat number is prime with the same probability as a random integer of its size, and that
11730:
11652:
11632:
11245:
9437:
2, 2, 2, 2, 2, 30, 102, 120, 278, 46, 824, 150, 1534, 30406, 67234, 70906, 48594, 62722, 24518, 75898, 919444, ... (sequence
9659:
is even, but it is still possible to define generalized half-Fermat primes of this type. For the smallest prime of the form
2341:
gives a necessary and sufficient condition for primality of Fermat numbers, and can be implemented by modern computers. The
12219:
6629:
11785:
15243:
14010:
13196:
2349:
has found some factors of Fermat numbers. Yves Gallot's proth.exe has been used to find factors of large Fermat numbers.
11270:
8040:, and it is also to be expected that there will be only finitely many half generalized Fermat primes for each odd base.
7443:
4288:
584:
15217:
14005:
11922:
15305:
14020:
11280:
3570:
2804:
93,461,639,715,357,977,769,163,558,199,606,896,584,051,237,541,638,188,580,280,321 (62 digits) (fully factored 1980)
2123:
14000:
11556:
Golomb, S. W. (January 1, 1963), "On the sum of the reciprocals of the Fermat numbers and related irrationalities",
5763:
2221:
14713:
14293:
12556:
11586:
Grytczuk, A.; Luca, F. & Wójtowicz, M. (2001), "Another note on the greatest prime factors of Fermat numbers",
7154:
8131:
7777:
7712:
15285:
15262:
15187:
7302:
is either a power of 2 or the product of a power of 2 and distinct Fermat primes: in other words, if and only if
405:
7993:
4415:
14015:
12637:
7532:
repetitions, the sequence repeats. A poorly chosen multiplier can result in the sequence repeating sooner than
5437:
3295:
3183:
5513:
14799:
11915:
7509:
5583:
5253:
1724:
in other words, there are unlikely to be any non-squarefree Fermat numbers, and in general square factors of
331:
7390:
Fermat primes are particularly useful in generating pseudo-random sequences of numbers in the range 1, ...,
5897:
4363:
14465:
14115:
13784:
13577:
12759:
12417:
12330:
6221:
4030:
7709:
By analogy with the ordinary Fermat numbers, it is common to write generalized Fermat numbers of the form
2958:
319,489 × 974,849 × 167,988,556,341,760,475,137 (21 digits) × 3,560,841,906,445,833,920,513 (22 digits) ×
14641:
14500:
14331:
14145:
14135:
13789:
13769:
12784:
11240:. Springer series in information sciences (4th ed.). Berlin ; New York: Springer. p. 216.
10732:
9600:
7367:
7266:
1727:
745:
14470:
6263:
3140:
2437:
is a positive integer. By itself, this makes it easy to prove the primality of the known Fermat primes.
136:
15310:
15182:
14590:
14213:
14055:
13970:
13779:
13761:
13655:
13645:
13635:
13471:
12692:
12250:
11108:
6367:
6177:
4221:
3911:
3835:
3681:
3218:
2990:
project Fermat Search is searching for new factors of Fermat numbers. The set of all Fermat factors is
2387:
2064:
1799:
14495:
11720:
11642:
7247:
Number of sides of known constructible polygons having up to 1000 sides (bold) or odd side count (red)
3987:
3759:
3605:
15130:
14718:
14263:
13884:
13670:
13665:
13660:
13650:
13627:
4143:
4065:
3527:
3449:
3373:
2960:
173,462,447,179,147,555,430,258...491,382,441,723,306,598,834,177 (564 digits) (fully factored 1988)
2910:
130,439,874,405,488,189,727,484...806,217,820,753,127,014,424,577 (252 digits) (fully factored 1995)
2752:
59,649,589,127,497,217 (17 digits) × 5,704,689,200,685,129,054,721 (22 digits) (fully factored 1970)
1985:
14475:
11320:
5859:
4360:
In 1904, Cipolla showed that the product of at least two distinct prime or composite Fermat numbers
3063:
15167:
14140:
14050:
13703:
12721:
8086:
7660:
7295:
5340:
5195:
2353:, improving Euler's above-mentioned result, proved in 1878 that every factor of the Fermat number
15300:
14829:
14794:
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14238:
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10934:
10772:
7422:
6548:
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45,592,577 × 6,487,031,809 × 4,659,775,785,220,018,543,264,560,743,076,778,192,897 (40 digits) ×
11059:
Boklan, Kent D.; Conway, John H. (2017). "Expect at most one billionth of a new Fermat Prime!".
10272:
10208:
9968:
9662:
6887:
6756:
6679:
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2834:
30,073,546,976,801,874,298,166,903,427,690,031,858,186,486,050,853,753,882,811,946,569,946,433,6
2832:
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2780:
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15254:
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11895:
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1, 1, 1, 0, 1, 1, 2, 1, 1, 2, 1, 2, 2, 1, 1, 0, 4, 1, ... (The next term is unknown) (sequence
7949:
7884:
is odd then every generalized Fermat number will be divisible by 2. The smallest prime number
6588:
5720:
1501:
One may interpret this number as an upper bound for the probability that a Fermat prime beyond
684:
9504:
9099:
9022:
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2,424,833 × 7,455,602,825,647,884,208,337,395,736,200,454,918,783,366,342,657 (49 digits) ×
2345:
is a fast method for finding small prime divisors of numbers. Distributed computing project
14986:
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14844:
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3111:
3035:
2356:
2337:
Because of Fermat numbers' size, it is difficult to factorize or even to check primality.
2039:
1866:
1249:
14065:
13534:
11902:
11428:
10767:
8193:), then all generalized Fermat number can be algebraic factored, so they cannot be prime.
5166:
8:
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14572:
14567:
14535:
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7274:
for the constructibility of regular polygons. Gauss stated that this condition was also
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14860:
14774:
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11130:
11090:
10737:
7645:
7430:
7398:
is a power of 2. The most common method used is to take any seed value between 1 and
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13405:
13400:
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13357:
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13255:
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13220:
12837:
12811:
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12372:
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2603:
1512:
944:
214:
130:
88:
11599:
11082:
10729:: which regular polygons are constructible partially depends on Fermat primes.
9557:. The number of generalized Fermat primes can be roughly expected to halve as
7767:). In this notation, for instance, the number 100,000,001 would be written as
7047:{\displaystyle \left(1+2^{2^{n-1}}\right)^{2}\equiv 2^{1+2^{n-1}}{\pmod {p}}.}
2888:
179,769,313,486,231,590,772,930...304,835,356,329,624,224,137,217 (309 digits)
15279:
14945:
14929:
14870:
14824:
14520:
14505:
14415:
13698:
13567:
13529:
13486:
13367:
13342:
13300:
13290:
13265:
13188:
12847:
12612:
12476:
12449:
12285:
12150:
12088:
12079:
12064:
12027:
11472:
11235:
11134:
9501:
A more elaborate theory can be used to predict the number of bases for which
5137:
is a positive integer but not a power of 2, it must have an odd prime factor
2263:
2216:
is prime. Conversely, if the above congruence does not hold, and in addition
925:
Fermat numbers and Fermat primes were first studied by Pierre de Fermat, who
819:
11378:
11315:
11255:
7243:
15248:
15197:
14981:
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14698:
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14515:
14485:
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14444:
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14039:
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12224:
11938:
11814:
11676:
11570:
7774:(10). In the following we shall restrict ourselves to primes of this form,
7522:
2570:
2430:
231:
210:
194:
84:
11464:
8196:
See for even bases up to 1000, and for odd bases. For the smallest number
14940:
14815:
14620:
14084:
13975:
13930:
13925:
13675:
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12993:
12988:
12983:
12978:
12973:
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12963:
12958:
12953:
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12938:
12933:
12928:
12923:
12918:
12913:
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12412:
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12315:
12295:
12209:
12112:
11988:
11826:
11807:
11004:
10762:
10710:
7414:
2537:
1519:
929:
that all Fermat numbers are prime. Indeed, the first five Fermat numbers
206:
118:
80:
58:
11209:
1033:{\displaystyle F_{5}=2^{2^{5}}+1=2^{32}+1=4294967297=641\times 6700417.}
15077:
15058:
14354:
13965:
12816:
12632:
12540:
12460:
12310:
12214:
11907:
11762:
11709:
9597:
It is also possible to construct generalized Fermat primes of the form
2504:
2471:
926:
202:
198:
76:
72:
11623:, Problem Books in Mathematics, vol. 1 (3rd ed.), New York:
6933:
In fact, it can be seen directly that 2 is a quadratic residue modulo
4278:
to base 2. This is because all strong pseudoprimes to base 2 are also
2860:
504,705,008,092,818,711,693,940,737 (99 digits) (fully factored 1990)
14683:
14610:
14602:
14407:
14321:
13439:
12857:
12806:
12687:
11879:
11860:
11841:
11325:
10554:
9913:{\displaystyle F_{n}(a,b)={\frac {a^{2^{n}}+b^{2^{n}}}{\gcd(a+b,2)}}}
7077:
The series of reciprocals of all prime divisors of Fermat numbers is
823:
11753:
11701:
15122:
14784:
11073:
7282:
gave a full proof of necessity in 1837. The result is known as the
827:
11869:
14789:
14448:
14442:
12359:
9580:
7618:
7602:{\displaystyle a^{2^{\overset {n}{}}}\!\!+b^{2^{\overset {n}{}}}}
4626:{\displaystyle a^{n}-b^{n}=(a-b)\sum _{k=0}^{n-1}a^{k}b^{n-1-k}.}
1141:
943:
are easily shown to be prime. Fermat's conjecture was refuted by
696:
11269:
Krizek, Michal; Luca, Florian; Somer, Lawrence (14 March 2013).
7066:
A Fermat number cannot be a perfect number or part of a pair of
1282:
are composite, then the expected number of Fermat primes beyond
11347:. New Haven and London: Yale University Press. pp. 458–460
11184:
10924:{\displaystyle 2^{2^{k}m}+1=(a+1)(a^{m-1}-a^{m-2}+\ldots -a+1)}
2732:
340,282,366,920,938,463,463,374,607,431,768,211,457 (39 digits)
2704:
274,177 × 67,280,421,310,721 (14 digits) (fully factored 1855)
13504:
11771:"A simple proof of Carmichael's theorem on primitive divisors"
11647:, CMS books in mathematics, vol. 10, New York: Springer,
11303:
7859:
1522:
estimated the number of square factors of Fermat numbers from
12354:
12340:
11644:
17 Lectures on Fermat
Numbers: From Number Theory to Geometry
11272:
17 Lectures on Fermat
Numbers: From Number Theory to Geometry
7513:
7489:
6723:
5790:
3028:
11739:
Robinson, Raphael M. (1954), "Mersenne and Fermat
Numbers",
11641:
Křížek, Michal; Luca, Florian & Somer, Lawrence (2001),
7845:
asks if there are infinitely many generalized Fermat primes
1252:
implies that a random integer in a suitable interval around
571:{\displaystyle F_{n}=F_{n-1}+2^{2^{n-1}}F_{0}\cdots F_{n-2}}
9733:
9493:
9483:
9469:
9439:
9413:
9400:
9387:
9374:
9361:
9348:
9335:
9322:
9309:
9296:
9283:
9270:
9257:
9244:
9231:
9218:
9205:
9192:
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9153:
9139:
9061:
8258:
8185:
2995:
2991:
900:
305:
219:
10548:
9655:=1, numbers of this form will always be divisible by 2 if
866:
No Fermat prime can be expressed as the difference of two
7238:
6737:
above is congruent to 1 modulo 8. Hence (as was known to
2311:, then the above Jacobi symbol is always equal to −1 for
1972:{\displaystyle 3^{(F_{n}-1)/2}\equiv -1{\pmod {F_{n}}}.}
2318:, and this special case of Proth's theorem is known as
11831:
11185:":: F E R M A T S E A R C H . O R G :: Home page"
7876:
Generalized Fermat numbers can be prime only for even
7706:
of this form is 1215 + 242 (found by Kellen
Shenton).
7057:
Since an odd power of 2 is a quadratic residue modulo
4492:
4456:
will be a Fermat pseudoprime to base 2 if and only if
4274:
of the form 2 − 1, every composite Fermat number is a
14168:
12888:
12883:
12878:
12873:
11850:
11658:- This book contains an extensive list of references.
11585:
10937:
10817:
10797:
10275:
10211:
9971:
9812:
9791:
9769:
9748:
9707:
9665:
9603:
9563:
9543:
9507:
9102:
9076:
9025:
8563:
8541:
8519:
8481:
8459:
8437:
8399:
8377:
8355:
8317:
8295:
8273:
8222:
8202:
8134:
8089:
8049:
7996:
7952:
7926:
7890:
7780:
7715:
7663:
7553:
7446:
7231:
7157:
6946:
6890:
6853:
6804:
6759:
6682:
6645:
6591:
6551:
6509:
6499:. Notice that 2 (strictly speaking, its image modulo
6423:
6370:
6320:
6266:
6224:
6180:
5957:
5900:
5862:
5825:
5766:
5723:
5680:
5644:
5586:
5516:
5440:
5417:
5391:
5343:
5323:
5256:
5233:
5198:
5169:
5143:
5123:
5096:
5063:
4647:
4519:
4462:
4418:
4366:
4291:
4224:
4196:
4146:
4118:
4068:
4040:
3990:
3962:
3914:
3886:
3838:
3810:
3762:
3734:
3684:
3656:
3608:
3580:
3530:
3502:
3452:
3424:
3376:
3348:
3298:
3269:
3221:
3193:
3143:
3114:
3066:
3038:
2390:
2359:
2277:
2224:
2202:
2126:
2042:
1988:
1896:
1869:
1802:
1730:
1538:
1305:
1219:. The largest Fermat number known to be composite is
1125:. In fact, each of the following is an open problem:
1121:, but little is known about Fermat numbers for large
956:
748:
587:
483:
408:
334:
139:
109:
14553:
2084:, such as factors of Fermat numbers, for primality.
11903:
2440:Factorizations of the first 12 Fermat numbers are:
1160:
Are there infinitely many composite Fermat numbers?
10963:
10923:
10803:
10303:
10239:
9999:
9912:
9797:
9775:
9754:
9719:
9693:
9643:
9569:
9549:
9529:
9124:
9082:
9047:
8585:
8547:
8525:
8503:
8465:
8443:
8421:
8383:
8361:
8339:
8301:
8279:
8244:
8208:
8183:is a perfect power with an odd exponent (sequence
8171:
8116:
8071:
8032:
7974:
7938:
7912:
7811:
7746:
7690:
7601:
7501:{\displaystyle V_{j+1}=(A\times V_{j}){\bmod {P}}}
7500:
7222:
7126:Let the largest prime factor of the Fermat number
7046:
6918:
6872:
6823:
6786:
6710:
6664:
6611:
6577:
6528:
6451:
6409:
6332:
6306:
6252:
6210:
6163:
5940:
5886:
5848:
5808:
5748:
5686:
5663:
5630:
5569:
5496:
5423:
5403:
5377:
5329:
5306:
5239:
5216:
5184:
5155:
5129:
5102:
5082:
5038:
4625:
4481:
4448:
4405:
4347:{\displaystyle 2^{F_{n}-1}\equiv 1{\pmod {F_{n}}}}
4346:
4265:
4249:
4209:
4171:
4131:
4093:
4053:
4015:
3975:
3939:
3899:
3863:
3823:
3787:
3747:
3709:
3669:
3633:
3593:
3555:
3515:
3477:
3437:
3401:
3361:
3323:
3282:
3246:
3206:
3168:
3127:
3091:
3051:
2421:
2372:
2283:
2254:
2208:
2184:
2055:
2028:
1971:
1882:
1841:
1770:
1713:
1490:
1032:
822:, because each Fermat number is clearly odd. As a
780:
666:{\displaystyle F_{n}=F_{n-1}^{2}-2(F_{n-2}-1)^{2}}
665:
570:
459:
391:
217:, 4294967297, 18446744073709551617, ... (sequence
181:
13552:
11896:Complete factorization of the ninth Fermat number
8156:
8155:
8107:
8017:
7802:
7801:
7737:
7736:
7681:
7575:
7574:
7409:is a Fermat prime. Now multiply this by a number
7385:
7380:
1098:imply that 2 ≡ −1 (mod 641).
15277:
12570: = 0, 1, 2, 3, ...
11741:Proceedings of the American Mathematical Society
11404:"Generalized Fermat primes for bases up to 1030"
9883:
1188:, although of these, complete factorizations of
13438:
11661:
11640:
11268:
10980:
7294:-sided regular polygon can be constructed with
7082:
2185:{\displaystyle a^{(N-1)/2}\equiv -1{\pmod {N}}}
1853:th Fermat number. Pépin's test states that for
253:. As of 2023, the only known Fermat primes are
13232:
13218:
8043:In this list, the generalized Fermat numbers (
7640:is a generalized Fermat number if and only if
5809:{\displaystyle 2^{p-1}\equiv 1{\bmod {p^{2}}}}
2255:{\displaystyle \left({\frac {a}{N}}\right)=-1}
857:} is an infinite sequence of distinct primes.
15138:
13204:
11923:
11366:PRP Top Records, search for x^131072+y^131072
7819:, such primes are called "Fermat primes base
7542:
7223:{\displaystyle P(F_{n})\geq 2^{n+2}(4n+9)+1.}
5227:By the preceding lemma, for positive integer
2074:There are some tests for numbers of the form
129:, the first known to have studied them, is a
15040:
13390:
11058:
8172:{\displaystyle {\frac {a^{2^{n}}\!\!+1}{2}}}
7812:{\displaystyle a^{2^{\overset {n}{}}}\!\!+1}
7747:{\displaystyle a^{2^{\overset {n}{}}}\!\!+1}
697:share a common integer factor greater than 1
15234:List of things named after Pierre de Fermat
11106:
7437:. The result is the new value for the RNG.
5756:is a Fermat prime (and hence by the above,
1205:, and there are no known prime factors for
683:. Each of these relations can be proved by
460:{\displaystyle F_{n}=F_{0}\cdots F_{n-1}+2}
249:is a Fermat number; such primes are called
197:integer. The first few Fermat numbers are:
15145:
15131:
13505:Possessing a specific set of other numbers
13328:
13211:
13197:
11930:
11916:
11821:Unification of Mersenne and Fermat Numbers
8033:{\displaystyle {\frac {a^{2^{n}}\!+1}{2}}}
4449:{\displaystyle a>b>\dots >s>1}
1153:Are there infinitely many Fermat primes? (
687:. From the second equation, we can deduce
14968:
13915:
11752:
11715:
11675:
11569:
11275:. Springer Science & Business Media.
11233:
11124:
11072:
11016:
10715:current top 100 generalized Fermat primes
7823:". Of course, these primes exist only if
5497:{\displaystyle (2^{r}+1)\mid (2^{rs}+1),}
3324:{\displaystyle 262814145745\cdot 2^{8}+1}
891:, the last digit of a Fermat number is 7.
321:The Fermat numbers satisfy the following
11937:
11738:
11429:"Generalized Fermat primes in odd bases"
11029:
11027:
11025:
7366:is of the above form if and only if its
7242:
6726:knew. Édouard Lucas went further. Since
5570:{\displaystyle (2^{r}+1)\mid (2^{k}+1).}
1785:
16:Positive integer of the form (2^(2^n))+1
15208:Fermat's theorem on sums of two squares
12448:
11588:Southeast Asian Bulletin of Mathematics
11159:. Mathematical Association of America.
11109:"Factors of generalized Fermat numbers"
11102:
11100:
10549:Largest known generalized Fermat primes
9581:Generalized Fermat primes of the form F
9410:919444, 1059094, 1951734, 1963736, ...
7860:Generalized Fermat primes of the form F
5631:{\displaystyle 1<2^{r}+1<2^{k}+1}
5307:{\displaystyle (a-b)\mid (a^{m}-b^{m})}
1163:Does a Fermat number exist that is not
1105:There are no other known Fermat primes
392:{\displaystyle F_{n}=(F_{n-1}-1)^{2}+1}
15278:
15239:Wiles's proof of Fermat's Last Theorem
15076:
11768:
11555:
11033:
7239:Relationship to constructible polygons
6840:and (using Lagrange's theorem again),
5941:{\displaystyle p^{2}|2^{2m\lambda }-1}
5894:. If the given congruence holds, then
5760:is a power of 2), then the congruence
4406:{\displaystyle F_{a}F_{b}\dots F_{s},}
2684:18,446,744,073,709,551,617 (20 digits)
2656:641 × 6,700,417 (fully factored 1732)
1233:
15126:
15075:
15039:
15003:
14967:
14927:
14552:
14441:
14167:
14082:
14037:
13914:
13604:
13551:
13503:
13437:
13389:
13327:
13231:
13192:
11911:
11870:
11851:
11832:
11340:
11321:"Sierpiński Number of the First Kind"
11316:
11022:
6253:{\displaystyle 2\lambda \geq 2^{m}+1}
5337:means "evenly divides". Substituting
860:
15203:Fermat's theorem (stationary points)
15152:
13605:
11725:(3rd ed.), New York: Springer,
11722:The New Book of Prime Number Records
11683:
11473:"The Top Twenty: Generalized Fermat"
11470:
11147:
11107:Björn, Anders; Riesel, Hans (1998).
11097:
11034:Keller, Wilfrid (January 18, 2021),
7071:
6503:) has multiplicative order equal to
2802:1,238,926,361,552,897 (16 digits) ×
898:of all the Fermat numbers (sequence
15004:
11613:
9644:{\displaystyle a^{2^{n}}+b^{2^{n}}}
7232:Grytczuk, Luca & Wójtowicz 2001
7033:
6137:
4493:Other theorems about Fermat numbers
4329:
2174:
1951:
1771:{\displaystyle a^{2^{n}}+b^{2^{n}}}
804:divides their difference, 2. Since
781:{\displaystyle F_{0}\cdots F_{j-1}}
316:
13:
15296:Unsolved problems in number theory
14928:
11620:Unsolved Problems in Number Theory
11368:, by Henri & Renaud Lifchitz.
10205:0, 1, 3, 4, 5, ... (equivalent to
7648:. (Here we consider only the case
7095:is prime, there exists an integer
6486:group of non-zero integers modulo
6307:{\displaystyle p-1\geq m(2^{m}+1)}
3169:{\displaystyle 52347\cdot 2^{7}+1}
1043:Euler proved that every factor of
182:{\displaystyle F_{n}=2^{2^{n}}+1,}
14:
15322:
11804:The Prime Glossary: Fermat number
11796:
11036:"Prime Factors of Fermat Numbers"
7349:are nonnegative integers and the
6410:{\displaystyle F_{n}=2^{2^{n}}+1}
6211:{\displaystyle 2^{m}+1|2\lambda }
4250:{\displaystyle 579\cdot 2^{21}+1}
3940:{\displaystyle 973\cdot 2^{16}+1}
3864:{\displaystyle 397\cdot 2^{16}+1}
3710:{\displaystyle 119\cdot 2^{13}+1}
3247:{\displaystyle 1071\cdot 2^{8}+1}
2606:is the largest known Fermat prime
2422:{\displaystyle k\times 2^{n+2}+1}
1842:{\displaystyle F_{n}=2^{2^{n}}+1}
826:, we obtain another proof of the
15291:Eponymous numbers in mathematics
15244:Fermat's Last Theorem in fiction
15106:
14714:Perfect digit-to-digit invariant
14083:
12306:Supersingular (moonshine theory)
4016:{\displaystyle 13\cdot 2^{20}+1}
3788:{\displaystyle 37\cdot 2^{16}+1}
3634:{\displaystyle 39\cdot 2^{13}+1}
2332:
1230:was discovered in October 2020.
245:itself must be a power of 2, so
15218:Fermat's right triangle theorem
15188:Fermat polygonal number theorem
11890:Generalized Fermat Prime Search
11827:Prime Factors of Fermat Numbers
11791:from the original on 2022-10-09
11686:"The anti-social Fermat number"
11558:Canadian Journal of Mathematics
11534:
11523:
11512:
11501:
11490:
11446:
11421:
11396:
11371:
11359:
11334:
11309:
11296:
11262:
11227:
11202:
11166:from the original on 2022-10-09
10686:81 × 2 + 1
9965:0, 1, 2, 3, ... (equivalent to
7433:). Then take the result modulo
7278:, but never published a proof.
7026:
6130:
4322:
4266:Pseudoprimes and Fermat numbers
4172:{\displaystyle 5\cdot 2^{75}+1}
4094:{\displaystyle 3\cdot 2^{41}+1}
3556:{\displaystyle 5\cdot 2^{39}+1}
3478:{\displaystyle 5\cdot 2^{25}+1}
3402:{\displaystyle 7\cdot 2^{14}+1}
2167:
2029:{\displaystyle 3^{(F_{n}-1)/2}}
1944:
830:of the prime numbers: for each
12301:Supersingular (elliptic curve)
11341:Gauss, Carl Friedrich (1966).
11177:
11141:
11061:The Mathematical Intelligencer
11052:
11010:
10994:"Prime Links++: special forms"
10986:
10974:
10918:
10862:
10859:
10847:
10785:
10298:
10286:
10234:
10222:
9994:
9982:
9904:
9886:
9835:
9823:
9688:
9676:
9524:
9518:
9119:
9113:
9042:
9036:
8580:
8574:
8498:
8492:
8416:
8410:
8334:
8328:
8239:
8233:
8066:
8060:
7969:
7963:
7907:
7901:
7485:
7466:
7386:Pseudorandom number generation
7381:Applications of Fermat numbers
7211:
7196:
7174:
7161:
7037:
7027:
6764:
6301:
6282:
6198:
6154:
6131:
6104:
6092:
6032:
6013:
5912:
5887:{\displaystyle p-1=2m\lambda }
5833:
5561:
5542:
5536:
5517:
5488:
5466:
5460:
5441:
5301:
5275:
5269:
5257:
4664:
4652:
4558:
4546:
4340:
4323:
3092:{\displaystyle 5\cdot 2^{7}+1}
2178:
2168:
2144:
2132:
2013:
1994:
1962:
1945:
1921:
1902:
1627:
1611:
1602:
1580:
1423:
1403:
654:
628:
374:
348:
47:
35:
1:
13553:Expressible via specific sums
12082:2 ± 2 ± 1
11690:American Mathematical Monthly
11549:
11126:10.1090/S0025-5718-98-00891-6
10981:Křížek, Luca & Somer 2001
9132:is prime (only consider even
8117:{\displaystyle a^{2^{n}}\!+1}
7691:{\displaystyle 2^{2^{0}}\!+1}
7510:linear congruential generator
7083:Křížek, Luca & Somer 2002
2067:. This makes the test a fast
1171:As of 2024, it is known that
10791:For any positive odd number
10569:Generalized Fermat notation
7413:, which is greater than the
6749:, that is, there is integer
6314:, which is impossible since
5671:is not prime. Therefore, by
5378:{\displaystyle a=2^{r},b=-1}
5217:{\displaystyle 1\leq r<k}
2968:As of April 2023, only
947:in 1732 when he showed that
920:
699:. To see this, suppose that
7:
14642:Multiplicative digital root
11875:"Generalized Fermat Number"
11379:"Generalized Fermat Primes"
11344:Disquisitiones arithmeticae
11210:"::FERMATSEARCH.ORG:: News"
10964:{\displaystyle a=2^{2^{k}}}
10733:Double exponential function
10720:
9015:For the smallest even base
7358:are distinct Fermat primes.
7267:Disquisitiones Arithmeticae
6578:{\displaystyle 2^{2^{n+1}}}
5706:A Fermat prime cannot be a
2836:49,006,084,097 (155 digits)
2384:at least 2, is of the form
1256:is prime with probability 1
10:
15327:
14038:
11113:Mathematics of Computation
10304:{\displaystyle F_{n}(3,2)}
10240:{\displaystyle F_{n}(3,1)}
10000:{\displaystyle F_{n}(2,1)}
9694:{\displaystyle F_{n}(a,b)}
7699:is not a counterexample.)
7634:generalized Fermat numbers
7543:Generalized Fermat numbers
7250:
6919:{\displaystyle s2^{n+2}+1}
6787:{\displaystyle p|a^{2}-2.}
6711:{\displaystyle k2^{n+1}+1}
6452:{\displaystyle k2^{n+2}+1}
4482:{\displaystyle 2^{s}>a}
2913:
2863:
2807:
2755:
2707:
2659:
2611:
2578:
2545:
2512:
2479:
2446:
1789:
1245:is the last Fermat prime.
15226:
15160:
15102:
15085:
15071:
15049:
15035:
15013:
14999:
14977:
14963:
14936:
14923:
14899:
14853:
14813:
14764:
14738:
14719:Perfect digital invariant
14671:
14655:
14634:
14601:
14566:
14562:
14548:
14456:
14437:
14406:
14373:
14330:
14307:
14294:Superior highly composite
14184:
14180:
14163:
14091:
14078:
14046:
14033:
13921:
13910:
13872:
13863:
13841:
13798:
13760:
13751:
13684:
13626:
13617:
13613:
13600:
13558:
13547:
13510:
13499:
13447:
13433:
13396:
13385:
13338:
13323:
13241:
13227:
13177:
12866:
12830:
12730:
12707:
12681:
12441:
12339:
12233:
12197:
11946:
11815:History of Fermat Numbers
11627:, pp. A3, A12, B21,
11600:10.1007/s10012-001-0111-4
11292:– via Google Books.
11234:Schroeder, M. R. (2006).
11083:10.1007/s00283-016-9644-3
10983:, p. 38, Remark 4.15
10269:0, 1, ... (equivalent to
9451:Conversely, the smallest
7975:{\displaystyle F_{5}(30)}
6612:{\displaystyle 2^{2^{n}}}
5749:{\displaystyle p=2^{m}+1}
2114:. If there is an integer
1289:(or equivalently, beyond
695:): no two Fermat numbers
102:
94:
68:
57:
45:
34:
24:
15306:Classes of prime numbers
14332:Euler's totient function
14116:Euler–Jacobi pseudoprime
13391:Other polynomial numbers
12688:Mega (1,000,000+ digits)
12557:Arithmetic progression (
11664:Journal of Number Theory
10778:
9537:will be prime for fixed
9530:{\displaystyle F_{n}(a)}
9125:{\displaystyle F_{n}(a)}
9048:{\displaystyle F_{n}(a)}
8586:{\displaystyle F_{n}(a)}
8504:{\displaystyle F_{n}(a)}
8422:{\displaystyle F_{n}(a)}
8340:{\displaystyle F_{n}(a)}
8245:{\displaystyle F_{n}(a)}
8072:{\displaystyle F_{n}(a)}
7913:{\displaystyle F_{n}(a)}
7296:compass and straightedge
7260:developed the theory of
4357:for all Fermat numbers.
2036:can be evaluated modulo
1890:is prime if and only if
1778:are very rare for large
1238:Heuristics suggest that
1086:That 641 is a factor of
839:, choose a prime factor
15183:Fermat's little theorem
14146:Somer–Lucas pseudoprime
14136:Lucas–Carmichael number
13971:Lazy caterer's sequence
11898:(original announcement)
9651:. As in the case where
7843:Landau's fourth problem
6873:{\displaystyle 2^{n+2}}
6824:{\displaystyle 2^{n+2}}
6665:{\displaystyle 2^{n+1}}
6529:{\displaystyle 2^{n+1}}
6333:{\displaystyle m\geq 2}
5664:{\displaystyle 2^{k}+1}
5083:{\displaystyle 2^{k}+1}
4508:is a positive integer,
1226:, and its prime factor
15286:Constructible polygons
15266:(popular science book)
14021:Wedderburn–Etherington
13421:Lucky numbers of Euler
12843:Industrial-grade prime
12220:Newman–Shanks–Williams
11684:Luca, Florian (2000),
11677:10.1006/jnth.2002.2782
11571:10.4153/CJM-1963-051-0
11454:"Original GFN factors"
10965:
10925:
10805:
10636:1059094 + 1
10611:1951734 + 1
10586:1963736 + 1
10305:
10241:
10001:
9943:0, 1, 2, 4, 5, 6, ...
9914:
9799:
9777:
9756:
9721:
9695:
9645:
9571:
9551:
9531:
9126:
9084:
9049:
8627:0, 1, 2, 4, 5, 6, ...
8587:
8549:
8527:
8505:
8467:
8445:
8423:
8385:
8363:
8341:
8303:
8281:
8246:
8210:
8173:
8118:
8073:
8034:
7976:
7940:
7939:{\displaystyle n>4}
7914:
7813:
7748:
7692:
7603:
7502:
7248:
7224:
7048:
6920:
6874:
6825:
6788:
6712:
6666:
6613:
6579:
6530:
6453:
6411:
6334:
6308:
6254:
6212:
6165:
5942:
5888:
5850:
5849:{\displaystyle 2m|p-1}
5810:
5750:
5694:must be a power of 2.
5688:
5665:
5632:
5571:
5498:
5425:
5405:
5379:
5331:
5308:
5241:
5218:
5186:
5157:
5156:{\displaystyle s>2}
5131:
5104:
5090:is an odd prime, then
5084:
5040:
4959:
4903:
4827:
4759:
4693:
4627:
4587:
4483:
4450:
4407:
4348:
4251:
4211:
4210:{\displaystyle F_{15}}
4173:
4133:
4132:{\displaystyle F_{73}}
4095:
4055:
4054:{\displaystyle F_{38}}
4017:
3977:
3976:{\displaystyle F_{18}}
3941:
3901:
3900:{\displaystyle F_{12}}
3865:
3825:
3824:{\displaystyle F_{12}}
3789:
3749:
3711:
3671:
3670:{\displaystyle F_{11}}
3635:
3595:
3594:{\displaystyle F_{11}}
3557:
3517:
3516:{\displaystyle F_{36}}
3479:
3439:
3438:{\displaystyle F_{23}}
3403:
3363:
3362:{\displaystyle F_{12}}
3325:
3284:
3248:
3208:
3170:
3129:
3093:
3053:
2423:
2374:
2285:
2256:
2210:
2186:
2057:
2030:
1973:
1884:
1843:
1772:
1715:
1492:
1034:
896:sum of the reciprocals
877:With the exception of
782:
685:mathematical induction
667:
572:
461:
393:
183:
15263:Fermat's Last Theorem
15168:Fermat's Last Theorem
14309:Prime omega functions
14126:Frobenius pseudoprime
13916:Combinatorial numbers
13785:Centered dodecahedral
13578:Primary pseudoperfect
13180:List of prime numbers
12638:Sophie Germain/Safe (
11519:1059094 + 1
11508:1951734 + 1
11497:1963736 + 1
11408:noprimeleftbehind.net
10966:
10926:
10806:
10727:Constructible polygon
10661:919444 + 1
10306:
10242:
10002:
9915:
9800:
9778:
9757:
9722:
9696:
9646:
9572:
9552:
9532:
9127:
9085:
9050:
8588:
8550:
8528:
8506:
8468:
8446:
8424:
8386:
8364:
8342:
8304:
8282:
8247:
8211:
8174:
8119:
8074:
8035:
7977:
7941:
7915:
7814:
7749:
7693:
7604:
7503:
7284:Gauss–Wantzel theorem
7253:Constructible polygon
7246:
7225:
7049:
6921:
6875:
6826:
6789:
6713:
6667:
6614:
6580:
6531:
6454:
6412:
6335:
6309:
6255:
6213:
6166:
5943:
5889:
5851:
5811:
5751:
5689:
5666:
5633:
5572:
5499:
5426:
5406:
5380:
5332:
5330:{\displaystyle \mid }
5309:
5242:
5219:
5187:
5158:
5132:
5105:
5085:
5041:
4933:
4877:
4801:
4733:
4667:
4628:
4561:
4484:
4451:
4408:
4349:
4252:
4212:
4174:
4134:
4096:
4056:
4018:
3978:
3942:
3902:
3866:
3826:
3790:
3750:
3748:{\displaystyle F_{9}}
3712:
3672:
3636:
3596:
3558:
3518:
3480:
3440:
3404:
3364:
3326:
3285:
3283:{\displaystyle F_{6}}
3249:
3209:
3207:{\displaystyle F_{6}}
3171:
3130:
3128:{\displaystyle F_{5}}
3094:
3054:
3052:{\displaystyle F_{5}}
2988:distributed computing
2982:have been completely
2424:
2375:
2373:{\displaystyle F_{n}}
2343:elliptic curve method
2286:
2257:
2211:
2187:
2058:
2056:{\displaystyle F_{n}}
2031:
1974:
1885:
1883:{\displaystyle F_{n}}
1844:
1786:Equivalent conditions
1773:
1716:
1493:
1035:
848:; then the sequence {
783:
728:have a common factor
668:
573:
462:
394:
184:
14768:-composition related
14568:Arithmetic functions
14170:Arithmetic functions
14106:Elliptic pseudoprime
13790:Centered icosahedral
13770:Centered tetrahedral
12362:(10 − 1)/9
11530:919444 + 1
11302:Jeppe Stig Nielsen,
11214:www.fermatsearch.org
11189:www.fermatsearch.org
10935:
10815:
10795:
10773:Sylvester's sequence
10273:
10209:
9969:
9810:
9789:
9767:
9746:
9705:
9663:
9601:
9561:
9541:
9505:
9100:
9074:
9023:
8561:
8539:
8517:
8479:
8457:
8435:
8397:
8375:
8353:
8315:
8293:
8271:
8220:
8200:
8132:
8087:
8047:
7994:
7950:
7924:
7888:
7778:
7713:
7661:
7551:
7547:Numbers of the form
7444:
7272:sufficient condition
7258:Carl Friedrich Gauss
7155:
7123:holds in that case.
6944:
6888:
6851:
6802:
6757:
6739:Carl Friedrich Gauss
6680:
6643:
6589:
6549:
6507:
6490:under multiplication
6421:
6368:
6318:
6264:
6222:
6178:
5955:
5898:
5860:
5823:
5764:
5721:
5678:
5642:
5584:
5514:
5438:
5415:
5389:
5341:
5321:
5254:
5231:
5196:
5185:{\displaystyle k=rs}
5167:
5141:
5121:
5094:
5061:
4645:
4517:
4460:
4416:
4364:
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4222:
4194:
4144:
4116:
4066:
4038:
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3960:
3912:
3884:
3836:
3808:
3760:
3732:
3682:
3654:
3606:
3578:
3528:
3500:
3450:
3422:
3374:
3346:
3296:
3267:
3219:
3191:
3141:
3112:
3064:
3036:
2388:
2357:
2275:
2222:
2200:
2124:
2040:
1986:
1894:
1867:
1800:
1728:
1536:
1303:
1250:prime number theorem
954:
746:
585:
481:
406:
332:
323:recurrence relations
137:
15255:Fermat's Last Tango
14694:Kaprekar's constant
14214:Colossally abundant
14101:Catalan pseudoprime
14001:Schröder–Hipparchus
13780:Centered octahedral
13656:Centered heptagonal
13646:Centered pentagonal
13636:Centered triangular
13236:and related numbers
12671: ± 7, ...
12198:By integer sequence
11983:(2 + 1)/3
11778:Fibonacci Quarterly
11769:Yabuta, M. (2001),
11471:Caldwell, Chris K.
11458:www.prothsearch.com
9932:0, 1, 2, 3, 4, ...
9720:{\displaystyle a+b}
9577:is increased by 1.
9421:The smallest bases
8783:0, 1, 3, 4, 5, ...
8601:0, 1, 2, 3, 4, ...
7429:(i.e., it is not a
7377:) is a power of 2.
7362:A positive integer
6619:which is −1 modulo
6358: —
5704: —
5404:{\displaystyle m=s}
5163:, and we may write
5055: —
4502: —
4280:Fermat pseudoprimes
2782:639,937 (78 digits)
1234:Heuristic arguments
1197:are known only for
1062:(later improved to
1052:must have the form
621:
21:
15193:Fermat pseudoprime
15178:Fermat's principle
15112:Mathematics portal
15054:Aronson's sequence
14800:Smarandache–Wellin
14557:-dependent numbers
14264:Primitive abundant
14151:Strong pseudoprime
14141:Perrin pseudoprime
14121:Fermat pseudoprime
14061:Wolstenholme prime
13885:Squared triangular
13671:Centered decagonal
13666:Centered nonagonal
13661:Centered octagonal
13651:Centered hexagonal
12853:Formula for primes
12486: + 2 or
12418:Smarandache–Wellin
11901:Peyton Hayslette,
11872:Weisstein, Eric W.
11853:Weisstein, Eric W.
11834:Weisstein, Eric W.
11541:81*2 + 1
11433:fermatquotient.com
11318:Weisstein, Eric W.
11150:"How Euler Did it"
10999:2013-12-24 at the
10961:
10921:
10801:
10695:(3 × 2)
10301:
10237:
9997:
9910:
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9773:
9752:
9717:
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9547:
9527:
9122:
9080:
9045:
8583:
8545:
8523:
8501:
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8441:
8419:
8381:
8359:
8337:
8299:
8277:
8242:
8206:
8169:
8114:
8069:
8030:
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7936:
7910:
7809:
7744:
7688:
7599:
7498:
7249:
7220:
7061:, so is 2 itself.
7044:
6916:
6870:
6821:
6794:Then the image of
6784:
6708:
6662:
6630:Lagrange's theorem
6609:
6575:
6526:
6492:, which has order
6473:
6449:
6407:
6360:Any prime divisor
6348:
6330:
6304:
6250:
6208:
6161:
5938:
5884:
5846:
5806:
5746:
5715:
5702:
5684:
5661:
5638:, it follows that
5628:
5567:
5494:
5421:
5401:
5375:
5327:
5304:
5237:
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4403:
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4276:strong pseudoprime
4247:
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1570:
1554:
1488:
1383:
1321:
1030:
861:Further properties
778:
693:Christian Goldbach
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663:
601:
568:
457:
389:
179:
95:Largest known term
19:
15311:Integer sequences
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15272:
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15119:
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15097:
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14544:
14543:
14433:
14432:
14429:
14428:
14375:Aliquot sequences
14186:Divisor functions
14159:
14158:
14131:Lucas pseudoprime
14111:Euler pseudoprime
14096:Carmichael number
14074:
14073:
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14028:
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13905:
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13901:
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13897:
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13858:
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13746:
13704:Square triangular
13596:
13595:
13543:
13542:
13495:
13494:
13429:
13428:
13381:
13380:
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13318:
13186:
13185:
12797:Carmichael number
12732:Composite numbers
12667: ± 3, 8
12663: ± 1, 4
12626: ± 1, …
12622: ± 1, 4
12618: ± 1, 2
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12607:
12153:3·2 − 1
12058:2·3 + 1
11972:Double Mersenne (
11894:Mark S. Manasse,
11732:978-0-387-94457-9
11654:978-0-387-95332-8
11634:978-0-387-20860-2
11247:978-3-540-26596-2
10804:{\displaystyle m}
10768:Sierpiński number
10713:one can find the
10707:
10706:
10572:Number of digits
10546:
10545:
9908:
9798:{\displaystyle n}
9776:{\displaystyle b}
9755:{\displaystyle a}
9570:{\displaystyle n}
9550:{\displaystyle n}
9459:) + 1 (for given
9419:
9418:
9083:{\displaystyle n}
9013:
9012:
8548:{\displaystyle n}
8526:{\displaystyle a}
8466:{\displaystyle n}
8444:{\displaystyle a}
8384:{\displaystyle n}
8362:{\displaystyle a}
8302:{\displaystyle n}
8280:{\displaystyle a}
8209:{\displaystyle n}
8167:
8028:
7796:
7792:
7731:
7727:
7594:
7590:
7569:
7565:
7525:values, as after
7431:quadratic residue
7270:and formulated a
6926:for some integer
6743:quadratic residue
6718:for some integer
6585:is the square of
6469:
6346:
6008:
5713:
5700:
5687:{\displaystyle k}
5424:{\displaystyle s}
5240:{\displaystyle m}
5130:{\displaystyle k}
5113:
5110:is a power of 2.
5103:{\displaystyle k}
5051:
4638:
4498:
4272:composite numbers
4260:
4259:
3290:(fully factored)
3135:(fully factored)
2964:
2963:
2284:{\displaystyle N}
2237:
2209:{\displaystyle N}
2065:repeated squaring
1700:
1664:
1662:
1631:
1555:
1539:
1518:Anders Bjorn and
1448:
1427:
1368:
1366:
1345:
1306:
1180:is composite for
914:Solomon W. Golomb
870:th powers, where
115:
114:
15318:
15154:Pierre de Fermat
15147:
15140:
15133:
15124:
15123:
15110:
15073:
15072:
15042:Natural language
15037:
15036:
15001:
15000:
14969:Generated via a
14965:
14964:
14925:
14924:
14830:Digit-reassembly
14795:Self-descriptive
14599:
14598:
14564:
14563:
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14549:
14501:Lucas–Carmichael
14491:Harmonic divisor
14439:
14438:
14365:Sparsely totient
14340:Highly cototient
14249:Multiply perfect
14239:Highly composite
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14164:
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14079:
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14034:
14016:Telephone number
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13911:
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13869:
13851:Square pyramidal
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13757:
13624:
13623:
13615:
13614:
13607:Figurate numbers
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11865:
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11765:
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11332:
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11330:
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11307:
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7733:
7732:
7726:
7702:An example of a
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7694:
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