15394:
14794:
31707:
13970:
28336:
29680:
31264:
13278:
15389:{\displaystyle {\begin{bmatrix}k_{0,1}&k_{1,1}&0&0&\cdots \\k_{0,2}&k_{1,2}&k_{2,2}&0&\cdots \\k_{0,3}&k_{1,3}&k_{2,3}&k_{3,3}&\cdots \\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots \end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}k_{0,0}&0&0&0&\cdots \\k_{0,1}&k_{1,1}&0&0&\cdots \\k_{0,2}&k_{1,2}&k_{2,2}&0&\cdots \\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots \end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}c_{1}&1&0&0&\cdots \\{\text{ab}}_{2}&c_{2}&1&0&\cdots \\0&{\text{ab}}_{3}&c_{3}&1&\cdots \\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots \end{bmatrix}},}
27607:
28930:
31702:{\displaystyle {\begin{aligned}{\begin{bmatrix}n\\m\end{bmatrix}}&\equiv \left(x^{\left\lceil {\frac {n}{3}}\right\rceil }(x+1)^{\left\lceil {\frac {n-1}{3}}\right\rceil }(x+2)^{\left\lfloor {\frac {n}{3}}\right\rfloor }\right)&&{\pmod {3}}\\&\equiv \sum _{k=0}^{m}{\begin{pmatrix}\left\lceil {\frac {n-1}{3}}\right\rceil \\k\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\left\lfloor {\frac {n}{3}}\right\rfloor \\m-k-\left\lceil {\frac {n}{3}}\right\rceil \end{pmatrix}}\times 2^{\left\lceil {\frac {n}{3}}\right\rceil +\left\lfloor {\frac {n}{3}}\right\rfloor -(m-k)}&&{\pmod {3}}\,.\end{aligned}}}
13965:{\displaystyle {\begin{aligned}e^{z+wz}&=\sum _{m,n\geq 0}{\binom {n}{m}}w^{m}{\frac {z^{n}}{n!}}\\e^{w(e^{z}-1)}&=\sum _{m,n\geq 0}{\begin{Bmatrix}n\\m\end{Bmatrix}}w^{m}{\frac {z^{n}}{n!}}\\{\frac {1}{(1-z)^{w}}}&=\sum _{m,n\geq 0}{\begin{bmatrix}n\\m\end{bmatrix}}w^{m}{\frac {z^{n}}{n!}}\\{\frac {1-w}{e^{(w-1)z}-w}}&=\sum _{m,n\geq 0}\left\langle {\begin{matrix}n\\m\end{matrix}}\right\rangle w^{m}{\frac {z^{n}}{n!}}\\{\frac {e^{w}-e^{z}}{we^{z}-ze^{w}}}&=\sum _{m,n\geq 0}\left\langle {\begin{matrix}m+n+1\\m\end{matrix}}\right\rangle {\frac {w^{m}z^{n}}{(m+n+1)!}}.\end{aligned}}}
28331:{\displaystyle {\begin{aligned}F(z)&={\frac {z^{m}}{(1-z)^{m+1}}}\sum _{k=0}^{\infty }{{\frac {1}{k+1}}{\binom {2k}{k}}\left({\frac {-z}{(1-z)^{2}}}\right)^{k}}\\&={\frac {z^{m}}{(1-z)^{m+1}}}\sum _{k=0}^{\infty }{C_{k}\left({\frac {-z}{(1-z)^{2}}}\right)^{k}}&{\text{where }}C_{k}=k{\text{th Catalan number}}\\&={\frac {z^{m}}{(1-z)^{m+1}}}{\frac {1-{\sqrt {1+{\frac {4z}{(1-z)^{2}}}}}}{\frac {-2z}{(1-z)^{2}}}}\\&={\frac {-z^{m-1}}{2(1-z)^{m-1}}}\left(1-{\frac {1+z}{1-z}}\right)\\&={\frac {z^{m}}{(1-z)^{m}}}=z{\frac {z^{m-1}}{(1-z)^{m}}}\,.\end{aligned}}}
2907:
29675:{\displaystyle {\begin{aligned}G(z)&=(1+z)^{n}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{k+1}}{\binom {2k}{k}}\left({\frac {-(1+z)}{z^{2}}}\right)^{k}\\&=(1+z)^{n}\sum _{k=0}^{\infty }C_{k}\,\left({\frac {-(1+z)}{z^{2}}}\right)^{k}&{\text{where }}C_{k}=k{\text{th Catalan number}}\\&=(1+z)^{n}\,{\frac {1-{\sqrt {1+{\frac {4(1+z)}{z^{2}}}}}}{\frac {-2(1+z)}{z^{2}}}}\\&=(1+z)^{n}\,{\frac {z^{2}-z{\sqrt {z^{2}+4+4z}}}{-2(1+z)}}\\&=(1+z)^{n}\,{\frac {z^{2}-z(z+2)}{-2(1+z)}}\\&=(1+z)^{n}\,{\frac {-2z}{-2(1+z)}}=z(1+z)^{n-1}\,.\end{aligned}}}
2398:
22510:
34214:
26004:
4273:
12824:
33503:
33125:
14742:
11634:
21872:
21608:
2902:{\displaystyle \sum _{k=1}^{k=n}a_{k}x^{k}=x+{\binom {m}{1}}\sum _{2\leq a\leq n}x^{a}+{\binom {m}{2}}{\underset {ab\leq n}{\sum _{a=2}^{\infty }\sum _{b=2}^{\infty }}}x^{ab}+{\binom {m}{3}}{\underset {abc\leq n}{\sum _{a=2}^{\infty }\sum _{c=2}^{\infty }\sum _{b=2}^{\infty }}}x^{abc}+{\binom {m}{4}}{\underset {abcd\leq n}{\sum _{a=2}^{\infty }\sum _{b=2}^{\infty }\sum _{c=2}^{\infty }\sum _{d=2}^{\infty }}}x^{abcd}+\cdots }
6519:
3691:
12533:
33155:
137:. Every sequence in principle has a generating function of each type (except that Lambert and Dirichlet series require indices to start at 1 rather than 0), but the ease with which they can be handled may differ considerably. The particular generating function, if any, that is most useful in a given context will depend upon the nature of the sequence and the details of the problem being addressed.
32793:
40:
14351:
11337:
8729:
16332:
34178:
6098:
22505:{\displaystyle {\begin{aligned}{\tilde {s}}_{n}&=\left(6(1-3z)^{3}\sum _{n=0}^{\infty }s_{n}z^{n}+18(1-3z)^{3}\sum _{n=0}^{\infty }ns_{n}z^{n}+9(1-3z)^{3}\sum _{n=0}^{\infty }n(n-1)s_{n}z^{n}+(1-3z)^{3}\sum _{n=0}^{\infty }n(n-1)(n-2)s_{n}z^{n}\right)\\&=(n+1)(n+2)(n+3)s_{n}-9n(n+1)(n+2)s_{n-1}+27(n-1)n(n+1)s_{n-2}-(n-2)(n-1)ns_{n-3}.\end{aligned}}}
32009:
23479:
21264:
18241:
11897:
12322:
8431:
32786:
32251:
4268:{\displaystyle {\begin{aligned}f_{n}(x+y)&=\sum _{k=0}^{n}f_{k}(x)f_{n-k}(y)\\f_{n}(2x)&=\sum _{k=0}^{n}f_{k}(x)f_{n-k}(x)\\xnf_{n}(x+y)&=(x+y)\sum _{k=0}^{n}kf_{k}(x)f_{n-k}(y)\\{\frac {(x+y)f_{n}(x+y+tn)}{x+y+tn}}&=\sum _{k=0}^{n}{\frac {xf_{k}(x+tk)}{x+tk}}{\frac {yf_{n-k}(y+t(n-k))}{y+t(n-k)}}.\end{aligned}}}
21011:
12819:{\displaystyle C_{n}\sim {\frac {B(r)}{r^{\alpha }\Gamma (\beta )}}\,n^{\beta -1}\left({\frac {1}{r}}\right)^{n}={\frac {-{\frac {1}{2}}}{\left({\frac {1}{4}}\right)^{1}\Gamma \left(-{\frac {1}{2}}\right)}}\,n^{-{\frac {1}{2}}-1}\left({\frac {1}{\,{\frac {1}{4}}\,}}\right)^{n}={\frac {4^{n}}{n^{\frac {3}{2}}{\sqrt {\pi }}}}.}
1526:
33498:{\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{n=1}^{\infty }p(n-1)z^{n}&={\frac {z}{(1-z)\left(1-z^{2}\right)\cdots }}\\&=z\cdot {\frac {\left(1-z^{5}\right)\left(1-z^{10}\right)\cdots }{(1-z)\left(1-z^{2}\right)\cdots }}\times \left(1+z^{5}+z^{10}+\cdots \right)\left(1+z^{10}+z^{20}+\cdots \right)\cdots \end{aligned}}}
9513:
15971:
8970:
25769:
33948:
33120:{\displaystyle z\cdot {\frac {\left(1-z^{5}\right)\left(1-z^{10}\right)\cdots }{\left(1-z\right)\left(1-z^{2}\right)\cdots }}=z\cdot \left((1-z)\left(1-z^{2}\right)\cdots \right)^{4}\times {\frac {\left(1-z^{5}\right)\left(1-z^{10}\right)\cdots }{\left(\left(1-z\right)\left(1-z^{2}\right)\cdots \right)^{5}}}\,,}
9968:
31229:
8443:
15936:
14737:{\displaystyle {\begin{aligned}J^{}(z)&={\cfrac {1}{1-c_{1}z-{\cfrac {{\text{ab}}_{2}z^{2}}{1-c_{2}z-{\cfrac {{\text{ab}}_{3}z^{2}}{\ddots }}}}}}\\&=1+c_{1}z+\left({\text{ab}}_{2}+c_{1}^{2}\right)z^{2}+\left(2{\text{ab}}_{2}c_{1}+c_{1}^{3}+{\text{ab}}_{2}c_{2}\right)z^{3}+\cdots \end{aligned}}}
11629:{\displaystyle a_{n}\sim {\frac {B(r)}{r^{\alpha }\Gamma (\beta )}}\,n^{\beta -1}\left({\frac {1}{r}}\right)^{n}\sim {\frac {B(r)}{r^{\alpha }}}{\binom {n+\beta -1}{n}}\left({\frac {1}{r}}\right)^{n}={\frac {B(r)}{r^{\alpha }}}\left(\!\!{\binom {\beta }{n}}\!\!\right)\left({\frac {1}{r}}\right)^{n}\,,}
19218:
18815:
11952:
that grows according to these asymptotic formulae. Generally, if the generating function of one sequence minus the generating function of a second sequence has a radius of convergence that is larger than the radius of convergence of the individual generating functions then the two sequences have the
9180:
31748:
23241:
7203:
with constant coefficients; this generalizes the examples above. Conversely, every sequence generated by a fraction of polynomials satisfies a linear recurrence with constant coefficients; these coefficients are identical to the coefficients of the fraction denominator polynomial (so they can be
6087:
27359:
25072:
11665:
28696:
27576:
28915:
17938:
27149:
30126:
28484:
12109:
7180:
8182:
6514:{\displaystyle {\begin{aligned}G(n^{2};x)&=\sum _{n=0}^{\infty }n^{2}x^{n}\\&=\sum _{n=0}^{\infty }n(n-1)x^{n}+\sum _{n=0}^{\infty }nx^{n}\\&=x^{2}D^{2}\left+xD\left\\&={\frac {2x^{2}}{(1-x)^{3}}}+{\frac {x}{(1-x)^{2}}}={\frac {x(x+1)}{(1-x)^{3}}}.\end{aligned}}}
15664:
31095:
958:
9735:
4792:
Polynomials are a special case of ordinary generating functions, corresponding to finite sequences, or equivalently sequences that vanish after a certain point. These are important in that many finite sequences can usefully be interpreted as generating functions, such as the
1718:
32574:
32020:
19705:
17944:
20757:
23236:
25985:
30925:
22739:
21785:
21603:{\displaystyle {\tilde {S}}(z)={\frac {6}{(1-3z)}}F\left({\frac {z}{1-3z}}\right)+{\frac {18z}{(1-3z)^{2}}}F'\left({\frac {z}{1-3z}}\right)+{\frac {9z^{2}}{(1-3z)^{3}}}F''\left({\frac {z}{1-3z}}\right)+{\frac {z^{3}}{(1-3z)^{4}}}F'''\left({\frac {z}{1-3z}}\right).}
1285:
24640:
36117:
9288:
24355:
20415:
30500:
8758:
10474:
25561:
25310:
19829:
9757:
37696:
7865:
5848:
36540:
31108:
6984:
36333:
36689:
3570:
23589:
15715:
4716:
22935:
19553:
6807:
9012:
35473:
24360:
Multiplication of generating functions, or convolution of their underlying sequences, can correspond to a notion of independent events in certain counting and probability scenarios. For example, if we adopt the notational convention that the
11285:
23986:
1100:
37443:
13249:
2103:
3270:
5863:
5647:
6640:
264:. One can generalize to formal power series in more than one indeterminate, to encode information about infinite multi-dimensional arrays of numbers. Thus generating functions are not functions in the formal sense of a mapping from a
36985:
36820:
588:
35639:
27158:
24839:
11101:
34962:
1975:
30247:
16327:{\displaystyle {\begin{aligned}P_{h}(z)&=(1-c_{h}z)P_{h-1}(z)-{\text{ab}}_{h}z^{2}P_{h-2}(z)+\delta _{h,1}\\Q_{h}(z)&=(1-c_{h}z)Q_{h-1}(z)-{\text{ab}}_{h}z^{2}Q_{h-2}(z)+(1-c_{1}z)\delta _{h,1}+\delta _{0,1}.\end{aligned}}}
7743:
26849:
17582:
28499:
21259:
19413:
34374:
33910:
32372:
27366:
19035:
18632:
1854:
34173:{\displaystyle {\begin{aligned}F(z)&=\int _{0}^{\infty }{\hat {F}}(tz)e^{-t}\,dt\,,\\{\hat {F}}(z)&={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }F\left(ze^{-i\vartheta }\right)e^{e^{i\vartheta }}\,d\vartheta \,,\end{aligned}}}
24148:
738:
35089:
28935:
28703:
25471:
is a subgraph of a graph which contains all of the original vertices and which contains enough edges to make this subgraph connected, but not so many edges that there is a cycle in the subgraph. We ask how many spanning trees
5502:
2297:
26964:
14150:
7331:
29982:
28343:
8724:{\displaystyle {\begin{aligned}G'(z)&=\sum _{n=0}^{\infty }(n+1)g_{n+1}z^{n}\\z\cdot G'(z)&=\sum _{n=0}^{\infty }ng_{n}z^{n}\\\int _{0}^{z}G(t)\,dt&=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {g_{n-1}}{n}}z^{n}.\end{aligned}}}
6995:
32480:
29861:
23789:
20264:
10163:
15485:
4431:
30938:
27612:
13283:
801:
16544:
The next table provides examples of closed-form formulas for the component sequences found computationally (and subsequently proved correct in the cited references) in several special cases of the prescribed sequences,
9569:
7597:
1559:
14247:
3024:
31716:
In this example, we pull in some of the machinery of infinite products whose power series expansions generate the expansions of many special functions and enumerate partition functions. In particular, we recall that
20518:
33545:(OGF) provides a method of converting the generating function for one sequence into a generating function enumerating another. These transformations typically involve integral formulas involving a sequence OGF (see
12997:
197:
A generating function is a device somewhat similar to a bag. Instead of carrying many little objects detachedly, which could be embarrassing, we put them all in a bag, and then we have only one object to carry, the
33792:
32004:{\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{n=0}^{\infty }p(n)z^{n}&={\frac {1}{\left(1-z\right)\left(1-z^{2}\right)\left(1-z^{3}\right)\cdots }}\\&=1+z+2z^{2}+3z^{3}+5z^{4}+7z^{5}+11z^{6}+\cdots .\end{aligned}}}
20634:
6103:
5352:
23474:{\displaystyle U(z)={\frac {1-z^{2}}{1-4z^{2}+z^{4}}}={\frac {1}{3-{\sqrt {3}}}}\cdot {\frac {1}{1-\left(2+{\sqrt {3}}\right)z^{2}}}+{\frac {1}{3+{\sqrt {3}}}}\cdot {\frac {1}{1-\left(2-{\sqrt {3}}\right)z^{2}}}.}
23042:
21113:
18299:
17290:
25774:
19029:
36427:
34818:
30756:
16490:
5120:
22565:
17704:
33656:
32569:
24733:
8448:
5231:
24492:
5027:
36161:
24166:
23037:
20269:
10696:
34558:
8018:
34453:
30293:
18439:
18236:{\displaystyle {\frac {q^{2i-4}\left(1-bq^{i-3}\right)\left(1-aq^{i-2}\right)\left(a-bq^{i-2}\right)\left(1-q^{i-1}\right)}{\left(1-bq^{2i-5}\right)\left(1-bq^{2i-4}\right)^{2}\left(1-bq^{2i-3}\right)}}}
17183:
4877:
33953:
33160:
31753:
21877:
20762:
14356:
9293:
8187:
438:
20734:
12423:
11892:{\displaystyle G\left(a_{n}-{\frac {B(r)}{r^{\alpha }}}{\binom {n+\beta -1}{n}}\left({\frac {1}{r}}\right)^{n};x\right)=G(a_{n};x)-{\frac {B(r)}{r^{\alpha }}}\left(1-{\frac {x}{r}}\right)^{-\beta }\,.}
10303:
2393:
37200:
37058:
35814:
22562:
without breaking down this definition further to handle the cases of vertical versus horizontal dominoes. Notice that the ordinary generating functions for our two sequences correspond to the series:
19564:
7504:
25164:
23039:
we can use the initial conditions specified above and the previous two recurrence relations to see that we have the next two equations relating the generating functions for these sequences given by
18626:
12055:
35311:
20172:
16941:
37532:
35757:
17469:
7750:
5654:
37359:
6818:
32025:
31269:
23047:
22806:
22570:
15976:
12317:{\displaystyle a_{n}\sim {\frac {B(r)}{r^{\alpha }\Gamma (\beta )}}\,n^{\beta -1}\left({\frac {1}{r}}\right)^{n}={\frac {1+1}{1^{-1}\,\Gamma (3)}}\,n^{3-1}\left({\frac {1}{1}}\right)^{n}=n^{2}.}
3696:
1181:
25392:
24489:
cents in coin denominations of values in the set {1, 5, 10, 25, 50} (i.e., in pennies, nickels, dimes, quarters, and half dollars, respectively) is generated by the product
10755:
8426:{\displaystyle {\begin{aligned}&z^{m}G(z)=\sum _{n=m}^{\infty }g_{n-m}z^{n}\\&{\frac {G(z)-g_{0}-g_{1}z-\cdots -g_{m-1}z^{m-1}}{z^{m}}}=\sum _{n=0}^{\infty }g_{n+m}z^{n}.\end{aligned}}}
3348:
2206:
26391:
23500:
34697:
26657:
17013:
8099:
36002:
35996:
35233:
24472:
17654:
4542:
32781:{\displaystyle {\frac {\left(1-z^{5}\right)\left(1-z^{10}\right)\left(1-z^{15}\right)\cdots }{\left((1-z)\left(1-z^{2}\right)\left(1-z^{3}\right)\cdots \right)^{5}}}\equiv 1{\pmod {5}}\,.}
26701:. This is expected as one can prove that the number of leaves of a binary tree are one more than the number of its internal nodes, so the total sum should always be an odd number. For odd
26116:
22801:
20050:
16619:
6670:
3574:
We see that for non-identically zero convolution families, this definition is equivalent to requiring that the sequence have an ordinary generating function of the first form given above.
37262:
32246:{\displaystyle {\begin{aligned}p(5m+4)&\equiv 0{\pmod {5}}\\p(7m+5)&\equiv 0{\pmod {7}}\\p(11m+6)&\equiv 0{\pmod {11}}\\p(25m+24)&\equiv 0{\pmod {5^{2}}}\,.\end{aligned}}}
35854:
21006:{\displaystyle {\begin{aligned}s_{n}&:=\sum _{m=0}^{n}{\binom {n}{m}}f_{m}3^{n-m}\\{\tilde {s}}_{n}&:=\sum _{m=0}^{n}{\binom {n}{m}}(m+1)(m+2)(m+3)f_{m}3^{n-m}\,,\end{aligned}}}
17349:
16795:
38310:, Example 6 in §7.3 for another method and the complete setup of this problem using generating functions. This more "convoluted" approach is given in Section 7.5 of the same reference.
25150:
18884:
11166:
7368:
35521:
23818:
23483:
Thus by performing algebraic simplifications to the sequence resulting from the second partial fractions expansions of the generating function in the previous equation, we find that
18500:
1252:
991:
19716:
13110:
2001:
34885:
3683:
3139:
36433:
34601:
32255:
We show how to use generating functions and manipulations of congruences for formal power series to give a highly elementary proof of the first of these congruences listed above.
21615:
14307:
5517:
1521:{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {q^{n}x^{n}}{1-x^{n}}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {q^{n}x^{n^{2}}}{1-qx^{n}}}+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {q^{n}x^{n(n+1)}}{1-x^{n}}},}
36170:
6533:
36550:
17698:
13105:
9508:{\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{n=0}^{\infty }f_{2n}z^{2n}&={\frac {F(z)+F(-z)}{2}}\\\sum _{n=0}^{\infty }f_{2n+1}z^{2n+1}&={\frac {F(z)-F(-z)}{2}}.\end{aligned}}}
489:
37291:
37127:
35122:
31261:
Similarly, we can reduce the right-hand-side products defining the
Stirling number generating functions modulo 3 to obtain slightly more complicated expressions providing that
26234:
10994:
4303:
35685:
17385:
1884:
30131:
24742:
An example where convolutions of generating functions are useful allows us to solve for a specific closed-form function representing the ordinary generating function for the
18365:
10270:
10210:
8965:{\displaystyle z^{k}G^{(k)}(z)=\sum _{n=0}^{\infty }n^{\underline {k}}g_{n}z^{n}=\sum _{n=0}^{\infty }n(n-1)\dotsb (n-k+1)g_{n}z^{n}\quad {\text{for all }}k\in \mathbb {N} .}
7608:
16747:
7208:
with constant coefficients, and then hence, for explicit closed-form formulas for the coefficients of these generating functions. The prototypical example here is to derive
26546:
19424:
10587:
35935:
33797:
32261:
25764:{\displaystyle f_{n}=\sum _{m>0}\sum _{\scriptstyle k_{1}+k_{2}+\cdots +k_{m}=n \atop \scriptstyle k_{1},k_{2},\ldots ,k_{m}>0}g_{k_{1}}g_{k_{2}}\cdots g_{k_{m}}\,,}
23622:
of the terms in two formal power series turns a product of generating functions into a generating function enumerating a convolved sum of the original sequence terms (see
10517:
7405:
3117:
1753:
283:
and composition with (i.e., substitution into) other generating functions; since these operations are also defined for functions, the result looks like a function of
35896:
35319:
30719:
Generating functions also have other uses in proving congruences for their coefficients. We cite the next two specific examples deriving special case congruences for the
26178:
23993:
10866:
655:
14306:
power series are another way to express the typically divergent ordinary generating functions for many special one and two-variate sequences. The particular form of the
5392:
2211:
37098:
17055:
16832:
14044:
9963:{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }f_{\left\lfloor {\frac {n}{m}}\right\rfloor }z^{n}={\frac {1-z^{m}}{1-z}}F(z^{m})=\left(1+z+\cdots +z^{m-2}+z^{m-1}\right)F(z^{m}).}
7226:
35156:
31224:{\displaystyle {\begin{bmatrix}n\\k\end{bmatrix}}\equiv {\binom {\left\lfloor {\frac {n}{2}}\right\rfloor }{k-\left\lceil {\frac {n}{2}}\right\rceil }}{\pmod {2}}\,,}
26284:
22523:(see also Section 7.1 of the same reference for pretty pictures of generating function series). In particular, suppose that we seek the total number of ways (denoted
19231:-fractions given above are in general different from that of the corresponding power series expansions defining the ordinary generating functions of these sequences.
37365:
32389:
29687:
23655:
23606:
is the prototypical example of using generating functions to solve recurrence relations in one variable already covered, or at least hinted at, in the subsection on
20177:
18920:
10005:
295:; this explains the designation "generating functions". However such interpretation is not required to be possible, because formal series are not required to give a
34846:
34629:
34481:
30929:
provides an overview of the congruences for these numbers derived strictly from properties of their generating function as in
Section 4.6 of Wilf's stock reference
26465:
16704:
16676:
14771:
9003:
4308:
26494:
26438:
10239:
17082:
15931:{\displaystyle \operatorname {Conv} _{h}(z):={\frac {P_{h}(z)}{Q_{h}(z)}}=j_{0}+j_{1}z+\cdots +j_{2h-1}z^{2h-1}+\sum _{n=2h}^{\infty }{\widetilde {j}}_{h,n}z^{n}}
36827:
36695:
24646:
cents to be paid in coins of any positive integer denomination, we arrive at the generating for the number of such combinations of change being generated by the
18524:
7515:
35529:
26891:
26871:
26719:
26699:
26679:
25447:
18320:
16853:
14155:
2923:
34893:
20422:
19213:{\displaystyle {\begin{cases}-{\dfrac {(x-i+2)(x+i-1)}{4\cdot (2i-3)^{2}}}&{\text{for }}i\geq 3;\\-{\frac {1}{2}}x(x+1)&{\text{for }}i=2.\end{cases}}}
18810:{\displaystyle {\begin{cases}-{\dfrac {(x-i+2)(x+i-1)}{4\cdot (2i-3)^{2}}}&{\text{for }}i\geq 3;\\-{\frac {1}{2}}x(x+1)&{\text{for }}i=2.\end{cases}}}
12879:
9175:{\displaystyle \sum _{j=0}^{k}{\begin{Bmatrix}k\\j\end{Bmatrix}}z^{j}F^{(j)}(z)=\sum _{n=0}^{\infty }n^{k}f_{n}z^{n}\quad {\text{for all }}k\in \mathbb {N} .}
33694:
26910:
is complicated, and it is not always easy to evaluate. The "Free
Parameter" method is another method (called "snake oil" by H. Wilf) to evaluate these sums.
26726:
20526:
17475:
5257:
21030:
19281:
9201:
9193:
34262:
10882:-recursive due to the nature of singularities in their corresponding generating functions. Similarly, functions with infinitely many singularities such as
32017:, which notably include the following results though there are still many open questions about the forms of related integer congruences for the function:
16408:
5034:
34968:
26034:
One often encounters generating functions specified by a functional equation, instead of an explicit specification. For example, the generating function
8130:
in the applications section of this article below for further examples of problem solving with convolutions of generating functions and interpretations.
33559:
32485:
24660:
5154:
6082:{\displaystyle G(n^{2};x)=\sum _{n=0}^{\infty }n^{2}x^{n}={\frac {2}{(1-x)^{3}}}-{\frac {3}{(1-x)^{2}}}+{\frac {1}{1-x}}={\frac {x(x+1)}{(1-x)^{3}}}.}
4948:
30251:
One useful method of obtaining congruences for sequences enumerated by special generating functions modulo any integers (i.e., not only prime powers
12833:
The generating function in several variables can be generalized to arrays with multiple indices. These non-polynomial double sum examples are called
22949:
19880:
Find relationships between sequences—if the generating functions of two sequences have a similar form, then the sequences themselves may be related.
10628:
5031:(The equality also follows directly from the fact that the left-hand side is the Maclaurin series expansion of the right-hand side.) In particular,
181:
used the device of generating functions long before
Laplace . He applied this mathematical tool to several problems in Combinatory Analysis and the
27354:{\displaystyle F(z)=\sum _{n=0}^{\infty }{\left(\sum _{k=0}^{\infty }{{\binom {n+k}{m+2k}}{\binom {2k}{k}}{\frac {(-1)^{k}}{k+1}}}\right)}z^{n}\,.}
25067:{\displaystyle C_{n}=\sum _{k=0}^{n-1}C_{k}C_{n-1-k}+\delta _{n,0}=C_{0}C_{n-1}+C_{1}C_{n-2}+\cdots +C_{n-1}C_{0}+\delta _{n,0}\,,\quad n\geq 0\,,}
7919:
33550:
30261:-fractions above. We cite one particular result related to generating series expanded through a representation by continued fraction from Lando's
9185:
9006:
4810:
354:
33546:
20639:
12344:
2331:
28691:{\displaystyle G(z)=\sum _{m=0}^{\infty }\left(\sum _{k=0}^{\infty }{\binom {n+k}{m+2k}}{\binom {2k}{k}}{\frac {(-1)^{k}}{k+1}}\right)z^{m}\,.}
7411:
3111:
27571:{\displaystyle F(z)=\sum _{k=0}^{\infty }{{\binom {2k}{k}}{\frac {(-1)^{k}}{k+1}}z^{-k}}\sum _{n=0}^{\infty }{{\binom {n+k}{m+2k}}z^{n+k}}\,.}
21143:
11964:
287:. Indeed, the closed form expression can often be interpreted as a function that can be evaluated at (sufficiently small) concrete values of
28910:{\displaystyle G(z)=\sum _{k=0}^{\infty }{\binom {2k}{k}}{\frac {(-1)^{k}}{k+1}}z^{-2k}\sum _{m=0}^{\infty }{\binom {n+k}{m+2k}}z^{m+2k}\,.}
20102:
18249:
17933:{\displaystyle {\frac {q^{i-2}\left(q+abq^{2i-3}+a(1-q^{i-1}-q^{i})+b(q^{i}-q-1)\right)}{\left(1-bq^{2i-4}\right)\left(1-bq^{2i-2}\right)}}}
17189:
27144:{\displaystyle s_{n}=\sum _{k=0}^{\infty }{{\binom {n+k}{m+2k}}{\binom {2k}{k}}{\frac {(-1)^{k}}{k+1}}}\,,\quad m,n\in \mathbb {N} _{0}\,,}
18926:
36341:
34703:
30121:{\displaystyle \langle E_{n}\rangle =\langle 1,1,5,61,1385,\ldots \rangle \longmapsto \langle 1,1,2,1,2,1,2,\ldots \rangle {\pmod {3}}\,,}
28479:{\displaystyle s_{n}={\begin{cases}\displaystyle {\binom {n-1}{m-1}}&{\text{for }}m\geq 1\,,\\{}&{\text{for }}m=0\,.\end{cases}}}
7175:{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }n^{m}z^{n}=\sum _{j=0}^{m}{\begin{Bmatrix}m+1\\j+1\end{Bmatrix}}{\frac {(-1)^{m-j}j!}{(1-z)^{j+1}}}.}
1112:
25328:
10703:
2137:
24755:. In particular, this sequence has the combinatorial interpretation as being the number of ways to insert parentheses into the product
15659:{\displaystyle j_{p+q}=k_{0,p}\cdot k_{0,q}+\sum _{i=1}^{\min(p,q)}{\text{ab}}_{2}\cdots {\text{ab}}_{i+1}\times k_{i,p}\cdot k_{i,q}.}
31090:{\displaystyle S_{n}(x)=\cdot \cdots =x^{\left\lceil {\frac {n}{2}}\right\rceil }(x+1)^{\left\lfloor {\frac {n}{2}}\right\rfloor }\,,}
26553:
8041:
953:{\displaystyle \operatorname {PG} (a_{n};x)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}e^{-x}{\frac {x^{n}}{n!}}=e^{-x}\,\operatorname {EG} (a_{n};x).}
36123:
11132:
for the power series. The reverse can also hold; often the radius of convergence for a generating function can be used to deduce the
9730:{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }f_{an+b}z^{an+b}={\frac {1}{a}}\sum _{m=0}^{a-1}\omega _{a}^{-mb}F\left(\omega _{a}^{m}z\right).}
4912:
Expressions for the ordinary generating function of other sequences are easily derived from this one. For instance, the substitution
25495:
As an observation, we may approach the question by counting the number of ways to join adjacent sets of vertices. For example, when
24390:
8145:, we have the following two analogous identities for the modified generating functions enumerating the shifted sequence variants of
1713:{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {x^{n}}{1-x^{n}}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {x^{n^{2}}\left(1+x^{n}\right)}{1-x^{n}}}.}
34493:
30750:
26051:
19990:
9184:
A negative-order reversal of this sequence powers formula corresponding to the operation of repeated integration is defined by the
34380:
19700:{\displaystyle \operatorname {BG} _{p}\left(n^{2};x\right)=\sum _{n=0}^{\infty }\left(p^{n}\right)^{2}x^{n}={\frac {1}{1-p^{2}x}}}
18371:
17088:
7219:
We also notice that the class of rational generating functions precisely corresponds to the generating functions that enumerate
37135:
36993:
35763:
25088:
23231:{\displaystyle {\begin{aligned}U(z)&=2zV(z)+z^{2}U(z)+1\\V(z)&=zU(z)+z^{2}V(z)={\frac {z}{1-z^{2}}}U(z),\end{aligned}}}
25980:{\displaystyle F(z)=G(z)+G(z)^{2}+G(z)^{3}+\cdots ={\frac {G(z)}{1-G(z)}}={\frac {z}{(1-z)^{2}-z}}={\frac {z}{1-3z+z^{2}}}\,,}
14314:-fractions) are expanded as in the following equation and have the next corresponding power series expansions with respect to
4898:
are equal to 0). Moreover, there can be no other power series with this property. The left-hand side therefore designates the
4885:
expansion of the right-hand side. Alternatively, the equality can be justified by multiplying the power series on the left by
38615:
38519:
38505:
38421:
38206:
38036:
37811:
37724:
30933:. We repeat the basic argument and notice that when reduces modulo 2, these finite product generating functions each satisfy
30920:{\displaystyle S_{n}(x):=\sum _{k=0}^{n}{\begin{bmatrix}n\\k\end{bmatrix}}x^{k}=x(x+1)(x+2)\cdots (x+n-1)\,,\quad n\geq 1\,,}
18530:
11924:
Similar asymptotic analysis is possible for exponential generating functions; with an exponential generating function, it is
8440:
We have the following respective power series expansions for the first derivative of a generating function and its integral:
1196:
35239:
22734:{\displaystyle {\begin{aligned}U(z)=1+3z^{2}+11z^{4}+41z^{6}+\cdots ,\\V(z)=z+4z^{3}+15z^{5}+56z^{7}+\cdots .\end{aligned}}}
16859:
16625:
to be indeterminates with respect to these expansions, where the prescribed sequences enumerated by the expansions of these
35693:
17391:
2916:
The idea of generating functions can be extended to sequences of other objects. Thus, for example, polynomial sequences of
37299:
30257:) is given in the section on continued fraction representations of (even non-convergent) ordinary generating functions by
24635:{\displaystyle C(z)={\frac {1}{1-z}}{\frac {1}{1-z^{5}}}{\frac {1}{1-z^{10}}}{\frac {1}{1-z^{25}}}{\frac {1}{1-z^{50}}},}
10606:
8975:
7204:
directly read off). This observation shows it is easy to solve for generating functions of sequences defined by a linear
6664:
209:
164:
36112:{\displaystyle \sum _{0\leq j\leq m}\left\{{\begin{matrix}m\\j\end{matrix}}\right\}{\frac {j!\cdot z^{j}}{(1-z)^{j+1}}}}
13069:
38554:
37468:
36164:
33538:
31721:
30724:
30720:
26291:
26183:
24350:{\displaystyle C(z)=G(z)^{m}\Leftrightarrow C(z)=\sum _{k_{1}+k_{2}+\cdots +k_{m}=n}g_{k_{1}}g_{k_{2}}\cdots g_{k_{m}}}
20410:{\displaystyle S(z)=\sum _{n=1}^{\infty }{s_{n}z^{n}}={\frac {1}{(1-z)^{2}}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {z^{n}}{n}}\,.}
9271:
9189:
4892:, and checking that the result is the constant power series 1 (in other words, that all coefficients except the one of
34641:
25771:
from which we see that the ordinary generating function for this sequence is given by the next sum of convolutions as
16947:
4483:. Moreover, we can use matrix methods (as in the reference) to prove that given two convolution polynomial sequences,
38639:
38586:
38483:
37884:
37753:
35943:
35164:
30495:{\displaystyle A(z)={\cfrac {1}{1-c_{1}z-{\cfrac {p_{1}z^{2}}{1-c_{2}z-{\cfrac {p_{2}z^{2}}{1-c_{3}z-{\ddots }}}}}}}}
20743:
As another example of using generating functions to relate sequences and manipulate sums, for an arbitrary sequence
17590:
37473:
34206:. Other special generating functions of note include the entries in the next table, which is by no means complete.
24647:
16583:
10469:{\displaystyle {\widehat {c}}_{s}(n)f_{n+s}+{\widehat {c}}_{s-1}(n)f_{n+s-1}+\cdots +{\widehat {c}}_{0}(n)f_{n}=0,}
24:
37206:
34224: with: Lists of special and special sequence generating functions. The next table is a start. You can help by
33556:
Generating function transformations can come into play when we seek to express a generating function for the sums
37745:
37719:
37463:
25305:{\displaystyle C(z)={\frac {1-{\sqrt {1-4z}}}{2z}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n+1}}{\binom {2n}{n}}z^{n}\,.}
24362:
23238:
which then implies by solving the system of equations (and this is the particular trick to our method here) that
10982:
10938:
site. Despite being mostly closed-source, particularly powerful tools in this software suite are provided by the
460:
35820:
17298:
16753:
10293:. Thus we can see an equivalent condition that a generating function is holonomic if its coefficients satisfy a
7747:
then this generating function's diagonal coefficient generating function is given by the well-known OGF formula
19:
This article is about generating functions in mathematics. For generating functions in classical mechanics, see
38704:
26014: with: This section needs to be added to the list of techniques with generating functions. You can help by
19824:{\displaystyle \operatorname {DG} \left(n^{2};s\right)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {n^{2}}{n^{s}}}=\zeta (s-2)}
18823:
14275:
7338:
3087:
3058:
37691:{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }g_{n+m}z^{n}={\frac {G(z)-g_{0}-g_{1}z-\cdots -g_{m-1}z^{m-1}}{z^{m}}}\,.}
35479:
25425:
edges connected according to the following rules: Vertex 0 is connected by a single edge to each of the other
7860:{\displaystyle \operatorname {diag} (F)=\sum _{n=0}^{\infty }{\binom {2n}{n}}z^{n}={\frac {1}{\sqrt {1-4z}}}.}
5843:{\displaystyle 2{\binom {n+2}{2}}-3{\binom {n+1}{1}}+{\binom {n}{0}}=2{\frac {(n+1)(n+2)}{2}}-3(n+1)+1=n^{2},}
38725:
38680:
36535:{\displaystyle \left({\frac {1+{\sqrt {1+4z}}}{2}}\right)^{n}+\left({\frac {1-{\sqrt {1+4z}}}{2}}\right)^{n}}
21020:, and seek to express the second sums in terms of the first. We suggest an approach by generating functions.
18447:
6979:{\displaystyle {\frac {z^{k}}{(1-z)^{k+1}}}=\sum _{i=0}^{k}{\binom {k}{i}}{\frac {(-1)^{k-i}}{(1-z)^{i+1}}},}
315:
are meaningful as expressions designating formal series; for example, negative and fractional powers of
20:
36328:{\displaystyle {\frac {z^{i}}{(1-z)^{i+1}}}=\sum _{k=0}^{i}{\binom {i}{k}}{\frac {(-1)^{k-i}}{(1-z)^{k+1}}}}
19908:
11901:
The asymptotic growth of the coefficients of this generating function can then be sought via the finding of
38269:— (2017). "Jacobi-Type Continued Fractions and Congruences for Binomial Coefficients Modulo Integers
36684:{\displaystyle \sum _{n_{1},\ldots ,n_{m}\geq 0}\min(n_{1},\ldots ,n_{m})z_{1}^{n_{1}}\cdots z_{m}^{n_{m}}}
34855:
19044:
18641:
7870:
3648:
3565:{\displaystyle f_{n}(x+y)=f_{n}(x)f_{0}(y)+f_{n-1}(x)f_{1}(y)+\cdots +f_{1}(x)f_{n-1}(y)+f_{0}(x)f_{n}(y).}
38244:"Jacobi-Type Continued Fractions for the Ordinary Generating Functions of Generalized Factorial Functions"
34564:
34225:
26015:
23584:{\displaystyle U_{2n}=\left\lceil {\frac {\left(2+{\sqrt {3}}\right)^{n}}{3-{\sqrt {3}}}}\right\rceil \,,}
19918:
Generating functions give us several methods to manipulate sums and to establish identities between sums.
38720:
38675:
38670:
34195:
25394:
which then leads to another "simple" (of form) continued fraction expansion of this generating function.
23990:
Consider the triply convolved sequence resulting from the product of three ordinary generating functions
7913:
17660:
6091:
We may also expand alternately to generate this same sequence of squares as a sum of derivatives of the
5235:
By squaring the initial generating function, or by finding the derivative of both sides with respect to
38730:
37458:
37268:
37104:
35095:
33537:
There are a number of transformations of generating functions that provide other applications (see the
32014:
25988:
19867:
10275:
Since we can clear denominators if need be in the previous equation, we may assume that the functions,
9563:
7912:) of the sequences. For example, the sequence of cumulative sums (compare to the slightly more general
7878:
7205:
4805:
4711:{\displaystyle \left\left(G(z)F\left(zG(z)^{t}\right)\right)^{x}=\sum _{k=0}^{n}F_{k}(x)G_{n-k}(x+tk).}
4280:
28:
35645:
22930:{\displaystyle {\begin{aligned}U_{n}&=2V_{n-1}+U_{n-2}\\V_{n}&=U_{n-1}+V_{n-2}.\end{aligned}}}
21869:
Finally, it follows that we may express the second sums through the first sums in the following form:
19548:{\displaystyle \operatorname {EG} (n^{2};x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {n^{2}x^{n}}{n!}}=x(x+1)e^{x}}
17355:
16357:
implies additional finite difference equations and congruence properties satisfied by the sequence of
6802:{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {n!}{(n-j)!}}\,z^{n}={\frac {j!\cdot z^{j}}{(1-z)^{j+1}}},}
1866:
are often classified as generating functions, although they are not strictly formal power series. The
592:
Exponential generating functions are generally more convenient than ordinary generating functions for
22743:
If we consider the possible configurations that can be given starting from the left edge of the 3-by-
18326:
10913:
10244:
10184:
7200:
7190:
3116:
Hadamard products of generating functions and diagonal generating functions, and their corresponding
593:
452:
38243:
37717:
This alternative term can already be found in E.N. Gilbert (1956), "Enumeration of
Labeled graphs",
35468:{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n-1}4^{n}(4^{n}-2)B_{2n}z^{2n}}{(2n)\cdot (2n)!}}}
28365:
16710:
37876:
37483:
34198:. A number of useful and special sequence generating functions are found in Section 5.4 and 7.4 of
10952:
10562:
599:
Another benefit of exponential generating functions is that they are useful in transferring linear
456:
261:
70:
35905:
26503:
26120:
The
Lagrange Inversion Theorem is a tool used to explicitly evaluate solutions to such equations.
25467:. There is one fan of order one, three fans of order two, eight fans of order three, and so on. A
11280:{\displaystyle G(a_{n};x)={\frac {A(x)+B(x)\left(1-{\frac {x}{r}}\right)^{-\beta }}{x^{\alpha }}}}
10516:
and have a holonomic generating function are equivalent. Holonomic functions are closed under the
3577:
A sequence of convolution polynomials defined in the notation above has the following properties:
144:, in that a series of terms can be said to be the generator of its sequence of term coefficients.
35863:
23981:{\displaystyle C(z)=A(z)B(z)\Leftrightarrow \leftC(z)=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}a_{k}b_{n-k}}
22549:
rectangle-minus-corner section of the full rectangle. We seek to use these definitions to give a
11128:
In calculus, often the growth rate of the coefficients of a power series can be used to deduce a
10961:
package which is able to find P-recurrences for many sums and solve for closed-form solutions to
10847:
3092:
1991:
1863:
1266:. As an example of a Lambert series identity not given in the main article, we can show that for
62:
38663:
26133:
1095:{\displaystyle \operatorname {LG} (a_{n};x)=\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}{\frac {x^{n}}{1-x^{n}}}.}
336:
is used without qualification, it is usually taken to mean an ordinary generating function. The
16:
Formal power series; coefficients encode information about a sequence indexed by natural numbers
38509:
38127:"On applications of symmetric Dirichlet distributions and their mixtures to contingency tables"
37438:{\displaystyle \left.-{\frac {\partial }{\partial s}}\operatorname {{Li}_{s}(z)} \right|_{s=0}}
37064:
26917:
as limit in the summation. When n does not appear explicitly in the summation, we may consider
23598:. We also note that the same shifted generating function technique applied to the second-order
22550:
17021:
16803:
13244:{\displaystyle \sum _{n,k}{\binom {n}{k}}x^{k}y^{n}={\frac {1}{1-(1+x)y}}={\frac {1}{1-y-xy}}.}
9282:
4899:
3316:
3082:
2098:{\displaystyle \operatorname {DG} (a_{n};s)=\prod _{p}\operatorname {BG} _{p}(a_{n};p^{-s})\,.}
1191:
604:
257:
111:
50:
6815:
th powers generalizing the result in the square case above. In particular, since we can write
4794:
3265:{\displaystyle F(z)^{x}=\exp {\bigl (}x\log F(z){\bigr )}=\sum _{n=0}^{\infty }f_{n}(x)z^{n},}
38168:
35135:
21780:{\displaystyle a(z)\cdot S(z)+b(z)\cdot zS'(z)+c(z)\cdot z^{2}S''(z)+d(z)\cdot z^{3}S'''(z),}
19847:
16641:
13252:
13008:
11129:
8743:, but that requires alternating between differentiation and multiplication. If instead doing
5642:{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a^{n}{\binom {n+k}{k}}x^{n}={\frac {1}{(1-ax)^{k+1}}}\,.}
4923:
3077:
2311:
220:
A generating function is a clothesline on which we hang up a sequence of numbers for display.
38687:
38196:
38090:
37868:
26239:
19227:
The radii of convergence of these series corresponding to the definition of the Jacobi-type
18890:
10969:. Other packages listed on this particular RISC site are targeted at working with holonomic
6635:{\displaystyle n^{m}=\sum _{j=0}^{m}{\begin{Bmatrix}m\\j\end{Bmatrix}}{\frac {n!}{(n-j)!}},}
4305:, we have modified generating functions for these convolution polynomial sequences given by
38577:
38131:
37964:
37919:
37821:
36980:{\displaystyle M(w,z):=\sum _{m,n\geq 0}\min(m,n)w^{m}z^{n}={\frac {wz}{(1-w)(1-z)(1-wz)}}}
36815:{\displaystyle {\frac {z_{1}\cdots z_{m}}{(1-z_{1})\cdots (1-z_{m})(1-z_{1}\cdots z_{m})}}}
34824:
34607:
34459:
32374:
all of the coefficients are divisible by 5 except for those which correspond to the powers
26443:
20738:
16682:
16654:
16524:, that is, when these sequences do not implicitly depend on an auxiliary parameter such as
14749:
13015:, one may ask for a bivariate generating function that generates the binomial coefficients
11645:
11641:
10988:
8981:
5368:
4772:
1259:
600:
583:{\displaystyle \operatorname {EG} (a_{n};x)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}{\frac {x^{n}}{n!}}.}
265:
38649:
38596:
38529:
38493:
38456:
37829:
35634:{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(1/2)^{\overline {n}}z^{2n}}{(2n+1)\cdot n!}}}
26470:
26398:
11651:
Often this approach can be iterated to generate several terms in an asymptotic series for
11096:{\displaystyle G\left(a_{n};e^{-i\omega }\right)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}e^{-i\omega n}}
10215:
762:
as a direct analogue with the recurrence relation above. In this view, the factorial term
114:(rather than as a series), by some expression involving operations on the formal series.
8:
38696:
37869:
37503:
34957:{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }\left\{{\begin{matrix}n\\m\end{matrix}}\right\}z^{n}}
31735:
24651:
23599:
19909:
Various techniques: Evaluating sums and tackling other problems with generating functions
19874:
17061:
16630:
11133:
9197:
7882:
7874:
4776:
4448:
3065:
2119:
1970:{\displaystyle \operatorname {DG} (a_{n};s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {a_{n}}{n^{s}}}.}
107:
58:
38227:
Schmidt, Maxie D. (2016). "Continued
Fractions for Square Series Generating Functions".
37923:
30242:{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }E_{n}z^{n}={\frac {1-z^{2}}{1+z^{2}}}{\pmod {3}}\,.}
18506:
7738:{\displaystyle F(s,t):=\sum _{i,j\geq 0}{\binom {i+j}{i}}s^{i}t^{j}={\frac {1}{1-s-t}},}
38546:
38475:
38436:
38386:
38274:
38255:
38228:
38031:. Cambridge Studies in Advanced Mathematics. Vol. 62. Cambridge University Press.
37979:
37909:
33917:
33913:
30287:
26876:
26856:
26844:{\displaystyle {\frac {1}{n}}(1+z^{2})^{n}={\frac {1}{n}}{\dbinom {n}{\frac {n+1}{2}}}}
26704:
26684:
26664:
25432:
23607:
21024:
18305:
17577:{\displaystyle {\frac {\left(q^{h-1}-1\right)\left(q^{h-1}-z\right)\cdot z}{q^{4h-5}}}}
16838:
13980:
13251:
Other examples of such include the following two-variable generating functions for the
7209:
3072:
2123:
608:
66:
38445:
Proceedings of the Sixth
Berkeley Symposium on Mathematical Statistics and Probability
38002:, Table 265 in §6.1 for finite sum identities involving the Stirling number triangles.
22519:
In this example, we reformulate a generating function example given in
Section 7.3 of
19408:{\displaystyle G(n^{2};x)=\sum _{n=0}^{\infty }n^{2}x^{n}={\frac {x(x+1)}{(1-x)^{3}}}}
10935:
38635:
38611:
38582:
38550:
38515:
38501:
38479:
38417:
38202:
38187:
38032:
37880:
37807:
37749:
37478:
35129:
34369:{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\binom {m+n}{n}}\left(H_{n+m}-H_{m}\right)z^{n}}
33905:{\displaystyle S(z)={\frac {z^{m}}{(1-z)^{m+1}}}A\left({\frac {z}{(1-z)^{2}}}\right)}
32367:{\displaystyle {\frac {1}{(1-z)^{5}}}=\sum _{i=0}^{\infty }{\binom {4+i}{4}}z^{i}\,,}
30738:
29965:
26180:
be a formal power series with a non-zero constant term. Then the functional equation
23603:
16637:
14297:
13983:
of non-negative integers with specified row and column totals. Suppose the table has
11312:
8752:
7213:
7196:
5357:
1849:{\displaystyle \operatorname {BG} _{p}(a_{n};x)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{p^{n}}x^{n}.}
296:
253:
153:
99:
32386:
and moreover in those cases the remainder of the coefficient is 1 modulo 5. Thus,
25510:= 4 + 3 · 1 + 2 · 2 + 1 · 3 + 2 · 1 · 1 + 1 · 2 · 1 + 1 · 1 · 2 + 1 · 1 · 1 · 1 = 21
24143:{\displaystyle C(z)=F(z)G(z)H(z)\Leftrightarrow C(z)=\sum _{j+k+l=n}f_{j}g_{k}h_{l}}
8733:
The differentiation–multiplication operation of the second identity can be repeated
1258:
provides several more classical, or at least well-known examples related to special
733:{\displaystyle \operatorname {EF} (x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {f_{n}}{n!}}x^{n}}
38645:
38592:
38538:
38525:
38489:
38452:
38440:
38183:
38140:
37950:
37825:
37727:, but its use is rare before the year 2000; since then it appears to be increasing.
35125:
35084:{\displaystyle (z^{-1})^{\overline {-m}}={\frac {z^{m}}{(1-z)(1-2z)\cdots (1-mz)}}}
34849:
34632:
31100:
25994:
25397:
22514:
13979:
Multivariate generating functions arise in practice when calculating the number of
13260:
13256:
11961:
As derived above, the ordinary generating function for the sequence of squares is:
9212:
In this section we give formulas for generating functions enumerating the sequence
6989:
6092:
5497:{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\binom {n+2}{2}}x^{n}={\frac {1}{(1-x)^{3}}}.}
4882:
3054:
2325:
2292:{\displaystyle \operatorname {DG} (a_{n};s)\zeta (s)=\operatorname {DG} (b_{n};s),}
1531:
292:
38629:
33691:
involving the original sequence generating function. For example, if the sums are
30737:
which show the versatility of generating functions in tackling problems involving
25987:
from which we are able to extract an exact formula for the sequence by taking the
21261:
we may write the generating function for the second sum defined above in the form
14251:
14145:{\displaystyle x_{1}^{t_{1}}\cdots x_{r}^{t_{r}}y_{1}^{s_{1}}\cdots y_{c}^{s_{c}}}
13060:
that has these sequence values as coefficients. Since the generating function for
7326:{\displaystyle f_{n}=p_{1}(n)\rho _{1}^{n}+\cdots +p_{\ell }(n)\rho _{\ell }^{n},}
38605:
38463:
38441:"On the foundations of combinatorial theory. VI. The idea of generating function"
38432:
38411:
38026:
37960:
37817:
37498:
35899:
34484:
24743:
21612:
In particular, we may write this modified sum generating function in the form of
20096:
19898:
19877:
for sequences—the form of a generating function may suggest a recurrence formula.
11320:
10966:
319:
are examples of functions that do not have a corresponding formal power series.
231:
204:
159:
38572:
38471:
37955:
37938:
37799:
37488:
32475:{\displaystyle {\frac {1}{(1-z)^{5}}}\equiv {\frac {1}{1-z^{5}}}{\pmod {5}}\,,}
29945:
is an integer here—it may very well be polynomial-valued in some indeterminate
29856:{\displaystyle s_{n}=\leftz(1+z)^{n-1}=\left(1+z)^{n-1}={\binom {n-1}{m-1}}\,,}
28488:
It is instructive to use the same method again for the sum, but this time take
23784:{\displaystyle C(z)=A(z)B(z)\Leftrightarrow C(z)=\sum _{k=0}^{n}{a_{k}b_{n-k}}}
23623:
20259:{\displaystyle H(z)={\frac {1}{1-z}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {z^{n}}{n}}\,,}
19863:
12338:
12332:
11637:
10897:
10158:{\displaystyle c_{0}(z)F^{(r)}(z)+c_{1}(z)F^{(r-1)}(z)+\cdots +c_{r}(z)F(z)=0,}
7909:
7899:
2131:
1255:
968:
33511:
in the previous equations to prove our desired congruence result, namely that
30270:
Theorem: congruences for series generated by expansions of continued fractions
14348:
denotes the formal variable in the second power series expansion given below:
7199:(the ratio of two finite-degree polynomials) if and only if the sequence is a
4426:{\displaystyle {\frac {zF_{n}(x+tn)}{(x+tn)}}=\left{\mathcal {F}}_{t}(z)^{x},}
742:
and its derivatives can readily be shown to satisfy the differential equation
38714:
38564:
38145:
38126:
35857:
33549:) or weighted sums over the higher-order derivatives of these functions (see
29976:
25468:
19894:
19245:
14791:, in the previous equations correspond to matrix solutions of the equations:
9559:
5857:
3600:
2917:
1995:
1263:
182:
37806:, Undergraduate Texts in Mathematics, New York-Heidelberg: Springer-Verlag,
38691:
38625:
38568:
37737:
9972:
7592:{\displaystyle \operatorname {diag} (F):=\sum _{n=0}^{\infty }f(n,n)z^{n},}
7408:
of rational functions produce rational generating functions. Similarly, if
4757:
1530:
where we have the special case identity for the generating function of the
249:
226:
33923:
There are also integral formulas for converting between a sequence's OGF,
33794:
then the generating function for the modified sum expressions is given by
24778:
so that the order of multiplication is completely specified. For example,
22536:
rectangle with unmarked 2-by-1 domino pieces. Let the auxiliary sequence,
14242:{\displaystyle \prod _{i=1}^{r}\prod _{j=1}^{c}{\frac {1}{1-x_{i}y_{j}}}.}
8435:
3019:{\displaystyle e^{xf(t)}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {p_{n}(x)}{n!}}t^{n}}
38700:
37493:
29878:
We say that two generating functions (power series) are congruent modulo
20513:{\displaystyle {\frac {1}{(1-z)^{2}}}=\sum _{n=0}^{\infty }(n+1)z^{n}\,,}
19890:
10930:
10590:
9750:
floored arithmetic progressions — effectively repeating each coefficient
7905:
6811:
so that we can form the analogous generating functions over the integral
1728:
103:
91:
34213:
26003:
24836:. It follows that the sequence satisfies a recurrence relation given by
20739:
Example 2: Modified binomial coefficient sums and the binomial transform
12992:{\displaystyle G(a_{m,n};x,y)=\sum _{m,n=0}^{\infty }a_{m,n}x^{m}y^{n}.}
3106:
Other sequences generated by more complex generating functions include:
1106:
starts at 1, not at 0, as the first term would otherwise be undefined.
769:
is merely a counter-term to normalise the derivative operator acting on
279:
may involve arithmetic operations, differentiation with respect to
33787:{\displaystyle s_{n}:=\sum _{k=0}^{\infty }{\binom {n+k}{m+2k}}a_{k}\,}
32258:
First, we observe that in the binomial coefficient generating function
24737:
22747:
rectangle, we are able to express the following mutually dependent, or
20629:{\displaystyle s_{n}=\sum _{k=1}^{n}{\frac {n+1-k}{k}}=(n+1)H_{n}-n\,,}
14038:
5347:{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }(n+1)x^{n}={\frac {1}{(1-x)^{2}}},}
29949:, for example). If the "simpler" right-hand-side generating function,
24156:-fold convolution of a sequence with itself for some positive integer
21108:{\displaystyle S(z)={\frac {1}{1-3z}}F\left({\frac {z}{1-3z}}\right).}
18294:{\displaystyle \alpha ^{n}\cdot \left({\frac {R}{\alpha }}\right)_{n}}
17285:{\displaystyle aq^{2h-4}\left(aq^{h-2}-1\right)\left(q^{h-1}-1\right)}
9196:
on the sequence generating function. Related operations of performing
37914:
37867:
Hardy, G.H.; Wright, E.M.; Heath-Brown, D.R; Silverman, J.H. (2008).
30520:
th convergent to this continued fraction expansion defined such that
26873:
be the number of internal nodes: Now the expression just becomes the
19024:{\displaystyle {\frac {{\bigl (}x-2i(i-2)-1{\bigr )}}{(2i-1)(2i-3)}}}
12106:, we can verify that the squares grow as expected, like the squares:
10934:
include the software packages provided for non-commercial use on the
7195:
The ordinary generating function of a sequence can be expressed as a
37781:
36422:{\displaystyle \sum _{k<n}{\binom {n-k}{k}}{\frac {n}{n-k}}z^{k}}
34813:{\displaystyle {\frac {F_{m}z}{1-(F_{m-1}+F_{m+1})z+(-1)^{m}z^{2}}}}
25161:, we then arrive at a formula for this generating function given by
16485:{\displaystyle j_{n}\equiv \operatorname {Conv} _{h}(z){\pmod {h}},}
10272:
spanned by the set of all of its derivatives is finite dimensional.
7508:
is a bivariate rational generating function, then its corresponding
5860:
by linear combination of binomial-coefficient generating sequences:
5115:{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}x^{n}={\frac {1}{1+x}}.}
38279:
38260:
38233:
26500:
Applying the above theorem to our functional equation yields (with
9207:
4800:
A fundamental generating function is that of the constant sequence
1979:
The
Dirichlet series generating function is especially useful when
269:
38391:
37984:
33651:{\displaystyle s_{n}:=\sum _{m=0}^{n}{\binom {n}{m}}C_{n,m}a_{m},}
32564:{\displaystyle {\frac {1-z^{5}}{(1-z)^{5}}}\equiv 1{\pmod {5}}\,.}
26896:
24728:{\displaystyle \prod _{n=1}^{\infty }\left(1-z^{n}\right)^{-1}\,.}
20174:
be the ordinary generating function of the harmonic numbers. Then
19913:
12828:
7904:
Multiplication of ordinary generating functions yields a discrete
2130:. We also have a relation between the pair of coefficients in the
156:
in 1730, in order to solve the general linear recurrence problem.
34182:
provided that these integrals converge for appropriate values of
16494:
for non-symbolic, determinate choices of the parameter sequences
10766:-recursive sequences with holonomic generating functions include
5226:{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }x^{2n}={\frac {1}{1-x^{2}}}.}
5124:
One can also introduce regular gaps in the sequence by replacing
652:. The corresponding exponential generating function has the form
256:: in fact, the generating function is not actually regarded as a
174:
38470:. With the collaboration of P. Doubilet, C. Greene, D. Kahaner,
25995:
Implicit generating functions and the Lagrange inversion formula
25398:
Example: Spanning trees of fans and convolutions of convolutions
22515:
Example 3: Generating functions for mutually recursive sequences
5022:{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }(ax)^{n}={\frac {1}{1-ax}}.}
38331:
37866:
36156:{\displaystyle \left\{{\begin{matrix}n\\m\end{matrix}}\right\}}
29964:, then the form of this sequence suggests that the sequence is
11956:
9281:, this is simply the familiar decomposition of a function into
8747:
differentiations in sequence, the effect is to multiply by the
5852:
one can find the ordinary generating function for the sequence
1858:
1109:
The Lambert series coefficients in the power series expansions
38385:] (Masters) (in French). Université du Québec à Montréal.
25558:. More generally, we may write a formula for this sequence as
23032:{\displaystyle z^{m}G(z)=\sum _{n=m}^{\infty }g_{n-m}z^{n}\,,}
14318:
for some specific, application-dependent component sequences,
10976:
10691:{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {z^{n}}{(n!)^{2}}}}
38666:
by Mike Zabrocki, York University, Mathematics and Statistics
38379:
Approximations de séries génératrices et quelques conjectures
34553:{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }B_{n}{\frac {z^{n}}{n!}}}
30744:
15668:
8978:, that can be turned into another formula for multiplying by
8013:{\displaystyle (a_{0},a_{0}+a_{1},a_{0}+a_{1}+a_{2},\ldots )}
311:
Not all expressions that are meaningful as functions of
178:
38383:
Approximations of generating functions and a few conjectures
34448:{\displaystyle {\frac {1}{(1-z)^{m+1}}}\ln {\frac {1}{1-z}}}
19866:
for a sequence given in a recurrence relation, for example,
18434:{\displaystyle (i-1)\alpha {\bigl (}R+(i-2)\alpha {\bigr )}}
17178:{\displaystyle q^{h-1}-aq^{h-2}\left(q^{h}+q^{h-1}-1\right)}
12853:
The ordinary generating function of a two-dimensional array
6988:
we can apply a well-known finite sum identity involving the
4872:{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }x^{n}={\frac {1}{1-x}}.}
3685:, these polynomials satisfy convolution formulas of the form
3136:
sequences by their special generating functions of the form
2134:
expansions above and their DGFs. Namely, we can prove that:
37371:
34194:
An initial listing of special mathematical series is found
28472:
19206:
18803:
16558:-fractions defined in the first subsection. Here we define
12326:
10936:
RISC Combinatorics Group algorithmic combinatorics software
10002:
if it satisfies a linear differential equation of the form
2911:
433:{\displaystyle G(a_{n};x)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}x^{n}.}
117:
There are various types of generating functions, including
38416:. Graduate Texts in Mathematics. Vol. 238. Springer.
33532:
25074:
and so has a corresponding convolved generating function,
20729:{\displaystyle \sum _{k=1}^{n}{H_{k}}=(n+1)(H_{n+1}-1)\,.}
13107:
the generating function for the binomial coefficients is:
12418:{\displaystyle G(C_{n};x)={\frac {1-{\sqrt {1-4x}}}{2x}}.}
6523:
By induction, we can similarly show for positive integers
2388:{\displaystyle \operatorname {DG} (a_{k};s)=\zeta (s)^{m}}
2122:
then its Dirichlet series generating function is called a
37195:{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\binom {n}{k}}z^{n}}
37053:{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\binom {s}{n}}z^{n}}
35809:{\displaystyle {\frac {\operatorname {Li} _{s}(z)}{1-z}}}
34189:
31711:
30753:
on the Stirling numbers generated by the finite products
29873:
7499:{\displaystyle F(s,t):=\sum _{m,n\geq 0}f(m,n)w^{m}z^{n}}
4720:
Examples of convolution polynomial sequences include the
3330:
and if the following convolution condition holds for all
37978:
Mathar, R. J. (2012). "Yet another table of integrals".
37522:
Incidentally, we also have a corresponding formula when
36167:
and where the individual terms in the expansion satisfy
21254:{\displaystyle 6F(z)+18zF'(z)+9z^{2}F''(z)+z^{3}F'''(z)}
3068:
generated by more complex generating functions include:
466:
27:. For the moment generating function in statistics, see
38578:
Concrete Mathematics. A foundation for computer science
30445:
30416:
30386:
30357:
30327:
30315:
18621:{\displaystyle -{\frac {(x+2(i-1)^{2})}{(2i-1)(2i-3)}}}
14528:
14497:
14467:
14436:
14406:
14394:
12050:{\displaystyle G(n^{2};x)={\frac {x(x+1)}{(1-x)^{3}}}.}
11103:
is the discrete-time Fourier transform of the sequence
10920:-recursive sequences and holonomic generating functions
9978:-recursive sequences and holonomic generating functions
8436:
Differentiation and integration of generating functions
36132:
36033:
35306:{\displaystyle z^{\overline {m}}=z(z+1)\cdots (z+m-1)}
35194:
34923:
31542:
31493:
31277:
31117:
30808:
30448:
30419:
30389:
30360:
30330:
30318:
26506:
26242:
26136:
25650:
25600:
24482:
are independent. Similarly, the number of ways to pay
24387:, then we can show that for any two random variables
21027:
to write the generating function for the first sum as
20167:{\displaystyle H(z)=\sum _{n=1}^{\infty }{H_{n}z^{n}}}
16936:{\displaystyle q^{2h-3}\left(q^{2h}+q^{2h-2}-1\right)}
15234:
15038:
14803:
14531:
14500:
14470:
14439:
14409:
14397:
13870:
13719:
13580:
13458:
9188:
and its generalizations defined as a derivative-based
9042:
7069:
6576:
4513:, with respective corresponding generating functions,
3110:
Double exponential generating functions. For example:
37535:
37368:
37302:
37271:
37209:
37138:
37107:
37067:
36996:
36830:
36698:
36553:
36436:
36344:
36173:
36126:
36005:
35946:
35908:
35866:
35823:
35766:
35752:{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }H_{n}^{(s)}z^{n}}
35696:
35648:
35532:
35482:
35322:
35242:
35167:
35138:
35098:
34971:
34896:
34858:
34827:
34706:
34644:
34610:
34567:
34496:
34462:
34383:
34265:
33951:
33800:
33697:
33562:
33158:
32796:
32577:
32488:
32392:
32264:
32023:
31751:
31267:
31111:
30941:
30759:
30577:
where we assume that one of divisibility criteria of
30296:
30134:
29985:
29690:
28933:
28706:
28502:
28368:
28346:
27610:
27369:
27161:
26967:
26879:
26859:
26805:
26729:
26707:
26687:
26667:
26556:
26473:
26446:
26401:
26294:
26186:
26054:
25777:
25564:
25435:
25331:
25167:
25091:
24842:
24663:
24495:
24393:
24169:
23996:
23821:
23658:
23503:
23244:
23045:
22952:
22804:
22568:
21875:
21618:
21267:
21146:
21033:
20760:
20642:
20529:
20425:
20272:
20180:
20105:
19993:
19984:
for the corresponding ordinary generating functions.
19719:
19567:
19427:
19284:
19051:
19038:
18929:
18893:
18826:
18648:
18635:
18533:
18509:
18450:
18374:
18329:
18308:
18252:
17947:
17707:
17663:
17593:
17478:
17464:{\displaystyle {\frac {q^{h}-z-qz+q^{h}z}{q^{2h-1}}}}
17394:
17358:
17301:
17192:
17091:
17064:
17024:
16950:
16862:
16841:
16806:
16756:
16713:
16685:
16657:
16586:
16411:
16336:
Moreover, the rationality of the convergent function
15974:
15718:
15488:
14797:
14752:
14354:
14158:
14047:
13281:
13113:
13072:
12882:
12536:
12347:
12112:
11967:
11668:
11340:
11169:
10997:
10850:
10706:
10631:
10565:
10306:
10247:
10218:
10187:
10008:
9760:
9572:
9291:
9015:
8984:
8761:
8446:
8185:
8122:
is the ordinary generating function for the sequence
8044:
7922:
7888:
7753:
7611:
7518:
7414:
7341:
7229:
6998:
6821:
6673:
6536:
6101:
5866:
5657:
5520:
5395:
5260:
5157:
5037:
4951:
4813:
4545:
4311:
4283:
3694:
3651:
3351:
3142:
3057:
are generated in a similar way. See the main article
2926:
2401:
2334:
2214:
2140:
2004:
1887:
1756:
1562:
1288:
1199:
1115:
994:
804:
658:
492:
357:
327:
299:
when a nonzero numeric value is substituted for
275:
These expressions in terms of the indeterminate
38563:
38359:
38307:
38295:
38112:
38064:
37999:
37354:{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\log {(n)}z^{n}}
24738:
Example: Generating function for the Catalan numbers
10509:. In other words, the properties that a sequence be
7893:
459:, then its ordinary generating function is called a
38688:
Generating Functions, Power Indices and Coin Change
38430:
38159:For more complete information on the properties of
38025:Stanley, Richard P.; Fomin, Sergey (1997). "§6.3".
33934:, and its exponential generating function, or EGF,
22545:, be defined as the number of ways to cover a 3-by-
14252:Representation by continued fractions (Jacobi-type
14041:, the number of such tables is the coefficient of:
5250:, one sees that the coefficients form the sequence
1998:expression in terms of the function's Bell series:
1742:is an expression in terms of both an indeterminate
1176:{\displaystyle b_{n}:=\operatorname {LG} (a_{n};x)}
38581:(2nd ed.). Addison-Wesley. pp. 320–380.
37690:
37437:
37353:
37285:
37256:
37194:
37121:
37092:
37052:
36979:
36814:
36683:
36534:
36421:
36327:
36155:
36111:
35990:
35929:
35890:
35848:
35808:
35751:
35679:
35633:
35515:
35467:
35305:
35227:
35150:
35116:
35083:
34956:
34879:
34840:
34812:
34691:
34623:
34595:
34552:
34475:
34447:
34368:
34172:
33904:
33786:
33650:
33497:
33119:
32780:
32563:
32474:
32366:
32245:
32003:
31701:
31223:
31089:
30919:
30494:
30241:
30120:
29855:
29674:
28909:
28690:
28478:
28330:
27570:
27353:
27143:
26885:
26865:
26843:
26713:
26693:
26673:
26651:
26540:
26488:
26459:
26432:
26385:
26278:
26228:
26172:
26110:
25979:
25763:
25441:
25387:{\displaystyle C(z)={\frac {1}{1-z\cdot C(z)}}\,,}
25386:
25304:
25144:
25066:
24727:
24634:
24466:
24349:
24142:
23980:
23783:
23583:
23473:
23230:
23031:
22929:
22751:, recurrence relations for our two sequences when
22733:
22504:
21779:
21602:
21253:
21107:
21005:
20728:
20628:
20520:
20512:
20409:
20258:
20166:
20044:
19901:are an example of an application in combinatorics.
19823:
19699:
19547:
19407:
19212:
19023:
18914:
18878:
18809:
18620:
18518:
18494:
18433:
18359:
18314:
18293:
18235:
17932:
17692:
17648:
17576:
17463:
17379:
17343:
17284:
17177:
17076:
17049:
17007:
16935:
16847:
16826:
16789:
16741:
16698:
16670:
16613:
16484:
16326:
15930:
15658:
15388:
14765:
14736:
14241:
14144:
13964:
13243:
13099:
12991:
12818:
12417:
12316:
12049:
11891:
11628:
11279:
11123:
11095:
10860:
10750:{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }n!\cdot z^{n}}
10749:
10690:
10581:
10468:
10264:
10233:
10204:
10157:
9962:
9729:
9507:
9174:
8997:
8964:
8723:
8425:
8127:
8093:
8012:
7859:
7737:
7591:
7498:
7362:
7325:
7174:
6978:
6801:
6634:
6513:
6081:
5842:
5641:
5496:
5346:
5225:
5114:
5021:
4871:
4710:
4425:
4297:
4267:
3677:
3564:
3264:
3018:
2901:
2387:
2291:
2201:{\displaystyle \operatorname {LG} (a_{n};x)=b_{n}}
2200:
2097:
1969:
1848:
1712:
1520:
1246:
1175:
1094:
952:
732:
582:
432:
38500:
38076:
37875:(6th ed.). Oxford University Press. p.
37768:
37176:
37163:
37034:
37021:
36385:
36364:
36258:
36245:
34311:
34290:
33767:
33735:
33613:
33600:
32344:
32323:
31745:-Pochhammer product as the case may be) given by
31195:
31144:
29843:
29814:
29039:
29021:
28878:
28846:
28764:
28746:
28627:
28609:
28600:
28568:
28401:
28372:
27739:
27721:
27541:
27509:
27428:
27410:
27288:
27270:
27261:
27229:
27065:
27047:
27038:
27006:
26834:
26808:
26386:{\displaystyle T(z)={\frac {1}{n}}(\phi (z))^{n}}
25449:is connected by a single edge to the next vertex
25314:Note that the first equation implicitly defining
25282:
25264:
23946:
23933:
22946:, the index-shifted generating functions satisfy
20918:
20905:
20819:
20806:
18870:
18849:
18486:
18473:
16536:as in the examples contained in the table below.
13350:
13337:
13146:
13133:
12530:, we can conclude that, for the Catalan numbers:
11748:
11721:
11591:
11590:
11584:
11571:
11567:
11566:
11499:
11472:
11139:For instance, if an ordinary generating function
7814:
7796:
7679:
7658:
6906:
6893:
5746:
5733:
5721:
5700:
5685:
5664:
5576:
5555:
5441:
5420:
2758:
2745:
2631:
2618:
2531:
2518:
2474:
2461:
38712:
38115:, §7.4 on special sequence generating functions.
37900:Knuth, D. E. (1992). "Convolution Polynomials".
36874:
36596:
34692:{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }F_{mn}z^{n}}
29968:modulo fixed particular cases of integer-valued
26652:{\displaystyle T(z)={\frac {1}{n}}(1+z^{2})^{n}}
23613:
17008:{\displaystyle q^{6h-10}\left(q^{2h-2}-1\right)}
15562:
9208:Enumerating arithmetic progressions of sequences
9200:on a sequence generating function are discussed
8094:{\displaystyle G(a_{n};x)\cdot {\frac {1}{1-x}}}
8020:of a sequence with ordinary generating function
7869:This result is computed in many ways, including
4787:
4782:
38664:"Introduction To Ordinary Generating Functions"
35991:{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }n^{m}z^{n}}
35228:{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }\leftz^{n}}
26897:Introducing a free parameter (snake oil method)
21117:Since the generating function for the sequence
19914:Example 1: Formula for sums of harmonic numbers
12829:Bivariate and multivariate generating functions
11921:to describe the generating function, as above.
9192:, or alternately termwise by and performing an
38536:
38466:(1975). "3. The idea of generating function".
38169:"Combinatorial aspects of continued fractions"
37748:. Vol. 1 (3rd ed.). Addison-Wesley.
31233:and consequently shows that is even whenever
24467:{\displaystyle G_{X+Y}(z)=G_{X}(z)G_{Y}(z)\,,}
19883:Explore the asymptotic behaviour of sequences.
17649:{\displaystyle {\frac {(a;q)_{n}}{(b;q)_{n}}}}
10625:and the functions defined by the power series
778:
621:that satisfies the linear recurrence relation
152:Generating functions were first introduced by
110:. Generating functions are often expressed in
23:. For generators in computer programming, see
32013:This partition function satisfies many known
26853:The expression becomes much neater if we let
26661:Via the binomial theorem expansion, for even
26111:{\displaystyle T(z)=z\left(1+T(z)^{2}\right)}
24650:generating function expanded by the infinite
20045:{\displaystyle s_{n}=\sum _{k=1}^{n}H_{k}\,,}
18975:
18935:
18426:
18395:
16614:{\displaystyle R,\alpha \in \mathbb {Z} ^{+}}
16554:, generated by the general expansions of the
5506:More generally, for any non-negative integer
3201:
3173:
3101:
69:. Please discuss this issue on the article's
38024:
37257:{\displaystyle {\frac {z^{k}}{(1-z)^{k+1}}}}
30095:
30047:
30041:
30005:
29999:
29986:
28700:Interchanging summation ("snake oil") gives
27363:Interchanging summation ("snake oil") gives
12841:. For two variables, these are often called
11957:Asymptotic growth of the sequence of squares
9746:, another useful formula providing somewhat
8133:
5356:and the third power has as coefficients the
4804:, whose ordinary generating function is the
1859:Dirichlet series generating functions (DGFs)
38575:(1994). "Chapter 7: Generating Functions".
37939:"Combinatorial Sums and Finite Differences"
30128:satisfy the following congruence modulo 3:
29905:if their coefficients are congruent modulo
24163:(see the example below for an application)
11159:that has a finite radius of convergence of
10977:Relation to discrete-time Fourier transform
2328:generating function (DGF) corresponding to:
38091:"Symbolic Summation Assists Combinatorics"
35849:{\displaystyle \operatorname {Li} _{s}(z)}
32790:Using the infinite product expansions of
30745:The Stirling numbers modulo small integers
17344:{\displaystyle \left(zq^{-n};q\right)_{n}}
16790:{\displaystyle \mathrm {ab} _{i}(i\geq 2)}
10951:for arbitrary input sequences (useful for
3123:
140:Generating functions are sometimes called
38390:
38278:
38259:
38232:
38144:
38118:
38088:
37983:
37954:
37913:
37684:
37279:
37115:
34867:
34162:
34155:
34034:
34027:
33783:
33113:
32774:
32557:
32468:
32360:
32235:
31691:
31217:
31103:matches that of the binomial coefficient
31083:
30913:
30899:
30235:
30114:
29849:
29664:
29591:
29498:
29391:
29267:
29157:
28903:
28684:
28465:
28424:
28320:
27564:
27347:
27137:
27127:
27108:
25973:
25757:
25409:is defined to be a graph on the vertices
25380:
25298:
25145:{\displaystyle C(z)=z\cdot C(z)^{2}+1\,.}
25138:
25060:
25046:
24788:which corresponds to the two expressions
24721:
24460:
23577:
23025:
20995:
20722:
20622:
20506:
20403:
20252:
20038:
19244:Generating functions for the sequence of
18879:{\displaystyle (-1)^{n}{\binom {x+n}{n}}}
16601:
12758:
12747:
12709:
12592:
12337:The ordinary generating function for the
12256:
12240:
12168:
11885:
11622:
11396:
10249:
10189:
9165:
8955:
8646:
7363:{\displaystyle \rho _{i}\in \mathbb {C} }
7356:
6727:
5635:
4291:
3671:
2091:
918:
291:, and which has the formal series as its
173:The name "generating function" is due to
38346:An Introduction to the Theory of Numbers
38166:
37871:An Introduction to the Theory of Numbers
35516:{\displaystyle \ln {\frac {\tan(z)}{z}}}
33127:it can be shown that the coefficient of
31734:is generated by the reciprocal infinite
26950:, change the order of the summations on
13007:is the ordinary generating function for
12327:Asymptotic growth of the Catalan numbers
11315:to a radius of convergence greater than
10181:are in the field of rational functions,
5239:and making a change of running variable
3276:with a power series expansion such that
2912:Polynomial sequence generating functions
1102:Note that in a Lambert series the index
596:problems that involve labelled objects.
38376:
38343:
38268:
38241:
38226:
38045:
37798:
37740:(1997). "§1.2.9 Generating Functions".
33533:Transformations of generating functions
31099:which implies that the parity of these
29937:for all relevant cases of the integers
18495:{\displaystyle (-1)^{n}{\binom {x}{n}}}
16629:-fractions are defined in terms of the
10505:are fixed finite-degree polynomials in
3605:Special values of the sequence include
1247:{\displaystyle b_{n}=\sum _{d|n}a_{d}.}
38713:
38409:
38198:Analytic Theory of Continued Fractions
38005:
37977:
37936:
37804:Introduction to analytic number theory
34190:Tables of special generating functions
31712:Congruences for the partition function
29874:Generating functions prove congruences
23815:are exponential generating functions.
15940:component-wise through the sequences,
13056:, and find the generating function in
10924:Tools for processing and working with
10241:is holonomic if the vector space over
9754:times — are generated by the identity
9229:given an ordinary generating function
9190:transformation of generating functions
4922:gives the generating function for the
38603:
38319:
38051:
38011:
37899:
37736:
34880:{\displaystyle m\in \mathbb {Z} ^{+}}
30275:Suppose that the generating function
29975:. For example, we can prove that the
19886:Prove identities involving sequences.
7184:
3678:{\displaystyle x,y,t\in \mathbb {C} }
3286:We say that a family of polynomials,
2395:has the ordinary generating function:
467:Exponential generating function (EGF)
38624:
38462:
38194:
38124:
37854:
37842:
34596:{\displaystyle {\frac {z}{e^{z}-1}}}
34208:
33541:). A transformation of a sequence's
26958:, and try to compute the inner sum.
25998:
22939:Since we have that for all integers
20754:we define the two sequences of sums
13974:
10607:generalized hypergeometric functions
9987:A formal power series (or function)
9005:as follows (see the main article on
7216:via generating function techniques.
1868:Dirichlet series generating function
33:
38478:. Academic Press. pp. 83–134.
38028:Enumerative Combinatorics: Volume 2
32766:
32549:
32460:
32220:
32169:
32118:
32067:
31683:
31449:
31209:
30227:
30106:
29941:(note that we need not assume that
26961:For example, if we want to compute
26913:Both methods discussed so far have
25516:-fold convolutions of the sequence
23652:are ordinary generating functions.
16471:
10965:-recurrences involving generalized
9007:generating function transformations
8976:Stirling numbers of the second kind
6665:Stirling numbers of the second kind
5151:) one gets the generating function
5132:, so for instance for the sequence
3112:Aitken's Array: Triangle of Numbers
210:Mathematics and plausible reasoning
165:Mathematics and plausible reasoning
13:
38360:Graham, Knuth & Patashnik 1994
38308:Graham, Knuth & Patashnik 1994
38296:Graham, Knuth & Patashnik 1994
38113:Graham, Knuth & Patashnik 1994
38065:Graham, Knuth & Patashnik 1994
38000:Graham, Knuth & Patashnik 1994
37848:
37836:
37552:
37469:Generating function transformation
37411:
37403:
37398:
37395:
37383:
37379:
37319:
37167:
37155:
37025:
37013:
36824:The two-variable case is given by
36368:
36249:
36165:Stirling number of the second kind
35963:
35909:
35713:
35549:
35339:
35184:
34913:
34661:
34513:
34294:
34282:
33985:
33739:
33727:
33604:
33505:we may equate the coefficients of
33179:
32327:
32315:
31772:
31148:
30721:Stirling numbers of the first kind
30151:
29818:
29142:
29025:
28995:
28850:
28838:
28750:
28738:
28613:
28572:
28560:
28534:
28376:
27867:
27725:
27694:
27513:
27500:
27414:
27401:
27274:
27233:
27220:
27193:
27051:
27010:
26997:
26812:
26046:nodes (leaves included) satisfies
26040:for the number of binary trees on
25599:
25268:
25238:
24680:
23937:
22994:
22205:
22118:
22043:
21971:
20909:
20810:
20476:
20381:
20304:
20230:
20137:
19858:Generating functions are used to:
19771:
19626:
19475:
19329:
18853:
18477:
17693:{\displaystyle {\frac {1-a}{1-b}}}
16762:
16759:
15888:
14367:
14296:th rational convergents represent
13341:
13137:
13100:{\displaystyle {\frac {1}{1-ay}},}
12945:
12680:
12577:
12241:
12153:
11725:
11575:
11476:
11381:
11059:
10723:
10648:
9777:
9589:
9409:
9312:
9117:
8875:
8816:
8737:times to multiply the sequence by
8676:
8587:
8491:
8385:
8232:
7889:Operations on generating functions
7800:
7788:
7662:
7553:
7015:
6897:
6690:
6667:and where the generating function
6257:
6205:
6154:
5911:
5737:
5704:
5668:
5559:
5537:
5424:
5412:
5277:
5174:
5054:
4968:
4830:
4393:
3225:
2968:
2846:
2825:
2804:
2783:
2749:
2698:
2677:
2656:
2622:
2577:
2556:
2522:
2465:
1935:
1811:
1635:
1579:
1451:
1373:
1305:
1042:
852:
693:
540:
402:
328:Ordinary generating function (OGF)
14:
38742:
38657:
38610:. American Mathematical Society.
37286:{\displaystyle k\in \mathbb {N} }
37122:{\displaystyle s\in \mathbb {C} }
35117:{\displaystyle x^{\overline {n}}}
28492:as the free parameter instead of
26229:{\displaystyle T(z)=z\phi (T(z))}
25991:of the last generating function.
19239:
12848:
12835:multivariate generating functions
9562:. Then, as an application of the
7894:Multiplication yields convolution
4298:{\displaystyle t\in \mathbb {C} }
3132:" defines a generalized class of
3053:is a function of a certain form.
3042:is a sequence of polynomials and
962:
177:. Yet, without giving it a name,
38634:(2nd ed.). Academic Press.
38607:Lectures on Generating Functions
38111:See the usage of these terms in
35680:{\displaystyle z^{-1}\arcsin(z)}
34212:
30263:Lectures on Generating Functions
26921:as a "free" parameter and treat
26002:
17380:{\displaystyle {\frac {q-z}{q}}}
14262:
7881:, or by direct manipulations of
4777:Stirling convolution polynomials
260:, and the "variable" remains an
123:exponential generating functions
53:to read and navigate comfortably
38:
25:Generator (computer programming)
38365:
38353:
38337:
38325:
38313:
38301:
38289:
38217:
38153:
38105:
38082:
38070:
38057:
38017:
37993:
37971:
37930:
37746:The Art of Computer Programming
37720:Canadian Journal of Mathematics
37516:
37464:Probability-generating function
32759:
32542:
32453:
32213:
32162:
32111:
32060:
31676:
31442:
31202:
30903:
30220:
30099:
27155:as a "free" parameter, and set
27112:
25050:
24363:probability generating function
19987:For example, we can manipulate
19853:
19419:Exponential generating function
18360:{\displaystyle R+2\alpha (i-1)}
16464:
15697:th convergents to the infinite
14308:Jacobi-type continued fractions
11124:Asymptotic growth of a sequence
10983:Discrete-time Fourier transform
10265:{\displaystyle \mathbb {C} (z)}
10205:{\displaystyle \mathbb {C} (z)}
9272:main article on transformations
9152:
8942:
4277:For a fixed non-zero parameter
473:exponential generating function
461:probability-generating function
245:Unlike an ordinary series, the
38705:Wolfram Demonstrations Project
38514:. Cambridge University Press.
37893:
37860:
37792:
37774:
37762:
37730:
37711:
37598:
37592:
37414:
37408:
37337:
37331:
37236:
37223:
37081:
37068:
36971:
36956:
36953:
36941:
36938:
36926:
36889:
36877:
36846:
36834:
36806:
36774:
36771:
36752:
36746:
36727:
36631:
36599:
36307:
36294:
36277:
36267:
36200:
36187:
36091:
36078:
35918:
35912:
35883:
35877:
35843:
35837:
35789:
35783:
35734:
35728:
35674:
35668:
35616:
35601:
35572:
35557:
35504:
35498:
35456:
35447:
35441:
35432:
35401:
35382:
35357:
35347:
35300:
35282:
35276:
35264:
35075:
35060:
35054:
35039:
35036:
35024:
34989:
34972:
34788:
34778:
34769:
34731:
34403:
34390:
34060:
34054:
34048:
34011:
34002:
33996:
33965:
33959:
33886:
33873:
33842:
33829:
33810:
33804:
33360:
33348:
33237:
33225:
33199:
33187:
32941:
32929:
32770:
32760:
32681:
32669:
32553:
32543:
32523:
32510:
32464:
32454:
32412:
32399:
32284:
32271:
32231:
32214:
32199:
32184:
32173:
32163:
32148:
32133:
32122:
32112:
32097:
32082:
32071:
32061:
32046:
32031:
31786:
31780:
31687:
31677:
31667:
31655:
31453:
31443:
31409:
31396:
31364:
31351:
31318:
31305:
31213:
31203:
31059:
31046:
31012:
31009:
30997:
30991:
30985:
30982:
30970:
30964:
30958:
30952:
30896:
30878:
30872:
30860:
30857:
30845:
30776:
30770:
30306:
30300:
30286:is represented by an infinite
30231:
30221:
30110:
30100:
30044:
29793:
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19921:The simplest case occurs when
19897:and encoding their solutions.
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15778:
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15757:
15738:
15732:
15693:), we can define the rational
15577:
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12843:bivariate generating functions
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7461:
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7418:
7370:, are fixed scalars and where
7302:
7296:
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4702:
4687:
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3390:
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3246:
3240:
3196:
3190:
3153:
3146:
3088:Generalized Appell polynomials
3059:generalized Appell polynomials
2992:
2986:
2944:
2938:
2376:
2369:
2360:
2341:
2283:
2264:
2252:
2246:
2240:
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2182:
2163:
2154:
2141:
2088:
2059:
2030:
2011:
1913:
1894:
1789:
1770:
1722:
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1477:
1222:
1170:
1151:
1142:
1129:
1020:
1001:
944:
925:
830:
811:
671:
665:
518:
499:
380:
361:
306:
240:
1:
38077:Flajolet & Sedgewick 2009
37769:Flajolet & Sedgewick 2009
37704:
37474:Stanley's reciprocity theorem
34202:and in Section 2.5 of Wilf's
26541:{\textstyle \phi (z)=1+z^{2}}
23614:Convolution (Cauchy products)
20636:which can also be written as
19234:
16539:
15467:, and where for all integers
10582:{\displaystyle {\sqrt {1+z}}}
9517:More generally, suppose that
9285:(i.e., even and odd powers):
4909:in the ring of power series.
4788:Examples for simple sequences
4783:Ordinary generating functions
190:
119:ordinary generating functions
21:Generating function (physics)
38403:
38362:, p. 535, exercise 5.71
38248:Journal of Integer Sequences
38223:See the following articles:
38188:10.1016/0012-365X(80)90050-3
38067:, p. 569, exercise 7.36
35930:{\displaystyle \Re (s)>1}
35580:
35252:
35108:
35002:
33543:ordinary generating function
29960:, is a rational function of
26236:admits a unique solution in
19276:Ordinary generating function
16405:then we have the congruence
11136:of the underlying sequence.
8038:has the generating function
7510:diagonal generating function
7335:where the reciprocal roots,
338:ordinary generating function
7:
38676:Encyclopedia of Mathematics
37937:Spivey, Michael Z. (2007).
37452:
35891:{\displaystyle H_{n}^{(s)}}
34252:Generating-function formula
26440:returns the coefficient of
26173:{\textstyle \phi (z)\in C]}
10861:{\displaystyle {\sqrt {n}}}
10527:
5134:1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, ...
4447:is implicitly defined by a
3272:for some analytic function
785:Poisson generating function
779:Poisson generating function
61:content into sub-articles,
10:
38749:
38344:Hardy, G.H.; Wright, E.M.
37956:10.1016/j.disc.2007.03.052
37459:Moment-generating function
33945:, and vice versa given by
33551:derivative transformations
33148:is divisible by 5 for all
26125:Lagrange Inversion Formula
25989:partial fraction expansion
25512:, which is a sum over the
20523:with the numerator yields
15968:, defined recursively by:
14773:, denoted in shorthand by
13991:columns; the row sums are
13275:denote the two variables:
12839:super generating functions
12330:
10980:
10914:Software for working with
10844:, where sequences such as
9564:discrete Fourier transform
9186:zeta series transformation
7897:
7206:finite difference equation
7188:
4881:The left-hand side is the
3102:Other generating functions
1994:, in which case it has an
966:
147:
98:is a representation of an
29:Moment generating function
18:
38604:Lando, Sergei K. (2003).
38543:Combinatorial Enumeration
38373:1031 Generating Functions
37782:"Lambert series identity"
37093:{\displaystyle (1+z)^{s}}
17050:{\displaystyle (a;q)_{n}}
16827:{\displaystyle q^{n^{2}}}
15686:(though in practice when
12876:are natural numbers) is:
10955:and exploration) and the
10524:on generating functions.
8134:Shifting sequence indices
7871:Cauchy's integral formula
7605:. For example, if we let
7201:linear recursive sequence
7191:Linear recursive sequence
594:combinatorial enumeration
453:probability mass function
38468:Finite Operator Calculus
37509:
37484:Combinatorial principles
33547:integral transformations
19268:Generating function type
14014:and the column sums are
13052:itself as a sequence in
11953:same asymptotic growth.
10953:experimental mathematics
10928:-recursive sequences in
5510:and non-zero real value
5361:1, 3, 6, 10, 15, 21, ...
3128:Knuth's article titled "
3118:integral transformations
607:. For example, take the
457:discrete random variable
322:
38631:Generatingfunctionology
38413:A Course in Enumeration
38410:Aigner, Martin (2007).
38377:Plouffe, Simon (1992).
35151:{\displaystyle m\geq 0}
34204:Generatingfunctionology
30931:Generatingfunctionology
26279:{\textstyle T(z)\in C]}
24369:, of a random variable
22758:defined as above where
19904:Evaluate infinite sums.
15675:th convergent functions
14267:Expansions of (formal)
13044:. To do this, consider
10700:and the non-convergent
10167:where the coefficients
9560:primitive root of unity
9194:integral transformation
8128:section on convolutions
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7223:sequences of the form
6095:in the following form:
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38176:Discrete Mathematics
38132:Annals of Statistics
38125:Good, I. J. (1986).
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