5222:
2195:
5531:
3003:
The ratio test and the root test are both based on comparison with a geometric series, and as such they work in similar situations. In fact, if the ratio test works (meaning that the limit exists and is not equal to 1) then so does the root test; the converse, however, is not true. The root test is
2048:
1768:
2169:
1355:
1490:
1120:
878:
1892:
1234:
1608:
4982:
3172:
991:
3928:
2848:
224:
365:
4871:
3245:
4461:
3780:
3302:
2968:
620:
1903:
1623:
4265:
4094:
3987:
4628:
3683:
3488:
2067:
1253:
1374:
3828:
1018:
112:
4705:
776:
701:
441:
2608:
2451:
2707:
2550:
4509:
4313:
4209:
4142:
4035:
3618:
3401:
3350:
2656:
2499:
1783:
3570:
3523:
2395:
2360:
4749:
4374:
states that if a series converges conditionally, it is possible to rearrange the terms of the series in such a way that the series converges to any value, or even diverges.
4801:
2316:
2286:
2256:
2226:
1135:
516:
1509:
4881:
3052:
4546:
4358:
3064:
565:
2745:
643:
496:
472:
4769:
2765:
893:
539:
5413:
1010:
3840:
2773:
478:, one gets partial sums that become closer and closer to a given number. More precisely, a series converges, if and only if there exists a number
5056:
5403:
127:
5496:
261:
3004:
therefore more generally applicable, but as a practical matter the limit is often difficult to compute for commonly seen types of series.
4809:
20:
3188:
5337:
4391:
3710:
3250:
2900:
573:
2043:{\displaystyle {1 \over 1}-{1 \over n}+{1 \over n^{2}}-{1 \over n^{3}}+{1 \over n^{4}}-{1 \over n^{5}}+\cdots ={n \over n+1}.}
1763:{\displaystyle {1 \over 1}+{1 \over n}+{1 \over n^{2}}+{1 \over n^{3}}+{1 \over n^{4}}+{1 \over n^{5}}+\cdots ={n \over n-1}.}
5347:
706:
is used for the series, and, if it is convergent, to its sum. This convention is similar to that which is used for addition:
4214:
4043:
3936:
2164:{\displaystyle {\frac {1}{1}}+{\frac {1}{1}}+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}+{\frac {1}{8}}+\cdots =\psi .}
5560:
5511:
5342:
5102:
5049:
1350:{\displaystyle {\frac {1}{1}}+{\frac {1}{1}}+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{6}}+{\frac {1}{24}}+{\frac {1}{120}}+\cdots =e.}
4554:
1485:{\displaystyle {1 \over 1}+{1 \over 4}+{1 \over 9}+{1 \over 16}+{1 \over 25}+{1 \over 36}+\cdots ={\pi ^{2} \over 6}.}
5491:
3623:
1115:{\displaystyle {1 \over 2}+{1 \over 3}+{1 \over 5}+{1 \over 7}+{1 \over 11}+{1 \over 13}+\cdots \rightarrow \infty .}
3426:
5501:
873:{\displaystyle {1 \over 1}+{1 \over 2}+{1 \over 3}+{1 \over 4}+{1 \over 5}+{1 \over 6}+\cdots \rightarrow \infty .}
3785:
5393:
5383:
52:
4662:
658:
381:
2561:
2404:
1887:{\displaystyle {1 \over 1}-{1 \over 2}+{1 \over 4}-{1 \over 8}+{1 \over 16}-{1 \over 32}+\cdots ={2 \over 3}.}
5506:
5408:
5042:
5020:
3008:
2661:
2504:
2059:
768:
4466:
4270:
4166:
4099:
3992:
3575:
3358:
3307:
2613:
2456:
5555:
5534:
4653:
27:
3540:
3493:
2365:
2330:
5516:
5015:
4997:
885:
4725:
5398:
5388:
5378:
5368:
1501:
1245:
1229:{\displaystyle {1 \over 1}+{1 \over 3}+{1 \over 6}+{1 \over 10}+{1 \over 15}+{1 \over 21}+\cdots =2.}
1006:
1603:{\displaystyle {1 \over 1}+{1 \over 2}+{1 \over 4}+{1 \over 8}+{1 \over 16}+{1 \over 32}+\cdots =2.}
4977:{\displaystyle \lim _{m\to \infty }\left(\sup _{n>m}\left|\sum _{k=m}^{n}a_{k}\right|\right)=0.}
4774:
4316:
3533:
2291:
2261:
2231:
2201:
501:
5483:
5305:
3416:
3407:
3167:{\displaystyle \int _{1}^{\infty }f(x)\,dx=\lim _{t\to \infty }\int _{1}^{t}f(x)\,dx<\infty ,}
3015:
5145:
5092:
4518:
4371:
2323:
4325:
5352:
5097:
4145:
3181:
544:
5010:
884:
Alternating the signs of the reciprocals of positive integers produces a convergent series (
5463:
5300:
5069:
4153:
3177:
then the series converges. But if the integral diverges, then the series does so as well.
2723:
1898:
Alternating the signs of reciprocals of powers of any n>1 produces a convergent series:
628:
481:
450:
115:
38:
986:{\displaystyle {1 \over 1}-{1 \over 2}+{1 \over 3}-{1 \over 4}+{1 \over 5}-\cdots =\ln(2)}
8:
5443:
5310:
5028:
4383:
3689:
3012:. The series can be compared to an integral to establish convergence or divergence. Let
444:
4640:
There is an analogue of the comparison test for infinite series of functions called the
5373:
5284:
5269:
5241:
5221:
5160:
4992:
4754:
4641:
4320:
3923:{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}\leq \sum _{n=1}^{\infty }\left|a_{n}\right|.}
3420:
3055:
2750:
524:
5473:
5246:
5200:
5190:
5170:
5155:
2182:
1127:
46:
5458:
5279:
5205:
5195:
5175:
5077:
4149:
2188:
2055:
1615:
1002:
764:
747:
5236:
5165:
4719:
5468:
5453:
5448:
5127:
5112:
4711:
4157:
3696:
3353:
2975:
760:
5549:
5433:
5107:
1366:
1362:
2843:{\displaystyle \lim _{n\to \infty }\left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|=r.}
5438:
5180:
5122:
2887:
2187:
There are a number of methods of determining whether a series converges or
1775:
1497:
998:
5185:
5132:
4715:
2194:
236:
34:
2871:
the ratio test is inconclusive, and the series may converge or diverge.
5034:
3526:
3000:
the root test is inconclusive, and the series may converge or diverge.
2712:
219:{\displaystyle S=a_{1}+a_{2}+a_{3}+\cdots =\sum _{k=1}^{\infty }a_{k}.}
5117:
2875:
1241:
360:{\displaystyle S_{n}=a_{1}+a_{2}+\cdots +a_{n}=\sum _{k=1}^{n}a_{k}.}
42:
5065:
4866:{\displaystyle \left|\sum _{k=m}^{n}a_{k}\right|<\varepsilon .}
519:
26:"Convergence (mathematics)" redirects here. For other uses, see
3529:, and has a limit of 0 at infinity, then the series converges.
3240:{\displaystyle \left\{a_{n}\right\},\left\{b_{n}\right\}>0}
753:
625:
If the series is convergent, the (necessarily unique) number
4456:{\displaystyle \left\{f_{1},\ f_{2},\ f_{3},\dots \right\}}
3775:{\displaystyle \left\{a_{1},\ a_{2},\ a_{3},\dots \right\}}
1500:
produce a convergent series (so the set of powers of 2 is "
3297:{\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{b_{n}}}}
2963:{\displaystyle r=\limsup _{n\to \infty }{\sqrt{|a_{n}|}},}
2886:. Suppose that the terms of the sequence in question are
615:{\displaystyle \left|S_{n}-\ell \right|<\varepsilon .}
3702:
2978:(possibly ∞; if the limit exists it is the same value).
4469:
4273:
4217:
4169:
4102:
4046:
3995:
3939:
3626:
3578:
3429:
3361:
3310:
2857:< 1, then the series is absolutely convergent. If
2664:
2616:
2507:
2459:
2228:, can be proven to converge, then the smaller series,
1011:
divergence of the sum of the reciprocals of the primes
498:
such that for every arbitrarily small positive number
5414:
1/2 + 1/3 + 1/5 + 1/7 + 1/11 + ⋯ (inverses of primes)
5404:
1 − 1 + 2 − 6 + 24 − 120 + ⋯ (alternating factorials)
4884:
4812:
4777:
4757:
4728:
4665:
4557:
4521:
4394:
4328:
3843:
3788:
3713:
3543:
3496:
3253:
3191:
3067:
3018:
2903:
2776:
2753:
2726:
2564:
2407:
2368:
2333:
2294:
2264:
2234:
2204:
2070:
1906:
1786:
1626:
1512:
1377:
1256:
1138:
1021:
896:
779:
661:
631:
576:
547:
527:
504:
484:
453:
384:
264:
130:
55:
4260:{\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }\left|a_{n}\right|}
4089:{\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }\left|a_{n}\right|}
3982:{\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }\left|a_{n}\right|}
2258:
must converge. By contraposition, if the red series
4976:
4865:
4795:
4763:
4743:
4699:
4622:
4540:
4503:
4455:
4352:
4307:
4259:
4203:
4136:
4088:
4029:
3981:
3922:
3822:
3774:
3677:
3612:
3564:
3517:
3482:
3395:
3344:
3296:
3239:
3166:
3046:
2962:
2842:
2759:
2739:
2701:
2650:
2602:
2544:
2493:
2445:
2389:
2354:
2310:
2280:
2250:
2220:
2163:
2042:
1886:
1762:
1602:
1484:
1349:
1228:
1114:
985:
872:
695:
637:
614:
559:
533:
510:
490:
466:
435:
359:
218:
106:
3572:is a positive monotone decreasing sequence, then
49:of numbers. More precisely, an infinite sequence
5547:
4907:
4886:
4623:{\displaystyle s_{n}(x)=\sum _{k=1}^{n}f_{k}(x)}
3678:{\textstyle \sum _{k=1}^{\infty }2^{k}a_{2^{k}}}
3255:
3106:
2911:
2778:
746:Any series that is not convergent is said to be
4647:
3483:{\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}(-1)^{n}}
5050:
5497:Hypergeometric function of a matrix argument
4535:
4522:
3823:{\displaystyle a_{n}\leq \left|a_{n}\right|}
5353:1 + 1/2 + 1/3 + ... (Riemann zeta function)
754:Examples of convergent and divergent series
107:{\displaystyle (a_{1},a_{2},a_{3},\ldots )}
5057:
5043:
4700:{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}
2362:are compared to those of another sequence
696:{\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }a_{k}}
436:{\displaystyle (S_{1},S_{2},S_{3},\dots )}
21:Convergent Series (short story collection)
5409:1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + ⋯ (harmonic series)
4463:be a sequence of functions. The series
3148:
3095:
2603:{\displaystyle 0\leq \ b_{n}\leq \ a_{n}}
2446:{\displaystyle 0\leq \ a_{n}\leq \ b_{n}}
5064:
2747:is not zero. Suppose that there exists
2702:{\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}.}
2545:{\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}.}
2193:
1774:Alternating the signs of reciprocals of
4504:{\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }f_{n}}
4308:{\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}
4204:{\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}
4137:{\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}
4030:{\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}
3613:{\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}
3396:{\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }b_{n}}
3345:{\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}
2986:< 1, then the series converges. If
2651:{\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }b_{n}}
2494:{\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }b_{n}}
5548:
4377:
5038:
4037:also converges (but not vice versa).
16:Mathematical series with a finite sum
3703:Conditional and absolute convergence
3565:{\displaystyle \left\{a_{n}\right\}}
3518:{\displaystyle \left\{a_{n}\right\}}
2390:{\displaystyle \left\{b_{n}\right\}}
2355:{\displaystyle \left\{a_{n}\right\}}
2176:
5374:1 − 1 + 1 − 1 + ⋯ (Grandi's series)
4156:is absolutely convergent for every
1778:also produces a convergent series:
447:; that means that, when adding one
13:
4896:
4744:{\displaystyle \varepsilon >0,}
4682:
4486:
4290:
4234:
4186:
4119:
4063:
4012:
3956:
3894:
3860:
3643:
3595:
3446:
3378:
3327:
3265:
3158:
3116:
3078:
2921:
2788:
2681:
2633:
2524:
2476:
2295:
2265:
2235:
2205:
1106:
864:
678:
518:, there is a (sufficiently large)
198:
14:
5572:
5492:Generalized hypergeometric series
5003:
4511:is said to converge uniformly to
3056:monotonically decreasing function
2058:produce a convergent series (see
1365:produce a convergent series (the
1244:produce a convergent series (see
476:in the order given by the indices
5530:
5529:
5502:Lauricella hypergeometric series
5220:
4360:is conditionally convergent for
255:terms of the sequence; that is,
5512:Riemann's differential equation
443:of its partial sums tends to a
4893:
4617:
4611:
4574:
4568:
4347:
4335:
4319:. The Maclaurin series of the
3471:
3461:
3262:
3145:
3139:
3113:
3092:
3086:
3028:
3022:
2993:then the series diverges. If
2945:
2930:
2918:
2864:then the series diverges. If
2785:
1103:
980:
974:
861:
727:as well as the result of this
430:
385:
378:) if and only if the sequence
101:
56:
1:
5507:Modular hypergeometric series
5348:1/4 + 1/16 + 1/64 + 1/256 + ⋯
4796:{\displaystyle n\geq m\geq N}
3304:exists and is not zero, then
1618:produce a convergent series:
1130:produce a convergent series:
4751:there is a positive integer
4722:. This means that for every
4654:Cauchy convergence criterion
4648:Cauchy convergence criterion
2974:where "lim sup" denotes the
2327:. The terms of the sequence
2311:{\displaystyle \Sigma b_{n}}
2281:{\displaystyle \Sigma a_{n}}
2251:{\displaystyle \Sigma a_{n}}
2221:{\displaystyle \Sigma b_{n}}
511:{\displaystyle \varepsilon }
28:Convergence (disambiguation)
7:
5517:Theta hypergeometric series
5016:Encyclopedia of Mathematics
4998:List of mathematical series
4986:
4548:of partial sums defined by
4096:converges, then the series
2288:is proven to diverge, then
886:alternating harmonic series
10:
5577:
5399:Infinite arithmetic series
5343:1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + ⋯
5338:1/2 − 1/4 + 1/8 − 1/16 + ⋯
4381:
4267:diverges, then the series
3047:{\displaystyle f(n)=a_{n}}
2180:
1005:(so the set of primes is "
25:
18:
5561:Convergence (mathematics)
5525:
5482:
5426:
5361:
5330:
5323:
5293:
5262:
5255:
5229:
5218:
5141:
5085:
5076:
5031:. Retrieved May 16, 2005.
4541:{\displaystyle \{s_{n}\}}
4211:converges but the series
3620:converges if and only if
19:For the publication, see
5027:Weisstein, Eric (2005).
4353:{\displaystyle \ln(1+x)}
4317:conditionally convergent
3534:Cauchy condensation test
2501:converges, then so does
249:is the sum of the first
5230:Properties of sequences
4876:This is equivalent to
4633:converges uniformly to
4160:value of the variable.
3417:alternating series test
3408:Alternating series test
2658:diverges, then so does
759:The reciprocals of the
560:{\displaystyle n\geq N}
5093:Arithmetic progression
5029:Riemann Series Theorem
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