10069:
1459:
10299:
6523:
1046:
6154:
1454:{\displaystyle {\begin{aligned}M_{X}(t)=\operatorname {E} (e^{t\,X})&=1+t\operatorname {E} (X)+{\frac {t^{2}\operatorname {E} (X^{2})}{2!}}+{\frac {t^{3}\operatorname {E} (X^{3})}{3!}}+\cdots +{\frac {t^{n}\operatorname {E} (X^{n})}{n!}}+\cdots \\&=1+tm_{1}+{\frac {t^{2}m_{2}}{2!}}+{\frac {t^{3}m_{3}}{3!}}+\cdots +{\frac {t^{n}m_{n}}{n!}}+\cdots ,\end{aligned}}}
6518:{\displaystyle {\begin{aligned}M_{X}(t)&=\int _{-\infty }^{\infty }e^{tx}f(x)\,dx\\&=\int _{-\infty }^{\infty }\left(1+tx+{\frac {t^{2}x^{2}}{2!}}+\cdots +{\frac {t^{n}x^{n}}{n!}}+\cdots \right)f(x)\,dx\\&=1+tm_{1}+{\frac {t^{2}m_{2}}{2!}}+\cdots +{\frac {t^{n}m_{n}}{n!}}+\cdots ,\end{aligned}}}
5672:
7600:
have the same distribution). This statement is not equivalent to the statement "if two distributions have the same moments, then they are identical at all points." This is because in some cases, the moments exist and yet the moment-generating function does not, because the limit
5441:
1035:
5167:
776:
5361:
7875:
7329:
2104:
7211:
1965:
664:
7690:
816:
always exists and is equal to 1. However, a key problem with moment-generating functions is that moments and the moment-generating function may not exist, as the integrals need not converge absolutely. By contrast, the
6919:
8225:
3200:
5598:
58:. There are particularly simple results for the moment-generating functions of distributions defined by the weighted sums of random variables. However, not all random variables have moment-generating functions.
6753:
5878:
4961:
566:
5966:
3893:
80:
In addition to real-valued distributions (univariate distributions), moment-generating functions can be defined for vector- or matrix-valued random variables, and can even be extended to more general cases.
8612:
5783:
4679:
3280:
2805:
4799:
4030:
3774:
4581:
5588:
5367:
5236:
4275:
4208:
864:
9482:
9375:
5485:
5286:
5037:
1844:
9837:
6159:
5024:
1051:
4389:
4096:
3620:
2882:
695:
4729:
300:
9688:
6998:
3538:
3318:
4886:
7386:
8998:
3046:
10031:
9589:
8480:
2983:
9104:
5292:
4445:
3664:
3090:
7963:
4492:
3465:
456:
9202:
3421:
8864:
5543:
3368:
8414:
7518:
8824:
7583:
4144:
4848:
7729:
9748:
8041:
6670:
10249:
9942:
8763:
2699:
8715:
4313:
7354:
7244:
612:
412:
2644:
2443:
2410:
9251:
2598:
8922:
8647:
6113:
3934:
8294:
6641:
2555:
2379:
2332:
2227:
2167:
1764:
1724:
1549:
814:
231:
2508:
8890:
8673:
8324:
8254:
8067:
7256:
2923:
2474:
856:
497:
357:
88:. There are relations between the behavior of the moment-generating function of a distribution and properties of the distribution, such as the existence of moments.
6553:
1980:
1661:
1489:
195:
148:
7986:
6146:
6074:
2256:
8350:
1614:
687:
9502:
9124:
9073:
9034:
8518:
7449:
7429:
7055:
6605:
6573:
6042:
6018:
5990:
2280:
2187:
2127:
1688:
1634:
1588:
1568:
1509:
586:
377:
327:
168:
114:
1855:
2294:
Here are some examples of the moment-generating function and the characteristic function for comparison. It can be seen that the characteristic function is a
617:
7607:
2259:
6760:
10242:
8075:
3096:
5667:{\displaystyle \!\,e^{i\mathbf {t} ^{\mathrm {T} }{\boldsymbol {\mu }}-{\sqrt {\mathbf {t} ^{\mathrm {T} }{\boldsymbol {\Sigma }}\mathbf {t} }}}}
9867:
is defined as the logarithm of the moment-generating function; some instead define the cumulant-generating function as the logarithm of the
10364:
10235:
10042:
9868:
9712:
9706:
818:
85:
6675:
5794:
4892:
502:
17:
5885:
3780:
8526:
5697:
4587:
3206:
2705:
828:
The moment-generating function is so named because it can be used to find the moments of the distribution. The series expansion of
5436:{\displaystyle e^{\mathbf {t} ^{\mathrm {T} }\left(i{\boldsymbol {\mu }}-{\frac {1}{2}}{\boldsymbol {\Sigma }}\mathbf {t} \right)}}
4735:
3940:
3670:
458:
exists. If the expectation does not exist in an open neighborhood of 0, we say that the moment generating function does not exist.
4498:
1030:{\displaystyle e^{t\,X}=1+t\,X+{\frac {t^{2}\,X^{2}}{2!}}+{\frac {t^{3}\,X^{3}}{3!}}+\cdots +{\frac {t^{n}\,X^{n}}{n!}}+\cdots .}
5555:
5173:
4214:
5162:{\displaystyle 1+\sum _{k=1}^{\infty }\left(\prod _{r=0}^{k-1}{\frac {\alpha +r}{\alpha +\beta +r}}\right){\frac {t^{k}}{k!}}}
4150:
10217:
9387:
7411:
An important property of the moment-generating function is that it uniquely determines the distribution. In other words, if
10047:
9259:
5452:
5252:
1772:
771:{\displaystyle M_{\mathbf {X} }(\mathbf {t} ):=\operatorname {E} \left(e^{\mathbf {t} ^{\mathrm {T} }\mathbf {X} }\right).}
9753:
4967:
4451:
1971:
4319:
4036:
3544:
2811:
4690:
239:
10178:
10153:
10112:
10090:
9594:
6932:
5239:
3471:
3427:
3291:
10083:
9381:
4859:
10282:
7359:
5993:
5549:
5247:
121:
55:
8927:
5356:{\displaystyle e^{\mathbf {t} ^{\mathrm {T} }\left({\boldsymbol {\mu }}+{\frac {1}{2}}\mathbf {\Sigma t} \right)}}
2989:
10369:
9947:
9884:
9878:
9507:
8419:
7712:
7401:
2929:
9081:
50:. Thus, it provides the basis of an alternative route to analytical results compared with working directly with
5969:
4395:
3052:
5686:
The moment-generating function is the expectation of a function of the random variable, it can be written as:
3631:
3057:
10406:
10401:
7913:
4456:
3626:
3432:
417:
9132:
3374:
10276:
9864:
9858:
9852:
8829:
6045:
5788:
5496:
3324:
2169:
when the moment generating function exists, as the characteristic function of a continuous random variable
51:
8355:
7461:
821:
or
Fourier transform always exists (because it is the integral of a bounded function on a space of finite
8768:
7870:{\displaystyle m_{n}=E\left(X^{n}\right)=M_{X}^{(n)}(0)=\left.{\frac {d^{n}M_{X}}{dt^{n}}}\right|_{t=0}.}
7529:
6116:
5997:
4107:
1727:
4805:
2283:
330:
8497:
provide bounds on the moment-generating function in the case of a zero-mean, bounded random variable.
10270:
9717:
8010:
6646:
5691:
9890:
2655:
10259:
10077:
10057:
8681:
7720:
4854:
4286:
4281:
47:
7337:
7227:
595:
382:
8494:
7696:
2604:
2421:
2416:
2386:
9207:
2561:
10193:
Kotz et al. p. 37 using 1 as the number of degree of freedom to recover the Cauchy distribution
10094:
8895:
8720:
8620:
7996:
7904:
7324:{\displaystyle M_{X}(\mathbf {t} )=E\left(e^{\langle \mathbf {t} ,\mathbf {X} \rangle }\right)}
6079:
3904:
2650:
2514:
1690:
is a continuous random variable, the following relation between its moment-generating function
84:
The moment-generating function of a real-valued distribution does not always exist, unlike the
8263:
6610:
2519:
2348:
2301:
2196:
2136:
2099:{\displaystyle M_{X}(t)=\operatorname {E} \left=\int _{-\infty }^{\infty }e^{tx}f_{X}(x)\,dx.}
1733:
1693:
1518:
783:
200:
8520:
is non-negative, the moment generating function gives a simple, useful bound on the moments:
2888:
2480:
822:
8869:
8652:
8303:
8233:
8046:
7707:
The moment-generating function is so called because if it exists on an open interval around
2893:
2449:
831:
472:
336:
8490:
7716:
6576:
6531:
3899:
3286:
1639:
1512:
1467:
173:
126:
66:
7971:
7206:{\displaystyle M_{S_{n}}(t)=M_{X_{1}}(a_{1}t)M_{X_{2}}(a_{2}t)\cdots M_{X_{n}}(a_{n}t)\,.}
6122:
6050:
2232:
8:
8329:
5447:
4102:
1960:{\displaystyle {\mathcal {L}}\{f_{X}\}(s)=\int _{-\infty }^{\infty }e^{-sx}f_{X}(x)\,dx,}
1593:
62:
2282:
is a Wick rotation of its two-sided
Laplace transform in the region of convergence. See
669:
10330:
9699:
9487:
9109:
9039:
9003:
8503:
7434:
7414:
6590:
6558:
6027:
6003:
5975:
5489:
4685:
2265:
2172:
2112:
1673:
1619:
1573:
1553:
1494:
571:
362:
312:
153:
99:
31:
10227:
659:{\displaystyle \mathbf {t} \cdot \mathbf {X} =\mathbf {t} ^{\mathrm {T} }\mathbf {X} }
10288:
10213:
10174:
10149:
9848:
5030:
2190:
7685:{\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }\sum _{i=0}^{n}{\frac {t^{i}m_{i}}{i!}}}
117:
43:
6914:{\displaystyle M_{\alpha X+\beta }(t)=E=e^{\beta t}E=e^{\beta t}M_{X}(\alpha t)}
10320:
10315:
8004:
466:
306:
10395:
10052:
7222:
2295:
2130:
589:
8220:{\displaystyle P(X\geq a)=P(e^{tX}\geq e^{ta})\leq e^{-at}E=e^{-at}M_{X}(t)}
3195:{\displaystyle \left({\frac {p}{1-e^{t}+pe^{t}}}\right)^{r},~t<-\ln(1-p)}
10298:
9847:
evaluated on the imaginary axis. This function can also be viewed as the
9690:. The moment-generating function bound is thus very strong in this case.
7389:
7247:
7028:
10310:
35:
9855:, which can therefore be deduced from it by inverse Fourier transform.
10380:
6924:
10375:
10345:
10340:
10335:
10325:
9484:. To compare the bounds, we can consider the asymptotics for large
9839:
the characteristic function is the moment-generating function of
7907:
provides a simple lower bound on the moment-generating function:
6748:{\displaystyle M_{\alpha X+\beta }(t)=e^{\beta t}M_{X}(\alpha t)}
5873:{\displaystyle M_{X}(t)=\int _{-\infty }^{\infty }e^{tx}f(x)\,dx}
4956:{\displaystyle \left(1-t\lambda ^{-1}\right)^{-1},~t<\lambda }
561:{\displaystyle \mathbf {X} =(X_{1},\ldots ,X_{n})^{\mathrm {T} }}
77:
th derivative of the moment-generating function, evaluated at 0.
9698:
Related to the moment-generating function are a number of other
5961:{\displaystyle M_{X}(t)=\int _{-\infty }^{\infty }e^{tx}\,dF(x)}
3888:{\displaystyle {\frac {e^{ait}-e^{(b+1)it}}{(b-a+1)(1-e^{it})}}}
1970:
and the moment-generating function's definition expands (by the
8607:{\displaystyle E\leq \left({\frac {m}{te}}\right)^{m}M_{X}(t),}
7995:
The moment-generating function can be used in conjunction with
5778:{\displaystyle M_{X}(t)=\sum _{i=0}^{\infty }e^{tx_{i}}\,p_{i}}
4674:{\displaystyle e^{i\lambda t/(1-2it)}(1-2it)^{-{\frac {k}{2}}}}
7892:
th derivative of the moment generating function, evaluated at
3275:{\displaystyle \left({\frac {p}{1-e^{it}+pe^{it}}}\right)^{r}}
2800:{\displaystyle {\frac {pe^{t}}{1-(1-p)e^{t}}},~t<-\ln(1-p)}
6582:
4794:{\displaystyle (1-t\theta )^{-k},~t<{\tfrac {1}{\theta }}}
4025:{\displaystyle {\frac {e^{t\mu }}{1-b^{2}t^{2}}},~|t|<1/b}
3769:{\displaystyle {\frac {e^{at}-e^{(b+1)t}}{(b-a+1)(1-e^{t})}}}
4576:{\displaystyle e^{\lambda t/(1-2t)}(1-2t)^{-{\frac {k}{2}}}}
7805:
9000:. Taking the expectation on both sides gives the bound on
5583:{\displaystyle \operatorname {MultiCauchy} (\mu ,\Sigma )}
5231:{\displaystyle {}_{1}F_{1}(\alpha ;\alpha +\beta ;i\,t)\!}
7018:
are constants, then the probability density function for
4270:{\displaystyle e^{it\mu -{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}t^{2}}}
4203:{\displaystyle e^{t\mu +{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}t^{2}}}
1849:
since the PDF's two-sided
Laplace transform is given as
10257:
7250:
components, the moment-generating function is given by
2109:
This is consistent with the characteristic function of
9477:{\displaystyle E\leq 2^{m}\Gamma (m+k/2)/\Gamma (k/2)}
4780:
4707:
9950:
9893:
9756:
9720:
9597:
9510:
9490:
9390:
9370:{\displaystyle E\leq (1+2m/k)^{k/2}e^{-m}(k+2m)^{m}.}
9262:
9210:
9135:
9112:
9084:
9042:
9006:
8930:
8898:
8872:
8832:
8771:
8723:
8684:
8655:
8623:
8529:
8506:
8422:
8358:
8332:
8306:
8266:
8236:
8078:
8049:
8013:
7974:
7916:
7732:
7610:
7532:
7464:
7437:
7417:
7362:
7340:
7259:
7230:
7058:
6935:
6763:
6678:
6649:
6613:
6593:
6561:
6534:
6157:
6125:
6082:
6053:
6030:
6006:
5978:
5888:
5797:
5700:
5601:
5558:
5499:
5480:{\displaystyle \operatorname {Cauchy} (\mu ,\theta )}
5455:
5370:
5295:
5281:{\displaystyle N(\mathbf {\mu } ,\mathbf {\Sigma } )}
5255:
5176:
5040:
4970:
4895:
4862:
4808:
4738:
4693:
4590:
4501:
4459:
4398:
4322:
4289:
4217:
4153:
4110:
4039:
3943:
3907:
3783:
3673:
3634:
3547:
3474:
3435:
3377:
3327:
3294:
3209:
3099:
3060:
2992:
2932:
2896:
2814:
2708:
2658:
2607:
2564:
2522:
2483:
2452:
2424:
2389:
2351:
2304:
2268:
2235:
2199:
2175:
2139:
2115:
1983:
1858:
1839:{\displaystyle M_{X}(t)={\mathcal {L}}\{f_{X}\}(-t),}
1775:
1736:
1696:
1676:
1642:
1622:
1596:
1576:
1556:
1521:
1497:
1470:
1049:
867:
834:
786:
698:
672:
620:
598:
574:
505:
475:
420:
385:
365:
339:
315:
242:
203:
176:
156:
129:
102:
9832:{\displaystyle \varphi _{X}(t)=M_{iX}(t)=M_{X}(it):}
7451:
are two random variables and for all values of
7031:
of the probability density functions of each of the
5019:{\displaystyle \left(1-it\lambda ^{-1}\right)^{-1}}
10025:
9936:
9831:
9742:
9682:
9583:
9496:
9476:
9369:
9245:
9196:
9118:
9098:
9067:
9028:
8992:
8916:
8884:
8858:
8818:
8757:
8709:
8667:
8641:
8606:
8512:
8474:
8408:
8344:
8318:
8288:
8248:
8219:
8061:
8035:
7999:to bound the upper tail of a real random variable
7980:
7957:
7869:
7684:
7577:
7512:
7443:
7423:
7380:
7348:
7323:
7238:
7205:
6992:
6925:Linear combination of independent random variables
6913:
6747:
6664:
6635:
6599:
6567:
6547:
6517:
6140:
6107:
6068:
6036:
6012:
5984:
5960:
5872:
5777:
5666:
5582:
5537:
5479:
5435:
5355:
5280:
5230:
5161:
5018:
4955:
4880:
4842:
4793:
4723:
4673:
4575:
4486:
4439:
4384:{\displaystyle (1-2t)^{-{\frac {k}{2}}},~t<1/2}
4383:
4307:
4269:
4202:
4138:
4091:{\displaystyle {\frac {e^{it\mu }}{1+b^{2}t^{2}}}}
4090:
4024:
3928:
3887:
3768:
3658:
3615:{\displaystyle {\frac {e^{itb}-e^{ita}}{it(b-a)}}}
3614:
3532:
3459:
3415:
3362:
3312:
3274:
3194:
3084:
3040:
2977:
2917:
2877:{\displaystyle {\frac {pe^{it}}{1-(1-p)\,e^{it}}}}
2876:
2799:
2693:
2638:
2592:
2549:
2502:
2468:
2437:
2404:
2373:
2326:
2284:the relation of the Fourier and Laplace transforms
2274:
2250:
2221:
2181:
2161:
2121:
2098:
1959:
1838:
1758:
1718:
1682:
1655:
1628:
1608:
1582:
1562:
1543:
1503:
1483:
1453:
1029:
850:
808:
770:
681:
658:
606:
580:
560:
491:
461:In other words, the moment-generating function of
450:
406:
371:
351:
321:
294:
225:
189:
162:
142:
108:
9750:is related to the moment-generating function via
7216:
5602:
5227:
10393:
7612:
4724:{\displaystyle \Gamma (k,{\tfrac {1}{\theta }})}
295:{\displaystyle M_{X}(t)=\operatorname {E} \left}
9683:{\displaystyle k^{m}(1+(m^{2}-m)/k+O(1/k^{2}))}
9504:. Here the moment-generating function bound is
6993:{\displaystyle S_{n}=\sum _{i=1}^{n}a_{i}X_{i}}
3533:{\displaystyle {\frac {e^{tb}-e^{ta}}{t(b-a)}}}
3313:{\displaystyle \operatorname {Pois} (\lambda )}
9693:
4881:{\displaystyle \operatorname {Exp} (\lambda )}
825:), and for some purposes may be used instead.
10243:
10207:
10143:
7400:Moment generating functions are positive and
7381:{\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }
6020:, but with the sign of the argument reversed.
10043:Characteristic function (probability theory)
8993:{\displaystyle x^{m}\leq (m/(te))^{m}e^{tx}}
7375:
7363:
7312:
7296:
3041:{\displaystyle \left(1-p+pe^{it}\right)^{n}}
1879:
1866:
1818:
1805:
1664:
27:Concept in probability theory and statistics
10148:. Wadsworth & Brooks/Cole. p. 61.
10026:{\displaystyle G(e^{t})=E\left=M_{X}(t).\,}
9584:{\displaystyle k^{m}(1+m^{2}/k+O(1/k^{2}))}
8475:{\displaystyle P(X\geq a)\leq e^{-a^{2}/2}}
2978:{\displaystyle \left(1-p+pe^{t}\right)^{n}}
10250:
10236:
10144:Casella, George; Berger, Roger L. (1990).
9099:{\displaystyle X\sim {\text{Chi-Squared}}}
7702:
6583:Linear transformations of random variables
150:. The moment generating function (mgf) of
10113:Learn how and when to remove this message
10022:
9933:
8852:
7574:
7509:
7199:
7040:, and the moment-generating function for
7009:are independent random variables and the
6386:
6231:
5942:
5863:
5764:
5603:
5220:
4440:{\displaystyle (1-2it)^{-{\frac {k}{2}}}}
2857:
2687:
2086:
1947:
1093:
996:
952:
914:
894:
876:
10076:This article includes a list of general
3659:{\displaystyle \operatorname {DU} (a,b)}
3085:{\displaystyle \operatorname {NB} (r,p)}
65:can be used to compute a distribution’s
10208:Casella, George; Berger, Roger (2002).
9702:that are common in probability theory:
7958:{\displaystyle M_{X}(t)\geq e^{\mu t},}
7395:
5627:
5399:
5321:
4487:{\displaystyle \chi _{k}^{2}(\lambda )}
3460:{\displaystyle \operatorname {U} (a,b)}
451:{\displaystyle \operatorname {E} \left}
46:is an alternative specification of its
14:
10394:
10168:
9197:{\displaystyle M_{X}(t)=(1-2t)^{-k/2}}
8300:is a standard normal distribution and
3416:{\displaystyle e^{\lambda (e^{it}-1)}}
10231:
9843:or the moment generating function of
8859:{\displaystyle x,t,m\in \mathbb {R} }
5538:{\displaystyle e^{it\mu -\theta |t|}}
3363:{\displaystyle e^{\lambda (e^{t}-1)}}
10062:
10048:Factorial moment generating function
9871:, while others call this latter the
8409:{\displaystyle M_{X}(t)=e^{t^{2}/2}}
8003:. This statement is also called the
7513:{\displaystyle M_{X}(t)=M_{Y}(t),\,}
2193:of its probability density function
1730:of its probability density function
8819:{\displaystyle tx/m\leq e^{tx/m-1}}
7899:
7699:is an example of when this occurs.
7578:{\displaystyle F_{X}(x)=F_{Y}(x)\,}
4139:{\displaystyle N(\mu ,\sigma ^{2})}
1972:law of the unconscious statistician
24:
10082:it lacks sufficient corresponding
9454:
9423:
9126:degrees of freedom. Then from the
7622:
6261:
6256:
6201:
6196:
5924:
5919:
5833:
5828:
5739:
5644:
5620:
5574:
5384:
5309:
5063:
4843:{\displaystyle (1-it\theta )^{-k}}
4694:
3436:
2298:of the moment-generating function
2049:
2044:
2006:
1907:
1902:
1861:
1800:
1253:
1198:
1149:
1118:
1076:
748:
725:
645:
552:
421:
265:
25:
10418:
9253:and substituting into the bound:
8678:This follows from the inequality
7884:being a nonnegative integer, the
5240:Confluent hypergeometric function
2229:, and in general when a function
56:cumulative distribution functions
10297:
10283:cumulative distribution function
10212:(2nd ed.). pp. 59–68.
10067:
8482:, which is within a factor of 1+
8043:is monotonically increasing for
7342:
7308:
7300:
7274:
7232:
5994:cumulative distribution function
5970:Riemann–Stieltjes integral
5656:
5651:
5638:
5614:
5422:
5417:
5378:
5342:
5339:
5303:
5271:
755:
742:
715:
705:
652:
639:
630:
622:
600:
507:
61:As its name implies, the moment-
10370:probability-generating function
9885:probability-generating function
9879:Probability-generating function
9743:{\displaystyle \varphi _{X}(t)}
8036:{\displaystyle x\mapsto e^{xt}}
7713:exponential generating function
7711: = 0, then it is the
6672:has moment generating function
6665:{\displaystyle \alpha X+\beta }
6607:has moment generating function
10187:
10162:
10137:
10016:
10010:
9967:
9954:
9944:This immediately implies that
9937:{\displaystyle G(z)=E\left.\,}
9903:
9897:
9823:
9814:
9798:
9792:
9773:
9767:
9737:
9731:
9677:
9674:
9653:
9636:
9617:
9608:
9578:
9575:
9554:
9521:
9471:
9457:
9446:
9426:
9407:
9394:
9355:
9339:
9309:
9285:
9279:
9266:
9240:
9225:
9174:
9158:
9152:
9146:
9062:
9046:
9023:
9010:
8968:
8964:
8955:
8944:
8598:
8592:
8546:
8533:
8438:
8426:
8375:
8369:
8283:
8277:
8214:
8208:
8176:
8160:
8135:
8103:
8094:
8082:
8017:
7933:
7927:
7797:
7791:
7786:
7780:
7619:
7571:
7565:
7549:
7543:
7503:
7497:
7481:
7475:
7278:
7270:
7223:vector-valued random variables
7217:Vector-valued random variables
7196:
7180:
7157:
7141:
7121:
7105:
7082:
7076:
6908:
6899:
6870:
6851:
6829:
6821:
6806:
6798:
6789:
6783:
6742:
6733:
6704:
6698:
6630:
6624:
6383:
6377:
6228:
6222:
6178:
6172:
6135:
6129:
6102:
6093:
6063:
6057:
5955:
5949:
5905:
5899:
5860:
5854:
5814:
5808:
5717:
5711:
5681:
5577:
5565:
5529:
5521:
5474:
5462:
5275:
5259:
5224:
5196:
4875:
4869:
4828:
4809:
4755:
4739:
4718:
4697:
4652:
4633:
4628:
4610:
4554:
4538:
4533:
4518:
4481:
4475:
4418:
4399:
4339:
4323:
4133:
4114:
4004:
3996:
3923:
3911:
3879:
3857:
3854:
3836:
3823:
3811:
3760:
3741:
3738:
3720:
3710:
3698:
3653:
3641:
3606:
3594:
3524:
3512:
3454:
3442:
3408:
3386:
3355:
3336:
3307:
3301:
3189:
3177:
3079:
3067:
2912:
2900:
2854:
2842:
2794:
2782:
2745:
2733:
2694:{\displaystyle (1-p)^{k-1}\,p}
2672:
2659:
2538:
2526:
2399:
2393:
2368:
2362:
2321:
2315:
2245:
2239:
2216:
2210:
2156:
2150:
2083:
2077:
2000:
1994:
1944:
1938:
1888:
1882:
1830:
1821:
1792:
1786:
1753:
1747:
1713:
1707:
1538:
1532:
1272:
1259:
1217:
1204:
1168:
1155:
1130:
1124:
1099:
1082:
1070:
1064:
803:
797:
719:
711:
547:
514:
259:
253:
220:
214:
13:
1:
10125:
9875:cumulant-generating function.
9127:
8717:into which we can substitute
8710:{\displaystyle 1+x\leq e^{x}}
6024:Note that for the case where
4308:{\displaystyle \chi _{k}^{2}}
91:
52:probability density functions
10277:probability density function
10130:
9865:cumulant-generating function
9859:Cumulant-generating function
9853:probability density function
8924:, this can be rearranged to
7349:{\displaystyle \mathbf {t} }
7239:{\displaystyle \mathbf {X} }
6046:probability density function
5789:probability density function
1636:th moment about the origin,
614:is a fixed vector, one uses
607:{\displaystyle \mathbf {t} }
407:{\displaystyle -h<t<h}
7:
10036:
9694:Relation to other functions
6117:two-sided Laplace transform
5998:Laplace-Stieltjes transform
2639:{\displaystyle 1-p+pe^{it}}
2438:{\displaystyle \delta _{a}}
2405:{\displaystyle \varphi (t)}
2345:Moment-generating function
2289:
2262:, the Fourier transform of
1728:two-sided Laplace transform
333:of 0. That is, there is an
10:
10423:
10359:moment-generating function
10200:
9591:, where the real bound is
9246:{\displaystyle t=m/(2m+k)}
8296:exists. For example, when
2593:{\displaystyle 1-p+pe^{t}}
40:moment-generating function
18:Moment generating function
10354:
10306:
10295:
10271:probability mass function
10266:
10260:probability distributions
10173:. Dover. pp. 75–79.
8917:{\displaystyle x,m\geq 0}
8758:{\displaystyle x'=tx/m-1}
8642:{\displaystyle X,m\geq 0}
7888:th moment about 0 is the
6108:{\displaystyle M_{X}(-t)}
5692:probability mass function
3929:{\displaystyle L(\mu ,b)}
2286:for further information.
73:th moment about 0 is the
10171:Principles of Statistics
10058:Hamburger moment problem
9078:As an example, consider
8489:Various lemmas, such as
8289:{\displaystyle M_{X}(t)}
7721:probability distribution
6636:{\displaystyle M_{X}(t)}
2550:{\displaystyle P(X=1)=p}
2383:Characteristic function
2374:{\displaystyle M_{X}(t)}
2334:when the latter exists.
2327:{\displaystyle M_{X}(t)}
2222:{\displaystyle f_{X}(x)}
2162:{\displaystyle M_{X}(t)}
1759:{\displaystyle f_{X}(x)}
1719:{\displaystyle M_{X}(t)}
1544:{\displaystyle M_{X}(t)}
809:{\displaystyle M_{X}(0)}
226:{\displaystyle M_{X}(t)}
48:probability distribution
10365:characteristic function
10097:more precise citations.
9869:characteristic function
9713:characteristic function
9707:Characteristic function
7703:Calculations of moments
7697:log-normal distribution
2503:{\displaystyle e^{ita}}
1665:Calculations of moments
819:characteristic function
499:. More generally, when
469:of the random variable
86:characteristic function
10169:Bulmer, M. G. (1979).
10027:
9938:
9833:
9744:
9684:
9585:
9498:
9478:
9371:
9247:
9198:
9120:
9100:
9069:
9030:
8994:
8918:
8886:
8885:{\displaystyle t>0}
8860:
8820:
8759:
8711:
8669:
8668:{\displaystyle t>0}
8643:
8608:
8514:
8476:
8410:
8346:
8320:
8319:{\displaystyle a>0}
8290:
8250:
8249:{\displaystyle t>0}
8221:
8063:
8062:{\displaystyle t>0}
8037:
7982:
7959:
7871:
7686:
7647:
7579:
7514:
7445:
7425:
7382:
7350:
7325:
7240:
7207:
6994:
6969:
6915:
6749:
6666:
6637:
6601:
6569:
6549:
6519:
6142:
6109:
6070:
6038:
6014:
5986:
5962:
5874:
5779:
5743:
5668:
5584:
5539:
5481:
5437:
5357:
5282:
5232:
5163:
5099:
5067:
5020:
4957:
4882:
4844:
4795:
4725:
4675:
4577:
4488:
4452:Noncentral chi-squared
4441:
4385:
4309:
4271:
4204:
4140:
4092:
4026:
3930:
3889:
3770:
3660:
3616:
3534:
3461:
3417:
3364:
3314:
3276:
3196:
3086:
3042:
2979:
2919:
2918:{\displaystyle B(n,p)}
2878:
2801:
2695:
2640:
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