746:
65:
133:
759:
22:
5711:
4811:
3272:
5404:
5106:
4180:
4447:
3554:
2472:
2187:
1236:
5410:
4515:
2966:
3926:
1795:
5112:
4817:
5838:
Thus, Feynman diagrams for correlation functions can be drawn and their values computed the same way as in ground state theory, except with the following modifications to the
Feynman rules: Each internal vertex of the diagram is labeled with either
3934:
857:
The
Keldysh formalism provides a systematic way to study non-equilibrium systems, usually based on the two-point functions corresponding to excitations in the system. The main mathematical object in the Keldysh formalism is the non-equilibrium
2314:
3398:
4192:
2048:
1524:
1102:
5706:{\displaystyle \langle n|{\mathcal {T_{c}}}\psi (x_{1},t_{1},-)\psi (x_{2},t_{2},-)|n\rangle \equiv G_{0}^{--}(x_{1},t_{1},x_{2},t_{2})=\langle n|{\mathcal {\overline {T}}}\psi (x_{1},t_{1})\psi (x_{2},t_{2})|n\rangle }
1646:
2040:
1334:
3375:
6462:
Müller, Thomas; Gievers, Marcel; Fröml, Heinrich; Diehl, Sebastian; Chiocchetta, Alessio (2021). "Shape effects of localized losses in quantum wires: Dissipative resonances and nonequilibrium universality".
4806:{\displaystyle \langle n|{\mathcal {T_{c}}}\psi (x_{1},t_{1},+)\psi (x_{2},t_{2},+)|n\rangle \equiv G_{0}^{++}(x_{1},t_{1},x_{2},t_{2})=\langle n|{\mathcal {T}}\psi (x_{1},t_{1})\psi (x_{2},t_{2})|n\rangle }
3267:{\displaystyle {\mathcal {T_{c}}}(X^{(1)}(c_{1})X^{(2)}(c_{2})\ldots X^{(n)}(c_{n}))=(\pm 1)^{\sigma }X^{(\sigma (1))}(c_{\sigma (1)})X^{(\sigma (2))}(c_{\sigma (2)})\ldots X^{(\sigma (n))}(c_{\sigma (n)})}
35:
Keldysh formalism is around for quite a while. One should cite some original work or review articles/books. Furthermore, Keldysh formalism is far more versatile than indicated in the article in its present
6203:
2306:
1909:
3753:
1665:
5399:{\displaystyle \langle n|{\mathcal {T_{c}}}\psi (x_{1},t_{1},-)\psi (x_{2},t_{2},+)|n\rangle \equiv G_{0}^{-+}(x_{1},t_{1},x_{2},t_{2})=\pm \langle n|\psi (x_{2},t_{2})\psi (x_{1},t_{1})|n\rangle }
3939:
3758:
3403:
2319:
2053:
1670:
1107:
5101:{\displaystyle \langle n|{\mathcal {T_{c}}}\psi (x_{1},t_{1},+)\psi (x_{2},t_{2},-)|n\rangle \equiv G_{0}^{+-}(x_{1},t_{1},x_{2},t_{2})=\langle n|\psi (x_{1},t_{1})\psi (x_{2},t_{2})|n\rangle }
5743:
2856:
1026:
2954:
1094:
4453:
This is the same procedure as in equilibrium diagrammatic perturbation theory, but with the important difference that both forward and reverse contour branches are included.
4175:{\displaystyle {\begin{aligned}iG(x_{1},t_{1},x_{2},t_{2})=\langle n|{\mathcal {T_{c}}}(e^{-i\int _{c}H'(t')dt'}\psi (x_{1},t_{1})\psi (x_{2},t_{2}))|n\rangle \end{aligned}}}
2896:
4509:. However, the edges of the Feynman diagram correspond to different propagators depending on whether the paired operators come from the forward or reverse branches. Namely,
2467:{\displaystyle {\begin{aligned}\langle {\mathcal {O}}(t)\rangle &=\langle n|{S}^{\dagger }(\infty ,0)S(\infty ,t){\mathcal {O_{I}}}(t)\,S(t,0)|n\rangle \\\end{aligned}}}
1386:
1057:
6746:
Gianluca
Stefanucci and Robert van Leeuwen (2013). "Nonequilibrium Many-Body Theory of Quantum Systems: A Modern Introduction" (Cambridge University Press, 2013). DOI:
5833:
5798:
964:
930:
2654:
4479:
3622:
3292:
2496:
6752:
Robert van
Leeuwen, Nils Erik Dahlen, Gianluca Stefanucci, Carl-Olof Almbladh and Ulf von Barth, "Introduction to the Keldysh Formalism", Lectures Notes in Physics
6250:
6099:
6072:
6045:
5998:
5971:
5944:
4499:
902:
6223:
5763:
3680:
3651:
2738:
2709:
2582:
2553:
3549:{\displaystyle {\begin{aligned}\langle {\mathcal {O}}(t)\rangle &=\langle n|{\mathcal {T_{c}}}({\mathcal {O(c)}}e^{-i\int dc'H'(c')})|n\rangle \end{aligned}}}
2680:
2628:
6270:
6018:
5917:
5897:
5877:
5857:
3740:
3720:
3700:
3597:
3577:
2798:
2778:
2758:
2602:
2516:
4442:{\displaystyle \sum _{j=0}^{\infty }\langle n|{\mathcal {T_{c}}}((-i\int _{t}(H'(t',+)+H'(t',-))dt')^{j}\psi (x_{1},t_{1})\psi (x_{2},t_{2}))|n\rangle /j!}
844:
1028:
and hence the system will evolve in time under the full
Hamiltonian. In this section, we will see how time evolution actually works in quantum mechanics.
2182:{\displaystyle {\begin{aligned}\langle {\mathcal {O}}(t)\rangle &=\langle n|{S}^{\dagger }(t,0){\mathcal {O_{I}}}(t)S(t,0)|n\rangle \\\end{aligned}}}
1231:{\displaystyle {\begin{aligned}\langle {\mathcal {O}}(t)\rangle &=\langle n|{U}^{\dagger }(t,0)\,{\mathcal {O}}(0)\,U(t,0)|n\rangle \\\end{aligned}}}
6647:
Ryndyk, D. A.; Gutiérrez, R.; Song, B.; Cuniberti, G. (2009). "Green
Function Techniques in the Treatment of Quantum Transport at the Molecular Scale".
790:
6600:
1914:
1244:
6350:
3297:
848:
1395:
1529:
3921:{\displaystyle {\begin{aligned}iG(x_{1},t_{1},x_{2},t_{2})=\langle n|T\psi (x_{1},t_{1})\psi (x_{2},t_{2})|n\rangle \end{aligned}}}
6104:
2195:
1803:
3624:
goes over the entire
Keldysh contour. For the rest of this article, as is conventional, we will usually simply use the notation
1790:{\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {O_{I}}}(t)&={U_{0}}^{\dagger }(t,0)\,{\mathcal {O}}(0)\,U_{0}(t,0),\end{aligned}}}
783:
854:
Extensions to driven-dissipative open quantum systems is given not only for bosonic systems, but also for fermionic systems.
1526:(Note that if the Hamiltonian at one time commutes with the Hamiltonian at different times, then this can be simplified to
6772:
6682:
6373:
776:
763:
108:
86:
79:
6700:
Gen, Tatara; Kohno, Hiroshi; Shibata, Junya (2008). "Microscopic approach to current-driven domain wall dynamics".
1063:
of quantum mechanics, this operator is time-dependent and the state is not. The expectation value of the operator
745:
875:
5719:
6334:
804:
538:
39:
2803:
713:
193:
6398:
2901:
1066:
866:, which is based on equilibrium Green functions in imaginary-time and treats only equilibrium systems.
718:
343:
969:
6777:
2861:
819:
evolution of a system in a non-equilibrium state or systems subject to time varying external fields (
608:
283:
1342:
1038:
603:
598:
124:
73:
6598:
Kita, Takafumi (2010). "Introduction to
Nonequilibrium Statistical Mechanics with Quantum Field".
688:
293:
5803:
5768:
907:
698:
2633:
2526:
We can write the above expression more succinctly by, purely formally, replacing each operator
683:
623:
593:
543:
263:
153:
90:
6272:
is the number of internal vertices) are all added up to find the total value of the diagram.
3277:
2481:
723:
338:
323:
6719:
6662:
6619:
6482:
6420:
6228:
6077:
6050:
6023:
5976:
5949:
5922:
4484:
1652:
935:
880:
313:
203:
6208:
5748:
3656:
3627:
2714:
2685:
2558:
2529:
8:
6757:
2659:
2607:
1656:
863:
859:
553:
363:
213:
6723:
6666:
6651:. Springer Series in Chemical Physics. Vol. 93. Springer Verlag. pp. 213–335.
6623:
6486:
6432:
6424:
4459:
3602:
862:(NEGF), which is a two-point function of particle fields. In this way, it resembles the
6735:
6709:
6688:
6652:
6635:
6609:
6584:
6498:
6472:
6444:
6410:
6344:
6255:
6003:
5902:
5882:
5862:
5842:
3725:
3705:
3685:
3582:
3562:
2783:
2763:
2743:
2587:
2501:
1060:
816:
693:
668:
416:
407:
4501:, we can organize this perturbation series into monomial terms and apply all possible
6739:
6692:
6678:
6639:
6502:
6436:
6379:
6369:
6330:
4502:
663:
508:
398:
318:
6520:Лифшиц, Евгений Михайлович; Питаевский, Лев Петрович (1979). "Физическая кинетика".
6727:
6670:
6627:
6490:
6448:
6428:
6281:
4506:
828:
820:
368:
333:
328:
288:
258:
228:
188:
148:
6731:
6583:
Kamenev, Alex (11 December 2004). "Many-body theory of non-equilibrium systems".
3382:
678:
628:
498:
253:
165:
6674:
6494:
3474:
3468:
1337:
832:
824:
750:
728:
708:
703:
658:
578:
513:
411:
298:
143:
6560:"Application of the Keldysh Formalism to Quantum Device Modeling and Analysis"
6766:
6383:
4183:
3386:
3378:
2960:
439:
420:
402:
303:
223:
633:
6747:
6534:
6440:
6286:
2035:{\displaystyle S(t_{1},t_{2})=U_{0}^{\dagger }(t_{1},t_{2})U(t_{1},t_{2}),}
1389:
836:
653:
643:
613:
573:
568:
548:
393:
373:
233:
6306:
Keldysh, Leonid (1965). "Diagram technique for nonequilibrium processes".
1329:{\displaystyle {\mathcal {O}}(t)=U^{\dagger }(t,0){\mathcal {O}}(0)U(t,0)}
6589:
3370:{\displaystyle c_{\sigma (1)}<c_{\sigma (2)}<\ldots c_{\sigma (n)}}
840:
673:
648:
618:
563:
558:
490:
132:
6631:
3745:
932:. If we now add a time-dependent perturbation to this Hamiltonian, say
583:
425:
218:
1519:{\displaystyle U(t_{2},t_{1})=T(e^{-i\int _{t_{1}}^{t_{2}}H(t')dt'}).}
6559:
6535:"Introduction to the Keldysh Nonequilibrium Green Function Technique"
1241:
where, due to time evolution of operators in the
Heisenberg picture,
1032:
638:
588:
461:
308:
208:
3599:
on the forward branch of the
Keldysh contour, and the integral over
6477:
6415:
198:
6714:
6657:
6614:
1641:{\displaystyle U(t_{2},t_{1})=e^{-i\int _{t_{1}}^{t_{2}}H(t')dt'}}
874:
Consider a general quantum mechanical system. This system has the
6567:
6542:
4481:
is a polynomial or series as a function of the elementary fields
518:
503:
466:
457:
452:
471:
447:
178:
5745:
orders operators in the opposite way as time ordering and the
3742:
is on the forward or reverse branch is inferred from context.
3471:
3385:
operators respectively. Note that this is a generalization of
476:
173:
6646:
6198:{\displaystyle G_{0}^{s_{a}s_{b}}(x_{a},t_{a},x_{b},t_{b})}
3392:
With this notation, the above time evolution is written as
2604:
parametrizes the contour path on the time axis starting at
2301:{\displaystyle U(t_{3},t_{2})U(t_{2},t_{1})=U(t_{3},t_{1})}
1904:{\displaystyle U_{0}(t_{1},t_{2})=e^{-iH_{0}(t_{1}-t_{2})}}
5899:. Then each (unrenormalized) edge directed from a vertex
4505:
to the fields in each monomial, obtaining a summation of
843:. It was further developed by later contributors such as
183:
6397:
Sieberer, Lukas; Buchhold, M; Diehl, S (2 August 2016).
5835:
is the propagator used in ordinary ground state theory.
904:. Let the initial state of the system be the pure state
827:
etc.). Historically, it was foreshadowed by the work of
6461:
2521:
6399:"Keldysh field theory for driven open quantum systems"
6396:
6258:
6231:
6211:
6107:
6080:
6053:
6026:
6006:
5979:
5952:
5925:
5905:
5885:
5865:
5845:
5806:
5771:
5751:
5722:
5413:
5115:
4820:
4518:
4487:
4462:
4195:
3937:
3756:
3728:
3708:
3688:
3659:
3630:
3605:
3585:
3565:
3401:
3300:
3280:
2969:
2904:
2864:
2806:
2786:
2766:
2746:
2717:
2688:
2662:
2636:
2610:
2590:
2561:
2532:
2504:
2484:
2317:
2198:
2051:
1917:
1806:
1668:
1532:
1398:
1345:
1247:
1105:
1069:
1041:
972:
938:
910:
883:
869:
3746:
Keldysh diagrammatic technique for Green's functions
3750:The non-equilibrium Green's function is defined as
2192:Since the time-evolution unitary operators satisfy
6264:
6244:
6217:
6197:
6093:
6066:
6039:
6012:
5992:
5965:
5938:
5911:
5891:
5871:
5851:
5827:
5792:
5757:
5737:
5705:
5398:
5100:
4805:
4493:
4473:
4441:
4174:
3920:
3734:
3714:
3694:
3674:
3645:
3616:
3591:
3571:
3548:
3369:
3286:
3266:
2948:
2890:
2850:
2792:
2772:
2752:
2732:
2703:
2674:
2648:
2622:
2596:
2576:
2547:
2510:
2490:
2466:
2300:
2181:
2034:
1903:
1789:
1640:
1518:
1380:
1328:
1230:
1088:
1051:
1020:
958:
924:
896:
6764:
6519:
6699:
6649:Energy Transfer Dynamics in Biomaterial Systems
6522:Наука, Глав. ред. физико-математической лит-ры
5800:is for bosonic or fermionic fields. Note that
6205:. Then the diagram values for each choice of
2780:) but also has the additional information of
2682:. This path is known as the Keldysh contour.
784:
6324:
5879:, while external vertices are labelled with
5700:
5605:
5523:
5414:
5393:
5310:
5225:
5116:
5095:
5012:
4930:
4821:
4800:
4710:
4628:
4519:
4425:
4217:
4165:
4006:
3911:
3825:
3539:
3435:
3425:
3406:
2457:
2351:
2341:
2322:
2172:
2085:
2075:
2056:
1221:
1139:
1129:
1110:
919:
2308:, the above expression can be rewritten as
6349:: CS1 maint: location missing publisher (
5738:{\displaystyle {\mathcal {\overline {T}}}}
815:is a general framework for describing the
791:
777:
131:
6713:
6656:
6613:
6588:
6476:
6414:
6368:. Cambridge: Cambridge University Press.
2430:
1754:
1737:
1655:, it is often more convenient to use the
1194:
1177:
109:Learn how and when to remove this message
31:needs attention from an expert in physics
6748:https://doi.org/10.1017/CBO9781139023979
2498:replaced by any time value greater than
72:This article includes a list of general
6582:
6366:Field theory of non-equilibrium systems
6363:
6305:
3377:, and the plus and minus signs are for
1651:For perturbative quantum mechanics and
6765:
2898:, even if for the corresponding times
1659:. The interaction picture operator is
831:and proposed almost simultaneously by
42:may be able to help recruit an expert.
6532:
4182:. We can expand the exponential as a
2851:{\displaystyle X(c_{1})\neq X(c_{2})}
6597:
6557:
6325:Kadanoff, Leo; Baym, Gordon (1962).
2522:Path ordering on the Keldysh contour
58:
15:
2760:is the time value corresponding to
13:
5726:
5619:
5432:
5428:
5134:
5130:
4839:
4835:
4723:
4537:
4533:
4235:
4231:
4212:
4186:to obtain the perturbation series
4024:
4020:
3465:
3453:
3449:
3411:
2977:
2973:
2959:Then we can introduce notation of
2643:
2485:
2414:
2410:
2395:
2377:
2327:
2130:
2126:
2061:
1740:
1680:
1676:
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1044:
870:Time evolution of a quantum system
78:it lacks sufficient corresponding
14:
6789:
2949:{\displaystyle X(t_{1})=X(t_{2})}
1089:{\displaystyle {\mathcal {O}}(t)}
6101:) corresponds to the propagator
3931:Or, in the interaction picture,
2711:has the same operator action as
2555:with a contour-ordered operator
1021:{\displaystyle H(t)=H_{0}+H'(t)}
758:
757:
744:
63:
20:
6601:Progress of Theoretical Physics
6558:Lake, Roger (13 January 2018).
2891:{\displaystyle c_{1}\neq c_{2}}
1338:time-evolution unitary operator
6533:Jauho, A.P. (5 October 2006).
6455:
6403:Reports on Progress in Physics
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6732:10.1016/j.physrep.2008.07.003
6433:10.1088/0034-4885/79/9/096001
6327:Quantum statistical mechanics
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5716:where the anti-time ordering
3702:is the time corresponding to
5729:
5622:
2800:(that is, strictly speaking
1392:exponential of an integral,
7:
6675:10.1007/978-3-642-02306-4_9
6495:10.1103/PhysRevB.104.155431
6275:
3294:is a permutation such that
813:Keldysh–Schwinger formalism
33:. The specific problem is:
10:
6794:
5828:{\displaystyle G_{0}^{--}}
5793:{\displaystyle G_{0}^{-+}}
4456:If, as is often the case,
966:, the full Hamiltonian is
925:{\displaystyle |n\rangle }
344:Spin gapless semiconductor
2649:{\displaystyle t=\infty }
284:Electronic band structure
6773:Condensed matter physics
6513:
3579:corresponds to the time
2656:, and then returning to
194:Bose–Einstein condensate
125:Condensed matter physics
3287:{\displaystyle \sigma }
2491:{\displaystyle \infty }
805:non-equilibrium physics
93:more precise citations.
6758:arXiv:cond-mat/0506130
6364:Kamenev, Alex (2011).
6266:
6246:
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364:Quantum Hall effect
40:WikiProject Physics
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845:O. V. Konstantinov
817:quantum mechanical
751:Physics portal
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6225:signs (there are
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