25:
3225:
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1834:
2598:
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110:
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1093:
477:
1847:
3273:
3220:{\displaystyle {\frac {1}{c_{0}(e^{2i\pi z})}}={\frac {\sum \limits _{n=-\infty }^{\infty }e^{2i\pi n^{2}z}}{\prod \limits _{m=1}^{\infty }(1-e^{2i\pi mz})(1+e^{2i\pi (2m-1)z})^{2}}}}
3337:
1104:
904:
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1583:
429:
894:
321:{\displaystyle \prod _{m=1}^{\infty }\left(1-x^{2m}\right)\left(1+x^{2m-1}y^{2}\right)\left(1+{\frac {x^{2m-1}}{y^{2}}}\right)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }x^{n^{2}}y^{2n},}
2925:
1633:
2271:
2956:
2235:
2986:
2042:
1536:{\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }q^{\frac {n(n+1)}{2}}z^{n}=(q;q)_{\infty }\;\left(-{\tfrac {1}{z}};q\right)_{\infty }\;(-zq;q)_{\infty },}
357:
2755:
1829:{\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }a^{\frac {n(n+1)}{2}}\;b^{\frac {n(n-1)}{2}}=(-a;ab)_{\infty }\;(-b;ab)_{\infty }\;(ab;ab)_{\infty }.}
54:
2609:
2593:{\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }c_{n}(x)x^{2n+1}y^{2n}=xf_{x}(xy)=y^{-2}f_{x}(y)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }c_{n+1}(x)y^{2n}}
2282:
1354:
There are many different notations used to express the Jacobi triple product. It takes on a concise form when expressed in terms of
1024:
628:{\displaystyle \phi (q)=\prod _{m=1}^{\infty }\left(1-q^{m}\right)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }(-1)^{n}q^{\frac {3n^{2}-n}{2}}.}
3486:
3425:
2019:{\displaystyle f_{x}(y)=\prod _{m=1}^{\infty }\left(1-x^{2m}\right)\left(1+x^{2m-1}y^{2}\right)\left(1+x^{2m-1}y^{-2}\right)}
3561:
3469:
76:
47:
3556:
639:
3348:
3237:
3510:
3275:, since they are also 1-periodic and bounded on the upper half plane the quotient has to be constant so that
1344:{\displaystyle \vartheta (z;\tau )=\prod _{m=1}^{\infty }\left(1-e^{2m\pi {\rm {i}}\tau }\right)\left\left.}
1008:{\displaystyle \vartheta (z;\tau )=\sum _{n=-\infty }^{\infty }e^{\pi {\rm {i}}n^{2}\tau +2\pi {\rm {i}}nz}}
3546:
3522:
3278:
765:
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33:
2888:
1599:
58:
2240:
380:
3435:
2934:
2213:
1098:
Using the Jacobi triple product identity, the theta function can be written as the product
3443:
89:"Triple product identity" redirects here. For the ternary operation on vector spaces, see
8:
2965:
2200:{\displaystyle f_{x}(xy)={\frac {1+x^{-1}y^{-2}}{1+xy^{2}}}f_{x}(y)=x^{-1}y^{-2}f_{x}(y)}
1355:
3476:
365:
3389:
3372:
3482:
3465:
3421:
3394:
3526:
3504:
3439:
3384:
3500:
3431:
3413:
2274:
809:
90:
3530:
3540:
3398:
3420:, Undergraduate Texts in Mathematics, New York-Heidelberg: Springer-Verlag,
2857:{\displaystyle f_{x}(y)=c_{0}(x)\sum _{n=-\infty }^{\infty }x^{n^{2}}y^{2n}}
3231:
3455:
395:, which is itself a specific case of the Jacobi triple product identity.
97:
2739:{\displaystyle c_{n+1}(x)=c_{n}(x)x^{2n+1}=\dots =c_{0}(x)x^{(n+1)^{2}}}
3517:
Wright, E. M. (1965), "An
Enumerative Proof of An Identity of Jacobi",
1592:
It enjoys a particularly elegant form when expressed in terms of the
2367:{\displaystyle f_{x}(y)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }c_{n}(x)y^{2n}}
1088:{\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }y^{2n}x^{n^{2}}.}
1473:
3281:
3240:
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2937:
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404:
113:
3373:"A simple proof of Jacobi's triple product identity"
2988:and show both the numerator and the denominator of
3331:
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463:
423:
320:
812:to be written as an infinite product as follows:
808:The Jacobi Triple Product also allows the Jacobi
3538:
3478:Fundamenta nova theoriae functionum ellipticarum
3377:Proceedings of the American Mathematical Society
358:Fundamenta Nova Theoriae Functionum Ellipticarum
46:but its sources remain unclear because it lacks
3457:Combinatorics: Topics, Techniques, Algorithms
16:Mathematical identity found by Jacobi in 1829
364:The Jacobi triple product identity is the
3519:Journal of the London Mathematical Society
1794:
1765:
1701:
1501:
1462:
3388:
3268:{\displaystyle z\mapsto -{\frac {1}{4z}}}
77:Learn how and when to remove this message
2036:and multiplying the new terms out gives
3499:
3412:
3370:
3539:
3516:
3474:
3418:Introduction to analytic number theory
352:
3481:(in Latin), Königsberg: Borntraeger,
3354:For the analytic case, see Apostol.
18:
3332:{\displaystyle c_{0}(x)=c_{0}(0)=1}
3104:
3049:
2867:
798:{\displaystyle y^{2}=-q{\sqrt {q}}}
368:for the affine root system of type
13:
3506:A note on the Jacobi theta formula
3351:based on two identities of Euler.
3119:
3067:
3062:
2962:) is technical. One way is to set
2819:
2814:
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715:{\displaystyle y^{2}=-{\sqrt {q}}}
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565:
560:
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464:{\displaystyle y^{2}=-{\sqrt {q}}}
280:
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130:
14:
3578:
3390:10.1090/S0002-9939-1965-0171725-X
3371:Andrews, George E. (1965-02-01).
391:Jacobi's proof relies on Euler's
847:{\displaystyle x=e^{i\pi \tau }}
23:
3342:
1578:{\displaystyle (a;q)_{\infty }}
898:Then the Jacobi theta function
3405:
3364:
3347:A different proof is given by
3320:
3314:
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424:{\displaystyle x=q{\sqrt {q}}}
1:
3511:American Mathematical Society
3357:
889:{\displaystyle y=e^{i\pi z}.}
386:
379:for the corresponding affine
3411:Chapter 14, theorem 14.6 of
7:
3523:London Mathematical Society
1018:can be written in the form
640:Rogers–Ramanujan identities
10:
3583:
3493:Cambridge University Press
3462:Cambridge University Press
2920:{\displaystyle c_{0}(x)=1}
347:≠0. It was introduced by
88:
3562:Theorems in number theory
3475:Jacobi, C. G. J. (1829),
1628:{\displaystyle |ab|<1}
393:pentagonal number theorem
2266:{\displaystyle |y|>0}
1839:
1594:Ramanujan theta function
377:Weyl denominator formula
32:This article includes a
3557:Mathematical identities
3531:10.1112/jlms/s1-40.1.55
61:more precise citations.
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1635:it can be written as
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2927:(the polynomial of
2237:is meromorphic for
1359:-Pochhammer symbols
3547:Elliptic functions
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