3616:
4067:
3025:
4714:. (As usual, ρ is half the sum of the positive roots and the products run over positive roots α.) The specialization is not completely trivial, because both the numerator and denominator of the Weyl character formula vanish to high order at the identity element, so it is necessary to take a limit of the trace of an element tending to the identity, using a version of
3264:
5542:
1021:
3814:
3204:
5840:
1722:
The character is itself a large sum of exponentials. In this last expression, we then multiply the character by an alternating sum of exponentials—which seemingly will result in an even larger sum of exponentials. The surprising part of the character formula is that when we compute this product, only
5333:
In general, the division process can be accomplished by computing a formal reciprocal of the Weyl denominator and then multiplying the numerator in the Weyl character formula by this formal reciprocal. The result gives the character as a finite sum of exponentials. The coefficients of this expansion
4479:
3825:
2783:
1545:
6796:
5106:
The Weyl character formula gives the character of each representation as a quotient, where the numerator and denominator are each a finite linear combination of exponentials. While this formula in principle determines the character, it is not especially obvious how one can compute this quotient
3611:{\displaystyle \mathrm {X} \left({\begin{pmatrix}e^{i\theta }&0\\0&e^{-i\theta }\end{pmatrix}}\right)(e^{i\theta }-e^{-i\theta })=\left(e^{i(m+1)\theta }+e^{i(m-1)\theta }+\cdots +e^{-i(m-1)\theta }\right)-\left(e^{i(m-1)\theta }+\cdots +e^{-i(m-1)\theta }+e^{-i(m+1)\theta }\right).}
2669:
1717:
4660:
2678:
of the character formula in the compact group setting is completely different from the algebraic proof of the character formula in the setting of semisimple Lie algebras. In the compact group setting, it is common to use "real roots" and "real weights", which differ by a factor of
6008:
4294:
6410:
5361:
1723:
a small number of terms actually remain. Many more terms than this occur at least once in the product of the character and the Weyl denominator, but most of these terms cancel out to zero. The only terms that survive are the terms that occur only once, namely
6277:
5349:'s formula is a recursive formula for the weight multiplicities that gives the same answer as the Kostant multiplicity formula, but is sometimes easier to use for calculations as there can be far fewer terms to sum. The formula is based on use of the
825:
3627:
3039:
5616:
3030:(Both numerator and denominator in the character formula have two terms.) It is instructive to verify this formula directly in this case, so that we can observe the cancellation phenomenon implicit in the Weyl character formula.
2290:
4062:{\displaystyle \mathrm {X} \left({\begin{pmatrix}e^{i\theta }&0\\0&e^{-i\theta }\end{pmatrix}}\right)={\frac {e^{i(m+1)\theta }-e^{-i(m+1)\theta }}{e^{i\theta }-e^{-i\theta }}}={\frac {\sin((m+1)\theta )}{\sin \theta }}.}
3020:{\displaystyle \mathrm {X} \left({\begin{pmatrix}e^{i\theta }&0\\0&e^{-i\theta }\end{pmatrix}}\right)={\frac {e^{i(m+1)\theta }-e^{-i(m+1)\theta }}{e^{i\theta }-e^{-i\theta }}}={\frac {\sin((m+1)\theta )}{\sin \theta }}.}
74:, the proof of the character formula is a key step in proving that every dominant integral element actually arises as the highest weight of some irreducible representation. Important consequences of the character formula are the
5034:
4305:
6501:
6294:
Peterson gave a recursion formula for the multiplicities mult(β) of the roots β of a symmetrizable (generalized) Kac–Moody algebra, which is equivalent to the Weyl–Kac denominator formula, but easier to use for calculations:
1382:
469:
548:
2049:
681:
6631:
2504:
1557:
4533:
5264:
5855:
2412:
4129:
1267:
6094:
5334:
are the dimensions of the weight spaces, that is, the multiplicities of the weights. We thus obtain from the Weyl character formula a formula for the multiplicities of the weights, known as the
6303:
5537:{\displaystyle (\|\Lambda +\rho \|^{2}-\|\lambda +\rho \|^{2})m_{\Lambda }(\lambda )=2\sum _{\alpha \in \Delta ^{+}}\sum _{j\geq 1}(\lambda +j\alpha ,\alpha )m_{\Lambda }(\lambda +j\alpha )}
5328:
5166:
4823:
5107:
explicitly as a finite sum of exponentials. Already In the SU(2) case described above, it is not immediately obvious how to go from the Weyl character formula, which gives the character as
817:
3256:
1796:
1844:
1769:
6126:
295:
The character formula can be expressed in terms of representations of complex semisimple Lie algebras or in terms of the (essentially equivalent) representation theory of compact
1016:{\displaystyle \operatorname {ch} _{\pi }(H)={\frac {\sum _{w\in W}\varepsilon (w)e^{w(\lambda +\rho )(H)}}{\prod _{\alpha \in \Delta ^{+}}(e^{\alpha (H)/2}-e^{-\alpha (H)/2})}}}
5090:
6863:
6834:
3809:{\displaystyle \mathrm {X} \left({\begin{pmatrix}e^{i\theta }&0\\0&e^{-i\theta }\end{pmatrix}}\right)(e^{i\theta }-e^{-i\theta })=e^{i(m+1)\theta }-e^{-i(m+1)\theta }}
4109:
2456:
2338:
2185:
1312:
1210:
404:
376:
352:
6589:
4880:
6891:
4692:
2121:
1080:
6911:
6562:
4712:
1341:
1155:
755:
4762:
3199:{\displaystyle \mathrm {X} \left({\begin{pmatrix}e^{i\theta }&0\\0&e^{-i\theta }\end{pmatrix}}\right)=e^{im\theta }+e^{i(m-2)\theta }+\cdots +e^{-im\theta }.}
1107:
160:
186:
6945:
5835:{\displaystyle \prod _{m=1}^{\infty }\left(1-x^{2m}\right)\left(1-x^{2m-1}y\right)\left(1-x^{2m-1}y^{-1}\right)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }(-1)^{n}x^{n^{2}}y^{n}.}
1129:
277:
210:
103:
6613:
6535:
2476:
2432:
2314:
1972:
1932:
775:
728:
708:
597:
424:
325:
250:
230:
123:
4742:
4520:
2755:
577:
2775:
2717:
2697:
2496:
2358:
2205:
2161:
2141:
2096:
2072:
1952:
1912:
1892:
1872:
1365:
1230:
1179:
1047:
4474:{\displaystyle \sum _{\sigma \in S_{n}}\operatorname {sgn}(\sigma )\,X_{1}^{\sigma (1)-1}\cdots X_{n}^{\sigma (n)-1}=\prod _{1\leq i<j\leq n}(X_{j}-X_{i})}
2213:
4888:
1540:{\displaystyle \operatorname {ch} _{\pi }(H)={\frac {\sum _{w\in W}\varepsilon (w)e^{w(\lambda +\rho )(H)}}{\sum _{w\in W}\varepsilon (w)e^{w(\rho )(H)}}}}
6425:
429:
4882:
of non-negative integers. In this case, there are three positive roots and it is not hard to verify that the dimension formula takes the explicit form
477:
6791:{\displaystyle \Theta _{\pi }|_{H'}={\sum _{w\in W/W_{\lambda }}a_{w}e^{w\lambda } \over e^{\rho }\prod _{\alpha \in \Delta ^{+}}(1-e^{-\alpha })}.}
7423:
1980:
605:
2664:{\displaystyle \mathrm {X} (e^{H})={\frac {\sum _{w\in W}\varepsilon (w)e^{w(\lambda +\rho )(H)}}{\sum _{w\in W}\varepsilon (w)e^{w(\rho )(H)}}}.}
1712:{\displaystyle \operatorname {ch} _{\pi }(H){\sum _{w\in W}\varepsilon (w)e^{w(\rho )(H)}}=\sum _{w\in W}\varepsilon (w)e^{w(\lambda +\rho )(H)}.}
7427:
4655:{\displaystyle \dim(V_{\lambda })={\prod _{\alpha \in \Delta ^{+}}(\lambda +\rho ,\alpha ) \over \prod _{\alpha \in \Delta ^{+}}(\rho ,\alpha )}}
70:). There is a closely related formula for the character of an irreducible representation of a semisimple Lie algebra. In Weyl's approach to the
5174:
7446:
6103:
of the imaginary simple roots which are pairwise orthogonal and orthogonal to the highest weight λ, and |I| is the cardinality of I and Σ
5593:. Similarly there is a denominator identity for Kac–Moody algebras, which in the case of the affine Lie algebras is equivalent to the
6003:{\displaystyle {\sum _{w\in W}(-1)^{\ell (w)}w(e^{\lambda +\rho }S) \over e^{\rho }\prod _{\alpha \in \Delta ^{+}}(1-e^{-\alpha })}.}
71:
4289:{\displaystyle {\sum _{w\in W}\varepsilon (w)e^{w(\rho )(H)}=\prod _{\alpha \in \Delta ^{+}}(e^{\alpha (H)/2}-e^{-\alpha (H)/2})}.}
4111:
and that preceding argument is a small variant of the standard derivation of the formula for the sum of a finite geometric series.
17:
2363:
4833:
3621:
We can now easily verify that most of the terms cancel between the two term on the right-hand side above, leaving us with only
4119:
In the special case of the trivial 1-dimensional representation the character is 1, so the Weyl character formula becomes the
7218:
1238:
6023:
6405:{\displaystyle (\beta ,\beta -2\rho )c_{\beta }=\sum _{\gamma +\delta =\beta }(\gamma ,\delta )c_{\gamma }c_{\delta }\,}
7192:
7235:
5846:
5272:
5110:
4767:
783:
7344:(1926b), "Theorie der Darstellung kontinuierlicher halb-einfacher Gruppen durch lineare Transformationen. III",
7242:
3212:
3033:
Since the representations are known very explicitly, the character of the representation can be written down as
1774:
7399:
7303:(1926a), "Theorie der Darstellung kontinuierlicher halb-einfacher Gruppen durch lineare Transformationen. II",
7176:
2728:
688:
5338:. An alternative formula, that is more computationally tractable in some cases, is given in the next section.
7262:(1925), "Theorie der Darstellung kontinuierlicher halb-einfacher Gruppen durch lineare Transformationen. I",
7252:
6272:{\displaystyle j(p)-j(q)=\left({1 \over p}-{1 \over q}\right)\prod _{n,m=1}^{\infty }(1-p^{n}q^{m})^{c_{nm}}}
5582:
1801:
1726:
2078:
asserts that the characters form an orthonormal basis for the space of square-integrable class functions on
6513:
Harish-Chandra showed that Weyl's character formula admits a generalization to representations of a real,
7247:
6980:
6970:
5101:
5042:
79:
6839:
6810:
7346:
7305:
7264:
6538:
6285:
4075:
2437:
2319:
2166:
1272:
1186:
385:
357:
333:
6567:
4715:
2699:
from the roots and weights used here. Thus, the formula in the compact group setting has factors of
6975:
6592:
4839:
6869:
4670:
2104:
6542:
4485:
1058:
5092:
is the standard representation and indeed the dimension formula gives the value 3 in this case.
1376:
Using the Weyl denominator formula (described below), the character formula may be rewritten as
2075:
1344:
328:
189:
188:. The irreducible representations in this case are all finite-dimensional (this is part of the
75:
6896:
6547:
4697:
1317:
1140:
733:
5607:
5586:
5330:
as the sum of a finite geometric series, but in general we need a more systematic procedure.
4747:
1092:
136:
39:
165:
6923:
5845:
The character formula can also be extended to integrable highest weight representations of
5595:
1114:
262:
195:
192:); so the notion of trace is the usual one from linear algebra. Knowledge of the character
88:
6598:
6520:
2461:
2417:
2299:
1957:
1917:
760:
713:
693:
582:
409:
310:
235:
215:
108:
8:
6965:
6115:
4721:
4499:
2734:
1347:, defined to be the minimal number of reflections with respect to simple roots such that
556:
1798:
and the highest weight from the Weyl denominator) and things in the Weyl-group orbit of
7417:
7371:
7330:
7289:
6947:
are still not well understood. Results on these coefficients may be found in papers of
2760:
2702:
2682:
2481:
2343:
2285:{\displaystyle \operatorname {trace} (\Pi (e^{H}))=\operatorname {trace} (e^{\pi (H)})}
2190:
2146:
2126:
2081:
2057:
1937:
1897:
1877:
1857:
1350:
1215:
1164:
1032:
7405:
7395:
7375:
7363:
7334:
7322:
7293:
7281:
7231:
7214:
7203:
7188:
7172:
7075:
Section 10.8 in the Lie algebra setting and
Section 12.4 in the compact group setting
6616:
5029:{\displaystyle \dim(V_{m_{1},m_{2}})={\frac {1}{2}}(m_{1}+1)(m_{2}+1)(m_{1}+m_{2}+2)}
1233:
379:
130:
47:
6496:{\displaystyle c_{\beta }=\sum _{n\geq 1}{\operatorname {mult} (\beta /n) \over n}.}
777:. (The preceding expression is sometimes taken as the definition of the character.)
7355:
7314:
7273:
6960:
5346:
43:
464:{\displaystyle \operatorname {ch} _{\pi }:{\mathfrak {h}}\rightarrow \mathbb {C} }
7210:
6948:
6620:
6514:
5350:
5269:
In this case, it is perhaps not terribly difficult to recognize the expression
4718:. In the SU(2) case described above, for example, we can recover the dimension
2777:
to be the diagonal subgroup of SU(2), the character formula in this case reads
2458:, as described in the previous subsection. The restriction of the character of
1158:
543:{\displaystyle \operatorname {ch} _{\pi }(H)=\operatorname {tr} (e^{\pi (H)}).}
256:
51:
7440:
7367:
7326:
7285:
2044:{\displaystyle \mathrm {X} (x)=\operatorname {trace} (\Pi (x)),\quad x\in K.}
1083:
676:{\displaystyle \operatorname {ch} _{\pi }(H)=\sum _{\mu }m_{\mu }e^{\mu (H)}}
7409:
7341:
7300:
7259:
5563:(λ) is the multiplicity of the weight λ in the irreducible representation V
55:
4744:
of the representation by using L'Hôpital's rule to evaluate the limit as
7187:, Graduate Texts in Mathematics, vol. 222 (2nd ed.), Springer,
7185:
Lie groups, Lie algebras, and representations: An elementary introduction
1087:
284:
31:
7359:
7318:
7277:
5353:
and its derivation is independent of the character formula. It states
5259:{\displaystyle e^{im\theta }+e^{i(m-2)\theta }+\cdots +e^{-im\theta }.}
1050:
4828:
We may consider as an example the complex semisimple Lie algebra sl(3,
6017:
is a correction term given in terms of the imaginary simple roots by
296:
327:
be an irreducible, finite-dimensional representation of a complex
4299:
For special unitary groups, this is equivalent to the expression
599:. By elementary considerations, the character may be computed as
5168:
back to the formula for the character as a sum of exponentials:
4832:), or equivalently the compact group SU(3). In that case, the
2498:
is then given by the same formula as in the Lie algebra case:
2407:{\displaystyle H\mapsto \operatorname {trace} (\Pi (e^{H}))}
2123:
is a class function, it is determined by its restriction to
3258:. Multiplying the character by the Weyl denominator gives
5599:. In the simplest case of the affine Lie algebra of type
4667:
for the dimension of a finite dimensional representation
2414:
is simply the character of the associated representation
3209:
The Weyl denominator, meanwhile, is simply the function
1131:
is the half-sum of the positive roots, often called the
2054:
The character is easily seen to be a class function on
7389:
7205:
Introduction to Lie
Algebras and Representation Theory
6623:
of G and H' is the set of regular elements in H, then
4072:
The character in this case is a geometric series with
3843:
3645:
3282:
3057:
2801:
1262:{\displaystyle {\mathfrak {h}}\subset {\mathfrak {g}}}
290:
6926:
6899:
6872:
6842:
6813:
6634:
6601:
6570:
6550:
6523:
6428:
6306:
6129:
6026:
5858:
5619:
5581:
The Weyl character formula also holds for integrable
5364:
5275:
5177:
5113:
5045:
4891:
4842:
4770:
4750:
4724:
4700:
4673:
4536:
4502:
4308:
4132:
4078:
3828:
3630:
3267:
3215:
3042:
2786:
2763:
2737:
2705:
2685:
2507:
2484:
2464:
2440:
2420:
2366:
2346:
2322:
2302:
2216:
2193:
2169:
2149:
2129:
2107:
2084:
2060:
1983:
1960:
1940:
1920:
1900:
1880:
1860:
1804:
1777:
1771:(which is obtained by taking the highest weight from
1729:
1560:
1385:
1353:
1320:
1275:
1241:
1218:
1189:
1167:
1143:
1117:
1095:
1061:
1035:
828:
786:
763:
736:
716:
696:
608:
585:
559:
480:
432:
412:
388:
360:
336:
313:
265:
238:
218:
198:
168:
139:
111:
91:
72:
representation theory of connected compact Lie groups
2316:
is the associated representation of the Lie algebra
6508:
6089:{\displaystyle S=\sum _{I}(-1)^{|I|}e^{\Sigma I}\,}
7240:
7202:
6951:, Adams, Schmid, and Schmid-Vilonen among others.
6939:
6905:
6885:
6857:
6828:
6790:
6607:
6583:
6556:
6529:
6495:
6404:
6271:
6088:
6002:
5834:
5536:
5322:
5258:
5160:
5084:
5028:
4874:
4817:
4756:
4736:
4706:
4686:
4654:
4514:
4473:
4288:
4103:
4061:
3808:
3610:
3250:
3198:
3019:
2769:
2749:
2711:
2691:
2663:
2490:
2470:
2450:
2426:
2406:
2352:
2332:
2308:
2284:
2199:
2179:
2155:
2135:
2115:
2090:
2066:
2043:
1966:
1946:
1926:
1906:
1886:
1866:
1838:
1790:
1763:
1711:
1539:
1359:
1335:
1306:
1261:
1224:
1204:
1173:
1149:
1123:
1101:
1074:
1041:
1015:
811:
769:
749:
722:
702:
675:
591:
571:
542:
463:
418:
398:
370:
346:
319:
302:
271:
244:
224:
204:
180:
154:
117:
97:
7394:. Harris, Joe, 1951-. New York: Springer-Verlag.
7438:
6417:where the sum is over positive roots γ, δ, and
5323:{\displaystyle \sin((m+1)\theta )/\sin \theta }
5161:{\displaystyle \sin((m+1)\theta )/\sin \theta }
5095:
4818:{\displaystyle \sin((m+1)\theta )/\sin \theta }
5576:
2727:In the case of the group SU(2), consider the
812:{\displaystyle \operatorname {ch} _{\pi }(H)}
279:, in terms of other objects constructed from
7422:: CS1 maint: multiple names: authors list (
5406:
5393:
5381:
5368:
7392:Representation theory : a first course
6099:where the sum runs over all finite subsets
5572:The first sum is over all positive roots α.
4114:
7426:) CS1 maint: numeric names: authors list (
6917:and the rest of the notation is as above.
3251:{\displaystyle e^{i\theta }-e^{-i\theta }}
1874:be a compact, connected Lie group and let
1791:{\displaystyle \operatorname {ch} _{\pi }}
7354:, Springer Berlin / Heidelberg: 377–395,
7313:, Springer Berlin / Heidelberg: 328–376,
7272:, Springer Berlin / Heidelberg: 271–309,
7200:
7156:
6849:
6820:
6401:
6085:
5065:
4491:
4347:
457:
7167:Fulton, William and Harris, Joe (1991).
6615:; it is given by integration against an
5341:
1367:equals the product of those reflections.
1839:{\displaystyle e^{(\lambda +\rho )(H)}}
1764:{\displaystyle e^{(\lambda +\rho )(H)}}
14:
7439:
7169:Representation theory: a first course.
7340:
7299:
4522:, Weyl's character formula gives the
1849:
67:
63:
7258:
7182:
7144:
7132:
7120:
7108:
7096:
7084:
7072:
7059:
7047:
7035:
7023:
7011:
6999:
1934:be an irreducible representation of
1212:is the determinant of the action of
59:
7447:Representation theory of Lie groups
2443:
2325:
2172:
1254:
1244:
448:
391:
363:
339:
291:Statement of Weyl character formula
162:, as a function of a group element
24:
6746:
6636:
6572:
6541:of a real, reductive group G with
6215:
6077:
5958:
5778:
5773:
5636:
5511:
5455:
5423:
5371:
4623:
4577:
4205:
3830:
3632:
3269:
3044:
2788:
2509:
2465:
2382:
2226:
2109:
2010:
1985:
1961:
1954:. Then we define the character of
1921:
1161:of the irreducible representation
1096:
1063:
933:
780:The character formula states that
687:where the sum ranges over all the
46:of irreducible representations of
25:
7458:
7228:Infinite dimensional Lie algebras
5849:, when the character is given by
5085:{\displaystyle m_{1}=1,\,m_{2}=0}
2722:
232:gives a lot of information about
6858:{\displaystyle G_{\mathbb {C} }}
6829:{\displaystyle H_{\mathbb {C} }}
6509:Harish-Chandra Character Formula
6114:The denominator formula for the
1345:length of the Weyl group element
7390:Fulton, William, 1939- (1991).
7383:
7150:
7138:
7126:
7114:
7102:
6807:W is the complex Weyl group of
4496:By evaluating the character at
4104:{\displaystyle R=e^{2i\theta }}
2451:{\displaystyle {\mathfrak {k}}}
2333:{\displaystyle {\mathfrak {k}}}
2180:{\displaystyle {\mathfrak {t}}}
2028:
1307:{\displaystyle (-1)^{\ell (w)}}
1205:{\displaystyle \varepsilon (w)}
399:{\displaystyle {\mathfrak {g}}}
371:{\displaystyle {\mathfrak {h}}}
347:{\displaystyle {\mathfrak {g}}}
303:Complex semisimple Lie algebras
7090:
7078:
7065:
7053:
7041:
7029:
7017:
7005:
6993:
6779:
6757:
6647:
6619:on the regular set. If H is a
6584:{\displaystyle \Theta _{\pi }}
6481:
6467:
6378:
6366:
6328:
6307:
6250:
6220:
6154:
6148:
6139:
6133:
6107:is the sum of the elements of
6066:
6058:
6053:
6043:
5991:
5969:
5931:
5909:
5901:
5895:
5888:
5878:
5847:generalized Kac–Moody algebras
5793:
5783:
5583:highest-weight representations
5531:
5516:
5503:
5482:
5434:
5428:
5415:
5365:
5303:
5297:
5285:
5282:
5217:
5205:
5141:
5135:
5123:
5120:
5023:
4991:
4988:
4969:
4966:
4947:
4931:
4898:
4869:
4843:
4798:
4792:
4780:
4777:
4646:
4634:
4606:
4588:
4556:
4543:
4468:
4442:
4400:
4394:
4367:
4361:
4344:
4338:
4279:
4266:
4260:
4233:
4227:
4216:
4185:
4179:
4176:
4170:
4159:
4153:
4039:
4033:
4021:
4018:
3961:
3949:
3927:
3915:
3798:
3786:
3764:
3752:
3738:
3703:
3592:
3580:
3558:
3546:
3518:
3506:
3477:
3465:
3437:
3425:
3406:
3394:
3375:
3340:
3157:
3145:
2997:
2991:
2979:
2976:
2919:
2907:
2885:
2873:
2650:
2644:
2641:
2635:
2624:
2618:
2592:
2586:
2583:
2571:
2560:
2554:
2526:
2513:
2401:
2398:
2385:
2379:
2370:
2279:
2274:
2268:
2257:
2245:
2242:
2229:
2223:
2022:
2019:
2013:
2007:
1995:
1989:
1831:
1825:
1822:
1810:
1756:
1750:
1747:
1735:
1701:
1695:
1692:
1680:
1669:
1663:
1635:
1629:
1626:
1620:
1609:
1603:
1580:
1574:
1529:
1523:
1520:
1514:
1503:
1497:
1471:
1465:
1462:
1450:
1439:
1433:
1405:
1399:
1330:
1324:
1299:
1293:
1286:
1276:
1199:
1193:
1007:
994:
988:
961:
955:
944:
914:
908:
905:
893:
882:
876:
848:
842:
806:
800:
668:
662:
628:
622:
553:The value of the character at
534:
529:
523:
512:
500:
494:
453:
149:
143:
13:
1:
6986:
4875:{\displaystyle (m_{1},m_{2})}
1371:
85:By definition, the character
7243:"Weyl–Kac character formula"
7241:Duncan J. Melville (2001) ,
7201:Humphreys, James E. (1972),
6886:{\displaystyle W_{\lambda }}
5336:Kostant multiplicity formula
5096:Kostant multiplicity formula
4687:{\displaystyle V_{\lambda }}
2719:in the exponent throughout.
2116:{\displaystyle \mathrm {X} }
80:Kostant multiplicity formula
7:
7248:Encyclopedia of Mathematics
7171:New York: Springer-Verlag.
6954:
1075:{\displaystyle \Delta ^{+}}
10:
7463:
6981:Kirillov character formula
6971:Demazure character formula
5591:Weyl–Kac character formula
5589:, when it is known as the
5577:Weyl–Kac character formula
5102:Kostant partition function
5099:
2729:irreducible representation
7347:Mathematische Zeitschrift
7306:Mathematische Zeitschrift
7265:Mathematische Zeitschrift
7111:Exercise 9 in Chapter 10.
6539:admissible representation
6286:elliptic modular function
6976:Weyl integration formula
6906:{\displaystyle \lambda }
6593:Harish-Chandra character
6557:{\displaystyle \lambda }
4707:{\displaystyle \lambda }
4121:Weyl denominator formula
4115:Weyl denominator formula
1336:{\displaystyle \ell (w)}
1150:{\displaystyle \lambda }
819:may also be computed as
750:{\displaystyle m_{\mu }}
18:Weyl denominator formula
7183:Hall, Brian C. (2015),
6543:infinitesimal character
6118:is the product formula
5556:λ is some other weight,
4757:{\displaystyle \theta }
4486:Vandermonde determinant
1102:{\displaystyle \Delta }
757:is the multiplicity of
155:{\displaystyle \pi (g)}
6941:
6907:
6887:
6859:
6830:
6792:
6609:
6585:
6558:
6531:
6497:
6406:
6273:
6219:
6090:
6004:
5836:
5782:
5640:
5553:Λ is a highest weight,
5538:
5324:
5260:
5162:
5086:
5030:
4876:
4836:are labeled by a pair
4819:
4758:
4738:
4708:
4688:
4656:
4524:Weyl dimension formula
4516:
4492:Weyl dimension formula
4475:
4290:
4105:
4063:
3810:
3612:
3252:
3200:
3021:
2771:
2751:
2713:
2693:
2665:
2492:
2472:
2452:
2428:
2408:
2354:
2334:
2310:
2286:
2201:
2181:
2157:
2137:
2117:
2092:
2068:
2045:
1968:
1948:
1928:
1908:
1894:be a maximal torus in
1888:
1868:
1840:
1792:
1765:
1713:
1541:
1361:
1337:
1308:
1263:
1226:
1206:
1175:
1151:
1125:
1103:
1076:
1043:
1017:
813:
771:
751:
724:
704:
677:
593:
573:
544:
465:
420:
400:
372:
348:
329:semisimple Lie algebra
321:
273:
246:
226:
206:
182:
181:{\displaystyle g\in G}
156:
119:
99:
76:Weyl dimension formula
36:Weyl character formula
6942:
6940:{\displaystyle a_{w}}
6908:
6893:is the stabilizer of
6888:
6860:
6831:
6793:
6610:
6586:
6559:
6532:
6498:
6407:
6274:
6193:
6091:
6005:
5837:
5759:
5620:
5608:Jacobi triple product
5539:
5342:Freudenthal's formula
5325:
5261:
5163:
5087:
5031:
4877:
4820:
4759:
4739:
4709:
4689:
4657:
4517:
4476:
4291:
4106:
4064:
3811:
3613:
3253:
3201:
3022:
2772:
2752:
2714:
2694:
2666:
2493:
2473:
2453:
2429:
2409:
2360:. Thus, the function
2355:
2335:
2311:
2287:
2202:
2182:
2158:
2138:
2118:
2093:
2069:
2046:
1969:
1949:
1929:
1909:
1889:
1869:
1841:
1793:
1766:
1714:
1542:
1362:
1338:
1309:
1264:
1227:
1207:
1176:
1152:
1126:
1124:{\displaystyle \rho }
1104:
1077:
1044:
1018:
814:
772:
752:
725:
705:
678:
594:
574:
545:
466:
426:is then the function
421:
401:
373:
349:
322:
274:
272:{\displaystyle \chi }
247:
227:
207:
205:{\displaystyle \chi }
183:
157:
120:
100:
98:{\displaystyle \chi }
40:representation theory
27:Representation theory
7209:, Berlin, New York:
6924:
6897:
6870:
6840:
6811:
6632:
6608:{\displaystyle \pi }
6599:
6568:
6548:
6530:{\displaystyle \pi }
6521:
6426:
6304:
6127:
6024:
5856:
5617:
5596:Macdonald identities
5569:ρ is the Weyl vector
5362:
5273:
5175:
5111:
5043:
4889:
4840:
4768:
4748:
4722:
4698:
4694:with highest weight
4671:
4534:
4500:
4306:
4130:
4076:
3826:
3628:
3265:
3213:
3040:
2784:
2761:
2735:
2703:
2683:
2505:
2482:
2471:{\displaystyle \Pi }
2462:
2438:
2427:{\displaystyle \pi }
2418:
2364:
2344:
2320:
2309:{\displaystyle \pi }
2300:
2214:
2191:
2167:
2147:
2127:
2105:
2082:
2058:
1981:
1967:{\displaystyle \Pi }
1958:
1938:
1927:{\displaystyle \Pi }
1918:
1898:
1878:
1858:
1802:
1775:
1727:
1558:
1383:
1351:
1318:
1273:
1239:
1216:
1187:
1165:
1141:
1115:
1093:
1059:
1033:
826:
784:
770:{\displaystyle \mu }
761:
734:
723:{\displaystyle \pi }
714:
703:{\displaystyle \mu }
694:
606:
592:{\displaystyle \pi }
583:
579:is the dimension of
557:
478:
430:
419:{\displaystyle \pi }
410:
386:
358:
334:
320:{\displaystyle \pi }
311:
263:
255:Weyl's formula is a
245:{\displaystyle \pi }
236:
225:{\displaystyle \pi }
216:
196:
166:
137:
118:{\displaystyle \pi }
109:
105:of a representation
89:
54:. It was proved by
6966:Algebraic character
6537:is an irreducible,
6116:monster Lie algebra
4737:{\displaystyle m+1}
4515:{\displaystyle H=0}
4410:
4377:
2750:{\displaystyle m+1}
2163:in the Lie algebra
1974:to be the function
1269:. This is equal to
572:{\displaystyle H=0}
406:. The character of
7360:10.1007/BF01216789
7319:10.1007/BF01216788
7278:10.1007/BF01506234
6937:
6903:
6883:
6855:
6826:
6788:
6756:
6698:
6605:
6581:
6554:
6527:
6493:
6457:
6402:
6365:
6269:
6086:
6042:
6000:
5968:
5877:
5832:
5587:Kac–Moody algebras
5534:
5481:
5465:
5320:
5256:
5158:
5082:
5026:
4872:
4815:
4754:
4734:
4704:
4684:
4652:
4633:
4587:
4512:
4471:
4441:
4381:
4348:
4331:
4286:
4215:
4149:
4101:
4059:
3891:
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