22551:
21097:
19153:
21452:
19998:
18054:
22546:{\displaystyle {\begin{aligned}x={}&{\frac {S{\bigl \langle }q\{\operatorname {ctlh} ^{2}\}{\bigr \rangle }^{2}-R{\bigl \langle }q\{\operatorname {ctlh} ^{2}\}^{2}{\bigr \rangle }}{S{\bigl \langle }q\{\operatorname {ctlh} ^{2}\}{\bigr \rangle }^{2}}}\times \\&{}\times {\frac {1-R{\bigl \langle }q\{\operatorname {ctlh} ^{2}\}^{2}{\bigr \rangle }\,S{\bigl \langle }q\{\operatorname {ctlh} ^{2}\}{\bigr \rangle }}{R{\bigl \langle }q\{\operatorname {ctlh} ^{2}\}^{2}{\bigr \rangle }^{2}}}\times \\&{}\times {\frac {\vartheta _{00}{\bigl \langle }q\{\operatorname {ctlh} ^{2}\}^{5}{\bigr \rangle }\,\vartheta _{00}{\bigl \langle }q\{\operatorname {ctlh} ^{2}\}^{1/5}{\bigr \rangle }^{2}-5\,\vartheta _{00}{\bigl \langle }q\{\operatorname {ctlh} ^{2}\}^{5}{\bigr \rangle }^{3}}{4\,\vartheta _{10}{\bigl \langle }q\{\operatorname {ctlh} ^{2}\}{\bigr \rangle }\,\vartheta _{01}{\bigl \langle }q\{\operatorname {ctlh} ^{2}\}{\bigr \rangle }\,\vartheta _{00}{\bigl \langle }q\{\operatorname {ctlh} ^{2}\}{\bigr \rangle }}}\end{aligned}}}
21092:{\displaystyle {\begin{aligned}x={}&{\frac {S{\bigl \langle }q\{\operatorname {ctlh} ^{2}\}{\bigr \rangle }^{2}-R{\bigl \langle }q\{\operatorname {ctlh} ^{2}\}^{2}{\bigr \rangle }}{S{\bigl \langle }q\{\operatorname {ctlh} ^{2}\}{\bigr \rangle }^{2}}}\times \\&{}\times {\frac {1-R{\bigl \langle }q\{\operatorname {ctlh} ^{2}\}^{2}{\bigr \rangle }\,S{\bigl \langle }q\{\operatorname {ctlh} ^{2}\}{\bigr \rangle }}{R{\bigl \langle }q\{\operatorname {ctlh} ^{2}\}^{2}{\bigr \rangle }^{2}}}\times \\&{}\times {\frac {\vartheta _{00}{\bigl \langle }q\{\operatorname {ctlh} ^{2}\}^{5}{\bigr \rangle }\,\vartheta _{00}{\bigl \langle }q\{\operatorname {ctlh} ^{2}\}^{1/5}{\bigr \rangle }^{2}-5\,\vartheta _{00}{\bigl \langle }q\{\operatorname {ctlh} ^{2}\}^{5}{\bigr \rangle }^{3}}{4\,\vartheta _{10}{\bigl \langle }q\{\operatorname {ctlh} ^{2}\}{\bigr \rangle }\,\vartheta _{01}{\bigl \langle }q\{\operatorname {ctlh} ^{2}\}{\bigr \rangle }\,\vartheta _{00}{\bigl \langle }q\{\operatorname {ctlh} ^{2}\}{\bigr \rangle }}}\end{aligned}}}
19148:{\displaystyle {\begin{aligned}x={}&{\frac {S{\bigl \langle }q\{\operatorname {ctlh} ^{2}\}{\bigr \rangle }^{2}-R{\bigl \langle }q\{\operatorname {ctlh} ^{2}\}^{2}{\bigr \rangle }}{S{\bigl \langle }q\{\operatorname {ctlh} ^{2}\}{\bigr \rangle }^{2}}}\times \\&{}\times {\frac {1-R{\bigl \langle }q\{\operatorname {ctlh} ^{2}\}^{2}{\bigr \rangle }\,S{\bigl \langle }q\{\operatorname {ctlh} ^{2}\}{\bigr \rangle }}{R{\bigl \langle }q\{\operatorname {ctlh} ^{2}\}^{2}{\bigr \rangle }^{2}}}\times \\&{}\times {\frac {\vartheta _{00}{\bigl \langle }q\{\operatorname {ctlh} ^{2}\}^{5}{\bigr \rangle }\,\vartheta _{00}{\bigl \langle }q\{\operatorname {ctlh} ^{2}\}^{1/5}{\bigr \rangle }^{2}-5\,\vartheta _{00}{\bigl \langle }q\{\operatorname {ctlh} ^{2}\}^{5}{\bigr \rangle }^{3}}{4\,\vartheta _{10}{\bigl \langle }q\{\operatorname {ctlh} ^{2}\}{\bigr \rangle }\,\vartheta _{01}{\bigl \langle }q\{\operatorname {ctlh} ^{2}\}{\bigr \rangle }\,\vartheta _{00}{\bigl \langle }q\{\operatorname {ctlh} ^{2}\}{\bigr \rangle }}}\end{aligned}}}
8927:
8447:
19619:
8922:{\displaystyle {\begin{aligned}R{}&={\tfrac {1}{4}}({\sqrt {5}}+1)({\sqrt {5}}-{\sqrt {{\sqrt {5}}+2}})({\sqrt {{\sqrt {5}}+2}}+{\sqrt{5}})=\\&{}=\Phi ^{3/2}\operatorname {cl} ({\tfrac {1}{5}}\varpi )^{-3/2}\operatorname {cl} ({\tfrac {2}{5}}\varpi )^{3/2}\operatorname {cl} ({\tfrac {1}{10}}\varpi )^{2}\operatorname {cl} ({\tfrac {3}{10}}\varpi )\operatorname {slh} ({\tfrac {2}{5}}{\sqrt {2}}\,\varpi )=\\&{}={\color {blue}\tan {\bigl }}\\\end{aligned}}}
2560:
19629:
The
Italian version of his essay "Sulla risoluzione delle equazioni del quinto grado" contains exactly on page 258 the upper Bring–Jerrard equation formula, which can be solved directly with the functions based on the corresponding elliptic modulus. This corresponding elliptic modulus can be worked out by using the square of the Hyperbolic lemniscate cotangent. For the derivation of this, please see the Knowledge article
19164:
17153:
17657:
2410:
7436:
7842:
5989:
5673:
19614:{\displaystyle {\begin{aligned}x={}&{\frac {5\,\vartheta _{00}(Q^{5})^{3}-\vartheta _{00}(Q^{5})\,\vartheta _{00}(Q)^{2}}{4\,\vartheta _{10}(Q)\,\vartheta _{01}(Q)\,\vartheta _{00}(Q)}}\times {\frac {S(Q)^{2}+R(Q^{2})}{S(Q)}}\times {\bigl }\\&\mathrm {with} \,\,Q=q{\bigl \{}\mathrm {ctlh} {\bigl }^{2}{\bigr \}}\end{aligned}}}
14808:
16653:
17163:
617:
12493:
332:
8138:
8431:
6653:
6324:
16637:
1934:
gives the number of decays of an integer n in which adjacent parts of the partition differ by at least 2 and in which the smallest part is greater than or equal to 2 is equal the number of decays whose parts are equal to 2 or 3 mod 5. This will be illustrated as examples in the following two tables:
19628:
determined the value of the elliptic modulus k in relation to the coefficient of the absolute term of the Bring–Jerrard form. In his essay "Sur la résolution de l'Équation du cinquiéme degré Comptes rendus" he described the calculation method for the elliptic modulus in terms of the absolute term.
9119:
10854:
9779:
10580:
15020:
3483:
14319:
7035:
7444:
3224:
11235:
5679:
5363:
14567:
1724:
13194:
9942:
13534:
1385:, the identities make statements about partitions (decompositions) of natural numbers. The number sequences resulting from the coefficients of the Maclaurin series of the Rogers–Ramanujan functions G and H are special partition number sequences of level 5:
1551:
17148:{\displaystyle G_{M}{\bigl }={\frac {\tan {\bigl }^{1/6}{\bigl }^{1/4}}{5^{1/4}w_{R5}(\varepsilon )^{1/2}}}\tan {\biggl \{}{\frac {1}{2}}\arctan {\biggl }{\biggr \}}^{-1/10}\tan {\biggl \{}{\frac {1}{2}}\operatorname {arccot} {\biggl }{\biggr \}}^{-1/5}}
17652:{\displaystyle H_{M}{\bigl }={\frac {\tan {\bigl }^{1/6}{\bigl }^{1/4}}{5^{1/4}w_{R5}(\varepsilon )^{1/2}}}\tan {\biggl \{}{\frac {1}{2}}\arctan {\biggl }{\biggr \}}^{1/10}\tan {\biggl \{}{\frac {1}{2}}\operatorname {arccot} {\biggl }{\biggr \}}^{1/5}}
11746:
11027:
16145:
15821:
15329:
9465:
354:
2195:
16, 14+1+1, 11+4+1, 11+1+1+1+1+1, 9+6+1, 9+4+1+1+1, 9+1+1+1+1+1+1+1, 6+6+4, 6+6+1+1+1+1, 6+4+4+1+1, 6+4+1+1+1+1+1+1, 6+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1, 4+4+4+4, 4+4+4+1+1+1+1, 4+4+1+1+1+1+1+1+1+1, 4+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1, 1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1
12192:
70:
5994:
The element of the fifth root can also be removed from the elliptic nome of the theta functions and transferred to the external tangent function. In this way, a formula can be created that only requires one of the three main theta functions:
9327:
14559:
4772:
14094:
7850:
3932:
22831:
21377:
8146:
3619:
22793:
21339:
11379:
6330:
6001:
11612:
5283:
5164:
16335:
13746:
5025:
4901:
4644:
4427:
12700:
10103:
12845:
10250:
22761:
21307:
16324:
1070:
13908:
8937:
10588:
9558:
4530:
864:
10318:
3752:
19742:
14813:
4177:
21457:
20003:
18059:
8452:
3232:
14159:
7431:{\displaystyle {\begin{aligned}G_{M}{\bigl }&=2^{-1/2}5^{-1/4}({\sqrt {5}}-1)^{1/4}({\sqrt{5}}+1)^{1/2}R{\bigl }^{-1/2}=\\&=2^{1/4}\,5^{-1/8}\,\Phi ^{1/2}\,{\color {blue}\cos {\bigl }}\end{aligned}}}
14398:
7837:{\displaystyle {\begin{aligned}H_{M}{\bigl }&=2^{-1/2}5^{-1/4}({\sqrt {5}}-1)^{1/4}({\sqrt{5}}+1)^{1/2}R{\bigl }^{1/2}=\\&=2^{1/4}\,5^{-1/8}\,\Phi ^{1/2}\,{\color {blue}\sin {\bigl }}\end{aligned}}}
19169:
8942:
8151:
7855:
7449:
7040:
3034:
11033:
11902:
11834:
4268:
2184:
14+1, 11+4, 11+1+1+1+1, 9+6, 9+4+1+1, 9+1+1+1+1+1+1, 6+6+1+1+1, 6+4+4+1, 6+4+1+1+1+1+1, 6+1+1+1+1+1+1+1+1+1, 4+4+4+1+1+1, 4+4+1+1+1+1+1+1+1, 4+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1, 1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1
5984:{\displaystyle S(x)=\tan {\biggl \langle }{\frac {1}{2}}\operatorname {arccot} {\biggl \{}{\frac {\vartheta _{00}(x^{1/5})}{2\,\vartheta _{00}(x^{5})}}-{\frac {1}{2}}{\biggr \}}{\biggr \rangle }}
5668:{\displaystyle R(x)=\tan {\biggl \langle }{\frac {1}{2}}\operatorname {arccot} {\biggl \{}{\frac {\vartheta _{01}(x^{1/5})}{2\,\vartheta _{01}(x^{5})}}+{\frac {1}{2}}{\biggr \}}{\biggr \rangle }}
4055:
23051:
14803:{\displaystyle w_{R5}({\sqrt {2}}-1)={\tfrac {1}{2}}{\bigl \{}{\tfrac {4}{3}}{\sqrt {2}}\cos({\tfrac {1}{10}}\pi )\cosh+{\tfrac {1}{3}}\tan({\tfrac {1}{5}}\pi ){\bigr \}}^{2}-{\tfrac {1}{2}}=}
7019:
946:
6902:
6833:
747:
2639:
1869:(OEIS code: A003106) analogously represents the number of possibilities for the affected natural number n to decompose this number into summands of the patterns 5a + 2 or 5a + 3 with a ∈
1557:
23003:
22989:
12861:
9787:
9547:
13204:
1830:
gives the number of decays of an integer n in which adjacent parts of the partition differ by at least 2, equal to the number of decays in which each part is equal to 1 or 4 mod 5 is.
1391:
17936:
17867:
15987:
15513:
6755:
2474:
11618:
10870:
16002:
15532:
15040:
18046:
6727:
2983:
2852:
3023:
1896:
1792:
1765:(OEIS code: A003114) represents the number of possibilities for the affected natural number n to decompose this number into summands of the patterns 5a + 1 or 5a + 4 with a ∈
612:{\displaystyle H(q)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {q^{n^{2}+n}}{(q;q)_{n}}}={\frac {1}{(q^{2};q^{5})_{\infty }(q^{3};q^{5})_{\infty }}}=1+q^{2}+q^{3}+q^{4}+q^{5}+2q^{6}+\cdots }
18015:
17769:
11943:
12488:{\displaystyle {\frac {\eta _{W}(q^{5})}{\eta _{W}(q)}}={\frac {\eta _{W}(q^{2})^{4}}{\eta _{W}(q)^{4}}}\,{\frac {\vartheta _{01}(q^{5})}{\vartheta _{01}(q)}}{\biggl }^{-1}}
327:{\displaystyle G(q)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {q^{n^{2}}}{(q;q)_{n}}}={\frac {1}{(q;q^{5})_{\infty }(q^{4};q^{5})_{\infty }}}=1+q+q^{2}+q^{3}+2q^{4}+2q^{5}+3q^{6}+\cdots }
21441:
9335:
19987:
17792:
2524:
23703:
23633:
23117:
19910:
9199:
670:
17737:
17701:
14417:
8133:{\displaystyle {\begin{aligned}G_{M}{\bigl }&=10^{-1/4}({\sqrt {5}}-1)^{1/4}R{\bigl }^{-1/2}=\\&=2^{1/2}\,5^{-1/8}\,{\color {blue}\cos {\bigl }}\end{aligned}}}
2279:
2237:
2015:
1973:
1932:
1867:
1828:
1763:
8426:{\displaystyle {\begin{aligned}H_{M}{\bigl }&=10^{-1/4}({\sqrt {5}}-1)^{1/4}R{\bigl }^{1/2}=\\&=2^{1/2}\,5^{-1/8}\,{\color {blue}\sin {\bigl }}\end{aligned}}}
4650:
14131:
13923:
12550:
12523:
12184:
12157:
10307:
10280:
9191:
9164:
6648:{\displaystyle S(x)=\tan {\biggl \{}{\frac {1}{2}}\arctan {\biggl }{\biggr \}}^{1/5}\cot {\biggl \{}{\frac {1}{2}}\operatorname {arccot} {\biggl }{\biggr \}}^{2/5}}
6319:{\displaystyle R(x)=\tan {\biggl \{}{\frac {1}{2}}\arctan {\biggl }{\biggr \}}^{1/5}\tan {\biggl \{}{\frac {1}{2}}\operatorname {arccot} {\biggl }{\biggr \}}^{2/5}}
3771:
22804:
21350:
5355:
5326:
3964:
3498:
2708:
2675:
2553:
22769:
21315:
12018:
11992:
11241:
1350:
16632:{\displaystyle R=\tan {\biggl \{}{\frac {1}{2}}\arctan {\biggl }{\biggr \}}^{1/5}\tan {\biggl \{}{\frac {1}{2}}\operatorname {arccot} {\biggl }{\biggr \}}^{2/5}}
2173:
14, 11+1+1+1, 9+4+1, 9+1+1+1+1+1, 6+6+1+1, 6+4+4, 6+4+1+1+1+1, 6+1+1+1+1+1+1+1+1, 4+4+4+1+1, 4+4+1+1+1+1+1+1, 4+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1, 1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1
23071:
12038:
11966:
11385:
1370:
1324:
1304:
1281:
1261:
1241:
1221:
1193:
1173:
1150:
1130:
1106:
970:
771:
5183:
5031:
3758:
The connection between the continued fraction and the Rogers–Ramanujan functions was already found by Rogers in 1894 (and later independently by
Ramanujan).
23078:
13562:
4907:
4783:
4536:
4274:
23265:
12558:
9961:
9114:{\displaystyle {\begin{aligned}R{}&=4\sin({\tfrac {1}{20}}\pi )\sin({\tfrac {3}{20}}\pi )=\\&{}={\color {blue}\tan {\bigl }}\end{aligned}}}
12706:
10111:
22562:
21108:
16164:
977:
23077:
at all levels. It can be used to find (and prove) new partition identities. First such example is that of
Capparelli's identities discovered by
13754:
10849:{\displaystyle H(q)=(q^{2};q^{5})_{\infty }^{-1}(q^{3};q^{5})_{\infty }^{-1}=(q^{5};q^{5})_{\infty }^{1/2}(q;q)_{\infty }^{-1/2}{\biggl }^{1/2}}
9774:{\displaystyle H_{M}(q)\,G_{M}(q)=q^{1/6}{\frac {1}{(q;q^{5})_{\infty }(q^{4};q^{5})_{\infty }(q^{2};q^{5})_{\infty }(q^{3};q^{5})_{\infty }}}=}
10575:{\displaystyle G(q)=(q;q^{5})_{\infty }^{-1}(q^{4};q^{5})_{\infty }^{-1}=(q^{5};q^{5})_{\infty }^{1/2}(q;q)_{\infty }^{-1/2}{\biggl }^{-1/2}}
4447:
778:
15015:{\displaystyle =\Phi ^{-1}\cot {\bigl {6{\sqrt {30}}+4{\sqrt {5}}}}+{\tfrac {1}{3}}{\sqrt{6{\sqrt {30}}-4{\sqrt {5}}}}\,{\bigr )}{\bigr ]}=}
1175:
such that the adjacent parts differ by at least 2 and such that the smallest part is at least 2 is the same as the number of partitions of
3630:
3478:{\displaystyle R(q)=q^{1/5}\prod _{k=0}^{\infty }{\frac {(1-q^{5k+1})(1-q^{5k+4})}{(1-q^{5k+2})(1-q^{5k+3})}}=q^{1/5}{\frac {H(q)}{G(q)}}}
19642:
14314:{\displaystyle w_{R5}({\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}})^{6}-2\,w_{R5}({\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}})^{5}=16\,w_{R5}({\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}})+8}
4061:
14327:
626:
341:
44:
some time before 1913. Ramanujan had no proof, but rediscovered Rogers's paper in 1917, and they then published a joint new proof (
13549:
The Weber modular functions in their reduced form are an efficient way of computing the values of the Rogers–Ramanujan functions:
6677:
2162:
11+1+1, 9+4, 9+1+1+1+1, 6+6+1, 6+4+1+1+1, 6+1+1+1+1+1+1+1, 4+4+4+1, 4+4+1+1+1+1+1, 4+1+1+1+1+1+1+1+1+1, 1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1
22855:
2678:
6940:
For the Rogers–Ramanujan continued fraction R(q) this formula is valid based on the described modular modifications of G and H:
3219:{\displaystyle R(q)=q^{1/5}{\frac {(q;q^{5})_{\infty }(q^{4};q^{5})_{\infty }}{(q^{2};q^{5})_{\infty }(q^{3};q^{5})_{\infty }}}}
11230:{\displaystyle \eta _{W}(x)=2^{-1/3}\vartheta _{10}(x^{1/2})^{1/3}\vartheta _{00}(x^{1/2})^{1/3}\vartheta _{01}(x^{1/2})^{1/3}}
12186:
can be undertaken. This connection applies especially to the
Dedekind eta function from the fifth power of the elliptic nome:
3966:
has the following identities to the remaining Rogers–Ramanujan functions and to the
Ramanujan theta function described above:
11840:
11772:
9470:
The
Dedekind eta function identities for the functions G and H result by combining only the following two equation chains:
4183:
23214:
7029:
These functions have the following values for the reciprocal of
Gelfond's constant and for the square of this reciprocal:
3972:
23013:
11908:
6946:
1382:
883:
23776:
23520:
6841:
6767:
1719:{\displaystyle H(x)={\frac {1}{(x^{2};x^{5})_{\infty }(x^{3};x^{5})_{\infty }}}=1+\sum _{n=1}^{\infty }P_{H}(n)x^{n}}
12498:
These two identities with respect to the Rogers–Ramanujan continued fraction were given for the modulated functions
690:
23786:
23133:
13189:{\displaystyle G_{M}(q)={\frac {\eta _{W}(q^{2})^{2}}{\eta _{W}(q)^{2}}}{\biggl }^{1/2}{\biggl }^{-1/2}R(q)^{-1/2}}
9937:{\displaystyle =q^{1/6}{\frac {(q^{5};q^{5})_{\infty }}{(q;q)_{\infty }}}={\frac {\eta _{W}(q^{5})}{\eta _{W}(q)}}}
13529:{\displaystyle H_{M}(q)={\frac {\eta _{W}(q^{2})^{2}}{\eta _{W}(q)^{2}}}{\biggl }^{1/2}{\biggl }^{-1/2}R(q)^{1/2}}
2566:
23504:, (1935) Cambridge Tracts in Mathematics and Mathematical Physics, No. 32, Cambridge University Press, Cambridge.
23376:
1546:{\displaystyle G(x)={\frac {1}{(x;x^{5})_{\infty }(x^{4};x^{5})_{\infty }}}=1+\sum _{n=1}^{\infty }P_{G}(n)x^{n}}
22864:
10312:
With the
Pochhammer products alone, the following identity then applies to the non-modulated functions G and H:
9479:
16642:
The last three now mentioned formulas will be inserted into the final formulas mentioned in the section above:
19630:
11741:{\displaystyle \eta _{W}(x)=x^{1/24}{\biggl \{}1+\sum _{n=1}^{\infty }\mathrm {P} (n)\,x^{n}{\biggr \}}^{-1}}
11022:{\displaystyle \eta _{W}(x)=2^{-1/6}\vartheta _{10}(x)^{1/6}\vartheta _{00}(x)^{1/6}\vartheta _{01}(x)^{2/3}}
17872:
17800:
16140:{\displaystyle w_{R5}(\varepsilon )={\frac {5\,\vartheta _{01}^{2}}{2\,\vartheta _{01}^{2}}}-{\frac {1}{2}}}
15816:{\displaystyle w_{R5}{\bigl }^{6}-2\,w_{R5}{\bigl }^{5}=({\sqrt {2}}+1)^{4}{\bigl \{}2\,w_{R5}}+1{\bigr \}}}
15324:{\displaystyle w_{R5}{\bigl }^{6}-2\,w_{R5}{\bigl }^{5}=({\sqrt {2}}-1)^{4}{\bigl \{}2\,w_{R5}}+1{\bigr \}}}
23801:
17964:
15829:
15337:
6732:
2419:
2151:
11+1, 9+1+1+1, 6+6, 6+4+1+1, 6+1+1+1+1+1+1, 4+4+4, 4+4+1+1+1+1, 4+1+1+1+1+1+1+1+1, 1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1
23781:
23215:
Bruce C. Berndt, Heng Huat Chan, Sen-Shan Huang, Soon-Yi Kang, Jaebum Sohn, Seung Hwan Son (1999-05-01),
6681:
25:
972:
parts such that adjacent parts have difference at least 2 and such that the smallest part is at least 2.
23752:
23283:
23192:
18023:
8436:
The Rogers–Ramanujan continued fraction takes the following ordinate values for these abscissa values:
6690:
2860:
2729:
23216:
12121:(1+1+1+1+1+1), (1+1+1+1+2), (1+1+2+2), (2+2+2), (1+1+1+3), (1+2+3), (3+3), (1+1+4), (2+4), (1+5), (6)
9460:{\displaystyle H_{M}(q)=q^{\frac {11}{60}}{\frac {1}{(q^{2};q^{5})_{\infty }(q^{3};q^{5})_{\infty }}}}
2996:
1872:
1768:
17973:
17745:
16155:
In this way the accurate eccentricity dependent formulas for the functions G and H can be generated:
11917:
11752:
10309:
are represented directly using only the continued fraction R and the
Dedekind eta function quotient!
29:
23229:
21403:
17956:
14137:
4438:
3489:
19949:
17777:
9322:{\displaystyle G_{M}(q)=q^{\frac {-1}{60}}{\frac {1}{(q;q^{5})_{\infty }(q^{4};q^{5})_{\infty }}}}
3025:
creates a quotient of module functions and it also makes these shown continued fractions modular:
2479:
23670:
23600:
23084:
14554:{\displaystyle w_{R5}({\sqrt {2}}-1)^{6}-2\,w_{R5}({\sqrt {2}}-1)^{5}=2\,w_{R5}({\sqrt {2}}-1)+1}
13553:
5289:
23733:
19750:
14140:
this function in relation to the eccentricity can not be represented by elementary expressions.
12850:
The combination of the last three formulas mentioned results in the following pair of formulas:
4767:{\displaystyle \vartheta _{10}(x)=2x^{1/4}+2x^{1/4}\sum _{n=1}^{\infty }x^{2\bigtriangleup (n)}}
23796:
23224:
636:
23203:
17706:
17670:
14089:{\displaystyle w_{R5}(\varepsilon )^{6}-2\,w_{R5}(\varepsilon )^{5}=\tan {\bigl }^{2}{\bigl }}
3927:{\displaystyle R(q)=\tan {\biggl \{}{\frac {1}{2}}\operatorname {arccot} {\biggl }{\biggr \}}}
2248:
2206:
1984:
1942:
1901:
1836:
1797:
1732:
23377:"Download PDF - A Brief Introduction to Theta Functions [PDF] [6v41da306900]"
23007:
22826:{\displaystyle x=1{,}3840917958231463592477551262671354748859350601806764501691889116\ldots }
21372:{\displaystyle x=1{,}1670361837016430473110194319963961012975521104880199105205748723\ldots }
9952:
5293:
3762:
3614:{\displaystyle f(a,b)=\sum _{k=-\infty }^{\infty }a^{\frac {k(k+1)}{2}}b^{\frac {k(k-1)}{2}}}
1132:
such that the adjacent parts differ by at least 2 is the same as the number of partitions of
23656:
The structure of standard modules, I: Universal algebras and the Rogers–Ramanujan identities
22788:{\displaystyle =0{,}3706649511520240756244325221775686571518680899597473957509743879\ldots }
21334:{\displaystyle =0{,}3063466544466074265361088194021326272090461143559097382981847144\ldots }
14106:
11374:{\displaystyle \eta _{W}(x)=x^{1/24}\prod _{n=1}^{\infty }(1-x^{n})=x^{1/24}(x;x)_{\infty }}
23589:
12528:
12501:
12162:
12135:
10285:
10258:
9169:
9142:
33:
23718:, Thesis (Ph.D.)–Rutgers The State University of New Jersey - New Brunswick. 1988. 107 pp.
23431:
23308:
23010:
techniques. They proved these identities using level 3 modules for the affine Lie algebra
11607:{\displaystyle \eta _{W}(x)=x^{1/24}{\biggl \{}1+\sum _{n=1}^{\infty }{\bigl }{\biggr \}}}
5331:
5302:
3940:
2684:
2651:
2529:
8:
23390:
11997:
11971:
9951:
of these two equation chains directly lead to following expressions in dependence of the
5278:{\displaystyle \vartheta _{10}(x)={\sqrt{\vartheta _{00}(x)^{4}-\vartheta _{01}(x)^{4}}}}
5159:{\displaystyle \vartheta _{10}(x)=2x^{1/4}\prod _{n=1}^{\infty }(1-x^{2n})(1+x^{2n})^{2}}
1329:
1077:
1073:
949:
871:
867:
750:
673:
41:
23073:-algebras. Lepowsky and Wilson's approach is universal, in that it is able to treat all
4777:
And the following product definitions are identical to the total definitions mentioned:
23791:
23128:
23074:
23056:
22848:
19636:
The elliptic nome of this corresponding modulus is represented here with the letter Q:
17960:
17740:
12023:
11951:
6669:
2646:
1355:
1309:
1289:
1266:
1246:
1226:
1206:
1178:
1158:
1135:
1115:
1091:
955:
756:
23238:
23749:
23730:
23577:
23531:
23516:
23305:
23280:
23259:
23242:
11759:
23489:(1917), "Ein Beitrag zur additiven Zahlentheorie und zur Theorie der Kettenbrüche",
13741:{\displaystyle w_{Rn}(\varepsilon )={\frac {2^{(n-1)/4}_{\infty }}{_{\infty }^{n}}}}
10864:
For the
Dedekind eta function according to Weber's definition these formulas apply:
23569:
23475:
23451:
23427:
23419:
23234:
6934:
6758:
6673:
5020:{\displaystyle \vartheta _{01}(x)=\prod _{n=1}^{\infty }(1-x^{2n})(1-x^{2n-1})^{2}}
4896:{\displaystyle \vartheta _{00}(x)=\prod _{n=1}^{\infty }(1-x^{2n})(1+x^{2n-1})^{2}}
1088:
The Rogers–Ramanujan identities could be now interpreted in the following way. Let
1081:
875:
23585:
23526:
19625:
6672:
as an internal variable function results in a function, which also results as an
6668:
An elliptic function is a modular function if this function in dependence on the
4639:{\displaystyle \vartheta _{01}(x)=1-2\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n+1}x^{\Box (n)}}
2413:
2140:
11, 9+1+1, 6+4+1, 6+1+1+1+1+1, 4+4+1+1+1, 4+1+1+1+1+1+1+1, 1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1
22994:
4422:{\displaystyle S(q)=q^{1/5}{\frac {G(q)G(q^{2})H(q^{4})}{H(q)H(q^{2})G(q^{4})}}}
23573:
23548:
23455:
23423:
22999:
9948:
23479:
1381:
Since the terms occurring in the identity are generating functions of certain
23770:
23581:
23529:, Heng Huat Chan, Sen-Shan Huang, Soon-Yi Kang, Jaebum Sohn, Seung Hwan Son,
23246:
17952:
12695:{\displaystyle G_{M}(q)=\eta _{W}(q^{5})^{1/2}\eta _{W}(q)^{-1/2}R(q)^{-1/2}}
10098:{\displaystyle G_{M}(q)=\eta _{W}(q^{5})^{1/2}\eta _{W}(q)^{-1/2}R(q)^{-1/2}}
23747:
23278:
17946:
12840:{\displaystyle H_{M}(q)=\eta _{W}(q^{5})^{1/2}\eta _{W}(q)^{-1/2}R(q)^{1/2}}
10245:{\displaystyle H_{M}(q)=\eta _{W}(q^{5})^{1/2}\eta _{W}(q)^{-1/2}R(q)^{1/2}}
22756:{\displaystyle q{\bigl \{}\mathrm {ctlh} {\bigl }^{2}{\bigr \}}=q{\bigl }=}
21302:{\displaystyle q{\bigl \{}\mathrm {ctlh} {\bigl }^{2}{\bigr \}}=q{\bigl }=}
16319:{\displaystyle {\frac {\eta _{W}}{\eta _{W}}}=2^{-1/4}\tan {\bigl }^{1/12}}
16158:
Following Dedekind eta function quotient has this eccentricity dependency:
9552:
But the product leads to a simplified combination of Pochhammer operators:
1065:{\displaystyle {\frac {1}{(q^{2};q^{5})_{\infty }(q^{3};q^{5})_{\infty }}}}
23716:
Vertex operator relations for affine algebras and combinatorial identities
14143:
However there are many values that in fact can be expressed elementarily.
13903:{\displaystyle w_{R5}(\varepsilon )={\frac {2_{\infty }}{_{\infty }^{5}}}}
23560:
Slater, L. J. (1952), "Further identities of the Rogers–Ramanujan type",
23497:
23486:
16329:
This is the eccentricity dependent formula for the continued fraction R:
12040:
with all associated number partitions are listed in the following table:
49:
17:
16150:
4525:{\displaystyle \vartheta _{00}(x)=1+2\sum _{n=1}^{\infty }x^{\Box (n)}}
859:{\displaystyle {\frac {1}{(q;q^{5})_{\infty }(q^{4};q^{5})_{\infty }}}}
23053:. In the course of this proof they invented and used what they called
3624:
With this function, the continued fraction R can be created this way:
23757:
23738:
23313:
23288:
23006:
were the first to prove Rogers–Ramanujan identities using completely
22847:
The Rogers–Ramanujan identities appeared in Baxter's solution of the
2559:
23728:
23463:
23439:
23407:
9473:
The quotient is the Rogers Ramanujan continued fraction accurately:
3747:{\displaystyle R(q)=q^{1/5}{\frac {f(-q,-q^{4})}{f(-q^{2},-q^{3})}}}
23645:
A new family of algebras underlying the Rogers–Ramanujan identities
23543:
19737:{\displaystyle Q=q{\bigl \{}\mathrm {ctlh} {\bigl }^{2}{\bigr \}}=}
17774:
And on the right side an algebraic combination of the eccentricity
23549:
A Combinatorial Proof of the Rogers–Ramanujan and Schur Identities
4172:{\displaystyle S(q)=q^{1/5}{\frac {f(q,-q^{4})}{f(-q^{2},q^{3})}}}
23356:
23204:
Bruce Berndt et al., The Rogers–Ramanujan continued fraction, pdf
12132:
The following further simplification for the modulated functions
11946:
2129:
9+1, 6+4, 6+1+1+1+1, 4+4+1+1, 4+1+1+1+1+1+1, 1+1+1+1+1+1+1+1+1+1
23401:: 211–216, Reprinted as Paper 26 in Ramanujan's collected papers
23393:(1919), "Proof of certain identities in combinatory analysis.",
23303:
19158:
Alternatively, the same solution can be presented in this way:
14393:{\displaystyle w_{R5}({\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}})={\sqrt{5}}+1}
2399:
23328:
3028:
This definition applies for the continued fraction mentioned:
23440:"Second Memoir on the Expansion of certain Infinite Products"
23341:
22995:
Relations to affine Lie algebras and vertex operator algebras
22818:
0917958231463592477551262671354748859350601806764501691889116
22780:
6649511520240756244325221775686571518680899597473957509743879
21364:
0361837016430473110194319963961012975521104880199105205748723
21326:
3466544466074265361088194021326272090461143559097382981847144
11968:
can be split into positive integer summands. For the numbers
6680:
in the K and K' form. The Legendre's elliptic modulus is the
23511:, (2004), Encyclopedia of Mathematics and Its Applications,
23464:"Third Memoir on the Expansion of certain Infinite Products"
12110:(1+1+1+1+1), (1+1+1+2), (1+2+2), (1+1+3), (2+3), (1+4), (5)
6663:
2409:
19931:
Two examples of this solution algorithm are now mentioned:
13913:
This function fulfills following equation of sixth degree:
2710:
is called alternating Rogers–Ramanujan continued fraction!
1372:
such that each part is congruent to either 2 or 3 modulo 5.
1283:
such that each part is congruent to either 1 or 4 modulo 5.
1195:
such that each part is congruent to either 2 or 3 modulo 5.
1152:
such that each part is congruent to either 1 or 4 modulo 5.
621:
336:
40:), and were subsequently rediscovered (without a proof) by
23173:
23153:
5357:
have these relationships to the theta Nullwert functions:
773:
parts such that adjacent parts have difference at least 2.
17947:
Discovery of the corresponding modulus by Charles Hermite
4432:
12044:
Example values of P(n) and associated number partitions
11945:
itself indicates the number of ways in which a positive
6658:
2404:
56:) independently rediscovered and proved the identities.
22598:
22490:
22410:
22330:
22231:
22123:
22036:
21922:
21848:
21768:
21662:
21581:
21499:
21144:
21036:
20956:
20876:
20777:
20669:
20582:
20468:
20394:
20314:
20208:
20127:
20045:
19684:
19560:
19092:
19012:
18932:
18833:
18725:
18638:
18524:
18450:
18370:
18264:
18183:
18101:
15958:
15936:
15915:
15484:
15462:
15441:
15423:
14949:
14900:
14878:
14847:
14786:
14751:
14730:
14702:
14681:
14654:
14626:
14607:
14348:
14284:
14232:
14180:
11862:
11794:
9072:
9024:
8997:
8870:
8840:
8784:
8757:
8723:
8681:
8636:
8492:
8384:
8091:
7785:
7755:
7379:
7349:
32:. The identities were first discovered and proved by
23673:
23603:
23087:
23059:
23016:
22867:
22807:
22772:
22565:
21455:
21406:
21353:
21318:
21111:
20001:
19952:
19753:
19645:
19167:
18057:
18026:
17976:
17875:
17803:
17780:
17748:
17709:
17673:
17166:
16656:
16338:
16167:
16151:
Exact eccentricity identity for the functions G and H
16005:
15832:
15535:
15340:
15043:
14816:
14570:
14420:
14330:
14162:
14109:
13926:
13757:
13565:
13207:
12864:
12709:
12561:
12531:
12504:
12195:
12165:
12138:
12026:
12000:
11974:
11954:
11920:
11897:{\displaystyle {\text{Kr}}(z)={\tfrac {1}{2}}z(3z+1)}
11843:
11829:{\displaystyle {\text{Fn}}(z)={\tfrac {1}{2}}z(3z-1)}
11775:
11621:
11388:
11244:
11036:
10873:
10591:
10321:
10288:
10261:
10114:
9964:
9790:
9561:
9482:
9338:
9202:
9172:
9145:
8940:
8450:
8149:
7853:
7447:
7038:
6949:
6844:
6770:
6735:
6693:
6333:
6004:
5682:
5366:
5334:
5305:
5186:
5034:
4910:
4786:
4653:
4539:
4450:
4277:
4263:{\displaystyle S(q)={\frac {R(q^{4})}{R(q)R(q^{2})}}}
4186:
4064:
3975:
3943:
3774:
3633:
3501:
3235:
3037:
2999:
2863:
2732:
2687:
2654:
2569:
2532:
2482:
2422:
2251:
2209:
1987:
1945:
1904:
1875:
1839:
1800:
1771:
1735:
1560:
1394:
1358:
1332:
1312:
1292:
1269:
1249:
1229:
1209:
1181:
1161:
1138:
1118:
1094:
980:
958:
886:
781:
759:
693:
639:
357:
73:
3761:
The continued fraction can also be expressed by the
17941:
9134:
9129:
23697:
23627:
23342:"DLMF: 20.5 Infinite Products and Related Results"
23111:
23081:using level 3 modules for the affine Lie algebra
23065:
23045:
22983:
22825:
22787:
22755:
22545:
21435:
21371:
21333:
21301:
21091:
19981:
19904:
19736:
19613:
19147:
18040:
18009:
17930:
17861:
17786:
17763:
17731:
17695:
17651:
17147:
16631:
16318:
16139:
15996:For that function, a further expression is valid:
15981:
15815:
15507:
15323:
15014:
14802:
14553:
14392:
14313:
14125:
14088:
13902:
13740:
13528:
13188:
12839:
12694:
12544:
12517:
12487:
12178:
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12127:
12032:
12012:
11986:
11960:
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5983:
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5349:
5320:
5299:The Rogers–Ramanujan continued fraction functions
5277:
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4049:
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2009:
1967:
1926:
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1255:
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940:
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765:
741:
664:
611:
326:
23046:{\displaystyle {\widehat {{\mathfrak {sl}}_{2}}}}
22858:unanchored from the modular form is as follows::
17630:
17622:
17547:
17524:
17497:
17489:
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17391:
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17017:
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16904:
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16610:
16602:
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16469:
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16371:
13544:
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11431:
10827:
10787:
10550:
10510:
7014:{\displaystyle R(q)={\frac {H_{M}(q)}{G_{M}(q)}}}
6626:
6618:
6528:
6505:
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6470:
6380:
6357:
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6289:
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6149:
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6028:
5976:
5969:
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5706:
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5653:
5413:
5390:
3919:
3912:
3821:
3798:
23768:
23667:The structure of standard modules, II: The case
23552:, Journal of Combinatorial Theory, Ser. A, vol.
23221:Journal of Computational and Applied Mathematics
2283:Sum representations with the described criteria
2019:Sum representations with the described criteria
941:{\displaystyle {\frac {q^{n^{2}+n}}{(q;q)_{n}}}}
23388:
17963:of the corresponding modulus, described by the
17667:On the left side of the balances the functions
6897:{\displaystyle H_{M}(q)=q^{\frac {11}{60}}H(q)}
6828:{\displaystyle G_{M}(q)=q^{\frac {-1}{60}}G(q)}
679:
45:
23562:Proceedings of the London Mathematical Society
23193:Rogers–Ramanujan Continued Fraction, Mathworld
742:{\displaystyle {\frac {q^{n^{2}}}{(q;q)_{n}}}}
23354:
22745:
22721:
22697:
22690:
22660:
22653:
22640:
22627:
22592:
22571:
22531:
22469:
22451:
22389:
22371:
22309:
22280:
22210:
22180:
22102:
22084:
22015:
21971:
21901:
21889:
21827:
21816:
21747:
21704:
21641:
21629:
21560:
21541:
21478:
21291:
21267:
21243:
21236:
21206:
21199:
21186:
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21138:
21117:
21077:
21015:
20997:
20935:
20917:
20855:
20826:
20756:
20726:
20648:
20630:
20561:
20517:
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20435:
20373:
20362:
20293:
20250:
20187:
20175:
20106:
20087:
20024:
19897:
19873:
19819:
19812:
19769:
19762:
19726:
19713:
19678:
19657:
19602:
19589:
19554:
19533:
19496:
19415:
19133:
19071:
19053:
18991:
18973:
18911:
18882:
18812:
18782:
18704:
18686:
18617:
18573:
18503:
18491:
18429:
18418:
18349:
18306:
18243:
18231:
18162:
18143:
18080:
17951:The general case of quintic equations in the
17304:
17264:
17243:
17217:
17198:
17179:
16794:
16754:
16733:
16707:
16688:
16669:
16297:
16271:
15974:
15909:
15893:
15808:
15795:
15726:
15684:
15634:
15601:
15551:
15500:
15417:
15401:
15316:
15303:
15234:
15192:
15142:
15109:
15059:
15004:
14997:
14872:
14841:
14771:
14620:
14081:
14042:
14029:
14003:
11592:
11465:
9100:
9066:
8908:
8834:
8412:
8378:
8295:
8266:
8194:
8166:
8119:
8085:
7999:
7970:
7898:
7870:
7823:
7749:
7647:
7621:
7489:
7464:
7417:
7343:
7238:
7212:
7080:
7055:
6678:complete elliptic integrals of the first kind
23408:"On the expansion of some infinite products"
23264:: CS1 maint: multiple names: authors list (
23223:, vol. 105, no. 1, pp. 9–24,
22526:
22477:
22446:
22397:
22366:
22317:
22268:
22218:
22160:
22110:
22073:
22023:
21959:
21909:
21884:
21835:
21805:
21755:
21698:
21649:
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21568:
21535:
21486:
21072:
21023:
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20244:
20195:
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20081:
20032:
19128:
19079:
19048:
18999:
18968:
18919:
18870:
18820:
18762:
18712:
18675:
18625:
18561:
18511:
18486:
18437:
18407:
18357:
18300:
18251:
18220:
18170:
18137:
18088:
10859:
4437:The following definitions are valid for the
2634:{\displaystyle q^{1/5}A_{400}(q)/B_{400}(q)}
2400:Rogers–Ramanujan continued fractions R and S
1376:
17955:has a non-elementary solution based on the
2641:of the Rogers–Ramanujan continued fraction.
2555:is the Rogers–Ramanujan continued fraction.
1352:is the same as the number of partitions of
1263:is the same as the number of partitions of
22984:{\displaystyle {\frac {H(q)}{G(q)}}=\left}
22842:
14133:function is an algebraic function indeed.
9542:{\displaystyle H_{M}(q)\div G_{M}(q)=R(q)}
6757:is positive), following two functions are
5296:discovered these definitional identities.
23515:, Cambridge University Press, Cambridge.
23228:
23217:"The Rogers–Ramanujan continued fraction"
22456:
22376:
22296:
22197:
22089:
21821:
21423:
21002:
20922:
20842:
20743:
20635:
20367:
19969:
19919:and the abbreviation aclh represents the
19869:
19521:
19520:
19323:
19303:
19283:
19251:
19188:
19058:
18978:
18898:
18799:
18691:
18423:
18034:
18003:
17993:
17588:
17455:
17272:
17081:
16945:
16762:
16568:
16435:
16085:
16037:
15734:
15618:
15242:
15126:
14994:
14512:
14466:
14266:
14214:
14050:
13962:
13431:
13392:
13088:
13049:
12425:
12386:
12319:
11710:
9581:
8802:
8367:
8345:
8074:
8052:
7738:
7719:
7697:
7332:
7313:
7291:
6743:
6664:Definition of the modular form of G and H
5848:
5777:
5532:
5461:
1878:
1774:
23509:Basic Hypergeometric Series, 2nd Edition
2558:
2408:
23597:Construction of the affine Lie algebra
23532:The Rogers–Ramanujan Continued Fraction
22854:The demodularized standard form of the
19926:
14146:Four examples shall be given for this:
9139:Given are the mentioned definitions of
6676:of Legendre's elliptic modulus and its
2107:6+1+1, 4+4, 4+1+1+1+1, 1+1+1+1+1+1+1+1
23769:
23559:
23491:Sitzungsberichte der Berliner Akademie
23461:
23437:
23405:
18020:The real solution for all real values
17931:{\displaystyle H_{M}(q)=q^{11/60}H(q)}
17862:{\displaystyle G_{M}(q)=q^{-1/60}G(q)}
13552:First of all we introduce the reduced
12099:(1+1+1+1), (1+1+2), (2+2), (1+3), (4)
11914:The Regular Partition Number Sequence
4433:Identities with Jacobi theta functions
1076:for partitions such that each part is
870:for partitions such that each part is
37:
23753:"Rogers–Ramanujan Continued Fraction"
23748:
23729:
23665:James Lepowsky and Robert L. Wilson,
23654:James Lepowsky and Robert L. Wilson,
23643:James Lepowsky and Robert L. Wilson,
23595:James Lepowsky and Robert L. Wilson,
23485:
23304:
23284:"Rogers–Ramanujan Continued Fraction"
23279:
15982:{\displaystyle w_{R5}}=\cot {\bigl }}
15508:{\displaystyle w_{R5}}=\cot {\bigl }}
11758:These basic definitions apply to the
8076:
6750:{\displaystyle \tau \in \mathbb {C} }
6659:Modular modified functions of G and H
2563:Representation of the approximation
2469:{\displaystyle A_{400}(q)/B_{400}(q)}
2405:Definition of the continued fractions
53:
19915:The abbreviation ctlh expresses the
17959:and will now be explained using the
10255:In this way the modulated functions
1326:parts the smallest part is at least
1243:parts the smallest part is at least
64:The Rogers–Ramanujan identities are
23331:~pborwein/TEMP_PROTECTED/pi-agm.pdf
23026:
23023:
12020:, the associated partition numbers
5173:are linked to each other using the
3937:The alternating continued fraction
2679:Rogers–Ramanujan continued fraction
13:
22586:
22583:
22580:
22577:
21132:
21129:
21126:
21123:
19672:
19669:
19666:
19663:
19548:
19545:
19542:
19539:
19516:
19513:
19510:
19507:
14821:
13887:
13838:
13725:
13676:
11922:
11697:
11691:
11458:
11366:
11301:
10764:
10729:
10682:
10638:
10487:
10452:
10405:
10361:
9870:
9846:
9760:
9724:
9688:
9652:
9449:
9413:
9311:
9275:
9057:
8891:
8825:
8609:
8369:
7806:
7740:
7721:
7400:
7334:
7315:
5094:
4949:
4825:
4737:
4587:
4498:
3542:
3537:
3285:
3208:
3172:
3134:
3098:
1682:
1649:
1613:
1509:
1476:
1440:
1054:
1018:
848:
812:
521:
485:
389:
224:
188:
105:
14:
23813:
23722:
23502:Generalized Hypergeometric Series
18041:{\displaystyle c\in \mathbb {R} }
11751:The fourth formula describes the
7024:
6722:{\displaystyle q=e^{2\pi i\tau }}
4439:Jacobi "Theta-Nullwert" functions
2978:{\displaystyle S(q)=q^{1/5}\left}
2847:{\displaystyle R(q)=q^{1/5}\left}
2416:representation of the convergent
23507:George Gasper and Mizan Rahman,
23134:Continuous q-Hermite polynomials
22798:Decimal places of the solution:
21397:Quintic Bring–Jerrard equation:
21344:Decimal places of the solution:
19943:Quintic Bring–Jerrard equation:
19921:Hyperbolic Lemniscate Areacosine
17942:Application to quintic equations
9135:Derivation by the geometric mean
9130:Dedekind eta function identities
3018:{\displaystyle q^{\frac {1}{5}}}
2718:Standardized continued fraction
1891:{\displaystyle \mathbb {N} _{0}}
1787:{\displaystyle \mathbb {N} _{0}}
23369:
23348:
19917:Hyperbolic Lemniscate Cotangent
18010:{\displaystyle x^{5}+5\,x=4\,c}
17764:{\displaystyle q(\varepsilon )}
12128:Further Dedekind eta identities
11938:{\displaystyle \mathrm {P} (n)}
11907:The fifth formula contains the
9193:in this already mentioned way:
2721:Alternating continued fraction
23690:
23684:
23620:
23614:
23334:
23322:
23297:
23272:
23208:
23197:
23186:
23166:
23146:
23104:
23098:
22894:
22888:
22880:
22874:
22856:Ramanujan's continued fraction
22621:
22615:
22517:
22513:
22507:
22486:
22437:
22433:
22427:
22406:
22357:
22353:
22347:
22326:
22258:
22254:
22248:
22227:
22150:
22146:
22140:
22119:
22063:
22059:
22053:
22032:
21949:
21945:
21939:
21918:
21875:
21871:
21865:
21844:
21795:
21791:
21785:
21764:
21689:
21685:
21679:
21658:
21608:
21604:
21598:
21577:
21526:
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3488:This is the definition of the
3469:
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367:
361:
220:
193:
184:
164:
143:
130:
83:
77:
24:are two identities related to
1:
23734:"Rogers–Ramanujan Identities"
23647:, Proc. Natl. Acad. Sci. USA
23239:10.1016/S0377-0427(99)00033-3
23139:
21436:{\displaystyle x^{5}+5\,x=12}
19631:lemniscate elliptic functions
17965:lemniscate elliptic functions
6729:(where the imaginary part of
2393:8+2, 7+3, 3+3+2+2, 2+2+2+2+2
59:
22556:Decimal places of the nome:
21388:Second calculation example:
21102:Decimal places of the nome:
19982:{\displaystyle x^{5}+5\,x=8}
17787:{\displaystyle \varepsilon }
17771:are written down directly.
2519:{\displaystyle q^{-1/5}R(q)}
2096:6+1, 4+1+1+1, 1+1+1+1+1+1+1
1286:The number of partitions of
1203:The number of partitions of
1155:The number of partitions of
1112:The number of partitions of
952:for partitions with exactly
753:for partitions with exactly
680:Combinatorial interpretation
7:
23698:{\displaystyle A_{1}^{(1)}}
23628:{\displaystyle A_{1}^{(1)}}
23329:http://wayback.cecm.sfu.ca/
23122:
23112:{\displaystyle A_{2}^{(2)}}
19934:First calculation example:
1108:be a non-negative integer.
46:Rogers & Ramanujan 1919
26:basic hypergeometric series
22:Rogers–Ramanujan identities
10:
23818:
22851:in statistical mechanics.
19905:{\displaystyle =q{\bigl }}
17797:Therefore these functions
11755:because of the exponents!
5171:theta zero value functions
2203:Partition number sequence
1939:Partition number sequence
23535:, J. Comput. Appl. Math.
12055:Corresponding partitions
11909:Regular Partition Numbers
11753:pentagonal number theorem
10860:Pentagonal number theorem
1377:Application to partitions
665:{\displaystyle (a;q)_{n}}
23777:Hypergeometric functions
23574:10.1112/plms/s2-54.2.147
23456:10.1112/plms/s1-25.1.318
23424:10.1112/plms/s1-24.1.337
23309:"Jacobi Theta Functions"
23008:representation-theoretic
17732:{\displaystyle H_{M}(q)}
17696:{\displaystyle G_{M}(q)}
3490:Ramanujan theta function
2274:{\displaystyle P_{H}(n)}
2232:{\displaystyle P_{H}(n)}
2010:{\displaystyle P_{G}(n)}
1968:{\displaystyle P_{G}(n)}
1927:{\displaystyle P_{H}(n)}
1862:{\displaystyle P_{H}(n)}
1833:And the number sequence
1823:{\displaystyle P_{G}(n)}
1758:{\displaystyle P_{G}(n)}
684:Consider the following:
34:Leonard James Rogers
23787:Mathematical identities
23480:10.1112/plms/s1-26.1.15
23468:Proc. London Math. Soc.
23444:Proc. London Math. Soc.
23412:Proc. London Math. Soc.
23395:Cambr. Phil. Soc. Proc.
23357:"Dedekind Eta Function"
22843:Applications in Physics
13554:Weber modular functions
5290:Edmund Taylor Whittaker
23699:
23629:
23539:(1999), pp. 9–24.
23462:Rogers, L. J. (1894),
23438:Rogers, L. J. (1893),
23406:Rogers, L. J. (1892),
23113:
23067:
23047:
22985:
22827:
22789:
22757:
22547:
21437:
21373:
21335:
21303:
21093:
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19906:
19738:
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18011:
17932:
17863:
17788:
17765:
17741:elliptic nome function
17733:
17697:
17653:
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11962:
11939:
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11830:
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11695:
11608:
11462:
11375:
11305:
11231:
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10850:
10576:
10303:
10276:
10246:
10099:
9938:
9775:
9543:
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9160:
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7015:
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6751:
6723:
6682:numerical eccentricity
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5322:
5279:
5169:These three so-called
5160:
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2681:, Continuing fraction
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1257:
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23705:, principal gradation
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17967:in a simplified way.
17933:
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16321:
16142:
15984:
15818:
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15326:
15017:
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9955:in their Weber form:
9953:Dedekind eta function
9939:
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6674:algebraic combination
6650:
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5670:
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5294:George Neville Watson
5280:
5161:
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5022:
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1347:
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1170:
1147:
1127:
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967:
943:
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768:
744:
667:
614:
373:
329:
89:
23714:Stefano Capparelli,
23671:
23635:, Comm. Math. Phys.
23601:
23391:Ramanujan, Srinivasa
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23057:
23014:
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22805:
22770:
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21453:
21404:
21351:
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21109:
19999:
19950:
19927:Calculation examples
19751:
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17957:Abel–Ruffini theorem
17873:
17801:
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17707:
17671:
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15338:
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14328:
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11972:
11952:
11918:
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2652:
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1733:
1729:The number sequence
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1247:
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956:
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637:
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71:
23802:Srinivasa Ramanujan
23694:
23624:
23355:Eric W. Weisstein.
23108:
23075:affine Lie algebras
17739:in relation to the
14136:But along with the
13896:
13734:
12045:
12013:{\displaystyle n=5}
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10650:
10507:
10469:
10417:
10373:
5288:The mathematicians
2239:
1975:
1345:{\displaystyle k+1}
1074:generating function
950:generating function
868:generating function
751:generating function
674:q-Pochhammer symbol
42:Srinivasa Ramanujan
23782:Integer partitions
23750:Weisstein, Eric W.
23731:Weisstein, Eric W.
23695:
23674:
23651:(1981), 7254-7258.
23625:
23604:
23556:(2006), 1019–1030.
23306:Weisstein, Eric W.
23281:Weisstein, Eric W.
23129:Rogers polynomials
23109:
23088:
23079:Stefano Capparelli
23063:
23043:
22981:
22849:hard hexagon model
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19992:Solution formula:
19979:
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19624:The mathematician
19611:
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11826:
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11764:card house numbers
11760:pentagonal numbers
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8421:
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8124:
8100:
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2647:continued fraction
2643:
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