17035:
5728:
6533:
16205:
9271:
8574:
7201:
6332:
5452:
16002:
5205:
16605:
9086:
12880:
8360:
7024:
11580:
7019:
4723:
5443:
6528:{\displaystyle \operatorname {ht} {{\mathfrak {p}}'}=\operatorname {ht} {{\mathfrak {p}}^{\prime c}/I}\leq \operatorname {ht} {{\mathfrak {p}}^{\prime c}}-\operatorname {ht} {I}=\dim R_{\mathfrak {p}}-\operatorname {tr.deg} _{\kappa ({\mathfrak {p}})}\kappa ({\mathfrak {p}}').}
5723:{\displaystyle \dim \kappa ({\mathfrak {p}})\otimes _{R}R'-\dim \kappa ({\mathfrak {p}})\otimes _{R}R'/{\mathfrak {p}}'=1-\operatorname {tr.deg} _{\kappa ({\mathfrak {p}})}\kappa ({\mathfrak {p}}')=\operatorname {tr.deg} _{R}R'-\operatorname {tr.deg} \kappa ({\mathfrak {p}}').}
16905:
12404:
15162:
16424:
16388:
7882:
1718:
16200:{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {gl.dim} R\,&=\operatorname {sup} \{\operatorname {id} _{R}M\mid M\in \operatorname {Mod} _{R}\}\\&=\inf\{n\mid \operatorname {Ext} _{R}^{i}(M,N)=0,\,i>n,M,N\in \operatorname {Mod} _{R}\}\end{aligned}}}
8154:
4241:
12740:
11266:
5029:
14413:
11110:
6691:
14628:
13199:
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13085:
8871:
2684:
11398:
6880:
10889:
10750:
8681:
9266:{\displaystyle \operatorname {gl.dim} R<\infty \Rightarrow \operatorname {gl.dim} R_{1}=\operatorname {pd} _{R_{1}}k\leq \operatorname {pd} _{R_{1}}{\mathfrak {m}}/f_{1}{\mathfrak {m}}<\infty \Rightarrow R_{1}{\text{ regular}}.}
384:
321:
10579:
In general, a
Noetherian ring is called a CohenâMacaulay ring if the localizations at all maximal ideals are CohenâMacaulay. We note that a CohenâMacaulay ring is universally catenary. This implies for example that a polynomial ring
3877:
12027:
7444:
17223:
7993:
14517:
2229:
15756:
8569:{\displaystyle 0=\operatorname {Tor} _{i+1}^{R}(M,k)\to \operatorname {Tor} _{i+1}^{R}(M_{1},k)\to \operatorname {Tor} _{i}^{R}(M,k){\overset {f}{\to }}\operatorname {Tor} _{i}^{R}(M,k),\quad i\geq \operatorname {pd} _{R}M.}
4812:
15351:
7196:{\displaystyle \operatorname {gl.dim} R\leq n\Rightarrow \operatorname {pd} _{R}k\leq n\Rightarrow \operatorname {Tor} _{n+1}^{R}(-,k)=0\Rightarrow \operatorname {pd} _{R}-\leq n\Rightarrow \operatorname {gl.dim} R\leq n,}
6915:
4582:
3453:
82:, most of the definitions of the dimension are equivalent. For general commutative rings, the lack of geometric interpretation is an obstacle to the development of the theory; in particular, very little is known for non-
16769:
14276:
6327:
880:
13955:
12275:
15032:
1384:
14115:
10398:
5320:
17005:
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3132:
3303:
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12214:
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10482:
15528:
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6781:
977:
16270:
15656:
7753:
530:
15248:
3565:
1507:
11362:
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11863:
2441:
5020:
430:
12668:
8312:
2352:
16761:
12724:
9427:
3779:
15417:
11744:
9641:
8045:
3996:
13381:
16669:
15821:
13773:
12118:
4506:
12568:
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16007:
11967:
11688:
10988:
8355:
3175:
10548:
1061:
14521:
14020:
13090:
15583:
10428:
17525:
16257:
15466:
12474:
8751:
2550:
141:
of a prime ideal (i.e., the Krull dimension of the localization at that prime ideal.) Rings are assumed to be commutative except in the last section on dimensions of non-commutative rings.
7748:
7593:
13548:; use induction to see this) and 3. is a general fact by abstract nonsense. 2. is a consequence of an explicit computation of a local cohomology by means of Koszul complexes (see below).
12436:
11618:
9826:
1502:
12606:
6798:
15015:
9470:
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7486:
6207:
4167:
3256:
11776:
10205:
9682:
16600:{\displaystyle \operatorname {Ext} _{R}^{1}(R/I,N)\simeq \operatorname {Ext} _{R}^{2}(R/I,\operatorname {ker} (\phi _{n-1}))\simeq \dots \simeq \operatorname {Ext} _{R}^{n+1}(R/I,M),}
15979:
15948:
13844:
12063:
10796:
8227:
6612:
4175:
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2278:
2028:
17263:
11135:
2728:
6265:
6144:
2488:
9051:
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2951:
2872:
1775:
17134:
14281:
10791:
10316:
4889:
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4027:
3912:
3680:
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3023:
2519:
2105:
682:
135:
14955:
14163:
10954:
10034:
6617:
3726:
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3356:
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325:
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11972:
9535:
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13229:
11895:
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244:
17139:
12989:
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10243:
5801:
14418:
13870:
13686:
13640:
7347:
2061:
1933:
15680:
13439:
12875:{\displaystyle \Gamma _{\mathfrak {m}}(M)=\{s\in M\mid \operatorname {supp} (s)\subset \{{\mathfrak {m}}\}\}=\{s\in M\mid {\mathfrak {m}}^{j}s=0{\text{ for some }}j\}.}
9844:
chapitre 7, §. 4. Corollary 2 to
Proposition 16, a divisorial ideal is principal if it admits a finite free resolution, which is indeed the case by the theorem. Q.E.D.
5938:
5304:
634:
17744:, Cours au CollĂšge de France, 1957â1958, rĂ©digĂ© par Pierre Gabriel. TroisiĂšme Ă©dition, 1975. Lecture Notes in Mathematics (in French), vol. 11, Berlin, New York:
13566:
9567:
9305:
17470:
17309:
10660:
5830:
5753:
5264:
5200:{\displaystyle \dim R'_{{\mathfrak {p}}'}+\operatorname {tr.deg} _{R/{\mathfrak {p}}}{R'/{\mathfrak {p}}'}\leq \dim R_{\mathfrak {p}}+\operatorname {tr.deg} _{R}{R'}}
1267:
1146:
15265:
13404:
9496:
8897:
8587:
3591:
3490:
2895:
1904:
553:
16415:
14894:
14679:
11389:
11297:
10136:
10089:
9006:
8975:
8254:
7554:
1411:
997:
111:
9711:
6173:
2175:
791:
16697:
14176:
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6906:
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1825:
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1207:
10633:
10109:
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9382:
7289:
6236:
4466:
4317:
3784:
1795:
459:
1272:
14024:
11575:{\displaystyle \operatorname {Ext} _{R}^{n}(N,M)\simeq \operatorname {Ext} _{R}^{n-1}(N,M/x_{1}M)\simeq \operatorname {Hom} _{R}(N,M/(x_{1},\dots ,x_{n})M),}
17352:
13466:
9861:
7887:
2180:
43:
for such an apparently simple notion results from the existence of many definitions of dimension that are equivalent only in the most regular cases (see
10437:
7014:{\displaystyle \operatorname {Tor} _{1}^{R}(M,k)=0\Rightarrow M{\text{ flat }}\Rightarrow M{\text{ free }}\Rightarrow \operatorname {pd} _{R}(M)\leq 0.}
4718:{\displaystyle R_{\mathfrak {m}}/{\mathfrak {p}}R_{\mathfrak {p}}R_{\mathfrak {m}}=(R_{\mathfrak {p}}/{\mathfrak {p}}R_{\mathfrak {p}})_{\mathfrak {m}}}
885:
4728:
15188:
3401:
3495:
6270:
13875:
803:
47:). A large part of dimension theory consists in studying the conditions under which several dimensions are equal, and many important classes of
2295:
10361:
16932:
8686:
3069:
3261:
13695:
14729:
12158:
12479:
7598:
7212:
4511:
2977:-primary.) The proof is omitted. It appears, for example, in AtiyahâMacDonald. But it can also be supplied privately; the idea is to use
12914:
15471:
13960:
12219:
6724:
6542:
is catenary. Finally, working with a chain of prime ideals, it is straightforward to reduce the general case to the above case. Q.E.D.
15588:
488:
16900:{\displaystyle \operatorname {w.gl.dim} =\inf\{n\mid \operatorname {Tor} _{i}^{R}(M,N)=0,\,i>n,M,N\in \operatorname {Mod} _{R}\}.}
10249:, it is not obvious whether any permutation of a regular sequence is still regular (see the section below for some positive answer.)
12399:{\displaystyle \operatorname {Ext} _{R}^{i}(k,F)\to \operatorname {Ext} _{R}^{i}(k,M)\to \operatorname {Ext} _{R}^{i+1}(k,K)\to 0.}
11302:
15157:{\displaystyle \operatorname {H} _{\mathfrak {m}}^{i}(M)\simeq \varinjlim \operatorname {H} ^{i}(K(x_{1}^{j},\dots ,x_{n}^{j};M))}
14801:
11823:
2357:
5438:{\displaystyle \dim R'_{\mathfrak {p'}}=\dim R_{\mathfrak {p}}+\dim \kappa ({\mathfrak {p}})\otimes _{R}{R'}_{{\mathfrak {p}}'}.}
4087:
389:
12611:
8259:
16710:
12673:
9387:
3731:
17727:
17690:
17625:
15366:
11693:
9604:
7998:
3917:
1974:
13319:
4980:
16610:
15761:
12072:
4471:
12517:
16383:{\displaystyle 0\to M\to I_{0}{\overset {\phi _{0}}{\to }}I_{1}\to \dots \to I_{n-1}{\overset {\phi _{n-1}}{\to }}N\to 0}
11933:
11637:
8321:
7877:{\displaystyle \operatorname {Tor} _{1}^{R}(M,R_{1})\to P_{1}\otimes R_{1}\to P_{0}\otimes R_{1}\to M\otimes R_{1}\to 0.}
3137:
10515:
1006:
3309:
1713:{\displaystyle \sum _{0}^{N}a_{k}{\binom {d-1+n-k}{d-1}}=(1-t)^{d}F(t){\big |}_{t=1}{n^{d-1} \over {d-1}!}+O(n^{d-2}).}
219:
164:
17655:
15533:
10406:
5839:
44:
32:
17479:
16213:
15422:
12441:
8149:{\displaystyle \Leftrightarrow \operatorname {gl.dim} R<\infty \Leftrightarrow \operatorname {gl.dim} R=\dim R.}
7695:
7559:
5446:
78:
in a finite number of indeterminates over a field. In this case, which is the algebraic counterpart of the case of
12409:
11591:
9764:
1416:
17046:
12573:
11909:
4236:{\displaystyle {\mathfrak {p}}_{0}\subsetneq {\mathfrak {p}}_{1}\subsetneq \cdots \subsetneq {\mathfrak {p}}_{n}}
14964:
9436:
9310:
7656:
7452:
6178:
4940:
3214:
17226:
15029:
A Koszul complex is a powerful computational tool. For instance, it follows from the theorem and the corollary
11749:
11261:{\displaystyle \operatorname {Ext} _{R}^{n-1}(N,M)\simeq \operatorname {Hom} _{R}(N,M/(x_{1},\dots ,x_{n-1})M)}
10141:
9654:
569:
485:. This can be shown within basic ring theory (cf. Kaplansky, commutative rings). In addition, in each fiber of
15957:
15920:
13786:
12035:
8166:
6584:
1838:
1151:
794:
17714:. Cambridge Studies in Advanced Mathematics. Vol. 8. Translated by M. Reid. Cambridge University Press.
15830:
12885:
2238:
17236:
14408:{\displaystyle \operatorname {H} _{*}(x_{1},\dots ,x_{n},M)=\operatorname {H} _{*}(K(x_{1},\dots ,x_{n},M))}
11105:{\displaystyle \operatorname {Ext} _{R}^{n}(N,M)\simeq \operatorname {Hom} _{R}(N,M/(x_{1},\dots ,x_{n})M).}
2689:
17778:
6909:
6686:{\displaystyle \operatorname {gl.dim} R=\sup\{\operatorname {pd} _{R}M\mid {\text{M is a finite module}}\}}
2454:
14623:{\displaystyle \operatorname {H} _{n}({\underline {x}},M)=\operatorname {Ann} _{M}((x_{1},\dots ,x_{n})).}
13194:{\displaystyle H_{\mathfrak {m}}^{i}(M)=\varinjlim \operatorname {Ext} _{R}^{i}(R/{\mathfrak {m}}^{j},M).}
9011:
6090:{\displaystyle \operatorname {ht} I=\dim R_{I}=\dim Q(R)_{I}=1-\operatorname {tr.deg} _{Q(R)}\kappa (I)=1}
4322:
4250:
2904:
2825:
1723:
17084:
14170:
10766:
10283:
4841:
4365:
4001:
3886:
3654:
3028:
2992:
2493:
2066:
651:
120:
14914:
14122:
13307:{\displaystyle \operatorname {depth} \operatorname {M} =\sup\{n\mid H_{\mathfrak {m}}^{i}(M)=0,i<n\}}
10913:
9993:
3685:
3608:
3315:
2767:
1066:
17617:
15662:
13080:{\displaystyle \Gamma _{\mathfrak {m}}(M)=\varinjlim \operatorname {Hom} _{R}(R/{\mathfrak {m}}^{j},M)}
9056:
8866:{\displaystyle \operatorname {pd} _{R}k=1+\operatorname {pd} _{R}(R/(f_{1},\dots ,f_{n-1}))=\cdots =n.}
2679:{\displaystyle m-1\leq \dim(R/{\mathfrak {p}}_{1})\leq d(R/{\mathfrak {p}}_{1})\leq d(D)-1\leq d(R)-1.}
14696:
12131:
9513:
6241:
6100:
11876:
11791:
10959:
10487:
10337:
10259:
9572:
4817:
4418:
3377:
3180:
2956:
2743:
2110:
1942:
1210:
743:
719:
691:
464:
225:
15950:
is defined just like a projective dimension: it is the minimal length of an injective resolution of
9828:, which is an integrally closed domain. It is a standard algebra exercise to show this implies that
8902:
7499:
6875:{\displaystyle \operatorname {pd} _{R}M\leq n\Leftrightarrow \operatorname {Tor} _{n+1}^{R}(M,k)=0.}
4032:
16763:. Essentially by reversing the arrows, one can also prove the implication in the other way. Q.E.D.
10210:
10884:{\displaystyle \operatorname {depth} M=\sup\{n\mid \operatorname {Ext} _{R}^{i}(N,M)=0,i<n\}.}
10563:
5266:
is a polynomial ring. By induction on the number of variables, it is enough to consider the case
4909:
2448:
13849:
13649:
13603:
13544:
Proof: 1. is already noted (except to show the nonvanishing at the degree equal to the depth of
10745:{\displaystyle \operatorname {depth} M=\sup\{n\mid \operatorname {Ext} _{R}^{i}(k,M)=0,i<n\}}
10572:: A regular Noetherian local ring is CohenâMacaulay (since a regular system of parameters is an
7308:
6882:
By dimension shifting (cf. the proof of
Theorem of Serre below), it is enough to prove this for
2037:
1909:
13409:
8676:{\displaystyle \operatorname {Tor} _{i+1}^{R}(M_{1},k)\simeq \operatorname {Tor} _{i}^{R}(M,k)}
5911:
798:
13551:
9540:
9278:
17363:
17280:
15251:
12975:
9361:
1246:
1116:
13386:
9475:
8876:
5758:
3570:
3469:
2877:
1874:
535:
17665:
17635:
16393:
14872:
14657:
11367:
11275:
10114:
10067:
8984:
8953:
8232:
7532:
6566:
5212:
1389:
982:
379:{\displaystyle \operatorname {ht} ({\mathfrak {q}})=\operatorname {ht} ({\mathfrak {p}})+1}
316:{\displaystyle \operatorname {ht} ({\mathfrak {p}}R)=\operatorname {ht} ({\mathfrak {p}}).}
138:
96:
79:
36:
15164:(Here, one uses the self-duality of a Koszul complex; see Proposition 17.15. of Eisenbud,
9687:
6149:
5269:
3872:{\displaystyle {{\mathfrak {m}}_{B}}^{s}\subset (y_{1},\dots ,y_{m})+{\mathfrak {m}}_{A}B}
2151:
767:
562:(e.g., a field) has dimension zero, by induction one gets a formula: for an artinian ring
8:
17535:
17018:
16700:
16674:
15906:
15255:
12022:{\displaystyle \operatorname {pd} _{R}M+\operatorname {depth} M=\operatorname {depth} R.}
10319:
9720:
7439:{\displaystyle \operatorname {pd} _{R}M\geq \operatorname {pd} _{R_{1}}(M\otimes R_{1}).}
6885:
4725:
is then a localization of a principal ideal domain and has dimension at most one, we get
3598:
3367:
2524:
1804:
1220:
1184:
28:
15363:
is regular if and only if it has finite global dimension. Indeed, by the above theorem,
5810:
5733:
5244:
17773:
17218:{\displaystyle \operatorname {gk} (A)=\limsup _{n\to \infty }{\log f(n) \over \log n}.}
10583:
10094:
10039:
9367:
7274:
6546:
6212:
4442:
4293:
3206:
1832:
1780:
1000:
435:
17737:
17723:
17686:
17651:
17621:
7988:{\displaystyle \operatorname {Tor} _{1}^{R}(M,R_{1})={}_{f}M=\{m\in M\mid fm=0\}=0.}
17715:
17699:
17678:
15889:
14682:
14512:{\displaystyle \operatorname {H} _{0}({\underline {x}},M)=M/(x_{1},\dots ,x_{n})M,}
13532:
12979:
10061:
9833:
9594:
6694:
2444:
2224:{\displaystyle {\mathfrak {p}}_{0}\subsetneq \cdots \subsetneq {\mathfrak {p}}_{m}}
67:
56:
48:
15751:{\displaystyle \epsilon _{1}(R)=\dim _{k}\operatorname {H} _{1}({\underline {x}})}
17745:
17661:
17631:
17611:
17545:
15875:
is the dimension of the tangent space. (See
Hartshorne for a geometric meaning.)
15670:
2978:
154:
114:
83:
75:
60:
15359:: The theorem can be used to give a second quick proof of Serre's theorem, that
4807:{\displaystyle 1+\dim R\geq 1+\dim R_{\mathfrak {p}}\geq \dim R_{\mathfrak {m}}}
3455:. The converse was shown in the course of the proof of the fundamental theorem.)
17752:
17674:
17643:
15346:{\displaystyle {\binom {s}{i}}\leq \dim _{k}\operatorname {Tor} _{i}^{R}(k,k).}
13576:
13456:
3448:{\displaystyle s\geq \dim R_{\mathfrak {p}}=\operatorname {ht} {\mathfrak {p}}}
218:
is noetherian, this follows from the fundamental theorem below (in particular,
158:
51:
may be defined as the rings such that two dimensions are equal; for example, a
16766:
The theorem suggests that we consider a sort of a dual of a global dimension:
7653:
as in the remark above. Thus, by induction, it is enough to consider the case
222:), but it is also a consequence of a more precise result. For any prime ideal
17767:
17719:
16912:
13590:
713:
559:
71:
14271:{\displaystyle K(x_{1},\dots ,x_{n})=K(x_{1})\otimes \dots \otimes K(x_{n})}
9364:; i.e., a field.) If that is not the case, then there is some finite module
6322:{\displaystyle \kappa ({\mathfrak {p}}^{\prime c})=\kappa ({\mathfrak {p}})}
4067:. The equality is a straightforward application of the going-down property.
17650:, Graduate Texts in Mathematics, vol. 150, New York: Springer-Verlag,
17473:
875:{\textstyle \operatorname {gr} _{I}R=\bigoplus _{0}^{\infty }I^{n}/I^{n+1}}
52:
13950:{\displaystyle \operatorname {H} _{*}(x,M)=\operatorname {H} _{*}(K(x,M))}
17540:
3594:
1379:{\displaystyle (1-t)^{-d}=\sum _{0}^{\infty }{\binom {d-1+j}{d-1}}t^{j},}
20:
17034:
15888:
is a complete intersection ring if and only if its Koszul algebra is an
14110:{\displaystyle \operatorname {H} _{1}(x,M)={}_{x}M=\{m\in M\mid xm=0\}.}
10393:{\displaystyle \operatorname {depth} M=0\Leftrightarrow {\mathfrak {m}}}
17000:{\displaystyle \operatorname {w.gl.dim} R\leq \operatorname {gl.dim} R}
11865:
It follows by linear algebra that there is a nonzero homomorphism from
8741:{\displaystyle \operatorname {pd} _{R}M_{1}=1+\operatorname {pd} _{R}M}
3127:{\displaystyle \dim R\leq \dim _{k}{\mathfrak {m}}/{\mathfrak {m}}^{2}}
3298:{\displaystyle \operatorname {gr} R=\operatorname {gr} {\widehat {R}}}
17550:
12069:
free) being trivial. By
Nakayama's lemma, we have the exact sequence
10635:
is universally catenary since it is regular and thus CohenâMacaulay.
14789:{\displaystyle \operatorname {H} _{i}({\underline {x}},M)=0,i\geq 1}
14632:
We now have the homological characterization of a regular sequence.
13524:{\displaystyle \operatorname {Hom} _{R}(H_{\mathfrak {m}}^{d}(-),E)}
12209:{\displaystyle \operatorname {pd} _{R}K=\operatorname {pd} _{R}M-1,}
9967:{\displaystyle \operatorname {gl.dim} R=\operatorname {gl.dim} R+n.}
12507:{\displaystyle \operatorname {depth} K\leq \operatorname {depth} R}
7646:{\displaystyle \operatorname {pd} _{R}K=\operatorname {pd} _{R}M-1}
7260:{\displaystyle \operatorname {pd} _{R}K=\operatorname {pd} _{R}M-1}
4572:{\displaystyle R_{\mathfrak {m}}=R_{\mathfrak {p}}_{\mathfrak {m}}}
2354:
The degree bound of the
Hilbert-Samuel polynomial now implies that
13531:
is representable (the representing object is sometimes called the
12963:{\displaystyle H_{\mathfrak {m}}^{j}=R^{j}\Gamma _{\mathfrak {m}}}
10477:{\displaystyle \operatorname {depth} M\leq \dim R/{\mathfrak {p}}}
2547:
and so, by inductive hypothesis and again by the degree estimate,
70:
that are finitely generated algebras over a field, which are also
15523:{\displaystyle \operatorname {gl.dim} R=\operatorname {pd} _{R}k}
12253:{\displaystyle \operatorname {depth} K=\operatorname {depth} M+1}
6776:{\displaystyle \operatorname {pd} _{R}k=\operatorname {gl.dim} R}
972:{\displaystyle F(t)=\sum _{0}^{\infty }\ell (I^{n}/I^{n+1})t^{n}}
15651:{\displaystyle \dim R\leq s\leq \operatorname {gl.dim} R=\dim R}
525:{\displaystyle \operatorname {Spec} R\to \operatorname {Spec} R}
15243:{\displaystyle s=\dim _{k}{\mathfrak {m}}/{\mathfrak {m}}^{2},}
4068:
3560:{\displaystyle \dim B/{\mathfrak {m}}_{A}B\geq \dim B-\dim A.}
13201:
This observation proves the first part of the theorem below.
11357:{\displaystyle 0\to M{\overset {x_{1}}{\to }}M\to M_{1}\to 0}
14849:{\displaystyle \operatorname {H} _{1}({\underline {x}},M)=0}
11858:{\displaystyle {\mathfrak {m}}\in \operatorname {Supp} (N).}
3883:. Raising both sides to higher powers, we see some power of
2436:{\displaystyle d(D)>d(D/xD)\geq d(R/{\mathfrak {p}}_{1})}
17616:, Cambridge Studies in Advanced Mathematics, vol. 39,
17017:
A ring has weak global dimension zero if and only if it is
9832:
is an integrally closed domain. Now, we need to show every
17648:
Commutative algebra. With a view toward algebraic geometry
2984:
425:{\displaystyle {\mathfrak {q}}\supsetneq {\mathfrak {p}}R}
15896:
15166:
Commutative
Algebra with a View Toward Algebraic Geometry
12663:{\displaystyle \operatorname {Ext} _{R}^{i+1}(k,K)\neq 0}
8307:{\displaystyle 0\to M{\overset {f}{\to }}M\to M_{1}\to 0}
2347:{\displaystyle 0\to D{\overset {x}{\to }}D\to D/xD\to 0.}
17277:
one may similarly define the
Gelfand-Kirillov dimension
16756:{\displaystyle \sup\{\operatorname {id} _{R}M|M\}\leq n}
12719:{\displaystyle \operatorname {Ext} _{R}^{i}(k,M)\neq 0.}
9422:{\displaystyle 0<\operatorname {pd} _{R}M<\infty }
3774:{\displaystyle {\mathfrak {m}}_{B}/{\mathfrak {m}}_{A}B}
15412:{\displaystyle \operatorname {Tor} _{s}^{R}(k,k)\neq 0}
14900:-regular if and only if any of its permutations is so.
11739:{\displaystyle \operatorname {Ext} _{R}^{n}(N,M)\neq 0}
9753:
A regular local ring is a unique factorization domain.
9636:{\displaystyle {\mathfrak {m}}=\operatorname {ann} (s)}
9053:, by inductive hypothesis and the preceding lemma with
8040:{\displaystyle \operatorname {pd} _{R}(M\otimes R_{1})}
7291:
is the kernel of some surjection from a free module to
6577:
is the shortest length of any projective resolution of
3991:{\displaystyle (y_{1},\dots ,y_{m},x_{1},\dots ,x_{n})}
17025:
16907:
It was originally called the weak global dimension of
13376:{\displaystyle H_{\mathfrak {m}}^{i}(M)=0,i>\dim M}
5015:{\displaystyle {\mathfrak {p}}=R\cap {\mathfrak {p}}'}
806:
17482:
17366:
17283:
17239:
17142:
17087:
16935:
16772:
16713:
16677:
16664:{\displaystyle \operatorname {Ext} _{R}^{n+1}(R/I,-)}
16613:
16427:
16396:
16273:
16216:
16005:
15960:
15923:
15833:
15816:{\displaystyle {\underline {x}}=(x_{1},\dots ,x_{d})}
15764:
15683:
15591:
15536:
15474:
15425:
15369:
15268:
15191:
15035:
14967:
14917:
14875:
14804:
14732:
14699:
14660:
14524:
14421:
14284:
14179:
14125:
14027:
13963:
13878:
13852:
13789:
13768:{\displaystyle d:K_{1}(R)\to K_{0}(R),\,r\mapsto xr.}
13698:
13652:
13606:
13554:
13469:
13412:
13389:
13322:
13232:
13093:
12992:
12917:
12888:
12743:
12676:
12614:
12576:
12520:
12482:
12444:
12412:
12278:
12222:
12161:
12134:
12113:{\displaystyle 0\to K{\overset {f}{\to }}F\to M\to 0}
12075:
12038:
11975:
11936:
11879:
11826:
11794:
11752:
11696:
11640:
11594:
11401:
11370:
11305:
11278:
11138:
10991:
10962:
10916:
10799:
10769:
10663:
10586:
10518:
10490:
10440:
10409:
10364:
10340:
10286:
10262:
10213:
10144:
10117:
10097:
10070:
10042:
9996:
9864:
9767:
9723:
9690:
9657:
9607:
9575:
9543:
9516:
9478:
9439:
9390:
9370:
9313:
9281:
9089:
9059:
9014:
8987:
8956:
8905:
8879:
8754:
8689:
8590:
8363:
8324:
8262:
8235:
8169:
8066:
8001:
7890:
7756:
7698:
7659:
7601:
7562:
7535:
7502:
7455:
7371:
7311:
7277:
7215:
7027:
6918:
6888:
6801:
6727:
6620:
6587:
6335:
6273:
6244:
6215:
6181:
6152:
6103:
5946:
5914:
5842:
5813:
5761:
5736:
5455:
5323:
5272:
5247:
5032:
4983:
4943:
4912:
4844:
4820:
4731:
4585:
4514:
4501:{\displaystyle {\mathfrak {p}}=R\cap {\mathfrak {m}}}
4474:
4445:
4421:
4368:
4325:
4296:
4253:
4178:
4090:
4035:
4004:
3920:
3889:
3787:
3734:
3688:
3657:
3611:
3573:
3498:
3472:
3404:
3380:
3318:
3264:
3217:
3183:
3140:
3072:
3031:
2995:
2959:
2907:
2880:
2828:
2770:
2746:
2692:
2553:
2527:
2496:
2457:
2360:
2298:
2241:
2183:
2154:
2113:
2069:
2040:
1977:
1945:
1912:
1877:
1841:
1807:
1783:
1726:
1510:
1419:
1392:
1275:
1249:
1223:
1187:
1154:
1119:
1069:
1009:
985:
888:
770:
746:
722:
694:
654:
572:
538:
532:, one cannot have a chain of primes ideals of length
491:
467:
438:
392:
328:
256:
228:
167:
123:
99:
12563:{\displaystyle \operatorname {Ext} _{R}^{i}(k,M)=0.}
11962:{\displaystyle \operatorname {pd} _{R}M<\infty }
11683:{\displaystyle \operatorname {Ext} _{R}^{n}(N,M)=0}
8350:{\displaystyle \operatorname {pd} _{R}M<\infty }
3170:{\displaystyle {\mathfrak {m}}/{\mathfrak {m}}^{2}}
17519:
17464:
17303:
17257:
17217:
17128:
16999:
16899:
16755:
16691:
16663:
16599:
16409:
16382:
16251:
16199:
15973:
15942:
15867:
15815:
15750:
15661:We next use a Koszul homology to define and study
15650:
15577:
15522:
15460:
15411:
15345:
15242:
15156:
15009:
14949:
14888:
14848:
14788:
14712:
14673:
14622:
14511:
14407:
14270:
14157:
14109:
14014:
13949:
13864:
13838:
13767:
13680:
13634:
13560:
13523:
13433:
13398:
13375:
13306:
13193:
13079:
12962:
12903:
12874:
12718:
12662:
12600:
12562:
12506:
12468:
12430:
12398:
12252:
12208:
12147:
12112:
12057:
12021:
11961:
11889:
11857:
11804:
11770:
11738:
11682:
11612:
11574:
11383:
11356:
11291:
11268:. But the latter is zero since the annihilator of
11260:
11104:
10972:
10948:
10883:
10785:
10744:
10627:
10543:{\displaystyle \operatorname {depth} M\leq \dim M}
10542:
10500:
10476:
10422:
10392:
10350:
10310:
10272:
10237:
10199:
10130:
10103:
10083:
10048:
10028:
9966:
9820:
9735:
9705:
9676:
9635:
9585:
9561:
9529:
9490:
9464:
9421:
9376:
9348:
9299:
9265:
9075:
9045:
9000:
8969:
8942:
8891:
8865:
8740:
8675:
8568:
8349:
8306:
8256:a regular system of parameters. An exact sequence
8248:
8221:
8148:
8039:
7987:
7876:
7742:
7684:
7645:
7587:
7548:
7521:
7480:
7438:
7341:
7283:
7259:
7195:
7013:
6900:
6874:
6775:
6685:
6606:
6535:Here, note that the inequality is the equality if
6527:
6321:
6259:
6230:
6201:
6167:
6138:
6089:
5932:
5889:
5824:
5795:
5747:
5722:
5437:
5298:
5258:
5199:
5014:
4969:
4929:
4883:
4830:
4806:
4717:
4571:
4500:
4460:
4431:
4407:
4354:
4311:
4282:
4235:
4161:
4059:
4021:
3990:
3906:
3871:
3773:
3720:
3674:
3643:
3585:
3559:
3484:
3447:
3398:be a prime ideal minimal over such an ideal. Then
3390:
3350:
3297:
3250:
3193:
3169:
3126:
3055:
3017:
2969:
2945:
2889:
2866:
2802:
2756:
2722:
2678:
2539:
2513:
2482:
2435:
2346:
2292:is not a zero-divisor, we have the exact sequence
2272:
2223:
2169:
2140:
2099:
2055:
2022:
1955:
1927:
1898:
1860:
1819:
1789:
1769:
1712:
1496:
1405:
1378:
1261:
1235:
1201:
1173:
1140:
1101:
1056:{\displaystyle (\operatorname {gr} _{I}R)_{0}=R/I}
1055:
991:
971:
874:
785:
756:
732:
704:
676:
628:
547:
524:
477:
453:
424:
378:
315:
238:
206:
129:
105:
90:gives a good account of the non-noetherian case.)
15285:
15272:
14015:{\displaystyle \operatorname {H} _{0}(x,M)=M/xM,}
5807:= 0, then we are already done. Suppose not. Then
4152:
4142:
1580:
1539:
1357:
1322:
17765:
17162:
16802:
16714:
16101:
13245:
11926:be a finite module over a noetherian local ring
10812:
10676:
6650:
3312:) The height of the ideal generated by elements
1217:is a rational function with exactly one pole at
17673:
17077:is a finite-dimensional generating subspace of
15669:be a Noetherian local ring. By definition, the
15578:{\displaystyle \operatorname {gl.dim} R=\dim R}
11395:, using the inductive hypothesis again, we get
11132:= 0 is trivial. Next, by inductive hypothesis,
10423:{\displaystyle \Leftrightarrow {\mathfrak {m}}}
9836:is principal; i.e., the divisor class group of
5890:{\displaystyle \operatorname {tr.deg} _{R}R'=0}
17520:{\displaystyle \operatorname {gk} (A_{n})=2n.}
16252:{\displaystyle \operatorname {gl.dim} R\leq n}
15461:{\displaystyle \operatorname {gl.dim} R\geq s}
12469:{\displaystyle i<\operatorname {depth} K-1}
10256:be a local Noetherian ring with maximal ideal
3492:is a morphism of noetherian local rings, then
9472:. By Nakayama's lemma, there is a surjection
8873:The proof of the converse is by induction on
7743:{\displaystyle 0\to P_{1}\to P_{0}\to M\to 0}
7588:{\displaystyle \operatorname {pd} _{R}M>0}
1626:
16891:
16805:
16744:
16717:
16190:
16104:
16088:
16050:
15021:-regular sequence for each positive integer
14101:
14074:
13301:
13248:
12866:
12820:
12814:
12811:
12801:
12768:
12431:{\displaystyle i<\operatorname {depth} R}
11613:{\displaystyle n<\operatorname {depth} M}
10875:
10815:
10780:
10770:
10739:
10679:
9821:{\displaystyle \operatorname {gr} R\simeq k}
7976:
7949:
6680:
6653:
4894:
1497:{\displaystyle F(t)=(1-t)^{d}F(t)(1-t)^{-d}}
17609:
16671:is computed via a projective resolution of
12601:{\displaystyle i=\operatorname {depth} K-1}
15823:is a system of parameters. By definition,
15010:{\displaystyle x_{1}^{j},\dots ,x_{n}^{j}}
9465:{\displaystyle \operatorname {pd} _{R}M=1}
9349:{\displaystyle \operatorname {gl.dim} R=0}
7685:{\displaystyle \operatorname {pd} _{R}M=1}
7481:{\displaystyle \operatorname {pd} _{R}M=0}
6202:{\displaystyle {\mathfrak {p}}^{\prime c}}
4970:{\displaystyle {\mathfrak {p}}'\subset R'}
4162:{\displaystyle \dim R+1=\dim R=\dim R\!].}
3251:{\displaystyle \dim {\widehat {R}}=\dim R}
2686:The claim follows. It now remains to show
17709:
17581:
16911:but today it is more commonly called the
16856:
16155:
16036:
13749:
11771:{\displaystyle n=\operatorname {depth} M}
10200:{\displaystyle M/(x_{1},\dots ,x_{i-1})M}
9990:a module over it. A sequence of elements
9677:{\displaystyle K\subset {\mathfrak {m}}F}
8318:in the maximal ideal, of finite modules,
7692:. Then there is a projective resolution:
3201:by Nakayama. If the equality holds, then
17642:
17610:Bruns, Winfried; Herzog, JĂŒrgen (1993),
17569:
17269:. Given a graded right (or left) module
15974:{\displaystyle \operatorname {Mod} _{R}}
15943:{\displaystyle \operatorname {id} _{R}M}
15530:, the AuslanderâBuchsbaum formula gives
14119:More generally, given a finite sequence
13839:{\displaystyle K(x,M)=K(x)\otimes _{R}M}
12058:{\displaystyle \operatorname {pd} _{R}M}
11912:relates depth and projective dimension.
9356:if it is finite. (This would imply that
8899:. We begin with the inductive step. Set
8222:{\displaystyle k=R/(f_{1},\dots ,f_{n})}
6607:{\displaystyle \operatorname {pd} _{R}M}
5755:is generated by a single element; thus,
5449:, the second term on the right side is:
1935:to be the minimum number of elements of
1861:{\displaystyle \operatorname {gr} _{I}R}
1174:{\displaystyle \operatorname {gr} _{I}R}
16:Study of dimension in algebraic geometry
15868:{\displaystyle \dim R+\epsilon _{1}(R)}
12904:{\displaystyle \Gamma _{\mathfrak {m}}}
5207:where the equality holds if either (a)
2985:Consequences of the fundamental theorem
2273:{\displaystyle D=R/{\mathfrak {p}}_{0}}
2023:{\displaystyle \delta (R)=d(R)=\dim R.}
17766:
17757:An Introduction to Homological Algebra
17751:
17593:
17258:{\displaystyle \operatorname {gk} (A)}
15897:Injective dimension and Tor dimensions
11624:-regular sequence of length more than
10894:Proof: We first prove by induction on
10330:is the supremum of the lengths of all
9840:vanishes. But, according to Bourbaki,
9717:is not zero and is free, this implies
8977:among a system of parameters. To show
6581:(possibly infinite) and is denoted by
6551:
3362:. Conversely, a prime ideal of height
2723:{\displaystyle \dim R\geq \delta (R).}
643:
17736:
16417:are injective modules. For any ideal
12911:is a left-exact functor and then let
12268:, the exact sequence yields: for any
3728:be such that their images generate a
2483:{\displaystyle R/{\mathfrak {p}}_{1}}
2451:for the statement and the proof.) In
2443:. (This essentially follows from the
716:(i.e., it sits between some power of
17029:
14689:. Then the following are equivalent
10982:
9046:{\displaystyle \dim R_{1}<\dim R}
4355:{\displaystyle {\mathfrak {p}}_{n}R}
4283:{\displaystyle {\mathfrak {p}}_{i}R}
2946:{\displaystyle (x_{1},\dots ,x_{d})}
2867:{\displaystyle (x_{1},\dots ,x_{i})}
1770:{\displaystyle \ell (I^{n}/I^{n+1})}
55:is a commutative ring such that the
17683:Introduction to Commutative Algebra
17129:{\displaystyle f(n)=\dim _{k}V^{n}}
17026:Dimensions of non-commutative rings
15827:is a complete intersection ring if
15226:
15213:
15042:
13492:
13329:
13263:
13168:
13100:
13057:
12999:
12954:
12924:
12895:
12838:
12806:
12750:
12406:Note the left-most term is zero if
12137:
11882:
11829:
11797:
10965:
10898:the following statement: for every
10786:{\displaystyle \{{\mathfrak {m}}\}}
10775:
10493:
10469:
10415:
10385:
10343:
10311:{\displaystyle k=R/{\mathfrak {m}}}
10303:
10265:
9666:
9610:
9578:
9519:
9231:
9209:
9068:
6510:
6488:
6449:
6405:
6369:
6346:
6311:
6283:
6248:
6185:
5705:
5617:
5595:
5547:
5513:
5470:
5421:
5388:
5365:
5337:
5148:
5123:
5096:
5047:
5003:
4986:
4947:
4884:{\displaystyle 1+\dim R\geq \dim R}
4823:
4798:
4768:
4709:
4688:
4677:
4664:
4646:
4625:
4614:
4601:
4563:
4545:
4530:
4493:
4477:
4424:
4408:{\displaystyle \dim R+1\leq \dim R}
4329:
4257:
4222:
4199:
4182:
4022:{\displaystyle {\mathfrak {m}}_{B}}
4008:
3907:{\displaystyle {\mathfrak {m}}_{B}}
3893:
3855:
3793:
3757:
3738:
3675:{\displaystyle {\mathfrak {m}}_{A}}
3661:
3516:
3440:
3423:
3383:
3186:
3156:
3143:
3113:
3100:
3056:{\displaystyle k=R/{\mathfrak {m}}}
3048:
3025:be a noetherian local ring and put
3018:{\displaystyle (R,{\mathfrak {m}})}
3007:
2962:
2749:
2620:
2586:
2514:{\displaystyle {\mathfrak {p}}_{i}}
2500:
2469:
2419:
2259:
2210:
2187:
2100:{\displaystyle \delta (R)\geq d(R)}
1948:
749:
725:
697:
677:{\displaystyle (R,{\mathfrak {m}})}
666:
470:
405:
395:
362:
340:
302:
268:
231:
130:{\displaystyle \operatorname {ht} }
13:
17450:
17425:
17172:
16987:
16984:
16981:
16975:
16972:
16958:
16955:
16952:
16946:
16943:
16937:
16795:
16792:
16789:
16783:
16780:
16774:
16267:-module and consider a resolution
16233:
16230:
16227:
16221:
16218:
16026:
16023:
16020:
16014:
16011:
15720:
15626:
15623:
15620:
15614:
15611:
15553:
15550:
15547:
15541:
15538:
15491:
15488:
15485:
15479:
15476:
15442:
15439:
15436:
15430:
15427:
15276:
15082:
15037:
14950:{\displaystyle x_{1},\dots ,x_{n}}
14806:
14734:
14526:
14423:
14343:
14286:
14158:{\displaystyle x_{1},\dots ,x_{n}}
14029:
13965:
13911:
13880:
13239:
12994:
12949:
12890:
12745:
11956:
10949:{\displaystyle x_{1},\dots ,x_{n}}
10029:{\displaystyle x_{1},\dots ,x_{n}}
9945:
9942:
9939:
9933:
9930:
9881:
9878:
9875:
9869:
9866:
9416:
9330:
9327:
9324:
9318:
9315:
9239:
9141:
9138:
9135:
9129:
9126:
9119:
9106:
9103:
9100:
9094:
9091:
8344:
8121:
8118:
8115:
8109:
8106:
8099:
8086:
8083:
8080:
8074:
8071:
7174:
7171:
7168:
7162:
7159:
7044:
7041:
7038:
7032:
7029:
6763:
6760:
6757:
6751:
6748:
6637:
6634:
6631:
6625:
6622:
6475:
6472:
6469:
6463:
6460:
6411:
6375:
6289:
6191:
6047:
6044:
6041:
6035:
6032:
5860:
5857:
5854:
5848:
5845:
5689:
5686:
5683:
5677:
5674:
5649:
5646:
5643:
5637:
5634:
5582:
5579:
5576:
5570:
5567:
5174:
5171:
5168:
5162:
5159:
5081:
5078:
5075:
5069:
5066:
4814:by the previous inequality. Since
4415:. For the reverse inequality, let
3721:{\displaystyle y_{1},\dots ,y_{m}}
3644:{\displaystyle x_{1},\dots ,x_{n}}
3351:{\displaystyle x_{1},\dots ,x_{s}}
2803:{\displaystyle x_{1},\dots ,x_{d}}
1543:
1326:
1314:
1102:{\displaystyle x_{1},\dots ,x_{s}}
914:
836:
14:
17790:
17069:be a graded algebra over a field
13570:
12882:One sees without difficulty that
12729:As a matter of notation, for any
9076:{\displaystyle M={\mathfrak {m}}}
8981:is regular, it is enough to show
45:Dimension of an algebraic variety
33:dimension of an algebraic variety
17033:
14713:{\displaystyle {\underline {x}}}
12514:by inductive hypothesis, we see
12148:{\displaystyle {\mathfrak {m}}F}
12032:Proof: We argue by induction on
11299:. Thus, from the exact sequence
9530:{\displaystyle {\mathfrak {m}}F}
9275:The basic step remains. Suppose
6787:Proof: We claim: for any finite
6556:
6260:{\displaystyle {\mathfrak {p}}'}
6139:{\displaystyle \kappa (I)=Q(R')}
3597:or more generally if it has the
3358:in a noetherian ring is at most
1386:we find that the coefficient of
207:{\displaystyle \dim R=\dim R+1.}
144:
17325:is finite-dimensional, then gk(
16707:is injective. We conclude that
11890:{\displaystyle {\mathfrak {m}}}
11805:{\displaystyle {\mathfrak {m}}}
10973:{\displaystyle {\mathfrak {m}}}
10755:More generally, for any finite
10501:{\displaystyle {\mathfrak {p}}}
10351:{\displaystyle {\mathfrak {m}}}
10273:{\displaystyle {\mathfrak {m}}}
9586:{\displaystyle {\mathfrak {m}}}
8540:
4831:{\displaystyle {\mathfrak {m}}}
4432:{\displaystyle {\mathfrak {m}}}
4290:are a chain of prime ideals in
4243:are a chain of prime ideals in
3391:{\displaystyle {\mathfrak {p}}}
3310:Krull's principal ideal theorem
3194:{\displaystyle {\mathfrak {m}}}
2970:{\displaystyle {\mathfrak {m}}}
2757:{\displaystyle {\mathfrak {m}}}
2730:More precisely, we shall show:
2141:{\displaystyle d(R)\geq \dim R}
1967:. Our ambition is to prove the
1956:{\displaystyle {\mathfrak {m}}}
757:{\displaystyle {\mathfrak {m}}}
733:{\displaystyle {\mathfrak {m}}}
705:{\displaystyle {\mathfrak {m}}}
684:be a noetherian local ring and
478:{\displaystyle {\mathfrak {p}}}
239:{\displaystyle {\mathfrak {p}}}
220:Krull's principal ideal theorem
17587:
17575:
17563:
17502:
17489:
17459:
17383:
17298:
17292:
17265:is independent of a choice of
17252:
17246:
17195:
17189:
17169:
17155:
17149:
17097:
17091:
16844:
16832:
16737:
16658:
16638:
16591:
16571:
16535:
16532:
16513:
16490:
16466:
16446:
16374:
16350:
16329:
16323:
16298:
16283:
16277:
16143:
16131:
15862:
15856:
15810:
15778:
15745:
15732:
15700:
15694:
15677:is the vector space dimension
15400:
15388:
15337:
15325:
15151:
15148:
15100:
15094:
15062:
15056:
14837:
14818:
14765:
14746:
14614:
14611:
14579:
14576:
14557:
14538:
14500:
14468:
14454:
14435:
14402:
14399:
14361:
14355:
14336:
14298:
14265:
14252:
14237:
14224:
14215:
14183:
14053:
14041:
13989:
13977:
13944:
13941:
13929:
13923:
13904:
13892:
13820:
13814:
13805:
13793:
13753:
13743:
13737:
13724:
13721:
13715:
13663:
13656:
13617:
13610:
13589:an element in it. We form the
13518:
13509:
13503:
13483:
13346:
13340:
13280:
13274:
13185:
13154:
13117:
13111:
13074:
13043:
13011:
13005:
12795:
12789:
12762:
12756:
12707:
12695:
12651:
12639:
12551:
12539:
12390:
12387:
12375:
12348:
12345:
12333:
12312:
12309:
12297:
12104:
12098:
12087:
12079:
11849:
11843:
11727:
11715:
11671:
11659:
11566:
11560:
11528:
11511:
11492:
11462:
11432:
11420:
11348:
11335:
11317:
11309:
11255:
11249:
11211:
11194:
11175:
11163:
11096:
11090:
11058:
11041:
11022:
11010:
10854:
10842:
10718:
10706:
10622:
10590:
10410:
10380:
10191:
10153:
9923:
9891:
9815:
9783:
9761:be a regular local ring. Then
9630:
9624:
9482:
9242:
9122:
8943:{\displaystyle R_{1}=R/f_{1}R}
8845:
8842:
8804:
8793:
8670:
8658:
8634:
8615:
8534:
8522:
8496:
8491:
8479:
8458:
8455:
8436:
8409:
8406:
8394:
8298:
8285:
8274:
8266:
8216:
8184:
8102:
8067:
8034:
8015:
7928:
7909:
7868:
7849:
7823:
7797:
7794:
7775:
7734:
7728:
7715:
7702:
7522:{\displaystyle M\otimes R_{1}}
7430:
7411:
7155:
7133:
7124:
7112:
7085:
7060:
7002:
6996:
6980:
6969:
6958:
6949:
6937:
6863:
6851:
6824:
6519:
6504:
6493:
6483:
6316:
6306:
6297:
6277:
6225:
6219:
6162:
6156:
6133:
6122:
6113:
6107:
6078:
6072:
6061:
6055:
6012:
6005:
6002:
5996:
5975:
5968:
5782:
5776:
5714:
5699:
5626:
5611:
5600:
5590:
5518:
5508:
5475:
5465:
5393:
5383:
5293:
5287:
4878:
4872:
4793:
4786:
4704:
4697:
4694:
4655:
4641:
4634:
4596:
4589:
4558:
4551:
4525:
4518:
4455:
4449:
4402:
4396:
4362:is not a maximal ideal. Thus,
4349:
4343:
4306:
4300:
4277:
4271:
4153:
4149:
4143:
4139:
4124:
4118:
4060:{\displaystyle m+n\geq \dim B}
3985:
3921:
3846:
3814:
3577:
3476:
3012:
2996:
2940:
2908:
2861:
2829:
2714:
2708:
2667:
2661:
2646:
2640:
2631:
2606:
2597:
2572:
2430:
2405:
2396:
2379:
2370:
2364:
2338:
2321:
2310:
2302:
2231:be a chain of prime ideals in
2164:
2158:
2123:
2117:
2107:from the above. Next we prove
2094:
2088:
2079:
2073:
2050:
2044:
2002:
1996:
1987:
1981:
1922:
1916:
1887:
1881:
1764:
1730:
1704:
1685:
1620:
1614:
1602:
1589:
1482:
1469:
1466:
1460:
1448:
1435:
1429:
1423:
1289:
1276:
1030:
1010:
956:
922:
898:
892:
780:
774:
671:
655:
638:
614:
582:
510:
507:
501:
448:
442:
419:
413:
367:
357:
345:
335:
307:
297:
285:
282:
276:
263:
183:
177:
1:
17759:. Cambridge University Press.
17742:AlgÚbre locale. Multiplicités
17603:
9429:and thus in fact we can find
7203:completing the proof. Q.E.D.
5447:Noether's normalization lemma
3177:lifts to a generating set of
2822:, any prime ideal containing
2284:a nonzero nonunit element in
11905:by Nakayama's lemma. Q.E.D.
11816:; thus is in the support of
10550:. If the equality holds for
10400:consists of zerodivisors on
10238:{\displaystyle i=2,\dots ,n}
8580:here is zero since it kills
7209:: The proof also shows that
6910:local criterion for flatness
6708:is local with residue field
3998:; i.e., the latter ideal is
35:(and by extension that of a
7:
17529:
17333:is an affine ring, then gk(
15663:complete intersection rings
14171:tensor product of complexes
13451:its Krull dimension and if
11910:AuslanderâBuchsbaum formula
11780:
11630:
11584:
11118:
10318:. Then, by definition, the
5026:is a Noetherian ring, then
4930:{\displaystyle R\subset R'}
4084:is a noetherian ring, then
3370:over an ideal generated by
1148:have degree 1 and generate
10:
17795:
17618:Cambridge University Press
17227:GelfandâKirillov dimension
15171:Another instance would be
13865:{\displaystyle d\otimes 1}
13783:, we then get the complex
13681:{\displaystyle K(x)_{i}=0}
13635:{\displaystyle K(x)_{i}=R}
13574:
10484:for any associated primes
9743:, which is absurd. Q.E.D.
7342:{\displaystyle R_{1}=R/fR}
6565:be a noetherian ring. The
6544:
6329:, by the polynomial case,
5233:is a polynomial ring over
2521:becomes a chain of length
2056:{\displaystyle \delta (R)}
1928:{\displaystyle \delta (R)}
66:The theory is simpler for
14415:its homology. As before,
13434:{\displaystyle i=\dim M.}
13087:, via abstract nonsense,
12124:is free and the image of
10763:whose support is exactly
10138:is not a zero divisor on
10091:is not a zero-divisor on
8163:is regular, we can write
5933:{\displaystyle I\cap R=0}
4895:Nagata's altitude formula
4838:is arbitrary, it follows
629:{\displaystyle \dim R=n.}
27:is the study in terms of
17720:10.1017/CBO9781139171762
17706:, Allyn and Bacon, 1970.
17556:
15468:. On the other hand, as
14961:-regular sequence, then
14650:is a finite module over
13561:{\displaystyle \square }
12216:what we need to show is
12065:, the basic case (i.e.,
10434:. By induction, we find
9977:
9562:{\displaystyle \dim R=0}
9300:{\displaystyle \dim R=0}
7361:is a non-zerodivisor on
6209:denote the pre-image in
93:Throughout the article,
17712:Commutative Ring Theory
17675:Atiyah, Michael Francis
17465:{\displaystyle A_{n}=k}
17337:) = Krull dimension of
17304:{\displaystyle {gk}(M)}
13957:be its homology. Note:
11272:contains some power of
10358:. For example, we have
9008:is regular. But, since
2449:Hilbert-Samuel function
1262:{\displaystyle d\leq s}
1141:{\displaystyle I/I^{2}}
1003:(over an artinian ring
17710:Matsumura, H. (1987).
17521:
17466:
17346:Bernstein's inequality
17305:
17259:
17219:
17130:
17001:
16901:
16757:
16693:
16665:
16601:
16411:
16384:
16253:
16201:
15975:
15944:
15869:
15817:
15752:
15652:
15579:
15524:
15462:
15413:
15347:
15244:
15158:
15011:
14951:
14890:
14850:
14790:
14714:
14675:
14624:
14513:
14409:
14272:
14165:of elements in a ring
14159:
14111:
14016:
13951:
13866:
13846:with the differential
13840:
13769:
13692:with the differential
13682:
13636:
13562:
13525:
13435:
13400:
13399:{\displaystyle \neq 0}
13377:
13308:
13195:
13081:
12964:
12905:
12876:
12720:
12664:
12602:
12564:
12508:
12470:
12432:
12400:
12254:
12210:
12149:
12114:
12059:
12023:
11963:
11891:
11859:
11806:
11772:
11740:
11684:
11620:, then we can find an
11614:
11576:
11385:
11358:
11293:
11262:
11106:
10974:
10950:
10885:
10787:
10746:
10629:
10544:
10502:
10478:
10424:
10394:
10352:
10334:-regular sequences in
10312:
10274:
10239:
10201:
10132:
10105:
10085:
10050:
10030:
9968:
9822:
9737:
9707:
9678:
9637:
9587:
9563:
9531:
9492:
9491:{\displaystyle F\to M}
9466:
9423:
9378:
9350:
9301:
9267:
9077:
9047:
9002:
8971:
8944:
8893:
8892:{\displaystyle \dim R}
8867:
8748:. Using this, we get:
8742:
8677:
8570:
8351:
8308:
8250:
8223:
8150:
8041:
7989:
7878:
7744:
7686:
7647:
7589:
7550:
7523:
7482:
7440:
7343:
7285:
7261:
7197:
7015:
6902:
6876:
6777:
6687:
6608:
6529:
6323:
6261:
6232:
6203:
6169:
6140:
6091:
5934:
5891:
5826:
5797:
5796:{\displaystyle R'=R/I}
5749:
5724:
5439:
5300:
5260:
5222:is finitely generated
5201:
5016:
4971:
4931:
4885:
4832:
4808:
4719:
4573:
4502:
4462:
4439:be a maximal ideal of
4433:
4409:
4356:
4313:
4284:
4237:
4163:
4061:
4023:
3992:
3908:
3873:
3775:
3722:
3676:
3645:
3587:
3586:{\displaystyle A\to B}
3567:The equality holds if
3561:
3486:
3485:{\displaystyle A\to B}
3449:
3392:
3374:elements. (Proof: Let
3352:
3299:
3252:
3195:
3171:
3128:
3057:
3019:
2971:
2947:
2891:
2890:{\displaystyle \geq i}
2868:
2804:
2758:
2724:
2680:
2541:
2515:
2484:
2437:
2348:
2274:
2225:
2171:
2142:
2101:
2057:
2024:
1957:
1929:
1900:
1899:{\displaystyle d(R)=d}
1862:
1821:
1791:
1771:
1714:
1525:
1498:
1407:
1380:
1318:
1263:
1237:
1203:
1175:
1142:
1113:, then their image in
1103:
1057:
993:
973:
918:
876:
840:
799:associated graded ring
787:
758:
734:
706:
678:
630:
549:
548:{\displaystyle \geq 2}
526:
479:
455:
426:
380:
317:
240:
208:
131:
107:
17522:
17467:
17306:
17260:
17233:. It is easy to show
17220:
17131:
17002:
16902:
16758:
16694:
16666:
16602:
16412:
16410:{\displaystyle I_{i}}
16385:
16254:
16202:
15976:
15945:
15870:
15818:
15753:
15653:
15580:
15525:
15463:
15414:
15348:
15252:Zariski tangent space
15250:the dimension of the
15245:
15159:
15012:
14952:
14891:
14889:{\displaystyle x_{i}}
14851:
14791:
14715:
14676:
14674:{\displaystyle x_{i}}
14625:
14514:
14410:
14273:
14160:
14112:
14017:
13952:
13867:
13841:
13770:
13683:
13637:
13563:
13526:
13436:
13401:
13378:
13309:
13196:
13082:
12976:right derived functor
12965:
12906:
12877:
12721:
12665:
12603:
12565:
12509:
12471:
12433:
12401:
12255:
12211:
12150:
12115:
12060:
12024:
11964:
11892:
11860:
11820:. On the other hand,
11807:
11773:
11741:
11690:. It remains to show
11685:
11615:
11577:
11386:
11384:{\displaystyle x_{1}}
11359:
11294:
11292:{\displaystyle x_{n}}
11263:
11107:
10975:
10951:
10886:
10788:
10747:
10630:
10545:
10503:
10479:
10425:
10395:
10353:
10313:
10275:
10240:
10202:
10133:
10131:{\displaystyle x_{i}}
10106:
10086:
10084:{\displaystyle x_{1}}
10051:
10031:
9969:
9823:
9738:
9708:
9679:
9638:
9588:
9564:
9532:
9493:
9467:
9424:
9379:
9362:semisimple local ring
9351:
9302:
9268:
9078:
9048:
9003:
9001:{\displaystyle R_{1}}
8972:
8970:{\displaystyle f_{1}}
8945:
8894:
8868:
8743:
8678:
8571:
8352:
8309:
8251:
8249:{\displaystyle f_{i}}
8224:
8151:
8047:is at most 1. Q.E.D.
8042:
7990:
7879:
7745:
7687:
7648:
7590:
7551:
7549:{\displaystyle R_{1}}
7524:
7483:
7441:
7353:a non-zerodivisor of
7344:
7286:
7262:
7198:
7016:
6903:
6877:
6783:(possibly infinite).
6778:
6688:
6609:
6530:
6324:
6262:
6233:
6204:
6170:
6141:
6092:
5935:
5892:
5827:
5798:
5750:
5725:
5440:
5301:
5261:
5241:Proof: First suppose
5202:
5017:
4977:be a prime ideal and
4972:
4937:be integral domains,
4932:
4886:
4833:
4809:
4720:
4574:
4503:
4463:
4434:
4410:
4357:
4314:
4285:
4238:
4164:
4062:
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3993:
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13600:) given by
11628:and so by (
11588:). Now, if
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9307:. We claim
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21:mathematics
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