1558:
1787:
1654:
1287:
281:
2187:
131:
2040:
1141:
2099:
1225:
1174:
1087:
775:
331:
184:
1887:
987:
442:
388:
642:
1054:
809:
522:
480:
1853:
1665:
867:
582:
943:
907:
1267:
1020:
685:
734:
1553:{\displaystyle {I^{n}(M/N) \over I^{n+1}(M/N)}\simeq {I^{n}M+N \over I^{n+1}M+N}\simeq {I^{n}M \over I^{n}M\cap (I^{n+1}M+N)}={I^{n}M \over I^{n}M\cap N+I^{n+1}M}}
1573:
549:
1930:
1812:
2288:. Cambridge Studies in Advanced Mathematics. Vol. 8. Translated from the Japanese by M. Reid (Second ed.). Cambridge: Cambridge University Press.
192:
2104:
48:
1980:
1860:
2331:
2293:
2266:
1943:
1092:
2048:
1197:
1146:
1059:
747:
303:
156:
1828:
1866:
1782:{\displaystyle \operatorname {in} (N)=\bigoplus _{n=0}^{\infty }{I^{n}M\cap N+I^{n+1}M \over I^{n+1}M},}
952:
393:
339:
587:
1025:
780:
1834:
818:
1959:
912:
876:
489:
447:
1246:
999:
651:
1649:{\displaystyle \operatorname {gr} _{I}(M/N)=\operatorname {gr} _{I}M/\operatorname {in} (N)}
713:
2357:
2341:
2303:
2276:
2198:
687:. Multiplication of inhomogeneous elements is defined by using the distributive property.
554:
8:
990:
334:
32:
1183:
A ring inherits some "good" properties from its associated graded ring. For example, if
531:
1895:
1797:
25:
2327:
2289:
2262:
690:
A ring or module may be related to its associated graded ring or module through the
2254:
1947:
1940:
1936:
276:{\displaystyle \operatorname {gr} _{I}M=\bigoplus _{n=0}^{\infty }I^{n}M/I^{n+1}M}
2337:
2323:
2299:
2272:
1890:
1228:
1188:
2182:{\displaystyle \operatorname {gr} _{F}R=\bigoplus _{n=0}^{\infty }I_{n}/I_{n+1}}
126:{\displaystyle \operatorname {gr} _{I}R=\bigoplus _{n=0}^{\infty }I^{n}/I^{n+1}}
2246:
2258:
2351:
2315:
2311:
1967:
1958:
The associated graded can also be defined more generally for multiplicative
2253:. Graduate Texts in Mathematics. Vol. 150. New York: Springer-Verlag.
2203:
645:
1564:
150:
39:
17:
1191:
994:
989:. The initial form map is only a map of sets and generally not a
2189:. Multiplication and the initial form map are defined as above.
2035:{\displaystyle R=I_{0}\supset I_{1}\supset I_{2}\supset \dotsb }
1953:
1794:
submodule generated by the initial forms of the elements of
1176:
generated by the only initial forms of the generators of
2107:
2101:. The graded ring associated with this filtration is
2051:
1983:
1898:
1869:
1837:
1800:
1668:
1576:
1290:
1249:
1200:
1149:
1095:
1062:
1028:
1002:
955:
915:
879:
821:
783:
750:
716:
654:
590:
557:
534:
492:
450:
396:
342:
306:
195:
159:
51:
287:
2181:
2093:
2034:
1924:
1881:
1847:
1806:
1781:
1648:
1552:
1261:
1219:
1168:
1135:
1081:
1048:
1014:
981:
937:
901:
861:
803:
769:
728:
679:
636:
576:
543:
516:
474:
436:
382:
325:
275:
178:
125:
2349:
1143:. This may not be the same as the submodule of
2310:
2234:
1974:be a descending chain of ideals of the form
1954:Generalization to multiplicative filtrations
1130:
1096:
1136:{\displaystyle \{\mathrm {in} (f)|f\in N\}}
1238:
2283:
2094:{\displaystyle I_{j}I_{k}\subset I_{j+k}}
1889:is a polynomial ring; in fact, it is the
2245:
2237:, Ch. VIII, a paragraph after Theorem 1.
2222:
1567:), there is a canonical identification:
1220:{\displaystyle \operatorname {gr} _{I}R}
1169:{\displaystyle \operatorname {gr} _{I}M}
1082:{\displaystyle \operatorname {gr} _{I}M}
770:{\displaystyle \operatorname {gr} _{I}M}
326:{\displaystyle \operatorname {gr} _{I}R}
179:{\displaystyle \operatorname {gr} _{I}R}
333:is defined as follows: First, consider
2350:
1882:{\displaystyle \operatorname {gr} U}
1935:The associated graded algebra of a
1908:
1840:
13:
2143:
1703:
1103:
1100:
1056:is defined to be the submodule of
1033:
1030:
982:{\displaystyle \mathrm {in} (f)=0}
960:
957:
788:
785:
437:{\displaystyle b\in I^{j}/I^{j+1}}
383:{\displaystyle a\in I^{i}/I^{i+1}}
231:
87:
14:
2369:
873:is the maximum integer such that
637:{\displaystyle I^{i+j}/I^{i+j+1}}
1939:is an exterior algebra; i.e., a
1859:; it is filtered by degree. The
1049:{\displaystyle \mathrm {in} (N)}
804:{\displaystyle \mathrm {in} (f)}
288:Basic definitions and properties
1848:{\displaystyle {\mathfrak {g}}}
862:{\displaystyle I^{m}M/I^{m+1}M}
551:to be the equivalence class of
2228:
2216:
1919:
1902:
1861:Poincaré–Birkhoff–Witt theorem
1681:
1675:
1643:
1637:
1604:
1590:
1479:
1451:
1353:
1339:
1318:
1304:
1235:is itself an integral domain.
1117:
1113:
1107:
1043:
1037:
970:
964:
811:, is the equivalence class of
798:
792:
1:
2209:
2320:Commutative algebra. Vol. II
2284:Matsumura, Hideyuki (1989).
1829:universal enveloping algebra
1269:be left modules over a ring
7:
2192:
1818:
938:{\displaystyle f\in I^{m}M}
902:{\displaystyle f\in I^{m}M}
517:{\displaystyle b'\in I^{j}}
475:{\displaystyle a'\in I^{i}}
10:
2374:
1262:{\displaystyle N\subset M}
1015:{\displaystyle N\subset M}
2259:10.1007/978-1-4612-5350-1
2235:Zariski & Samuel 1975
1563:(the last equality is by
680:{\displaystyle I^{i+j+1}}
31:with respect to a proper
147:associated graded module
2286:Commutative ring theory
1239:gr of a quotient module
524:is a representative of
482:is a representative of
2183:
2147:
2095:
2036:
1960:descending filtrations
1926:
1883:
1849:
1808:
1783:
1707:
1650:
1554:
1263:
1221:
1170:
1137:
1083:
1050:
1016:
983:
939:
903:
863:
805:
771:
730:
729:{\displaystyle f\in M}
681:
638:
578:
545:
518:
476:
438:
384:
327:
277:
235:
180:
127:
91:
22:associated graded ring
2184:
2127:
2096:
2037:
1927:
1884:
1850:
1809:
1784:
1687:
1651:
1555:
1264:
1222:
1171:
1138:
1084:
1051:
1017:
984:
940:
904:
864:
806:
772:
731:
682:
639:
579:
546:
519:
477:
439:
385:
328:
278:
215:
181:
128:
71:
2322:, Berlin, New York:
2199:Graded (mathematics)
2105:
2049:
1981:
1896:
1867:
1835:
1798:
1666:
1574:
1288:
1247:
1198:
1147:
1093:
1060:
1026:
1000:
953:
913:
877:
819:
781:
748:
714:
652:
644:. Note that this is
588:
577:{\displaystyle a'b'}
555:
532:
490:
448:
394:
340:
335:homogeneous elements
304:
300:, multiplication in
193:
157:
49:
2251:Commutative Algebra
2179:
2091:
2032:
1922:
1879:
1845:
1804:
1779:
1646:
1550:
1259:
1217:
1166:
1133:
1079:
1046:
1012:
979:
935:
899:
859:
801:
767:
726:
677:
634:
574:
544:{\displaystyle ab}
541:
514:
472:
434:
380:
323:
273:
176:
145:-module, then the
123:
2333:978-0-387-90171-8
1925:{\displaystyle k}
1831:of a Lie algebra
1807:{\displaystyle N}
1774:
1548:
1483:
1412:
1357:
2365:
2344:
2307:
2280:
2238:
2232:
2226:
2220:
2188:
2186:
2185:
2180:
2178:
2177:
2162:
2157:
2156:
2146:
2141:
2117:
2116:
2100:
2098:
2097:
2092:
2090:
2089:
2071:
2070:
2061:
2060:
2041:
2039:
2038:
2033:
2025:
2024:
2012:
2011:
1999:
1998:
1948:exterior algebra
1941:Clifford algebra
1937:Clifford algebra
1931:
1929:
1928:
1923:
1918:
1917:
1912:
1911:
1888:
1886:
1885:
1880:
1854:
1852:
1851:
1846:
1844:
1843:
1813:
1811:
1810:
1805:
1788:
1786:
1785:
1780:
1775:
1773:
1769:
1768:
1752:
1748:
1747:
1720:
1719:
1709:
1706:
1701:
1655:
1653:
1652:
1647:
1630:
1619:
1618:
1600:
1586:
1585:
1559:
1557:
1556:
1551:
1549:
1547:
1543:
1542:
1515:
1514:
1504:
1500:
1499:
1489:
1484:
1482:
1469:
1468:
1444:
1443:
1433:
1429:
1428:
1418:
1413:
1411:
1401:
1400:
1384:
1374:
1373:
1363:
1358:
1356:
1349:
1338:
1337:
1321:
1314:
1303:
1302:
1292:
1268:
1266:
1265:
1260:
1226:
1224:
1223:
1218:
1210:
1209:
1175:
1173:
1172:
1167:
1159:
1158:
1142:
1140:
1139:
1134:
1120:
1106:
1088:
1086:
1085:
1080:
1072:
1071:
1055:
1053:
1052:
1047:
1036:
1021:
1019:
1018:
1013:
988:
986:
985:
980:
963:
944:
942:
941:
936:
931:
930:
908:
906:
905:
900:
895:
894:
868:
866:
865:
860:
855:
854:
839:
831:
830:
810:
808:
807:
802:
791:
776:
774:
773:
768:
760:
759:
735:
733:
732:
727:
692:initial form map
686:
684:
683:
678:
676:
675:
643:
641:
640:
635:
633:
632:
611:
606:
605:
583:
581:
580:
575:
573:
565:
550:
548:
547:
542:
523:
521:
520:
515:
513:
512:
500:
481:
479:
478:
473:
471:
470:
458:
443:
441:
440:
435:
433:
432:
417:
412:
411:
389:
387:
386:
381:
379:
378:
363:
358:
357:
332:
330:
329:
324:
316:
315:
282:
280:
279:
274:
269:
268:
253:
245:
244:
234:
229:
205:
204:
185:
183:
182:
177:
169:
168:
132:
130:
129:
124:
122:
121:
106:
101:
100:
90:
85:
61:
60:
2373:
2372:
2368:
2367:
2366:
2364:
2363:
2362:
2348:
2347:
2334:
2324:Springer-Verlag
2296:
2269:
2247:Eisenbud, David
2242:
2241:
2233:
2229:
2225:, Corollary 5.5
2221:
2217:
2212:
2195:
2167:
2163:
2158:
2152:
2148:
2142:
2131:
2112:
2108:
2106:
2103:
2102:
2079:
2075:
2066:
2062:
2056:
2052:
2050:
2047:
2046:
2020:
2016:
2007:
2003:
1994:
1990:
1982:
1979:
1978:
1956:
1913:
1907:
1906:
1905:
1897:
1894:
1893:
1891:coordinate ring
1868:
1865:
1864:
1839:
1838:
1836:
1833:
1832:
1821:
1799:
1796:
1795:
1758:
1754:
1753:
1737:
1733:
1715:
1711:
1710:
1708:
1702:
1691:
1667:
1664:
1663:
1626:
1614:
1610:
1596:
1581:
1577:
1575:
1572:
1571:
1532:
1528:
1510:
1506:
1505:
1495:
1491:
1490:
1488:
1458:
1454:
1439:
1435:
1434:
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1419:
1417:
1390:
1386:
1385:
1369:
1365:
1364:
1362:
1345:
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1298:
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1293:
1291:
1289:
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