3598:
3446:
2468:
723:
4239:
438:. Conversely, one can show a bijective module homomorphism is an isomorphism; i.e., the inverse is a module homomorphism. In particular, a module homomorphism is an isomorphism if and only if it is an isomorphism between the underlying abelian groups.
3134:
3593:{\displaystyle \cdots {\overset {f_{3}}{\longrightarrow }}M_{2}{\overset {f_{2}}{\longrightarrow }}M_{1}{\overset {f_{1}}{\longrightarrow }}M_{0}{\overset {f_{0}}{\longrightarrow }}M_{-1}{\overset {f_{-1}}{\longrightarrow }}\cdots .}
3022:
1271:
4443:
2325:
847:
2146:
532:
3795:
417:
of module homomorphisms is again a module homomorphism, and the identity map on a module is a module homomorphism. Thus, all the (say left) modules together with all the module homomorphisms between them form the
3856:
3411:
2637:
1986:
4037:
2566:
1329:
2687:. The above procedure then gives the matrix representation with respect to such choices of the bases. For more general modules, matrix representations may either lack uniqueness or not exist.
627:
3268:
1386:
941:
2230:
1743:
1484:
1192:
396:
4159:
5068:
1095:
4979:
4684:
4511:
3657:
2904:
1831:
4626:
2293:
4347:
187:
4294:
4266:
2685:
1421:
888:
4723:
2501:
1001:
320:
241:
4873:
4540:
3974:
3169:
2862:
2015:
1860:
80:
3690:
4911:
4836:
2814:
2788:
2746:
4785:
4754:
3717:
1535:
1129:
5100:
3033:
4140:
4120:
4100:
4080:
4060:
3939:
3919:
3899:
3879:
1204:
2463:{\displaystyle \operatorname {Hom} _{R}(U^{\oplus n},U^{\oplus m}){\overset {f\mapsto }{\underset {\sim }{\to }}}M_{m,n}(\operatorname {End} _{R}(U))}
4378:
2912:
748:
2023:
467:
3730:
2650:
Note the above isomorphism is canonical; no choice is involved. On the other hand, if one is given a module homomorphism between finite-rank
3803:
3325:
2574:
1872:
3982:
2526:
718:{\displaystyle \operatorname {Hom} _{\mathbb {Z} }(\mathbb {Z} /n,\mathbb {Z} /m)=\mathbb {Z} /\operatorname {gcd} (n,m)}
1279:
5146:
5264:
5225:
5193:
4234:{\displaystyle 0\to A_{\mathfrak {m}}{\overset {f}{\to }}B_{\mathfrak {m}}{\overset {g}{\to }}C_{\mathfrak {m}}\to 0}
3199:
1340:
893:
2190:
1703:
1444:
1152:
538:. It is not only an abelian group but is also a ring with multiplication given by function composition, called the
356:
5134:
4998:
1335:
is viewed as a left module over itself. Textbooks or other references usually specify which convention is used.
1024:
4920:
4631:
4451:
3610:
1774:
4569:
2239:
1199:
4302:
2696:
124:
572:) must be either zero or an isomorphism. In particular, the endomorphism ring of a simple module is a
5220:, Cambridge Studies in Advanced Mathematics, vol. 8 (2nd ed.), Cambridge University Press,
4547:
4275:
4247:
944:
2307:
generalizes in a natural way to module homomorphisms between free modules. Precisely, given a right
4269:
2657:
1391:
858:
4696:
2476:
967:
272:
193:
4849:
4519:
2867:
5298:
4761:
28:
3947:
3142:
2835:
1994:
1839:
53:
5256:
3662:
2644:
2316:
615:
4886:
4815:
2793:
2767:
2725:
5274:
5235:
5203:
4876:
4770:
4739:
3719:. (If the numbers increase instead of decrease, then it is called a cochain complex; e.g.,
3695:
3129:{\displaystyle f\otimes g:M\otimes M'\to N\otimes N',\,x\otimes y\mapsto f(x)\otimes g(y).}
1629:
1571:
1513:
1107:
414:
32:
5076:
8:
3172:
1621:
733:
442:
419:
4125:
4105:
4085:
4065:
4045:
3924:
3904:
3884:
3864:
551:
251:
44:
1198:
is viewed as a right module over itself. Explicitly, this isomorphism is given by the
5260:
5248:
5221:
5189:
5151:
4792:
2761:
1641:
1266:{\displaystyle R{\overset {\sim }{\to }}\operatorname {End} _{R}(R),\,r\mapsto l_{r}}
539:
342:
5293:
5181:
4146:
2695:
In practice, one often defines a module homomorphism by specifying its values on a
561:
407:
334:
20:
254:(for the underlying additive groups) that commutes with scalar multiplication. If
5270:
5231:
5199:
4804:
4355:
3720:
580:
3724:
2304:
547:
2654:, then a choice of an ordered basis corresponds to a choice of an isomorphism
5287:
5156:
4795:(which can be defined for any endomorphism with some finiteness conditions.)
4438:{\displaystyle 0\to M\times _{B}N\to M\times N{\overset {\phi }{\to }}B\to 0}
4150:
3604:
3017:{\displaystyle f\oplus g:M\oplus M'\to N\oplus N',\,(x,y)\mapsto (f(x),g(y))}
573:
565:
399:
5137:
that arises from a spectral sequence is an example of an additive relation.
2643:
which turns out to be a ring isomorphism (as a composition corresponds to a
619:
584:
461:
453:
842:{\displaystyle \operatorname {Hom} _{R}(R/I,R/J)=\{r\in R|rI\subset J\}/J}
4756:
is killed by its characteristic polynomial relative to the generators of
2651:
2141:{\displaystyle (st\cdot f)(x)=f(xst)=(t\cdot f)(xs)=s\cdot (t\cdot f)(x)}
1487:
588:
527:{\displaystyle \operatorname {End} _{R}(M)=\operatorname {Hom} _{R}(M,M)}
3790:{\displaystyle \operatorname {im} (f_{i+1})=\operatorname {ker} (f_{i})}
3851:{\displaystyle 0\to A{\overset {f}{\to }}B{\overset {g}{\to }}C\to 0}
3406:{\displaystyle f^{*}:N^{*}\to M^{*},\,f^{*}(\alpha )=\alpha \circ f.}
3312:
569:
435:
601:
326:
402:(under pointwise addition) but is not necessarily a module unless
5161:
3797:. A special case of an exact sequence is a short exact sequence:
2303:
The relationship between matrices and linear transformations in
2712:
2152:
Note: the above verification would "fail" if one used the left
4688:
2632:{\displaystyle \operatorname {End} _{R}(R^{n})\simeq M_{n}(R)}
434:
if it admits an inverse homomorphism; in particular, it is a
4149:, a sequence is exact if and only if it is exact at all the
1981:{\displaystyle (s\cdot f)(rx)=f(rxs)=rf(xs)=r(s\cdot f)(x),}
4032:{\displaystyle 0\to K\to M{\overset {f}{\to }}N\to C\to 0,}
3607:(or often just complex) if each composition is zero; i.e.,
2160:-action. In this sense, Hom is often said to "use up" the
1427:. (The module structure on Hom here comes from the right
3420:
is an isomorphism, then the transpose of the inverse of
4349:
are module homomorphisms, then they are said to form a
5079:
5001:
4923:
4889:
4852:
4818:
4773:
4742:
4699:
4634:
4572:
4522:
4454:
4381:
4305:
4278:
4250:
4162:
4128:
4108:
4088:
4068:
4048:
3985:
3950:
3927:
3907:
3887:
3867:
3806:
3733:
3698:
3665:
3613:
3449:
3328:
3202:
3145:
3036:
2915:
2870:
2838:
2796:
2770:
2728:
2660:
2577:
2529:
2479:
2328:
2242:
2193:
2026:
1997:
1875:
1842:
1777:
1706:
1516:
1447:
1394:
1343:
1282:
1207:
1155:
1110:
1027:
970:
896:
861:
751:
630:
470:
359:
275:
266:-modules, then the second condition is replaced with
196:
127:
56:
35:
that preserves the module structures. Explicitly, if
5255:, Classics in Mathematics, Springer-Verlag, p.
3171:be a module homomorphism between left modules. The
2906:are module homomorphisms, then their direct sum is
2561:{\displaystyle \operatorname {End} _{R}(R)\simeq R}
5094:
5062:
4973:
4905:
4867:
4830:
4779:
4748:
4717:
4678:
4620:
4534:
4505:
4437:
4341:
4288:
4260:
4233:
4134:
4114:
4094:
4074:
4054:
4031:
3968:
3933:
3913:
3893:
3873:
3850:
3789:
3711:
3684:
3651:
3592:
3405:
3262:
3163:
3128:
3016:
2898:
2856:
2808:
2782:
2740:
2679:
2631:
2560:
2495:
2462:
2287:
2224:
2140:
2009:
1980:
1854:
1825:
1737:
1657:In short, Hom inherits a ring action that was not
1529:
1478:
1415:
1380:
1324:{\displaystyle \operatorname {End} _{R}(R)=R^{op}}
1323:
1265:
1186:
1123:
1089:
995:
935:
882:
841:
717:
526:
390:
314:
235:
181:
74:
5285:
3263:{\displaystyle \Gamma _{f}=\{(x,f(x))|x\in M\}}
1381:{\displaystyle \operatorname {Hom} _{R}(R,M)=M}
936:{\displaystyle \operatorname {Hom} _{R}(R/I,R)}
4985:determines a homomorphism from a submodule of
4798:
4725:be an endomorphism between finitely generated
3274:which is the image of the module homomorphism
2503:consisting of column vectors and then writing
2225:{\displaystyle \operatorname {Hom} _{R}(M,N)}
1738:{\displaystyle \operatorname {Hom} _{R}(M,N)}
1479:{\displaystyle \operatorname {Hom} _{R}(M,R)}
1436:
1187:{\displaystyle \operatorname {End} _{R}(R)=R}
583:, an injective homomorphism is also called a
534:for the set of all endomorphisms of a module
391:{\displaystyle \operatorname {Hom} _{R}(M,N)}
5188:, Elements of Mathematics, Springer-Verlag,
5057:
5025:
4968:
4924:
4879:" homomorphism defined on some submodule of
3440:Consider a sequence of module homomorphisms
3257:
3216:
828:
799:
5216:Matsumura, Hideyuki (1989), "Theorem 2.4",
4689:Endomorphisms of finitely generated modules
1652:
5063:{\displaystyle D(f)\to N/\{y|(0,y)\in f\}}
2298:
1502:with the module structure coming from the
5215:
4102:is the cokernel, that is the quotient of
3368:
3083:
2962:
1246:
685:
666:
650:
637:
5247:
5209:
5180:
743:, there is the canonical identification
5184:(1998), "Chapter II, ยง1.14, remark 2",
5174:
1494:; it is a left (resp. right) module if
1090:{\displaystyle l_{r}(st)=rst=l_{r}(s)t}
5286:
5241:
2764:). Then to give a module homomorphism
4974:{\displaystyle \{(y,x)|(x,y)\in f\}}
4787:is surjective, then it is injective.
4679:{\displaystyle B=A\times _{A/I}B/I.}
4506:{\displaystyle \phi (x,y)=f(x)-g(x)}
3652:{\displaystyle f_{i}\circ f_{i+1}=0}
1826:{\displaystyle (s\cdot f)(x)=f(xs).}
1498:is a right (resp. left) module over
448:A module homomorphism from a module
4621:{\displaystyle A\to A/I,B/I\to A/I}
4281:
4253:
4219:
4197:
4175:
2288:{\displaystyle (f\cdot s)(x)=f(x)s}
13:
5147:Mapping cone (homological algebra)
3435:
3204:
1003:denote the left multiplication by
430:A module homomorphism is called a
14:
5310:
4342:{\displaystyle f:M\to B,g:N\to B}
2790:is to give a module homomorphism
587:and a surjective homomorphism an
564:says that a homomorphism between
345:of all module homomorphisms from
182:{\displaystyle f(x+y)=f(x)+f(y),}
4729:-modules for a commutative ring
3723:.) A chain complex is called an
611:that maps every element to zero.
4289:{\displaystyle {\mathfrak {m}}}
4261:{\displaystyle {\mathfrak {m}}}
4244:are exact, where the subscript
2515:matrix. In particular, viewing
1661:to form Hom. More precise, let
445:hold for module homomorphisms.
5089:
5083:
5048:
5036:
5032:
5014:
5011:
5005:
4959:
4947:
4943:
4939:
4927:
4822:
4709:
4604:
4576:
4542:be commutative rings, and let
4500:
4494:
4485:
4479:
4470:
4458:
4429:
4418:
4404:
4385:
4333:
4315:
4225:
4205:
4183:
4166:
4145:In the case of modules over a
4020:
4014:
4003:
3995:
3989:
3960:
3842:
3831:
3818:
3810:
3784:
3771:
3759:
3740:
3692:is contained in the kernel of
3566:
3536:
3509:
3482:
3455:
3385:
3379:
3352:
3244:
3240:
3237:
3231:
3219:
3155:
3120:
3114:
3105:
3099:
3093:
3063:
3011:
3008:
3002:
2993:
2987:
2981:
2978:
2975:
2963:
2942:
2885:
2848:
2800:
2774:
2732:
2722:; i.e., there is a surjection
2626:
2620:
2604:
2591:
2549:
2543:
2457:
2454:
2448:
2432:
2410:
2394:
2391:
2380:
2374:
2342:
2279:
2273:
2264:
2258:
2255:
2243:
2219:
2207:
2156:-action in place of the right
2135:
2129:
2126:
2114:
2102:
2093:
2090:
2078:
2072:
2060:
2051:
2045:
2042:
2027:
1972:
1966:
1963:
1951:
1942:
1933:
1921:
1909:
1900:
1891:
1888:
1876:
1817:
1808:
1799:
1793:
1790:
1778:
1732:
1720:
1473:
1461:
1410:
1404:
1398:
1369:
1357:
1302:
1296:
1250:
1240:
1234:
1213:
1175:
1169:
1081:
1075:
1047:
1038:
987:
930:
910:
877:
871:
865:
812:
793:
765:
712:
700:
678:
646:
521:
509:
490:
484:
425:
385:
373:
303:
297:
288:
279:
227:
221:
209:
200:
173:
167:
158:
152:
143:
131:
66:
1:
3659:or equivalently the image of
2827:
2680:{\displaystyle F\simeq R^{n}}
1677:has a right action of a ring
1416:{\displaystyle f\mapsto f(1)}
883:{\displaystyle f\mapsto f(1)}
568:(modules with no non-trivial
4718:{\displaystyle \phi :M\to M}
3881:is injective, the kernel of
3603:Such a sequence is called a
3027:and their tensor product is
2496:{\displaystyle U^{\oplus n}}
1748:has the structure of a left
1550:of commutative rings and an
996:{\displaystyle l_{r}:R\to R}
315:{\displaystyle f(xr)=f(x)r.}
236:{\displaystyle f(rx)=rf(x).}
7:
5140:
4799:Variant: additive relations
2690:
1200:left regular representation
594:
10:
5315:
4868:{\displaystyle M\oplus N.}
4802:
4535:{\displaystyle B\subset A}
3976:defines an exact sequence
2899:{\displaystyle g:M'\to N'}
1836:It is well-defined (i.e.,
1542:Given a ring homomorphism
329:of the zero element under
5102:consists of all elements
4875:In other words, it is a "
4628:form a fiber square with
4153:; that is all sequences
1437:#Module structures on Hom
5167:
4981:. Any additive relation
3969:{\displaystyle f:M\to N}
3944:Any module homomorphism
3164:{\displaystyle f:M\to N}
2857:{\displaystyle f:M\to N}
2752:with a basis indexed by
2010:{\displaystyle s\cdot f}
1855:{\displaystyle s\cdot f}
1752:-module defined by: for
1653:Module structures on Hom
456:and an isomorphism from
75:{\displaystyle f:M\to N}
43:are left modules over a
5218:Commutative Ring Theory
5186:Algebra I, Chapters 1โ3
4566:). Then canonical maps
3685:{\displaystyle f_{i+1}}
2299:A matrix representation
2017:is a ring action since
1681:that commutes with the
728:For a commutative ring
579:In the language of the
452:to itself is called an
5096:
5064:
4975:
4907:
4906:{\displaystyle f^{-1}}
4869:
4832:
4831:{\displaystyle M\to N}
4781:
4762:Nakayama's lemma#Proof
4750:
4719:
4680:
4622:
4562:(which is an ideal of
4536:
4507:
4439:
4343:
4290:
4262:
4235:
4136:
4116:
4096:
4076:
4056:
4033:
3970:
3935:
3915:
3895:
3875:
3852:
3791:
3713:
3686:
3653:
3594:
3407:
3264:
3165:
3130:
3018:
2900:
2858:
2810:
2809:{\displaystyle F\to N}
2784:
2783:{\displaystyle M\to N}
2742:
2741:{\displaystyle F\to M}
2699:. More precisely, let
2681:
2633:
2562:
2497:
2464:
2319:of the abelian groups
2289:
2226:
2142:
2011:
1982:
1856:
1827:
1739:
1531:
1480:
1417:
1382:
1325:
1267:
1188:
1125:
1091:
997:
937:
884:
843:
719:
528:
392:
316:
237:
183:
76:
16:Linear map over a ring
5097:
5065:
4976:
4908:
4870:
4833:
4782:
4780:{\displaystyle \phi }
4751:
4749:{\displaystyle \phi }
4720:
4681:
4623:
4537:
4508:
4440:
4344:
4291:
4263:
4236:
4137:
4117:
4097:
4077:
4057:
4034:
3971:
3936:
3916:
3896:
3876:
3853:
3792:
3714:
3712:{\displaystyle f_{i}}
3687:
3654:
3595:
3408:
3265:
3166:
3131:
3019:
2901:
2859:
2811:
2785:
2743:
2682:
2645:matrix multiplication
2634:
2563:
2498:
2465:
2317:canonical isomorphism
2290:
2227:
2143:
2012:
1983:
1857:
1828:
1740:
1648:-module homomorphism.
1532:
1530:{\displaystyle M^{*}}
1481:
1418:
1383:
1326:
1268:
1189:
1126:
1124:{\displaystyle l_{r}}
1092:
998:
938:
885:
844:
720:
616:linear transformation
529:
393:
317:
238:
184:
77:
5095:{\displaystyle D(f)}
5077:
4999:
4921:
4887:
4850:
4816:
4771:
4740:
4697:
4632:
4570:
4520:
4452:
4379:
4303:
4276:
4248:
4160:
4126:
4106:
4086:
4066:
4046:
3983:
3948:
3925:
3905:
3885:
3865:
3804:
3731:
3696:
3663:
3611:
3447:
3326:
3200:
3185:is the submodule of
3143:
3034:
2913:
2868:
2836:
2794:
2768:
2726:
2711:-modules. Suppose a
2658:
2575:
2527:
2477:
2473:obtained by viewing
2326:
2240:
2191:
2024:
1995:
1873:
1840:
1775:
1704:
1630:algebra homomorphism
1622:associative algebras
1514:
1445:
1423:for any left module
1392:
1341:
1280:
1205:
1153:
1108:
1025:
968:
894:
859:
749:
628:
550:of this ring is the
468:
443:isomorphism theorems
357:
273:
194:
125:
54:
4272:at a maximal ideal
2748:with a free module
1510:. It is denoted by
420:category of modules
88:module homomorphism
25:module homomorphism
5249:Mac Lane, Saunders
5092:
5060:
4971:
4903:
4865:
4846:is a submodule of
4828:
4777:
4746:
4715:
4676:
4618:
4532:
4503:
4435:
4372:, if it fits into
4339:
4286:
4258:
4231:
4132:
4112:
4092:
4072:
4052:
4029:
3966:
3931:
3911:
3891:
3871:
3848:
3787:
3709:
3682:
3649:
3590:
3403:
3260:
3161:
3126:
3014:
2896:
2854:
2806:
2780:
2738:
2677:
2629:
2558:
2523:-module and using
2493:
2460:
2386:
2285:
2222:
2138:
2007:
1978:
1852:
1823:
1735:
1673:-modules. Suppose
1527:
1476:
1413:
1378:
1321:
1263:
1184:
1121:
1087:
993:
933:
880:
839:
715:
552:automorphism group
524:
432:module isomorphism
388:
312:
252:group homomorphism
233:
179:
72:
50:, then a function
5182:Bourbaki, Nicolas
5152:Smith normal form
4989:to a quotient of
4917:is the submodule
4811:additive relation
4793:Herbrand quotient
4424:
4211:
4189:
4135:{\displaystyle f}
4115:{\displaystyle N}
4095:{\displaystyle C}
4075:{\displaystyle f}
4062:is the kernel of
4055:{\displaystyle K}
4009:
3934:{\displaystyle g}
3914:{\displaystyle f}
3894:{\displaystyle g}
3874:{\displaystyle f}
3837:
3824:
3582:
3549:
3522:
3495:
3468:
2762:free presentation
2760:(i.e., one has a
2414:
2379:
1642:ring homomorphism
1219:
890:. In particular,
540:endomorphism ring
5306:
5278:
5277:
5245:
5239:
5238:
5213:
5207:
5206:
5178:
5101:
5099:
5098:
5093:
5069:
5067:
5066:
5061:
5035:
5024:
4980:
4978:
4977:
4972:
4946:
4912:
4910:
4909:
4904:
4902:
4901:
4874:
4872:
4871:
4866:
4837:
4835:
4834:
4829:
4786:
4784:
4783:
4778:
4755:
4753:
4752:
4747:
4724:
4722:
4721:
4716:
4685:
4683:
4682:
4677:
4669:
4661:
4660:
4656:
4627:
4625:
4624:
4619:
4614:
4600:
4586:
4550:of the quotient
4541:
4539:
4538:
4533:
4512:
4510:
4509:
4504:
4444:
4442:
4441:
4436:
4425:
4417:
4400:
4399:
4348:
4346:
4345:
4340:
4295:
4293:
4292:
4287:
4285:
4284:
4267:
4265:
4264:
4259:
4257:
4256:
4240:
4238:
4237:
4232:
4224:
4223:
4222:
4212:
4204:
4202:
4201:
4200:
4190:
4182:
4180:
4179:
4178:
4147:commutative ring
4141:
4139:
4138:
4133:
4122:by the image of
4121:
4119:
4118:
4113:
4101:
4099:
4098:
4093:
4081:
4079:
4078:
4073:
4061:
4059:
4058:
4053:
4038:
4036:
4035:
4030:
4010:
4002:
3975:
3973:
3972:
3967:
3940:
3938:
3937:
3932:
3920:
3918:
3917:
3912:
3901:is the image of
3900:
3898:
3897:
3892:
3880:
3878:
3877:
3872:
3857:
3855:
3854:
3849:
3838:
3830:
3825:
3817:
3796:
3794:
3793:
3788:
3783:
3782:
3758:
3757:
3718:
3716:
3715:
3710:
3708:
3707:
3691:
3689:
3688:
3683:
3681:
3680:
3658:
3656:
3655:
3650:
3642:
3641:
3623:
3622:
3599:
3597:
3596:
3591:
3583:
3581:
3580:
3565:
3563:
3562:
3550:
3548:
3547:
3535:
3533:
3532:
3523:
3521:
3520:
3508:
3506:
3505:
3496:
3494:
3493:
3481:
3479:
3478:
3469:
3467:
3466:
3454:
3412:
3410:
3409:
3404:
3378:
3377:
3364:
3363:
3351:
3350:
3338:
3337:
3308:
3269:
3267:
3266:
3261:
3247:
3212:
3211:
3170:
3168:
3167:
3162:
3135:
3133:
3132:
3127:
3079:
3062:
3023:
3021:
3020:
3015:
2958:
2941:
2905:
2903:
2902:
2897:
2895:
2884:
2863:
2861:
2860:
2855:
2815:
2813:
2812:
2807:
2789:
2787:
2786:
2781:
2747:
2745:
2744:
2739:
2686:
2684:
2683:
2678:
2676:
2675:
2638:
2636:
2635:
2630:
2619:
2618:
2603:
2602:
2587:
2586:
2567:
2565:
2564:
2559:
2539:
2538:
2502:
2500:
2499:
2494:
2492:
2491:
2469:
2467:
2466:
2461:
2444:
2443:
2431:
2430:
2415:
2413:
2409:
2408:
2378:
2373:
2372:
2357:
2356:
2338:
2337:
2294:
2292:
2291:
2286:
2231:
2229:
2228:
2223:
2203:
2202:
2147:
2145:
2144:
2139:
2016:
2014:
2013:
2008:
1987:
1985:
1984:
1979:
1861:
1859:
1858:
1853:
1832:
1830:
1829:
1824:
1744:
1742:
1741:
1736:
1716:
1715:
1644:that is also an
1608:
1536:
1534:
1533:
1528:
1526:
1525:
1485:
1483:
1482:
1477:
1457:
1456:
1422:
1420:
1419:
1414:
1387:
1385:
1384:
1379:
1353:
1352:
1330:
1328:
1327:
1322:
1320:
1319:
1292:
1291:
1272:
1270:
1269:
1264:
1262:
1261:
1230:
1229:
1220:
1212:
1193:
1191:
1190:
1185:
1165:
1164:
1130:
1128:
1127:
1122:
1120:
1119:
1096:
1094:
1093:
1088:
1074:
1073:
1037:
1036:
1002:
1000:
999:
994:
980:
979:
942:
940:
939:
934:
920:
906:
905:
889:
887:
886:
881:
848:
846:
845:
840:
835:
815:
789:
775:
761:
760:
724:
722:
721:
716:
693:
688:
674:
669:
658:
653:
642:
641:
640:
533:
531:
530:
525:
505:
504:
480:
479:
397:
395:
394:
389:
369:
368:
321:
319:
318:
313:
246:In other words,
242:
240:
239:
234:
188:
186:
185:
180:
81:
79:
78:
73:
5314:
5313:
5309:
5308:
5307:
5305:
5304:
5303:
5284:
5283:
5282:
5281:
5267:
5246:
5242:
5228:
5214:
5210:
5196:
5179:
5175:
5170:
5143:
5078:
5075:
5074:
5031:
5020:
5000:
4997:
4996:
4942:
4922:
4919:
4918:
4894:
4890:
4888:
4885:
4884:
4851:
4848:
4847:
4817:
4814:
4813:
4807:
4805:binary relation
4801:
4772:
4769:
4768:
4741:
4738:
4737:
4698:
4695:
4694:
4691:
4665:
4652:
4648:
4644:
4633:
4630:
4629:
4610:
4596:
4582:
4571:
4568:
4567:
4521:
4518:
4517:
4453:
4450:
4449:
4416:
4395:
4391:
4380:
4377:
4376:
4368:
4356:pullback square
4304:
4301:
4300:
4280:
4279:
4277:
4274:
4273:
4252:
4251:
4249:
4246:
4245:
4218:
4217:
4213:
4203:
4196:
4195:
4191:
4181:
4174:
4173:
4169:
4161:
4158:
4157:
4127:
4124:
4123:
4107:
4104:
4103:
4087:
4084:
4083:
4067:
4064:
4063:
4047:
4044:
4043:
4001:
3984:
3981:
3980:
3949:
3946:
3945:
3941:is surjective.
3926:
3923:
3922:
3906:
3903:
3902:
3886:
3883:
3882:
3866:
3863:
3862:
3829:
3816:
3805:
3802:
3801:
3778:
3774:
3747:
3743:
3732:
3729:
3728:
3721:de Rham complex
3703:
3699:
3697:
3694:
3693:
3670:
3666:
3664:
3661:
3660:
3631:
3627:
3618:
3614:
3612:
3609:
3608:
3573:
3569:
3564:
3555:
3551:
3543:
3539:
3534:
3528:
3524:
3516:
3512:
3507:
3501:
3497:
3489:
3485:
3480:
3474:
3470:
3462:
3458:
3453:
3448:
3445:
3444:
3438:
3436:Exact sequences
3373:
3369:
3359:
3355:
3346:
3342:
3333:
3329:
3327:
3324:
3323:
3303:)), called the
3275:
3243:
3207:
3203:
3201:
3198:
3197:
3180:
3144:
3141:
3140:
3072:
3055:
3035:
3032:
3031:
2951:
2934:
2914:
2911:
2910:
2888:
2877:
2869:
2866:
2865:
2837:
2834:
2833:
2830:
2795:
2792:
2791:
2769:
2766:
2765:
2727:
2724:
2723:
2693:
2671:
2667:
2659:
2656:
2655:
2614:
2610:
2598:
2594:
2582:
2578:
2576:
2573:
2572:
2534:
2530:
2528:
2525:
2524:
2484:
2480:
2478:
2475:
2474:
2439:
2435:
2420:
2416:
2401:
2397:
2387:
2377:
2365:
2361:
2349:
2345:
2333:
2329:
2327:
2324:
2323:
2315:, there is the
2301:
2241:
2238:
2237:
2198:
2194:
2192:
2189:
2188:
2187:)-module, then
2025:
2022:
2021:
1996:
1993:
1992:
1874:
1871:
1870:
1866:-linear) since
1841:
1838:
1837:
1776:
1773:
1772:
1711:
1707:
1705:
1702:
1701:
1697:)-module. Then
1685:-action; i.e.,
1655:
1587:
1562:-linear map ฮธ:
1521:
1517:
1515:
1512:
1511:
1452:
1448:
1446:
1443:
1442:
1393:
1390:
1389:
1348:
1344:
1342:
1339:
1338:
1312:
1308:
1287:
1283:
1281:
1278:
1277:
1257:
1253:
1225:
1221:
1211:
1206:
1203:
1202:
1160:
1156:
1154:
1151:
1150:
1115:
1111:
1109:
1106:
1105:
1069:
1065:
1032:
1028:
1026:
1023:
1022:
1007:. Then for any
975:
971:
969:
966:
965:
960:and an element
916:
901:
897:
895:
892:
891:
860:
857:
856:
831:
811:
785:
771:
756:
752:
750:
747:
746:
689:
684:
670:
665:
654:
649:
636:
635:
631:
629:
626:
625:
597:
581:category theory
500:
496:
475:
471:
469:
466:
465:
428:
364:
360:
358:
355:
354:
274:
271:
270:
195:
192:
191:
126:
123:
122:
55:
52:
51:
17:
12:
11:
5:
5312:
5302:
5301:
5296:
5280:
5279:
5265:
5240:
5226:
5208:
5194:
5172:
5171:
5169:
5166:
5165:
5164:
5159:
5154:
5149:
5142:
5139:
5091:
5088:
5085:
5082:
5071:
5070:
5059:
5056:
5053:
5050:
5047:
5044:
5041:
5038:
5034:
5030:
5027:
5023:
5019:
5016:
5013:
5010:
5007:
5004:
4970:
4967:
4964:
4961:
4958:
4955:
4952:
4949:
4945:
4941:
4938:
4935:
4932:
4929:
4926:
4900:
4897:
4893:
4883:. The inverse
4864:
4861:
4858:
4855:
4838:from a module
4827:
4824:
4821:
4800:
4797:
4789:
4788:
4776:
4765:
4745:
4714:
4711:
4708:
4705:
4702:
4690:
4687:
4675:
4672:
4668:
4664:
4659:
4655:
4651:
4647:
4643:
4640:
4637:
4617:
4613:
4609:
4606:
4603:
4599:
4595:
4592:
4589:
4585:
4581:
4578:
4575:
4531:
4528:
4525:
4502:
4499:
4496:
4493:
4490:
4487:
4484:
4481:
4478:
4475:
4472:
4469:
4466:
4463:
4460:
4457:
4446:
4445:
4434:
4431:
4428:
4423:
4420:
4415:
4412:
4409:
4406:
4403:
4398:
4394:
4390:
4387:
4384:
4364:
4359:), denoted by
4338:
4335:
4332:
4329:
4326:
4323:
4320:
4317:
4314:
4311:
4308:
4283:
4255:
4242:
4241:
4230:
4227:
4221:
4216:
4210:
4207:
4199:
4194:
4188:
4185:
4177:
4172:
4168:
4165:
4151:maximal ideals
4131:
4111:
4091:
4071:
4051:
4040:
4039:
4028:
4025:
4022:
4019:
4016:
4013:
4008:
4005:
4000:
3997:
3994:
3991:
3988:
3965:
3962:
3959:
3956:
3953:
3930:
3910:
3890:
3870:
3859:
3858:
3847:
3844:
3841:
3836:
3833:
3828:
3823:
3820:
3815:
3812:
3809:
3786:
3781:
3777:
3773:
3770:
3767:
3764:
3761:
3756:
3753:
3750:
3746:
3742:
3739:
3736:
3725:exact sequence
3706:
3702:
3679:
3676:
3673:
3669:
3648:
3645:
3640:
3637:
3634:
3630:
3626:
3621:
3617:
3601:
3600:
3589:
3586:
3579:
3576:
3572:
3568:
3561:
3558:
3554:
3546:
3542:
3538:
3531:
3527:
3519:
3515:
3511:
3504:
3500:
3492:
3488:
3484:
3477:
3473:
3465:
3461:
3457:
3452:
3437:
3434:
3426:contragredient
3424:is called the
3414:
3413:
3402:
3399:
3396:
3393:
3390:
3387:
3384:
3381:
3376:
3372:
3367:
3362:
3358:
3354:
3349:
3345:
3341:
3336:
3332:
3305:graph morphism
3272:
3271:
3259:
3256:
3253:
3250:
3246:
3242:
3239:
3236:
3233:
3230:
3227:
3224:
3221:
3218:
3215:
3210:
3206:
3176:
3160:
3157:
3154:
3151:
3148:
3137:
3136:
3125:
3122:
3119:
3116:
3113:
3110:
3107:
3104:
3101:
3098:
3095:
3092:
3089:
3086:
3082:
3078:
3075:
3071:
3068:
3065:
3061:
3058:
3054:
3051:
3048:
3045:
3042:
3039:
3025:
3024:
3013:
3010:
3007:
3004:
3001:
2998:
2995:
2992:
2989:
2986:
2983:
2980:
2977:
2974:
2971:
2968:
2965:
2961:
2957:
2954:
2950:
2947:
2944:
2940:
2937:
2933:
2930:
2927:
2924:
2921:
2918:
2894:
2891:
2887:
2883:
2880:
2876:
2873:
2853:
2850:
2847:
2844:
2841:
2829:
2826:
2805:
2802:
2799:
2779:
2776:
2773:
2737:
2734:
2731:
2697:generating set
2692:
2689:
2674:
2670:
2666:
2663:
2641:
2640:
2628:
2625:
2622:
2617:
2613:
2609:
2606:
2601:
2597:
2593:
2590:
2585:
2581:
2557:
2554:
2551:
2548:
2545:
2542:
2537:
2533:
2490:
2487:
2483:
2471:
2470:
2459:
2456:
2453:
2450:
2447:
2442:
2438:
2434:
2429:
2426:
2423:
2419:
2412:
2407:
2404:
2400:
2396:
2393:
2390:
2385:
2382:
2376:
2371:
2368:
2364:
2360:
2355:
2352:
2348:
2344:
2341:
2336:
2332:
2305:linear algebra
2300:
2297:
2284:
2281:
2278:
2275:
2272:
2269:
2266:
2263:
2260:
2257:
2254:
2251:
2248:
2245:
2221:
2218:
2215:
2212:
2209:
2206:
2201:
2197:
2167:Similarly, if
2150:
2149:
2137:
2134:
2131:
2128:
2125:
2122:
2119:
2116:
2113:
2110:
2107:
2104:
2101:
2098:
2095:
2092:
2089:
2086:
2083:
2080:
2077:
2074:
2071:
2068:
2065:
2062:
2059:
2056:
2053:
2050:
2047:
2044:
2041:
2038:
2035:
2032:
2029:
2006:
2003:
2000:
1989:
1988:
1977:
1974:
1971:
1968:
1965:
1962:
1959:
1956:
1953:
1950:
1947:
1944:
1941:
1938:
1935:
1932:
1929:
1926:
1923:
1920:
1917:
1914:
1911:
1908:
1905:
1902:
1899:
1896:
1893:
1890:
1887:
1884:
1881:
1878:
1851:
1848:
1845:
1834:
1833:
1822:
1819:
1816:
1813:
1810:
1807:
1804:
1801:
1798:
1795:
1792:
1789:
1786:
1783:
1780:
1746:
1745:
1734:
1731:
1728:
1725:
1722:
1719:
1714:
1710:
1654:
1651:
1650:
1649:
1610:
1540:
1539:
1538:
1524:
1520:
1486:is called the
1475:
1472:
1469:
1466:
1463:
1460:
1455:
1451:
1440:
1412:
1409:
1406:
1403:
1400:
1397:
1377:
1374:
1371:
1368:
1365:
1362:
1359:
1356:
1351:
1347:
1336:
1331:as rings when
1318:
1315:
1311:
1307:
1304:
1301:
1298:
1295:
1290:
1286:
1274:
1260:
1256:
1252:
1249:
1245:
1242:
1239:
1236:
1233:
1228:
1224:
1218:
1215:
1210:
1194:as rings when
1183:
1180:
1177:
1174:
1171:
1168:
1163:
1159:
1140:
1139:
1118:
1114:
1101:
1100:
1099:
1098:
1086:
1083:
1080:
1077:
1072:
1068:
1064:
1061:
1058:
1055:
1052:
1049:
1046:
1043:
1040:
1035:
1031:
992:
989:
986:
983:
978:
974:
953:
952:
932:
929:
926:
923:
919:
915:
912:
909:
904:
900:
879:
876:
873:
870:
867:
864:
852:
851:
850:
849:
838:
834:
830:
827:
824:
821:
818:
814:
810:
807:
804:
801:
798:
795:
792:
788:
784:
781:
778:
774:
770:
767:
764:
759:
755:
726:
714:
711:
708:
705:
702:
699:
696:
692:
687:
683:
680:
677:
673:
668:
664:
661:
657:
652:
648:
645:
639:
634:
623:
612:
596:
593:
566:simple modules
548:group of units
523:
520:
517:
514:
511:
508:
503:
499:
495:
492:
489:
486:
483:
478:
474:
427:
424:
387:
384:
381:
378:
375:
372:
367:
363:
353:is denoted by
333:is called the
323:
322:
311:
308:
305:
302:
299:
296:
293:
290:
287:
284:
281:
278:
244:
243:
232:
229:
226:
223:
220:
217:
214:
211:
208:
205:
202:
199:
189:
178:
175:
172:
169:
166:
163:
160:
157:
154:
151:
148:
145:
142:
139:
136:
133:
130:
71:
68:
65:
62:
59:
15:
9:
6:
4:
3:
2:
5311:
5300:
5299:Module theory
5297:
5295:
5292:
5291:
5289:
5276:
5272:
5268:
5266:3-540-58662-8
5262:
5258:
5254:
5250:
5244:
5237:
5233:
5229:
5227:0-521-36764-6
5223:
5219:
5212:
5205:
5201:
5197:
5195:3-540-64243-9
5191:
5187:
5183:
5177:
5173:
5163:
5160:
5158:
5157:Chain complex
5155:
5153:
5150:
5148:
5145:
5144:
5138:
5136:
5135:transgression
5131:
5129:
5125:
5121:
5118:) belongs to
5117:
5113:
5109:
5105:
5086:
5080:
5054:
5051:
5045:
5042:
5039:
5028:
5021:
5017:
5008:
5002:
4995:
4994:
4993:
4992:
4988:
4984:
4965:
4962:
4956:
4953:
4950:
4936:
4933:
4930:
4916:
4898:
4895:
4891:
4882:
4878:
4862:
4859:
4856:
4853:
4845:
4841:
4825:
4819:
4812:
4806:
4796:
4794:
4774:
4766:
4763:
4759:
4743:
4736:
4735:
4734:
4732:
4728:
4712:
4706:
4703:
4700:
4686:
4673:
4670:
4666:
4662:
4657:
4653:
4649:
4645:
4641:
4638:
4635:
4615:
4611:
4607:
4601:
4597:
4593:
4590:
4587:
4583:
4579:
4573:
4565:
4561:
4557:
4553:
4549:
4545:
4529:
4526:
4523:
4516:Example: Let
4514:
4497:
4491:
4488:
4482:
4476:
4473:
4467:
4464:
4461:
4455:
4432:
4426:
4421:
4413:
4410:
4407:
4401:
4396:
4392:
4388:
4382:
4375:
4374:
4373:
4371:
4367:
4362:
4358:
4357:
4352:
4336:
4330:
4327:
4324:
4321:
4318:
4312:
4309:
4306:
4297:
4271:
4228:
4214:
4208:
4192:
4186:
4170:
4163:
4156:
4155:
4154:
4152:
4148:
4143:
4129:
4109:
4089:
4069:
4049:
4026:
4023:
4017:
4011:
4006:
3998:
3992:
3986:
3979:
3978:
3977:
3963:
3957:
3954:
3951:
3942:
3928:
3908:
3888:
3868:
3845:
3839:
3834:
3826:
3821:
3813:
3807:
3800:
3799:
3798:
3779:
3775:
3768:
3765:
3762:
3754:
3751:
3748:
3744:
3737:
3734:
3726:
3722:
3704:
3700:
3677:
3674:
3671:
3667:
3646:
3643:
3638:
3635:
3632:
3628:
3624:
3619:
3615:
3606:
3605:chain complex
3587:
3584:
3577:
3574:
3570:
3559:
3556:
3552:
3544:
3540:
3529:
3525:
3517:
3513:
3502:
3498:
3490:
3486:
3475:
3471:
3463:
3459:
3450:
3443:
3442:
3441:
3433:
3431:
3427:
3423:
3419:
3400:
3397:
3394:
3391:
3388:
3382:
3374:
3370:
3365:
3360:
3356:
3347:
3343:
3339:
3334:
3330:
3322:
3321:
3320:
3318:
3314:
3309:
3306:
3302:
3298:
3294:
3290:
3286:
3282:
3278:
3254:
3251:
3248:
3234:
3228:
3225:
3222:
3213:
3208:
3196:
3195:
3194:
3192:
3188:
3184:
3179:
3174:
3158:
3152:
3149:
3146:
3123:
3117:
3111:
3108:
3102:
3096:
3090:
3087:
3084:
3080:
3076:
3073:
3069:
3066:
3059:
3056:
3052:
3049:
3046:
3043:
3040:
3037:
3030:
3029:
3028:
3005:
2999:
2996:
2990:
2984:
2972:
2969:
2966:
2959:
2955:
2952:
2948:
2945:
2938:
2935:
2931:
2928:
2925:
2922:
2919:
2916:
2909:
2908:
2907:
2892:
2889:
2881:
2878:
2874:
2871:
2851:
2845:
2842:
2839:
2825:
2823:
2819:
2803:
2797:
2777:
2771:
2763:
2759:
2755:
2751:
2735:
2729:
2721:
2717:
2714:
2710:
2706:
2702:
2698:
2688:
2672:
2668:
2664:
2661:
2653:
2648:
2646:
2623:
2615:
2611:
2607:
2599:
2595:
2588:
2583:
2579:
2571:
2570:
2569:
2555:
2552:
2546:
2540:
2535:
2531:
2522:
2518:
2514:
2510:
2506:
2488:
2485:
2481:
2451:
2445:
2440:
2436:
2427:
2424:
2421:
2417:
2405:
2402:
2398:
2388:
2383:
2369:
2366:
2362:
2358:
2353:
2350:
2346:
2339:
2334:
2330:
2322:
2321:
2320:
2318:
2314:
2310:
2306:
2296:
2282:
2276:
2270:
2267:
2261:
2252:
2249:
2246:
2235:
2216:
2213:
2210:
2204:
2199:
2195:
2186:
2182:
2178:
2174:
2170:
2165:
2163:
2159:
2155:
2132:
2123:
2120:
2117:
2111:
2108:
2105:
2099:
2096:
2087:
2084:
2081:
2075:
2069:
2066:
2063:
2057:
2054:
2048:
2039:
2036:
2033:
2030:
2020:
2019:
2018:
2004:
2001:
1998:
1975:
1969:
1960:
1957:
1954:
1948:
1945:
1939:
1936:
1930:
1927:
1924:
1918:
1915:
1912:
1906:
1903:
1897:
1894:
1885:
1882:
1879:
1869:
1868:
1867:
1865:
1849:
1846:
1843:
1820:
1814:
1811:
1805:
1802:
1796:
1787:
1784:
1781:
1771:
1770:
1769:
1767:
1763:
1759:
1755:
1751:
1729:
1726:
1723:
1717:
1712:
1708:
1700:
1699:
1698:
1696:
1692:
1688:
1684:
1680:
1676:
1672:
1668:
1664:
1660:
1647:
1643:
1639:
1635:
1631:
1627:
1623:
1619:
1615:
1611:
1607:
1603:
1599:
1595:
1591:
1585:
1581:
1577:
1573:
1569:
1565:
1561:
1557:
1553:
1549:
1545:
1541:
1522:
1518:
1509:
1505:
1501:
1497:
1493:
1489:
1470:
1467:
1464:
1458:
1453:
1449:
1441:
1438:
1434:
1430:
1426:
1407:
1401:
1395:
1375:
1372:
1366:
1363:
1360:
1354:
1349:
1345:
1337:
1334:
1316:
1313:
1309:
1305:
1299:
1293:
1288:
1284:
1275:
1258:
1254:
1247:
1243:
1237:
1231:
1226:
1222:
1216:
1208:
1201:
1197:
1181:
1178:
1172:
1166:
1161:
1157:
1149:
1148:
1146:
1143:For any ring
1142:
1141:
1137:
1134:
1116:
1112:
1103:
1102:
1084:
1078:
1070:
1066:
1062:
1059:
1056:
1053:
1050:
1044:
1041:
1033:
1029:
1021:
1020:
1018:
1014:
1010:
1006:
990:
984:
981:
976:
972:
963:
959:
956:Given a ring
955:
954:
950:
946:
927:
924:
921:
917:
913:
907:
902:
898:
874:
868:
862:
854:
853:
836:
832:
825:
822:
819:
816:
808:
805:
802:
796:
790:
786:
782:
779:
776:
772:
768:
762:
757:
753:
745:
744:
742:
738:
735:
731:
727:
709:
706:
703:
697:
694:
690:
681:
675:
671:
662:
659:
655:
643:
632:
624:
621:
620:vector spaces
617:
613:
610:
606:
603:
599:
598:
592:
590:
586:
582:
577:
575:
574:division ring
571:
567:
563:
562:Schur's lemma
559:
557:
553:
549:
545:
541:
537:
518:
515:
512:
506:
501:
497:
493:
487:
481:
476:
472:
464:. One writes
463:
460:to itself an
459:
455:
451:
446:
444:
439:
437:
433:
423:
421:
416:
411:
409:
405:
401:
400:abelian group
382:
379:
376:
370:
365:
361:
352:
348:
344:
340:
336:
332:
328:
309:
306:
300:
294:
291:
285:
282:
276:
269:
268:
267:
265:
261:
257:
253:
249:
230:
224:
218:
215:
212:
206:
203:
197:
190:
176:
170:
164:
161:
155:
149:
146:
140:
137:
134:
128:
121:
120:
119:
117:
113:
109:
105:
101:
97:
93:
89:
85:
82:is called an
69:
63:
60:
57:
49:
46:
42:
38:
34:
30:
26:
22:
5252:
5243:
5217:
5211:
5185:
5176:
5132:
5127:
5123:
5119:
5115:
5111:
5107:
5103:
5072:
4990:
4986:
4982:
4914:
4880:
4843:
4842:to a module
4839:
4810:
4808:
4790:
4757:
4730:
4726:
4692:
4563:
4559:
4555:
4551:
4543:
4515:
4447:
4369:
4365:
4360:
4354:
4351:fiber square
4350:
4298:
4270:localization
4243:
4144:
4041:
3943:
3860:
3602:
3439:
3429:
3425:
3421:
3417:
3415:
3316:
3310:
3304:
3300:
3296:
3292:
3288:
3284:
3280:
3276:
3273:
3190:
3186:
3182:
3177:
3138:
3026:
2831:
2821:
2820:(i.e., maps
2817:
2757:
2753:
2749:
2719:
2715:
2708:
2704:
2700:
2694:
2652:free modules
2649:
2642:
2520:
2516:
2512:
2508:
2504:
2472:
2312:
2308:
2302:
2233:
2184:
2180:
2176:
2175:-module and
2172:
2168:
2166:
2161:
2157:
2153:
2151:
1990:
1863:
1835:
1765:
1761:
1757:
1753:
1749:
1747:
1694:
1690:
1686:
1682:
1678:
1674:
1670:
1666:
1662:
1658:
1656:
1645:
1637:
1633:
1625:
1624:over a ring
1617:
1613:
1605:
1601:
1597:
1593:
1589:
1583:
1579:
1575:
1570:is called a
1567:
1563:
1559:
1555:
1551:
1547:
1543:
1507:
1503:
1499:
1495:
1491:
1432:
1428:
1424:
1332:
1195:
1144:
1135:
1132:
1016:
1012:
1008:
1004:
961:
957:
948:
740:
736:
729:
608:
604:
585:monomorphism
578:
560:
555:
543:
535:
462:automorphism
457:
454:endomorphism
449:
447:
440:
431:
429:
412:
403:
350:
346:
338:
330:
324:
263:
259:
255:
247:
245:
115:
111:
107:
103:
99:
95:
91:
87:
83:
47:
40:
36:
24:
18:
5110:such that (
4877:many-valued
4548:annihilator
2816:that kills
2756:and kernel
2519:as a right
2236:-module by
2232:is a right
1620:are unital
1574:if for any
1506:-action on
1488:dual module
1431:-action on
1276:Similarly,
945:annihilator
589:epimorphism
426:Terminology
415:composition
408:commutative
398:. It is an
98:if for any
5288:Categories
4803:See also:
4791:See also:
4268:means the
2828:Operations
2824:to zero).
2718:generates
2568:, one has
2171:is a left
1628:, then an
1572:derivation
570:submodules
262:are right
96:linear map
5122:for some
5052:∈
5015:→
4963:∈
4896:−
4857:⊕
4823:→
4775:ϕ
4744:ϕ
4710:→
4701:ϕ
4646:×
4605:→
4577:→
4527:⊂
4489:−
4456:ϕ
4430:→
4422:ϕ
4419:→
4411:×
4405:→
4393:×
4386:→
4334:→
4316:→
4226:→
4206:→
4184:→
4167:→
4021:→
4015:→
4004:→
3996:→
3990:→
3961:→
3843:→
3832:→
3819:→
3811:→
3769:
3738:
3625:∘
3585:⋯
3575:−
3567:⟶
3557:−
3537:⟶
3510:⟶
3483:⟶
3456:⟶
3451:⋯
3395:∘
3392:α
3383:α
3375:∗
3361:∗
3353:→
3348:∗
3335:∗
3313:transpose
3252:∈
3205:Γ
3193:given by
3156:→
3109:⊗
3094:↦
3088:⊗
3070:⊗
3064:→
3053:⊗
3041:⊗
2979:↦
2949:⊕
2943:→
2932:⊕
2920:⊕
2886:→
2849:→
2801:→
2775:→
2733:→
2665:≃
2608:≃
2589:
2553:≃
2541:
2486:⊕
2446:
2392:↦
2384:∼
2381:→
2367:⊕
2351:⊕
2340:
2250:⋅
2205:
2164:-action.
2121:⋅
2112:⋅
2085:⋅
2037:⋅
2002:⋅
1958:⋅
1883:⋅
1847:⋅
1785:⋅
1718:
1523:∗
1459:
1399:↦
1355:
1294:
1251:↦
1232:
1217:∼
1214:→
1167:
1104:That is,
988:→
908:
866:↦
855:given by
823:⊂
806:∈
763:
698:
644:
507:
482:
436:bijection
371:
67:→
5253:Homology
5251:(1995),
5141:See also
4554:-module
3077:′
3060:′
2956:′
2939:′
2893:′
2882:′
2707:be left
2691:Defining
2311:-module
1669:be left
1554:-module
1388:through
1138:-linear.
618:between
602:zero map
595:Examples
327:preimage
31:between
29:function
5294:Algebra
5275:1344215
5236:1011461
5204:1727844
5162:Pairing
4733:. Then
4546:be the
2179:is an (
1689:is an (
1659:used up
1439:below.)
943:is the
33:modules
21:algebra
5273:
5263:
5234:
5224:
5202:
5192:
5073:where
4760:; see
4448:where
4082:, and
4042:where
3861:where
2713:subset
2507:as an
1600:) + ฮธ(
1435:; see
964:, let
734:ideals
546:. The
341:. The
335:kernel
90:or an
5168:Notes
3173:graph
1640:is a
1632:from
1558:, an
1133:right
250:is a
27:is a
5261:ISBN
5222:ISBN
5190:ISBN
4693:Let
4353:(or
3921:and
3311:The
3139:Let
2864:and
2703:and
1991:and
1760:and
1592:) =
732:and
600:The
441:The
413:The
325:The
110:and
45:ring
39:and
23:, a
5126:in
5106:in
4913:of
4809:An
4767:If
4299:If
3766:ker
3727:if
3428:of
3416:If
3319:is
3315:of
3291:โ (
3181:of
2832:If
2647:).
2580:End
2532:End
2437:End
2331:Hom
2196:Hom
1862:is
1764:in
1756:in
1709:Hom
1636:to
1612:If
1590:f g
1582:in
1490:of
1450:Hom
1346:Hom
1285:End
1223:End
1158:End
1131:is
1015:in
947:of
899:Hom
754:Hom
695:gcd
633:Hom
558:.
554:of
542:of
498:Hom
473:End
406:is
362:Hom
349:to
343:set
337:of
114:in
106:in
19:In
5290::
5271:MR
5269:,
5259:,
5257:52
5232:MR
5230:,
5200:MR
5198:,
5133:A
5130:.
5114:,
4513:.
4296:.
4142:.
3735:im
3432:.
3295:,
3287:,
3283:โ
3279:โ
3189:โ
2511:ร
2295:.
2183:,
1768:,
1693:,
1665:,
1616:,
1604:)
1596:ฮธ(
1588:ฮธ(
1586:,
1578:,
1566:โ
1546:โ
1147:,
1019:,
1011:,
739:,
614:A
607:โ
591:.
576:.
422:.
410:.
258:,
118:,
102:,
5128:N
5124:y
5120:f
5116:y
5112:x
5108:M
5104:x
5090:)
5087:f
5084:(
5081:D
5058:}
5055:f
5049:)
5046:y
5043:,
5040:0
5037:(
5033:|
5029:y
5026:{
5022:/
5018:N
5012:)
5009:f
5006:(
5003:D
4991:N
4987:M
4983:f
4969:}
4966:f
4960:)
4957:y
4954:,
4951:x
4948:(
4944:|
4940:)
4937:x
4934:,
4931:y
4928:(
4925:{
4915:f
4899:1
4892:f
4881:M
4863:.
4860:N
4854:M
4844:N
4840:M
4826:N
4820:M
4764:.
4758:M
4731:R
4727:R
4713:M
4707:M
4704::
4674:.
4671:I
4667:/
4663:B
4658:I
4654:/
4650:A
4642:A
4639:=
4636:B
4616:I
4612:/
4608:A
4602:I
4598:/
4594:B
4591:,
4588:I
4584:/
4580:A
4574:A
4564:A
4560:B
4558:/
4556:A
4552:B
4544:I
4530:A
4524:B
4501:)
4498:x
4495:(
4492:g
4486:)
4483:x
4480:(
4477:f
4474:=
4471:)
4468:y
4465:,
4462:x
4459:(
4433:0
4427:B
4414:N
4408:M
4402:N
4397:B
4389:M
4383:0
4370:N
4366:B
4363:ร
4361:M
4337:B
4331:N
4328::
4325:g
4322:,
4319:B
4313:M
4310::
4307:f
4282:m
4254:m
4229:0
4220:m
4215:C
4209:g
4198:m
4193:B
4187:f
4176:m
4171:A
4164:0
4130:f
4110:N
4090:C
4070:f
4050:K
4027:,
4024:0
4018:C
4012:N
4007:f
3999:M
3993:K
3987:0
3964:N
3958:M
3955::
3952:f
3929:g
3909:f
3889:g
3869:f
3846:0
3840:C
3835:g
3827:B
3822:f
3814:A
3808:0
3785:)
3780:i
3776:f
3772:(
3763:=
3760:)
3755:1
3752:+
3749:i
3745:f
3741:(
3705:i
3701:f
3678:1
3675:+
3672:i
3668:f
3647:0
3644:=
3639:1
3636:+
3633:i
3629:f
3620:i
3616:f
3588:.
3578:1
3571:f
3560:1
3553:M
3545:0
3541:f
3530:0
3526:M
3518:1
3514:f
3503:1
3499:M
3491:2
3487:f
3476:2
3472:M
3464:3
3460:f
3430:f
3422:f
3418:f
3401:.
3398:f
3389:=
3386:)
3380:(
3371:f
3366:,
3357:M
3344:N
3340::
3331:f
3317:f
3307:.
3301:x
3299:(
3297:f
3293:x
3289:x
3285:N
3281:M
3277:M
3270:,
3258:}
3255:M
3249:x
3245:|
3241:)
3238:)
3235:x
3232:(
3229:f
3226:,
3223:x
3220:(
3217:{
3214:=
3209:f
3191:N
3187:M
3183:f
3178:f
3175:ฮ
3159:N
3153:M
3150::
3147:f
3124:.
3121:)
3118:y
3115:(
3112:g
3106:)
3103:x
3100:(
3097:f
3091:y
3085:x
3081:,
3074:N
3067:N
3057:M
3050:M
3047::
3044:g
3038:f
3012:)
3009:)
3006:y
3003:(
3000:g
2997:,
2994:)
2991:x
2988:(
2985:f
2982:(
2976:)
2973:y
2970:,
2967:x
2964:(
2960:,
2953:N
2946:N
2936:M
2929:M
2926::
2923:g
2917:f
2890:N
2879:M
2875::
2872:g
2852:N
2846:M
2843::
2840:f
2822:K
2818:K
2804:N
2798:F
2778:N
2772:M
2758:K
2754:S
2750:F
2736:M
2730:F
2720:M
2716:S
2709:R
2705:N
2701:M
2673:n
2669:R
2662:F
2639:,
2627:)
2624:R
2621:(
2616:n
2612:M
2605:)
2600:n
2596:R
2592:(
2584:R
2556:R
2550:)
2547:R
2544:(
2536:R
2521:R
2517:R
2513:n
2509:m
2505:f
2489:n
2482:U
2458:)
2455:)
2452:U
2449:(
2441:R
2433:(
2428:n
2425:,
2422:m
2418:M
2411:]
2406:j
2403:i
2399:f
2395:[
2389:f
2375:)
2370:m
2363:U
2359:,
2354:n
2347:U
2343:(
2335:R
2313:U
2309:R
2283:s
2280:)
2277:x
2274:(
2271:f
2268:=
2265:)
2262:x
2259:(
2256:)
2253:s
2247:f
2244:(
2234:S
2220:)
2217:N
2214:,
2211:M
2208:(
2200:R
2185:S
2181:R
2177:N
2173:R
2169:M
2162:R
2158:S
2154:R
2148:.
2136:)
2133:x
2130:(
2127:)
2124:f
2118:t
2115:(
2109:s
2106:=
2103:)
2100:s
2097:x
2094:(
2091:)
2088:f
2082:t
2079:(
2076:=
2073:)
2070:t
2067:s
2064:x
2061:(
2058:f
2055:=
2052:)
2049:x
2046:(
2043:)
2040:f
2034:t
2031:s
2028:(
2005:f
1999:s
1976:,
1973:)
1970:x
1967:(
1964:)
1961:f
1955:s
1952:(
1949:r
1946:=
1943:)
1940:s
1937:x
1934:(
1931:f
1928:r
1925:=
1922:)
1919:s
1916:x
1913:r
1910:(
1907:f
1904:=
1901:)
1898:x
1895:r
1892:(
1889:)
1886:f
1880:s
1877:(
1864:R
1850:f
1844:s
1821:.
1818:)
1815:s
1812:x
1809:(
1806:f
1803:=
1800:)
1797:x
1794:(
1791:)
1788:f
1782:s
1779:(
1766:M
1762:x
1758:S
1754:s
1750:S
1733:)
1730:N
1727:,
1724:M
1721:(
1713:R
1695:S
1691:R
1687:M
1683:R
1679:S
1675:M
1671:R
1667:N
1663:M
1646:R
1638:T
1634:S
1626:R
1618:T
1614:S
1609:.
1606:g
1602:f
1598:g
1594:f
1584:S
1580:g
1576:f
1568:M
1564:S
1560:R
1556:M
1552:S
1548:S
1544:R
1537:.
1519:M
1508:R
1504:R
1500:R
1496:M
1492:M
1474:)
1471:R
1468:,
1465:M
1462:(
1454:R
1433:R
1429:R
1425:M
1411:)
1408:1
1405:(
1402:f
1396:f
1376:M
1373:=
1370:)
1367:M
1364:,
1361:R
1358:(
1350:R
1333:R
1317:p
1314:o
1310:R
1306:=
1303:)
1300:R
1297:(
1289:R
1273:.
1259:r
1255:l
1248:r
1244:,
1241:)
1238:R
1235:(
1227:R
1209:R
1196:R
1182:R
1179:=
1176:)
1173:R
1170:(
1162:R
1145:R
1136:R
1117:r
1113:l
1097:.
1085:t
1082:)
1079:s
1076:(
1071:r
1067:l
1063:=
1060:t
1057:s
1054:r
1051:=
1048:)
1045:t
1042:s
1039:(
1034:r
1030:l
1017:R
1013:t
1009:s
1005:r
991:R
985:R
982::
977:r
973:l
962:r
958:R
951:.
949:I
931:)
928:R
925:,
922:I
918:/
914:R
911:(
903:R
878:)
875:1
872:(
869:f
863:f
837:J
833:/
829:}
826:J
820:I
817:r
813:|
809:R
803:r
800:{
797:=
794:)
791:J
787:/
783:R
780:,
777:I
773:/
769:R
766:(
758:R
741:J
737:I
730:R
725:.
713:)
710:m
707:,
704:n
701:(
691:/
686:Z
682:=
679:)
676:m
672:/
667:Z
663:,
660:n
656:/
651:Z
647:(
638:Z
622:.
609:N
605:M
556:M
544:M
536:M
522:)
519:M
516:,
513:M
510:(
502:R
494:=
491:)
488:M
485:(
477:R
458:M
450:M
404:R
386:)
383:N
380:,
377:M
374:(
366:R
351:N
347:M
339:f
331:f
310:.
307:r
304:)
301:x
298:(
295:f
292:=
289:)
286:r
283:x
280:(
277:f
264:R
260:N
256:M
248:f
231:.
228:)
225:x
222:(
219:f
216:r
213:=
210:)
207:x
204:r
201:(
198:f
177:,
174:)
171:y
168:(
165:f
162:+
159:)
156:x
153:(
150:f
147:=
144:)
141:y
138:+
135:x
132:(
129:f
116:R
112:r
108:M
104:y
100:x
94:-
92:R
86:-
84:R
70:N
64:M
61::
58:f
48:R
41:N
37:M
Text is available under the Creative Commons Attribution-ShareAlike License. Additional terms may apply.