202:
1386:
3047:
Below we present four theorems, labelled A, B, C and D. They are often numbered as "First isomorphism theorem", "Second..." and so on; however, there is no universal agreement on the numbering. Here we give some examples of the group isomorphism theorems in the literature. Notice that these theorems
1221:
1098:
6976:
2987:
7466:
1381:{\displaystyle \operatorname {PGL} _{2}(\mathbb {C} ):=\operatorname {GL} _{2}\left(\mathbb {C} )/(\mathbb {C} ^{\times }\!I\right)\cong \operatorname {SL} _{2}(\mathbb {C} )/\{\pm I\}=:\operatorname {PSL} _{2}(\mathbb {C} )}
998:
2923:
2861:
2823:
6494:
334:
2779:
1213:
969:
911:
7280:
6377:
7226:
2544:
2741:
2715:
7091:
5777:
2928:
5343:
5268:
5081:
4319:
4244:
4057:
3982:
3795:
3340:
2677:
2054:
1979:
1792:
1717:
1530:
7372:
7190:
7144:
6802:
6120:
5598:
4486:
6807:
1139:
5928:
2468:
2434:
2266:
6022:
3585:
3507:
6218:
5624:
4754:
6756:
6701:
5399:
4375:
2110:
667:
6602:
6544:
6168:
5884:
5803:
6666:
3531:
3466:
3419:
3372:
2636:
7032:
7004:
6630:
6094:
5834:
567:
2582:
2506:
627:
7342:
7300:
6397:
6306:
5858:
5656:
5564:
5427:
5196:
5168:
5137:
5109:
4700:
4672:
4582:
4403:
4172:
4144:
4113:
4085:
3910:
3882:
3851:
3823:
2334:
2138:
1907:
1879:
1848:
1820:
1645:
1617:
1586:
1558:
838:
535:
469:
7164:
7118:
6776:
6730:
6564:
6514:
6417:
6326:
6286:
6266:
6246:
6066:
6046:
5972:
5952:
5742:
5696:
5676:
5536:
5516:
5496:
5476:
5456:
5311:
5291:
5236:
5216:
5049:
5029:
4642:
4622:
4602:
4554:
4534:
4514:
4452:
4432:
4287:
4267:
4212:
4192:
4025:
4005:
3950:
3930:
3763:
3743:
3551:
3443:
3392:
3308:
3288:
2602:
2306:
2286:
2232:
2212:
2192:
2022:
2002:
1947:
1927:
1760:
1740:
1685:
1665:
1498:
1478:
1454:
1434:
1414:
1159:
993:
815:
795:
775:
755:
735:
711:
691:
587:
512:
489:
439:
419:
399:
379:
359:
7377:
1093:{\displaystyle \mathbb {C} ^{\times }\!I=\left\{\left({\begin{smallmatrix}a&0\\0&a\end{smallmatrix}}\right):a\in \mathbb {C} ^{\times }\right\}}
7881:
2890:
2828:
7723:
2784:
6422:
2925:. In an abelian category, all monomorphisms are also normal, and the diagram may be extended by a second short exact sequence
2746:
1168:
8007:
7979:
7955:
7792:
7592:
7556:
7520:
2340:
927:
869:
196:
7231:
17:
7908:
7699:
6331:
7199:
7572:
2982:{\displaystyle 0\rightarrow G/\operatorname {ker} f\rightarrow H\rightarrow \operatorname {coker} f\rightarrow 0}
2511:
122:
2720:
2694:
8062:
8044:
7037:
5750:
8080:
5316:
5241:
5054:
4292:
4217:
4030:
3955:
3768:
3313:
2648:
2027:
1952:
1765:
1690:
1503:
6971:{\displaystyle \Phi /\Psi =\{(_{\Psi },_{\Psi }):(a',a'')\in \Phi \}=_{\Psi }\circ \Phi \circ _{\Psi }^{-1}}
7966:
7351:
7169:
7123:
5887:
51:
6781:
6099:
5569:
4457:
3620:
2876:
1103:
238:
5901:
3351:
2871:. In general, the existence of a right split does not imply the existence of a left split; but in an
2447:
2407:
2237:
5977:
4846:
3556:
3478:
541:
7747:
4761:
4757:
2437:
2397:
446:
7784:
6175:
5603:
4737:
7548:
6735:
6671:
5348:
4324:
2059:
863:
859:
632:
6571:
6522:
6129:
5863:
5782:
5626:. This correspondence commutes with the processes of taking sums and intersections (i.e., is a
2389:
7512:
6638:
5836:
into an algebra of the same type by defining the operations via representatives; this will be
3516:
3451:
3404:
3357:
2607:
7872:
7009:
6981:
6607:
6071:
5811:
2148:. The first four statements are often subsumed under Theorem D below, and referred to as the
546:
111:
7776:
7540:
7504:
2561:
2485:
595:
333:
102:
The isomorphism theorems were formulated in some generality for homomorphisms of modules by
7345:
7305:
7285:
6382:
6291:
5843:
5745:
4711:
3009:
2884:
2547:
2385:
921:
75:
8:
6025:
5711:
5633:
5627:
5541:
5404:
5173:
5145:
5114:
5086:
4827:
4804:
4727:
4677:
4649:
4559:
4380:
4149:
4121:
4090:
4062:
3887:
3859:
3828:
3800:
3398:
3259:
2393:
2311:
2115:
1884:
1856:
1825:
1797:
1622:
1594:
1563:
1535:
257:
184:
164:
144:
136:
91:
83:
63:
7777:
2360:(also known as the butterfly lemma) is sometimes called the fourth isomorphism theorem.
820:
517:
451:
7717:
7541:
7461:{\displaystyle \alpha :\left\to \operatorname {Con} (A/\Phi ),\Psi \mapsto \Psi /\Phi }
7149:
7103:
6761:
6715:
6549:
6499:
6402:
6311:
6271:
6251:
6231:
6051:
6031:
5957:
5937:
5727:
5681:
5661:
5521:
5501:
5481:
5461:
5441:
5296:
5276:
5221:
5201:
5034:
5014:
4627:
4607:
4587:
4539:
4519:
4499:
4437:
4417:
4272:
4252:
4197:
4177:
4010:
3990:
3935:
3915:
3748:
3728:
3536:
3428:
3377:
3293:
3273:
3255:
3036:
2688:
2587:
2373:
2291:
2271:
2217:
2197:
2177:
2007:
1987:
1932:
1912:
1745:
1725:
1670:
1650:
1483:
1463:
1439:
1419:
1399:
1144:
978:
800:
780:
760:
740:
720:
696:
676:
572:
497:
474:
424:
404:
384:
364:
344:
230:
140:
67:
8058:
8040:
8003:
7975:
7951:
7904:
7788:
7705:
7695:
7588:
7552:
7516:
7505:
5806:
5722:
5707:
3343:
2479:
914:
280:
87:
7884:, "Emmy Noether's 'Set Theoretic' Topology: From Dedekind to the rise of functors".
7580:
7536:
7193:
4812:
3469:
2872:
2357:
156:
132:
115:
35:
7579:. Graduate Texts in Mathematics 251. Vol. 251. Springer-Verlag London. p. 7.
7937:
7896:
7618:
5805:
considered as an algebra with componentwise operations. One can make the set of
4850:
4715:
3238:
2880:
2482:, all epimorphisms are normal). This is represented in the diagram by an object
2377:
2369:
2169:
1162:
246:
127:
1032:
7869:
Abstrakter Aufbau der
Idealtheorie in algebraischen Zahl- und Funktionenkörpern
4644:
3258:
are similar, with the notion of a normal subgroup replaced by the notion of an
2864:
2551:
2550:
running from the lower left to the upper right of the diagram. The use of the
918:
284:
108:
Abstrakter Aufbau der
Idealtheorie in algebraischen Zahl- und Funktionenkörpern
7584:
2336:. Under this correspondence normal subgroups correspond to normal subgroups.
8074:
7864:
7500:
4731:
3473:
3025:
2997:
2555:
160:
90:, the isomorphism theorems can be generalized to the context of algebras and
7709:
201:
7836:
6220:, so one recovers the notion of kernel used in group theory in this case.)
5931:
5837:
4723:
2918:{\displaystyle \operatorname {im} \kappa \oplus \operatorname {im} \sigma }
2856:{\displaystyle \operatorname {im} \kappa \times \operatorname {im} \sigma }
2381:
148:
103:
71:
55:
7889:
7689:
3246:, as one of isomorphism theorems, but when included, it is the last one.
2436:. The diagram shows that every morphism in the category of groups has a
972:
147:
approach to the subject. Van der
Waerden credited lectures by Noether on
79:
31:
7886:
The
Architecture of Modern Mathematics: Essays in history and philosophy
337:
Diagram for theorem B4. The two quotient groups (dotted) are isomorphic.
6123:
3032:
714:
303:
152:
2818:{\displaystyle \rho \circ \kappa =\operatorname {id} _{{\text{ker}}f}}
4719:
4493:
59:
7892:
and José Ferreirós), Oxford
University Press (2006) pp. 211–35.
2401:
2268:
defines a bijective correspondence between the set of subgroups of
265:
114:. Less general versions of these theorems can be found in work of
7694:. Richard M. Foote (Third ed.). Hoboken, NJ. pp. 97–98.
3422:
3236:
It is less common to include the
Theorem D, usually known as the
47:
6489:{\displaystyle ^{\Phi }=\{K\in A/\Phi :K\cap B\neq \emptyset \}}
4489:
167:
as the main references. The three isomorphism theorems, called
7925:
3179:
Fundamental homomorphism theorem or first isomorphism theorem
858:
An application of the second isomorphism theorem identifies
3052:
Comparison of the names of the group isomorphism theorems
2641:
If the sequence is right split (i.e., there is a morphism
2440:
in the category theoretical sense; the arbitrary morphism
6170:
7837:"Is there a general form of the correspondence theorem?"
4714:
are particularly simple, since it is possible to form a
2774:{\displaystyle \rho :G\rightarrow \operatorname {ker} f}
2376:
is (normal epi, mono)-factorizable; in other words, the
1208:{\displaystyle SN=\operatorname {GL} _{2}(\mathbb {C} )}
8025:
2546:(kernels are always monomorphisms), which complete the
964:{\displaystyle S=\operatorname {SL} _{2}(\mathbb {C} )}
906:{\displaystyle G=\operatorname {GL} _{2}(\mathbb {C} )}
2879:), left splits and right splits are equivalent by the
8052:
7380:
7354:
7308:
7288:
7234:
7202:
7172:
7152:
7126:
7106:
7040:
7012:
6984:
6810:
6784:
6764:
6738:
6718:
6674:
6641:
6610:
6574:
6552:
6525:
6502:
6496:
the collection of equivalence classes that intersect
6425:
6405:
6385:
6334:
6314:
6294:
6274:
6254:
6234:
6178:
6132:
6102:
6074:
6054:
6034:
5980:
5960:
5940:
5904:
5866:
5846:
5814:
5785:
5753:
5730:
5684:
5664:
5636:
5606:
5572:
5544:
5524:
5504:
5484:
5464:
5444:
5407:
5351:
5319:
5299:
5279:
5244:
5224:
5204:
5176:
5148:
5117:
5089:
5057:
5037:
5017:
4760:
vector spaces, all of these theorems follow from the
4740:
4680:
4652:
4630:
4610:
4590:
4562:
4542:
4522:
4502:
4460:
4440:
4420:
4383:
4327:
4295:
4275:
4255:
4220:
4200:
4180:
4152:
4124:
4093:
4065:
4033:
4013:
3993:
3958:
3938:
3918:
3890:
3862:
3831:
3803:
3771:
3751:
3731:
3559:
3539:
3519:
3481:
3454:
3431:
3407:
3380:
3360:
3316:
3296:
3276:
2931:
2893:
2831:
2787:
2749:
2723:
2697:
2651:
2610:
2590:
2564:
2514:
2488:
2450:
2410:
2314:
2294:
2274:
2240:
2220:
2200:
2180:
2118:
2062:
2030:
2010:
1990:
1955:
1935:
1915:
1887:
1859:
1828:
1800:
1768:
1748:
1728:
1693:
1673:
1653:
1625:
1597:
1566:
1538:
1506:
1486:
1466:
1442:
1422:
1402:
1224:
1171:
1147:
1106:
1001:
981:
930:
872:
823:
803:
783:
763:
743:
723:
699:
679:
635:
598:
575:
549:
520:
500:
477:
454:
427:
407:
387:
367:
347:
155:
on algebra, as well as a seminar conducted by Artin,
7275:{\displaystyle \left\subseteq \operatorname {Con} A}
3031:
The third isomorphism theorem is generalized by the
7964:
7748:"An Introduction to the Theory of Field Extensions"
2144:The last statement is sometimes referred to as the
1215:. Then the second isomorphism theorem states that:
205:
Diagram of the fundamental theorem on homomorphisms
7460:
7366:
7336:
7294:
7274:
7220:
7184:
7158:
7138:
7112:
7085:
7026:
6998:
6970:
6796:
6770:
6750:
6724:
6695:
6660:
6624:
6596:
6558:
6538:
6508:
6488:
6411:
6391:
6371:
6320:
6300:
6280:
6260:
6240:
6212:
6162:
6114:
6088:
6060:
6040:
6016:
5966:
5946:
5922:
5878:
5852:
5828:
5797:
5771:
5736:
5690:
5670:
5650:
5618:
5592:
5558:
5530:
5510:
5490:
5470:
5450:
5421:
5393:
5337:
5305:
5285:
5262:
5230:
5210:
5190:
5162:
5131:
5103:
5075:
5043:
5023:
4748:
4694:
4666:
4636:
4616:
4596:
4576:
4548:
4528:
4508:
4480:
4446:
4426:
4397:
4369:
4313:
4281:
4261:
4238:
4206:
4186:
4166:
4138:
4107:
4079:
4051:
4019:
3999:
3976:
3944:
3924:
3904:
3876:
3845:
3817:
3789:
3757:
3737:
3579:
3545:
3525:
3501:
3460:
3437:
3413:
3386:
3366:
3334:
3302:
3282:
2981:
2917:
2855:
2817:
2773:
2735:
2709:
2671:
2630:
2596:
2576:
2538:
2500:
2462:
2428:
2368:The first isomorphism theorem can be expressed in
2328:
2300:
2280:
2260:
2226:
2206:
2186:
2132:
2104:
2048:
2016:
1996:
1973:
1941:
1921:
1901:
1873:
1842:
1814:
1786:
1754:
1734:
1711:
1679:
1659:
1639:
1611:
1580:
1552:
1524:
1492:
1472:
1448:
1428:
1408:
1380:
1207:
1153:
1133:
1092:
987:
963:
905:
832:
809:
789:
769:
749:
729:
705:
685:
661:
621:
581:
561:
529:
506:
483:
463:
433:
413:
393:
373:
353:
8034:
8016:
5498:. There is a bijection between the submodules of
2404:whose existence can be deduced from the morphism
1298:
1014:
183:We first present the isomorphism theorems of the
8072:
7535:
7499:
7095:
6707:
6223:
5893:
2743:. If it is left split (i.e., there exists some
7997:
7934:
6372:{\displaystyle \Phi _{B}=\Phi \cap (B\times B)}
4710:The statements of the isomorphism theorems for
2992:In the second isomorphism theorem, the product
2883:, and a right split is sufficient to produce a
7965:Burris, Stanley; Sankappanavar, H. P. (2012).
7374:, moreover it is a sublattice), then the map
7221:{\displaystyle \Phi \in \operatorname {Con} A}
3090:"often called the first isomorphism theorem"
7988:
7946:Dummit, David S.; Foote, Richard M. (2004).
7775:Dummit, David S.; Foote, Richard M. (2004).
6913:
6825:
6483:
6445:
3042:
2554:convention saves us from having to draw the
1348:
1339:
1128:
1119:
8055:Algebra (Graduate Texts in Mathematics, 73)
7945:
7941:, vol. 1 (9 ed.), Springer-Verlag
7774:
2539:{\displaystyle \kappa :\ker f\rightarrow G}
175:when applied to groups, appear explicitly.
7722:: CS1 maint: location missing publisher (
5710:, normal subgroups need to be replaced by
2736:{\displaystyle \operatorname {im} \sigma }
2710:{\displaystyle \operatorname {im} \kappa }
817:is still a normal subgroup of the product
7493:
4742:
2825:), then it must also be right split, and
1371:
1327:
1288:
1271:
1242:
1198:
1075:
1004:
954:
896:
7895:
7282:the set of all congruences that contain
7086:{\displaystyle (A/\Psi )/(\Phi /\Psi ).}
5772:{\displaystyle \Phi \subseteq A\times A}
2234:. The canonical projection homomorphism
332:
200:
7529:
7483:
7481:
5338:{\displaystyle T\subseteq S\subseteq M}
5263:{\displaystyle T\subseteq S\subseteq M}
5076:{\displaystyle T\subseteq S\subseteq M}
4314:{\displaystyle I\subseteq J\subseteq R}
4239:{\displaystyle I\subseteq J\subseteq R}
4052:{\displaystyle I\subseteq J\subseteq R}
3977:{\displaystyle I\subseteq A\subseteq R}
3790:{\displaystyle I\subseteq A\subseteq R}
3335:{\displaystyle \varphi :R\rightarrow S}
3039:and more general maps between objects.
2672:{\displaystyle G/\operatorname {ker} f}
2049:{\displaystyle N\subseteq K\subseteq G}
1974:{\displaystyle N\subseteq K\subseteq G}
1787:{\displaystyle N\subseteq K\subseteq G}
1712:{\displaystyle N\subseteq K\subseteq G}
1525:{\displaystyle N\subseteq K\subseteq G}
995:the normal subgroup of scalar matrices
14:
8073:
7825:Burris and Sankappanavar (2012), p. 49
7816:Burris and Sankappanavar (2012), p. 37
7687:
7571:
5433:
4990:
4883:
4778:
4767:In the following, "module" will mean "
3196:Second or Diamond isomorphism theorem
62:. Versions of the theorems exist for
7923:
7903:, vol. 1 (2nd ed.), Dover,
7511:. American Mathematical Soc. p.
7367:{\displaystyle \operatorname {Con} A}
7185:{\displaystyle \operatorname {Con} A}
7139:{\displaystyle \operatorname {Con} A}
6126:. (Note that in the case of a group,
5630:between the lattice of submodules of
3098:Fundamental theorem of homomorphisms
3080:Fundamental theorem of homomorphisms
2339:This theorem is sometimes called the
2163:
1391:
843:This theorem is sometimes called the
673:Technically, it is not necessary for
328:
190:
50:that describe the relationship among
7478:
6797:{\displaystyle \Psi \subseteq \Phi }
6115:{\displaystyle \operatorname {im} f}
5701:
5593:{\displaystyle A\leftrightarrow A/N}
4481:{\displaystyle A\leftrightarrow A/I}
4409:
3704:
3590:
3265:
3048:have analogs for rings and modules.
1822:has a normal subgroup isomorphic to
693:to be a normal subgroup, as long as
197:Fundamental theorem on homomorphisms
7745:
4756:) are special cases of these. For
3254:The statements of the theorems for
321:This theorem is usually called the
24:
7455:
7447:
7441:
7432:
7392:
7314:
7289:
7240:
7203:
7074:
7066:
7052:
7021:
6993:
6955:
6938:
6930:
6910:
6871:
6847:
6819:
6811:
6791:
6785:
6745:
6739:
6684:
6653:
6619:
6589:
6527:
6480:
6462:
6437:
6386:
6348:
6336:
6295:
6083:
5981:
5847:
5823:
5754:
2308:and the set of (all) subgroups of
25:
8092:
7489:Theorems concerning homomorphisms
7228:is a congruence and we denote by
5886:. The resulting structure is the
5658:and the lattice of submodules of
5566:. The correspondence is given by
1134:{\displaystyle S\cap N=\{\pm I\}}
1031:
163:, and van der Waerden himself on
110:, which was published in 1927 in
8026:Grillet, Pierre Antoine (2007),
5923:{\displaystyle f:A\rightarrow B}
4722:. The isomorphism theorems for
2463:{\displaystyle \iota \circ \pi }
2429:{\displaystyle f:G\rightarrow H}
2261:{\displaystyle G\rightarrow G/N}
862:: for example, the group on the
118:and previous papers by Noether.
8000:Modern Algebra: An Introduction
7935:van der Waerden, B. I. (1994),
7834:
7828:
7819:
7810:
7807:Dummit and Foote (2004), p. 349
7801:
7768:
7739:
7730:
7681:
7672:
7663:
7654:
6017:{\displaystyle \Phi :f(x)=f(y)}
3580:{\displaystyle R/\ker \varphi }
3502:{\displaystyle R/\ker \varphi }
2396:in the margin, which shows the
8053:Hungerford, Thomas W. (1980),
7783:. Hoboken, NJ: Wiley. p.
7736:Scott (1964), secs 2.2 and 2.3
7645:
7634:
7625:
7610:
7601:
7565:
7444:
7435:
7421:
7412:
7146:the set of all congruences on
7077:
7063:
7055:
7041:
6951:
6944:
6926:
6919:
6904:
6882:
6876:
6867:
6855:
6843:
6831:
6828:
6649:
6642:
6585:
6578:
6433:
6426:
6366:
6354:
6201:
6182:
6157:
6151:
6142:
6136:
6011:
6005:
5996:
5990:
5914:
5576:
5388:
5374:
5366:
5352:
4464:
4364:
4350:
4342:
4328:
3326:
2973:
2961:
2955:
2935:
2759:
2530:
2420:
2244:
2099:
2085:
2077:
2063:
1375:
1367:
1331:
1323:
1283:
1275:
1246:
1238:
1202:
1194:
958:
950:
900:
892:
656:
644:
608:
599:
44:Noether's isomorphism theorems
27:Group of mathematical theorems
13:
1:
8039:(2 ed.), Prentice Hall,
7968:A Course in Universal Algebra
7858:
7688:Dummit, David Steven (2004).
7678:Fraleigh (2003), Chap. 14, 34
7096:Theorem D (universal algebra)
6708:Theorem C (universal algebra)
6668:is isomorphic to the algebra
6224:Theorem B (universal algebra)
5894:Theorem A (universal algebra)
4771:-module" for some fixed ring
2363:
1560:has a subgroup isomorphic to
7487:Milne (2013), Chap. 1, sec.
6758:two congruence relations on
6213:{\displaystyle f(xy^{-1})=1}
5619:{\displaystyle A\supseteq N}
4749:{\displaystyle \mathbb {Z} }
4496:between the set of subrings
3146:Other convention per Grillet
2372:language by saying that the
777:is not a normal subgroup of
441:. Then the following hold:
7:
7755:UChicago Department of Math
6751:{\displaystyle \Phi ,\Psi }
6696:{\displaystyle B/\Phi _{B}}
5779:that forms a subalgebra of
5394:{\displaystyle (M/T)/(S/T)}
5345:, then the quotient module
4556:and the set of subrings of
4370:{\displaystyle (R/I)/(J/I)}
3182:Second isomorphism theorem
3168:Second isomorphism theorem
3157:Second isomorphism theorem
3133:Second isomorphism theorem
3119:Second isomorphism theorem
3104:Second isomorphism theorem
2683:-preimage of itself), then
2392:. This is captured in the
2105:{\displaystyle (G/N)/(K/N)}
662:{\displaystyle S/(S\cap N)}
10:
8097:
8035:Rotman, Joseph J. (2003),
8017:Knapp, Anthony W. (2016),
7507:Algebra: A Graduate Course
7468:is a lattice isomorphism.
6597:{\displaystyle \ ^{\Phi }}
4705:
3199:Third isomorphism theorem
3193:First isomorphism theorem
3185:Third isomorphism theorem
3171:Third isomorphism theorem
3165:First isomorphism theorem
3154:Third isomorphism theorem
3151:First isomorphism theorem
3136:First isomorphism theorem
3122:First isomorphism theorem
3101:First isomorphism theorem
3085:Second isomorphism theorem
2351:fourth isomorphism theorem
2167:
2158:fourth isomorphism theorem
2056:, then the quotient group
845:second isomorphism theorem
194:
125:published his influential
97:
8021:(Digital second ed.)
7920:, Chapter II.3 p. 57
7841:Mathematics StackExchange
7607:Jacobson (2009), sec 1.10
7585:10.1007/978-1-84800-988-2
7196:ordered by inclusion. If
7120:be an algebra and denote
6539:{\displaystyle \Phi _{B}}
6163:{\displaystyle f(x)=f(y)}
5879:{\displaystyle A\times A}
5798:{\displaystyle A\times A}
4321:, then the quotient ring
3654: } is a subring of
3203:
3140:
3073:
3068:
3065:
3062:
3059:
3056:
3043:Note on numbers and names
3016:, while the intersection
2146:third isomorphism theorem
1909:for some normal subgroup
1853:Every normal subgroup of
323:first isomorphism theorem
178:
7998:Durbin, John R. (2009).
7924:Milne, James S. (2013),
7660:Grillet (2007), sec. I 5
7641:essentially the same as
7577:The Finite Simple Groups
7471:
6661:{\displaystyle ^{\Phi }}
5974:, the relation given by
3526:{\displaystyle \varphi }
3461:{\displaystyle \varphi }
3414:{\displaystyle \varphi }
3367:{\displaystyle \varphi }
3249:
3141:Three numbered theorems
3095:van der Waerden, Durbin
2631:{\displaystyle G/\ker f}
2478:is an epimorphism (in a
2004:is a normal subgroup of
1742:is a normal subgroup of
860:projective linear groups
569:is a normal subgroup of
514:is a normal subgroup of
421:be a normal subgroup of
8037:Advanced Modern Algebra
7669:Rotman (2003), sec. 2.6
7027:{\displaystyle A/\Phi }
6999:{\displaystyle A/\Psi }
6625:{\displaystyle A/\Phi }
6089:{\displaystyle A/\Phi }
5829:{\displaystyle A/\Phi }
3216:Correspondence theorem
2691:of the normal subgroup
864:complex projective line
562:{\displaystyle S\cap N}
173:two laws of isomorphism
135:textbook that took the
8030:(2 ed.), Springer
7950:. Hoboken, NJ: Wiley.
7651:Knapp (2016), sec IV 2
7631:Durbin (2009), sec. 54
7462:
7368:
7338:
7296:
7276:
7222:
7186:
7160:
7140:
7114:
7087:
7028:
7000:
6972:
6798:
6772:
6752:
6726:
6697:
6662:
6626:
6598:
6560:
6540:
6510:
6490:
6413:
6393:
6373:
6322:
6302:
6282:
6262:
6242:
6214:
6164:
6116:
6090:
6062:
6042:
6018:
5968:
5948:
5924:
5880:
5854:
5830:
5799:
5773:
5738:
5706:To generalise this to
5692:
5672:
5652:
5620:
5594:
5560:
5538:and the submodules of
5532:
5512:
5492:
5472:
5452:
5423:
5395:
5339:
5307:
5287:
5264:
5232:
5212:
5192:
5164:
5133:
5105:
5077:
5045:
5025:
4962:The quotient modules (
4750:
4696:
4668:
4638:
4618:
4604:(a subring containing
4598:
4578:
4550:
4530:
4510:
4482:
4448:
4428:
4399:
4371:
4315:
4283:
4263:
4240:
4208:
4188:
4168:
4140:
4109:
4081:
4053:
4021:
4001:
3978:
3946:
3926:
3906:
3878:
3847:
3819:
3791:
3759:
3739:
3581:
3547:
3527:
3503:
3462:
3439:
3415:
3388:
3368:
3336:
3304:
3284:
3244:correspondence theorem
2983:
2919:
2877:that of abelian groups
2857:
2819:
2775:
2737:
2711:
2673:
2632:
2598:
2578:
2577:{\displaystyle \ker f}
2540:
2502:
2501:{\displaystyle \ker f}
2474:is a monomorphism and
2464:
2430:
2342:correspondence theorem
2330:
2302:
2282:
2262:
2228:
2208:
2188:
2154:correspondence theorem
2134:
2106:
2050:
2018:
1998:
1975:
1943:
1923:
1903:
1875:
1844:
1816:
1788:
1756:
1736:
1713:
1681:
1661:
1641:
1613:
1582:
1554:
1526:
1494:
1474:
1450:
1430:
1410:
1382:
1209:
1155:
1135:
1094:
989:
965:
907:
834:
811:
791:
771:
751:
731:
707:
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415:
395:
375:
355:
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206:
8002:(6 ed.). Wiley.
7989:Scott, W. R. (1964),
7878:(1927) pp. 26–61
7873:Mathematische Annalen
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290: / ker(
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121:Three years later,
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4819:is a submodule of
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971:, the subgroup of
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298:In particular, if
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191:Theorem A (groups)
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7794:978-0-471-43334-7
7616:van der Waerden,
7594:978-1-4471-2527-3
7573:Wilson, Robert A.
7558:978-0-471-87731-8
7547:. Wiley. p.
7522:978-0-8218-4799-2
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5511:{\displaystyle M}
5491:{\displaystyle M}
5471:{\displaystyle N}
5451:{\displaystyle M}
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5306:{\displaystyle M}
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5211:{\displaystyle S}
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4986:) are isomorphic.
4947:The intersection
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4872:is isomorphic to
4856: / ker(
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4624:) is an ideal of
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3912:for some subring
3856:Every subring of
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3700:) are isomorphic.
3661:The intersection
3591:Theorem B (rings)
3553:is isomorphic to
3546:{\displaystyle S}
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3344:ring homomorphism
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3234:
3233:
3230:Freshman theorem
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2808:
2717:and the subgroup
2597:{\displaystyle H}
2480:conormal category
2301:{\displaystyle N}
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2227:{\displaystyle G}
2207:{\displaystyle N}
2187:{\displaystyle G}
2112:is isomorphic to
2017:{\displaystyle G}
1997:{\displaystyle K}
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1473:{\displaystyle K}
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1409:{\displaystyle G}
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770:{\displaystyle N}
757:. In this case,
750:{\displaystyle G}
730:{\displaystyle N}
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