3584:
3177:
2550:-linear maps between representations by "averaging" over the action of individual group elements on some fixed linear operator. In particular, given any irreducible representation, such objects will satisfy the assumptions of Schur's lemma, hence be scalar multiples of the identity. More precisely:
3579:{\displaystyle {\begin{aligned}(\rho _{W}(g'))^{-1}h_{0}\rho _{V}(g')&={\frac {1}{|G|}}\sum _{g\in G}(\rho _{W}(g'))^{-1}(\rho _{W}(g))^{-1}h\rho _{V}(g)\rho _{V}(g')\\&={\frac {1}{|G|}}\sum _{g\in G}(\rho _{W}(g\circ g'))^{-1}h\rho _{V}(g\circ g')\\&=h_{0}\end{aligned}}}
3877:
2710:
1507:
6452:
4098:
7182:
3144:
6958:
1875:
4485:
695:
6029:
3182:
4587:
4408:
6178:
5726:
5080:
4810:
6728:
7005:
7461:
6562:
2949:
4188:
2369:
6811:
6100:
3927:
1567:
6300:
6266:
5599:
5015:
4258:
2890:
2279:
977:
7316:
7263:
7101:
6487:
6369:
4549:
495:โ are the building blocks of representation theory. Many of the initial questions and theorems of representation theory deal with the properties of irreducible representations.
5542:
5933:
5514:
1644:
7488:
7369:
7206:
7129:
7068:
6124:
6061:
5886:
5836:
5414:
3026:
1612:
4355:
4314:
2052:
6334:
2850:
2587:
1964:
937:
224:
3682:
2520:
812:
785:
570:
543:
7025:
6589:
6514:
5678:
2215:
7345:
4639:
4156:
3619:
2791:
2491:
2394:
2106:
1718:
1669:
1358:
1127:
7510:. The action of the Casimir element plays an important role in the proof of complete reducibility for finite-dimensional representations of semisimple Lie algebras.
5625:
4765:
4511:
3170:
1246:
6888:
6861:
6831:
6752:
6682:
6655:
5973:
3646:
3060:
2984:
7508:
7230:
5755:
5443:
3702:
2081:
1993:
1904:
5189:
When the field is not algebraically closed, the case where the endomorphism ring is as small as possible is still of particular interest. A simple module over a
4613:
2820:
2195:
908:
7416:
7393:
7283:
6775:
6609:
6218:
6198:
5953:
5795:
5775:
5649:
5467:
5370:
5350:
5330:
5310:
5279:
5255:
5235:
5207:
5184:
5164:
5144:
5124:
5100:
5035:
4967:
4947:
4927:
4907:
4739:
4719:
4699:
4679:
4659:
4208:
4124:
2754:
2734:
2574:
2548:
2462:
2442:
2323:
2299:
2239:
2166:
2146:
2126:
2013:
1928:
1765:
1738:
1693:
1333:
1313:
1293:
1266:
1211:
1191:
1171:
1151:
1102:
1082:
1062:
1042:
1015:
868:
848:
3709:
1363:
7598:
has an endomorphism ring that is a division ring, specifically the field of rational numbers. Even for group rings, there are examples when the
4874:
is the field of complex numbers, the only option is that this division algebra is the complex numbers. Thus the endomorphism ring of the module
8014:
6374:
4022:
499:
8059:
7134:
2241:. (An eigenvalue exists for every linear transformation on a finite-dimensional vector space over an algebraically closed field.) Let
3065:
6897:
6961:
6731:
1774:
135:
7586:. Such modules are necessarily indecomposable, and so cannot exist over semi-simple rings such as the complex group ring of a
4413:
7963:
7706:
630:
7582:
In general, Schur's lemma cannot be reversed: there exist modules that are not simple, yet their endomorphism algebra is a
5981:
7939:
7855:
7806:
4554:
4360:
986:
maps are the identity, and scalar multiples of the identity. (A scalar multiple of the identity is sometimes called a
7990:
7920:
20:
6132:
5686:
5040:
4770:
2168:
must be zero or surjective. By assumption it is not zero, so it is surjective, in which case it is an isomorphism.
6687:
6967:
8049:
7421:
2895:
8033:
131:
4161:
7104:
6032:
6784:
6066:
3884:
1512:
8028:
6519:
6271:
6223:
5547:
4972:
4213:
3933:
2855:
942:
7288:
7235:
7073:
6457:
6339:
4516:
2530:
An important corollary of Schur's lemma follows from the observation that we can often build explicitly
5519:
2827:
914:
479:
378:
55:
5891:
5472:
2328:
1617:
7466:
7350:
7187:
7110:
7049:
6105:
6042:
5841:
5800:
5378:
2989:
1572:
2244:
7599:
7522:
that are not necessarily simple. They express relations between the module-theoretic properties of
4319:
4263:
3941:
2823:
2018:
910:
6312:
2833:
1933:
920:
207:
8023:
7723:
6036:
5628:
3651:
2496:
2197:
finite-dimensional over an algebraically closed field and they have the same representation, let
1130:
7372:
5210:
4815:
The group version is a special case of the module version, since any representation of a group
2424:
to conclude that the kernel is a subrepresentation, and is thus either zero or equal to all of
790:
763:
717:
548:
521:
7010:
6567:
6492:
5654:
2200:
7688:
7562:
7321:
5146:
is a simple module that is at most countably-dimensional, the only linear transformations of
4618:
4129:
3591:
2763:
107:
35:
5604:
4744:
4490:
3149:
1216:
8064:
7745:
7603:
6866:
6839:
6816:
6737:
6660:
6633:
6619:
We now describe Schur's lemma as it is usually stated in the context of representations of
5958:
5446:
4835:
3998:
3624:
3038:
2962:
402:
171:
79:
43:
7493:
7265:
acting on the same vector space. It follows from the second part of Schur's lemma that if
7215:
5731:
5419:
3687:
2057:
1969:
1880:
8:
4592:
3979:
2799:
2174:
1907:
887:
197:
119:
87:
39:
7749:
2471:
2374:
2086:
1698:
1649:
1338:
1107:
8008:
7779:
7735:
7648:
7546:
7401:
7378:
7268:
7209:
6760:
6594:
6306:, i.e. invariant under conjugation. Since the set of class functions is spanned by the
6203:
6183:
5938:
5780:
5760:
5634:
5452:
5355:
5335:
5315:
5295:
5264:
5240:
5220:
5192:
5169:
5149:
5129:
5109:
5085:
5020:
4952:
4932:
4912:
4892:
4724:
4704:
4684:
4664:
4644:
4193:
4109:
3972:
3945:
3872:{\displaystyle \mathrm {Tr} ={\frac {1}{|G|}}\sum _{g\in G}\mathrm {Tr} =\mathrm {Tr} }
2739:
2719:
2559:
2533:
2447:
2427:
2308:
2284:
2224:
2151:
2131:
2111:
1998:
1913:
1750:
1723:
1678:
1318:
1298:
1278:
1251:
1196:
1176:
1156:
1136:
1087:
1067:
1047:
1027:
1000:
853:
833:
189:
163:
127:
7757:
7591:
6684:
are irreducible representations of a Lie group or Lie algebra over any field and that
7996:
7986:
7959:
7935:
7916:
7851:
7802:
7771:
7702:
7615:
7527:
5258:
4002:
2705:{\displaystyle h_{0}={\frac {1}{|G|}}\sum _{g\in G}(\rho _{W}(g))^{-1}h\rho _{V}(g).}
503:
470:
7783:
7978:
7761:
7753:
7694:
7693:. Graduate Texts in Mathematics. Vol. 42. New York, NY: Springer. p. 13.
7643:
7611:
7607:
6307:
5214:
4859:
4830:
Schur's lemma is frequently applied in the following particular case. Suppose that
3937:
7669:
8054:
7955:
7949:
7674:
Sitzungsberichte der Kรถniglich
Preussischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin
7595:
7518:
The one module version of Schur's lemma admits generalizations involving modules
7396:
5103:
286:
147:
7982:
7490:
is a constant that can be computed explicitly in terms of the highest weight of
16:
Homomorphisms between simple modules over the same ring are isomorphisms or zero
7034:
of the second statement is that every complex irreducible representation of an
6303:
4878:
is "as small as possible". In other words, the only linear transformations of
227:
151:
7698:
2417:. Then we return to the above argument, where we used the fact that a map was
8043:
8000:
7775:
7583:
7035:
4006:
3968:
1502:{\displaystyle f((\rho _{V}(g))(x))=(\rho _{W}(g))(f(x))=(\rho _{W}(g))(0)=0}
488:
7623:
7587:
492:
484:
243:
182:
111:
7934:, Graduate Texts in Mathematics, vol. 222 (2nd ed.), Springer,
7932:
Lie Groups, Lie
Algebras, and Representations: An Elementary Introduction
7740:
7375:, an important example of the preceding construction is the one in which
6624:
4741:
is bijective, and hence an isomorphism. Consequently, every homomorphism
2302:
612:
506:, we are also interested in certain functions between representations of
429:
on its own as a vector space, then there is an obvious representation of
255:
143:
123:
27:
6447:{\displaystyle u_{\pi }:={\frac {1}{\#G}}\sum _{g\in G}\chi _{\pi }(g)g}
5797:-endomorphism and hence as a scalar. Thus, there is a ring homomorphism
4870:
is finite-dimensional, this division algebra is finite-dimensional. If
4681:
is injective), and its image cannot be trivial and must therefore equal
4093:{\displaystyle f(rm)=rf(m){\text{ for all }}m\in M{\text{ and }}r\in R.}
1248:. (It is easy to check that this is a subspace.) By the assumption that
7766:
7542:
6777:
is an irreducible representation of a Lie group or Lie algebra over an
4820:
2757:
2218:
1768:
871:
67:
6890:
are irreducible representations of a Lie group or Lie algebra over an
3932:
This result has numerous applications. For example, in the context of
7676:(in German). Berlin: Preuรische Akademie der Wissenschaften: 406โ432.
7031:
6620:
5237:. This is in general stronger than being irreducible over the field
1741:
251:
139:
6516:
are idempotent, they are each mapped either to 0 or to 1, and since
4126:
is either zero or surjective and injective. We first show that both
4854:. Then Schur's lemma says that the endomorphism ring of the module
4589:
are submodules of simple modules, they are either trivial or equal
713:
110:
of a group must act as a scalar operator (a scalar multiple of the
3944:, it is used to restrict atomic orbital interactions based on the
498:
Just as we are interested in homomorphisms between groups, and in
196:. (Let us here restrict ourselves to the case when the underlying
7177:{\displaystyle \pi :{\mathfrak {g}}\rightarrow \mathrm {End} (V)}
6614:
6035:
of a Lie algebra, a central character is also referred to as an
3588:
Now applying the previous theorem, for case 1, it follows that
3139:{\displaystyle \rho _{W}(g)\circ h_{0}=h_{0}\circ \rho _{V}(g)}
7347:
must be a multiple of the identity operator. In the case when
7672:[New foundation for the theory of group characters].
6953:{\displaystyle \phi _{1},\phi _{2}:V_{1}\rightarrow V_{2}}
734:
maps can exist between two irreducible representations of
3951:
2556:: Using the same notation from the previous theorem, let
1870:{\displaystyle f((\rho _{V}(g))(x))=(\rho _{W}(g))(f(x))}
6591:
can be mapped to 1: the one corresponding to the module
6564:
for two different irreducible representations, only one
4480:{\displaystyle rn=rf(m)=f(rm)\in \operatorname {im} (f)}
7850:(Revised and expanded ed.). Springer. p. 43.
7513:
690:{\displaystyle \rho _{W}(g)\circ f=f\circ \rho _{V}(g)}
6371:, the central character is determined by what it maps
5257:, and implies the module is irreducible even over the
7724:"Tight informationally complete quantum measurements"
7496:
7469:
7424:
7404:
7381:
7353:
7324:
7291:
7271:
7238:
7218:
7190:
7137:
7113:
7076:
7052:
7041:
7013:
6970:
6900:
6869:
6842:
6819:
6787:
6763:
6740:
6690:
6663:
6636:
6597:
6570:
6522:
6495:
6460:
6377:
6342:
6315:
6274:
6226:
6206:
6186:
6135:
6108:
6069:
6045:
5984:
5961:
5941:
5894:
5844:
5803:
5783:
5763:
5734:
5689:
5657:
5637:
5607:
5550:
5522:
5475:
5455:
5422:
5381:
5358:
5338:
5318:
5298:
5267:
5243:
5223:
5195:
5172:
5152:
5132:
5112:
5088:
5043:
5023:
4975:
4955:
4935:
4915:
4895:
4773:
4747:
4727:
4707:
4687:
4667:
4647:
4621:
4595:
4557:
4519:
4493:
4416:
4363:
4322:
4266:
4216:
4196:
4164:
4132:
4112:
4025:
3887:
3712:
3690:
3654:
3627:
3594:
3180:
3152:
3068:
3041:
2992:
2965:
2898:
2858:
2836:
2802:
2766:
2742:
2722:
2590:
2562:
2536:
2499:
2474:
2450:
2430:
2377:
2331:
2311:
2287:
2247:
2227:
2203:
2177:
2154:
2134:
2114:
2089:
2060:
2021:
2001:
1972:
1936:
1916:
1883:
1777:
1753:
1726:
1701:
1681:
1652:
1620:
1575:
1515:
1366:
1341:
1321:
1301:
1281:
1254:
1219:
1199:
1179:
1159:
1139:
1110:
1090:
1070:
1050:
1030:
1003:
945:
923:
890:
856:
836:
793:
766:
633:
551:
524:
230:.) Such a homomorphism is called a representation of
210:
5284:
477:
with no non-trivial subrepresentations is called an
7973:Sengupta, Ambar (2012). "Induced Representations".
7670:"Neue Begrรผndung der Theorie der Gruppencharaktere"
6200:, the same conclusion follows. Here, the center of
6024:{\displaystyle R=U({\mathfrak {g}}),k=\mathbb {C} }
5728:, say in the case sketched above, every element of
3648:is a scalar multiple of the identity matrix (i.e.,
741:
473:as trivial subrepresentations. A representation of
437:โthe representation we get by restricting each map
34:is an elementary but extremely useful statement in
7502:
7482:
7455:
7410:
7387:
7363:
7339:
7310:
7277:
7257:
7224:
7200:
7176:
7123:
7095:
7062:
7019:
6999:
6952:
6882:
6855:
6825:
6805:
6769:
6746:
6722:
6676:
6649:
6603:
6583:
6556:
6508:
6481:
6446:
6363:
6328:
6294:
6260:
6212:
6192:
6172:
6118:
6094:
6055:
6023:
5967:
5947:
5927:
5880:
5830:
5789:
5769:
5749:
5720:
5672:
5643:
5619:
5593:
5536:
5508:
5461:
5437:
5408:
5364:
5344:
5324:
5304:
5273:
5249:
5229:
5201:
5178:
5166:that commute with all transformations coming from
5158:
5138:
5118:
5094:
5074:
5029:
5009:
4961:
4941:
4921:
4901:
4882:that commute with all transformations coming from
4804:
4759:
4733:
4713:
4693:
4673:
4653:
4633:
4607:
4581:
4543:
4505:
4479:
4402:
4349:
4308:
4252:
4202:
4182:
4150:
4118:
4092:
4001:is either invertible or zero. In particular, the
3921:
3871:
3696:
3676:
3640:
3613:
3578:
3164:
3138:
3054:
3020:
2978:
2943:
2884:
2844:
2814:
2785:
2748:
2728:
2704:
2568:
2542:
2514:
2485:
2456:
2436:
2388:
2363:
2317:
2293:
2273:
2233:
2209:
2189:
2160:
2140:
2120:
2100:
2075:
2046:
2007:
1987:
1958:
1922:
1898:
1869:
1759:
1732:
1712:
1687:
1663:
1638:
1606:
1561:
1501:
1352:
1327:
1307:
1287:
1260:
1240:
1205:
1185:
1165:
1145:
1121:
1096:
1076:
1056:
1036:
1009:
971:
931:
902:
862:
842:
806:
779:
689:
564:
537:
218:
157:
7846:Bourbaki, Nicolas (2012). "Algรจbre: Chapitre 8".
7212:of the universal enveloping algebra ensures that
4909:is an algebra over an algebraically closed field
4582:{\displaystyle \operatorname {im} (f)\subseteq N}
1675:; it is a subrepresentation. Since by assumption
106:is a self-map; in particular, any element of the
8041:
4819:can equivalently be viewed as a module over the
4403:{\displaystyle n=f(m)\in \operatorname {im} (f)}
8021:
1877:, we can conclude that for arbitrary choice of
727:Schur's Lemma is a theorem that describes what
7915:(2nd ed.). New York: Wiley. p. 337.
7728:Journal of Physics A: Mathematical and General
6615:Representations of Lie groups and Lie algebras
7614:of the one-dimensional representation of the
6173:{\displaystyle k=\mathbb {C} ,R=\mathbb {C} }
6102:is countable-dimensional), then every simple
6039:and the previous considerations show that if
5721:{\displaystyle \operatorname {End} _{R}(M)=k}
5075:{\displaystyle \operatorname {End} _{R}(M)=k}
4805:{\displaystyle \operatorname {Hom} _{R}(M,N)}
2525:
7911:Dummit, David S.; Foote, Richard M. (1999).
6723:{\displaystyle \phi :V_{1}\rightarrow V_{2}}
2015:; in particular it sends it to the image of
7910:
7549:, the following properties are equivalent (
7000:{\displaystyle \phi _{1}=\lambda \phi _{2}}
6833:is a scalar multiple of the identity map.
94:= 0. An important special case occurs when
8013:: CS1 maint: location missing publisher (
4767:is either zero or invertible, which makes
138:. Schur's lemma admits generalisations to
7765:
7739:
7545:. For the important class of modules of
6288:
6157:
6143:
6017:
5530:
2915:
2838:
925:
483:. Irreducible representations โ like the
212:
7972:
7845:
7821:
7456:{\displaystyle \pi (C)=\lambda _{\pi }I}
7208:over an algebraically closed field. The
6126:-module has an infinitesimal character.
2944:{\displaystyle h_{0}=I\,\mathrm {Tr} /n}
8022:Shtern, A.I.; Lomonosov, V.I. (2001) ,
7690:Linear Representations of Finite Groups
6627:. There are three parts to the result.
6180:is the group algebra of a finite group
5186:are scalar multiples of the identity.
250:, but rather than permit any arbitrary
8042:
7951:A First Course in Noncommutative Rings
7796:
4886:are scalar multiples of the identity.
4183:{\displaystyle \operatorname {im} (f)}
3952:Formulation in the language of modules
2444:; because it is not zero (it contains
2403:map, because the sum or difference of
1747:By an identical argument we will show
262:, we restrict ourselves to invertible
162:Representation theory is the study of
146:, the most common of which are due to
136:representation theory of finite groups
7797:Bishop, David M. (January 14, 1993).
7721:
7686:
7667:
4661:and must therefore be trivial (hence
3936:, it is used to derive results about
7929:
7894:
7882:
7870:
7514:Generalization to non-simple modules
7184:be an irreducible representation of
6806:{\displaystyle \phi :V\rightarrow V}
6095:{\displaystyle R=U({\mathfrak {g}})}
4016:is a module homomorphism means that
3922:{\displaystyle \mu =\mathrm {Tr} /n}
3684:). To determine the scalar multiple
1562:{\displaystyle f(\rho _{V}(g)(x))=0}
46:. In the group case it says that if
7947:
7833:
7550:
7356:
7300:
7247:
7193:
7146:
7116:
7085:
7055:
6557:{\displaystyle u_{\pi }u_{\pi '}=0}
6336:of the irreducible representations
6295:{\displaystyle a:G\to \mathbb {C} }
6261:{\displaystyle \sum _{g\in G}a(g)g}
6111:
6084:
6048:
5999:
5594:{\displaystyle (z-\chi (z))^{n}m=0}
5010:{\displaystyle \dim _{k}(M)<\#k}
4253:{\displaystyle m\in \ker(f),r\in R}
2885:{\displaystyle \rho _{V}=\rho _{W}}
2148:, so it is a subrepresentation and
972:{\displaystyle \rho _{V}=\rho _{W}}
361:. In other words, every linear map
13:
7590:. However, even over the ring of
7578:is either nilpotent or invertible.
7311:{\displaystyle U({\mathfrak {g}})}
7258:{\displaystyle U({\mathfrak {g}})}
7161:
7158:
7155:
7096:{\displaystyle U({\mathfrak {g}})}
7042:Application to the Casimir element
6754:is either zero or an isomorphism.
6482:{\displaystyle \pi \in {\hat {G}}}
6397:
6364:{\displaystyle \pi \in {\hat {G}}}
6220:consists of elements of the shape
5001:
4544:{\displaystyle \ker(f)\subseteq M}
3898:
3895:
3856:
3853:
3782:
3779:
3717:
3714:
3621:, and for case 2, it follows that
2997:
2994:
2920:
2917:
814:be irreducible representations of
697:. In other words, we require that
425:. It is clear that if we consider
14:
8076:
8060:Theorems in representation theory
5537:{\displaystyle n\in \mathbb {N} }
5285:Application to central characters
5928:{\displaystyle z\in Z(R),m\in M}
5509:{\displaystyle m\in M,z\in Z(R)}
2364:{\displaystyle \lambda ,f'(x)=0}
1639:{\displaystyle f:V\rightarrow W}
742:Statement and Proof of the Lemma
457:with the given representation a
421:, or stable under the action of
7888:
7483:{\displaystyle \lambda _{\pi }}
7364:{\displaystyle {\mathfrak {g}}}
7232:extends to a representation of
7201:{\displaystyle {\mathfrak {g}}}
7124:{\displaystyle {\mathfrak {g}}}
7063:{\displaystyle {\mathfrak {g}}}
6119:{\displaystyle {\mathfrak {g}}}
6063:is finite-dimensional (so that
6056:{\displaystyle {\mathfrak {g}}}
5881:{\displaystyle (z-\chi (z))m=0}
5831:{\displaystyle \chi :Z(R)\to k}
5409:{\displaystyle \chi :Z(R)\to k}
3021:{\displaystyle \mathrm {Tr} /n}
1995:somewhere else in the image of
1607:{\displaystyle \rho _{V}(g)(x)}
874:, then there are no nontrivial
584:respectively. Then we define a
158:Representation theory of groups
7977:. New York. pp. 235โ248.
7876:
7864:
7839:
7827:
7815:
7790:
7715:
7680:
7661:
7541:if its endomorphism ring is a
7434:
7428:
7334:
7328:
7305:
7295:
7252:
7242:
7171:
7165:
7151:
7090:
7080:
6937:
6797:
6707:
6473:
6438:
6432:
6355:
6284:
6252:
6246:
6167:
6161:
6089:
6079:
6004:
5994:
5910:
5904:
5866:
5863:
5857:
5845:
5822:
5819:
5813:
5744:
5738:
5709:
5703:
5667:
5661:
5573:
5569:
5563:
5551:
5503:
5497:
5432:
5426:
5400:
5397:
5391:
5063:
5057:
4995:
4989:
4799:
4787:
4751:
4570:
4564:
4532:
4526:
4474:
4468:
4456:
4447:
4438:
4432:
4397:
4391:
4379:
4373:
4344:
4338:
4297:
4291:
4279:
4270:
4235:
4229:
4177:
4171:
4145:
4139:
4056:
4050:
4038:
4029:
3908:
3902:
3866:
3860:
3846:
3843:
3837:
3812:
3808:
3802:
3789:
3786:
3755:
3747:
3734:
3721:
3549:
3532:
3507:
3503:
3486:
3473:
3450:
3442:
3422:
3411:
3398:
3392:
3367:
3363:
3357:
3344:
3332:
3328:
3317:
3304:
3281:
3273:
3256:
3245:
3213:
3209:
3198:
3185:
3133:
3127:
3085:
3079:
3007:
3001:
2930:
2924:
2696:
2690:
2665:
2661:
2655:
2642:
2619:
2611:
2352:
2346:
2274:{\displaystyle f'=f-\lambda I}
2070:
2064:
2038:
2032:
1982:
1976:
1953:
1947:
1893:
1887:
1864:
1861:
1855:
1849:
1846:
1843:
1837:
1824:
1818:
1815:
1809:
1806:
1803:
1797:
1784:
1781:
1671:is stable under the action of
1630:
1601:
1595:
1592:
1586:
1550:
1547:
1541:
1538:
1532:
1519:
1490:
1484:
1481:
1478:
1472:
1459:
1453:
1450:
1444:
1438:
1435:
1432:
1426:
1413:
1407:
1404:
1398:
1395:
1392:
1386:
1373:
1370:
1229:
1223:
684:
678:
650:
644:
293:, such that for every element
134:and develop the basics of the
21:Schur's lemma (disambiguation)
1:
7904:
6813:is an intertwining map, then
4350:{\displaystyle rm\in \ker(f)}
4309:{\displaystyle f(rm)=rf(m)=0}
2047:{\displaystyle \rho _{V}(g)x}
301:, the invertible linear map
132:Schur orthogonality relations
7634:as its endomorphism ring.
7105:universal enveloping algebra
6329:{\displaystyle \chi _{\pi }}
6033:universal enveloping algebra
5213:if its endomorphism ring is
3938:complex projective t-designs
2845:{\displaystyle \mathbb {C} }
1959:{\displaystyle \rho _{W}(g)}
932:{\displaystyle \mathbb {C} }
701:commutes with the action of
219:{\displaystyle \mathbb {C} }
7:
8029:Encyclopedia of Mathematics
7983:10.1007/978-1-4614-1231-1_8
7758:10.1088/0305-4470/39/43/009
7687:Serre, Jean-Pierre (1977).
7637:
7571:is strongly indecomposable;
5106:algebraically closed field
3934:quantum information science
3677:{\displaystyle h_{0}=\mu I}
2515:{\displaystyle f=\lambda I}
2128:stable under the action of
1569:is the same as saying that
979:, then the only nontrivial
453:has this property, we call
258:) of the underlying set of
56:irreducible representations
54:are two finite-dimensional
10:
8081:
7975:Representing Finite Groups
7526:and the properties of the
4641:, its kernel cannot equal
2828:algebraically closed field
2526:Corollary of Schur's Lemma
915:algebraically closed field
760:be vector spaces; and let
518:be vector spaces, and let
480:irreducible representation
465:. Every representation of
281:. It may be the case that
82:of the group, then either
18:
7722:Scott, A J (2006-10-27).
7699:10.1007/978-1-4684-9458-7
7602:of the field divides the
7285:belongs to the center of
4106:It suffices to show that
3062:is a G-linear map, i.e.,
807:{\displaystyle \rho _{W}}
780:{\displaystyle \rho _{V}}
565:{\displaystyle \rho _{W}}
538:{\displaystyle \rho _{V}}
7848:รlรฉments de mathรฉmatique
7654:
7020:{\displaystyle \lambda }
6584:{\displaystyle u_{\pi }}
6509:{\displaystyle u_{\pi }}
5673:{\displaystyle \chi (z)}
4005:of a simple module is a
3942:molecular orbital theory
3172:. Indeed, consider that
2986:is a homothety of ratio
2210:{\displaystyle \lambda }
1614:is in the null space of
603:to be a linear map from
7948:Lam, Tsit-Yuen (2001).
7930:Hall, Brian C. (2015),
7539:strongly indecomposable
7537:A module is said to be
7340:{\displaystyle \pi (x)}
6037:infinitesimal character
5629:generalized eigenvector
5209:-algebra is said to be
5082:. So in particular, if
4850:is a simple module of
4812:into a division ring.
4634:{\displaystyle f\neq 0}
4151:{\displaystyle \ker(f)}
3614:{\displaystyle h_{0}=0}
3035:Let us first show that
2786:{\displaystyle h_{0}=0}
2576:be a linear mapping of
273:be a representation of
242:is a special case of a
78:that commutes with the
7801:. Dover Publications.
7799:Symmetry and Chemistry
7574:Every endomorphism of
7504:
7484:
7457:
7412:
7389:
7373:semisimple Lie algebra
7365:
7341:
7312:
7279:
7259:
7226:
7202:
7178:
7125:
7097:
7064:
7021:
7001:
6954:
6884:
6857:
6827:
6807:
6771:
6748:
6724:
6678:
6651:
6605:
6585:
6558:
6510:
6483:
6448:
6365:
6330:
6296:
6262:
6214:
6194:
6174:
6120:
6096:
6057:
6025:
5969:
5955:has central character
5949:
5929:
5882:
5832:
5791:
5771:
5751:
5722:
5674:
5645:
5621:
5620:{\displaystyle m\in M}
5595:
5538:
5510:
5463:
5439:
5410:
5366:
5346:
5326:
5306:
5275:
5251:
5231:
5203:
5180:
5160:
5140:
5120:
5102:is an algebra over an
5096:
5076:
5031:
5011:
4963:
4943:
4923:
4903:
4806:
4761:
4760:{\displaystyle M\to N}
4735:
4715:
4695:
4675:
4655:
4635:
4609:
4583:
4545:
4507:
4506:{\displaystyle r\in R}
4481:
4404:
4351:
4310:
4254:
4204:
4184:
4152:
4120:
4094:
3923:
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7395:is the (quadratic)
4969:-module satisfying
4889:More generally, if
4615:, respectively. If
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2371:. It is clear that
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1509:. But saying that
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1285:
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6404:
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5935:. In particular,
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5211:absolutely simple
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4062:
4003:endomorphism ring
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2141:{\displaystyle G}
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1733:{\displaystyle f}
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471:zero vector space
459:subrepresentation
405:is restricted to
266:transformations.
188:; i.e., into the
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7741:quant-ph/0604049
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7644:Schur complement
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7608:Jacobson radical
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7594:, the module of
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7506:
7501:
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7486:
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7459:
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7449:
7448:
7418:. In this case,
7417:
7415:
7414:
7409:
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7649:Quillen's lemma
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