549:
1689:
1954:
1106:
407:
2964:
1010:
2670:
1810:
2410:
1876:
3384:
3426:
2259:
335:
3134:
2920:
2003:
3168:
2774:
2522:
916:
800:
612:
1312:
3260:
3197:
2993:
1458:
1412:
2814:
472:
2565:
1558:
1563:
1515:
1228:
1147:
659:
3336:
2225:
3231:
3027:
2344:
2129:
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2032:
257:
3284:
3051:
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2589:
2458:
2434:
2173:
2056:
1362:
1171:
853:
760:
736:
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431:
301:
217:
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3446:
2076:
2696:
1338:
1263:
2485:
1726:
826:
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2279:
2149:
1478:
1382:
1191:
712:
277:
189:
1018:
340:
141:
2925:
228:
925:
2618:
1735:
2349:
1815:
3341:
2085:
Krull’s height theorem can be proved as a consequence of the principal ideal theorem by induction on the number of elements. Let
3389:
2230:
306:
3056:
2852:
1959:
3495:
3139:
2704:
3539:
2490:
858:
765:
554:
1268:
146:
3236:
3173:
2969:
1417:
544:{\displaystyle A\supset {\mathfrak {q}}\supset {\mathfrak {q}}^{(2)}\supset {\mathfrak {q}}^{(3)}\supset \cdots }
1387:
2782:
1684:{\displaystyle {\mathfrak {q}}^{(n)}/{\mathfrak {q}}^{(n+1)}=(x){\mathfrak {q}}^{(n)}/{\mathfrak {q}}^{(n+1)}}
3534:
2527:
1520:
3529:
1483:
1196:
1115:
617:
442:
3289:
2178:
3202:
2998:
2313:
2088:
2284:
2008:
233:
155:
3265:
3032:
2594:
2570:
2439:
2415:
2154:
2037:
1343:
1152:
831:
741:
717:
448:
412:
282:
198:
667:
2819:
3431:
2061:
2675:
140:
The principal ideal theorem and the generalization, the height theorem, both follow from the
3514:
1317:
1233:
2463:
1949:{\displaystyle {\mathfrak {q}}^{n}A_{\mathfrak {q}}={\mathfrak {q}}^{n+1}A_{\mathfrak {q}}}
32:
1702:
8:
1692:
805:
662:
98:
87:
20:
2264:
2134:
1463:
1367:
1176:
697:
262:
174:
1101:{\displaystyle {\mathfrak {q}}^{(n)}={\mathfrak {q}}^{(n+1)}+x\,{\mathfrak {q}}^{(n)}}
3491:
3483:
40:
36:
402:{\displaystyle {\mathfrak {q}}^{(n)}={\mathfrak {q}}^{n}A_{\mathfrak {q}}\cap A}
50:
3475:
28:
3487:
2959:{\displaystyle {\overline {\mathfrak {q}}}\subset {\overline {\mathfrak {p}}}}
58:
3523:
434:
66:
2261:
a prime ideal such that there is no prime strictly between them. Replacing
144:
in commutative algebra (see also below for the direct proofs). Bourbaki's
1005:{\displaystyle {\mathfrak {q}}^{(n)}+(x)={\mathfrak {q}}^{(n+1)}+(x)}
3482:. Graduate Texts in Mathematics. Vol. 150. Springer-Verlag.
2665:{\displaystyle {\sqrt {{\mathfrak {q}}+(x_{1})}}={\mathfrak {p}}}
1805:{\displaystyle M={\mathfrak {q}}^{(n)}/{\mathfrak {q}}^{(n+1)}=0}
2405:{\displaystyle {\mathfrak {p}}={\sqrt {(x_{1},\dots ,x_{n})}}}
133:, then it is a minimal prime ideal over an ideal generated by
1871:{\displaystyle {\mathfrak {q}}^{(n)}={\mathfrak {q}}^{(n+1)}}
3379:{\displaystyle \operatorname {ht} ({\mathfrak {q}})\leq n-1}
43:. The theorem is sometimes referred to by its German name,
694:
is the intersection of all minimal prime ideals containing
3421:{\displaystyle \operatorname {ht} ({\mathfrak {p}})\leq n}
3515:
http://www.math.lsa.umich.edu/~hochster/615W10/supDim.pdf
3480:
Commutative
Algebra with a View Toward Algebraic Geometry
2254:{\displaystyle {\mathfrak {q}}\subsetneq {\mathfrak {p}}}
330:{\displaystyle {\mathfrak {q}}\subsetneq {\mathfrak {p}}}
129:. The converse is also true: if a prime ideal has height
3129:{\displaystyle x_{1},x_{2}^{r_{2}},\dots ,x_{n}^{r_{n}}}
166:
101:
that are not principal, and the result is often called
2915:{\displaystyle {\overline {A}}=A/(y_{2},\dots ,y_{n})}
1998:{\displaystyle {\mathfrak {q}}^{n}A_{\mathfrak {q}}=0}
3434:
3392:
3344:
3292:
3268:
3239:
3205:
3176:
3142:
3059:
3035:
3001:
2972:
2928:
2855:
2822:
2785:
2707:
2678:
2621:
2597:
2573:
2530:
2493:
2466:
2442:
2418:
2352:
2316:
2287:
2267:
2233:
2181:
2157:
2137:
2091:
2064:
2040:
2011:
1962:
1884:
1818:
1738:
1705:
1566:
1523:
1486:
1466:
1420:
1390:
1370:
1346:
1320:
1271:
1236:
1199:
1179:
1155:
1118:
1021:
928:
861:
834:
808:
768:
744:
720:
700:
670:
620:
557:
475:
451:
415:
343:
309:
285:
265:
236:
201:
177:
828:
contains some power of its radical, it follows that
3440:
3420:
3378:
3330:
3278:
3254:
3225:
3191:
3162:
3128:
3045:
3021:
2987:
2958:
2914:
2841:
2808:
2768:
2690:
2664:
2607:
2583:
2559:
2516:
2479:
2452:
2428:
2404:
2338:
2302:
2273:
2253:
2219:
2167:
2143:
2123:
2070:
2050:
2026:
1997:
1948:
1870:
1804:
1720:
1683:
1552:
1509:
1472:
1452:
1406:
1376:
1356:
1332:
1306:
1257:
1222:
1185:
1165:
1141:
1100:
1004:
910:
847:
820:
794:
754:
730:
706:
686:
653:
606:
543:
461:
425:
401:
329:
295:
271:
251:
211:
183:
3521:
551:. Thus, there is the descending chain of ideals
3163:{\displaystyle {\mathfrak {r}}={\mathfrak {p}}}
3511:, see in particular section (12.I), p. 77
2769:{\displaystyle x_{i}^{r_{i}}=y_{i}+a_{i}x_{1}}
2080:
2517:{\displaystyle x_{1}\not \in {\mathfrak {q}}}
911:{\displaystyle {\mathfrak {q}}^{(n)}+(x)/(x)}
795:{\displaystyle {\sqrt {(x)}}={\mathfrak {p}}}
607:{\displaystyle {\mathfrak {q}}^{(n)}+(x)/(x)}
3233:and so, by Krull’s principal ideal theorem,
1307:{\displaystyle z\in {\mathfrak {q}}^{(n+1)}}
3255:{\displaystyle {\overline {\mathfrak {q}}}}
3192:{\displaystyle {\overline {\mathfrak {p}}}}
2988:{\displaystyle {\overline {\mathfrak {r}}}}
1453:{\displaystyle ax\in {\mathfrak {q}}^{(n)}}
337:be a strictly smaller prime ideal and let
3504:
2034:is an Artinian ring; thus, the height of
1407:{\displaystyle x\not \in {\mathfrak {q}}}
1077:
3474:
3463:
2809:{\displaystyle y_{i}\in {\mathfrak {q}}}
1695:(which says a finitely generated module
1517:.) Now, quotienting out both sides by
469:. It forms a descending chain of ideals
2560:{\displaystyle {\mathfrak {q}}+(x_{1})}
1553:{\displaystyle {\mathfrak {q}}^{(n+1)}}
855:is an Artinian ring and thus the chain
142:fundamental theorem of dimension theory
3522:
2524:. Since every prime ideal containing
1510:{\displaystyle {\mathfrak {q}}^{(n)}}
1223:{\displaystyle {\mathfrak {q}}^{(n)}}
1142:{\displaystyle {\mathfrak {q}}^{(n)}}
654:{\displaystyle {\overline {A}}=A/(x)}
3331:{\displaystyle (y_{2},\dots ,y_{n})}
2220:{\displaystyle (x_{1},\dots ,x_{n})}
167:Proof of the principal ideal theorem
3404:
3356:
3271:
3243:
3226:{\displaystyle {\overline {x_{1}}}}
3180:
3155:
3145:
3038:
3022:{\displaystyle {\overline {x_{1}}}}
2976:
2947:
2932:
2801:
2657:
2626:
2600:
2576:
2533:
2509:
2445:
2421:
2355:
2346:is a local ring; note we then have
2339:{\displaystyle (A,{\mathfrak {p}})}
2328:
2294:
2246:
2236:
2160:
2043:
2018:
1983:
1966:
1940:
1917:
1905:
1888:
1845:
1822:
1773:
1748:
1658:
1633:
1595:
1570:
1527:
1490:
1433:
1399:
1349:
1281:
1203:
1158:
1122:
1081:
1048:
1025:
967:
932:
865:
787:
762:is a unique maximal ideal and thus
747:
723:
561:
518:
495:
484:
454:
418:
387:
370:
347:
322:
312:
288:
243:
204:
97:This theorem can be generalized to
31:(1899–1971), gives a bound on the
13:
2487:; relabeling the subscripts, say,
2124:{\displaystyle x_{1},\dots ,x_{n}}
1732:contained in the radical), we get
150:gives a direct proof. Kaplansky's
14:
3551:
2303:{\displaystyle A_{\mathfrak {p}}}
2027:{\displaystyle A_{\mathfrak {q}}}
252:{\displaystyle A_{\mathfrak {p}}}
3262:is a minimal prime (over zero);
1956:. Using Nakayama's lemma again,
918:stabilizes and so there is some
279:is local with the maximal ideal
82:is a principal, proper ideal of
3279:{\displaystyle {\mathfrak {q}}}
3046:{\displaystyle {\mathfrak {r}}}
2672:and thus we can write for each
2608:{\displaystyle {\mathfrak {p}}}
2584:{\displaystyle {\mathfrak {q}}}
2453:{\displaystyle {\mathfrak {q}}}
2429:{\displaystyle {\mathfrak {p}}}
2168:{\displaystyle {\mathfrak {p}}}
2051:{\displaystyle {\mathfrak {q}}}
1357:{\displaystyle {\mathfrak {p}}}
1166:{\displaystyle {\mathfrak {q}}}
848:{\displaystyle {\overline {A}}}
755:{\displaystyle {\mathfrak {p}}}
731:{\displaystyle {\mathfrak {p}}}
462:{\displaystyle {\mathfrak {q}}}
426:{\displaystyle {\mathfrak {q}}}
296:{\displaystyle {\mathfrak {p}}}
212:{\displaystyle {\mathfrak {p}}}
121:, then each minimal prime over
113:is a proper ideal generated by
25:Krull's principal ideal theorem
3457:
3409:
3399:
3361:
3351:
3325:
3293:
2909:
2877:
2647:
2634:
2554:
2541:
2397:
2365:
2333:
2317:
2214:
2182:
1863:
1851:
1834:
1828:
1791:
1779:
1760:
1754:
1676:
1664:
1645:
1639:
1627:
1621:
1613:
1601:
1582:
1576:
1545:
1533:
1502:
1496:
1445:
1439:
1299:
1287:
1215:
1209:
1134:
1128:
1093:
1087:
1066:
1054:
1037:
1031:
999:
993:
985:
973:
958:
952:
944:
938:
905:
899:
891:
885:
877:
871:
815:
809:
777:
771:
679:
673:
648:
642:
601:
595:
587:
581:
573:
567:
530:
524:
507:
501:
359:
353:
16:Theorem in commutative algebra
1:
3450:
687:{\displaystyle {\sqrt {(x)}}}
3505:Matsumura, Hideyuki (1970),
3247:
3218:
3184:
3014:
2980:
2951:
2936:
2922:and the corresponding chain
2861:
840:
626:
7:
3338:. By inductive hypothesis,
2849:. Now we consider the ring
2081:Proof of the height theorem
10:
3556:
2842:{\displaystyle a_{i}\in A}
3488:10.1007/978-1-4612-5350-1
161:
109:is a Noetherian ring and
78:is a Noetherian ring and
3441:{\displaystyle \square }
3286:is a minimal prime over
3199:is a minimal prime over
2995:is a minimal prime over
2071:{\displaystyle \square }
154:includes a proof due to
94:has height at most one.
3540:Theorems in ring theory
2691:{\displaystyle i\geq 2}
2460:cannot contain all the
3442:
3422:
3380:
3332:
3280:
3256:
3227:
3193:
3164:
3130:
3047:
3023:
2989:
2960:
2916:
2843:
2810:
2770:
2692:
2666:
2609:
2585:
2561:
2518:
2481:
2454:
2430:
2406:
2340:
2304:
2275:
2255:
2221:
2169:
2145:
2125:
2072:
2052:
2028:
1999:
1950:
1872:
1806:
1722:
1685:
1554:
1511:
1474:
1454:
1408:
1378:
1358:
1334:
1333:{\displaystyle a\in A}
1308:
1259:
1258:{\displaystyle y=z+ax}
1224:
1187:
1167:
1143:
1102:
1006:
912:
849:
822:
796:
756:
732:
708:
688:
655:
608:
545:
463:
427:
403:
331:
297:
273:
253:
213:
191:be a Noetherian ring,
185:
103:Krull's height theorem
65:
57:
49:
3443:
3423:
3381:
3333:
3281:
3257:
3228:
3194:
3165:
3131:
3048:
3024:
2990:
2961:
2917:
2844:
2811:
2771:
2693:
2667:
2610:
2586:
2562:
2519:
2482:
2480:{\displaystyle x_{i}}
2455:
2431:
2407:
2341:
2305:
2276:
2256:
2222:
2175:a minimal prime over
2170:
2146:
2126:
2073:
2053:
2029:
2000:
1951:
1873:
1807:
1723:
1686:
1555:
1512:
1475:
1455:
1409:
1379:
1359:
1335:
1309:
1260:
1225:
1188:
1168:
1144:
1103:
1007:
913:
850:
823:
797:
757:
733:
709:
689:
656:
609:
546:
464:
428:
404:
332:
298:
274:
254:
219:a minimal prime over
214:
195:an element of it and
186:
105:. This says that if
45:Krulls Hauptidealsatz
3535:Ideals (ring theory)
3509:, New York: Benjamin
3432:
3390:
3342:
3290:
3266:
3237:
3203:
3174:
3140:
3057:
3033:
2999:
2970:
2926:
2853:
2820:
2783:
2705:
2676:
2619:
2595:
2571:
2528:
2491:
2464:
2440:
2416:
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