3124:
2277:
4478:
1677:
3993:
2863:
6051:
17:
2527:
5001:
3110:
1467:
4473:{\displaystyle H_{D}(z)={z^{-N}A(z) \over {A(z^{-1})}}={a_{N}+a_{N-1}z^{-1}+...+a_{1}z^{-(N-1)}+z^{-N} \over {1+a_{1}z^{-1}+...+a_{N-1}z^{-(N-1)}+a_{N}z^{-N}}}\;\;\;\;\;{\text{which has}}\;\;\;\;\;{\begin{cases}|\centerdot |=1=0dB&0dB{\text{ gain}}\\\measuredangle _{H_{D}(z)}=-N\omega +2\measuredangle _{A(z)}=-D\omega &{\text{desired value for delay }}D\end{cases}}}
564:
2596:
2327:
4771:
2880:
2117:
1672:{\displaystyle {\begin{cases}|\centerdot |=1=0dB,&{\text{zero dB gain}}\\\measuredangle =-\omega D,&{\text{linear phase}}\\\tau _{gr}=-{d\measuredangle \over {d\omega }}=D,&{\text{constant group delay}}\\\tau _{ph}=-{\measuredangle \over {\omega }}=-D,&{\text{constant phase delay.}}\end{cases}}}
410:
6073:
provided digital delay devices each capable of 200 milliseconds of delay. Four speaker towers were placed 200 feet (60 m) from the stage, their signal delayed 175 ms to compensate for the speed of sound between the main stage speakers and the delay towers. Six more speaker towers were placed 400
5410:
2280:
The ideal fractional delay line is obtained by sampling the inverse
Fourier transform of the continuous-time domain fractional delay filter. Note how for integer delay value this case degenerates to simple shifted impulses. Delaying a sampled signal with this filter conceptually coincides to
2858:{\displaystyle h_{\tau }={\begin{cases}w(n-D)sinc(n-D)&{\text{for }}L\leq n\leq L+N\\0&{\text{otherwise}}\end{cases}}\;\;\;\;\;{\text{where}}\;\;\;\;\;L={\begin{cases}round(D)-{N \over {2}}&{\text{for even }}N\\\lfloor D\rfloor -{N-1 \over {2}}&{\text{for odd }}N\end{cases}}}
1015:
5139:
2522:{\displaystyle h_{\tau }={\begin{cases}sinc(n-D)&{\text{for }}0\leq n\leq N\\0&{\text{otherwise}}\end{cases}}\;\;\;\;\;{\text{where}}\;\;\;\;\;{N-1 \over {2}}<D<{N+1 \over {2}}\;\;\;\;\;{\text{and}}\;\;\;\;\;N\;{\text{is the order of the filter.}}}
4996:{\displaystyle E_{LS}={1 \over {2\pi }}\int \limits _{-\pi }^{\pi }w(\omega )|\underbrace {\underbrace {-D\omega } _{\measuredangle _{ID}}-\underbrace {(-N\omega +2\measuredangle _{A(z)})} _{\measuredangle _{H}}} _{\Delta \measuredangle _{H_{D}}}|^{2}d\omega }
106:
If a delay line holds a non-integer value smaller than one, it results in a fractional delay line (also called interpolated delay line or fractional delay filter). A series of an integer delay line and a fractional delay filter is commonly used for modelling
3258:
756:
3105:{\displaystyle E_{LS}={1 \over {2\pi }}\int \limits _{-\alpha \pi }^{\alpha \pi }w(\omega )|H_{D}^{truncated}(e^{j\omega })-H_{D}^{id}(e^{j\omega })|^{2}d\omega \;\;\;\;\;{\text{where }}0<\alpha \leq 1{\text{ is the passband width parameter}}}
1848:
559:{\displaystyle {\begin{cases}|\centerdot |=1=0dB,&{\text{zero dB gain}}\\\measuredangle =-\omega M,&{\text{linear phase with }}\omega =2\pi fT_{s}{\text{ where }}T_{s}{\text{ is the sampling period in seconds }}.\end{cases}}}
1387:
2873:(GLS) Method: iteratively adjusts the frequency response by windowing a Least Square Integral Error design, which minimises the square integral error between ideal and truncated frequency responses of the filter, defined as:
5213:
882:
3119:(Maximally Flat Fractional Delay Filter): adds "flatness" constraints to the first N derivatives of the Least Square Integral Error. This method is of particular interest because it has a closed form solution:
761:
Working in the discrete-time domain with fractional delays is less trivial. In its most general theoretical form, a delay line with arbitrary fractional delay is defined as a standard delay line with delay
5018:
6074:
feet from the stage, requiring 350 ms of delay, and a further six towers were placed 600 feet away from the stage, fed with 525 ms of delay. Each
Eventide DDL 1745 module contained one hundred 1000-bit
6038:
348:
4755:
1460:
5919:
5769:
3742:
1280:
259:
4541:
3869:
3931:
3804:
3134:
3571:
654:
5830:
5683:
5619:
3657:
1775:
2308:
2241:
2181:
1157:
846:
818:
789:
403:
1056:
873:
4573:
2112:{\displaystyle h_{ideal}={\mathcal {F}}^{-1}={1 \over {2\pi }}\int \limits _{-\pi }^{+\pi }e^{j\omega D}e^{j\omega n}d\omega =sinc(n-D)={sin(\pi (n-D)) \over {\pi (n-D)}}}
1193:
1246:
3448:
3411:
3374:
3337:
1727:
2312:
Also note that the image shows only the few samples around zero, but the non-causal IIR is defined for an infinite number of samples in both directions of the x-axis.
1096:
622:
4700:
3610:
5204:
2589:
1820:
5564:
5536:
5508:
5480:
5178:
4667:
1111:
The conceptually easiest solution is obtained by sampling the continuous-time domain solution, which is trivial for any delay value. Given a continuous-time signal
4640:
4608:
2270:
2210:
2149:
5439:
3480:
3287:
225:
3985:
3965:
3501:
2554:
1840:
1129:
646:
586:
172:
152:
1284:
5405:{\displaystyle a_{k}=(-1)^{k}{\binom {N}{k}}\prod _{l=0}^{N}{D+l \over {D+k+l}}\;\;\;\;\;{\text{where}}\;\;\;\;\;{\binom {n}{k}}={N! \over {k!(N-k)!}}}
1010:{\displaystyle H_{D}(z)=z^{-D}\;\;\;\;\;{\text{where}}\;\;\;\;\;D=\overbrace {\lfloor D\rfloor } ^{M}+\overbrace {(D-\lfloor D\rfloor )} ^{d}}
5134:{\displaystyle E_{LS}={1 \over {2\pi }}\int \limits _{-\pi }^{\pi }w(\omega )|{{\Delta \measuredangle _{H_{D}}} \over {\omega }}|^{2}}
2276:
6392:
3123:
5925:
263:
6387:
6258:
4705:
2536:
Windowing the truncated impulse response, therefore smoothing it. Note that in this case we have to add a further shift
6612:
1395:
5836:
5689:
132:
6153:
Laakso, Timo I.; Välimäki, Vesa; Karjalainen, Matti A.; Laine, Unto K. (January 1996), "Splitting the unit delay ",
6447:
3671:
1250:
229:
4490:
3253:{\displaystyle h_{D}=\prod _{k=0,\;k\neq n}^{N}{D-k \over {n-k}}\;\;\;\;\;{\text{where}}\;\;\;\;\;0\leq n\leq N}
65:
3810:
1062:
problem: the solution is an any time-domain filter that represents or approximates the inverse Z-transform of
751:{\displaystyle h_{m}={\begin{cases}{\text{1}},&{\text{for }}n=M\\0,&{\text{for }}n\neq M.\end{cases}}}
3875:
3748:
3518:
6120:
2151:
is shifted by the fractional delay while the sampling is always aligned to the cartesian plane, therefore:
6356:
6079:
5786:
5639:
5150:
5008:
88:
5578:
3616:
1732:
6063:
5415:
What follows is an expansion of the formula above displaying the resulting coefficients of order up to
2532:
Truncating the impulse response might however cause instability, which can be mitigated in a few ways:
2285:
2218:
2158:
1134:
823:
795:
766:
2321:
The conceptually easiest implementable solution is the causal truncation of the naive solution above.
3944:
1781:
356:
112:
4324:
2750:
2627:
2358:
1476:
1037:
854:
685:
419:
4548:
116:
6357:"Explicity [sic] formulas for weighting coefficients of maximally flat tunable FIR delays"
3263:
What follows is an expansion of the formula above displaying the resulting filters of order up to
1162:
1201:
6617:
3417:
3380:
3343:
3306:
1684:
6184:
1065:
591:
4672:
3577:
5183:
2559:
1790:
6595:
6511:
6294:
6158:
5542:
5514:
5486:
5458:
5156:
4645:
625:
72:
so that multiple signals leave a device simultaneously despite having different pathways.
4616:
4584:
3967:
with a Z-transform structure that forces it to be an all-pass while still approximating a
2246:
2186:
2125:
8:
5418:
3459:
3266:
3116:
180:
80:
6515:
6207:
6162:
6062:
in air in 1973 to provide appropriate delay times for the distant speaker towers at the
2281:
resampling its analog source with equal sampling period but sample alignment shifted by
119:
is an industry standard implementation of digital filters using fractional delay lines.
6552:
6337:
4544:
3970:
3950:
3486:
2539:
1825:
1382:{\displaystyle Y(\omega )=\overbrace {e^{-j\omega D}} ^{H_{ideal}(\omega )}X(\omega ).}
1114:
631:
571:
157:
137:
96:
6428:
6329:
6096:
6091:
6471:
6544:
6519:
6420:
6368:
6321:
6166:
100:
6556:
6341:
6533:"On the use of windows for harmonic analysis with the discrete Fourier transform"
6310:"On the use of windows for harmonic analysis with the discrete Fourier transform"
5146:
4484:
92:
69:
45:
6532:
6408:
6075:
6059:
4578:
76:
57:
37:
6069:
in New York, with 600,000 people in the audience. New York City–based company
6606:
6432:
6424:
6333:
6309:
6101:
6070:
6066:
2870:
1785:
1778:
1059:
6548:
6325:
6571:
6231:
84:
75:
Digital delay lines are widely used building blocks in methods to simulate
61:
49:
6372:
6295:"Discrete Time Modeling of Acoustic Tubes Using Fractional Delay Filters"
2272:
produces a non-causal IIR filter, which is not implementable in practice.
128:
53:
6587:
6579:
4764:
Iterative minimization of Least Square Phase Error, which is defined as:
6596:
Discrete-Time
Modeling of Acoustic Tubes Using Fractional Delay Filters
4611:
2212:
degenerates to a shifted impulse just like in the theoretical solution.
6523:
6498:
Valimaki, Vesa; Laakso, Timo; Karjalainen, Matti; Laine, Unto (1996).
6170:
16:
1259:
238:
6499:
3127:
A block diagram representation of the
Lagrange Interpolator formula.
1263:
242:
20:
Standard block diagram representation of the integer M delay line.
6050:
5449:
Thiran All-Pole Low-Pass Filter
Coefficients Formula Expansion
4702:
always), so that the phase approximates best the desired value
127:
The standard delay line with integer delay is derived from the
41:
6497:
6152:
5153:. This yields a closed solution for finding the coefficients
1462:
is the continuous-time domain fractional delay filter with:
6409:"Recursive digital filters with maximally flat group delay"
4466:
3938:
2851:
2720:
2427:
1665:
792:, which can be modelled as the sum of an integer component
744:
552:
6388:"Explicit Formula for Lagrange Interpolation Coefficients"
6058:
Digital delay lines were first used to compensate for the
6033:{\displaystyle -{(D-1)(D-2)(D-3) \over {(D+1)(D+2)(D+3)}}}
6232:"INTRODUCTION TO DIGITAL FILTERS WITH AUDIO APPLICATIONS"
6082:, and cost $ 3,800 (equivalent to $ 27,679 in 2023).
343:{\displaystyle Y(z)=\overbrace {z^{-M}} ^{H_{M}(z)}X(z).}
5928:
5839:
5789:
5692:
5642:
5581:
5545:
5517:
5489:
5461:
5421:
5216:
5186:
5159:
5021:
4774:
4708:
4675:
4648:
4619:
4587:
4551:
4493:
3996:
3973:
3953:
3878:
3813:
3751:
3674:
3619:
3580:
3521:
3489:
3462:
3420:
3383:
3346:
3309:
3269:
3137:
2883:
2599:
2562:
2542:
2330:
2288:
2249:
2221:
2189:
2161:
2128:
1851:
1828:
1793:
1735:
1687:
1470:
1398:
1287:
1253:
1204:
1165:
1137:
1117:
1068:
1040:
885:
857:
826:
798:
769:
657:
634:
594:
574:
413:
359:
266:
232:
183:
160:
140:
6185:"Computational Acoustic Modeling with Digital Delay"
4750:{\displaystyle \measuredangle _{H_{D}(z)}=-D\omega }
6189:
Center for
Computer Research in Music and Acoustics
6032:
5913:
5824:
5763:
5677:
5613:
5558:
5530:
5502:
5474:
5433:
5404:
5198:
5172:
5133:
4995:
4749:
4694:
4661:
4634:
4602:
4567:
4535:
4472:
3979:
3959:
3925:
3863:
3798:
3736:
3651:
3604:
3565:
3495:
3474:
3442:
3405:
3368:
3331:
3281:
3252:
3104:
2857:
2583:
2548:
2521:
2302:
2264:
2235:
2204:
2175:
2143:
2111:
1834:
1814:
1769:
1721:
1671:
1454:
1381:
1274:
1240:
1187:
1151:
1123:
1090:
1050:
1009:
867:
840:
812:
783:
750:
640:
616:
580:
568:The discrete-time domain filter for integer delay
558:
397:
342:
253:
219:
166:
146:
5355:
5342:
5265:
5252:
2215:when the delay is a fractional number of samples
1455:{\displaystyle e^{-j\omega D}=H_{ideal}(\omega )}
6604:
5914:{\displaystyle 3{(D-2)(D-3) \over {(D+1)(D+2)}}}
2316:
95:methods for various musical instruments such as
5764:{\displaystyle {(D-1)(D-2) \over {(D+1)(D+2)}}}
4610:. Therefore, the problem becomes designing the
2155:when the delay is an integer number of samples
1058:domain representation of a non-trivial digital
6183:Smith, Julius O.; Lee, Nelson (June 5, 2008),
6445:
534: is the sampling period in seconds
91:shows how digital delay lines can be used as
6157:, vol. 13, no. 1, pp. 30–60,
3737:{\displaystyle -{(D-1)(D-2)(D-3) \over {6}}}
2812:
2806:
1729:is the sampled inverse Fourier transform of
1275:{\displaystyle {\xrightarrow{\mathcal {F}}}}
989:
983:
952:
946:
254:{\displaystyle {\xrightarrow{\mathcal {Z}}}}
6354:
4536:{\displaystyle A(z){\text{ and }}A(z^{-1})}
5338:
5337:
5336:
5335:
5334:
5328:
5327:
5326:
5325:
5324:
4318:
4317:
4316:
4315:
4314:
4308:
4307:
4306:
4305:
4304:
3234:
3233:
3232:
3231:
3230:
3224:
3223:
3222:
3221:
3220:
3177:
3076:
3075:
3074:
3073:
3072:
2738:
2737:
2736:
2735:
2734:
2728:
2727:
2726:
2725:
2724:
2513:
2509:
2508:
2507:
2506:
2505:
2499:
2498:
2497:
2496:
2495:
2445:
2444:
2443:
2442:
2441:
2435:
2434:
2433:
2432:
2431:
1681:The naive solution for the sampled filter
1101:
935:
934:
933:
932:
931:
925:
924:
923:
922:
921:
2296:
2229:
2169:
1145:
834:
806:
777:
48:. Delay lines are commonly used to delay
6292:
6259:"Ideal Bandlimited (Sinc) Interpolation"
6182:
6049:
3939:All-pass IIR phase-approximated solution
3864:{\displaystyle -{D(D-1)(D-3) \over {2}}}
3297:Lagrange Interpolator Formula Expansion
3122:
2275:
15:
6448:"Remembering the Watkins Glen Festival"
5007:Iterative minimization of Least Square
3926:{\displaystyle {D(D-1)(D-2) \over {6}}}
3799:{\displaystyle {D(D-2)(D-3) \over {2}}}
6605:
6530:
6406:
6307:
3566:{\displaystyle {(D-1)(D-2) \over {2}}}
6385:
6045:
3099: is the passband width parameter
2556:in order to align the window and the
6531:Harris, Frederic J. (January 1978).
6288:
6286:
6284:
6282:
6280:
6278:
6253:
6251:
6148:
6146:
6144:
6142:
6140:
6054:Eventide DDL 1745 Digital Delay Line
876:
6413:IEEE Transactions on Circuit Theory
5825:{\displaystyle -3{D-3 \over {D+1}}}
5678:{\displaystyle -2{D-2 \over {D+1}}}
4642:, that is finding its coefficients
13:
6491:
6386:Smith, Julius (5 September 2022).
5614:{\displaystyle -{D-1 \over {D+1}}}
5346:
5256:
5091:
4953:
3652:{\displaystyle {D(D-1) \over {2}}}
1889:
1770:{\displaystyle H_{ideal}(\omega )}
1265:
1043:
860:
405:is the integer delay filter with:
244:
14:
6629:
6564:
6275:
6248:
6137:
4557:
4332:
3943:Another approach is designing an
2303:{\displaystyle D\in \mathbb {R} }
2236:{\displaystyle D\in \mathbb {R} }
2176:{\displaystyle D\in \mathbb {N} }
1484:
1152:{\displaystyle D\in \mathbb {R} }
1106:
848:which is smaller than one sample:
841:{\displaystyle d\in \mathbb {R} }
813:{\displaystyle M\in \mathbb {Z} }
784:{\displaystyle D\in \mathbb {R} }
588:as the inverse zeta transform of
427:
68:. Delay lines may compensate for
6588:Physical Audio Signal Processing
6580:Spectral Audio Signal Processing
2591:and provide symmetric filtering.
1023:
64:with accompanying audio, called
6572:Introduction to Digital Filters
6504:IEEE Signal Processing Magazine
6464:
6446:Nalia Sanchez (July 29, 2016),
6439:
6400:
6379:
6155:IEEE Signal Processing Magazine
398:{\displaystyle z^{-M}=H_{M}(z)}
6348:
6301:
6224:
6200:
6176:
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4827:
4730:
4724:
4669:as a function of D (note that
4629:
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193:
187:
66:audio-to-video synchronization
1:
6107:
4568:{\displaystyle |\centerdot |}
4457:desired value for delay
2317:Truncated causal FIR solution
70:electronic processing latency
44:to be delayed by a number of
36:) is a discrete element in a
4581:is function of the phase of
1188:{\displaystyle \tau =DT_{s}}
7:
6085:
6080:digital-to-analog converter
5011:Error, which is defined as:
2516:is the order of the filter.
2122:The continuous-time domain
1241:{\displaystyle y(t)=x(t-D)}
820:and a fractional component
624:is trivial, since it is an
89:Digital waveguide synthesis
10:
6634:
6500:"Splitting the Unit Delay"
6064:Summer Jam at Watkins Glen
851:(Fractional) Delay Line -
6613:Digital signal processing
6559:– via IEEE Explore.
6526:– via IEEE Explore.
6121:"The M-Sample Delay Line"
5448:
4543:respectively flatten the
3443:{\displaystyle h_{\tau }}
3406:{\displaystyle h_{\tau }}
3369:{\displaystyle h_{\tau }}
3332:{\displaystyle h_{\tau }}
3296:
1722:{\displaystyle h_{ideal}}
122:
113:digital signal processing
6472:"DDL 1745 Digital Delay"
6425:10.1109/TCT.1971.1083363
6355:Hermanowicz, E. (1992).
4760:The main solutions are:
4483:The reciprocally placed
1091:{\displaystyle H_{D}(z)}
617:{\displaystyle H_{M}(z)}
6549:10.1109/PROC.1978.10837
6537:Proceedings of the IEEE
6326:10.1109/proc.1978.10837
6314:Proceedings of the IEEE
6293:Välimäki, Vesa (1998).
4695:{\displaystyle a_{0}=1}
3605:{\displaystyle -D(D-2)}
1102:Filter design solutions
489:linear phase with
6407:Thiran, J.-P. (1971).
6055:
6034:
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5765:
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2183:, the sampled shifted
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56:to compensate for the
21:
6308:Harris, F.J. (1978).
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60:in air, and to align
19:
6078:chips and a bespoke
6071:Eventide Clock Works
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133:discrete-time signal
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6373:10.1049/el:19921239
6361:Electronics Letters
6163:1996ISPM...13...30L
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5180:for positive delay
3475:{\displaystyle 1-D}
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1784:filter shaped as a
1777:, which produces a
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1262:
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220:{\displaystyle y=x}
81:musical instruments
6263:ccrma.stanford.edu
6236:ccrma.stanford.edu
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6125:ccrma.stanford.edu
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6046:Commercial history
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40:, which allows a
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