10367:
9545:
10362:{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {dZ}{dt}}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{k+1}}\sum _{s\in S_{k},i_{k+1}\geq 0}&t^{i_{1}+j_{1}+\cdots +i_{k}+j_{k}}{\frac {{\mathrm {ad} _{X}}^{i_{1}}{\mathrm {ad} _{Y}}^{j_{1}}\cdots {\mathrm {ad} _{X}}^{i_{k}}{\mathrm {ad} _{Y}}^{j_{k}}}{i_{1}!j_{1}!\cdots i_{k}!j_{k}!}}X\\{}+{}&t^{i_{1}+j_{1}+\cdots +i_{k}+j_{k}+i_{k+1}}{\frac {{\mathrm {ad} _{X}}^{i_{1}}{\mathrm {ad} _{Y}}^{j_{1}}\cdots {\mathrm {ad} _{X}}^{i_{k}}{\mathrm {ad} _{Y}}^{j_{k}}X^{i_{k+1}}}{i_{1}!j_{1}!\cdots i_{k}!j_{k}!i_{k+1}!}}Y,\quad i_{r},j_{r}\geq 0,\quad i_{r}+j_{r}>0,\quad 1\leq r\leq k,\end{aligned}}}
13113:
12046:
12035:
11162:
9045:
13108:{\displaystyle {\begin{aligned}Z=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{k+1}}\sum _{s\in S_{k},i_{k+1}\geq 0}&{\frac {1}{i_{1}+j_{1}+\cdots +i_{k}+j_{k}+(i_{k+1}=1)+(j_{k+1}=0)}}{\frac {\left}{i_{1}!j_{1}!\cdots i_{k}!j_{k}!(i_{k+1}=1)!(j_{k+1}=0)!}}\\{}+{}&{\frac {1}{i_{1}+j_{1}+\cdots +i_{k}+j_{k}+i_{k+1}+(j_{k+1}=1)}}{\frac {\left}{i_{1}!j_{1}!\cdots i_{k}!j_{k}!i_{k+1}!(j_{k+1}=1)!}},\\\\&(i_{r},j_{r}\geq 0,\quad i_{r}+j_{r}>0,\quad 1\leq r\leq k).\end{aligned}}}
11256:
10382:
7032:
8564:
6233:
3384:
3871:
2594:
12030:{\displaystyle {\begin{aligned}Z=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{k+1}}\sum _{s\in S_{k},i_{k+1}\geq 0}&{\frac {1}{i_{1}+j_{1}+\cdots +i_{k}+j_{k}+1}}{\frac {\left}{i_{1}!j_{1}!\cdots i_{k}!j_{k}!}}\\{}+{}&{\frac {1}{i_{1}+j_{1}+\cdots +i_{k}+j_{k}+i_{k+1}+1}}{\frac {\left}{i_{1}!j_{1}!\cdots i_{k}!j_{k}!i_{k+1}!}},\quad i_{r},j_{r}\geq 0,\quad i_{r}+j_{r}>0,\quad 1\leq r\leq k\end{aligned}}.}
11157:{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {dZ}{dt}}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{k+1}}\sum _{s\in S_{k},i_{k+1}\geq 0}&t^{i_{1}+j_{1}+\cdots +i_{k}+j_{k}}{\frac {\left}{i_{1}!j_{1}!\cdots i_{k}!j_{k}!}}\\{}+{}&t^{i_{1}+j_{1}+\cdots +i_{k}+j_{k}+i_{k+1}}{\frac {\left}{i_{1}!j_{1}!\cdots i_{k}!j_{k}!i_{k+1}!}},\quad i_{r},j_{r}\geq 0,\quad i_{r}+j_{r}>0,\quad 1\leq r\leq k\end{aligned}}.}
9426:
6715:
9040:{\displaystyle \log \left(e^{X}e^{Y}\right)=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k+1}}{k}}{\left(e^{X}e^{Y}-I\right)}^{k}=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k+1}}{k}}\left({\sum _{i=0}^{\infty }{\frac {X^{i}}{i!}}\sum _{j=0}^{\infty }{\frac {Y^{j}}{j!}}-I}\right)^{k}=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k+1}}{k}}\left(\sum _{i,j\geq 0,i+j>1}^{\infty }{\frac {X^{i}Y^{j}}{i!j!}}\right)^{k}.}
8330:
14266:
5782:
8006:
3056:
7549:
2233:
6704:
3505:
13597:
9069:
7027:{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {ad_{Z}} &=\log \left(\exp \left(\mathrm {ad} _{Z}\right)\right)=\log \left(1+\left(\exp \left(\mathrm {ad} _{Z}\right)-1\right)\right)\\&=\sum \limits _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n}}(\exp(\mathrm {ad} _{Z})-1)^{n}~,\quad \|\mathrm {ad} _{Z}\|<\log 2~~,\end{aligned}}}
1879:
2216:
8048:
13817:
7594:
7232:
5487:
3379:{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dt}}e^{X(t)}&=\lim _{N\to \infty }{\frac {d}{dt}}\left(1+{\frac {X(t)}{N}}\right)^{N}\\&=\lim _{N\to \infty }\sum _{k=1}^{N}\left(1+{\frac {X(t)}{N}}\right)^{N-k}{\frac {1}{N}}{\frac {dX(t)}{dt}}\left(1+{\frac {X(t)}{N}}\right)^{k-1}~,\end{aligned}}}
7256:
8551:
2589:{\displaystyle \Gamma (1,t)=\int _{0}^{1}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}s^{k}}{k!}}(\mathrm {ad} _{X})^{k}{\frac {dX}{dt}}ds=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{(k+1)!}}(\mathrm {ad} _{X})^{k}{\frac {dX}{dt}}={\frac {1-e^{-\mathrm {ad} _{X}}}{\mathrm {ad} _{X}}}{\frac {dX}{dt}},}
1338:
The proof given below assumes a matrix Lie group. This means that the exponential mapping from the Lie algebra to the matrix Lie group is given by the usual power series, i.e. matrix exponentiation. The conclusion of the proof still holds in the general case, provided each occurrence of
6176:
3866:{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dt}}e^{X(t)}&=\int _{0}^{1}e^{(1-s)X}X'e^{sX}ds=e^{X}\int _{0}^{1}\mathrm {Ad} _{e^{-sX}}X'ds\\&=e^{X}\int _{0}^{1}e^{-\mathrm {ad} _{sX}}dsX'=e^{X}{\frac {1-e^{-\mathrm {ad} _{X}}}{\mathrm {ad} _{X}}}{\frac {dX}{dt}}~.\end{aligned}}}
720:
6475:
13126:
20:
3024:
411:
9421:{\displaystyle Z=\log \left(e^{X}e^{Y}\right)=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k+1}}{k}}\sum _{s\in S_{k}}{\frac {X^{i_{1}}Y^{j_{1}}\cdots X^{i_{k}}Y^{j_{k}}}{i_{1}!j_{1}!\cdots i_{k}!j_{k}!}},\quad i_{r},j_{r}\geq 0,\quad i_{r}+j_{r}>0,\quad 1\leq r\leq k,}
5371:
2003:
4797:
5015:
14635:
1646:
3033:-notation is used for the exponential mapping of the Lie algebra and the calculus-style notation in the fraction indicates the usual formal series expansion. For more information and two full proofs in the general case, see the freely available
8325:{\displaystyle {\frac {dZ}{dt}}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{k+1}}\left\{\left(e^{\mathrm {ad} _{tX}}e^{\mathrm {ad} _{tY}}-1\right)^{k}X+\left(e^{\mathrm {ad} _{tX}}e^{\mathrm {ad} _{tY}}-1\right)^{k}e^{\mathrm {ad} _{tX}}Y\right\}}
2020:
14261:{\displaystyle Z=\log e^{X}e^{Y}=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k-1}}{k}}\sum _{s\in S_{k}}{\frac {1}{i_{1}+j_{1}+\cdots +i_{k}+j_{k}}}{\frac {\left}{i_{1}!j_{1}!\cdots i_{k}!j_{k}!}},~i_{r},j_{r}\geq 0,~i_{r}+j_{r}>0,~1\leq r\leq k.}
2860:
8001:{\displaystyle Z=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k-1}}{k}}\sum _{s\in S_{k}}{\frac {1}{i_{1}+j_{1}+\cdots +i_{k}+j_{k}}}{\frac {}{i_{1}!j_{1}!\cdots i_{k}!j_{k}!}},\quad i_{r},j_{r}\geq 0,\quad i_{r}+j_{r}>0,\quad 1\leq r\leq k.}
5777:{\displaystyle Z'(t)={\frac {\mathrm {ad} _{Z}}{1-e^{-\mathrm {ad} _{Z}}}}Y\equiv \psi \left(e^{\mathrm {ad} _{Z}}\right)Y,\quad \psi (w)={\frac {w\log w}{w-1}}=1+\sum _{m=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{m+1}}{m(m+1)}}(w-1)^{m},\|w\|<1.}
6000:
1105:
1235:
3049:
be, provided it exists is the following. Existence needs to be proved separately in each case. By direct differentiation of the standard limit definition of the exponential, and exchanging the order of differentiation and limit,
1626:
7544:{\displaystyle Z(1)=\int _{0}^{1}dt~{\frac {dZ(t)}{dt}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n-1}}{n}}\int _{0}^{1}dt~\left(e^{t\,\mathrm {ad} _{X}}e^{t\mathrm {ad} _{Y}}-1\right)^{n-1}~\left(X+e^{t\,\mathrm {ad} _{X}}Y\right).}
7049:
5476:
2733:
5891:
13720:
6464:
1453:
8376:
6015:
4022:
556:
6699:{\displaystyle Z'={\frac {\mathrm {ad} _{Z}}{1-e^{-\mathrm {ad} _{Z}}}}~\left(e^{-t\,\mathrm {ad} _{Y}}X+Y\right)={\frac {\mathrm {ad} _{Z}}{e^{\mathrm {ad} _{Z}}-1}}~\left(X+e^{t\,\mathrm {ad} _{X}}Y\right).}
13592:{\displaystyle Z=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{k+1}}\sum _{s\in S_{k+1}}{\frac {1}{i_{1}+j_{1}+\cdots +i_{k}+j_{k}+i_{k+1}+j_{k+1}}}{\frac {\left}{i_{1}!j_{1}!\cdots i_{k}!j_{k}!i_{k+1}!j_{k+1}!}},}
4420:
4274:
14367:
12051:
11261:
10387:
9550:
6720:
3510:
3061:
4543:
2871:
259:
14855:
14788:
4668:
5218:
6336:
4894:
1874:{\displaystyle {\frac {\partial \Gamma }{\partial s}}=e^{-sX}(-X){\frac {\partial }{\partial t}}e^{sX(t)}+e^{-sX}{\frac {\partial }{\partial t}}\left=e^{-sX}{\frac {dX}{dt}}e^{sX}.}
5188:
14380:
1890:
10373:
6193:
14914:
2211:{\displaystyle \Gamma (1,t)=e^{-X(t)}{\frac {\partial }{\partial t}}e^{X(t)}=\int _{0}^{1}{\frac {\partial \Gamma }{\partial s}}ds=\int _{0}^{1}e^{-\mathrm {ad} _{sX}}X'ds.}
2744:
15400:
Suzuki, Masuo (1985). "Decomposition formulas of exponential operators and Lie exponentials with some applications to quantum mechanics and statistical physics".
1136:
7227:{\displaystyle Z'=\sum \limits _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n-1}}{n}}\left(e^{\mathrm {ad} _{Z}}-1\right)^{n-1}~\left(X+e^{t\,\mathrm {ad} _{X}}Y\right)~,}
6182:
5902:
968:
1539:
5807:
14694:
8546:{\displaystyle \log(A)=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k+1}}{k}}{(A-I)}^{k},\quad {\text{and}}\quad e^{X}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {X^{k}}{k!}}}
13618:
6347:
1358:
5386:
2621:
6171:{\displaystyle Z(1)=\log(\exp X\exp Y)=X+\left(\int _{0}^{1}\psi \left(e^{\operatorname {ad} _{X}}~e^{t\,{\text{ad}}_{Y}}\right)\,dt\right)\,Y,}
245:-style is sometimes more convenient for inline equations, and is necessary on the rare occasions when there is a real distinction to be made.
15294:(1947), "ĐŃŃĐžŃĐ»Đ”ĐœĐžĐ” ĐșĐŸŃŃŃĐžŃĐžĐ”ĐœŃĐŸĐČ ĐČ ŃĐŸŃĐŒŃлД CampbellâHausdorff" [Calculation of the coefficients in the CampbellâHausdorff formula],
715:{\displaystyle {\frac {1-e^{-\mathrm {ad} _{X}}}{\mathrm {ad} _{X}}}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{(k+1)!}}(\mathrm {ad} _{X})^{k}.}
3961:
4347:
189:(1899) in the context of the problem of expressing Lie group multiplication using Lie algebraic terms. It is also sometimes known as
4211:
15531:
5209:
5106:
197:
14284:
514:
15307:
3019:{\displaystyle {\frac {d}{dt}}\exp(C(t))=\exp(C){\frac {1-e^{-\mathrm {ad} _{C}}}{\mathrm {ad} _{C}}}{\frac {dC(t)}{dt}}.}
824:. This still amounts to exactly the same formula as in the matrix case. Left multiplication of an element of the algebra
406:{\displaystyle {\frac {d}{dt}}e^{X(t)}=e^{X(t)}{\frac {1-e^{-\mathrm {ad} _{X}}}{\mathrm {ad} _{X}}}{\frac {dX(t)}{dt}}.}
15323:
14697:. The relationship is simply that between a representation of a Lie group and that of its Lie algebra according to the
4486:
15375:
15341:
14797:
4792:{\displaystyle \mathrm {ad} _{X}E_{ij}=(\lambda _{i}-\lambda _{j})E_{ij}+\cdots \equiv \lambda _{ij}E_{ij}+\cdots ,}
241:
meanings. The calculus-style notation is preferred here for better readability in equations. On the other hand, the
14731:
5366:{\displaystyle \exp(-Z(t)){\frac {d}{dt}}\exp(Z(t))={\frac {1-e^{-\mathrm {ad} _{Z}}}{\mathrm {ad} _{Z}}}Z'(t).}
4027:
is invertible. This, in turn, happens when the eigenvalues of this operator are all nonzero. The eigenvalues of
5072:. The same conclusion holds for general Lie groups using the manifold version of the inverse function theorem.
5010:{\displaystyle \lambda _{i}-\lambda _{j}\neq k2\pi i,\quad k=\pm 1,\pm 2,\ldots ,\quad 1\leq i,j\leq n=\dim V.}
15568:
14630:{\displaystyle X^{i_{1}}Y^{j_{1}}\cdots X^{i_{k}}Y^{j_{k}}={\frac {\left}{i_{1}+j_{1}+\cdots +i_{k}+j_{k}}}.}
196:
The formula is important both in pure and applied mathematics. It enters into proofs of theorems such as the
6273:
2221:
Using the formal power series to expand the exponential, integrating term by term, and finally recognizing (
5128:
1998:{\displaystyle {\frac {\partial \Gamma }{\partial s}}=\mathrm {Ad} _{e^{-sX}}X'=e^{-\mathrm {ad} _{sX}}X',}
799:
737:
derived from the power series of the exponential map of a linear endomorphism, as in matrix exponentiation.
40:
28:
6259:
of a bracket series, which suffices in many applications, for instance, in proving central results in the
15296:
155:
5076:
3890:
together with the derivative of the exponential map provides information about the local behavior of
27:'s investigations into group multiplication in Lie algebraic terms led him to the formulation of the
14870:
746:
is a matrix Lie group, all occurrences of the exponential are given by their power series expansion.
6267:
Dynkin's formula mentioned may also be derived analogously, starting from the parametric extension
5031:
3887:
15475:
Wilcox, R. M. (1967). "Exponential
Operators and Parameter Differentiation in Quantum Physics".
15573:
15468:
14271:
This is Dynkin's formula. The striking similarity with (99) is not accidental: It reflects the
1488:
1483:
2855:{\displaystyle \phi (z)={\frac {e^{z}-1}{z}}=1+{\frac {1}{2!}}z+{\frac {1}{3!}}z^{2}+\cdots ,}
15583:
6244:
15515:
7554:
It is at this point evident that the qualitative statement of the BCH formula holds, namely
15484:
15409:
9524:
6248:
213:
201:
8:
15578:
209:
15488:
15413:
15460:
15446:
14698:
6260:
1230:{\displaystyle d\exp _{X}Y=e^{X}{\frac {1-e^{-\mathrm {ad} _{X}}}{\mathrm {ad} _{X}}}Y}
875:
803:
75:
2599:
and the result follows. The proof, as presented here, is essentially the one given in
15371:
15337:
15319:
14949:
14930:
5995:{\displaystyle Z'(t)=\psi \left(e^{\mathrm {ad} _{X}}e^{t\mathrm {ad} _{Y}}\right)Y.}
1100:{\displaystyle d\exp _{X}Y=\left.{\frac {d}{dt}}e^{Z(t)}\right|_{t=0},Z(0)=X,Z'(0)=Y}
842:
of the Lie group is interpreted as applying the differential of the left translation
821:
90:
15551:
15350:
6240:
4071:
is an analytic function of a complex variable expressed in a power series such that
1621:{\displaystyle \mathrm {Ad} _{e^{X}}=e^{\mathrm {ad} _{X}},~~X\in {\mathfrak {g}}~.}
807:
186:
24:
15546:
15511:
15492:
15456:
15438:
15417:
14674:
1346:
The outline of proof makes use of the technique of differentiation with respect to
816:, i.e. element of the Lie algebra as defined in the general case, on the Lie group
205:
71:
15527:
15384:
13758:, corresponding to the first and second terms in the equation before it. In case
7038:
6252:
5886:{\displaystyle e^{\mathrm {ad} _{Z}}=e^{\mathrm {ad} _{X}}e^{t\mathrm {ad} _{Y}}}
182:
151:
15464:
13715:{\displaystyle i_{r},j_{r}\geq 0,\quad i_{r}+j_{r}>0,\quad 1\leq r\leq k+1,}
6459:{\displaystyle e^{-Z(t)}{\frac {de^{Z(t)}}{dt}}=e^{-t\,\mathrm {ad} _{Y}}X+Y~,}
1448:{\displaystyle \Gamma (s,t)=e^{-sX(t)}{\frac {\partial }{\partial t}}e^{sX(t)}}
15562:
15291:
6236:
5471:{\displaystyle Y={\frac {1-e^{-\mathrm {ad} _{Z}}}{\mathrm {ad} _{Z}}}Z'(t),}
2728:{\displaystyle {\frac {d}{dt}}\exp(C(t))=\exp(C)\phi (-\mathrm {ad} (C))C~',}
14942:
This is seen by choosing a basis for the underlying vector space such that
14275:, underpinning the original, different, derivation of the formula. Namely,
810:
8348:
in a power series. To handle the series expansions simply, consider first
233:
will be used interchangeably to denote the exponential given an argument,
15318:, Graduate Texts in Mathematics, vol. 222 (2nd ed.), Springer,
15316:
Lie groups, Lie algebras, and representations: An elementary introduction
15021:
are, under the exponential, in bijection with matrices whose eigenvalues
44:
6239:
at home in 2003. In 1947 Dynkin proved the explicit BCH series formula.
15450:
3914:
between vector spaces (here first considering matrix Lie groups) has a
94:
15496:
447:(continuously differentiable) path in the Lie algebra with derivative
15429:
Tuynman (1995), "The derivation of the exponential map of matrices",
15421:
15370:, Oxford Graduate Texts in Mathematics, Oxford Science Publications,
7578:, terms for each partition thereof are organized inside the integral
6232:
4132:, the double subscript is made clear below. In the present case with
36:
15442:
4017:{\displaystyle {\frac {1-e^{\mathrm {ad_{X}} }}{\mathrm {ad} _{X}}}}
5100:
5020:
In particular, in the case of matrix Lie groups, it follows, since
1343:
is correctly interpreted. See comments on the general case below.
4415:{\displaystyle \lambda _{ij}\neq k2\pi i,k=\pm 1,\pm 2,\ldots .}
1628:
413:
14665:) together yields a concise proof of the explicit BCH formula.
4269:{\displaystyle {\frac {1-e^{-\lambda _{ij}}}{\lambda _{ij}}},}
3389:
where each factor owes its place to the non-commutativity of
15387:(1891), "Zur Theorie der endlichen Transformationsgruppen",
14362:{\displaystyle X^{i_{1}}Y^{j_{1}}\cdots X^{i_{k}}Y^{j_{k}}}
996:
19:
8011:
For a similar proof with detailed series expansions, see
499:
is the linear transformation of the Lie algebra given by
10374:
An explicit Baker–Campbell–Hausdorff formula
6227:
3881:
1491:
of the group on its Lie algebra. The action is given by
200:, and it is used frequently in physics for example in
2603:. A proof with a more algebraic touch can be found in
14952:, the eigenvalues being the diagonal elements. Then
14873:
14800:
14734:
14383:
14372:
is expressible as a bracket series, then necessarily
14287:
13820:
13621:
13129:
12049:
11259:
10385:
9548:
9072:
8567:
8379:
8051:
7597:
7259:
7052:
6718:
6478:
6350:
6276:
6216:. A textbook proof along these lines can be found in
6192:
that is more tractable in practice than the explicit
6018:
5905:
5810:
5490:
5389:
5221:
5131:
4897:
4671:
4489:
4350:
4214:
3964:
3508:
3059:
2874:
2747:
2624:
2236:
2023:
1893:
1649:
1542:
1361:
1139:
971:
559:
262:
7570:
and is expressible as a series in repeated brackets
5049:, is a bi-analytic bijection from a neighborhood of
237:when, where as noted, the notations have dedicated
15368:Lie Groups â An Introduction Through Linear Groups
14908:
14849:
14782:
14629:
14361:
14260:
13714:
13591:
13107:
12029:
11156:
10361:
9420:
9039:
8545:
8324:
8000:
7543:
7226:
7026:
6698:
6458:
6330:
6170:
5994:
5885:
5776:
5470:
5365:
5182:
5009:
4791:
4580:be the corresponding basis for matrix space, i.e.
4537:
4414:
4268:
4016:
3955:) it follows that this will happen precisely when
3865:
3378:
3018:
2854:
2727:
2588:
2210:
1997:
1873:
1620:
1462:which can then be solved by direct integration in
1458:to obtain a first order differential equation for
1447:
1229:
1099:
714:
405:
253:The derivative of the exponential map is given by
6196:due to the simplicity of the series expansion of
4538:{\displaystyle Xe_{i}=\lambda _{i}e_{i}+\cdots ,}
15560:
11167:Note that the summation index for the rightmost
5101:Derivation of a BakerâCampbellâHausdorff formula
5038:is a bi-analytic bijection in a neighborhood of
3456:since the sum indices are integers) and letting
3191:
3106:
15027:are not on the negative real line or zero. The
14850:{\displaystyle \tau (w)={\frac {w}{1-e^{-w}}}.}
2610:
13787:, else the term vanishes for the same reason (
15474:
14783:{\displaystyle \tau (\log z)\phi (-\log z)=1}
6005:Putting this into the form of an integral in
5801:, it is straightforward to further see that
15123:
15121:
15119:
15073:
15071:
15039:are related by the complex exponential. See
6996:
6978:
5765:
5759:
2615:The formula in the general case is given by
864:is considered as a map on matrix space over
198:Baker–Campbell–Hausdorff formula
13800:is not allowed). Finally, shift the index,
5376:Its left-hand side is easy to see to equal
3040:
1525:. A frequently useful relationship between
14865:is the exponential generating function of
8556:respectively. Combining these one obtains
6469:so that, using the above general formula,
6263:. Photo courtesy of the Dynkin Collection.
154:in the Lie algebra, and a closely related
15550:
15510:
15274:
15235:
15233:
15224:
15200:
15164:
15116:
15068:
7588:. The resulting Dynkin's formula is then
7512:
7424:
7192:
6667:
6561:
6423:
6161:
6149:
6129:
5212:, can be derived from the above formula,
4876:is a local bianalytical bijection around
4831:is lower triangular with its eigenvalues
3045:An immediate way to see what the answer
3034:
15365:
15349:
15250:
15176:
15127:
15100:
15077:
15040:
14992:
14693:A proof of the identity can be found in
8012:
6231:
5787:However, using the relationship between
4860:on the diagonal. The conclusion is that
3932:bijection in an open set around a point
2600:
1640:Using the product rule twice one finds,
18:
15428:
15152:
8018:
15561:
15526:
15399:
15334:Symmetry Groups and their Applications
15331:
15290:
15239:
15230:
15111:
15063:
6331:{\displaystyle e^{Z(t)}=e^{tX}e^{tY},}
6221:
4802:with the remaining terms multiples of
4548:with the remaining terms multiples of
860:The formula applies to the case where
794:), while the other two occurrences of
15383:
15089:
14969:. It follows that the eigenvalues of
14958:is triangular with diagonal elements
7560:lies in the Lie algebra generated by
6228:Derivation of Dynkin's series formula
5183:{\displaystyle e^{Z(t)}=e^{X}e^{tY},}
3882:Local behavior of the exponential map
74:, the exponential map reduces to the
15353:(1899), "Sur les groupes continus",
15313:
15262:
15212:
15188:
15139:
14374:
13738:), the leading term vanishes unless
13120:
8558:
8042:
7043:
6217:
6208:and nested commutators thereof with
2604:
1130:
788:is still given by its power series (
550:
14273:Dynkin–Specht–Wever map
10372:or, with a switch of notation, see
7065:
6871:
6202:. Note this expression consists of
4088:converges, then the eigenvalues of
1607:
185:(1891). It was later elaborated by
13:
13872:
13722:using the simple observation that
13152:
12076:
11286:
10429:
10138:
10135:
10107:
10104:
10073:
10070:
10042:
10039:
9851:
9848:
9820:
9817:
9786:
9783:
9755:
9752:
9592:
9134:
8978:
8893:
8830:
8787:
8726:
8623:
8516:
8414:
8299:
8296:
8257:
8254:
8232:
8229:
8178:
8175:
8153:
8150:
8091:
7620:
7518:
7515:
7455:
7452:
7430:
7427:
7347:
7198:
7195:
7135:
7132:
7080:
6986:
6983:
6942:
6939:
6886:
6830:
6827:
6771:
6768:
6732:
6728:
6724:
6673:
6670:
6624:
6621:
6603:
6600:
6567:
6564:
6527:
6524:
6497:
6494:
6429:
6426:
5969:
5966:
5944:
5941:
5871:
5868:
5846:
5843:
5821:
5818:
5678:
5586:
5583:
5548:
5545:
5518:
5515:
5436:
5433:
5418:
5415:
5331:
5328:
5313:
5310:
4677:
4674:
4434:are, in turn, related to those of
4002:
3999:
3988:
3984:
3980:
3821:
3818:
3803:
3800:
3739:
3736:
3654:
3651:
3201:
3116:
2972:
2969:
2954:
2951:
2695:
2692:
2551:
2548:
2533:
2530:
2468:
2465:
2410:
2345:
2342:
2289:
2237:
2176:
2173:
2130:
2125:
2122:
2073:
2069:
2024:
1969:
1966:
1922:
1919:
1905:
1900:
1897:
1763:
1759:
1707:
1703:
1661:
1656:
1653:
1578:
1575:
1548:
1545:
1414:
1410:
1362:
1212:
1209:
1194:
1191:
798:in the formula, which now are the
689:
686:
631:
600:
597:
582:
579:
359:
356:
341:
338:
14:
15595:
15504:
15467:(2007). "Lie Groups in Physics",
15155:from which Hall's proof is taken.
905:, the notions coincide precisely.
5210:BakerâCampbellâHausdorff formula
5107:BakerâCampbellâHausdorff formula
4653:. One checks that the action of
3414:Dividing the unit interval into
15552:10.1090/s0273-0979-1982-14972-2
15477:Journal of Mathematical Physics
15402:Journal of Mathematical Physics
15268:
15256:
15244:
15218:
15206:
15194:
15182:
15170:
15158:
15080:Appendix on analytic functions.
14998:
14936:
14720:
13687:
13654:
13079:
13046:
12004:
11971:
11938:
11131:
11098:
11065:
10336:
10303:
10270:
9399:
9366:
9333:
8486:
8480:
8023:Change the summation index in (
7979:
7946:
7913:
7037:the last step by virtue of the
6977:
6255:were mostly concerned with the
5608:
4970:
4939:
4468:of the underlying vector space
3876:
1352:of the parametrized expression
78:. The exponential map, denoted
15145:
15133:
15105:
15094:
15083:
15057:
14909:{\displaystyle (-1)^{k}b_{k},}
14884:
14874:
14810:
14804:
14771:
14756:
14750:
14738:
14687:
14555:
14542:
14532:
14519:
14506:
14493:
14483:
14470:
14095:
14082:
14072:
14059:
14046:
14033:
14023:
14010:
13890:
13880:
13479:
13460:
13450:
13431:
13421:
13408:
13398:
13385:
13372:
13359:
13349:
13336:
13170:
13160:
13095:
13011:
12989:
12964:
12879:
12854:
12844:
12825:
12815:
12802:
12792:
12779:
12766:
12753:
12743:
12730:
12712:
12687:
12582:
12557:
12551:
12526:
12460:
12435:
12425:
12400:
12390:
12377:
12367:
12354:
12341:
12328:
12318:
12305:
12287:
12262:
12256:
12231:
12094:
12084:
11844:
11825:
11815:
11802:
11792:
11779:
11766:
11753:
11743:
11730:
11544:
11531:
11521:
11508:
11495:
11482:
11472:
11459:
11304:
11294:
10971:
10952:
10942:
10929:
10919:
10906:
10893:
10880:
10870:
10857:
10679:
10666:
10656:
10643:
10630:
10617:
10607:
10594:
10447:
10437:
9610:
9600:
9535:
9494:
9429:
9152:
9142:
8911:
8901:
8744:
8734:
8641:
8631:
8467:
8455:
8432:
8422:
8392:
8386:
8109:
8099:
7847:
7842:
7829:
7819:
7806:
7793:
7780:
7770:
7757:
7749:
7638:
7628:
7365:
7355:
7314:
7308:
7269:
7263:
7098:
7088:
6962:
6952:
6934:
6925:
6904:
6894:
6393:
6387:
6368:
6362:
6291:
6285:
6061:
6040:
6028:
6022:
5920:
5914:
5747:
5734:
5728:
5716:
5696:
5686:
5618:
5612:
5505:
5499:
5462:
5456:
5357:
5351:
5285:
5282:
5276:
5270:
5246:
5243:
5237:
5228:
5146:
5140:
5045:in matrix space. Furthermore,
4729:
4703:
3586:
3574:
3542:
3536:
3340:
3334:
3302:
3296:
3251:
3245:
3198:
3160:
3154:
3113:
3093:
3087:
2999:
2993:
2929:
2923:
2911:
2908:
2902:
2896:
2757:
2751:
2708:
2705:
2699:
2685:
2679:
2673:
2661:
2658:
2652:
2646:
2479:
2460:
2451:
2439:
2428:
2418:
2356:
2337:
2307:
2297:
2252:
2240:
2096:
2090:
2062:
2056:
2039:
2027:
1806:
1800:
1786:
1780:
1733:
1727:
1698:
1689:
1440:
1434:
1403:
1397:
1377:
1365:
1088:
1082:
1062:
1056:
1028:
1022:
700:
681:
672:
660:
649:
639:
386:
380:
314:
308:
292:
286:
1:
15389:Abh. Math. Sem. Univ. Hamburg
15284:
14655:
13734:
13605:
9492:subject to the conditions in
7571:
5797:
4615:. Order this basis such that
4341:is invertible precisely when
2010:
1629:
1255:
800:exponential map in Lie theory
549:is given by the power series
414:
11175:
9529:
9446:is the set of all sequences
9428:
9053:
8338:
2611:Comments on the general case
488:is omitted where not needed.
248:
29:universal enveloping algebra
7:
15306: ; translation from
15179:Proposition 7, section 1.2.
15004:Matrices whose eigenvalues
14668:
14661:
14643:
8025:
7240:
7041:expansion, it follows that
4480:is lower triangular. Then
3951:
2223:
1243:
790:
728:
517:of a Lie algebra on itself.
16:Formula in Lie group theory
10:
15600:
15297:Doklady Akademii Nauk SSSR
14680:
5104:
4882:, when the eigenvalues of
2865:which formally reduces to
2014:above. Integration yields
219:Throughout, the notations
15532:"Poincaré and Lie groups"
15292:Dynkin, Eugene Borisovich
14995:, Lemma 6 in section 1.2.
14792:for |z â 1| < 1 where
14709:are representations with
11195:an element of a sequence
5091:itself is invertible for
5077:implicit function theorem
5075:It also follows from the
4440:. Let the eigenvalues of
1253:follows immediately from
15355:Cambridge Philos. Trans.
15167:This is equation (1.11).
15050:
11173:in the second term in (
7250:and, thus, integrating,
5032:inverse function theorem
4056:are related to those of
3888:inverse function theorem
3041:A direct formal argument
1333:
1292:is the identity because
802:, refer to the time-one
15366:Rossmann, Wulf (2002),
15332:Miller, Wllard (1972),
15314:Hall, Brian C. (2015),
6194:Dynkin's series formula
4457:. Fix an ordered basis
4290:are the eigenvalues of
4126:are the eigenvalues of
3938:in the domain provided
1884:Then one observes that
1466:. The solution is then
1314:is a vector space) and
15539:Bull. Amer. Math. Soc.
15043:Remark 2c section 1.2.
14910:
14851:
14784:
14631:
14363:
14262:
13876:
13716:
13593:
13156:
13109:
12080:
12031:
11290:
11158:
10433:
10363:
9596:
9422:
9138:
9041:
8982:
8897:
8834:
8791:
8730:
8627:
8547:
8520:
8418:
8326:
8095:
8002:
7624:
7545:
7351:
7228:
7084:
7028:
6890:
6700:
6460:
6332:
6264:
6172:
5996:
5887:
5778:
5682:
5472:
5367:
5184:
5122:is defined such that
5030:is invertible, by the
5011:
4793:
4539:
4416:
4270:
4018:
3867:
3380:
3226:
3020:
2856:
2729:
2590:
2414:
2293:
2212:
1999:
1875:
1622:
1449:
1231:
1101:
962:, the standard recipe
716:
635:
407:
32:
15130:Theorem 5 Section 1.2
14911:
14852:
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