3223:
2117:
3218:{\displaystyle {\begin{aligned}Z(X,Y)&=\log(\exp X\exp Y)\\&{}=X+Y+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{12}}\left(]+]\right)\\&{}\quad -{\frac {1}{24}}]]\\&{}\quad -{\frac {1}{720}}\left(]]]+]]]\right)\\&{}\quad +{\frac {1}{360}}\left(]]]+]]]\right)\\&{}\quad +{\frac {1}{120}}\left(]]]+]]]\right)\\&{}\quad +{\frac {1}{240}}\left(]]]]\right)\\&{}\quad +{\frac {1}{720}}\left(]]]]-]]]]\right)\\&{}\quad +{\frac {1}{1440}}\left(]]]]-]]]]\right)+\cdots \end{aligned}}}
1568:
4187:
6483:
1152:
3865:
13030:
5426:
11443:
6261:
9919:
3459:
8900:
9365:
10046:
5257:
3627:
12769:
12737:
5262:
5593:
are small. Thus, the conclusion that the product operation on a Lie group is determined by the Lie algebra is only a local statement. Indeed, the result cannot be global, because globally one can have nonisomorphic Lie groups with isomorphic Lie algebras.
1563:{\displaystyle \log(\exp X\exp Y)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n-1}}{n}}\sum _{\begin{smallmatrix}r_{1}+s_{1}>0\\\vdots \\r_{n}+s_{n}>0\end{smallmatrix}}{\frac {}{\left(\sum _{j=1}^{n}(r_{j}+s_{j})\right)\cdot \prod _{i=1}^{n}r_{i}!s_{i}!}},}
4972:
11192:
11083:
12765:
This degenerate Baker–Campbell–Hausdorff formula then displays the product of two displacement operators as another displacement operator (up to a phase factor), with the resultant displacement equal to the sum of the two displacements,
9687:
4182:{\displaystyle Z=\sum _{n>0}{\frac {(-1)^{n-1}}{n}}\sum _{\stackrel {r_{i}+s_{i}>0}{1\leq i\leq n}}{\frac {X^{r_{1}}Y^{s_{1}}\cdots X^{r_{n}}Y^{s_{n}}}{r_{1}!s_{1}!\cdots r_{n}!s_{n}!}},\quad \|X\|+\|Y\|<\log 2,\|Z\|<\log 2.}
3312:
8523:
10864:
13441:, Proceedings of the London Mathematical Society (1) 34 (1902) 347–360; H. Baker, Proceedings of the London Mathematical Society (1) 35 (1903) 333–374; H. Baker, Proceedings of the London Mathematical Society (Ser 2) 3 (1905) 24–47.
11765:
4433:
10325:
4566:
9139:
328:
12395:
10662:
9134:
5148:
9924:
6871:
3793:
3468:
6478:{\displaystyle \log(\exp X\exp Y)=X+{\frac {\operatorname {ad} _{X}}{1-e^{-\operatorname {ad} _{X}}}}~Y+O\left(Y^{2}\right)=X+\operatorname {ad} _{X/2}(1+\coth \operatorname {ad} _{X/2})~Y+O\left(Y^{2}\right),}
13205:
9639:
12566:
9527:
7740:.] For many applications, the mere assurance of the existence of this formal expression is sufficient, and an explicit expression for this infinite sum is not needed. This is for instance the case in the
929:
in 1890 where a convergent power series is given, with terms recursively defined. This qualitative form is what is used in the most important applications, such as the relatively accessible proofs of the
12517:
12010:
11622:
10423:
3682:
10539:
5486:
2122:
5687:
7996:
6132:
4891:
8180:
7940:
7192:
5117:
7298:
856:
7883:
11840:
7110:
6256:
4291:
1139:
7032:
7684:
10882:
8116:
10144:
8445:
6645:
13025:{\displaystyle e^{v{\hat {a}}^{\dagger }-v^{*}{\hat {a}}}e^{u{\hat {a}}^{\dagger }-u^{*}{\hat {a}}}=e^{(v+u){\hat {a}}^{\dagger }-(v^{*}+u^{*}){\hat {a}}}e^{(vu^{*}-uv^{*})/2},}
11524:
5828:
10667:
3852:
7568:
5536:
663:
95:
11627:
7794:
7738:
7708:
1103:
589:
452:
8386:
4297:
10166:
6755:
5421:{\displaystyle e^{X}e^{Y}={\begin{pmatrix}-1&0\\0&-1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-1&-1\\0&-1\end{pmatrix}}.}
11133:
7616:
7594:
4439:
1945:
5621:
2098:
2032:
793:
12180:
8071:
5143:
4229:
736:
183:
8339:
8307:
7741:
5025:
2065:
545:
348:
12040:
11919:
11873:
8259:
11187:
11160:
7479:
7452:
7425:
6048:
4999:
4879:
4724:
4697:
4627:
4596:
1622:
1595:
12289:
1069:
as explicitly as possible. Numerous formulas exist; we will describe two of the main ones (Dynkin's formula and the integral formula of
Poincaré) in this section.
13640:
Suzuki, Masuo (1985). "Decomposition formulas of exponential operators and Lie exponentials with some applications to quantum mechanics and statistical physics".
10449:
6960:
6700:
6567:
5772:
12284:
12264:
12240:
12220:
12200:
12132:
12112:
7519:
7499:
7398:
7378:
7358:
7338:
7318:
7239:
7219:
6934:
6914:
6894:
6775:
6720:
6607:
6587:
6526:
6503:
6184:
6164:
5968:
5948:
5903:
5883:
5734:
5714:
5446:
5073:
5053:
4852:
4808:
4764:
4744:
4669:
4649:
3307:
1995:
1975:
1067:
1047:
1016:
996:
976:
896:
876:
756:
710:
690:
613:
565:
512:
492:
472:
428:
408:
388:
368:
178:
158:
138:
45:
5863:
9082:
665:—can be expressed in purely Lie algebraic terms. The Baker–Campbell–Hausdorff formula can be used to give comparatively simple proofs of deep results in the
6780:
3710:
11438:{\displaystyle e^{-X}de^{X}=dX^{i}e_{i}-{\frac {1}{2!}}X^{i}dX^{j}{f_{ij}}^{k}e_{k}+{\frac {1}{3!}}X^{i}X^{j}dX^{k}{f_{jk}}^{l}{f_{il}}^{m}e_{m}-\cdots ,}
13113:
9914:{\displaystyle {\frac {d}{ds}}f(s)Y={\frac {d}{ds}}\left(e^{sX}Ye^{-sX}\right)=Xe^{sX}Ye^{-sX}-e^{sX}Ye^{-sX}X=\operatorname {ad} _{X}(e^{sX}Ye^{-sX})}
9532:
3454:{\displaystyle \log \left(e^{X}e^{Y}\right)=X+\left(\int _{0}^{1}\psi \left(e^{\operatorname {ad} _{X}}~e^{t\operatorname {ad} _{Y}}\right)dt\right)Y,}
1019:
8895:{\displaystyle e^{t(X+Y)}=e^{tX}~e^{tY}~e^{-{\frac {t^{2}}{2}}}~e^{{\frac {t^{3}}{6}}(2]+])}~e^{{\frac {-t^{4}}{24}}(,X],X]+3,X],Y]+3,Y],Y])}\cdots }
9377:
10546:
13423:
13774:
Biagi, Stefano; Bonfiglioli, Andrea; Matone, Marco (2018). "On the Baker-Campbell-Hausdorff
Theorem: non-convergence and prolongation issues".
13613:
950:(1947). The history of the formula is described in detail in the article of Achilles and Bonfiglioli and in the book of Bonfiglioli and Fulci.
1022:
in
Section 5.2 of Hall's book, where the precise coefficients play no role in the argument.) A remarkably direct existence proof was given by
14178:
13565:(1947). "Вычисление коэффициентов в формуле Campbell–Hausdorff" [Calculation of the coefficients in the Campbell–Hausdorff formula].
11928:
11536:
10330:
9360:{\displaystyle \operatorname {Ad} _{e^{X}}Y=e^{X}Ye^{-X}=e^{\operatorname {ad} _{X}}Y=Y+\left+{\frac {1}{2!}}]+{\frac {1}{3!}}]]+\cdots .}
10454:
5630:
9371:
7945:
7892:
7115:
925:
and commutators of commutators, ad infinitum, are needed to express the solution. An earlier statement of the form was adumbrated by
7847:
14170:
13070:
7037:
666:
13410:(1897) 381–390; (cf pp386-7 for the eponymous lemma); J. Campbell, Proceedings of the London Mathematical Society 29 (1898) 14–32.
9019:
4235:
14004:
Achilles, Rüdiger; Bonfiglioli, Andrea (May 2012). "The early proofs of the theorem of
Campbell, Baker, Hausdorff, and Dynkin".
5252:{\displaystyle X={\begin{pmatrix}0&i\pi \\i\pi &0\end{pmatrix}};\quad Y={\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}}.}
1108:
10041:{\displaystyle f'(s)=\operatorname {ad} _{X}f(s),\qquad f(0)=1\qquad \Longrightarrow \qquad f(s)=e^{s\operatorname {ad} _{X}}.}
5541:
This simple example illustrates that the various versions of the Baker–Campbell–Hausdorff formula, which give expressions for
14145:
14127:
14109:
14060:
13852:
12404:
7621:
3622:{\displaystyle \psi (x)~{\stackrel {\text{def}}{=}}~{\frac {x\log x}{x-1}}=1-\sum _{n=1}^{\infty }{(1-x)^{n} \over n(n+1)}~,}
10067:
3640:
12523:
5451:
12732:{\displaystyle e^{v{\hat {a}}^{\dagger }-v^{*}{\hat {a}}}=e^{v{\hat {a}}^{\dagger }}e^{-v^{*}{\hat {a}}}e^{-|v|^{2}/2},}
14212:
6053:
3804:
1957:
The series is not convergent in general; it is convergent (and the stated formula is valid) for all sufficiently small
13404:
8132:
5078:
50:
14082:
13703:
13590:
13075:
10874:
7797:
7244:
4602:
the Baker–Campbell–Hausdorff formula. Rather, the Baker–Campbell–Hausdorff formula is one of various expressions for
3278:
802:
11774:
1018:
exists; the exact coefficients are often irrelevant. (See, for example, the discussion of the relationship between
7528:
Alternatively, we can give an existence argument as follows. The Baker–Campbell–Hausdorff formula implies that if
6204:
1627:
14034:
7744:
construction of a Lie group representation from a Lie algebra representation. Existence can be seen as follows.
13453:, "Die symbolische Exponentialformel in der Gruppentheorie", Ber Verh Saechs Akad Wiss Leipzig 58 (1906) 19–48.
13090:
12141:
12135:
8193:
4195:
6965:
14281:
14044:
13085:
12398:
6187:
13585:
A.A. Sagle & R.E. Walde, "Introduction to Lie Groups and Lie
Algebras", Academic Press, New York, 1973.
8961:
The following identity (Campbell 1897) leads to a special case of the Baker–Campbell–Hausdorff formula. Let
6485:
which is evident from the integral formula above. (The coefficients of the nested commutators with a single
8463:
8080:
1142:
8391:
4967:{\displaystyle \operatorname {tr} \log \left(e^{X}e^{Y}\right)=\operatorname {tr} X+\operatorname {tr} Y.}
14039:
6612:
11448:
9066:
A standard combinatorial lemma which is utilized in producing the above explicit expansions is given by
5777:
14074:
13567:
3462:
901:
Modern expositions of the formula can be found in, among other places, the books of
Rossmann and Hall.
13427:
8447:
is primitive; and hence can be written as an infinite sum of elements of the Lie algebra generated by
7546:
5491:
618:
13739:
Wei, James (October 1963). "Note on the Global
Validity of the Baker-Hausdorff and Magnus Theorems".
7750:
7719:
7689:
1084:
570:
433:
8344:
14261:
13840:
13303:
8483:
6725:
4699:
in terms of commutators. (The reader is invited, for example, to verify by direct computation that
946:
by
Hausdorff (1906). The first actual explicit formula, with all numerical coefficients, is due to
11095:
10879:
A particularly useful variant of the above is the infinitesimal form. This is commonly written as
7599:
7577:
4881:
is expressible as a combination of commutators was shown in an elegant, recursive way by
Eichler.
13506:
14071:
Representation of nilpotent Lie groups and their applications, Part 1: Basic theory and examples
5600:
2070:
2004:
761:
14286:
14232:
13366:
11078:{\displaystyle e^{-X}de^{X}=dX-{\frac {1}{2!}}\left+{\frac {1}{3!}}]-{\frac {1}{4!}}]]+\cdots }
8269:
The existence of the
Campbell–Baker–Hausdorff formula can now be seen as follows: The elements
8038:
5122:
4885:
715:
7340:
are sufficiently small. It is natural to collect together all terms where the total degree in
14291:
13892:
Casas, F.; Murua, A.; Nadinic, M. (2012). "Efficient computation of the Zassenhaus formula".
13438:
13426:
128 (1899) 1065–1069; Transactions of the Cambridge Philosophical Society 18 (1899) 220–255.
13357:
13059:
12747:
12546:
8312:
8280:
5027:
is expressible as a linear combination of commutators, the trace of each such terms is zero.
5004:
2037:
910:
799:. The point of the Baker–Campbell–Hausdorff formula is then the highly nonobvious claim that
517:
333:
14215:
13383:
12015:
11894:
11852:
8214:
7427:. (See the section "Matrix Lie group illustration" above for formulas for the first several
7300:
using the power series for the exponential and logarithm, with convergence of the series if
120:. There are various ways of writing the formula, but all ultimately yield an expression for
13911:
13748:
13649:
13400:
13041:
11165:
11138:
8262:
7457:
7430:
7403:
6198:
5973:
4977:
4857:
4702:
4675:
4605:
4574:
1600:
1573:
935:
914:
12094:. Specifically, the position and momentum operators in quantum mechanics, usually denoted
10859:{\displaystyle e^{X}e^{Y}=e^{(Y+\left+{\frac {1}{2!}}]+{\frac {1}{3!}}]]+\cdots )}~e^{X}.}
8:
14276:
14101:
13064:
12051:
10428:
8950:
8186:
7710:. [This infinite series may or may not converge, so it need not define an actual element
6939:
6664:
6531:
13915:
13752:
13653:
12563:. As indicated above, the expansion then collapses to the semi-trivial degenerate form:
11760:{\displaystyle W=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}M^{n}}{(n+1)!}}=(I-e^{-M})M^{-1}.}
10451:
gives one of the special cases of the Baker–Campbell–Hausdorff formula described above:
5739:
4884:
A consequence of the Baker–Campbell–Hausdorff formula is the following result about the
4726:
is expressible as a linear combination of the two nontrivial third-order commutators of
14224:
14094:
14021:
13927:
13901:
13809:
13783:
13671:
13611:(1954). "On the exponential solution of differential equations for a linear operator".
13054:
12397:
This "exponentiated commutation relation" does indeed hold, and forms the basis of the
12269:
12249:
12225:
12205:
12185:
12117:
12097:
11527:
7504:
7484:
7383:
7363:
7343:
7323:
7303:
7224:
7204:
6919:
6899:
6879:
6760:
6705:
6592:
6572:
6511:
6488:
6169:
6149:
5953:
5933:
5888:
5868:
5719:
5699:
5431:
5058:
5038:
4813:
4769:
4749:
4729:
4654:
4634:
4428:{\displaystyle z_{3}={\frac {1}{12}}\left(X^{2}Y+XY^{2}-2XYX+Y^{2}X+YX^{2}-2YXY\right)}
3704:
3292:
1980:
1960:
1052:
1032:
1001:
981:
961:
931:
881:
861:
741:
695:
675:
598:
550:
497:
477:
457:
413:
393:
373:
353:
163:
143:
123:
30:
14053:
Topics in Noncommutative Algebra: The Theorem of Campbell, Baker, Hausdorff and Dynkin
10320:{\displaystyle {\frac {dg}{ds}}={\Bigl (}X+e^{sX}Ye^{-sX}{\Bigr )}g(s)=(X+Y+s)~g(s)~,}
6186:. This result is behind the "exponentiated commutation relations" that enter into the
5836:
14208:
14154:
14141:
14123:
14105:
14078:
14056:
14025:
13848:
13801:
13699:
13586:
13355:
F. Schur (1890), "Neue Begründung der Theorie der endlichen Transformationsgruppen,"
13208:
12067:
12055:
8908:
are likewise nested commutators, i.e., homogeneous Lie polynomials. These exponents,
7813:
6139:
14192:
13813:
13419:
8498:. In common with all universal enveloping algebras, it has a natural structure of a
4561:{\displaystyle z_{4}={\frac {1}{24}}\left(X^{2}Y^{2}-2XYXY-Y^{2}X^{2}+2YXYX\right).}
939:
140:
in Lie algebraic terms, that is, as a formal series (not necessarily convergent) in
14252:
14220:
14200:
14187:
14013:
13931:
13919:
13793:
13756:
13667:
13657:
13622:
13518:
13378:
13080:
13033:
12091:
8467:
7571:
5909:
3228:
The above lists all summands of order 6 or lower (i.e. those containing 6 or fewer
13797:
3309:, many of which are used in the physics literature. A popular integral formula is
14166:
13542:
13450:
13037:
5906:
3277:. A complete elementary proof of this formula can be found in the article on the
943:
926:
918:
323:{\displaystyle Z=X+Y+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{12}}]-{\frac {1}{12}}]+\cdots \,,}
1250:
14228:
14089:
13968:
13695:
13675:
13608:
13502:
12071:
8119:
7823:
7522:
4672:. The point is that it is far from obvious that it is possible to express each
2103:
The first few terms are well-known, with all higher-order terms involving and
1023:
98:
14017:
13923:
14270:
14245:
13805:
13562:
12390:{\displaystyle e^{iaX}e^{ibP}=e^{i\left(aX+bP-{\frac {ab\hbar }{2}}\right)}.}
12087:
11884:
8018:
3685:
1146:
947:
13523:
12246:
applied a special case of the Baker–Campbell–Hausdorff formula (even though
6193:
Another useful form of the general formula emphasizes expansion in terms of
14256:
13626:
12043:
10657:{\displaystyle e^{X}e^{Y}e^{-X}=e^{e^{X}Ye^{-X}}=e^{e^{{\text{ad}}_{X}}Y},}
8499:
942:(1899) and Baker (1902); and systematized geometrically, and linked to the
938:. Following Schur, it was noted in print by Campbell (1897); elaborated by
796:
180:
and iterated commutators thereof. The first few terms of this series are:
14249:
14122:, Graduate Texts in Mathematics, vol. 222 (2nd ed.), Springer,
7541:
5624:
2108:
113:
20:
14120:
Lie Groups, Lie Algebras, and Representations An Elementary Introduction
13040:. The degenerate Baker–Campbell–Hausdorff formula is frequently used in
12762:, into exponentials of annihilation and creation operators and scalars.
9370:
This is a particularly useful formula which is commonly used to conduct
9129:{\displaystyle \operatorname {Ad} _{e^{X}}=e^{\operatorname {ad} _{X}},}
8520:
A related combinatoric expansion that is useful in dual applications is
8209:
2104:
922:
13760:
11845:
The usefulness of this expression comes from the fact that the matrix
6866:{\displaystyle e^{X}e^{Y}=\exp \left(X+{\frac {s}{1-e^{-s}}}Y\right).}
3788:{\displaystyle \exp X=e^{X}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {X^{n}}{n!}}.}
3250:(anti-)/symmetry in alternating orders of the expansion, follows from
958:
For many purposes, it is only necessary to know that an expansion for
14140:, Oxford Graduate Texts in Mathematics, Oxford Science Publications,
13972:
13661:
7886:
5563:
power series whose convergence is not guaranteed. Thus, if one wants
117:
12066:
A special case of the Baker–Campbell–Hausdorff formula is useful in
9677:, solution of the resulting differential equation and evaluation at
6936:
guarantees that the expression on the right side makes sense. (When
13788:
11086:
13906:
13251:
Equation (2) Section 1.3. For matrix Lie algebras over the fields
12286:
are unbounded operators and not matrices), we would conclude that
13263:, the convergence criterion is that the log series converges for
13200:{\displaystyle \psi (e^{y})=\sum _{n=0}^{\infty }B_{n}~y^{n}/n!,}
9634:{\displaystyle e^{X}Ye^{-X}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {}{n!}}.}
11533:
The series can be written more compactly (cf. main article) as
8946:, follow recursively by application of the above BCH expansion.
7454:'s.) A remarkably direct and concise, recursive proof that each
1145:. The following general combinatorial formula was introduced by
8198:
exactly the formal infinite sums of elements of the Lie algebra
5428:
It is then not hard to show that there does not exist a matrix
5581:(as opposed to a formal power series), one has to assume that
795:, where the exponentials and the logarithm can be computed as
9522:{\displaystyle \equiv \underbrace {]\dotsb ],\quad \equiv Y,}
7998:(The definition of Δ is extended to the other elements of
7686:
can formally be written as an infinite sum of elements of
6876:
Again, in this case there are no smallness restriction on
1570:
where the sum is performed over all nonnegative values of
11085:
This variation is commonly used to write coordinates and
10664:
which can be written as the following braiding identity:
5538:. (Similar examples may be found in the article of Wei.)
13847:(1st ed.). Cambridge University Press. p. 49.
1029:
In other cases, one may need detailed information about
858:
can be expressed as a series in repeated commutators of
12512:{\displaystyle e^{i(aX+bP)}=e^{iaX/2}e^{ibP}e^{iaX/2}.}
8006:-linearity, multiplicativity and infinite additivity.)
6146:. In this case, there are no smallness restrictions on
13773:
8512:
used above is just a completion of this Hopf algebra.
7800:
with real coefficients in the non-commuting variables
6968:
5569:
to be an actual element of the Lie algebra containing
5375:
5336:
5294:
5215:
5163:
4189:
The first, second, third, and fourth order terms are:
3651:
13990:
See pp 27-29 for a detailed proof of the above lemma.
13507:"A new proof of the Baker-Campbell-Hausdorff formula"
13116:
12772:
12569:
12407:
12292:
12272:
12252:
12228:
12208:
12188:
12144:
12120:
12100:
12018:
11931:
11897:
11855:
11777:
11630:
11539:
11451:
11195:
11168:
11141:
11098:
10885:
10670:
10549:
10457:
10431:
10333:
10169:
10070:
9927:
9690:
9535:
9380:
9142:
9085:
8526:
8394:
8347:
8315:
8283:
8217:
8135:
8083:
8041:
7948:
7895:
7850:
7753:
7722:
7692:
7624:
7602:
7580:
7549:
7507:
7487:
7460:
7433:
7406:
7386:
7366:
7346:
7326:
7306:
7247:
7227:
7207:
7118:
7040:
6942:
6922:
6902:
6882:
6783:
6763:
6728:
6708:
6667:
6615:
6595:
6575:
6569:. Then all iterated commutators will be multiples of
6534:
6514:
6491:
6264:
6207:
6172:
6152:
6142:, as illustrated below and is sometimes known as the
6056:
5976:
5956:
5936:
5891:
5871:
5839:
5780:
5742:
5722:
5702:
5633:
5603:
5597:
Concretely, if working with a matrix Lie algebra and
5494:
5454:
5434:
5265:
5151:
5125:
5081:
5061:
5041:
5007:
4980:
4894:
4860:
4816:
4772:
4752:
4732:
4705:
4678:
4657:
4637:
4608:
4577:
4442:
4300:
4238:
4198:
3868:
3807:
3713:
3643:
3471:
3315:
3295:
2120:
2073:
2040:
2007:
1983:
1963:
1630:
1603:
1576:
1155:
1111:
1087:
1055:
1035:
1004:
984:
964:
884:
864:
805:
764:
744:
718:
698:
678:
621:
601:
573:
553:
520:
500:
480:
474:, the series is convergent. Meanwhile, every element
460:
436:
416:
396:
376:
356:
336:
186:
166:
146:
126:
53:
33:
12005:{\displaystyle g_{ij}={W_{i}}^{m}{W_{j}}^{n}B_{mn}.}
11891:
can be written as the pullback of the metric tensor
11617:{\displaystyle e^{-X}de^{X}=e_{i}{W^{i}}_{j}dX^{j},}
10418:{\displaystyle g(s)=e^{s(X+Y)+{\frac {s^{2}}{2}}}~.}
3677:{\displaystyle G\subset {\mbox{GL}}(n,\mathbb {R} )}
14003:
13474:
12061:
10534:{\displaystyle e^{X}e^{Y}=e^{X+Y+{\frac {1}{2}}}~.}
7481:is expressible in terms of repeated commutators of
5481:{\displaystyle \operatorname {sl} (2;\mathbb {C} )}
430:are sufficiently small elements of the Lie algebra
14138:Lie Groups – An Introduction Through Linear Groups
14093:
13199:
13024:
12731:
12511:
12389:
12278:
12258:
12234:
12214:
12194:
12174:
12126:
12106:
12034:
12004:
11913:
11867:
11834:
11759:
11616:
11518:
11437:
11181:
11154:
11127:
11077:
10858:
10656:
10533:
10443:
10417:
10319:
10138:
10040:
9913:
9633:
9521:
9359:
9128:
8894:
8439:
8380:
8333:
8301:
8253:
8174:
8110:
8065:
7990:
7934:
7877:
7788:
7732:
7702:
7678:
7610:
7588:
7562:
7513:
7493:
7473:
7446:
7419:
7392:
7372:
7352:
7332:
7312:
7292:
7233:
7213:
7186:
7104:
7026:
6954:
6928:
6908:
6888:
6865:
6769:
6749:
6714:
6694:
6639:
6601:
6581:
6561:
6520:
6497:
6477:
6250:
6190:. A simple proof of this identity is given below.
6178:
6158:
6126:
6042:
5962:
5942:
5897:
5877:
5857:
5822:
5774:, the Baker–Campbell–Hausdorff formula reduces to
5766:
5728:
5708:
5682:{\displaystyle \|X\|+\|Y\|<{\frac {\ln 2}{2}}.}
5681:
5615:
5530:
5480:
5440:
5420:
5251:
5137:
5111:
5067:
5047:
5019:
4993:
4966:
4873:
4846:
4802:
4758:
4738:
4718:
4691:
4663:
4643:
4621:
4590:
4560:
4427:
4285:
4223:
4181:
3846:
3787:
3676:
3621:
3453:
3301:
3217:
2092:
2059:
2026:
1989:
1969:
1939:
1616:
1589:
1562:
1133:
1097:
1061:
1041:
1026:, see also the "Existence results" section below.
1010:
990:
970:
890:
870:
850:
787:
750:
730:
704:
684:
657:
607:
583:
559:
539:
506:
486:
466:
446:
422:
402:
382:
362:
350:" indicates terms involving higher commutators of
342:
322:
172:
152:
132:
89:
39:
13891:
10240:
10195:
10051:
7991:{\displaystyle \Delta (Y)=Y\otimes 1+1\otimes Y.}
6127:{\displaystyle e^{X}e^{Y}=e^{X+Y+{\frac {1}{2}}}}
14268:
14088:
14050:
13987:
13485:
13306:. Convergence may occur on a larger domain. See
8175:{\displaystyle \Delta (s)=s\otimes 1+1\otimes s}
8027:with constant term 0 and the set of elements of
8021:, is a bijection between the set of elements of
7935:{\displaystyle \Delta (X)=X\otimes 1+1\otimes X}
7187:{\displaystyle e^{X}e^{Y}e^{-X}=e^{\exp(s)\,Y}.}
7034:.) We also obtain a simple "braiding identity":
6970:
6508:Now assume that the commutator is a multiple of
5112:{\displaystyle {\mathfrak {sl}}(2;\mathbb {C} )}
3632:
921:who stated its qualitative form, i.e. that only
14032:
13497:
13495:
13493:
12746:This example illustrates the resolution of the
11189:for the Lie algebra, one readily computes that
8033:with constant term 1; the inverse of exp is log
7293:{\displaystyle Z:=\log \left(e^{X}e^{Y}\right)}
851:{\displaystyle Z:=\log \left(e^{X}e^{Y}\right)}
13614:Communications on Pure and Applied Mathematics
13405:Proceedings of the London Mathematical Society
8009:One can then verify the following properties:
7878:{\displaystyle \Delta \colon S\to S\otimes S,}
6138:This is the degenerate case used routinely in
5075:are the following matrices in the Lie algebra
14179:Bulletin of the American Mathematical Society
13639:
11835:{\displaystyle {M_{j}}^{k}=X^{i}{f_{ij}}^{k}}
9529:we can write this formula more compactly as,
7112:which may be written as an adjoint dilation:
7105:{\displaystyle e^{X}e^{Y}=e^{\exp(s)Y}e^{X},}
3463:generating function for the Bernoulli numbers
14051:Bonfiglioli, Andrea; Fulci, Roberta (2012).
13511:Journal of the Mathematical Society of Japan
13490:
11089:as pullbacks of the metric on a Lie group.
5652:
5646:
5640:
5634:
5610:
5604:
4164:
4158:
4140:
4134:
4128:
4122:
1624:, and the following notation has been used:
13838:
13538:
13536:
13534:
13340:
13338:
12242:commute with their commutator. Thus, if we
12042:on the Lie group is the Cartan metric, the
6251:{\displaystyle \operatorname {ad} _{X}(Y)=}
5030:
4286:{\displaystyle z_{2}={\frac {1}{2}}(XY-YX)}
12202:is the identity operator. It follows that
10543:More generally, for non-central , we have
1134:{\displaystyle \exp :{\mathfrak {g}}\to G}
14191:
13905:
13787:
13686:
13684:
13603:
13601:
13599:
13557:
13555:
13522:
13424:Comptes rendus de l'Académie des Sciences
7761:
7604:
7582:
7175:
7027:{\textstyle \lim _{s\to 0}s/(1-e^{-s})=1}
5471:
5102:
3667:
3289:There are numerous other expressions for
1821:
1817:
1049:and it is therefore desirable to compute
316:
14135:
13956:
13531:
13462:
13335:
13330:
13307:
13248:
10056:For central, i.e., commuting with both
9647:Evaluate the derivative with respect to
8208:, where the Lie bracket is given by the
13501:
9374:. By defining the iterated commutator,
9372:unitary transforms in quantum mechanics
8902:where the exponents of higher order in
7679:{\displaystyle Z=\log(\exp(X)\exp(Y)),}
1020:Lie group and Lie algebra homomorphisms
14269:
14165:
13692:Symmetry Groups and their Applications
13681:
13607:
13596:
13561:
13552:
11771:is a matrix whose matrix elements are
6589:, and no quadratic or higher terms in
3284:
494:sufficiently close to the identity in
14153:
14006:Archive for History of Exact Sciences
10868:
8515:
8111:{\displaystyle \Delta (r)=r\otimes r}
5547:in terms of iterated Lie-brackets of
14117:
13976:Optical Coherence and Quantum Optics
13944:
13879:
13867:
13826:
13726:
13714:
13344:
13071:Lie group–Lie algebra correspondence
13036:they provide a representation of is
11849:is a vielbein. Thus, given some map
10139:{\displaystyle e^{sX}Ye^{-sX}=Y+s~.}
8956:
8482:is isomorphic to the algebra of all
8440:{\displaystyle \log(\exp(X)\exp(Y))}
8388:is also grouplike; so its logarithm
7196:
4631:in terms of repeated commutators of
3705:standard exponential map of matrices
3629:utilized by Poincaré and Hausdorff.
978:in terms of iterated commutators of
758:can be computed as the logarithm of
667:Lie group–Lie algebra correspondence
13738:
12524:annihilation and creation operators
8973:its corresponding Lie algebra. Let
7725:
7695:
7552:
6647:term above vanishes and we obtain:
6640:{\displaystyle O\left(Y^{2}\right)}
6505:are normalized Bernoulli numbers.)
5087:
5084:
1120:
1090:
1072:
576:
439:
13:
13155:
11653:
11519:{\displaystyle ={f_{ij}}^{k}e_{k}}
9581:
8136:
8084:
7949:
7896:
7851:
5912:. Then the formula reduces to its
5823:{\displaystyle e^{X}e^{Y}=e^{X+Y}}
3755:
3560:
1205:
14:
14303:
14239:
14231:(2007). "Lie Groups in Physics",
13076:Derivative of the exponential map
12551:, that is, it commutes with both
12368:
12166:
10875:Derivative of the exponential map
7798:non-commuting formal power series
3847:{\displaystyle e^{Z}=e^{X}e^{Y},}
3279:derivative of the exponential map
1249:
953:
12062:Application in quantum mechanics
9022:encountered above.) Denote with
8341:are grouplike; so their product
7563:{\displaystyle {\mathfrak {g}},}
5691:
5531:{\displaystyle e^{X}e^{Y}=e^{Z}}
4854:.) The general result that each
3854:using the series expansions for
1081:be a Lie group with Lie algebra
658:{\displaystyle e^{X}e^{Y}=e^{Z}}
90:{\displaystyle e^{X}e^{Y}=e^{Z}}
25:Baker–Campbell–Hausdorff formula
14193:10.1090/s0273-0979-1982-14972-2
14069:L. Corwin & F.P Greenleaf,
13997:
13981:
13962:
13950:
13938:
13894:Computer Physics Communications
13885:
13873:
13861:
13832:
13820:
13767:
13741:Journal of Mathematical Physics
13732:
13720:
13708:
13642:Journal of Mathematical Physics
13633:
13579:
13479:
13475:Achilles & Bonfiglioli 2012
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7703:{\displaystyle {\mathfrak {g}}}
5970:commute with their commutator,
5627:, convergence is guaranteed if
5203:
4121:
3862:one obtains a simpler formula:
3692:, and the commutator is simply
3052:
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2518:
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2318:
1098:{\displaystyle {\mathfrak {g}}}
584:{\displaystyle {\mathfrak {g}}}
447:{\displaystyle {\mathfrak {g}}}
13776:Linear and Multilinear Algebra
13698:, New York, 1972, pp 159–161.
13549:, John Wiley & Sons, 1966.
13456:
13444:
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13280:. This is guaranteed whenever
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2128:
2107:nestings thereof (thus in the
1934:
1931:
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1:
13798:10.1080/03081087.2018.1540534
13317:
13294:‖ < log 2, ‖
12522:A related application is the
9041:the linear transformation of
6750:{\displaystyle s\neq 2\pi in}
5625:submultiplicative matrix norm
4571:The formulas for the various
3703:; the exponential map is the
3633:Matrix Lie group illustration
14250:Crib Notes on CBH expansions
14035:"Campbell–Hausdorff formula"
13988:Greiner & Reinhardt 1996
13486:Bonfiglioli & Fulci 2012
13387:(2004) Harvard University. (
11128:{\displaystyle X=X^{i}e_{i}}
8951:Suzuki–Trotter decomposition
8949:As a corollary of this, the
8464:universal enveloping algebra
7611:{\displaystyle \mathbb {C} }
7589:{\displaystyle \mathbb {R} }
1947:with the understanding that
595:the group multiplication in
7:
14159:Lie algebras and Lie groups
14040:Encyclopedia of Mathematics
13845:Introductory Quantum Optics
13047:
12054:, the metric is a (pseudo-)
5145:matrices with trace zero):
4974:That is to say, since each
1940:{\displaystyle =]\dotsm ]]}
909:The formula is named after
10:
14308:
14075:Cambridge University Press
13568:Doklady Akademii Nauk SSSR
13091:Golden–Thompson inequality
12743:is just a complex number.
12090:operators, generating the
11624:with the infinite series
10872:
8982:be the linear operator on
8967:be a matrix Lie group and
8017:, defined by its standard
7570:defined over any field of
5833:Another case assumes that
5616:{\displaystyle \|\cdot \|}
2093:{\displaystyle r_{n}>1}
2027:{\displaystyle s_{n}>1}
904:
788:{\displaystyle e^{X}e^{Y}}
14171:"Poincaré and Lie groups"
14033:Yu.A. Bakhturin (2001) ,
14018:10.1007/s00407-012-0095-8
13924:10.1016/j.cpc.2012.06.006
13563:Dynkin, Eugene Borisovich
13086:Stone–von Neumann theorem
13067:(Trotter product formula)
12399:Stone–von Neumann theorem
12175:{\displaystyle =i\hbar I}
8484:non-commuting polynomials
8066:{\displaystyle r=\exp(s)}
6722:is a complex number with
6188:Stone–von Neumann theorem
5138:{\displaystyle 2\times 2}
4224:{\displaystyle z_{1}=X+Y}
731:{\displaystyle n\times n}
47:that solves the equation
14092:; Reinhardt, J. (1996),
13097:
5031:Questions of convergence
591:. Thus, we can say that
14136:Rossmann, Wulf (2002),
14118:Hall, Brian C. (2015),
8334:{\displaystyle \exp(Y)}
8302:{\displaystyle \exp(X)}
7400:, giving an expression
5020:{\displaystyle j\geq 2}
3684:the Lie algebra is the
3637:For a matrix Lie group
2060:{\displaystyle s_{n}=0}
712:are sufficiently small
540:{\displaystyle g=e^{X}}
343:{\displaystyle \cdots }
14257:10.13140/2.1.3090.2409
14207:, Orange Grove Books,
13627:10.1002/cpa.3160070404
13201:
13159:
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12092:Heisenberg Lie algebra
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11530:of the Lie algebra.
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154:
134:
91:
41:
13524:10.2969/jmsj/02010023
13439:Henry Frederick Baker
13358:Mathematische Annalen
13202:
13139:
13060:Logarithm of a matrix
13027:
12748:displacement operator
12734:
12514:
12392:
12281:
12261:
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11155:{\displaystyle X^{i}}
11130:
11092:For example, writing
11080:
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8177:
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7791:
7747:We consider the ring
7735:
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6916:. The restriction on
6911:
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6161:
6144:disentangling theorem
6129:
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5965:
5945:
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