7863:
7321:
8880:
7858:{\displaystyle {\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n1}&a_{n2}&\cdots &a_{nn}\\\end{bmatrix}}\mapsto {\begin{bmatrix}a_{11}&t_{1}t_{2}^{-1}a_{12}&\cdots &t_{1}t_{n}^{-1}a_{1n}\\t_{2}t_{1}^{-1}a_{21}&a_{22}&\cdots &t_{2}t_{n}^{-1}a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\t_{n}t_{1}^{-1}a_{n1}&t_{n}t_{2}^{-1}a_{n2}&\cdots &a_{nn}\\\end{bmatrix}}.}
8497:
42:
8875:{\displaystyle {\begin{bmatrix}t_{1}&0\\0&1/t_{1}\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}a&b\\c&d\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1/t_{1}&0\\0&t_{1}\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}at_{1}&bt_{1}\\c/t_{1}&d/t_{1}\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1/t_{1}&0\\0&t_{1}\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}a&bt_{1}^{2}\\ct_{1}^{-2}&d\\\end{bmatrix}}}
8482:
9047:
8255:
2322:
9440:
8309:
8891:
1953:
8066:
4216:
4014:
2201:
7097:
9254:
3208:
2400:
1446:
6493:
5361:
9153:
It is satisfying to show the multiplicativity of the character and the linearity of the weight. It can further be proved that the differential of Λ can be used to create a weight. It is also educational to consider the case of SL(3,
6243:
6312:
3329:
6133:
1162:
6541:
6181:
7250:
4572:
8477:{\displaystyle {\begin{bmatrix}\theta &0\\0&-\theta \\\end{bmatrix}}=\theta {\begin{bmatrix}1&0\\0&0\\\end{bmatrix}}-\theta {\begin{bmatrix}0&0\\0&1\\\end{bmatrix}}=\theta (e_{1}-e_{2}).}
2140:
9042:{\displaystyle {\begin{bmatrix}1&0\\0&0\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}0&0\\0&1\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}0&1\\0&0\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}0&0\\1&0\\\end{bmatrix}}}
8024:
2736:
9149:
is a multiplicative character, or homomorphism from the group's torus to the underlying field R. The function λ giving θ is a weight of the Lie
Algebra with weight space given by the span of the matrices.
8250:{\displaystyle {\begin{bmatrix}t_{1}&0\\0&t_{2}\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}t_{1}&0\\0&1/t_{1}\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\exp(\theta )&0\\0&\exp(-\theta )\\\end{bmatrix}}}
3585:
5827:
4123:
2005:
5082:
3925:
2189:
6080:
7192:
7003:
6936:
3462:
2206:
5719:
1748:
916:
4713:
2903:
2847:
1360:
5994:
4836:
3019:
2441:
1515:
5573:
3669:
5927:
5666:
2317:{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {ad} :&\,{\mathfrak {g}}\to \mathrm {Der} ({\mathfrak {g}})\\&\,x\mapsto \operatorname {ad} _{x}=d(\operatorname {Ad} )_{e}(x)\end{aligned}}}
1588:
5474:
6782:
9435:{\displaystyle \operatorname {Ad} _{gh}=d(\Psi _{gh})_{e}=d(\Psi _{g}\circ \Psi _{h})_{e}=d(\Psi _{g})_{e}\circ d(\Psi _{h})_{e}=\operatorname {Ad} _{g}\circ \operatorname {Ad} _{h}.}
9115:
6436:
5868:
7032:
6673:
6640:
6345:
4080:
2532:
1031:
4112:
2571:
1209:
6567:
3031:
2778:
4320:
2330:
1327:
698:
5013:
4261:
3368:
812:
770:
7152:
7125:
7027:
6963:
5037:
4983:
4803:
4775:
4744:
4673:
4646:
4611:
4045:
3917:
3889:
3861:
3798:
3755:
2627:
2599:
2469:
2045:
1675:
1539:
1290:
5127:
1716:
8301:
1368:
4938:
9147:
6446:
1619:
1252:
5167:
3498:
4459:
3698:
4343:
2956:
5159:
2930:
3615:
1736:
1639:
737:
6192:
6249:
3223:
6090:
1079:
6499:
6139:
459:
7201:
1471:
507:
4470:
9618:
7276:. (In general, one needs to pass to the complexification of the Lie algebra before proceeding.) To see how this works, consider the case
512:
3396:
in the Lie algebra. It is a consequence of the general result relating Lie group and Lie algebra homomorphisms via the exponential map.
2087:
502:
497:
7976:
4616:
This last identity says that ad is a Lie algebra homomorphism; i.e., a linear mapping that takes brackets to brackets. Hence, ad is a
2643:
3506:
317:
4211:{\displaystyle \operatorname {ad} :{\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {gl}}({\mathfrak {g}})=(\operatorname {End} ({\mathfrak {g}}),)}
581:
464:
5787:
4009:{\displaystyle \operatorname {ad} _{x}:{\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {g}}\qquad {\text{with}}\qquad \operatorname {ad} _{x}(y)=}
1961:
9580:
9543:
5045:
2152:
6005:
9570:
7161:
6972:
6867:
1948:{\displaystyle \operatorname {Ad} _{g}(X)=(d\Psi _{g})_{e}(X)=(\Psi _{g}\circ \exp(tX))'(0)=(g\exp(tX)g^{-1})'(0)=gXg^{-1}}
612:
3406:
5679:
877:
9599:
4678:
2852:
2791:
1332:
5933:
4808:
3828:
2961:
2405:
1477:
5489:
3623:
5879:
5629:
1548:
5385:
4617:
2075:
858:
474:
7092:{\displaystyle \operatorname {Lie} (\operatorname {Int} ({\mathfrak {g}}))=\operatorname {ad} ({\mathfrak {g}})}
9515:
7269:
6680:
9055:
6352:
5833:
9527:
9180:
6651:
6574:
6323:
4058:
2477:
972:
469:
449:
4085:
3203:{\displaystyle \operatorname {Ad} _{g}(Y)=d(R_{g^{-1}}\circ L_{g})(Y)=dR_{g^{-1}}(dL_{g}(Y))=dR_{g^{-1}}(Y)}
2540:
1174:
3375:
2574:
2395:{\displaystyle \mathrm {Der} ({\mathfrak {g}})=\operatorname {Lie} (\operatorname {Aut} ({\mathfrak {g}}))}
1542:
414:
322:
6552:
4958:
2744:
4269:
1299:
663:
9519:
9204:
4988:
4236:
3729:
The upper-case/lower-case notation is used extensively in the literature. Thus, for example, a vector
3341:
2444:
834:
826:
822:
775:
454:
746:
7133:
7106:
7008:
6944:
6858:
5018:
4964:
4784:
4756:
4725:
4654:
4627:
4592:
4026:
3898:
3870:
3842:
3779:
3736:
2608:
2580:
2450:
2026:
1656:
1520:
1441:{\displaystyle \mathrm {Ad} \colon G\to \mathrm {Aut} ({\mathfrak {g}}),\,g\mapsto \mathrm {Ad} _{g}}
1271:
9211:
should be indexed in some way by its co-adjoint orbits. This relationship is closest in the case of
5106:
1037:
9175:
1680:
1261:
605:
89:
8263:
6488:{\displaystyle \operatorname {ad} \colon {\mathfrak {g}}\to \operatorname {Der} ({\mathfrak {g}})}
6828:
5356:{\displaystyle (\operatorname {ad} _{x}-\alpha -\beta )^{n}=\sum _{i=0}^{n}{\binom {n}{i}}\left.}
4848:
3403:
is an immersely linear Lie group, then the above computation simplifies: indeed, as noted early,
2051:
9120:
6966:
5759:
1597:
1230:
838:
409:
372:
340:
7970:) of two dimensional matrices with determinant 1 consists of the set of matrices of the form:
5779:
The following table summarizes the properties of the various maps mentioned in the definition
3467:
9196:
6816:
6812:
4716:
4354:
1265:
854:
441:
109:
7966:
When computing the root system for one of the simplest cases of Lie Groups, the group SL(2,
4328:
2935:
184:
174:
164:
154:
9553:
9227: – Lie algebra bundle associated to any principal bundle by the adjoint representation
9188:
8303:. The Lie algebra of the maximal torus is the Cartan subalgebra consisting of the matrices
5132:
5100:
4839:
2908:
1452:
818:
69:
59:
8:
9623:
9212:
9192:
6792:
5372:
3594:
842:
598:
586:
427:
257:
3678:
9184:
6844:
6238:{\displaystyle \operatorname {Ad} _{gh}=\operatorname {Ad} _{g}\operatorname {Ad} _{h}}
2781:
1721:
1624:
963:
938:
722:
358:
348:
6307:{\displaystyle \left(\operatorname {Ad} _{g}\right)^{-1}=\operatorname {Ad} _{g^{-1}}}
3324:{\displaystyle =\lim _{t\to 0}{1 \over t}(\operatorname {Ad} _{\varphi _{t}(e)}(Y)-Y)}
9595:
9576:
9557:
9539:
1293:
711:, then the adjoint representation is the group homomorphism that sends an invertible
701:
422:
385:
6128:{\displaystyle \operatorname {Ad} \colon G\to \operatorname {Aut} ({\mathfrak {g}})}
537:
275:
9531:
7265:
5623:
4750:
4345:
denotes composition of linear maps. Using the above definition of the bracket, the
557:
237:
229:
221:
213:
205:
138:
119:
79:
20:
9549:
9167:
6808:
4346:
1157:{\displaystyle \operatorname {Ad} _{g}=(d\Psi _{g})_{e}:T_{e}G\rightarrow T_{e}G}
542:
295:
280:
51:
6536:{\displaystyle \operatorname {ad} _{x}\colon {\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {g}}}
6176:{\displaystyle \operatorname {Ad} _{g}\colon {\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {g}}}
9224:
6815:
of the adjoint representation coincides with the kernel of Ψ which is just the
5767:
4263:, the bracket is, by definition, given by the commutator of the two operators:
3801:
562:
380:
285:
9535:
2849:, roughly because both sides satisfy the same ODE defining the flow. That is,
547:
9612:
9561:
7305:
5600:
5376:
4777:(that's just rephrasing the definition). On the other hand, for each element
1212:
1061:
270:
99:
7245:{\displaystyle \operatorname {Int} ({\mathfrak {g}})=\operatorname {Ad} (G)}
5371:
The explicit matrix elements of the adjoint representation are given by the
4951:
in the algebra (the restatement of the Jacobi identity). That is to say, ad
3758:
740:
653:
567:
552:
353:
335:
265:
9594:, Graduate Texts in Mathematics, vol. 222 (2nd ed.), Springer,
9592:
Lie Groups, Lie
Algebras, and Representations: An Elementary Introduction
7273:
6840:
5751:
4715:
is the Lie algebra of square matrices and the composition corresponds to
649:
626:
393:
309:
33:
3700:
be an immersely linear Lie group having the same Lie algebra as that of
9248:
4567:{\displaystyle \left(\right)(z)=\left(\operatorname {ad} _{}\right)(z)}
4115:
3675:
The general case can also be deduced from the linear case: indeed, let
3022:
645:
532:
398:
290:
19:"Adjoint map" redirects here. For the term in functional analysis, see
9052:
are then 'eigenvectors' of the conjugation operation with eigenvalues
9530:, Readings in Mathematics. Vol. 129. New York: Springer-Verlag.
5676:
matrices with the commutator for a Lie bracket (i.e. a subalgebra of
868:
638:
29:
7930:. This accounts for the standard description of the root system of
5762:
0. The representation is equivalent to that given by the action of
8056:
A maximal compact connected abelian Lie subgroup, or maximal torus
3821:
2135:{\displaystyle \mathrm {Ad} :G\to \mathrm {Aut} ({\mathfrak {g}})}
6823:. Therefore, the adjoint representation of a connected Lie group
5766:
by linear substitution on the space of binary (i.e., 2 variable)
489:
8019:{\displaystyle {\begin{bmatrix}a&b\\c&d\\\end{bmatrix}}}
7005:
whose Lie algebra is the image of the adjoint representation of
4722:
In a more module-theoretic language, the construction says that
5743:
2731:{\displaystyle =\lim _{t\to 0}{1 \over t}(d\varphi _{-t}(Y)-Y)}
3580:{\displaystyle \operatorname {Ad} _{e^{tX}}(Y)=e^{tX}Ye^{-tX}}
1594:
with small operator norms. We will compute the derivative of
6839:
is not connected, then the kernel of the adjoint map is the
3371:
859:
Lie group § The Lie algebra associated with a Lie group
2011:
is a matrix Lie group), then this formula is valid for all
41:
7872:
acts trivially on the diagonal part of the Lie algebra of
5822:{\displaystyle \Psi \colon G\to \operatorname {Aut} (G)\,}
3834:
1517:(called immersely linear Lie group), then the Lie algebra
4675:
is finite-dimensional and a basis for it is chosen, then
2070:
One may always pass from a representation of a Lie group
3704:. Then the derivative of Ad at the identity element for
2000:{\displaystyle G\subset \mathrm {GL} _{n}(\mathbb {C} )}
1958:
where on the right we have the products of matrices. If
5077:{\displaystyle {\mathfrak {g}}=\operatorname {Lie} (G)}
2184:{\displaystyle {\mathfrak {g}}=\operatorname {Lie} (G)}
9008:
8972:
8936:
8900:
8808:
8747:
8661:
8600:
8564:
8506:
8405:
8363:
8318:
8189:
8128:
8075:
7985:
7511:
7330:
6075:{\displaystyle \Psi _{g}(ab)=\Psi _{g}(a)\Psi _{g}(b)}
2601:
as the Lie algebra of left-invariant vector fields on
2573:, where the right hand side is given (induced) by the
644:
is a way of representing the elements of the group as
9257:
9123:
9058:
8894:
8500:
8312:
8266:
8069:
8060:, is given by the subset of all matrices of the form
7979:
7324:
7204:
7187:{\displaystyle \operatorname {Int} ({\mathfrak {g}})}
7164:
7136:
7109:
7035:
7011:
6998:{\displaystyle \operatorname {Int} ({\mathfrak {g}})}
6975:
6947:
6931:{\displaystyle \mathrm {Ad} (G)\cong G/Z_{G}(G_{0}).}
6870:
6683:
6654:
6577:
6555:
6502:
6449:
6355:
6326:
6252:
6195:
6142:
6093:
6008:
5936:
5882:
5836:
5790:
5682:
5632:
5492:
5388:
5170:
5135:
5109:
5048:
5021:
4991:
4967:
4851:
4811:
4787:
4759:
4728:
4681:
4657:
4630:
4595:
4473:
4357:
4331:
4272:
4239:
4126:
4088:
4061:
4029:
3928:
3901:
3873:
3845:
3782:
3739:
3681:
3626:
3597:
3509:
3470:
3409:
3344:
3226:
3034:
2964:
2938:
2911:
2855:
2794:
2747:
2646:
2611:
2583:
2543:
2480:
2453:
2408:
2333:
2204:
2155:
2090:
2029:
1964:
1751:
1724:
1683:
1659:
1627:
1600:
1551:
1523:
1480:
1371:
1335:
1302:
1274:
1233:
1177:
1082:
975:
880:
778:
749:
743:
of the vector space of all linear transformations of
725:
666:
9229:
Pages displaying wikidata descriptions as a fallback
4114:.) Since a bracket is bilinear, this determines the
9166:The adjoint representation can also be defined for
7893:on the various off-diagonal entries. The roots of
7288:). We can take the group of diagonal matrices diag(
3863:be a Lie algebra over some field. Given an element
3457:{\displaystyle \operatorname {Ad} _{g}(Y)=gYg^{-1}}
9434:
9207:), the irreducible representations of a Lie group
9191:of any vector in a co-adjoint representation is a
9141:
9109:
9041:
8874:
8476:
8295:
8249:
8018:
7857:
7255:
7244:
7186:
7146:
7119:
7091:
7021:
6997:
6957:
6930:
6799:under the adjoint representation is denoted by Ad(
6776:
6667:
6634:
6561:
6535:
6487:
6430:
6339:
6306:
6237:
6175:
6127:
6074:
5988:
5921:
5862:
5821:
5714:{\displaystyle {\mathfrak {gl}}_{n}(\mathbb {C} )}
5713:
5660:
5567:
5468:
5355:
5153:
5121:
5076:
5031:
5007:
4977:
4932:
4830:
4797:
4769:
4738:
4707:
4667:
4640:
4605:
4566:
4453:
4337:
4314:
4255:
4210:
4106:
4074:
4039:
4008:
3911:
3883:
3855:
3792:
3749:
3692:
3663:
3609:
3579:
3492:
3456:
3362:
3323:
3202:
3013:
2950:
2924:
2897:
2841:
2772:
2730:
2621:
2593:
2565:
2526:
2463:
2435:
2394:
2316:
2183:
2134:
2039:
1999:
1947:
1730:
1710:
1669:
1633:
1613:
1582:
1533:
1509:
1440:
1354:
1321:
1284:
1246:
1203:
1156:
1025:
911:{\displaystyle \Psi :G\to \operatorname {Aut} (G)}
910:
806:
764:
731:
692:
5578:Thus, for example, the adjoint representation of
5261:
5248:
4708:{\displaystyle {\mathfrak {gl}}({\mathfrak {g}})}
9610:
3246:
2898:{\displaystyle \varphi _{t}=R_{\varphi _{t}(e)}}
2842:{\displaystyle \varphi _{t}(g)=g\varphi _{t}(e)}
2666:
1355:{\displaystyle g\mapsto \operatorname {Ad} _{g}}
837:. The adjoint representation can be defined for
460:Representation theory of semisimple Lie algebras
9568:
9462:
9450:
8491:) by an element of the maximal torus we obtain
5989:{\displaystyle (\Psi _{g})^{-1}=\Psi _{g^{-1}}}
5721:). In this case, the adjoint map is given by Ad
4831:{\displaystyle \delta =\operatorname {ad} _{z}}
3014:{\displaystyle \Psi _{g}=R_{g^{-1}}\circ L_{g}}
2436:{\displaystyle \mathrm {Aut} ({\mathfrak {g}})}
1510:{\displaystyle \mathrm {GL} _{n}(\mathbb {C} )}
9569:Kobayashi, Shoshichi; Nomizu, Katsumi (1996).
7194:is the image of the adjoint representation of
5568:{\displaystyle {\left_{k}}^{j}={c^{ij}}_{k}~.}
5099:There is the following formula similar to the
3664:{\displaystyle \operatorname {ad} _{X}Y=XY-YX}
3372:§ Adjoint representation of a Lie algebra
2629:is given as: for left-invariant vector fields
5922:{\displaystyle \Psi _{gh}=\Psi _{g}\Psi _{h}}
5661:{\displaystyle \mathrm {GL} (n,\mathbb {C} )}
5375:of the algebra. That is, let {e} be a set of
3715:coincide; hence, without loss of generality,
1583:{\displaystyle \operatorname {exp} (X)=e^{X}}
606:
9572:Foundations of Differential Geometry, Vol. 1
9514:
7154:is the Lie algebra of a connected Lie group
6941:Given a finite-dimensional real Lie algebra
5469:{\displaystyle =\sum _{k}{c^{ij}}_{k}e^{k}.}
2050:Succinctly, an adjoint representation is an
1362:too is a group homomorphism. Hence, the map
821:is obtained by linearizing (i.e. taking the
4201:
4197:
2078:by taking the derivative at the identity.
613:
599:
498:Particle physics and representation theory
40:
9161:
6777:{\displaystyle \operatorname {ad} _{x}=+}
5859:
5818:
5704:
5668:), then its Lie algebra is an algebra of
5651:
3374:below. Ad and ad are related through the
2523:
2262:
2222:
2081:Taking the derivative of the adjoint map
1990:
1500:
1416:
1223:being the identity element of the group
752:
683:
9110:{\displaystyle 1,1,t_{1}^{2},t_{1}^{-2}}
6431:{\displaystyle \operatorname {Ad} _{g}=}
5863:{\displaystyle \Psi _{g}\colon G\to G\,}
2054:associated to the conjugation action of
6668:{\displaystyle \operatorname {ad} _{x}}
6635:{\displaystyle \operatorname {ad} _{}=}
6340:{\displaystyle \operatorname {Ad} _{g}}
4075:{\displaystyle \operatorname {ad} _{x}}
3835:Adjoint representation of a Lie algebra
3370:coincides with the same one defined in
2527:{\displaystyle \mathrm {ad} _{x}(y)=\,}
1026:{\displaystyle \Psi _{g}(h)=ghg^{-1}~.}
465:Representations of classical Lie groups
9611:
5366:
4107:{\displaystyle \operatorname {ad} (x)}
2566:{\displaystyle x,y\in {\mathfrak {g}}}
1204:{\displaystyle {\mathfrak {g}}=T_{e}G}
9524:Representation theory. A first course
7272:of the adjoint representation form a
5089:
9589:
9575:(New ed.). Wiley-Interscience.
9498:
9486:
9474:
8487:If we conjugate an element of SL(2,
7944:) as the set of vectors of the form
3891:, one defines the adjoint action of
2932:denotes the right multiplication by
318:Lie group–Lie algebra correspondence
9619:Representation theory of Lie groups
7961:
7216:
7176:
7139:
7112:
7081:
7056:
7014:
6987:
6950:
6562:{\displaystyle \operatorname {ad} }
6528:
6518:
6477:
6458:
6168:
6158:
6117:
5758:consists of real 2×2 matrices with
5689:
5686:
5051:
5024:
4997:
4970:
4790:
4762:
4731:
4697:
4687:
4684:
4660:
4633:
4598:
4245:
4183:
4158:
4148:
4145:
4135:
4032:
3954:
3944:
3904:
3876:
3848:
3785:
3742:
2773:{\displaystyle \varphi _{t}:G\to G}
2614:
2586:
2558:
2456:
2425:
2381:
2350:
2249:
2225:
2158:
2124:
2065:
2032:
1662:
1526:
1405:
1277:
1180:
13:
9384:
9355:
9326:
9313:
9281:
9195:. According to the philosophy in
6875:
6872:
6835:is centerless. More generally, if
6054:
6035:
6010:
5967:
5941:
5910:
5900:
5884:
5838:
5791:
5637:
5634:
5582:is the defining representation of
5252:
5084:is the Lie algebra of a Lie group
5015:, the space of all derivations of
4315:{\displaystyle =T\circ S-S\circ T}
3350:
3347:
3335:which is what was needed to show.
2966:
2486:
2483:
2416:
2413:
2410:
2341:
2338:
2335:
2240:
2237:
2234:
2213:
2210:
2145:at the identity element gives the
2115:
2112:
2109:
2095:
2092:
1976:
1973:
1819:
1784:
1602:
1486:
1483:
1428:
1425:
1396:
1393:
1390:
1376:
1373:
1322:{\displaystyle g\mapsto \Psi _{g}}
1310:
1235:
1103:
977:
881:
693:{\displaystyle GL(n,\mathbb {R} )}
14:
9635:
6969:, there is a connected Lie group
5008:{\displaystyle ({\mathfrak {g}})}
4256:{\displaystyle ({\mathfrak {g}})}
3829:derivative of the exponential map
3591:Taking the derivative of this at
3363:{\displaystyle \mathrm {ad} _{x}}
2443:which may be identified with the
2076:representation of its Lie algebra
807:{\displaystyle x\mapsto gxg^{-1}}
9183:of the adjoint representation.
7311:. Conjugation by an element of
5607:, the adjoint representation of
5479:Then the matrix elements for ad
817:For any Lie group, this natural
765:{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}
7256:Roots of a semisimple Lie group
7147:{\displaystyle {\mathfrak {g}}}
7120:{\displaystyle {\mathfrak {g}}}
7022:{\displaystyle {\mathfrak {g}}}
6958:{\displaystyle {\mathfrak {g}}}
5032:{\displaystyle {\mathfrak {g}}}
4985:under ad is a subalgebra of Der
4978:{\displaystyle {\mathfrak {g}}}
4798:{\displaystyle {\mathfrak {g}}}
4770:{\displaystyle {\mathfrak {g}}}
4739:{\displaystyle {\mathfrak {g}}}
4668:{\displaystyle {\mathfrak {g}}}
4641:{\displaystyle {\mathfrak {g}}}
4618:representation of a Lie algebra
4606:{\displaystyle {\mathfrak {g}}}
4040:{\displaystyle {\mathfrak {g}}}
3965:
3959:
3912:{\displaystyle {\mathfrak {g}}}
3884:{\displaystyle {\mathfrak {g}}}
3856:{\displaystyle {\mathfrak {g}}}
3816:of vector fields on the group
3793:{\displaystyle {\mathfrak {g}}}
3750:{\displaystyle {\mathfrak {g}}}
2622:{\displaystyle {\mathfrak {g}}}
2594:{\displaystyle {\mathfrak {g}}}
2577:. Indeed, recall that, viewing
2464:{\displaystyle {\mathfrak {g}}}
2058:around the identity element of
2040:{\displaystyle {\mathfrak {g}}}
2007:is a closed subgroup (that is,
1670:{\displaystyle {\mathfrak {g}}}
1534:{\displaystyle {\mathfrak {g}}}
1285:{\displaystyle {\mathfrak {g}}}
1254:is a Lie group automorphism, Ad
9492:
9480:
9468:
9456:
9444:
9394:
9380:
9365:
9351:
9336:
9309:
9294:
9277:
9241:
8468:
8442:
8236:
8227:
8204:
8198:
7503:
7239:
7233:
7221:
7211:
7181:
7171:
7086:
7076:
7064:
7061:
7051:
7042:
6992:
6982:
6922:
6909:
6885:
6879:
6771:
6746:
6740:
6715:
6709:
6697:
6629:
6603:
6595:
6583:
6523:
6482:
6472:
6463:
6425:
6387:
6381:
6369:
6163:
6122:
6112:
6103:
6069:
6063:
6050:
6044:
6028:
6019:
5951:
5937:
5853:
5815:
5809:
5800:
5708:
5700:
5655:
5641:
5415:
5389:
5327:
5307:
5292:
5272:
5218:
5206:
5197:
5171:
5122:{\displaystyle \alpha ,\beta }
5071:
5065:
5002:
4992:
4927:
4924:
4918:
4906:
4900:
4891:
4885:
4879:
4873:
4870:
4858:
4855:
4702:
4692:
4561:
4555:
4546:
4534:
4519:
4513:
4505:
4479:
4442:
4439:
4427:
4418:
4412:
4409:
4397:
4388:
4382:
4379:
4367:
4358:
4285:
4273:
4250:
4240:
4205:
4202:
4194:
4188:
4178:
4169:
4163:
4153:
4140:
4101:
4095:
4003:
3991:
3985:
3979:
3949:
3768:. Similarly, the adjoint map
3539:
3533:
3429:
3423:
3318:
3309:
3303:
3295:
3289:
3271:
3253:
3239:
3227:
3197:
3191:
3162:
3159:
3153:
3137:
3108:
3102:
3099:
3063:
3054:
3048:
2890:
2884:
2836:
2830:
2811:
2805:
2764:
2725:
2716:
2710:
2691:
2673:
2659:
2647:
2520:
2508:
2502:
2496:
2430:
2420:
2389:
2386:
2376:
2367:
2355:
2345:
2307:
2301:
2292:
2285:
2266:
2254:
2244:
2230:
2178:
2172:
2129:
2119:
2105:
1994:
1986:
1920:
1914:
1907:
1890:
1881:
1869:
1863:
1857:
1850:
1846:
1837:
1815:
1809:
1803:
1794:
1777:
1771:
1765:
1705:
1696:
1687:
1564:
1558:
1504:
1496:
1420:
1410:
1400:
1386:
1339:
1306:
1138:
1113:
1096:
992:
986:
905:
899:
890:
782:
687:
673:
513:Galilean group representations
508:Poincaré group representations
1:
9528:Graduate Texts in Mathematics
9508:
9181:contragredient representation
9117:. The function Λ which gives
5774:
1711:{\displaystyle t\to \exp(tX)}
1541:consists of matrices and the
1292:to itself that preserves the
848:
503:Lorentz group representations
470:Theorem of the highest weight
8296:{\displaystyle t_{1}t_{2}=1}
5615:-dimensional representation.
5090:ad is the differential of Ad
2575:Lie bracket of vector fields
1474:of the general linear group
7:
9463:Kobayashi & Nomizu 1996
9451:Kobayashi & Nomizu 1996
9218:
5626:(i.e. a closed subgroup of
5589:
5092:at the identity element of
4933:{\displaystyle \delta ()=+}
2958:. On the other hand, since
10:
9640:
9205:Kirillov character formula
6547:Lie algebra homomorphism:
6318:Lie algebra automorphism:
4589:are arbitrary elements of
3217:is left-invariant. Hence,
1545:is the matrix exponential
852:
455:Lie algebra representation
18:
9536:10.1007/978-1-4612-0979-9
9176:co-adjoint representation
9142:{\displaystyle t_{1}^{2}}
6859:first isomorphism theorem
5129:and Lie algebra elements
4746:is a module over itself.
4082:is also often denoted as
1614:{\displaystyle \Psi _{g}}
1329:is a group homomorphism,
1247:{\displaystyle \Psi _{g}}
9234:
6646:Lie algebra derivation:
6187:Lie group homomorphism:
6000:Lie group automorphism:
5874:Lie group homomorphism:
5750:(real 2×2 matrices with
4749:The kernel of ad is the
3493:{\displaystyle g=e^{tX}}
1262:Lie algebra automorphism
1171:is the differential and
700:, the Lie group of real
450:Lie group representation
9590:Hall, Brian C. (2015),
5754:1), the Lie algebra of
5379:for the algebra, with
4454:{\displaystyle ]+]+]=0}
2052:isotropy representation
839:linear algebraic groups
475:Borel–Weil–Bott theorem
9436:
9162:Variants and analogues
9143:
9111:
9043:
8876:
8478:
8297:
8251:
8020:
7876:and with eigenvectors
7859:
7246:
7188:
7148:
7121:
7093:
7023:
6999:
6959:
6932:
6778:
6669:
6636:
6563:
6537:
6489:
6432:
6341:
6308:
6239:
6177:
6129:
6076:
5990:
5923:
5864:
5823:
5715:
5662:
5569:
5470:
5357:
5244:
5155:
5123:
5078:
5033:
5009:
4979:
4934:
4832:
4799:
4771:
4740:
4709:
4669:
4642:
4622:adjoint representation
4607:
4568:
4455:
4339:
4338:{\displaystyle \circ }
4316:
4257:
4212:
4108:
4076:
4041:
4010:
3913:
3885:
3857:
3800:is homomorphic to the
3794:
3751:
3694:
3665:
3611:
3581:
3494:
3458:
3364:
3325:
3204:
3015:
2952:
2951:{\displaystyle h\in G}
2926:
2899:
2843:
2774:
2732:
2623:
2595:
2567:
2528:
2465:
2437:
2402:is the Lie algebra of
2396:
2318:
2185:
2147:adjoint representation
2136:
2041:
2001:
1949:
1732:
1712:
1671:
1635:
1615:
1584:
1535:
1511:
1457:adjoint representation
1442:
1356:
1323:
1286:
1264:; i.e., an invertible
1248:
1205:
1158:
1038:Lie group homomorphism
1027:
912:
808:
766:
733:
694:
646:linear transformations
631:adjoint representation
373:Semisimple Lie algebra
328:Adjoint representation
9437:
9197:representation theory
9144:
9112:
9044:
8877:
8479:
8298:
8252:
8021:
7897:are the weights diag(
7860:
7247:
7189:
7149:
7122:
7094:
7024:
7000:
6960:
6933:
6779:
6670:
6637:
6564:
6538:
6490:
6433:
6342:
6309:
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6178:
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2788:. As it turns out,
2149:of the Lie algebra
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