32:
2668:
Note that a "complex Lie group" is defined as a complex analytic manifold that is also a group whose multiplication and inversion are each given by a holomorphic map. The dimensions in the table below are dimensions over
1228:
3623:
The Lie algebra of affine transformations of dimension two, in fact, exist for any field. An instance has already been listed in the first table for real Lie algebras.
3499:
2740:
2712:
891:
863:
782:
731:
3632:
2201:
674:
449:
1133:
497:
502:
492:
487:
307:
571:
454:
3680:
602:
3725:
2673:. Note that every complex Lie group/algebra can also be viewed as a real Lie group/algebra of twice the dimension.
464:
3652:
3664:
459:
439:
404:
312:
3656:
3639:
3310:. Note that every complex Lie algebra can also be viewed as a real Lie algebra of twice the dimension.
444:
666:
3160:
1939:
1684:
678:
595:
79:
2334:
quaternions with zero real part, with Lie bracket the commutator; isomorphic to real 3-vectors,
2218:
670:
399:
362:
330:
317:
3484:
2718:
2690:
1569:
869:
841:
760:
709:
3720:
3596:
3522:
2501:
2436:
2141:
1816:
1311:
1084:
995:
431:
99:
174:
164:
154:
144:
3690:
2916:
2859:
2844:
1493:
1358:
1343:
659:
59:
49:
8:
3715:
3301:
735:
588:
417:
1118:
348:
338:
1852:
and not connected; Spin(2) is isomorphic to the circle group and not simply connected
3694:
3676:
3428:
3253:
3098:
2848:
2663:
2407:
1998:
1889:
1622:
1347:
786:
643:
412:
375:
527:
265:
3668:
3249:
3094:
2002:
1885:
1618:
798:
655:
647:
547:
227:
219:
211:
203:
195:
128:
109:
69:
3686:
2034:
1764:
1593:
917:
816:
747:
743:
635:
532:
285:
270:
41:
3053:
1148:
3345:
2801:
2155:
2145:
2083:
2073:
1950:
1282:
1114:
1036:
552:
370:
275:
3672:
537:
3709:
3698:
3057:
2337:
2285:
2069:
802:
751:
700:
651:
639:
260:
89:
1223:{\displaystyle \left\{\left:a\in \mathbb {R} ^{*},b\in \mathbb {R} \right\}}
1731:
1078:
1032:
557:
542:
343:
325:
255:
2920:
2310:
2241:
1652:
1497:
1418:
1278:
1243:
955:
620:
383:
299:
23:
1812:
522:
388:
280:
3667:, Readings in Mathematics. Vol. 129. New York: Springer-Verlag.
631:
616:
19:
1286:
627:
1307:
665:
For more examples of Lie groups and other related topics see the
479:
1644:
1559:
1537:) is a single point and therefore compact and simply connected
1315:
1303:
31:
3212:) is a single point and thus compact and simply connected
2657:
2439:
square real matrices, with Lie bracket the commutator.
1730:
SO(1) is a single point and SO(2) is isomorphic to the
742:. The order of the component group gives the number of
1767:: group of rigid body motions in n-dimensional space.
3487:
2721:
2693:
1136:
872:
844:
763:
712:
684:
1596:
has no finite-dimensional faithful representations.
3633:
Classification of low-dimensional real Lie algebras
2202:
Classification of low-dimensional real Lie algebras
675:
classification of low-dimensional real Lie algebras
3493:
2734:
2706:
1222:
885:
857:
776:
725:
3163:: complex orthogonal matrices with determinant 1
3707:
450:Representation theory of semisimple Lie algebras
1687:: real orthogonal matrices with determinant 1
1734:, SO(3) is the rotation group of the sphere.
596:
3651:
2943:=1 this is a single point and thus compact.
1572:, isomorphic to SU(1,1), isomorphic to Sp(2,
1058:abelian, isomorphic to SO(2), Spin(2), and
650:) as well as on their algebraic properties (
2379:matrices, with Lie bracket the commutator
615:This article gives a table of some common
603:
589:
488:Particle physics and representation theory
30:
3525:square complex matrices with Lie bracket
3400:matrices with Lie bracket the commutator
3306:The dimensions given are dimensions over
1568:Orientation-preserving isometries of the
1211:
1191:
1039:of absolute value 1 with multiplication;
673:of groups of up to three dimensions; see
801:if and only if the fundamental group is
3295:
2340:; also isomorphic to su(2) and to so(3,
1285:1 with multiplication; topologically a
455:Representations of classical Lie groups
3708:
750:if and only if the component group is
3661:Representation theory. A first course
2658:Complex Lie groups and their algebras
3640:Simple Lie group#Full classification
2195:
308:Lie group–Lie algebra correspondence
2410:0, with Lie bracket the commutator
2113:=1: isomorphic to S. Note: this is
815:is not simply connected, gives the
677:for up to four dimensions; and the
13:
2632:, with Lie bracket the commutator
2587:, with Lie bracket the commutator
2545:, with Lie bracket the commutator
2313:, with Lie bracket the commutator
685:Real Lie groups and their algebras
14:
3737:
2452:Exception: so(4) is semi-simple,
1147:
3028:Projective special linear group
3200:) is abelian and isomorphic to
3056:, isomorphic to the restricted
3578:complex matrices that satisfy
646:; and whether or not they are
503:Galilean group representations
498:Poincaré group representations
1:
3665:Graduate Texts in Mathematics
3645:
2533:square quaternionic matrices
2033:) is a Lie group that is not
626:The following are noted: the
493:Lorentz group representations
460:Theorem of the highest weight
3609:
3566:
3554:
3510:
3505:
3452:
3444:
3415:
3408:
3381:
3374:
3360:
3355:
3338:
3281:
3270:
3237:
3225:
3214:
3148:
3136:
3125:
3082:
3077:
3070:
3020:
3015:
3008:
2964:
2956:
2945:
2904:
2897:
2886:
2832:
2827:
2822:
2794:
2787:
2782:
2766:group operation is addition
2760:
2647:
2607:
2600:
2567:
2555:
2525:
2513:
2473:
2461:
2428:
2420:
2394:
2387:
2360:
2355:
2326:
2321:
2304:
2297:
2278:
2271:
2257:
2252:
2234:
2185:
2178:
2176:a complex Lie group/algebra
2133:
2126:
2119:
2117:a complex Lie group/algebra
2061:
2049:
2038:
1986:
1974:
1967:
1931:
1919:
1908:
1873:
1861:
1854:
1804:
1788:
1781:
1755:
1743:
1736:
1676:
1664:
1657:
1610:
1605:
1598:
1558:
1550:
1539:
1481:
1474:
1463:
1417:real matrices with positive
1398:
1391:
1380:
1331:
1326:
1319:
1271:
1266:
1261:
1236:
1231:
1130:
1077:
1072:
1067:
1024:
1019:
1014:
989:
984:
979:
948:
941:
936:
911:
7:
3626:
2485:real matrices that satisfy
797:is connected. The group is
10:
3742:
3299:
2661:
2244:, the Lie bracket is zero
2199:
1643:The symmetry group of the
445:Lie algebra representation
3726:Mathematics-related lists
3673:10.1007/978-1-4612-0979-9
1845:Spin(1) is isomorphic to
667:list of simple Lie groups
630:properties of the group (
3494:{\displaystyle \otimes }
3366:the Lie bracket is zero
3161:special orthogonal group
2919:: complex matrices with
2735:{\displaystyle \pi _{1}}
2707:{\displaystyle \pi _{0}}
2624:with trace 0 satisfying
2620:square complex matrices
2575:square complex matrices
2263:the Lie bracket is zero
1940:compact symplectic group
1685:special orthogonal group
1461:and is simply connected
886:{\displaystyle \pi _{1}}
858:{\displaystyle \pi _{0}}
777:{\displaystyle \pi _{1}}
726:{\displaystyle \pi _{0}}
679:list of Lie group topics
440:Lie group representation
2284:the Lie bracket is the
465:Borel–Weil–Bott theorem
3495:
3064:), isomorphic to SO(3,
3002:), isomorphic to Sp(2,
2736:
2708:
2645:a complex Lie algebra
2598:a complex Lie algebra
1224:
1085:affine transformations
887:
859:
778:
727:
671:Bianchi classification
363:Semisimple Lie algebra
318:Adjoint representation
3597:skew-symmetric matrix
3496:
3427:square matrices with
2998:Isomorphic to Spin(3,
2737:
2709:
2502:skew-symmetric matrix
2406:square matrices with
2336:with Lie bracket the
2142:special unitary group
2003:real symplectic group
1496:: real matrices with
1225:
996:positive real numbers
888:
860:
779:
728:
619:and their associated
432:Representation theory
3485:
3481:isomorphic to su(2)
3296:Complex Lie algebras
2917:special linear group
2845:general linear group
2804:with multiplication
2719:
2691:
1494:special linear group
1344:general linear group
1246:with multiplication
1134:
998:with multiplication
958:with multiplication
870:
842:
761:
744:connected components
710:
642:; the nature of the
3460:Special case of sl(
3431:0 with Lie bracket
3302:Complex Lie algebra
3254:symplectic matrices
3099:orthogonal matrices
2972:Special case of SL(
2158:with determinant 1
1890:symplectic matrices
1623:orthogonal matrices
1570:Poincaré half-plane
1457:) is isomorphic to
1275: = Sp(1)
736:group of components
577:Table of Lie groups
418:Compact Lie algebra
3545:) is semi-simple,
3491:
3052:Isomorphic to the
2881:=1: isomorphic to
2732:
2704:
2001:: double cover of
1220:
1174:
1173:
1119:semidirect product
1028: = U(1)
883:
855:
774:
723:
349:Affine Lie algebra
339:Simple Lie algebra
80:Special orthogonal
3682:978-0-387-97495-8
3621:
3620:
3293:
3292:
3204:; nonabelian for
2664:Complex Lie group
2655:
2654:
2196:Real Lie algebras
2193:
2192:
1999:metaplectic group
787:fundamental group
644:fundamental group
613:
612:
413:Split Lie algebra
376:Cartan subalgebra
238:
237:
129:Simple Lie groups
3733:
3702:
3595:is the standard
3541:Exception: so(4,
3500:
3498:
3497:
3492:
3313:
3312:
3250:symplectic group
3095:orthogonal group
2741:
2739:
2738:
2733:
2731:
2730:
2713:
2711:
2710:
2705:
2703:
2702:
2676:
2675:
2500:is the standard
2206:
2205:
2156:unitary matrices
2084:unitary matrices
1951:unitary matrices
1886:symplectic group
1619:orthogonal group
1229:
1227:
1226:
1221:
1219:
1215:
1214:
1200:
1199:
1194:
1179:
1175:
892:
890:
889:
884:
882:
881:
864:
862:
861:
856:
854:
853:
827:
826:
799:simply connected
783:
781:
780:
775:
773:
772:
732:
730:
729:
724:
722:
721:
696:: Is this group
648:simply connected
605:
598:
591:
548:Claude Chevalley
405:Complexification
248:Other Lie groups
134:
133:
42:Classical groups
34:
16:
15:
3741:
3740:
3736:
3735:
3734:
3732:
3731:
3730:
3706:
3705:
3683:
3653:Fulton, William
3648:
3629:
3527:the commutator
3486:
3483:
3482:
3433:the commutator
3346:complex numbers
3304:
3298:
3186:
3180:
3111:
3042:
2802:complex numbers
2726:
2722:
2720:
2717:
2716:
2698:
2694:
2692:
2689:
2688:
2666:
2660:
2613:
2204:
2198:
1942:: quaternionic
1851:
1765:euclidean group
1723:
1710:
1704:
1635:
1594:universal cover
1523:
1517:
1443:
1437:
1371:
1210:
1195:
1190:
1189:
1172:
1171:
1166:
1160:
1159:
1154:
1146:
1142:
1141:
1137:
1135:
1132:
1131:
1106:
1037:complex numbers
969:
918:Euclidean space
877:
873:
871:
868:
867:
849:
845:
843:
840:
839:
817:universal cover
805:(denoted by 0).
768:
764:
762:
759:
758:
754:(denoted by 0).
746:. The group is
717:
713:
711:
708:
707:
687:
609:
564:
563:
562:
533:Wilhelm Killing
517:
509:
508:
507:
482:
471:
470:
469:
434:
424:
423:
422:
409:
393:
371:Dynkin diagrams
365:
355:
354:
353:
335:
313:Exponential map
302:
292:
291:
290:
271:Conformal group
250:
240:
239:
231:
223:
215:
207:
199:
180:
170:
160:
150:
131:
121:
120:
119:
100:Special unitary
44:
12:
11:
5:
3739:
3729:
3728:
3723:
3718:
3704:
3703:
3681:
3647:
3644:
3643:
3642:
3636:
3635:
3628:
3625:
3619:
3618:
3608:
3606:
3603:
3600:
3576:
3564:
3563:
3553:
3539:
3536:
3529:
3523:skew-symmetric
3520:
3508:
3507:
3504:
3490:
3479:
3476:
3473:
3458:
3450:
3449:
3443:
3441:
3438:
3435:
3425:
3413:
3412:
3407:
3405:
3403:
3401:
3391:
3379:
3378:
3373:
3371:
3369:
3367:
3364:
3358:
3357:
3354:
3352:
3350:
3348:
3342:
3336:
3335:
3329:
3326:
3323:
3320:
3317:
3300:Main article:
3297:
3294:
3291:
3290:
3280:
3269:
3267:
3265:
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