7596:
6869:
7591:{\displaystyle {\begin{aligned}\lambda _{1}={}&{\begin{pmatrix}0&1&0\\1&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}},&\lambda _{2}={}&{\begin{pmatrix}0&-i&0\\i&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}},&\lambda _{3}={}&{\begin{pmatrix}1&0&0\\0&-1&0\\0&0&0\end{pmatrix}},\\\lambda _{4}={}&{\begin{pmatrix}0&0&1\\0&0&0\\1&0&0\end{pmatrix}},&\lambda _{5}={}&{\begin{pmatrix}0&0&-i\\0&0&0\\i&0&0\end{pmatrix}},\\\lambda _{6}={}&{\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&1\\0&1&0\end{pmatrix}},&\lambda _{7}={}&{\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&-i\\0&i&0\end{pmatrix}},&\lambda _{8}={\frac {1}{\sqrt {3}}}&{\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&-2\end{pmatrix}}.\end{aligned}}}
9745:
8758:
9740:{\displaystyle {\begin{aligned}\exp(i\theta H)={}&\left{\frac {\exp \left({\frac {2}{\sqrt {3}}}~i\theta \sin(\varphi )\right)}{\cos \left(\varphi +{\frac {2\pi }{3}}\right)\cos \left(\varphi -{\frac {2\pi }{3}}\right)}}\\&{}+\left{\frac {\exp \left({\frac {2}{\sqrt {3}}}~i\theta \sin \left(\varphi +{\frac {2\pi }{3}}\right)\right)}{\cos(\varphi )\cos \left(\varphi -{\frac {2\pi }{3}}\right)}}\\&{}+\left{\frac {\exp \left({\frac {2}{\sqrt {3}}}~i\theta \sin \left(\varphi -{\frac {2\pi }{3}}\right)\right)}{\cos(\varphi )\cos \left(\varphi +{\frac {2\pi }{3}}\right)}}\end{aligned}}}
11923:
14176:
11655:
11918:{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {SO} (2n)&\supset \operatorname {SU} (n)\\\operatorname {Sp} (n)&\supset \operatorname {SU} (n)\\\operatorname {Spin} (4)&=\operatorname {SU} (2)\times \operatorname {SU} (2)\\\operatorname {E} _{6}&\supset \operatorname {SU} (6)\\\operatorname {E} _{7}&\supset \operatorname {SU} (8)\\\operatorname {G} _{2}&\supset \operatorname {SU} (3)\end{aligned}}}
48:
8716:
4299:
824:
10533:
3847:
8157:
5272:
12496:
8406:
4146:
7899:
8373:
11613:
10359:
5082:
4867:
Every versor is naturally associated to a spatial rotation in 3 dimensions, and the product of versors is associated to the composition of the associated rotations. Furthermore, every rotation arises from exactly two versors in this fashion. In short: there is a 2:1 surjective homomorphism from
2460:
3670:
12175:
10259:
11464:
7910:
13938:
2792:
8711:{\displaystyle {\begin{aligned}d_{118}=d_{228}=d_{338}=-d_{888}&={\frac {1}{\sqrt {3}}}\\d_{448}=d_{558}=d_{668}=d_{778}&=-{\frac {1}{2{\sqrt {3}}}}\\d_{344}=d_{355}=-d_{366}=-d_{377}=-d_{247}=d_{146}=d_{157}=d_{256}&={\frac {1}{2}}~.\end{aligned}}}
5093:
12328:
13697:
4294:{\displaystyle {\begin{aligned}\varphi \colon \mathbb {C} ^{2}\to {}&\operatorname {M} (2,\mathbb {C} )\\\varphi (\alpha ,\beta )={}&{\begin{pmatrix}\alpha &-{\overline {\beta }}\\\beta &{\overline {\alpha }}\end{pmatrix}},\end{aligned}}}
1619:
5378:
7656:
8176:
4728:
14162:
11079:
2947:
14048:
3297:
11506:
6544:
13544:
10528:{\displaystyle {\begin{pmatrix}2&-1&0&\dots &0\\-1&2&-1&\dots &0\\0&-1&2&\dots &0\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&0&\dots &2\end{pmatrix}}.}
13788:
12681:
4940:
12590:
10896:
5843:
3842:{\displaystyle \operatorname {SU} (2)=\left\{{\begin{pmatrix}\alpha &-{\overline {\beta }}\\\beta &{\overline {\alpha }}\end{pmatrix}}:\ \ \alpha ,\beta \in \mathbb {C} ,|\alpha |^{2}+|\beta |^{2}=1\right\}~,}
6272:
2271:
4824:
12013:
10080:
2617:
8763:
6874:
6394:
5935:
13201:
4151:
10819:
8152:{\displaystyle {\begin{aligned}\left&=2i\sum _{c=1}^{8}f_{abc}\lambda _{c},\\\{\lambda _{a},\lambda _{b}\}&={\frac {4}{3}}\delta _{ab}I_{3}+2\sum _{c=1}^{8}{d_{abc}\lambda _{c}}.\end{aligned}}}
3521:
11374:
6159:
11283:
11222:
11176:
14392:
11660:
11511:
11323:
10835:
10764:
10085:
9851:
8411:
8181:
7915:
7661:
13796:
13100:
5564:
5477:
4532:
4443:
4342:
3628:
2628:
6833:
6322:
10003:
6714:
6609:
5649:
3410:
10971:
5267:{\displaystyle u_{1}={\begin{pmatrix}0&i\\i&0\end{pmatrix}},\quad u_{2}={\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}},\quad u_{3}={\begin{pmatrix}i&0\\0&-i\end{pmatrix}}~,}
12491:{\displaystyle j={\begin{bmatrix}0&1\\1&0\end{bmatrix}}\,,\quad k={\begin{bmatrix}1&\;~0\\0&-1\end{bmatrix}}\,,\quad i={\begin{bmatrix}\;~0&1\\-1&0\end{bmatrix}}~.}
4056:
1939:
1850:
13555:
4131:
5990:
2177:
1545:
7894:{\displaystyle {\begin{aligned}\left&=i\sum _{c=1}^{8}f_{abc}T_{c},\\\left\{T_{a},T_{b}\right\}&={\frac {1}{3}}\delta _{ab}I_{3}+\sum _{c=1}^{8}d_{abc}T_{c},\end{aligned}}}
5283:
13011:
12945:
12863:
8368:{\displaystyle {\begin{aligned}f_{123}&=1,\\f_{147}=-f_{156}=f_{246}=f_{257}=f_{345}=-f_{367}&={\frac {1}{2}},\\f_{458}=f_{678}&={\frac {\sqrt {3}}{2}},\end{aligned}}}
9959:
9895:
6773:
2145:
2051:
4605:
14278:
10046:
4472:
4403:
4371:
3920:
1536:
12287:
6639:
3891:
13273:
11110:
10933:
3955:
3437:
493:
468:
431:
14053:
12755:
3990:
3324:
10979:
12720:
10345:
10327:
10317:
10307:
6721:
3125:
12208:
6717:
2812:
11608:{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {SU} (n)&\supset \operatorname {SO} (n),\\\operatorname {SU} (2n)&\supset \operatorname {Sp} (n).\end{aligned}}}
10340:
10332:
10322:
10312:
13946:
6115:
3360:
3214:
3154:
3219:
6405:
3182:
13330:
12791:
2235:
5077:{\displaystyle {\mathfrak {su}}(2)=\left\{{\begin{pmatrix}i\ a&-{\overline {z}}\\z&-i\ a\end{pmatrix}}:\ a\in \mathbb {R} ,z\in \mathbb {C} \right\}~.}
13704:
12594:
14853:
Mota, R.D.; Ojeda-Guillén, D.; Salazar-Ramírez, M.; Granados, V.D. (2016). "SU(1,1) approach to Stokes parameters and the theory of light polarization".
12504:
6660:, and therefore must be the unique nontrivial (twisted) bundle. This can be shown by looking at the induced long exact sequence on homotopy groups.
1241:
10830:
2455:{\displaystyle T_{a}\,T_{b}={\tfrac {1}{\,2n\,}}\,\delta _{ab}\,I_{n}+{\tfrac {1}{2}}\,\sum _{c=1}^{n^{2}-1}\left(if_{abc}+d_{abc}\right)\,T_{c}}
5661:
795:
12170:{\displaystyle \mathrm {SU} (1,1)=\left\{{\begin{pmatrix}u&v\\v^{*}&u^{*}\end{pmatrix}}\in M(2,\mathbb {C} ):uu^{*}-vv^{*}=1\right\},}
6213:
1289:
6162:
4739:
14805:
Francsics, Gabor; Lax, Peter D. (September 2005). "An explicit fundamental domain for the Picard modular group in two complex dimensions".
10254:{\displaystyle {\begin{aligned}(&1,-1,0,\dots ,0,0),\\(&0,1,-1,\dots ,0,0),\\&\vdots \\(&0,0,0,\dots ,1,-1).\end{aligned}}}
1294:
2490:
1995:
6336:
1284:
1279:
6043:
5855:
1099:
13110:
1363:
1246:
11459:{\displaystyle \operatorname {SU} (n)\supset \operatorname {SU} (p)\times \operatorname {SU} (n-p)\times \operatorname {U} (1),}
10772:
8387:
not related to these by permutation are zero. In general, they vanish unless they contain an odd number of indices from the set
3448:
353:
14300:
14582:
14547:
3539:
2803:
in the commutation relation arises from the physics convention and is not present when using the mathematicians' convention.
11641:
is 1, a useful check is that the sum of the ranks of the subgroups is less than or equal to the rank of the original group.
6120:
13933:{\displaystyle {\bigl |}u\,z+v^{*}{\bigr |}^{2}=S+z\,z^{*}\quad {\text{ and }}\quad {\bigl |}v\,z+u^{*}{\bigr |}^{2}=S+1~,}
11242:
11181:
11126:
2787:{\displaystyle \left\{T_{a},\,T_{b}\right\}~=~{\tfrac {1}{n}}\,\delta _{ab}\,I_{n}+\sum _{c=1}^{n^{2}-1}{d_{abc}\,T_{c}}~.}
1394:
303:
14354:
4592:
11288:
10729:
9756:
4833:. Additionally, the determinant of the matrix is the squared norm of the corresponding quaternion. Clearly any matrix in
13016:
5481:
5394:
4858:
4497:
4408:
4307:
3560:
14946:
6785:
6277:
2106:
1971:
788:
298:
9964:
6675:
6552:
5569:
3365:
14918:
14460:
14212:
10948:
14194:
4862:
13692:{\displaystyle (\;u\,z+v^{*},\;v\,z+u^{*}\;)\thicksim \left(\;{\frac {\,u\,z+v^{*}\,}{v\,z+u^{*}}},\;1\;\right)~.}
6672:
is well-understood. Descriptions of these representations, from the point of view of its complexified Lie algebra
6194:
3995:
1957:
1906:
1256:
6020:, which are standard generators for the single qubit gates, corresponding to 3d rotations about the axes of the
1820:
14964:
14500:
14217:
6028:
4064:
3651:
1614:{\displaystyle \operatorname {SU} (n)\subset \operatorname {U} (n)\subset \operatorname {GL} (n,\mathbb {C} ).}
714:
5373:{\displaystyle {\mathfrak {su}}(2)=\operatorname {span} \left\{i\sigma _{1},i\sigma _{2},i\sigma _{3}\right\}}
2217:(rather than the skew-Hermitian) matrices. That is to say, the physicists' Lie algebra differs by a factor of
14987:
10659:
5940:
1683:
1251:
1231:
781:
3647:
2150:
6017:
1196:
1104:
12954:
12888:
12806:
4723:{\displaystyle {\begin{pmatrix}a+bi&c+di\\-c+di&a-bi\end{pmatrix}}\quad (a,b,c,d\in \mathbb {R} )}
9928:
9864:
6742:
2114:
2020:
398:
212:
13278:
4904:
12230:
1506:
1236:
130:
14704:
Curtright, T L; Zachos, C K (2015). "Elementary results for the fundamental representation of SU(3)".
14254:
10022:
4448:
4379:
4347:
3896:
1512:
12240:
10071:
6082:
is a simply-connected, compact Lie group. Its topological structure can be understood by noting that
4475:
14611:
14157:{\displaystyle z\,z^{*}<1\implies {\bigl |}uz+v^{*}{\bigr |}<{\bigl |}\,v\,z+u^{*}\,{\bigr |}}
6614:
3870:
13243:
12766:
12298:
11497:
11470:
11350:
11074:{\displaystyle A={\begin{bmatrix}0&0&i\\0&I_{n-2}&0\\-i&0&0\end{bmatrix}}.}
1893:
1387:
871:
596:
330:
207:
95:
20:
13296:
11093:
10916:
3925:
3415:
476:
451:
414:
14444:
13317:
13235:
12725:
3960:
3302:
2213:
In the physics literature, it is common to identify the Lie algebra with the space of trace-zero
1646:
11965:
2942:{\displaystyle \sum _{c,e=1}^{n^{2}-1}d_{ace}\,d_{bce}={\frac {\,n^{2}-4\,}{n}}\,\delta _{ab}~.}
13550:
13282:
12686:
11486:
7611:
4563:
2249:
1656:
1191:
1154:
1122:
1109:
746:
536:
14043:{\displaystyle S=v\,v^{*}\left(z\,z^{*}+1\right)+2\,\Re {\mathord {\bigl (}}\,uvz\,{\bigr )}.}
13308:
6274:
since any such bundle can be constructed by looking at trivial bundles on the two hemispheres
2957:
14913:. Vol. 2. Translated by Shenitzer, A.; Tretkoff, M. Wiley-Interscience. pp. 13–15.
14488:
12180:
11988:
10619:
10273:
9915:
4931:
3657:
3292:{\displaystyle {\frac {1}{2}}\sigma _{1},{\frac {1}{2}}\sigma _{2},{\frac {1}{2}}\sigma _{3}}
2189:
1465:
1223:
13281:
model used since 1892 has been compared to a 2-sheet hyperboloid model, and the practice of
11341:
it is important to be able to find the subgroups of the special unitary group. Subgroups of
6539:{\displaystyle \left\cong \left=\pi _{4}{\mathord {\left(S^{3}\right)}}\cong \mathbb {Z} /2}
4344:
denotes the set of 2 by 2 complex matrices, is an injective real linear map (by considering
966:
956:
946:
936:
14872:
14839:
14831:
14723:
14685:
13539:{\displaystyle {\bigl }\,{\begin{pmatrix}u&v\\v^{*}&u^{*}\end{pmatrix}}=\,=\,\left}
13231:
11121:
10913:
without reference to a ring or field; in this case, the ring or field being referred to is
6093:
6063:
6013:
6001:
3333:
3187:
3132:
1710:
1539:
1450:
851:
841:
560:
548:
166:
100:
11178:
which acts (projectively) on complex hyperbolic space of degree two, in the same way that
10019:
then consists of the diagonal matrices with trace zero, which we identify with vectors in
8:
14982:
11619:
10615:
10583:
8167:
3159:
2472:
1732:. Since the quaternions can be identified as the even subalgebra of the Clifford Algebra
1380:
1368:
1209:
1039:
135:
30:
14876:
14727:
14689:
3443:. With these definitions, the generators satisfy the following normalization condition:
14888:
14862:
14806:
14739:
14713:
14449:
14181:
13216:
12776:
10651:
6848:
5652:
3440:
2220:
1140:
1130:
120:
92:
14735:
13783:{\displaystyle \;suv+{\overline {suv}}=2\,\Re {\mathord {\bigl (}}\,suv\,{\bigr )}\;,}
12676:{\displaystyle ~i\,j\,k=I_{2}\equiv {\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}}~,~}
14960:
14942:
14914:
14892:
14743:
14578:
14543:
14496:
14456:
14348:
14175:
13304:
12211:
12000:
11338:
11090:
for certain dimensions which exhibit more behaviour under restriction to subrings of
10016:
6087:
5993:
5381:
4873:
4830:
3853:
1803:
1769:
1204:
1167:
525:
368:
262:
14564:
14529:
1319:
1057:
691:
14880:
14731:
14693:
14570:
14535:
14207:
11936:
11493:
11225:
10709:
10698:
9922:
7614:
6053:
2252:
2074:
1792:
1788:
1717:
1698:
can be used to represent rotations in 3-dimensional space (up to sign), there is a
1636:
1339:
1019:
1011:
1003:
995:
987:
920:
901:
861:
676:
668:
660:
652:
644:
632:
572:
512:
502:
344:
286:
161:
6189:. Since the fibers and the base are simply connected, the simple connectedness of
14835:
14676:
Rosen, S P (1971). "Finite
Transformations in Various Representations of SU(3)".
14282:
10547:
6324:
and looking at the transition function on their intersection, which is a copy of
2199:. More information about the structure of this Lie algebra can be found below in
1983:
1695:
1494:
1469:
1324:
1077:
1062:
833:
760:
753:
739:
696:
584:
507:
337:
251:
191:
71:
14440:
13204:
12294:
12234:
11482:
10655:
10559:
10283:
6856:
6399:
Then, all such transition functions are classified by homotopy classes of maps
6060:
5997:
5849:
4883:
4373:
3643:
3327:
2237:
from the mathematicians'. With this convention, one can then choose generators
1632:
1458:
1439:
1344:
1162:
1067:
767:
703:
393:
373:
310:
275:
196:
186:
171:
156:
110:
87:
12585:{\displaystyle ~j\,k={\begin{bmatrix}0&-1\\1&\;~0\end{bmatrix}}=-i~,~}
1329:
14976:
14189:
10543:
10350:
2057:
1953:
1946:
1784:
1687:
1667:
1473:
1454:
1052:
881:
686:
608:
442:
315:
181:
14884:
10891:{\displaystyle {\begin{aligned}M^{*}AM&=A\\\det M&=1.\end{aligned}}}
3554:
matrices, whose elements are defined by the structure constants themselves:
1461:
determinants with absolute value 1, rather than real 1 in the special case.
14906:
12866:
12319:
12315:
11478:
10627:
6174:
6021:
1815:
1702:
1349:
1334:
1135:
1117:
1047:
541:
240:
229:
176:
151:
146:
105:
76:
39:
14574:
14539:
11995:, a relation that plays an important role in the theory of rotations of 2-
5838:{\displaystyle \left=2\ u_{2},\quad \left=2\ u_{3},\quad \left=2\ u_{1}~.}
14941:, Graduate Texts in Mathematics, vol. 222 (2nd ed.), Springer,
14939:
Lie Groups, Lie
Algebras, and Representations: An Elementary Introduction
13105:
10702:
10623:
10049:
7621:
6067:
6009:
4920:
2006:
1796:
1443:
1175:
1091:
815:
14852:
11232:
computed an explicit fundamental domain for the action of this group on
6267:{\displaystyle \pi _{4}{\mathord {\left(S^{3}\right)}}=\mathbb {Z} _{2}}
14451:
Quarks & Leptons: An
Introductory Course in Modern Particle Physics
12770:
11930:
10539:
5388:
4819:{\displaystyle a\,{\hat {1}}+b\,{\hat {i}}+c\,{\hat {j}}+d\,{\hat {k}}}
4584:
2077:
often use a different, equivalent representation: The set of traceless
2070:
1745:
1699:
1679:
1675:
1314:
1180:
1072:
708:
436:
19:"SU(5)" redirects here. For the specific grand unification theory, see
14697:
14811:
13300:
11334:
11229:
10936:
4573:
2078:
2054:
1765:
1426:
811:
529:
14867:
14718:
6005:
4485:
4137:
1773:
1691:
66:
14566:
Lie
Algebras in Particle Physics: From Isospin to Unified Theories
14531:
Lie
Algebras in Particle Physics: From Isospin to Unified Theories
6779:
in the defining (particle physics, Hermitian) representation, are
2612:{\displaystyle ~\left~=~i\sum _{c=1}^{n^{2}-1}\,f_{abc}\,T_{c}\;,}
10571:
6389:{\displaystyle S_{\text{N}}^{5}\cap S_{\text{S}}^{5}\simeq S^{4}}
1271:
408:
322:
13230:. The variability of the pole of a wave, as noted in studies of
4494:, is an embedding of the 3-sphere onto a compact submanifold of
2192:
matrices with trace zero. This (real) Lie algebra has dimension
11996:
4588:
3639:
3156:
are defined as the traceless
Hermitian complex matrices with a
1741:
47:
12314:
An early appearance of this group was as the "unit sphere" of
12869:, all scalar quantities are treated as implicit multiples of
5930:{\displaystyle u_{1}=i\ \sigma _{1}~,\,u_{2}=-i\ \sigma _{2}}
5087:
The Lie algebra is then generated by the following matrices,
1998:(the signs being necessary to ensure that the determinant is
8732:
group element generated by a traceless 3×3 Hermitian matrix
6193:
then follows by means of a standard topological result (the
5277:
which have the form of the general element specified above.
4893:
is obtained by identifying antipodal points of the 3-sphere
2107:
Classical group § U(p, q) and U(n) – the unitary groups
14439:
13196:{\displaystyle \left\{xi+yj+zk:x^{2}-y^{2}-z^{2}=1\right\}}
4859:
3D rotation group § Connection between SO(3) and SU(2)
823:
14251:
in terms of preservation of the standard inner product on
11333:
In physics the special unitary group is used to represent
10814:{\displaystyle M\in \operatorname {SU} (p,q,\mathbb {R} )}
6169:, which topologically is a 3-sphere. It then follows that
4572:
can be endowed with the structure of a compact, connected
3516:{\displaystyle Tr(T_{a}T_{b})={\frac {1}{2}}\delta _{ab}.}
1966:
is given by the set of diagonal matrices with determinant
14703:
13013:
similar to
Hamilton's quaternions. The quadratic form is
12865:
are not, unlike in quaternions. For both quaternions and
6012:
for the description of our 3 spatial dimensions in
3129:
By convention, in the physics literature the generators
14828:
Lie Groups, Lie
Algebras and some of their Applications
13366:
12633:
12526:
12444:
12390:
12343:
12053:
10994:
10368:
7520:
7422:
7337:
7247:
7162:
7072:
6984:
6899:
6154:{\displaystyle \mathbb {C} ^{3}\cong \mathbb {R} ^{6}}
5224:
5168:
5115:
4976:
4614:
4236:
3859:
3702:
2676:
2347:
2300:
1748:(3), that enables a spinor presentation of rotations.
1740:
is in fact identical to one of the symmetry groups of
14959:, Lecture Notes in Physics, vol. 708, Springer,
14357:
14257:
14056:
13949:
13799:
13707:
13558:
13333:
13246:
13238:
as an exhibit of the elliptical shape of a wave with
13113:
13019:
12957:
12891:
12809:
12779:
12728:
12689:
12597:
12507:
12331:
12243:
12183:
12016:
11658:
11509:
11377:
11291:
11278:{\displaystyle \operatorname {SU} (1,1;\mathbb {C} )}
11245:
11217:{\displaystyle \operatorname {SL} (2,9;\mathbb {Z} )}
11184:
11171:{\displaystyle \operatorname {SU} (2,1;\mathbb {Z} )}
11129:
11096:
10982:
10951:
10919:
10833:
10775:
10732:
10362:
10083:
10025:
9967:
9931:
9867:
9759:
8761:
8409:
8179:
7913:
7659:
6872:
6788:
6745:
6678:
6617:
6555:
6408:
6339:
6280:
6216:
6165:
of an arbitrary point in the sphere is isomorphic to
6123:
6096:
5943:
5858:
5664:
5572:
5484:
5397:
5286:
5096:
4943:
4742:
4608:
4500:
4451:
4411:
4382:
4350:
4310:
4149:
4067:
3998:
3963:
3928:
3899:
3873:
3673:
3563:
3451:
3418:
3368:
3336:
3305:
3222:
3190:
3162:
3135:
2960:
2815:
2631:
2493:
2274:
2223:
2153:
2117:
2023:
1909:
1823:
1548:
1515:
479:
454:
417:
14387:{\displaystyle \operatorname {Sp} (2n,\mathbb {C} )}
14171:
12229:
where the numbers separated by a comma refer to the
10577:
4579:
4140:. This can also be seen using an embedding: the map
11318:{\displaystyle \operatorname {SL} (2,\mathbb {R} )}
10759:{\displaystyle \operatorname {GL} (n,\mathbb {R} )}
9846:{\displaystyle \varphi \equiv {\frac {1}{3}}\left.}
4837:
is of this form and, since it has determinant
14448:
14386:
14272:
14156:
14042:
13932:
13782:
13691:
13538:
13311:of hyperbolic plane geometry. Indeed, for a point
13267:
13195:
13095:{\displaystyle ~q\,q^{*}=w^{2}+x^{2}-y^{2}-z^{2}.}
13094:
13005:
12939:
12857:
12785:
12749:
12714:
12675:
12584:
12490:
12281:
12202:
12169:
11917:
11607:
11458:
11317:
11277:
11216:
11170:
11120:An important example of this type of group is the
11104:
11073:
10965:
10927:
10890:
10813:
10758:
10701:, in which case the vector space is replaced by a
10527:
10253:
10040:
9997:
9953:
9889:
9845:
9739:
8721:They vanish if the number of indices from the set
8710:
8367:
8151:
7893:
7590:
6827:
6767:
6708:
6633:
6603:
6538:
6388:
6316:
6266:
6153:
6109:
5984:
5929:
5837:
5643:
5559:{\displaystyle u_{3}\ u_{1}=-u_{1}\ u_{3}=u_{2}~,}
5558:
5472:{\displaystyle u_{2}\ u_{3}=-u_{3}\ u_{2}=u_{1}~,}
5471:
5372:
5266:
5076:
4818:
4722:
4527:{\displaystyle \operatorname {M} (2,\mathbb {C} )}
4526:
4466:
4438:{\displaystyle \operatorname {M} (2,\mathbb {C} )}
4437:
4397:
4365:
4337:{\displaystyle \operatorname {M} (2,\mathbb {C} )}
4336:
4293:
4125:
4050:
3984:
3949:
3914:
3885:
3841:
3623:{\displaystyle \left(T_{a}\right)_{jk}=-if_{ajk}.}
3622:
3515:
3431:
3404:
3354:
3318:
3291:
3208:
3176:
3148:
3119:
2941:
2786:
2611:
2454:
2229:
2171:
2139:
2045:
1933:
1844:
1613:
1530:
487:
462:
425:
6828:{\displaystyle T_{a}={\frac {\lambda _{a}}{2}}~,}
6317:{\displaystyle S_{\text{N}}^{5},S_{\text{S}}^{5}}
4934:matrices with trace zero. Explicitly, this means
14974:
14295:For an explicit description of the homomorphism
10868:
9998:{\displaystyle {\mathfrak {sl}}(n;\mathbb {C} )}
9811:
6709:{\displaystyle {\mathfrak {sl}}(3;\mathbb {C} )}
6604:{\displaystyle \pi _{4}(\mathrm {SU} (3))=\{0\}}
5644:{\displaystyle u_{1}u_{2}=-u_{2}\ u_{1}=u_{3}~.}
4852:
3405:{\displaystyle T_{a}={\frac {1}{2}}\lambda _{a}}
2475:and are antisymmetric in all indices, while the
1242:Representation theory of semisimple Lie algebras
10966:{\displaystyle \operatorname {F} =\mathbb {C} }
3648:3D rotation group § A note on Lie algebras
16:Group of unitary matrices with determinant of 1
14487:
11228:of dimension two. In 2005 Gábor Francsics and
14149:
14120:
14110:
14084:
14032:
14013:
13901:
13873:
13830:
13802:
13771:
13752:
13355:
13336:
2208:
1388:
789:
14905:
14804:
14609:
8044:
8018:
6598:
6592:
4051:{\displaystyle |\alpha |^{2}+|\beta |^{2}=1}
2952:The generators satisfy the Jacobi identity:
2806:The conventional normalization condition is
2481:-coefficients are symmetric in all indices.
14855:Journal of the Optical Society of America B
14164:so that their ratio lies in the open disk.
12803:(negative of the identity matrix), whereas
11649:is a subgroup of various other Lie groups,
2090:complex matrices with Lie bracket given by
1934:{\displaystyle \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} ,}
1852:, and is composed of the diagonal matrices
14081:
14077:
13776:
13708:
13677:
13673:
13619:
13607:
13586:
13562:
13530:
13476:
13462:
13417:
13352:
13348:
13341:
12743:
12729:
12549:
12447:
12398:
2605:
2201:
1845:{\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} }
1670:, having only a single element. The group
1395:
1381:
1280:Particle physics and representation theory
822:
796:
782:
14866:
14810:
14717:
14377:
14260:
14146:
14129:
14125:
14060:
14029:
14019:
14006:
13978:
13959:
13881:
13853:
13810:
13768:
13758:
13745:
13650:
13644:
13627:
13623:
13590:
13566:
13526:
13470:
13466:
13445:
13441:
13421:
13360:
13026:
12996:
12986:
12976:
12930:
12920:
12910:
12733:
12696:
12608:
12604:
12514:
12428:
12374:
12311:are expanded with their real components.
12114:
11308:
11268:
11207:
11152:
11098:
11084:However, there may be better choices for
10959:
10921:
10804:
10749:
10673:. This group is often referred to as the
10028:
9988:
6699:
6619:
6524:
6254:
6141:
6126:
5992:This representation is routinely used in
5894:
5059:
5045:
4803:
4784:
4765:
4746:
4713:
4517:
4454:
4428:
4385:
4353:
4327:
4195:
4162:
4126:{\displaystyle a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}=1}
3902:
3772:
3525:
2919:
2912:
2895:
2872:
2766:
2701:
2687:
2650:
2622:and the corresponding anticommutator is:
2594:
2577:
2515:
2441:
2358:
2332:
2318:
2313:
2306:
2285:
1924:
1911:
1838:
1825:
1601:
1518:
481:
456:
419:
14954:
9856:
6663:
5848:The above generators are related to the
4841:, the corresponding quaternion has norm
14825:
12237:preserved by the group. The expression
10593:generalized special unitary group over
6027:The Lie algebra serves to work out the
5985:{\displaystyle u_{3}=+i\ \sigma _{3}~.}
4849:is isomorphic to the group of versors.
1247:Representations of classical Lie groups
14975:
14562:
14527:
11328:
6195:long exact sequence of homotopy groups
2172:{\displaystyle \operatorname {SU} (n)}
1941:while the outer automorphism group of
354:Classification of finite simple groups
14675:
14569:(1 ed.). Boca Raton: CRC Press.
14534:(1 ed.). Boca Raton: CRC Press.
13303:stable, so this group represents the
13211:on this hyperboloid can be used as a
11492:For completeness, there are also the
11481:, is the multiplicative group of all
6044:Clebsch–Gordan coefficients for SU(3)
2484:As a consequence, the commutator is:
14936:
14792:
14780:
14768:
14756:
14663:
14651:
14639:
14627:
14597:
14515:
14475:
13226:, illustrating the isomorphism with
13006:{\displaystyle ~q=w-x\,i-y\,j-z\,k~}
12940:{\displaystyle ~q=w+x\,i+y\,j+z\,k~}
12858:{\displaystyle ~j^{2}=k^{2}=+I_{2}~}
10935:and this gives one of the classical
10015:complex matrices with trace zero. A
6722:the Clebsch–Gordan coefficients for
3542:, the generators are represented by
3216:group, the generators are chosen as
2053:, can be identified with the set of
1641:
1631:groups find wide application in the
1100:Lie group–Lie algebra correspondence
10675:special unitary group of signature
9973:
9970:
9954:{\displaystyle {\mathfrak {su}}(n)}
9937:
9934:
9890:{\displaystyle {\mathfrak {su}}(n)}
9873:
9870:
6768:{\displaystyle {\mathfrak {su}}(3)}
6751:
6748:
6684:
6681:
5292:
5289:
4949:
4946:
2140:{\displaystyle {\mathfrak {su}}(n)}
2123:
2120:
2069:complex matrices, with the regular
2046:{\displaystyle {\mathfrak {su}}(n)}
2029:
2026:
13:
14301:Connection between SO(3) and SU(2)
14007:
13746:
13215:of a sinusoidal wave according to
12021:
12018:
11880:
11844:
11808:
11438:
10952:
6716:, may be found in the articles on
6573:
6570:
6431:
6428:
4501:
4412:
4311:
4179:
3633:
1567:
14:
14999:
14911:Topics in Complex Function Theory
14213:Generalizations of Pauli matrices
13611:
13207:in the algebra so that any point
10578:Generalized special unitary group
4580:Isomorphism with group of versors
3860:Diffeomorphism with the 3-sphere
1538:. It is itself a subgroup of the
1468:. The special unitary group is a
14273:{\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}
14195:Projective special unitary group
14174:
13790:complex number arithmetic shows
13222:The hyperboloid is stable under
10901:Often one will see the notation
10343:
10338:
10330:
10325:
10320:
10315:
10310:
10305:
10041:{\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}
9861:As noted above, the Lie algebra
6730:
4914:
4863:Quaternions and spatial rotation
4733:can be mapped to the quaternion
4467:{\displaystyle \mathbb {R} ^{8}}
4398:{\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}
4366:{\displaystyle \mathbb {C} ^{2}}
3915:{\displaystyle \mathbb {C} ^{2}}
1531:{\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}
1505:is the group that preserves the
46:
14899:
14846:
14819:
14798:
14786:
14774:
14762:
14750:
14706:Reports on Mathematical Physics
14678:Journal of Mathematical Physics
14669:
14657:
14645:
14633:
14621:
14603:
14493:Classical Groups for Physicists
14334:
14306:
13870:
13864:
12432:
12378:
12282:{\displaystyle ~uu^{*}-vv^{*}~}
10048:whose entries sum to zero. The
5776:
5720:
5205:
5149:
4684:
14591:
14556:
14521:
14509:
14481:
14469:
14433:
14381:
14364:
14289:
14229:
14218:Representation theory of SU(2)
14078:
13608:
13559:
13463:
13414:
12118:
12104:
12037:
12025:
11908:
11902:
11872:
11866:
11836:
11830:
11800:
11794:
11782:
11776:
11760:
11754:
11741:
11735:
11719:
11713:
11700:
11694:
11678:
11669:
11595:
11589:
11573:
11564:
11548:
11542:
11526:
11520:
11450:
11444:
11432:
11420:
11408:
11402:
11390:
11384:
11312:
11298:
11272:
11252:
11211:
11191:
11165:
11162:
11156:
11136:
10808:
10788:
10753:
10739:
10241:
10200:
10180:
10139:
10129:
10088:
9992:
9978:
9948:
9942:
9884:
9878:
9690:
9684:
9463:
9457:
9372:
9366:
9145:
9139:
9010:
9004:
8929:
8923:
8784:
8772:
6762:
6756:
6703:
6689:
6634:{\displaystyle \mathbb {Z} /2}
6586:
6583:
6577:
6566:
6441:
6435:
6016:. They also correspond to the
5303:
5297:
4960:
4954:
4810:
4791:
4772:
4753:
4717:
4685:
4521:
4507:
4488:(since modulus is 1), denoted
4432:
4418:
4331:
4317:
4221:
4209:
4199:
4185:
4172:
4032:
4023:
4009:
4000:
3886:{\displaystyle \alpha ,\beta }
3812:
3803:
3789:
3780:
3686:
3680:
3652:Representation theory of SU(2)
3481:
3458:
3349:
3343:
3203:
3197:
3108:
3105:
3079:
3063:
3057:
3054:
3028:
3012:
3006:
3003:
2977:
2961:
2166:
2160:
2134:
2128:
2100:
2040:
2034:
1605:
1591:
1579:
1573:
1561:
1555:
1295:Galilean group representations
1290:Poincaré group representations
715:Infinite dimensional Lie group
1:
14957:Lie Algebras and Applications
14930:
14736:10.1016/S0034-4877(15)30040-9
14563:Georgi, Howard (2018-05-04).
14528:Georgi, Howard (2018-05-04).
13268:{\displaystyle ~p\neq \pm i~}
11983:One may finally mention that
8170:of the Lie algebra, given by
6668:The representation theory of
6645:cannot be the trivial bundle
4853:Relation to spatial rotations
1751:
1285:Lorentz group representations
1252:Theorem of the highest weight
14955:Iachello, Francesco (2006),
14427:
14223:
13734:
12221:This group is isomorphic to
11224:acts (projectively) on real
11105:{\displaystyle \mathbb {C} }
10928:{\displaystyle \mathbb {C} }
5280:This can also be written as
4998:
4271:
4252:
4136:This is the equation of the
3950:{\displaystyle \alpha =a+bi}
3737:
3718:
3432:{\displaystyle \lambda _{a}}
2202:§ Lie algebra structure
488:{\displaystyle \mathbb {Z} }
463:{\displaystyle \mathbb {Z} }
426:{\displaystyle \mathbb {Z} }
7:
14167:
12750:{\displaystyle \;i\,j=k\;,}
12006:
11337:symmetries. In theories of
8394:The symmetric coefficients
6718:Lie algebra representations
6073:
3985:{\displaystyle \beta =c+di}
3852:where the overline denotes
3319:{\displaystyle \sigma _{a}}
1996:signed permutation matrices
213:List of group theory topics
10:
15004:
14394:. It is sometimes denoted
14235:For a characterization of
12793:is still a square root of
11115:
10939:. The standard choice for
9918:matrices with trace zero.
6041:
5655:is therefore specified by
4889:, the manifold underlying
4856:
4548:Therefore, as a manifold,
3660:for the binary operation,
3637:
2209:Fundamental representation
2104:
1994:, which is represented by
1756:The special unitary group
1651:
1237:Lie algebra representation
18:
14455:. John Wiley & Sons.
12715:{\displaystyle ~k\,i=j~,}
12683:the 2×2 identity matrix,
11285:, which is isomorphic to
7624:, as required. Note that
1791:. Algebraically, it is a
14834:. pp. 52, 201−205.
14826:Gilmore, Robert (1974).
12299:isotropic quadratic form
10650:which leave invariant a
10052:then consist of all the
8744:, can be expressed as a
7650:They obey the relations
6037:
4591:since they generate the
3330:, while for the case of
3120:{\displaystyle ]+]+]=0.}
1894:outer automorphism group
1232:Lie group representation
331:Elementary abelian group
208:Glossary of group theory
14937:Hall, Brian C. (2015),
14885:10.1364/JOSAB.33.001696
14402:. The dimension of the
13318:complex projective line
13236:elliptical polarization
12203:{\displaystyle ~u^{*}~}
11974:SU(2) = Spin(3) = Sp(1)
11966:accidental isomorphisms
6018:Pauli X, Y, and Z gates
1799:is simple; see below).
1783:. Topologically, it is
1647:electroweak interaction
1495:compact classical group
1493:unitary matrices. As a
1464:The group operation is
1257:Borel–Weil–Bott theorem
14495:. Wiley-Interscience.
14388:
14274:
14158:
14044:
13934:
13784:
13693:
13551:projective coordinates
13540:
13269:
13197:
13104:Note that the 2-sheet
13096:
13007:
12941:
12859:
12787:
12751:
12716:
12677:
12586:
12492:
12283:
12214:of the complex number
12204:
12171:
11978:U(1) = Spin(2) = SO(2)
11919:
11609:
11460:
11349:that are important in
11319:
11279:
11218:
11172:
11106:
11075:
10967:
10929:
10892:
10815:
10760:
10620:linear transformations
10529:
10255:
10042:
9999:
9955:
9891:
9847:
9741:
8712:
8369:
8153:
8113:
7984:
7895:
7857:
7727:
7592:
6829:
6769:
6710:
6635:
6605:
6540:
6390:
6318:
6268:
6155:
6111:
5986:
5931:
5839:
5645:
5560:
5473:
5374:
5268:
5078:
4829:This map is in fact a
4820:
4724:
4528:
4468:
4439:
4399:
4367:
4338:
4295:
4127:
4052:
3986:
3951:
3916:
3887:
3843:
3624:
3540:adjoint representation
3526:Adjoint representation
3517:
3433:
3406:
3356:
3320:
3293:
3210:
3178:
3150:
3121:
2943:
2855:
2788:
2748:
2613:
2576:
2456:
2392:
2231:
2173:
2141:
2097:times the commutator.
2047:
1935:
1846:
1772:). Its dimension as a
1657:quantum chromodynamics
1615:
1532:
1507:standard inner product
1155:Semisimple Lie algebra
1110:Adjoint representation
747:Linear algebraic group
489:
464:
427:
14832:John Wiley & Sons
14575:10.1201/9780429499210
14540:10.1201/9780429499210
14389:
14275:
14159:
14045:
13935:
13785:
13694:
13541:
13297:Möbius transformation
13288:has been introduced.
13270:
13198:
13097:
13008:
12942:
12860:
12788:
12752:
12717:
12678:
12587:
12493:
12289:in the definition of
12284:
12205:
12172:
11989:double covering group
11920:
11610:
11461:
11320:
11280:
11239:A further example is
11219:
11173:
11107:
11076:
10968:
10930:
10893:
10816:
10761:
10697:can be replaced by a
10530:
10256:
10043:
10000:
9956:
9892:
9857:Lie algebra structure
9848:
9742:
8748:matrix polynomial in
8713:
8370:
8154:
8093:
7964:
7896:
7837:
7707:
7593:
6830:
6770:
6739:, of the Lie algebra
6711:
6664:Representation theory
6636:
6606:
6541:
6391:
6319:
6269:
6156:
6112:
6110:{\displaystyle S^{5}}
6008:. They also serve as
6002:fundamental particles
5987:
5932:
5840:
5646:
5561:
5474:
5375:
5269:
5079:
4882:is isomorphic to the
4821:
4725:
4587:of norm 1 are called
4529:
4469:
4440:
4400:
4368:
4339:
4296:
4128:
4053:
3987:
3952:
3917:
3888:
3844:
3658:matrix multiplication
3625:
3518:
3434:
3407:
3357:
3355:{\displaystyle SU(3)}
3321:
3294:
3211:
3209:{\displaystyle SU(2)}
3179:
3151:
3149:{\displaystyle T_{a}}
3122:
2944:
2816:
2789:
2715:
2614:
2543:
2457:
2359:
2232:
2174:
2142:
2048:
1936:
1873:th root of unity and
1847:
1814:is isomorphic to the
1616:
1533:
1466:matrix multiplication
1409:special unitary group
1224:Representation theory
490:
465:
428:
14988:Mathematical physics
14355:
14331:s are non-vanishing.
14255:
14054:
13947:
13797:
13705:
13556:
13331:
13295:is interpreted as a
13244:
13111:
13017:
12955:
12889:
12807:
12777:
12726:
12687:
12595:
12505:
12329:
12241:
12181:
12014:
11999:in non-relativistic
11656:
11507:
11469:where × denotes the
11375:
11289:
11243:
11182:
11127:
11122:Picard modular group
11094:
10980:
10949:
10917:
10831:
10773:
10730:
10708:Specifically, fix a
10360:
10081:
10023:
9965:
9929:
9865:
9757:
8759:
8407:
8177:
7911:
7657:
6870:
6786:
6743:
6676:
6615:
6553:
6406:
6337:
6278:
6214:
6197:for fiber bundles).
6121:
6094:
6052:is an 8-dimensional
6014:loop quantum gravity
5941:
5856:
5662:
5570:
5482:
5395:
5284:
5094:
4941:
4740:
4606:
4593:rotation group SO(3)
4558:, which shows that
4554:is diffeomorphic to
4498:
4449:
4409:
4380:
4348:
4308:
4147:
4065:
3996:
3992:, then the equation
3961:
3926:
3897:
3871:
3671:
3561:
3449:
3416:
3366:
3334:
3303:
3220:
3188:
3160:
3133:
2958:
2813:
2629:
2491:
2272:
2221:
2151:
2115:
2021:
1907:
1821:
1768:(vs. a more general
1546:
1540:general linear group
1513:
1483:, consisting of all
1453:of the more general
1407:In mathematics, the
477:
452:
415:
21:Georgi–Glashow model
14877:2016JOSAB..33.1696M
14728:2015RpMP...76..401C
14690:1971JMP....12..673R
14478:, Proposition 13.11
13309:Poincaré disk model
13291:When an element of
13203:corresponds to the
11964:There are also the
11329:Important subgroups
10005:, the space of all
9925:of the Lie algebra
8168:structure constants
7647:are antisymmetric.
6372:
6354:
6313:
6295:
6090:on the unit sphere
6029:representations of
3854:complex conjugation
3184:prefactor: for the
3177:{\displaystyle 1/2}
2473:structure constants
2075:Particle physicists
1764:is a strictly real
1662:The simplest case,
1369:Table of Lie groups
1210:Compact Lie algebra
121:Group homomorphisms
31:Algebraic structure
14617:. MATH 4144 notes.
14610:Savage, Alistair.
14384:
14270:
14182:Mathematics portal
14154:
14040:
13930:
13780:
13689:
13536:
13405:
13265:
13193:
13092:
13003:
12937:
12855:
12783:
12747:
12712:
12673:
12658:
12582:
12558:
12488:
12476:
12422:
12368:
12279:
12200:
12167:
12092:
11915:
11913:
11605:
11603:
11456:
11315:
11275:
11214:
11168:
11102:
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