1561:, arguing that Cauchy's proof had to be incorrect. Completely standard notions of convergence did not exist at the time, and Cauchy handled convergence using infinitesimal methods. When put into the modern language, what Cauchy proved is that a uniformly convergent sequence of continuous functions has a continuous limit. The failure of a merely pointwise-convergent limit of continuous functions to converge to a continuous function illustrates the importance of distinguishing between different types of convergence when handling sequences of functions.
9070:
12793:
196:
20:
13102:
2359:
8675:
10756:
or even to any function at all. In order to ensure a connection between the limit of a sequence of differentiable functions and the limit of the sequence of derivatives, the uniform convergence of the sequence of derivatives plus the convergence of the sequence of functions at at least one point is
10323:
of continuous functions. The erroneous claim that the pointwise limit of a sequence of continuous functions is continuous (originally stated in terms of convergent series of continuous functions) is infamously known as "Cauchy's wrong theorem". The uniform limit theorem shows that a stronger form
10318:
This theorem is an important one in the history of real and
Fourier analysis, since many 18th century mathematicians had the intuitive understanding that a sequence of continuous functions always converges to a continuous function. The image above shows a counterexample, and many discontinuous
11571:
functions converges uniformly in a region S of the complex plane, then the limit is analytic in S. This example demonstrates that complex functions are more well-behaved than real functions, since the uniform limit of analytic functions on a real interval need not even be differentiable (see
2177:
10242:
7172:
1719:
compares the three definitions in his paper "Sir George Stokes and the concept of uniform convergence" and remarks: "Weierstrass's discovery was the earliest, and he alone fully realized its far-reaching importance as one of the fundamental ideas of analysis."
5751:
8368:
9988:
8493:
9716:
8253:
2354:{\displaystyle f_{n}\rightrightarrows f,\quad {\underset {n\to \infty }{\mathrm {unif\ lim} }}f_{n}=f,\quad f_{n}{\overset {\mathrm {unif.} }{\longrightarrow }}f,\quad f=\mathrm {u} \!\!-\!\!\!\lim _{n\to \infty }f_{n}.}
11428:
In fact, for a uniformly convergent family of bounded functions on an interval, the upper and lower
Riemann integrals converge to the upper and lower Riemann integrals of the limit function. This follows because, for
2867:
1474:
The difference between uniform convergence and pointwise convergence was not fully appreciated early in the history of calculus, leading to instances of faulty reasoning. The concept, which was first formalized by
5508:
10002:
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11423:
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11718:
10884:
10596:
10696:
7003:
6576:
7503:
In this example one can easily see that pointwise convergence does not preserve differentiability or continuity. While each function of the sequence is smooth, that is to say that for all
2119:
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7609:
9433:
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12085:
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12306:
7566:
7649:
4585:
258:
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9073:
Counterexample to a strengthening of the uniform convergence theorem, in which pointwise convergence, rather than uniform convergence, is assumed. The continuous green functions
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1138:
11526:
10471:. This is however in general not possible: even if the convergence is uniform, the limit function need not be differentiable (not even if the sequence consists of everywhere-
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4002:
3910:
3875:
3716:
2738:
860:
12308:. In other words, almost uniform convergence means there are sets of arbitrarily small measure for which the sequence of functions converges uniformly on their complement.
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4906:
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3635:
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10390:
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9884:
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9771:
9580:
9258:
8705:
8670:{\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {M_{n+1}}{M_{n}}}=\lim _{n\to \infty }{\frac {R^{n+1}}{R^{n}}}{\frac {n!}{(n+1)!}}=\lim _{n\to \infty }{\frac {R}{n+1}}=0}
8165:
8138:
8084:
7761:
7336:
7213:
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6267:
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1659:
1504:
1051:
634:
587:
141:
1310:
739:
11551:
Much stronger theorems in this respect, which require not much more than pointwise convergence, can be obtained if one abandons the
Riemann integral and uses the
5809:
5783:
5082:
4981:
12024:
9891:
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10265:
9857:
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9553:
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2758:
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1995:
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1539:
1376:
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607:
560:
538:
496:
405:
365:
345:
114:
74:
12984:
11076:
10997:
10825:
1684:
While he thought it a "remarkable fact" when a series converged in this way, he did not give a formal definition, nor use the property in any of his proofs.
4231:
that are given. Thus uniform convergence implies pointwise convergence, however the converse is not true, as the example in the section below illustrates.
9633:
12512:
11356:
8173:
10479:), and even if it is differentiable, the derivative of the limit function need not be equal to the limit of the derivatives. Consider for instance
12627:
2766:
8824:
A sequence of continuous functions on metric spaces, with the image metric space being complete, is uniformly convergent if and only if it is
12974:
10237:{\displaystyle \forall x\in U\quad d(f(x),f(x_{0}))\leq d(f(x),f_{N}(x))+d(f_{N}(x),f_{N}(x_{0}))+d(f_{N}(x_{0}),f(x_{0}))\leq \varepsilon }
13067:
12599:
5399:
5159:
2171:
is not quite standardized and different authors have used a variety of symbols, including (in roughly decreasing order of popularity):
12908:
7344:
3342:
5292:
12348:
10337:
space, continuity is equivalent to local uniform continuity, and thus the uniform limit of continuous functions is continuous.
7996:
260:(marked in green and blue) converges pointwise over the entire domain, but the limit function is discontinuous (marked in red).
12918:
12452:
12418:
12469:
13136:
12320:
6105:
1575:
2879:
2370:
11081:
13141:
13082:
12913:
12673:
12620:
12343:
7167:{\displaystyle \left|f_{N}(x_{0})-f(x_{0})\right|=\left|\left^{N}-0\right|={\frac {1}{2}}>{\frac {1}{4}}=\epsilon ,}
3242:
11644:
10830:
10562:
13062:
12557:
12534:
12498:
6511:
13072:
12378:
Sørensen, Henrik Kragh (2005). "Exceptions and counterexamples: Understanding Abel's comment on Cauchy's
Theorem".
2054:
410:
6760:
6012:
1407:
934:
12964:
12954:
10482:
8376:
3415:
3149:
3081:
2649:
1845:
1797:
8435:
7418:
4750:
for a similar definition of uniform continuity). In contrast, pointwise continuity requires this only for real
10626:
10324:
of convergence, uniform convergence, is needed to ensure the preservation of continuity in the limit function.
9161:
7571:
12552:, Real Analysis: Modern Techniques and Their Applications, Second Edition, John Wiley & Sons, Inc., 1999,
11918:
11798:
9405:
7470:
13077:
12979:
12613:
12591:
12327:
11213:
8895:
7698:
4500:
3919:
Note that interchanging the order of quantifiers in the definition of uniform convergence by moving "for all
3637:
It is clear that uniform convergence implies local uniform convergence, which implies pointwise convergence.
12278:
12042:
11587:
7510:
13131:
13105:
7626:
5746:{\displaystyle f(x)=\lim _{n\to \infty }f_{n}(x)={\begin{cases}0,&x\in [0,1);\\1,&x=1.\end{cases}}}
4533:
202:
12358:
7766:
199:
The limit of a sequence of continuous functions does not have to be continuous: the sequence of functions
13087:
12586:
12581:
6195:
1917:
1572:, where he employed the phrase "convergence in a uniform way" when the "mode of convergence" of a series
9280:
is also well defined. The following result states that continuity is preserved by uniform convergence:
12969:
12311:
Note that almost uniform convergence of a sequence does not mean that the sequence converges uniformly
9585:
6938:
6646:
3721:
7218:
4323:
4093:
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12949:
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11498:
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7851:
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9167:
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4406:
3596:
12172:
11765:
9366:
9076:
8363:{\displaystyle \left|{\frac {z^{n}}{n!}}\right|\leq {\frac {|z|^{n}}{n!}}\leq {\frac {R^{n}}{n!}}}
5569:
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3055:
2619:
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12876:
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4911:
4803:
4465:
12444:
9806:
9505:
9112:
converge to the non-continuous red function. This can happen only if convergence is not uniform.
7932:
7895:
6201:
5948:
4765:
3802:
3022:
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6292:
6177:
4194:
4134:
4073:
4007:
1553:
published a proof that a convergent sum of continuous functions is always continuous, to which
1266:
1163:
865:
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370:
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12406:
10934:
10623:
is also identically zero. However, the derivatives of the sequence of functions are given by
4713:
1230:
679:
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12923:
12668:
12245:
12225:
12135:
10765:
9723:
9487:), one uses the definitions of continuity and uniform convergence to produce 3 inequalities (
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8858:
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294:
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26:
11856:
11723:
11325:
is
Riemann integrable and its integral can be computed as the limit of the integrals of the
10701:
10444:
7825:
4047:
3922:
3776:
3537:
3511:
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2026:
1727:
this concept and related questions were intensely studied at the end of the 19th century by
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11002:
10476:
10368:
10329:
10270:
9983:{\displaystyle \forall x\in U\quad d(f_{N}(x),f_{N}(x_{0}))\leq {\tfrac {\varepsilon }{3}}}
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is convergent, then the M-test asserts that the original series is uniformly convergent.
5788:
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pointwise but not uniformly. To show this, we first observe that the pointwise limit of
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3969:
of the sequence. To make this difference explicit, in the case of uniform convergence,
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3467:
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12319:
does guarantee that on a finite measure space, a sequence of functions that converges
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10798:
1541:
if the convergence is uniform, but not necessarily if the convergence is not uniform.
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8989:
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4800:, a basic example of uniform convergence can be illustrated as follows: the sequence
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12648:
12522:
12387:
11202:
9711:{\displaystyle \forall x\in E\quad d(f_{N}(x),f(x))\leq {\tfrac {\varepsilon }{3}}}
5135:
4600:
2646:
can be used to give an equivalent alternative formulation for uniform convergence:
1724:
1688:
1511:
1476:
9483:
trick", and is the archetypal example of this trick: to prove a given inequality (
9069:
6389:
approaches 1. These observations preclude the possibility of uniform convergence.
1740:
12807:
12736:
10334:
4747:
2643:
1696:
13039:
13024:
13019:
12698:
12683:
12549:
10320:
9046:
5142:
4591:. In this situation, uniform limit of continuous functions remains continuous.
3195:
1728:
1558:
11201:
Similarly, one often wants to exchange integrals and limit processes. For the
8248:{\displaystyle \left|{\frac {z^{n}}{n!}}\right|\leq M_{n},\forall z\in D_{R}.}
1691:, who attended his course on elliptic functions in 1839–1840, coined the term
195:
13120:
13004:
12678:
12391:
12122:
11262:
8852:
8110:
5513:
is a classic example of a sequence of functions that converges to a function
5124:
are selected closer and closer to 1 (explained more in depth further below).
4400:
1760:
13009:
12751:
12693:
12539:
12486:
12434:
9230:
5283:
5150:
4256:
3505:
3228:
1756:
12756:
12703:
12504:
5138:
2862:{\displaystyle x\in E,m,n\geq N\implies |f_{m}(x)-f_{n}(x)|<\epsilon }
1736:
1716:
1707:, published in 1894. Independently, similar concepts were articulated by
265:
12605:
10393:
8988:
which is also continuous, then the convergence is necessarily uniform (
8484:
367:
as the function domain if, given any arbitrarily small positive number
2433:
to indicate that convergence is uniform. (In contrast, the expression
1755:, although the concept is readily generalized to functions mapping to
19:
12688:
8889:
12527:
Elements of
Mathematics: General Topology. Chapters 5–10 (paperback)
9720:(uniform convergence shows that the above statement is true for all
8807:
Every uniformly convergent sequence is locally uniformly convergent.
8707:
is convergent. Thus the original series converges uniformly for all
5503:{\displaystyle {\begin{cases}f_{n}:\to \\f_{n}(x)=x^{n}\end{cases}}}
12636:
9837:
9746:, but we will only use it for one function of the sequence, namely
5268:{\displaystyle d(f,g)=\|f-g\|_{\infty }=\sup _{x\in X}|f(x)-g(x)|.}
3233:
285:
12493:; Blackie and Son, London, 1954, reprinted by Dover Publications,
4090:
that is given. In contrast, in the case of pointwise convergence,
1842:
is a sequence of real-valued functions on it. We say the sequence
12407:"6.7 The Foundation of Analysis in the 19th Century: Weierstrass"
7990:
The complex exponential function can be expressed as the series:
2364:
Frequently, no special symbol is used, and authors simply write
6369:(which cannot be defined to be smaller) grows without bound as
11418:{\displaystyle \int _{I}f=\lim _{n\to \infty }\int _{I}f_{n}.}
10327:
More precisely, this theorem states that the uniform limit of
7623:
can be shown to be uniformly convergent on any bounded subset
10416:, it is often desirable to determine the derivative function
8113:. The Weierstrass M-test requires us to find an upper bound
7405:{\displaystyle \lim _{n\to \infty }\|f_{n}-f\|_{\infty }=1,}
3401:{\displaystyle f_{n}\rightrightarrows f\iff d(f_{n},f)\to 0}
11261:
is a sequence of
Riemann integrable functions defined on a
8821:
local uniform convergence and compact convergence coincide.
7177:
the candidate fails because we have found an example of an
5739:
5496:
5350:{\displaystyle \lim _{n\to \infty }\|f_{n}-f\|_{\infty }=0}
1479:, is important because several properties of the functions
8855:
interval (or in general a compact topological space), and
6194:(here the upper square brackets indicate rounding up, see
4239:
One may straightforwardly extend the concept to functions
1557:
in 1826 found purported counterexamples in the context of
12600:
Graphic examples of uniform convergence of
Fourier series
8049:{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {z^{n}}{n!}}.}
12509:
Sir George Stokes and the concept of uniform convergence
9608:. By uniform convergence, there exists a natural number
6578:
To see this, first observe that regardless of how large
4599:
Uniform convergence admits a simplified definition in a
1564:
The term uniform convergence was probably first used by
6395:
The convergence is not uniform, because we can find an
4383:
The most general setting is the uniform convergence of
12045:
11921:
11801:
11590:
11205:, this can be done if uniform convergence is assumed:
9969:
9697:
8394:
7935:
7898:
1634:{\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }f_{n}(x,\phi ,\psi )}
1578:
12985:
1/2 + 1/3 + 1/5 + 1/7 + 1/11 + ⋯ (inverses of primes)
12975:
1 − 1 + 2 − 6 + 24 − 120 + ⋯ (alternating factorials)
12281:
12248:
12228:
12201:
12175:
12138:
11994:
11859:
11768:
11726:
11647:
11534:
11501:
11474:
11439:
11359:
11331:
11311:
11291:
11271:
11216:
11159:
11084:
11052:
11032:
11005:
10973:
10937:
10892:
10833:
10801:
10768:
10734:
10704:
10629:
10604:
10565:
10485:
10447:
10422:
10402:
10371:
10351:
10300:
10273:
10253:
10005:
9894:
9865:
9845:
9809:
9782:
9752:
9726:
9636:
9614:
9588:
9561:
9541:
9508:
9461:
9441:
9408:
9369:
9336:
9316:
9296:
9266:
9239:
9215:
9170:
9142:
9122:
9079:
9018:
8998:
8974:
8898:
8861:
8837:
8782:
8749:
8713:
8686:
8496:
8438:
8379:
8267:
8176:
8146:
8119:
8092:
8065:
7999:
7972:
7854:
7828:
7769:
7742:
7701:
7668:
7629:
7574:
7513:
7473:
7421:
7347:
7306:
7286:
7266:
7221:
7183:
7006:
6941:
6914:
6894:
6868:
6830:
6763:
6743:
6706:
6649:
6604:
6584:
6514:
6488:
6450:
6427:
6401:
6375:
6355:
6335:
6315:
6295:
6275:
6237:
6204:
6180:
6160:
6147:{\displaystyle N=\lceil \log \epsilon /\log x\rceil }
6108:
6082:
6015:
5989:
5951:
5931:
5874:
5817:
5791:
5765:
5621:
5598:
5572:
5539:
5519:
5402:
5367:
5295:
5162:
5110:
5090:
5062:
5035:
5015:
4989:
4961:
4914:
4880:
4853:
4806:
4768:
4716:
4675:
4644:
4609:
4536:
4503:
4468:
4409:
4326:
4265:
4217:
4197:
4177:
4157:
4137:
4096:
4076:
4050:
4030:
4010:
3975:
3951:
3925:
3883:
3848:
3828:
3805:
3779:
3752:
3724:
3698:
3678:
3651:
3599:
3566:
3540:
3514:
3490:
3470:
3418:
3345:
3245:
3203:
3152:
3132:
3084:
3058:
3025:
3005:
2978:
2882:
2873:
In yet another equivalent formulation, if we define
2769:
2746:
2720:
2700:
2652:
2622:
2593:
2542:
2516:
2496:
2472:
2439:
2373:
2180:
2157:
2130:
2057:
2029:
2003:
1983:
1954:
1920:
1900:
1848:
1800:
1776:
1667:
1647:
1527:
1485:
1410:
1384:
1364:
1344:
1318:
1289:
1269:
1233:
1212:
1187:
1166:
1146:
1105:
1079:
1059:
1032:
1005:
937:
911:
890:
868:
833:
807:
787:
767:
747:
718:
682:
662:
642:
615:
595:
568:
548:
526:
504:
484:
413:
393:
373:
353:
333:
297:
205:
169:
149:
122:
102:
82:
62:
29:
4594:
2962:{\displaystyle d_{n}=\sup _{x\in E}|f_{n}(x)-f(x)|,}
2423:{\displaystyle f_{n}\to f\quad \mathrm {uniformly} }
11146:{\displaystyle f'(x)=\lim _{n\to \infty }f'_{n}(x)}
3078:. Thus, we can characterize uniform convergence of
827:in advance. In other words, there exists a number
676:in the following sense: in order to guarantee that
12513:Proceedings of the Cambridge Philosophical Society
12473:3rd edition, Theorem 7.17. McGraw-Hill: New York.
12300:
12267:
12234:
12214:
12187:
12157:
12079:
12018:
11961:
11871:
11845:
11780:
11738:
11712:
11624:
11540:
11520:
11487:
11452:
11417:
11344:
11317:
11297:
11277:
11253:
11183:
11145:
11070:
11038:
11018:
10991:
10959:
10923:
10878:
10819:
10787:
10748:
10720:
10690:
10615:
10590:
10551:
10463:
10433:
10408:
10384:
10357:
10307:
10286:
10259:
10236:
9982:
9878:
9851:
9828:
9795:
9765:
9738:
9710:
9620:
9600:
9574:
9547:
9527:
9467:
9447:
9427:
9394:
9355:
9322:
9302:
9272:
9252:
9221:
9201:
9148:
9128:
9104:
9037:
9004:
8980:
8948:
8880:
8843:
8791:
8768:
8735:
8699:
8669:
8472:
8422:
8362:
8247:
8159:
8132:
8101:
8078:
8048:
7978:
7958:
7921:
7884:
7840:
7814:
7755:
7728:
7687:
7643:
7603:
7560:
7492:
7459:
7404:
7330:
7292:
7272:
7252:
7207:
7166:
6989:
6927:
6900:
6880:
6854:
6816:
6749:
6729:
6692:
6635:
6590:
6570:
6500:
6474:
6436:
6413:
6381:
6361:
6341:
6321:
6301:
6281:
6261:
6223:
6186:
6166:
6146:
6094:
6068:
6001:
5975:
5937:
5917:
5860:
5803:
5777:
5745:
5604:
5584:
5558:
5525:
5502:
5386:
5349:
5267:
5116:
5096:
5076:
5048:
5021:
5001:
4975:
4947:
4900:
4866:
4839:
4792:
4738:
4702:
4657:
4622:
4579:
4522:
4481:
4428:
4372:
4312:
4223:
4203:
4183:
4163:
4143:
4123:
4082:
4062:
4036:
4016:
3996:
3957:
3937:
3904:
3869:
3834:
3814:
3791:
3765:
3738:
3710:
3684:
3664:
3629:
3585:
3552:
3526:
3496:
3476:
3452:
3400:
3325:
3218:
3186:
3138:
3118:
3070:
3044:
3011:
2991:
2961:
2861:
2752:
2732:
2706:
2686:
2630:
2605:
2579:
2528:
2502:
2478:
2458:
2422:
2353:
2163:
2143:
2113:
2041:
2015:
1989:
1969:
1940:
1906:
1882:
1834:
1782:
1676:
1653:
1633:
1533:
1498:
1463:
1396:
1370:
1350:
1330:
1304:
1275:
1255:
1218:
1193:
1172:
1152:
1132:
1091:
1065:
1045:
1017:
990:
923:
896:
874:
854:
819:
793:
773:
753:
733:
704:
668:
648:
628:
601:
581:
554:
532:
510:
490:
470:
399:
379:
359:
339:
316:
252:
184:
155:
135:
108:
88:
68:
48:
12323:also converges almost uniformly on the same set.
11884:With this definition comes the following result:
7763:be a sequence of positive real numbers such that
3326:{\displaystyle d(f,g)=\sup _{x\in E}|f(x)-g(x)|.}
2714:(in the previous sense) if and only if for every
2321:
2320:
2319:
2315:
2314:
801:, which we can find without knowing the value of
13118:
11713:{\displaystyle s_{n}(x)=\sum _{j=1}^{n}f_{j}(x)}
11377:
11106:
10879:{\displaystyle \lim _{n\to \infty }f_{n}(x_{0})}
10835:
10591:{\displaystyle f_{n}\rightrightarrows f\equiv 0}
8628:
8547:
8498:
7576:
7349:
5638:
5297:
5210:
3268:
2897:
2323:
12132:can be defined. We say a sequence of functions
8810:Every locally uniformly convergent sequence is
6888:. Explicitly, whatever candidate we choose for
6571:{\displaystyle |f_{n}(x)-f(x)|\geq \epsilon .}
5153:topology, with the uniform metric defined by
12621:
12315:as might be inferred from the name. However,
12116:
10795:is a sequence of differentiable functions on
8992:). Uniform convergence is also guaranteed if
8776:, the series is also uniformly convergent on
7215:that "escaped" our attempt to "confine" each
3945:" in front of "there exists a natural number
2114:{\displaystyle |f_{n}(x)-f(x)|<\epsilon .}
471:{\displaystyle f_{N},f_{N+1},f_{N+2},\ldots }
407:can be found such that each of the functions
13068:Hypergeometric function of a matrix argument
11641:if and only if the sequence of partial sums
11528:of the value of the upper and lower sums of
8059:Any bounded subset is a subset of some disc
7442:
7422:
7384:
7364:
6817:{\displaystyle |f_{n}(x)-f(x)|<\epsilon }
6141:
6115:
6069:{\displaystyle |f_{n}(x)-f(x)|<\epsilon }
5332:
5312:
5197:
5184:
4191:only has to work for the specific values of
1464:{\displaystyle |f_{n}(x)-f(x)|<\epsilon }
991:{\displaystyle |f_{n}(x)-f(x)|<\epsilon }
12924:1 + 1/2 + 1/3 + ... (Riemann zeta function)
10552:{\displaystyle f_{n}(x)=n^{-1/2}{\sin(nx)}}
8423:{\displaystyle M_{n}={\tfrac {R^{n}}{n!}}.}
6154:, which is the minimum integer exponent of
3453:{\displaystyle (f_{n})_{n\in \mathbb {N} }}
3187:{\displaystyle (f_{n})_{n\in \mathbb {N} }}
3119:{\displaystyle (f_{n})_{n\in \mathbb {N} }}
2687:{\displaystyle (f_{n})_{n\in \mathbb {N} }}
1883:{\displaystyle (f_{n})_{n\in \mathbb {N} }}
1835:{\displaystyle (f_{n})_{n\in \mathbb {N} }}
12628:
12614:
10319:functions could, in fact, be written as a
9535:be an arbitrary point. We will prove that
8473:{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }M_{n}}
7460:{\displaystyle \|f_{n}-f\|_{\infty }\to 0}
3366:
3362:
2801:
2797:
609:uniformly, then how quickly the functions
16:Mode of convergence of a function sequence
12980:1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + ⋯ (harmonic series)
12491:Theory and Application of Infinite Series
11962:{\textstyle f=\sum _{n=1}^{\infty }f_{n}}
11846:{\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }|f_{n}|}
10691:{\displaystyle f'_{n}(x)=n^{1/2}\cos nx,}
10333:functions is uniformly continuous; for a
9160:, then it makes sense to talk about the
8167:independent of the position in the disc:
7722:
7637:
7604:{\displaystyle \lim _{n\to \infty }f_{n}}
3732:
3444:
3206:
3178:
3110:
2678:
2624:
1934:
1874:
1826:
12635:
12377:
11468:, and so the upper sum and lower sum of
9428:{\displaystyle f_{n}\rightrightarrows f}
9068:
7493:{\displaystyle f_{n}\rightrightarrows f}
2124:The notation for uniform convergence of
1751:We first define uniform convergence for
1026:. In contrast, pointwise convergence of
194:
18:
12443:. Cambridge University Press. pp.
12433:
12108:is equal to integral of the series of f
12080:{\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }f_{n}}
11625:{\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }f_{n}}
11254:{\displaystyle (f_{n})_{n=1}^{\infty }}
10340:
8949:{\displaystyle f_{n}(x)\leq f_{n+1}(x)}
7729:{\displaystyle f_{n}:E\to \mathbb {C} }
7614:
4523:{\displaystyle \alpha \geq \alpha _{0}}
1723:Under the influence of Weierstrass and
13119:
12404:
12349:Modes of convergence (annotated index)
12301:{\displaystyle E\setminus E_{\delta }}
9363:is a sequence of continuous functions
7966:converges absolutely and uniformly on
7561:{\displaystyle f_{n}\in C^{\infty }()}
6421:so that no matter how large we choose
5278:Then uniform convergence simply means
12609:
12242:such that the sequence of functions
11567:, one can show that if a sequence of
10365:is an interval and all the functions
7644:{\displaystyle S\subset \mathbb {C} }
6174:that allows it to reach or dip below
4580:{\displaystyle (f_{\alpha }(x),f(x))}
3645:Intuitively, a sequence of functions
781:is larger than or equal to a certain
253:{\displaystyle f_{n}(x)=\sin ^{n}(x)}
12121:If the domain of the functions is a
11285:which uniformly converge with limit
10441:by taking the limit of the sequence
9233:, then (uniform) convergence of the
7815:{\displaystyle |f_{n}(x)|\leq M_{n}}
1764:
562:. Described in an informal way, if
12945:1 − 1 + 1 − 1 + ⋯ (Grandi's series)
12544:Principles of Mathematical Analysis
12470:Principles of Mathematical Analysis
12326:Almost uniform convergence implies
11196:
9495:to produce the desired inequality.
2486:without an adverb is taken to mean
1941:{\displaystyle f:E\to \mathbb {R} }
1514:, and, with additional hypotheses,
1160:could depend on the values of both
13:
12344:Uniform convergence in probability
12062:
11944:
11818:
11775:
11607:
11387:
11246:
11116:
11026:converges uniformly to a function
10845:
10006:
9895:
9776:It follows from the continuity of
9637:
9491:), and then combines them via the
9049:sequence that converges pointwise.
8638:
8557:
8508:
8455:
8223:
8016:
7586:
7532:
7446:
7388:
7359:
7338:. In fact, it is easy to see that
6329:. Moreover, for a fixed choice of
5648:
5579:
5336:
5307:
5201:
4234:
3799:all fall within a "tube" of width
3065:
2600:
2416:
2413:
2410:
2407:
2404:
2401:
2398:
2395:
2392:
2333:
2310:
2287:
2284:
2281:
2278:
2236:
2225:
2222:
2219:
2213:
2210:
2207:
2204:
1703:) which he used in his 1841 paper
1595:
14:
13153:
13063:Generalized hypergeometric series
12571:
12285:
11558:
11433:sufficiently large, the graph of
10247:which gives us the continuity of
9601:{\displaystyle \varepsilon >0}
8968:functions with a pointwise limit
8140:on the terms of the series, with
7415:contrary to the requirement that
6990:{\displaystyle x_{0}=(1/2)^{1/N}}
6693:{\displaystyle f_{n}(x_{0})=1/2.}
4595:Definition in a hyperreal setting
3739:{\displaystyle N\in \mathbb {N} }
761:, we only need to make sure that
13101:
13100:
13073:Lauricella hypergeometric series
12791:
10886:exists (and is finite) for some
9058:
7253:{\displaystyle f_{n}\ (n\geq N)}
4874:does not. Specifically, assume
4373:{\displaystyle d(f_{n}(x),f(x))}
4124:{\displaystyle N=N(\epsilon ,x)}
3219:{\displaystyle \mathbb {R} ^{E}}
2740:, there exists a natural number
2580:{\displaystyle f_{n}(x)\to f(x)}
1641:is independent of the variables
1358:may require a different, larger
1133:{\displaystyle N=N(\epsilon ,x)}
13083:Riemann's differential equation
12602:from the University of Colorado
12099:and the series of integrals of
11521:{\displaystyle \varepsilon |I|}
10301:
10018:
9907:
9649:
9479:This theorem is proved by the "
9053:
7885:{\displaystyle n=1,2,3,\ldots }
5918:{\displaystyle f_{n}(1)=f(1)=1}
5861:{\displaystyle f_{n}(0)=f(0)=0}
4634:uniformly if for all hyperreal
4313:{\displaystyle |f_{n}(x)-f(x)|}
3692:if, given an arbitrarily small
2390:
2302:
2261:
2200:
1970:{\displaystyle \epsilon >0,}
1073:merely guarantees that for any
741:by less than a chosen distance
12461:
12427:
12413:. AMS Bookstore. p. 184.
12398:
12371:
12262:
12249:
12195:there exists a measurable set
12165:converges almost uniformly on
12152:
12139:
12013:
12001:
11839:
11824:
11772:
11707:
11701:
11664:
11658:
11514:
11506:
11384:
11231:
11217:
11178:
11166:
11140:
11134:
11113:
11099:
11093:
11065:
11053:
10986:
10974:
10954:
10938:
10918:
10906:
10873:
10860:
10842:
10814:
10802:
10782:
10769:
10649:
10643:
10576:
10545:
10536:
10502:
10496:
10308:{\displaystyle \quad \square }
10225:
10222:
10209:
10200:
10187:
10174:
10165:
10162:
10149:
10133:
10127:
10114:
10105:
10102:
10096:
10080:
10074:
10068:
10059:
10056:
10043:
10034:
10028:
10022:
9962:
9959:
9946:
9930:
9924:
9911:
9690:
9687:
9681:
9672:
9666:
9653:
9419:
9386:
9350:
9337:
9202:{\displaystyle f_{n},f:E\to M}
9193:
9099:
9093:
9032:
9019:
8943:
8937:
8915:
8909:
8875:
8862:
8769:{\displaystyle S\subset D_{R}}
8635:
8615:
8603:
8554:
8505:
8314:
8305:
8109:centered on the origin in the
7795:
7791:
7785:
7771:
7718:
7682:
7669:
7583:
7555:
7552:
7540:
7537:
7484:
7451:
7356:
7325:
7313:
7247:
7235:
7202:
7190:
7057:
7044:
7035:
7022:
6970:
6955:
6849:
6837:
6804:
6800:
6794:
6785:
6779:
6765:
6730:{\displaystyle \epsilon =1/4,}
6673:
6660:
6636:{\displaystyle x_{0}\in [0,1)}
6630:
6618:
6555:
6551:
6545:
6536:
6530:
6516:
6469:
6457:
6414:{\displaystyle \epsilon >0}
6393:Non-uniformity of convergence:
6256:
6244:
6215:
6056:
6052:
6046:
6037:
6031:
6017:
6002:{\displaystyle \epsilon >0}
5970:
5958:
5906:
5900:
5891:
5885:
5849:
5843:
5834:
5828:
5709:
5697:
5669:
5663:
5645:
5631:
5625:
5576:
5553:
5540:
5477:
5471:
5454:
5442:
5439:
5436:
5424:
5381:
5368:
5304:
5258:
5254:
5248:
5239:
5233:
5226:
5178:
5166:
5056:is only less than or equal to
4930:
4915:
4822:
4807:
4787:
4775:
4733:
4727:
4697:
4691:
4574:
4571:
4565:
4556:
4550:
4537:
4423:
4410:
4367:
4364:
4358:
4349:
4343:
4330:
4306:
4302:
4296:
4287:
4281:
4267:
4118:
4106:
3997:{\displaystyle N=N(\epsilon )}
3991:
3985:
3905:{\displaystyle f(x)+\epsilon }
3893:
3887:
3870:{\displaystyle f(x)-\epsilon }
3858:
3852:
3711:{\displaystyle \epsilon >0}
3615:
3603:
3580:
3567:
3433:
3419:
3392:
3389:
3370:
3363:
3356:
3316:
3312:
3306:
3297:
3291:
3284:
3261:
3249:
3167:
3153:
3099:
3085:
3062:
3036:
2952:
2948:
2942:
2933:
2927:
2913:
2849:
2845:
2839:
2823:
2817:
2803:
2798:
2733:{\displaystyle \epsilon >0}
2667:
2653:
2597:
2574:
2568:
2562:
2559:
2553:
2450:
2384:
2330:
2274:
2233:
2191:
2098:
2094:
2088:
2079:
2073:
2059:
1977:there exists a natural number
1930:
1863:
1849:
1815:
1801:
1628:
1610:
1451:
1447:
1441:
1432:
1426:
1412:
1299:
1293:
1250:
1244:
1127:
1115:
1099:given in advance, we can find
978:
974:
968:
959:
953:
939:
855:{\displaystyle N=N(\epsilon )}
849:
843:
728:
722:
699:
693:
311:
298:
247:
241:
222:
216:
43:
30:
1:
13078:Modular hypergeometric series
12919:1/4 + 1/16 + 1/64 + 1/256 + ⋯
12546:, 3rd ed., McGraw–Hill, 1976.
12480:
12328:almost everywhere convergence
9209:. If we further assume that
8801:
7659:Theorem (Weierstrass M-test).
5084:at ever increasing values of
5009:, regardless of the value of
4901:{\displaystyle \epsilon =1/4}
4429:{\displaystyle (f_{\alpha })}
3965:" results in a definition of
3630:{\displaystyle B(x,r)\cap E.}
1746:
12188:{\displaystyle \delta >0}
11781:{\displaystyle n\to \infty }
11579:
9395:{\displaystyle f_{n}:E\to M}
9105:{\displaystyle \sin ^{n}(x)}
8680:which means the series over
7619:The series expansion of the
6598:becomes, there is always an
5585:{\displaystyle n\to \infty }
5134:, we can equip the space of
4703:{\displaystyle f_{n}^{*}(x)}
3462:locally uniformly convergent
3071:{\displaystyle n\to \infty }
2631:{\displaystyle \mathbb {R} }
2606:{\displaystyle n\to \infty }
1705:Zur Theorie der Potenzreihen
7:
13137:Topology of function spaces
13088:Theta hypergeometric series
12587:Encyclopedia of Mathematics
12565:An Introduction to Analysis
12405:Jahnke, Hans Niels (2003).
12337:
12215:{\displaystyle E_{\delta }}
12128:then the related notion of
8736:{\displaystyle z\in D_{R},}
7959:{\textstyle \sum _{n}f_{n}}
7922:{\textstyle \sum _{n}M_{n}}
7695:be a sequence of functions
5759:Convergence is trivial for
4948:{\displaystyle (1/2)^{x+n}}
4847:converges uniformly, while
4840:{\displaystyle (1/2)^{x+n}}
4757:
4482:{\displaystyle \alpha _{0}}
3146:as (simple) convergence of
280:of functions stronger than
10:
13158:
12970:Infinite arithmetic series
12914:1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + ⋯
12909:1/2 − 1/4 + 1/8 − 1/16 + ⋯
12364:
12130:almost uniform convergence
12117:Almost uniform convergence
9829:{\displaystyle x_{0}\in E}
9528:{\displaystyle x_{0}\in E}
9062:
9012:is a compact interval and
6269:. Note that the choice of
6224:{\displaystyle f_{n}\to f}
5976:{\displaystyle x\in (0,1)}
5361:The sequence of functions
4793:{\displaystyle x\in [0,1)}
4603:setting. Thus, a sequence
4070:, for a specific value of
3815:{\displaystyle 2\epsilon }
3045:{\displaystyle d_{n}\to 0}
2459:{\displaystyle f_{n}\to f}
1544:
13142:Convergence (mathematics)
13096:
13053:
12997:
12932:
12901:
12894:
12864:
12833:
12826:
12800:
12789:
12712:
12656:
12647:
12519:, pp. 148–156 (1918)
10924:{\displaystyle x_{0}\in }
9310:is a topological space,
7273:{\displaystyle \epsilon }
6342:{\displaystyle \epsilon }
6302:{\displaystyle \epsilon }
6187:{\displaystyle \epsilon }
4955:is less than or equal to
4451:if and only if for every
4204:{\displaystyle \epsilon }
4144:{\displaystyle \epsilon }
4083:{\displaystyle \epsilon }
4017:{\displaystyle \epsilon }
3019:uniformly if and only if
1709:Philipp Ludwig von Seidel
1518:, are transferred to the
1276:{\displaystyle \epsilon }
1173:{\displaystyle \epsilon }
875:{\displaystyle \epsilon }
754:{\displaystyle \epsilon }
511:{\displaystyle \epsilon }
380:{\displaystyle \epsilon }
156:{\displaystyle \epsilon }
89:{\displaystyle \epsilon }
76:when for arbitrary small
12567:, 3rd ed., Pearson, 2005
12392:10.1016/j.hm.2004.11.010
11895:be contained in the set
10960:{\displaystyle (f'_{n})}
10396:and converge to a limit
7611:is not even continuous.
6908:, consider the value of
6444:there will be values of
6289:depends on the value of
4739:{\displaystyle f^{*}(x)}
3640:
1687:Later Gudermann's pupil
1256:{\displaystyle f_{n}(x)}
705:{\displaystyle f_{n}(x)}
656:is "uniform" throughout
185:{\displaystyle n\geq N.}
163:-tube around f whenever
23:A sequence of functions
12801:Properties of sequences
12275:converges uniformly on
12268:{\displaystyle (f_{n})}
12235:{\displaystyle \delta }
12222:with measure less than
12158:{\displaystyle (f_{n})}
12087:converges uniformly on
11969:converges uniformly on
11762:converges uniformly as
10967:converges uniformly on
10788:{\displaystyle (f_{n})}
9739:{\displaystyle n\geq N}
9356:{\displaystyle (f_{n})}
9330:is a metric space, and
9038:{\displaystyle (f_{n})}
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