14272:
186:
13925:
219:
21008:
5517:
199:
14267:{\displaystyle {\begin{array}{rccccccccc}{\text{Time domain}}&s&=&s_{_{\text{RE}}}&+&s_{_{\text{RO}}}&+&is_{_{\text{IE}}}&+&\underbrace {i\ s_{_{\text{IO}}}} \\&{\Bigg \Updownarrow }{\mathcal {F}}&&{\Bigg \Updownarrow }{\mathcal {F}}&&\ \ {\Bigg \Updownarrow }{\mathcal {F}}&&\ \ {\Bigg \Updownarrow }{\mathcal {F}}&&\ \ {\Bigg \Updownarrow }{\mathcal {F}}\\{\text{Frequency domain}}&S&=&S_{\text{RE}}&+&\overbrace {\,i\ S_{\text{IO}}\,} &+&iS_{\text{IE}}&+&S_{\text{RO}}\end{array}}}
20387:
7317:
20061:
8725:
3399:
23806:
8710:
5056:
8740:
6225:
30280:
11208:
525:
19537:
22514:
23497:
6885:
21003:{\displaystyle {\begin{aligned}h^{\mathrm {three} }(m_{1},m_{2},m_{3})&\triangleq {\frac {1}{a_{3}}}\int _{0}^{a_{3}}h^{\mathrm {two} }(m_{1},m_{2},x_{3})\cdot e^{-i2\pi {\tfrac {m_{3}}{a_{3}}}x_{3}}\,dx_{3}\\&={\frac {1}{a_{3}}}\int _{0}^{a_{3}}dx_{3}{\frac {1}{a_{2}}}\int _{0}^{a_{2}}dx_{2}{\frac {1}{a_{1}}}\int _{0}^{a_{1}}dx_{1}g(x_{1},x_{2},x_{3})\cdot e^{-i2\pi \left({\tfrac {m_{1}}{a_{1}}}x_{1}+{\tfrac {m_{2}}{a_{2}}}x_{2}+{\tfrac {m_{3}}{a_{3}}}x_{3}\right)}\end{aligned}}}
2994:
10854:
23038:
9845:
5512:{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {X} _{n}(\varphi )&={\tfrac {2}{P}}\int _{P}s(x)\cdot \cos \left(2\pi {\tfrac {n}{P}}x-\varphi \right)\,dx;\quad \varphi \in \\&=\cos(\varphi )\cdot \underbrace {{\tfrac {2}{P}}\int _{P}s(x)\cdot \cos \left(2\pi {\tfrac {n}{P}}x\right)\,dx} _{A}+\sin(\varphi )\cdot \underbrace {{\tfrac {2}{P}}\int _{P}s(x)\cdot \sin \left(2\pi {\tfrac {n}{P}}x\right)\,dx} _{B}\\&=\cos(\varphi )\cdot A+\sin(\varphi )\cdot B\end{aligned}}}
4530:
8031:
12079:
11877:
11572:
6583:
30589:
12310:
2269:
22147:
21419:
5822:
11443:
7312:{\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {F}}^{-1}\{S(f)\}&=\int _{-\infty }^{\infty }\left(\sum _{n=-\infty }^{\infty }S\cdot \delta \left(f-{\frac {n}{P}}\right)\right)e^{i2\pi fx}\,df,\\&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }S\cdot \int _{-\infty }^{\infty }\delta \left(f-{\frac {n}{P}}\right)e^{i2\pi fx}\,df,\\&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }S\cdot e^{i2\pi {\tfrac {n}{P}}x}\ \ \triangleq \ s_{\infty }(x).\end{aligned}}}
185:
20056:{\displaystyle {\begin{aligned}h^{\mathrm {two} }(m_{1},m_{2},x_{3})&\triangleq {\frac {1}{a_{2}}}\int _{0}^{a_{2}}h^{\mathrm {one} }(m_{1},x_{2},x_{3})\cdot e^{-i2\pi {\tfrac {m_{2}}{a_{2}}}x_{2}}\,dx_{2}\\&={\frac {1}{a_{2}}}\int _{0}^{a_{2}}dx_{2}{\frac {1}{a_{1}}}\int _{0}^{a_{1}}dx_{1}g(x_{1},x_{2},x_{3})\cdot e^{-i2\pi \left({\tfrac {m_{1}}{a_{1}}}x_{1}+{\tfrac {m_{2}}{a_{2}}}x_{2}\right)}\end{aligned}}}
22691:
3394:{\displaystyle {\begin{aligned}\cos \left(2\pi {\tfrac {n}{P}}x-\varphi _{n}\right)&{}\equiv {\tfrac {1}{2}}e^{i\left(2\pi {\tfrac {n}{P}}x-\varphi _{n}\right)}+{\tfrac {1}{2}}e^{-i\left(2\pi {\tfrac {n}{P}}x-\varphi _{n}\right)}\\&=\left({\tfrac {1}{2}}e^{-i\varphi _{n}}\right)\cdot e^{i2\pi {\tfrac {+n}{P}}x}+\left({\tfrac {1}{2}}e^{-i\varphi _{n}}\right)^{*}\cdot e^{i2\pi {\tfrac {-n}{P}}x}\end{aligned}}}
9641:
7364:
23801:{\displaystyle {\begin{vmatrix}{\dfrac {\partial x_{1}}{\partial x}}&{\dfrac {\partial x_{1}}{\partial y}}&{\dfrac {\partial x_{1}}{\partial z}}\\{\dfrac {\partial x_{2}}{\partial x}}&{\dfrac {\partial x_{2}}{\partial y}}&{\dfrac {\partial x_{2}}{\partial z}}\\{\dfrac {\partial x_{3}}{\partial x}}&{\dfrac {\partial x_{3}}{\partial y}}&{\dfrac {\partial x_{3}}{\partial z}}\end{vmatrix}}}
218:
16818:
7662:
8420:
21035:
6365:
1966:
1727:
21749:
3663:
6220:{\displaystyle {\begin{aligned}D_{n}\triangleq \mathrm {X} _{n}(\varphi _{n})\ &=\cos(\varphi _{n})\cdot A_{n}+\sin(\varphi _{n})\cdot B_{n}\\&={\frac {A_{n}}{\sqrt {A_{n}^{2}+B_{n}^{2}}}}\cdot A_{n}+{\frac {B_{n}}{\sqrt {A_{n}^{2}+B_{n}^{2}}}}\cdot B_{n}={\frac {A_{n}^{2}+B_{n}^{2}}{\sqrt {A_{n}^{2}+B_{n}^{2}}}}&={\sqrt {A_{n}^{2}+B_{n}^{2}}}.\end{aligned}}}
20380:
11041:
11217:
22509:{\displaystyle \mathbf {G} \cdot \mathbf {r} =\left(m_{1}\mathbf {g} _{1}+m_{2}\mathbf {g} _{2}+m_{3}\mathbf {g} _{3}\right)\cdot \left(x_{1}{\frac {\mathbf {a} _{1}}{a_{1}}}+x_{2}{\frac {\mathbf {a} _{2}}{a_{2}}}+x_{3}{\frac {\mathbf {a} _{3}}{a_{3}}}\right)=2\pi \left(x_{1}{\frac {m_{1}}{a_{1}}}+x_{2}{\frac {m_{2}}{a_{2}}}+x_{3}{\frac {m_{3}}{a_{3}}}\right).}
17658:
9340:
25179:
1460:
5721:
18543:
23033:{\displaystyle h(\mathbf {G} )={\frac {1}{a_{3}}}\int _{0}^{a_{3}}dx_{3}\,{\frac {1}{a_{2}}}\int _{0}^{a_{2}}dx_{2}\,{\frac {1}{a_{1}}}\int _{0}^{a_{1}}dx_{1}\,f\left(x_{1}{\frac {\mathbf {a} _{1}}{a_{1}}}+x_{2}{\frac {\mathbf {a} _{2}}{a_{2}}}+x_{3}{\frac {\mathbf {a} _{3}}{a_{3}}}\right)\cdot e^{-i\mathbf {G} \cdot \mathbf {r} }.}
11765:
3889:
24532:
7453:
8026:{\displaystyle {\begin{aligned}A_{n}&={\frac {1}{\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }s(x)\cos(nx)\,dx=0,\quad n\geq 0.\\B_{n}&={\frac {1}{\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }s(x)\sin(nx)\,dx\\&=-{\frac {2}{\pi n}}\cos(n\pi )+{\frac {2}{\pi ^{2}n^{2}}}\sin(n\pi )\\&={\frac {2\,(-1)^{n+1}}{\pi n}},\quad n\geq 1.\end{aligned}}}
6578:{\displaystyle {\begin{aligned}s(x)&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\widehat {s}}(n)\cdot e^{i2\pi {\tfrac {n}{P}}x}&&\scriptstyle {\text{common mathematics notation}}\\&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }S\cdot e^{i2\pi {\tfrac {n}{P}}x}&&\scriptstyle {\text{common engineering notation}}\end{aligned}}}
21426:
8117:
19317:
2264:{\displaystyle {\begin{aligned}A_{0}&={\frac {1}{P}}\int _{P}s(x)\,dx\\A_{n}&={\frac {2}{P}}\int _{P}s(x)\cos \left(2\pi {\tfrac {n}{P}}x\right)\,dx\qquad {\text{for }}n\geq 1\qquad \\B_{n}&={\frac {2}{P}}\int _{P}s(x)\sin \left(2\pi {\tfrac {n}{P}}x\right)dx,\qquad {\text{for }}n\geq 1\end{aligned}}}
20088:
11202:
1493:
21414:{\displaystyle g(x_{1},x_{2},x_{3})=\sum _{m_{1}=-\infty }^{\infty }\sum _{m_{2}=-\infty }^{\infty }\sum _{m_{3}=-\infty }^{\infty }h^{\mathrm {three} }(m_{1},m_{2},m_{3})\cdot e^{i2\pi {\tfrac {m_{1}}{a_{1}}}x_{1}}\cdot e^{i2\pi {\tfrac {m_{2}}{a_{2}}}x_{2}}\cdot e^{i2\pi {\tfrac {m_{3}}{a_{3}}}x_{3}}}
4533:
Fig 2. The blue curve is the cross-correlation of a square wave and a cosine function, as the phase lag of the cosine varies over one cycle. The amplitude and phase lag at the maximum value are the polar coordinates of one harmonic in the
Fourier series expansion of the square wave. The corresponding
17380:
3441:
29127:
These words are not strictly
Fourier's. Whilst the cited article does list the author as Fourier, a footnote indicates that the article was actually written by Poisson (that it was not written by Fourier is also clear from the consistent use of the third person to refer to him) and that it is, "for
25522:
391:
Since
Fourier's time, many different approaches to defining and understanding the concept of Fourier series have been discovered, all of which are consistent with one another, but each of which emphasizes different aspects of the topic. Some of the more powerful and elegant approaches are based on
25739:
23206:
11438:{\displaystyle {\begin{aligned}A_{0}=&{\frac {A}{\pi }}\\A_{n}=&{\begin{cases}{\frac {-2A}{\pi }}{\frac {1}{n^{2}-1}}&\quad n{\text{ even}}\\0&\quad n{\text{ odd}}\end{cases}}\\B_{n}=&{\begin{cases}{\frac {A}{2}}&\quad n=1\\0&\quad n>1\end{cases}}\\\end{aligned}}}
8724:
191:
A square wave (represented as the blue dot) is approximated by its sixth partial sum (represented as the purple dot), formed by summing the first six terms (represented as arrows) of the square wave's
Fourier series. Each arrow starts at the vertical sum of all the arrows to its left (i.e. the
908:
19530:
10863:
1229:
Clearly these series can represent functions that are just a sum of one or more of the harmonic frequencies. The remarkable thing is that it can also represent the intermediate frequencies and/or non-sinusoidal functions because of the infinite number of terms. The amplitude-phase form is
28423:
8709:
24266:
18121:
8884:
Although the original motivation was to solve the heat equation, it later became obvious that the same techniques could be applied to a wide array of mathematical and physical problems, and especially those involving linear differential equations with constant coefficients, for which the
4728:
28818:
11566:
18336:
148:. This application is possible because the derivatives of trigonometric functions fall into simple patterns. Fourier series cannot be used to approximate arbitrary functions, because most functions have infinitely many terms in their Fourier series, and the series do not always
1262:
10739:
24385:
140:, but not all trigonometric series are Fourier series. By expressing a function as a sum of sines and cosines, many problems involving the function become easier to analyze because trigonometric functions are well understood. For example, Fourier series were first used by
12439:
25941:
9636:{\displaystyle {\begin{aligned}a_{k}&=\int _{-1}^{1}\varphi (y)\cos(2k+1){\frac {\pi y}{2}}\,dy\\&=\int _{-1}^{1}\left(a\cos {\frac {\pi y}{2}}\cos(2k+1){\frac {\pi y}{2}}+a'\cos 3{\frac {\pi y}{2}}\cos(2k+1){\frac {\pi y}{2}}+\cdots \right)\,dy\end{aligned}}}
9080:
5566:
8739:
27360:
11992:
18936:
12189:
11581:
9798:, Fourier believed that such trigonometric series could represent any arbitrary function. In what sense that is actually true is a somewhat subtle issue and the attempts over many years to clarify this idea have led to important discoveries in the theories of
4040:
2971:
19086:
3694:
22684:
25016:
10269:
6733:
23909:
697:
8415:{\displaystyle {\begin{aligned}s(x)&={\frac {a_{0}}{2}}+\sum _{n=1}^{\infty }\left\\&={\frac {2}{\pi }}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n}}\sin(nx),\quad \mathrm {for} \ (x-\pi )\ {\text{is not a multiple of}}\ 2\pi .\end{aligned}}}
12304:
14916:
10848:
7651:
198:
25306:
25526:
23045:
21852:
17788:
19324:
15724:
11054:
1722:{\displaystyle {\begin{aligned}&A_{n}=D_{n}\cos(\varphi _{n})\quad {\text{and}}\quad B_{n}=D_{n}\sin(\varphi _{n})\\\\&D_{n}={\sqrt {A_{n}^{2}+B_{n}^{2}}}\quad {\text{and}}\quad \varphi _{n}=\arctan(B_{n},A_{n}).\end{aligned}}}
16931:. Since Fourier arrived at his basis by attempting to solve the heat equation, the natural generalization is to use the eigensolutions of the Laplace–Beltrami operator as a basis. This generalizes Fourier series to spaces of the type
21744:{\displaystyle g(x_{1},x_{2},x_{3})=\sum _{m_{1},m_{2},m_{3}\in \mathbb {Z} }h^{\mathrm {three} }(m_{1},m_{2},m_{3})\cdot e^{i2\pi \left({\tfrac {m_{1}}{a_{1}}}x_{1}+{\tfrac {m_{2}}{a_{2}}}x_{2}+{\tfrac {m_{3}}{a_{3}}}x_{3}\right)}.}
24098:
17984:
17955:, we could make a Fourier series of it. This kind of function can be, for example, the effective potential that one electron "feels" inside a periodic crystal. It is useful to make the Fourier series of the potential when applying
4317:
3658:{\displaystyle C_{n}\triangleq \left\{{\begin{array}{lll}A_{0},\quad &&n=0\\{\tfrac {D_{n}}{2}}e^{-i\varphi _{n}}&={\tfrac {1}{2}}(A_{n}-iB_{n}),\quad &n>0\\C_{|n|}^{*},\quad &&n<0\end{array}}\right\}}
13919:, there are four components, denoted below by the subscripts RE, RO, IE, and IO. And there is a one-to-one mapping between the four components of a complex time function and the four components of its complex frequency transform:
8536:
applications, the
Fourier series is generally assumed to converge except at jump discontinuities since the functions encountered in engineering are better-behaved than functions encountered in other disciplines. In particular, if
16770:
One of the interesting properties of the
Fourier transform which we have mentioned, is that it carries convolutions to pointwise products. If that is the property which we seek to preserve, one can produce Fourier series on any
20375:{\displaystyle g(x_{1},x_{2},x_{3})=\sum _{m_{1}=-\infty }^{\infty }\sum _{m_{2}=-\infty }^{\infty }h^{\mathrm {two} }(m_{1},m_{2},x_{3})\cdot e^{i2\pi {\tfrac {m_{1}}{a_{1}}}x_{1}}\cdot e^{i2\pi {\tfrac {m_{2}}{a_{2}}}x_{2}}}
11036:{\displaystyle {\begin{aligned}A_{0}=&{\frac {2A}{\pi }}\\A_{n}=&{\begin{cases}{\frac {-4A}{\pi }}{\frac {1}{n^{2}-1}}&\quad n{\text{ even}}\\0&\quad n{\text{ odd}}\end{cases}}\\B_{n}=&0\\\end{aligned}}}
9307:
24679:
7542:
727:
25173:
1046:
28255:
18299:
26435:
26284:
8838:. Prior to Fourier's work, no solution to the heat equation was known in the general case, although particular solutions were known if the heat source behaved in a simple way, in particular, if the heat source was a
4545:
21974:
17653:{\displaystyle {\begin{aligned}f(x,y)&=\sum _{j,k\in \mathbb {Z} }c_{j,k}e^{ijx}e^{iky},\\c_{j,k}&={\frac {1}{4\pi ^{2}}}\int _{-\pi }^{\pi }\int _{-\pi }^{\pi }f(x,y)e^{-ijx}e^{-iky}\,dx\,dy.\end{aligned}}}
9736:
28169:
26802:
7667:
28650:
12073:
28024:
in which he gave an example of a
Lebesgue-integrable function whose Fourier series diverges almost everywhere. He later constructed an example of an integrable function whose Fourier series diverges everywhere.
25757:
27890:
11871:
15469:
11456:
8823:. Early ideas of decomposing a periodic function into the sum of simple oscillating functions date back to the 3rd century BC, when ancient astronomers proposed an empiric model of planetary motions, based on
6890:
25298:
This corresponds exactly to the complex exponential formulation given above. The version with sines and cosines is also justified with the
Hilbert space interpretation. Indeed, the sines and cosines form an
15070:
1455:{\displaystyle \cos \left(2\pi {\tfrac {n}{P}}x-\varphi _{n}\right)\ \equiv \ \cos(\varphi _{n})\cdot \cos \left(2\pi {\tfrac {n}{P}}x\right)+\sin(\varphi _{n})\cdot \sin \left(2\pi {\tfrac {n}{P}}x\right)}
24767:
18693:
2727:
29091:
17953:
20392:
19542:
17385:
16544:
10648:
8122:
2999:
9831:...the manner in which the author arrives at these equations is not exempt of difficulties and...his analysis to integrate them still leaves something to be desired on the score of generality and even
26703:
28827:
th wave before returning to around zero, showing that the series does not converge at zero but reaches higher and higher peaks. Note that though the function is continuous, it is not differentiable.
13821:
13709:
12319:
16403:
14996:
22600:
22595:
8939:
5716:{\displaystyle \mathrm {X} '_{n}(\varphi )=\sin(\varphi )\cdot A-\cos(\varphi )\cdot B=0\quad \longrightarrow \quad \tan(\varphi )={\frac {B}{A}}\quad \longrightarrow \quad \varphi =\arctan(B,A)}
28244:
18538:{\displaystyle g(x_{1},x_{2},x_{3})\triangleq f(\mathbf {r} )=f\left(x_{1}{\frac {\mathbf {a} _{1}}{a_{1}}}+x_{2}{\frac {\mathbf {a} _{2}}{a_{2}}}+x_{3}{\frac {\mathbf {a} _{3}}{a_{3}}}\right).}
18176:
12324:
12093:
11891:
11586:
11222:
10868:
10653:
9345:
6370:
5827:
5061:
3699:
1971:
1498:
23811:
13539:
11760:{\displaystyle {\begin{aligned}A_{0}=&AD\\A_{n}=&{\frac {A}{n\pi }}\sin \left(2\pi nD\right)\\B_{n}=&{\frac {2A}{n\pi }}\left(\sin \left(\pi nD\right)\right)^{2}\\\end{aligned}}}
27203:
13410:
11886:
15869:
12088:
4204:
4156:
3884:{\displaystyle {\begin{aligned}A_{0}&=C_{0}&\\A_{n}&=C_{n}+C_{-n}\qquad &{\textrm {for}}~n>0\\B_{n}&=i(C_{n}-C_{-n})\qquad &{\textrm {for}}~n>0\end{aligned}}}
24527:{\displaystyle h(\mathbf {G} )={\frac {1}{\mathbf {a} _{1}\cdot (\mathbf {a} _{2}\times \mathbf {a} _{3})}}\int _{C}d\mathbf {r} f(\mathbf {r} )\cdot e^{-i\mathbf {G} \cdot \mathbf {r} }}
9138:
175:, which means studying the behavior of the sum as more and more terms from the series are summed. The figures below illustrate some partial Fourier series results for the components of a
13254:
13130:
3920:
2842:
516:
28487:
14683:
5558:
2623:
2318:
16627:
14631:
27511:
16450:
16204:
13583:
13454:
13330:
15996:
13201:
12740:
9894:
9314:
8791:
4836:
14579:
10340:
26590:
17696:
16711:
13901:
13745:
451:
29017:
27681:
18607:
16247:
15608:
8811:
introduced
Fourier analysis, specifically Fourier series. Through Fourier's research the fact was established that an arbitrary (at first, continuous and later generalized to any
26120:
26078:
16063:
15907:
12832:
27037:
24909:
15815:
15365:
10113:
6629:
544:. The function can be analyzed over this interval to produce the Fourier series in the bottom graph. The Fourier series is always a periodic function, even if original function
18991:
12797:
10571:
6325:
2543:
563:
25292:
24093:
24064:
24035:
24006:
23973:
23940:
21908:
18328:
18232:
17844:
9986:
386:
24299:
17875:
12201:
6833:
4440:
2652:
1203:
1147:
28586:
27759:
22072:
22010:
16310:
10753:
7548:
6873:
28535:
27158:
25182:
Sines and cosines form an orthogonal set, as illustrated above. The integral of sine, cosine and their product is zero (green and red areas are equal, and cancel out) when
24557:
19312:{\displaystyle h^{\mathrm {one} }(m_{1},x_{2},x_{3})\triangleq {\frac {1}{a_{1}}}\int _{0}^{a_{1}}g(x_{1},x_{2},x_{3})\cdot e^{-i2\pi {\tfrac {m_{1}}{a_{1}}}x_{1}}\,dx_{1}}
16156:
15112:
14785:
11798:
9773:
5033:
4794:
1868:
The coefficients can be given/assumed, such as a music synthesizer or time samples of a waveform. In the latter case, the exponential form of
Fourier series synthesizes a
1864:
27063:
22142:
22120:
17979:
17897:
17266:
16653:
16109:
7447:
5811:
4378:
326:
27538:
27390:
27131:
26929:
10053:
8699:. It is possible to define Fourier coefficients for more general functions or distributions, in which case point wise convergence often fails, and convergence in norm or
7412:
24594:
15595:
13635:
4957:
13040:
12506:
2428:
26985:
26882:
26489:
25052:
17141:
17105:
16965:
15274:
15241:
14757:
12951:
10105:
2825:
258:
28005:
Since Fourier series have such good convergence properties, many are often surprised by some of the negative results. For example, the Fourier series of a continuous
27183:
26016:
24822:
22098:
17375:
16745:
16570:
16272:
15958:
15154:
11197:{\displaystyle s(x)={\begin{cases}A\sin \left({\frac {2\pi }{P}}x\right)&\quad {\text{for }}0\leq x<P/2\\0&\quad {\text{for }}P/2\leq x<P\\\end{cases}}}
2792:
28642:
27655:
12571:
10404:
10012:
8494:
8464:
27991:
27616:
27437:
25084:
24380:
24353:
24326:
23488:
23461:
23434:
23347:
23320:
23293:
21879:
21760:
19081:
19054:
18688:
18661:
18634:
18203:
17815:
13077:
12991:
12872:
6260:
5778:
5751:
4931:
4351:
1931:
1834:
1800:
1773:
353:
26538:
10637:
10600:
10496:
10369:
9918:
9196:
9167:
8633:
8584:
8063:
7349:
4986:
4911:
4411:
4108:
2572:
2347:
287:
28612:
22036:
13865:
12616:
4862:
2753:
424:
created by a summation of harmonically related sinusoidal functions. It has several different, but equivalent, forms, shown here as partial sums. But in theory
15335:
12659:
6285:
4463:
2390:
1087:
478:
27960:
27940:
27920:
27721:
27701:
27589:
27558:
27457:
27410:
27087:
26949:
26902:
26846:
26610:
26509:
26311:
26036:
25961:
25260:
25240:
25220:
25200:
24901:
24881:
24614:
23407:
23387:
23367:
23266:
23246:
23226:
21030:
20083:
19011:
17319:
17299:
17236:
17181:
17161:
17040:
16985:
16929:
16909:
16874:
16330:
16129:
16083:
16025:
15744:
15533:
15513:
15489:
15303:
15208:
15174:
14777:
14721:
14514:
12905:
12636:
12526:
10516:
10424:
10073:
8604:
8555:
8103:
8083:
6796:
6776:
6756:
6606:
6354:
5006:
4882:
4518:
2592:
2367:
1951:
1890:
1223:
1167:
1107:
30471:
29028:
Since the integral defining the Fourier transform of a periodic function is not convergent, it is necessary to view the periodic function and its transform as
25262:
are equal, and the function used is the same. They would form an orthonormal set, if the integral equaled 1 (that is, each function would need to be scaled by
24857:
17216:
17020:
8730:
Four partial sums (Fourier series) of lengths 1, 2, 3, and 4 terms, showing how the approximation to a sawtooth wave improves as the number of terms increases
8689:
6262:
is inadequate for discussing the Fourier coefficients of several different functions. Therefore, it is customarily replaced by a modified form of the function
2511:
2479:
4209:
26708:
8715:
Four partial sums (Fourier series) of lengths 1, 2, 3, and 4 terms, showing how the approximation to a square wave improves as the number of terms increases
25517:{\displaystyle \int _{-\pi }^{\pi }\cos(mx)\,\cos(nx)\,dx={\frac {1}{2}}\int _{-\pi }^{\pi }\cos((n-m)x)+\cos((n+m)x)\,dx=\pi \delta _{mn},\quad m,n\geq 1,}
17662:
Aside from being useful for solving partial differential equations such as the heat equation, one notable application of Fourier series on the square is in
25734:{\displaystyle \int _{-\pi }^{\pi }\sin(mx)\,\sin(nx)\,dx={\frac {1}{2}}\int _{-\pi }^{\pi }\cos((n-m)x)-\cos((n+m)x)\,dx=\pi \delta _{mn},\quad m,n\geq 1}
23201:{\displaystyle \mathbf {r} =(x,y,z)=x_{1}{\frac {\mathbf {a} _{1}}{a_{1}}}+x_{2}{\frac {\mathbf {a} _{2}}{a_{2}}}+x_{3}{\frac {\mathbf {a} _{3}}{a_{3}}},}
15376:
9337:) for any function which has such an expansion. It works because if φ has such an expansion, then (under suitable convergence assumptions) the integral
29414:
Mascre, D.; Riemann, Bernhard (1867), "Posthumous Thesis on the Representation of Functions by Trigonometric Series", in Grattan-Guinness, Ivor (ed.),
903:{\displaystyle s_{_{N}}(x)=A_{0}+\sum _{n=1}^{N}\left(A_{n}\cos \left(2\pi {\tfrac {n}{P}}x\right)+B_{n}\sin \left(2\pi {\tfrac {n}{P}}x\right)\right)}
29341:
28028:
It is possible to give explicit examples of a continuous function whose Fourier series diverges at 0: for instance, the even and 2π-periodic function
19525:{\displaystyle g(x_{1},x_{2},x_{3})=\sum _{m_{1}=-\infty }^{\infty }h^{\mathrm {one} }(m_{1},x_{2},x_{3})\cdot e^{i2\pi {\tfrac {m_{1}}{a_{1}}}x_{1}}}
9896:, so it is not immediately apparent why one would need the Fourier series. While there are many applications, Fourier's motivation was in solving the
9203:
24619:
24008:
has components of all three axes). The denominator is exactly the volume of the primitive unit cell which is enclosed by the three primitive-vectors
28418:{\displaystyle C_{m}={\frac {1}{\pi }}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}\left\{{\frac {2}{2^{n^{3}}+1-2m}}+{\frac {2}{2^{n^{3}}+1+2m}}\right\}}
23913:(it may be advantageous for the sake of simplifying calculations, to work in such a rectangular coordinate system, in which it just so happens that
7469:
25095:
938:
24261:{\displaystyle dx_{1}\,dx_{2}\,dx_{3}={\frac {a_{1}a_{2}a_{3}}{\mathbf {a} _{1}\cdot (\mathbf {a} _{2}\times \mathbf {a} _{3})}}\cdot dx\,dy\,dz.}
18116:{\displaystyle \mathbf {r} =x_{1}{\frac {\mathbf {a} _{1}}{a_{1}}}+x_{2}{\frac {\mathbf {a} _{2}}{a_{2}}}+x_{3}{\frac {\mathbf {a} _{3}}{a_{3}}},}
4723:{\displaystyle \mathrm {X} _{f}(\tau )={\tfrac {2}{P}}\int _{x_{0}}^{x_{0}+P}s(x)\cdot \cos \left(2\pi f(x-\tau )\right)\,dx;\quad \tau \in \left}
18237:
29220:
26322:
26171:
30114:
28813:{\displaystyle {\frac {1}{n^{2}\pi }}\sum _{k=0}^{2^{n^{3}}/2}{\frac {2}{2k+1}}\sim {\frac {1}{n^{2}\pi }}\ln 2^{n^{3}}={\frac {n}{\pi }}\ln 2}
26615:
21913:
9646:
30461:
28042:
9988:. If there is no heat source within the plate, and if three of the four sides are held at 0 degrees Celsius, while the fourth side, given by
15185:
12455:
This table shows some mathematical operations in the time domain and the corresponding effect in the Fourier series coefficients. Notation:
30554:
12004:
11561:{\displaystyle s(x)={\begin{cases}A&\quad {\text{for }}0\leq x<D\cdot P\\0&\quad {\text{for }}D\cdot P\leq x<P\\\end{cases}}}
9782:
used in Fourier series, Fourier revolutionized both mathematics and physics. Although similar trigonometric series were previously used by
8497:
27767:
26818:
Because of the least squares property, and because of the completeness of the Fourier basis, we obtain an elementary convergence result.
13930:
11808:
10107:, then one can show that the stationary heat distribution (or the heat distribution after a long period of time has elapsed) is given by
30042:
26148:
These theorems, and informal variations of them that don't specify the convergence conditions, are sometimes referred to generically as
18993:. In what follows, we use function notation to denote these coefficients, where previously we used subscripts. If we write a series for
29392:
17681:
For two-dimensional arrays with a staggered appearance, half of the Fourier series coefficients disappear, due to additional symmetry.
5035:
harmonic. It is also an example of deriving the maximum from just two samples, instead of searching the entire function. Combining
24702:
15001:
10734:{\displaystyle {\begin{aligned}&A_{0}\\&A_{n}\quad {\text{for }}n\geq 1\\&B_{n}\quad {\text{for }}n\geq 1\end{aligned}}}
30395:
2660:
29035:
17902:
16455:
156:
functions, have Fourier series that converge to the original function. The coefficients of the Fourier series are determined by
29525:
12434:{\displaystyle {\begin{aligned}A_{0}=&{\frac {A}{3}}\\A_{n}=&{\frac {4A}{\pi ^{2}n^{2}}}\\B_{n}=&0\\\end{aligned}}}
8847:
6612:
representation. Square brackets are often used to emphasize that the domain of this function is a discrete set of frequencies.
1241:
The equivalence of these forms requires certain relationships among the coefficients. For instance, the trigonometric identity
29685:
29339:[On the convergence of trigonometric series which serve to represent an arbitrary function between two given limits].
30405:
29930:
29776:
29749:
29722:
29695:
29636:
29507:
29262:
25936:{\displaystyle \int _{-\pi }^{\pi }\cos(mx)\,\sin(nx)\,dx={\frac {1}{2}}\int _{-\pi }^{\pi }\sin((n+m)x)+\sin((n-m)x)\,dx=0;}
13758:
9075:{\displaystyle \varphi (y)=a_{0}\cos {\frac {\pi y}{2}}+a_{1}\cos 3{\frac {\pi y}{2}}+a_{2}\cos 5{\frac {\pi y}{2}}+\cdots .}
302:
periodic. Periodic functions can be identified with functions on a circle; for this reason Fourier series are the subject of
29337:"Sur la convergence des séries trigonométriques qui servent à représenter une fonction arbitraire entre des limites données"
13641:
30069:
14934:
8815:-smooth) function can be represented by a trigonometric series. The first announcement of this great discovery was made by
2545:
because it simplifies the arguments of the sinusoid functions, at the expense of generality. And some authors assume that
59:
29712:
22521:
8731:
392:
mathematical ideas and tools that were not available in Fourier's time. Fourier originally defined the Fourier series for
29766:
29739:
28180:
18126:
15752:
14358:
14302:
8716:
30569:
30400:
30160:
30107:
29826:
29599:
29567:
27355:{\displaystyle \left(\sum _{n\neq 0}|S|\right)^{2}\leq \sum _{n\neq 0}{\frac {1}{n^{2}}}\cdot \sum _{n\neq 0}|nS|^{2}.}
11987:{\displaystyle {\begin{aligned}A_{0}=&{\frac {A}{2}}\\A_{n}=&0\\B_{n}=&{\frac {-A}{n\pi }}\\\end{aligned}}}
401:
74:
64:
18931:{\displaystyle g(x_{1},x_{2},x_{3})=g(x_{1}+a_{1},x_{2},x_{3})=g(x_{1},x_{2}+a_{2},x_{3})=g(x_{1},x_{2},x_{3}+a_{3}).}
16335:
12184:{\displaystyle {\begin{aligned}A_{0}=&{\frac {A}{2}}\\A_{n}=&0\\B_{n}=&{\frac {A}{n\pi }}\\\end{aligned}}}
4534:
rectangular coordinates can be determined by evaluating the cross-correlation at just two phase lags separated by 90º.
30549:
29994:
29970:
29875:
29856:
29801:
29480:
29451:
29425:
29230:
29203:
29178:
13469:
13345:
4035:{\displaystyle C_{n}={\frac {1}{P}}\int _{P}s(x)e^{-i2\pi {\tfrac {n}{P}}x}\,dx;\quad \forall \ n\in \mathbb {Z} \,}
2966:{\displaystyle A_{k}={\frac {2}{P}}\underbrace {\int _{P}\cos ^{2}\left(2\pi {\tfrac {k}{P}}x\right)\,dx} _{P/2}=1,}
30559:
15826:
8700:
4161:
4113:
29383:
9087:
30451:
30441:
29111:
28917:
24301:
as an integral with the traditional coordinate system over the volume of the primitive cell, instead of with the
23808:
which after some calculation and applying some non-trivial cross-product identities can be shown to be equal to:
23491:
13216:
13092:
1869:
483:
49:
28435:
15541:
5525:
2597:
2292:
29332:
28872:
16575:
14636:
8874:
27472:
16411:
16165:
14584:
13545:
13416:
13260:
30564:
30466:
30100:
30023:
28010:
27899:
27194:
26143:
26127:
22679:{\displaystyle f(\mathbf {r} )=\sum _{\mathbf {G} }h(\mathbf {G} )\cdot e^{i\mathbf {G} \cdot \mathbf {r} },}
17065:
16884:
15963:
13136:
12689:
9855:
9852:
The Fourier series expansion of the sawtooth function (above) looks more complicated than the simple formula
8865:
From a modern point of view, Fourier's results are somewhat informal, due to the lack of a precise notion of
8835:
8516:
4803:
168:
20:
18940:
This enables us to build up a set of Fourier coefficients, each being indexed by three independent integers
10466:
Some common pairs of periodic functions and their Fourier series coefficients are shown in the table below.
10287:
30592:
26543:
25011:{\displaystyle \langle f,\,g\rangle \;\triangleq \;{\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }f(x)g^{*}(x)\,dx,}
16658:
14523:
13871:
13715:
10264:{\displaystyle T(x,y)=2\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n}}\sin(nx){\sinh(ny) \over \sinh(n\pi )}.}
8816:
8766:
6728:{\displaystyle S(f)\ \triangleq \ \sum _{n=-\infty }^{\infty }S\cdot \delta \left(f-{\frac {n}{P}}\right),}
427:
28974:
27660:
23904:{\displaystyle {\frac {a_{1}a_{2}a_{3}}{\mathbf {a} _{1}\cdot (\mathbf {a} _{2}\times \mathbf {a} _{3})}}}
18550:
692:{\displaystyle s_{_{N}}(x)=D_{0}+\sum _{n=1}^{N}D_{n}\cos \left(2\pi {\tfrac {n}{P}}x-\varphi _{n}\right)}
30574:
30018:
26083:
26041:
16030:
15874:
12803:
7355:, even though the Fourier integral of a periodic function is not convergent at the harmonic frequencies.
29890:
Enrique A. Gonzalez-Velasco (1992). "Connections in Mathematical Analysis: The Case of Fourier Series".
26990:
15339:
12299:{\displaystyle s(x)={\frac {4A}{P^{2}}}\left(x-{\frac {P}{2}}\right)^{2}\quad {\text{for }}0\leq x<P}
30456:
29029:
28937:
28927:
28922:
28852:
18943:
17675:
16814:, which proves results about representations of compact groups analogous to those about finite groups.
14911:{\textstyle {\frac {1}{P}}\int _{P}|s(x)|^{2}\,dx=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\Bigl |}S{\Bigr |}^{2}.}
14686:
13916:
12746:
10843:{\displaystyle s(x)=A\left|\sin \left({\frac {2\pi }{P}}x\right)\right|\quad {\text{for }}0\leq x<P}
10523:
9787:
8778:
8636:
7646:{\displaystyle s(x+2\pi k)=s(x),\quad \mathrm {for} -\pi <x<\pi {\text{ and }}k\in \mathbb {Z} .}
6292:
2519:
260:(in red) is a Fourier series sum of 6 harmonically related sine waves (in blue). Its Fourier transform
54:
29114:, although the latter made some independent contributions to the theory of waves and vibrations. (See
25265:
24069:
24040:
24011:
23982:
23949:
23916:
21884:
18304:
18208:
17820:
9923:
362:
30446:
30436:
30426:
29882:
2003 unabridged republication of the 1878 English translation by Alexander Freeman of Fourier's work
28887:
24273:
23349:
in order to calculate the volume element in the original rectangular coordinate system. Once we have
17849:
17671:
16209:
8922:
8521:
A proof that a Fourier series is a valid representation of any periodic function (that satisfies the
6876:
6809:
4416:
2628:
1179:
1123:
30013:
28544:
27730:
22041:
21979:
16277:
11480:
11380:
11274:
11078:
10925:
6842:
30070:
Joseph Fourier – A site on Fourier's life which was used for the historical section of this article
28492:
27136:
26290:
24537:
16134:
15075:
11771:
9751:
5011:
4758:
1839:
30036:
29318:
27042:
22125:
22103:
17962:
17880:
17249:
16632:
16092:
7417:
5789:
4356:
309:
30618:
30613:
30541:
30363:
27516:
27368:
27092:
26907:
10017:
9779:
8855:
8820:
7374:
1807:
1803:
1252:
133:
24562:
13598:
8745:
Example of convergence to a somewhat arbitrary function. Note the development of the "ringing" (
4936:
30203:
30150:
28857:
16811:
16765:
13006:
12467:
10427:
9330:
8890:
8866:
2406:
29920:
29628:
29250:
28432:
increases, the coefficients will be positive and increasing until they reach a value of about
26954:
26851:
26461:
25021:
21847:{\displaystyle \mathbf {G} =m_{1}\mathbf {g} _{1}+m_{2}\mathbf {g} _{2}+m_{3}\mathbf {g} _{3}}
17783:{\displaystyle \mathbf {R} =n_{1}\mathbf {a} _{1}+n_{2}\mathbf {a} _{2}+n_{3}\mathbf {a} _{3}}
17110:
17074:
16934:
16856:
If the domain is not a group, then there is no intrinsically defined convolution. However, if
15246:
15213:
14726:
12920:
10078:
9822:
6615:
Another commonly used frequency domain representation uses the Fourier series coefficients to
2797:
227:
30410:
30155:
28842:
27564:
26445:
25970:
24776:
22077:
17324:
16724:
16549:
15912:
15719:{\displaystyle h_{_{P}}(x)\triangleq \int _{P}s_{_{P}}(\tau )\cdot r_{_{P}}(x-\tau )\,d\tau }
15117:
14698:
10447:
10443:
9826:
9814:
8824:
8692:
6836:
2764:
29370:
28862:
28617:
27621:
12535:
10374:
9991:
8473:
8443:
30521:
30358:
30127:
29984:
29471:
Analysis of Economic Time Series. Economic Theory, Econometrics, and Mathematical Economics
29375:
29094:
27969:
27594:
27415:
25057:
24358:
24331:
24304:
23466:
23439:
23412:
23325:
23298:
23271:
21857:
19059:
19016:
18666:
18639:
18612:
18181:
17793:
15600:
15492:
13046:
12957:
12845:
9795:
8770:
8760:
8522:
8466:, the Fourier series converges to 0, which is the half-sum of the left- and right-limit of
6238:
5756:
5729:
4916:
4329:
2397:
1904:
1812:
1778:
1751:
405:
331:
137:
26514:
16713:
tends to zero, which means that the Fourier coefficients converge to zero faster than the
10613:
10576:
10472:
10345:
9903:
9172:
9143:
8609:
8560:
8039:
7325:
4962:
4887:
4387:
4084:
2548:
2323:
298:, a more general tool that can even find the frequency information for functions that are
289:
is a frequency-domain representation that reveals the amplitudes of the summed sine waves.
263:
8:
30501:
30368:
29534:] (in French). Paris: Gauthier-Villars et Fils. pp. 218–219 – via Gallica.
28591:
27683:. More generally, the Fourier series is absolutely summable, thus converges uniformly to
27560:
22015:
17043:
16880:
16851:
13827:
12577:
9832:
4841:
2732:
1230:
particularly useful for its insight into the rationale for the series coefficients. (see
404:
have since been defined, extending his initial idea to many applications and birthing an
29312:
29128:
reasons of historical interest", presented as though it were Fourier's original memoire.
27724:
27163:
21757:
lattice vector can be written (but does not mean that it is the only way of writing) as
17060:
The generalization to compact groups discussed above does not generalize to noncompact,
16252:
15308:
12641:
9813:
When Fourier submitted a later competition essay in 1811, the committee (which included
6267:
4445:
4312:{\displaystyle s_{N}(x)=\operatorname {Re} (s_{N}(x))+i\ \operatorname {Im} (s_{N}(x)).}
2372:
1069:
460:
30431:
30342:
30327:
30299:
30279:
30218:
30086:
29907:
29616:
29469:
29350:
27945:
27925:
27905:
27706:
27686:
27574:
27543:
27442:
27395:
27072:
26934:
26887:
26831:
26595:
26494:
26296:
26021:
25946:
25245:
25225:
25205:
25185:
24886:
24866:
24599:
23392:
23372:
23352:
23251:
23231:
23211:
21015:
20068:
18996:
17956:
17304:
17284:
17221:
17166:
17146:
17055:
17025:
16970:
16914:
16894:
16859:
16830:
16315:
16114:
16068:
16010:
15729:
15518:
15498:
15474:
15279:
15193:
15159:
14926:
14762:
14706:
14499:
12878:
12621:
12511:
10501:
10409:
10058:
8851:
8589:
8540:
8088:
8068:
6781:
6761:
6741:
6591:
6330:
4991:
4867:
4468:
2983:
2577:
2352:
1936:
1875:
1234:) The exponential form is most easily generalized for complex-valued functions. (see
1208:
1152:
1092:
29279:
28903:
transforms a Fourier series into a Laurent series, or conversely. This is used in the
24827:
17186:
16990:
16795:
to pointwise products. The Fourier series exists and converges in similar ways to the
10573:
designate the Fourier series coefficients (sine-cosine form) of the periodic function
8642:
2484:
2433:
19:"Fourier's theorem" redirects here. For the number of real roots of a polynomial, see
30531:
30332:
30304:
30258:
30248:
30228:
30213:
30052:
29990:
29966:
29959:
29926:
29871:
29852:
29822:
29797:
29772:
29745:
29718:
29691:
29632:
29621:
29595:
29563:
29503:
29476:
29447:
29421:
29258:
29226:
29199:
29174:
28877:
28017:
27994:
27186:
25178:
24770:
17663:
17243:
17061:
12459:
10278:
function. This solution of the heat equation is obtained by multiplying each term of
9807:
9799:
8914:
8906:
8696:
4797:
4521:
4381:
3409:
1248:
421:
295:
149:
129:
39:
29:
29495:
17042:
to be the sphere with the usual metric, in which case the Fourier basis consists of
30516:
30337:
30263:
30253:
30233:
30135:
30055:
29899:
29387:
29107:
28882:
28867:
28847:
27963:
26813:
17239:
16888:
16847:
16779:
that are compact. This generalizes the Fourier transform to all spaces of the form
9900:. For example, consider a metal plate in the shape of a square whose sides measure
9791:
8910:
8878:
8782:
8746:
6609:
3463:
409:
356:
303:
125:
92:
69:
27902:
are known, ranging from the moderately simple result that the series converges at
27392:
is absolutely summable. The sum of this series is a continuous function, equal to
13915:
When the real and imaginary parts of a complex function are decomposed into their
8586:(which may not exist everywhere) is square integrable, then the Fourier series of
2396:
functions typical of physical processes, equality is customarily assumed, and the
30294:
30223:
30073:
29441:
29415:
28942:
28932:
27190:
25751:
25300:
17877:, such that it obeys the condition of periodicity for any Bravais lattice vector
17690:
16887:. The Laplace–Beltrami operator is the differential operator that corresponds to
16776:
15820:
10275:
397:
26131:
17183:
is compact, one also obtains a Fourier series, which converges similarly to the
9302:{\displaystyle a_{k}=\int _{-1}^{1}\varphi (y)\cos(2k+1){\frac {\pi y}{2}}\,dy.}
1089:
which is also the number of cycles the corresponding sinusoids make in interval
30511:
30506:
30185:
30170:
29980:
29865:
29308:
29246:
29154:
28892:
24674:{\displaystyle \mathbf {a} _{1}\cdot (\mathbf {a} _{2}\times \mathbf {a} _{3})}
16822:
14146:
14123:
14100:
14077:
14060:
10430:. This method of solving the heat problem was made possible by Fourier's work.
9803:
8850:. Fourier's idea was to model a complicated heat source as a superposition (or
8774:
4749:
141:
29672:
29373:[About the representability of a function by a trigonometric series].
29336:
16987:
is a Riemannian manifold. The Fourier series converges in ways similar to the
11207:
7537:{\displaystyle s(x)={\frac {x}{\pi }},\quad \mathrm {for} -\pi <x<\pi ,}
524:
30607:
30491:
30165:
25168:{\displaystyle f=\sum _{n=-\infty }^{\infty }\langle f,e_{n}\rangle \,e_{n}.}
24860:
24696:
24690:
16877:
16772:
16757:
15186:
Convolution theorem § Periodic convolution (Fourier series coefficients)
14328:. Conversely, an even-symmetric transform implies a real-valued time-domain.
10439:
10371:
seems to have a needlessly complicated Fourier series, the heat distribution
9897:
8859:
8831:
8786:
8504:
7452:
7368:
1041:{\displaystyle s_{_{N}}(x)=\sum _{n=-N}^{N}C_{n}\ e^{i2\pi {\tfrac {n}{P}}x}}
145:
29371:"Ueber die Darstellbarkeit einer Function durch eine trigonometrische Reihe"
29149:
30496:
30238:
30180:
30035:
30031:
29954:
29198:(1st ed.). Cambridge, UK: Cambridge University Press. pp. 42–44.
25943:
furthermore, the sines and cosines are orthogonal to the constant function
18294:{\displaystyle {\hat {\mathbf {a} _{i}}}={\frac {\mathbf {a} _{i}}{a_{i}}}}
8918:
2393:
29379:
26430:{\displaystyle p_{_{N}}(x)=\sum _{n=-N}^{N}p\ e^{i2\pi {\tfrac {n}{P}}x}.}
26279:{\displaystyle s_{_{N}}(x)=\sum _{n=-N}^{N}S\ e^{i2\pi {\tfrac {n}{P}}x},}
10853:
9844:
8526:
30243:
30190:
29939:
28908:
28837:
16792:
8894:
8862:. This superposition or linear combination is called the Fourier series.
8533:
393:
205:
176:
16:
Decomposition of periodic functions into sums of simpler sinusoidal forms
26137:
21969:{\displaystyle \mathbf {g_{i}} \cdot \mathbf {a_{j}} =2\pi \delta _{ij}}
17846:
are three linearly independent vectors. Assuming we have some function,
9731:{\displaystyle \cos(2j+1){\frac {\pi y}{2}}\cos(2k+1){\frac {\pi y}{2}}}
4043:
30092:
30082:
29911:
29653:"Characterizations of a linear subspace associated with Fourier series"
28174:
Because the function is even the Fourier series contains only cosines:
28164:{\displaystyle f(x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}\sin \left.}
26797:{\displaystyle \|g\|_{2}={\sqrt {{1 \over P}\int _{P}|g(x)|^{2}\,dx}}.}
14517:
6620:
6616:
4529:
1117:
153:
29946:. Mathsci Press Brookline, Mass, 1979. Translated by M. Ackerman from
18609:, is now a function of three-variables, each of which has periodicity
17684:
12078:
11876:
11571:
2430:
represents integration over the chosen interval. Typical choices are
30175:
30081:
This article incorporates material from example of Fourier series on
30060:
29556:
Mathematische Formelsammlung: für Ingenieure und Naturwissenschaftler
29289:. Department of Applied Mathematics, Illinois Institute of Technology
26130:, but follows also from the properties of classical kernels like the
25089:
The basic Fourier series result for Hilbert spaces can be written as
17281:
We can also define the Fourier series for functions of two variables
16826:
16791:
is a compact group, in such a way that the Fourier transform carries
16761:
12309:
12068:{\displaystyle s(x)=A-{\frac {Ax}{P}}\quad {\text{for }}0\leq x<P}
8898:
8886:
8812:
6803:
1173:
29903:
23506:
1895:
But typically the coefficients are determined by frequency/harmonic
160:
of the function multiplied by trigonometric functions, described in
30123:
29652:
29623:
Digital Signal Processing: Principles, Algorithms, and Applications
29251:"Logic and the philosophy of mathematics in the nineteenth century"
27885:{\displaystyle \sup _{x}|s(x)-s_{_{N}}(x)|\leq \sum _{|n|>N}|S|}
27185:. Since the derivative is continuous, and therefore bounded, it is
11866:{\displaystyle s(x)={\frac {Ax}{P}}\quad {\text{for }}0\leq x<P}
8870:
157:
29846:
29355:
15464:{\displaystyle h_{_{P}}(x)\triangleq s_{_{P}}(x)\cdot r_{_{P}}(x)}
8881:
expressed Fourier's results with greater precision and formality.
29948:
Vorlesungen über die Entwicklung der Mathematik im 19 Jahrhundert
29796:(2nd corrected ed.). New York, NY: Dover Publications, Inc.
29257:. Vol. VII: The Nineteenth Century. Routledge. p. 204.
9818:
7456:
Animated plot of the first five successive partial Fourier series
27966:'s much more sophisticated result that the Fourier series of an
22144:
in the original Bravais lattice space, their scalar product is:
15491:-periodic, and its Fourier series coefficients are given by the
12618:
designate the Fourier series coefficients (exponential form) of
101:
20384:
Finally applying the same for the third coordinate, we define:
16834:
15065:{\textstyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }|c_{n}|^{2}<\infty }
9315:
Mémoire sur la propagation de la chaleur dans les corps solides
8902:
8843:
8792:
Mémoire sur la propagation de la chaleur dans les corps solides
8785:. Fourier introduced the series for the purpose of solving the
29673:
Vanishing of Half the Fourier Coefficients in Staggered Arrays
29110:, especially D'Alembert. Euler's work in this area was mostly
24762:{\displaystyle \left\{e_{n}=e^{inx}:n\in \mathbb {Z} \right\}}
8769:(1768–1830), who made important contributions to the study of
7363:
116:
29849:
Elementary Differential Equations and Boundary Value Problems
26126:= 1,2,.... The density of their span is a consequence of the
9783:
8789:
in a metal plate, publishing his initial results in his 1807
6799:
2722:{\displaystyle s(x)=\cos \left(2\pi {\tfrac {k}{P}}x\right).}
29524:
Fourier, Jean-Baptiste-Joseph (1888). Gaston Darboux (ed.).
29467:
Nerlove, Marc; Grether, David M.; Carvalho, Jose L. (1995).
29086:{\displaystyle {\mathcal {F}}\{e^{i2\pi {\tfrac {n}{P}}x}\}}
17948:{\displaystyle f(\mathbf {r} )=f(\mathbf {R} +\mathbf {r} )}
16817:
14277:
From this, various relationships are apparent, for example:
8527:§ Fourier theorem proving convergence of Fourier series
29889:
29173:(3rd ed.). Cambridge, UK: Cambridge University Press.
28588:) and getting smaller, before starting a new such wave. At
17667:
16539:{\displaystyle {\widehat {s^{(k)}}}=(in)^{k}{\widehat {s}}}
11554:
11427:
11352:
11190:
11003:
8839:
113:
107:
104:
9848:
Heat distribution in a metal plate, using Fourier's method
29989:(third ed.). Cambridge: Cambridge University Press.
26698:{\displaystyle \|s_{_{N}}-s\|_{2}<\|p_{_{N}}-s\|_{2},}
15909:
is the sequence of Fourier coefficients of a function in
9643:
can be carried out term-by-term. But all terms involving
5813:
of maximum correlation. And the component's amplitude is
4110:
is a complex-valued function. This follows by expressing
29866:
Joseph Fourier, translated by Alexander Freeman (2003).
29851:(8th ed.). New Jersey: John Wiley & Sons, Inc.
29384:
Königlichen Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen
28022:
Une série de Fourier-Lebesgue divergente presque partout
26018:
consisting of real functions is formed by the functions
17064:. However, there is a straightforward generalization to
6802:. The "teeth" of the comb are spaced at multiples (i.e.
6758:
represents a continuous frequency domain. When variable
204:
The first four partial sums of the Fourier series for a
30050:
29386:, vol. 13, 1867. Published posthumously for Riemann by
28541:
and then become negative (starting with a value around
23208:
we can solve this system of three linear equations for
22597:, the sum is actually over reciprocal lattice vectors:
16911:. Then, by analogy, one can consider heat equations on
15960:
if and only if it is a convolution of two sequences in
13816:{\displaystyle s(x)\cdot e^{i2\pi {\frac {n_{0}}{P}}x}}
161:
29466:
29064:
26540:, in the sense that, for any trigonometric polynomial
26491:
is the unique best trigonometric polynomial of degree
26408:
26257:
21696:
21657:
21618:
21374:
21319:
21264:
20954:
20915:
20876:
20588:
20335:
20280:
20007:
19968:
19732:
19485:
19258:
16274:
can be expressed in terms of the Fourier coefficients
15004:
14788:
14639:
14587:
14526:
13704:{\displaystyle S\cdot e^{-i2\pi {\tfrac {x_{0}}{P}}n}}
13678:
9875:
9748:
vanish when integrated from −1 to 1, leaving only the
8846:
wave. These simple solutions are now sometimes called
7255:
6814:
6608:
represents time, the coefficient sequence is called a
6564:
6545:
6474:
6455:
5412:
5358:
5294:
5240:
5147:
5093:
4704:
4574:
4421:
3987:
3544:
3497:
3366:
3303:
3272:
3215:
3165:
3131:
3093:
3062:
3020:
2908:
2697:
2633:
2606:
2301:
2214:
2101:
1433:
1368:
1284:
1184:
1128:
1022:
876:
826:
657:
492:
30472:
1/2 + 1/3 + 1/5 + 1/7 + 1/11 + ⋯ (inverses of primes)
30462:
1 − 1 + 2 − 6 + 24 − 120 + ⋯ (alternating factorials)
29038:
28977:
28653:
28620:
28594:
28547:
28495:
28438:
28258:
28183:
28045:
28013:
yields a simple non-constructive proof of this fact.
27972:
27948:
27928:
27908:
27770:
27733:
27709:
27689:
27663:
27624:
27597:
27577:
27546:
27519:
27475:
27445:
27418:
27398:
27371:
27206:
27166:
27139:
27095:
27075:
27045:
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26957:
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26910:
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26325:
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26174:
26138:
Fourier theorem proving convergence of Fourier series
26086:
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17699:
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17327:
17307:
17287:
17252:
17246:
when the underlying locally compact Abelian group is
17224:
17189:
17169:
17149:
17113:
17077:
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16993:
16973:
16937:
16917:
16897:
16862:
16833:, which can be used to produce Fourier series on the
16727:
16661:
16635:
16578:
16552:
16458:
16414:
16338:
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16280:
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16137:
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15216:
15196:
15162:
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15078:
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10061:
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8543:
8476:
8446:
8120:
8091:
8071:
8042:
8036:
It can be shown that the Fourier series converges to
7665:
7551:
7472:
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7377:
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6845:
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6764:
6744:
6632:
6594:
6368:
6356:, and functional notation often replaces subscripting
6333:
6295:
6270:
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5759:
5732:
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5014:
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2375:
2355:
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2295:
1969:
1939:
1907:
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1842:
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1182:
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1095:
1072:
941:
730:
566:
486:
463:
430:
415:
365:
334:
312:
266:
230:
98:
29608:
29443:
Theory of Complex Functions: Readings in Mathematics
28009:-periodic function need not converge pointwise. The
22590:{\displaystyle g(x_{1},x_{2},x_{3})=f(\mathbf {r} )}
22100:). Then for any arbitrary reciprocal lattice vector
17959:. First, we may write any arbitrary position vector
17670:
image compression standard uses the two-dimensional
8854:) of simple sine and cosine waves, and to write the
7656:
In this case, the Fourier coefficients are given by
29765:Pribram, Karl H.; Yasue, Kunio; Jibu, Mari (1991).
29560:
Mathematical Functions for Engineers and Physicists
28239:{\displaystyle \sum _{m=0}^{\infty }C_{m}\cos(mx).}
27761:. In the absolutely summable case, the inequality:
18171:{\displaystyle a_{i}\triangleq |\mathbf {a} _{i}|,}
17685:
Fourier series of Bravais-lattice-periodic-function
8889:. The Fourier series has many such applications in
8797:
Treatise on the propagation of heat in solid bodies
8749:) at the transitions to/from the vertical sections.
2654:
scaling factor is explained by taking a simple case
528:Fig 1. The top graph shows a non-periodic function
95:
29958:
29620:
29468:
29417:Landmark Writings in Western Mathematics 1640–1940
29085:
29011:
28812:
28636:
28606:
28580:
28529:
28481:
28417:
28238:
28163:
27985:
27954:
27934:
27914:
27884:
27753:
27715:
27695:
27675:
27649:
27610:
27583:
27552:
27532:
27505:
27451:
27431:
27404:
27384:
27354:
27177:
27152:
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27081:
27057:
27031:
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26943:
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26876:
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26796:
26697:
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25046:
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24851:
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23341:
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23240:
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23200:
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21002:
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18655:
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18601:
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18322:
18293:
18226:
18197:
18170:
18115:
17973:
17947:
17891:
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17809:
17782:
17652:
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17293:
17260:
17230:
17210:
17175:
17155:
17135:
17099:
17034:
17014:
16979:
16959:
16923:
16903:
16868:
16810:An alternative extension to compact groups is the
16739:
16705:
16647:
16621:
16564:
16538:
16444:
16397:
16324:
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16266:
16241:
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16150:
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16057:
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9980:
9912:
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9778:In these few lines, which are close to the modern
9767:
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5511:
5027:
5000:
4980:
4959:of that frequency. Figure 2 is an example, where
4951:
4925:
4905:
4876:
4856:
4830:
4788:
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1141:
1101:
1081:
1040:
902:
691:
536:) in blue defined only over the red interval from
510:
472:
445:
396:-valued functions of real arguments, and used the
380:
347:
320:
281:
252:
30046:. Vol. 10 (11th ed.). pp. 753–758.
29919:Fetter, Alexander L.; Walecka, John Dirk (2003).
29331:
24859:. This space is actually a Hilbert space with an
17049:
14894:
14874:
13856:
10461:
7371:, a periodic continuation of the linear function
30605:
30087:Creative Commons Attribution/Share-Alike License
29764:
29614:
29112:comtemporaneous/ in collaboration with Bernoulli
28614:the Fourier series is simply the running sum of
27772:
17678:, which uses only cosine as the basis function.
16398:{\displaystyle {\widehat {s'}}=in{\widehat {s}}}
14641:
14589:
14528:
6875:can be recovered from this representation by an
2977:
208:. As more harmonics are added, the partial sums
29922:Theoretical Mechanics of Particles and Continua
29342:Journal für die reine und angewandte Mathematik
24684:
14331:The transform of an imaginary-valued function (
13534:{\displaystyle {\frac {1}{2i}}(s(x)-s^{*}(-x))}
6588:In engineering, particularly when the variable
29944:Development of mathematics in the 19th century
25222:or the functions are different, and π only if
17693:is defined as the set of vectors of the form:
13405:{\displaystyle {\frac {1}{2}}(s(x)+s^{*}(-x))}
10446:. The example generalizes and one may compute
4380:can be understood and derived in terms of the
30108:
29918:
29847:William E. Boyce; Richard C. DiPrima (2005).
29589:
29413:
29193:
29115:
17276:
15864:{\displaystyle \left\{c_{n}\right\}_{n\in Z}}
14387:The transform of an even-symmetric function (
5560:is zero at the phase of maximum correlation.
4199:{\displaystyle \operatorname {Im} (s_{N}(x))}
4151:{\displaystyle \operatorname {Re} (s_{N}(x))}
1235:
30555:Hypergeometric function of a matrix argument
29965:(3rd ed.). New York: McGraw-Hill, Inc.
29953:
29714:Advances in Electronics and Electron Physics
29710:
29280:"Fourier Series and Boundary Value Problems"
29239:
29080:
29046:
27020:
26994:
26719:
26712:
26705:where the Hilbert space norm is defined as:
26683:
26657:
26645:
26619:
25148:
25129:
24926:
24913:
15572:
15560:
14433:The transform of an odd-symmetric function (
12450:
10014:, is maintained at the temperature gradient
9133:{\displaystyle \cos(2k+1){\frac {\pi y}{2}}}
6925:
6910:
4988:is a square wave (not shown), and frequency
4206:as separate real-valued Fourier series, and
212:(become more and more like) the square wave.
30411:1 + 1/2 + 1/3 + ... (Riemann zeta function)
29771:. Lawrence Erlbaum Associates. p. 26.
15746:-periodic, with Fourier series coefficients
13249:{\displaystyle \operatorname {Im} {(s(x))}}
13125:{\displaystyle \operatorname {Re} {(s(x))}}
10498:designates a periodic function with period
4065:
511:{\displaystyle s_{\scriptscriptstyle N}(x)}
30115:
30101:
29979:
29791:
29585:
29583:
29581:
29579:
29562:] (in German). Vieweg+Teubner Verlag.
29301:
28482:{\displaystyle C_{m}\approx 2/(n^{2}\pi )}
24933:
24929:
24681:is the volume of the primitive unit cell.
21910:are reciprocal lattice vectors to satisfy
17071:This generalizes the Fourier transform to
14678:{\textstyle \lim _{n\to +\infty }b_{n}=0.}
5553:{\displaystyle \mathrm {X} _{n}(\varphi )}
2618:{\displaystyle s_{\scriptstyle {\infty }}}
2313:{\displaystyle s_{\scriptstyle {\infty }}}
294:Fourier series are closely related to the
30467:1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + ⋯ (harmonic series)
29819:Les maths en tête. Analyse (2ème édition)
29549:
29547:
29545:
29543:
29541:
29420:, Elsevier (published 2005), p. 49,
29354:
29277:
29245:
29108:important early work on the wave equation
27496:
26782:
26440:
25917:
25816:
25797:
25686:
25585:
25566:
25466:
25365:
25346:
25151:
24998:
24922:
24750:
24579:
24572:
24248:
24241:
24129:
24115:
22870:
22817:
22764:
21523:
20625:
19769:
19295:
17981:in the coordinate-system of the lattice:
17636:
17629:
17431:
17254:
16622:{\displaystyle {\widehat {s^{(k)}}}\to 0}
16435:
16189:
16097:
16048:
15981:
15892:
15709:
15350:
14968:
14951:
14838:
14626:{\textstyle \lim _{n\to +\infty }a_{n}=0}
14491:
14281:The transform of a real-valued function (
14216:
14199:
13889:
13733:
12820:
9622:
9434:
9289:
7969:
7850:
7745:
7636:
7181:
7053:
6230:
5431:
5313:
5172:
4675:
4031:
4027:
4003:
2927:
2120:
2023:
1066:The harmonics are indexed by an integer,
368:
314:
136:. The Fourier series is an example of a
30122:
30001:The first edition was published in 1935.
29097:, which is an example of a distribution.
27506:{\displaystyle s\in C^{1}(\mathbb {T} )}
27412:, since the Fourier series converges in
25177:
22518:So it is clear that in our expansion of
16816:
16445:{\displaystyle s\in C^{k}(\mathbb {T} )}
16199:{\displaystyle s\in C^{1}(\mathbb {T} )}
13753:Shift in frequency / Modulation in time
13593:Shift in time / Modulation in frequency
13578:{\displaystyle \operatorname {Im} {(S)}}
13449:{\displaystyle \operatorname {Re} {(S)}}
13325:{\displaystyle {\frac {1}{2i}}(S-S^{*})}
9843:
8873:in the early nineteenth century. Later,
8765:The Fourier series is named in honor of
8503:This example leads to a solution of the
7451:
7362:
4528:
523:
355:. The Fourier transform is also part of
21:Budan's theorem § Fourier's theorem
29816:
29737:
29683:
29627:(3rd ed.). Prentice Hall. p.
29576:
29523:
29439:
29218:
29168:
26807:
17242:. This generalization yields the usual
16841:
15991:{\displaystyle \ell ^{2}(\mathbb {Z} )}
15179:
14920:
13196:{\displaystyle {\frac {1}{2}}(S+S^{*})}
12735:{\displaystyle a\cdot s(x)+b\cdot r(x)}
9889:{\displaystyle s(x)={\tfrac {x}{\pi }}}
9839:
9322:This immediately gives any coefficient
8496:. This is a particular instance of the
7351:is therefore commonly referred to as a
4831:{\displaystyle \mathrm {X} _{f}(\tau )}
2625:approximates the entire function. The
30606:
30030:
29553:
29538:
29307:
29271:
29196:Fourier Series and Integral Transforms
27160:Fourier coefficient of the derivative
16002:
14574:{\textstyle \lim _{|n|\to \infty }S=0}
13910:
10335:{\displaystyle \sinh(ny)/\sinh(n\pi )}
8773:, after preliminary investigations by
8606:converges absolutely and uniformly to
1892:represents frequency instead of time.
152:. Well-behaved functions, for example
60:Discrete Fourier transform over a ring
30096:
30051:
29194:Pinkus, Allan; Zafrany, Samy (1997).
27089:is continuously differentiable, then
26585:{\displaystyle p_{_{N}}\neq s_{_{N}}}
17238:is noncompact, one obtains instead a
16706:{\displaystyle |n|^{k}{\widehat {s}}}
14759:(periodic over an interval of length
14692:
13896:{\displaystyle n_{0}\in \mathbb {Z} }
13740:{\displaystyle x_{0}\in \mathbb {R} }
10433:
556:Fourier series, amplitude-phase form
446:{\displaystyle N\rightarrow \infty .}
29821:(in French). Ellipses. p. 264.
29794:An introduction to Harmonic Analysis
29510:. Originally published in German as
29012:{\displaystyle C_{-n}\neq C_{n}^{*}}
27676:{\displaystyle n\rightarrow \infty }
27571:This result can be proven easily if
18602:{\displaystyle g(x_{1},x_{2},x_{3})}
17066:Locally Compact Abelian (LCA) groups
12673:Frequency domain (exponential form)
10644:Frequency domain (sine-cosine form)
10438:Another application is to solve the
8557:is continuous and the derivative of
8111:
4933:at the maximum determines the phase
4539:
3913:
3434:
1960:
1486:
1256:
932:
721:
557:
30432:1 − 1 + 1 − 1 + ⋯ (Grandi's series)
29961:Principles of mathematical analysis
29711:Marton, L.; Marton, Claire (1990).
26115:{\displaystyle {\sqrt {2}}\sin(nx)}
26073:{\displaystyle {\sqrt {2}}\cos(nx)}
18333:Thus we can define a new function,
17022:case. A typical example is to take
16546:. In particular, since for a fixed
16058:{\displaystyle C^{k}(\mathbb {T} )}
15902:{\displaystyle c_{0}(\mathbb {Z} )}
14486:
14456:) is the imaginary-valued function
12840:Time reversal / Frequency reversal
12827:{\displaystyle a,b\in \mathbb {C} }
7358:
2973: as required.
13:
29839:
29041:
28298:
28200:
28077:
27898:Many other results concerning the
27670:
27525:
27377:
27069:We have already mentioned that if
27052:
27032:{\displaystyle \|s_{_{N}}-s\|_{2}}
26916:
26313:that can be generally expressed as
25124:
25119:
24824:of square-integrable functions on
24616:is the primitive unit cell, thus,
24095:. In particular, we now know that
23780:
23765:
23749:
23734:
23718:
23703:
23685:
23670:
23654:
23639:
23623:
23608:
23590:
23575:
23559:
23544:
23528:
23513:
21547:
21544:
21541:
21538:
21535:
21198:
21195:
21192:
21189:
21186:
21175:
21170:
21144:
21139:
21113:
21108:
20519:
20516:
20513:
20413:
20410:
20407:
20404:
20401:
20214:
20211:
20208:
20197:
20192:
20166:
20161:
19663:
19660:
19657:
19557:
19554:
19551:
19419:
19416:
19413:
19402:
19397:
19102:
19099:
19096:
18301:is the unit vector directed along
18205:is defined to be the magnitude of
16642:
15810:{\displaystyle H=P\cdot S\cdot R.}
15360:{\displaystyle n\in \mathbb {Z} ,}
15059:
15024:
15019:
14867:
14862:
14654:
14602:
14548:
14153:
14130:
14107:
14084:
14067:
12308:
12077:
11875:
11570:
11206:
10852:
10157:
8366:
8363:
8360:
8298:
8180:
7602:
7599:
7596:
7509:
7506:
7503:
7288:
7220:
7215:
7125:
7120:
7092:
7087:
6977:
6972:
6948:
6943:
6896:
6851:
6673:
6668:
6510:
6505:
6411:
6406:
5845:
5572:
5531:
5066:
4809:
4551:
4014:
2608:
2303:
437:
420:A Fourier series is a continuous,
416:Common forms of the Fourier series
359:, but is defined for functions on
162:Common forms of the Fourier series
65:Fourier transform on finite groups
14:
30630:
30550:Generalized hypergeometric series
30006:
27189:and its Fourier coefficients are
18986:{\displaystyle m_{1},m_{2},m_{3}}
16775:. Typical examples include those
16751:
15276:with Fourier series coefficients
12792:{\displaystyle a\cdot S+b\cdot R}
10566:{\displaystyle A_{0},A_{n},B_{n}}
6320:{\displaystyle {\widehat {s}}(n)}
2538:{\displaystyle P\triangleq 2\pi }
931:Fourier series, exponential form
720:Fourier series, sine-cosine form
400:in the decomposition. Many other
30588:
30587:
30560:Lauricella hypergeometric series
30278:
30076: (archived December 5, 2001)
29884:Théorie Analytique de la Chaleur
29395:from the original on 20 May 2008
25287:{\displaystyle 1/{\sqrt {\pi }}}
24658:
24643:
24625:
24545:
24518:
24510:
24488:
24477:
24447:
24432:
24414:
24396:
24284:
24216:
24201:
24183:
24088:{\displaystyle \mathbf {a} _{3}}
24075:
24059:{\displaystyle \mathbf {a} _{2}}
24046:
24030:{\displaystyle \mathbf {a} _{1}}
24017:
24001:{\displaystyle \mathbf {a} _{3}}
23988:
23968:{\displaystyle \mathbf {a} _{2}}
23955:
23935:{\displaystyle \mathbf {a} _{1}}
23922:
23885:
23870:
23852:
23173:
23134:
23095:
23050:
23021:
23013:
22971:
22932:
22893:
22702:
22667:
22659:
22640:
22627:
22611:
22580:
22349:
22310:
22271:
22234:
22209:
22184:
22160:
22152:
22130:
22108:
21938:
21934:
21923:
21919:
21903:{\displaystyle \mathbf {g} _{i}}
21890:
21834:
21809:
21784:
21765:
18505:
18466:
18427:
18395:
18323:{\displaystyle \mathbf {a} _{i}}
18310:
18269:
18246:
18227:{\displaystyle \mathbf {a} _{i}}
18214:
18150:
18088:
18049:
18010:
17989:
17967:
17938:
17930:
17913:
17885:
17860:
17839:{\displaystyle \mathbf {a} _{i}}
17826:
17770:
17745:
17720:
17701:
16206:, then the Fourier coefficients
15072:then there is a unique function
13001:Time reversal & conjugation
9981:{\displaystyle (x,y)\in \times }
8801:Théorie analytique de la chaleur
8738:
8723:
8708:
8105:is differentiable, and therefore
2761:is needed for convergence, with
1901:of a given real-valued function
1737:
453:The subscripted symbols, called
381:{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}
306:on a circle, usually denoted as
217:
197:
184:
91:
30570:Riemann's differential equation
29886:, originally published in 1822.
29810:
29785:
29758:
29731:
29717:. Academic Press. p. 369.
29704:
29677:
29666:
29645:
29517:
29489:
29460:
29433:
29407:
29363:
29333:Lejeune-Dirichlet, Peter Gustav
29325:
29255:Routledge History of Philosophy
29121:
28918:Least-squares spectral analysis
25715:
25495:
24294:{\displaystyle h(\mathbf {G} )}
19083:, we can define the following:
17870:{\displaystyle f(\mathbf {r} )}
16242:{\displaystyle {\widehat {s'}}}
12275:
12044:
11842:
11524:
11488:
11414:
11395:
11340:
11322:
11158:
11120:
10991:
10973:
10819:
10712:
10682:
8761:Fourier analysis § History
8358:
8009:
7761:
7594:
7501:
6828:{\displaystyle {\tfrac {1}{P}}}
5685:
5681:
5652:
5648:
5182:
4685:
4435:{\displaystyle {\tfrac {n}{P}}}
4013:
3855:
3777:
3634:
3590:
3479:
2982:Another applicable identity is
2647:{\displaystyle {\tfrac {2}{P}}}
2400:provide sufficient conditions.
2242:
2142:
2127:
1870:discrete-time Fourier transform
1663:
1657:
1553:
1547:
1236:§ Complex-valued functions
1231:
1198:{\displaystyle {\tfrac {n}{P}}}
1142:{\displaystyle {\tfrac {P}{n}}}
1109:. Therefore, the sinusoids have
50:Discrete-time Fourier transform
30085:, which is licensed under the
29687:Circuits, signals, and systems
29684:Siebert, William McC. (1985).
29512:Statik und Dynamik der Schalen
29212:
29187:
29162:
29142:
29100:
29022:
28965:
28873:Fourier sine and cosine series
28581:{\displaystyle -2/(n^{2}\pi )}
28575:
28559:
28476:
28460:
28230:
28221:
28055:
28049:
27878:
27874:
27868:
27861:
27848:
27840:
27827:
27823:
27817:
27795:
27789:
27782:
27754:{\displaystyle \alpha >1/2}
27667:
27644:
27638:
27500:
27492:
27339:
27334:
27328:
27318:
27247:
27243:
27237:
27230:
27120:
27114:
27108:
27096:
27049:
26974:
26968:
26871:
26865:
26772:
26767:
26761:
26754:
26527:
26521:
26387:
26381:
26348:
26342:
26236:
26230:
26197:
26191:
26161:
26109:
26100:
26067:
26058:
26005:
26002:
25987:
25984:
25914:
25908:
25896:
25893:
25881:
25875:
25863:
25860:
25813:
25804:
25794:
25785:
25683:
25677:
25665:
25662:
25650:
25644:
25632:
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25563:
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22567:
22528:
22122:and arbitrary position vector
22067:{\displaystyle \delta _{ij}=0}
22005:{\displaystyle \delta _{ij}=1}
21592:
21553:
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17050:Locally compact Abelian groups
17009:
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14541:
14533:
14410:) is the real-valued function
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11061:
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10620:
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10583:
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10479:
10462:Table of common Fourier series
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10381:
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7970:
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6862:
6856:
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5938:
5925:
5900:
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5868:
5855:
5786:creates the component's phase
5782:
5710:
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5682:
5665:
5659:
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4900:
4894:
4851:
4845:
4838:is a measure of the amplitude
4825:
4819:
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3960:
3902:
3896:
3852:
3823:
3673:
3620:
3612:
3584:
3555:
3433:Exponential form coefficients
3423:
3417:
2829:
2757:
2673:
2667:
2561:
2555:
2500:
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2468:
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2278:
2193:
2187:
2080:
2074:
2020:
2014:
1917:
1911:
1709:
1683:
1596:
1583:
1544:
1531:
1469:
1409:
1396:
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1331:
1055:
964:
958:
917:
753:
747:
706:
589:
583:
505:
499:
434:
276:
270:
247:
241:
171:focus on the behaviors of the
1:
30565:Modular hypergeometric series
30406:1/4 + 1/16 + 1/64 + 1/256 + ⋯
29892:American Mathematical Monthly
29868:The Analytical Theory of Heat
29135:
28644:and this builds up to around
28530:{\displaystyle m=2^{n^{3}}/2}
28011:uniform boundedness principle
28000:
27900:convergence of Fourier series
27153:{\displaystyle n^{\text{th}}}
26458:The trigonometric polynomial
26144:Convergence of Fourier series
24552:{\displaystyle d\mathbf {r} }
17271:
16151:{\displaystyle k^{\text{th}}}
15107:{\displaystyle s\in L^{2}(P)}
11793:{\displaystyle 0\leq D\leq 1}
10342:. While our example function
9768:{\displaystyle k^{\text{th}}}
8928:
8836:partial differential equation
8517:Convergence of Fourier series
5028:{\displaystyle 4^{\text{th}}}
4789:{\displaystyle \cos(2\pi fx)}
4321:
2978:Exponential form coefficients
1859:{\displaystyle \varphi _{n}.}
169:convergence of Fourier series
29792:Katznelson, Yitzhak (1976).
28020:published an article titled
27993:function actually converges
27895:proves uniform convergence.
27058:{\displaystyle N\to \infty }
25054:is the complex conjugate of
24685:Hilbert space interpretation
22137:{\displaystyle \mathbf {r} }
22115:{\displaystyle \mathbf {G} }
17974:{\displaystyle \mathbf {r} }
17892:{\displaystyle \mathbf {R} }
17261:{\displaystyle \mathbb {R} }
16891:for the Riemannian manifold
16648:{\displaystyle n\to \infty }
16104:{\displaystyle \mathbb {R} }
14685:This result is known as the
13464:Imaginary part in frequency
10454:), for any positive integer
10406:is nontrivial. The function
9140:, and then integrating from
8767:Jean-Baptiste Joseph Fourier
7460:Consider a sawtooth function
7442:{\displaystyle (-\pi ,\pi ]}
5806:{\displaystyle \varphi _{n}}
4413:and a sinusoid at frequency
4373:{\displaystyle \varphi _{n}}
321:{\displaystyle \mathbb {T} }
7:
30575:Theta hypergeometric series
30019:Encyclopedia of Mathematics
29287:Math 461 Course Notes, Ch 3
29219:Tolstov, Georgi P. (1976).
28830:
27533:{\displaystyle s_{\infty }}
27385:{\displaystyle s_{\infty }}
27126:{\displaystyle (i\cdot n)S}
26924:{\displaystyle s_{\infty }}
24863:given for any two elements
16829:are partially described by
14482:, and the converse is true.
14430:, and the converse is true.
14384:, and the converse is true.
12532:functions defined only for
10048:{\displaystyle T(x,\pi )=x}
9829:, among others) concluded:
8856:solution as a superposition
7407:{\displaystyle s(x)=x/\pi }
6567:common engineering notation
6477:common mathematics notation
4442:. For a general frequency
1205:in the reciprocal units of
10:
30635:
30457:Infinite arithmetic series
30401:1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + ⋯
30396:1/2 − 1/4 + 1/8 − 1/16 + ⋯
29690:. MIT Press. p. 402.
29655:. MathOverflow. 2010-11-19
29440:Remmert, Reinhold (1991).
28928:Sine and cosine transforms
28923:Multidimensional transform
28853:Discrete Fourier transform
26811:
26141:
24688:
24589:{\displaystyle dx\,dy\,dz}
17277:Fourier series on a square
17053:
16845:
16755:
16158:derivative is continuous.
15590:{\displaystyle H=\{S*R\}.}
15183:
14924:
14696:
13630:{\displaystyle s(x-x_{0})}
12462:is denoted by an asterisk.
9084:Multiplying both sides by
8758:
8754:
8691:, then the Fourier series
8514:
4952:{\displaystyle (\varphi )}
4522:cross-correlation function
402:Fourier-related transforms
55:Discrete Fourier transform
18:
30583:
30540:
30484:
30419:
30388:
30381:
30351:
30320:
30313:
30287:
30276:
30199:
30143:
30134:
29950:, Springer, Berlin, 1928.
29382:; 1854. Abhandlungen der
29155:Dictionary.com Unabridged
29116:Fetter & Walecka 2003
28907:-series expansion of the
28888:Half range Fourier series
27591:is further assumed to be
27195:Cauchy–Schwarz inequality
26128:Stone–Weierstrass theorem
17674:, a discrete form of the
17672:discrete cosine transform
16885:Laplace–Beltrami operator
13035:{\displaystyle s^{*}(-x)}
12501:{\displaystyle s(x),r(x)}
12451:Table of basic properties
11447:Half-wave rectified sine
11045:Full-wave rectified sine
9920:meters, with coordinates
8805:Analytical theory of heat
7322:The constructed function
6877:inverse Fourier transform
4465:and an analysis interval
2594:-periodic, in which case
2423:{\displaystyle \int _{P}}
2369:in an interval of length
2349:at most or all values of
398:sine and cosine functions
144:to find solutions to the
30037:"Fourier's Series"
29817:Gourdon, Xavier (2009).
29744:. Springer. p. 14.
29741:Solid-state spectroscopy
29446:. Springer. p. 29.
29314:A History of Mathematics
29278:Fasshauer, Greg (2015).
28958:
26980:{\displaystyle L^{2}(P)}
26877:{\displaystyle L^{2}(P)}
26484:{\displaystyle s_{_{N}}}
26291:trigonometric polynomial
25047:{\displaystyle g^{*}(x)}
17676:Fourier cosine transform
17136:{\displaystyle L^{2}(G)}
17100:{\displaystyle L^{1}(G)}
16960:{\displaystyle L^{2}(X)}
15269:{\displaystyle r_{_{P}}}
15236:{\displaystyle s_{_{P}}}
14752:{\displaystyle L^{2}(P)}
12946:{\displaystyle s^{*}(x)}
10100:{\displaystyle (0,\pi )}
4066:Complex-valued functions
3912:Fourier series analysis
2820:{\displaystyle B_{k}=0.}
1959:Fourier series analysis
253:{\displaystyle s_{6}(x)}
30288:Properties of sequences
30043:Encyclopædia Britannica
29592:Continuous-Time Signals
29554:Papula, Lothar (2009).
29253:. In Ten, C. L. (ed.).
28953:), singularities, poles
26884:(an interval of length
26011:{\displaystyle L^{2}()}
24817:{\displaystyle L^{2}()}
24699:, the set of functions
24559:for the volume element
23490:, we can calculate the
22093:{\displaystyle i\neq j}
19321:And then we can write:
17370:{\displaystyle \times }
16740:{\displaystyle k\geq 1}
16565:{\displaystyle k\geq 1}
15953:{\displaystyle L^{1}()}
15149:{\displaystyle S=c_{n}}
13340:Real part in frequency
13211:Imaginary part in time
10426:cannot be written as a
8825:deferents and epicycles
8779:Jean le Rond d'Alembert
3415:Substituting this into
2787:{\displaystyle A_{k}=1}
1804:rectangular coordinates
480:determine the function
134:trigonometric functions
30151:Arithmetic progression
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30522:Trigonometric series
30314:Properties of series
30161:Harmonic progression
29986:Trigonometric Series
29768:Brain and perception
29532:The Works of Fourier
29502:(1973) 2nd edition.
29376:Habilitationsschrift
29171:Trigonometric Series
29169:Zygmund, A. (2002).
29118:, pp. 209–210).
29095:Dirac delta function
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26456: —
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24695:In the language of
23942:is parallel to the
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19831:
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18547:This new function,
17572:
17554:
17044:spherical harmonics
16881:Riemannian manifold
16852:Riemannian manifold
16831:spherical harmonics
16003:Derivative property
13911:Symmetry properties
13860:{\displaystyle S\!}
12611:{\displaystyle S,R}
12460:Complex conjugation
9468:
9382:
9237:
8885:eigensolutions are
8695:to the function at
8635:. If a function is
8525:) is overviewed in
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5584:
4913:, and the value of
4857:{\displaystyle (D)}
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4538:Derivation of Eq.1
3630:
3410:complex conjugation
2827: Accordingly
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1654:
1636:
406:area of mathematics
30300:Monotonic function
30219:Fibonacci sequence
30053:Weisstein, Eric W.
29615:Proakis, John G.;
29527:Oeuvres de Fourier
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19810:
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19629:
19534:Further defining:
19522:
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16901:
16866:
16839:
16812:Peter–Weyl theorem
16766:Peter–Weyl theorem
16737:
16703:
16655:, it follows that
16645:
16619:
16562:
16536:
16442:
16395:
16332:, via the formula
16322:
16302:
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16264:
16249:of the derivative
16239:
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15716:
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15461:
15357:
15330:{\displaystyle R,}
15327:
15295:
15266:
15233:
15200:
15166:
15146:
15104:
15062:
14988:
14927:Plancherel theorem
14908:
14769:
14749:
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