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Each original vertex is cut off, with a new face filling the gap. Truncation has a degree of freedom, which has one solution that creates a uniform truncated 6-polytope. The 6-polytope has its original faces doubled in sides, and contains the faces of the
2161:
and other researchers search for other non-convex uniform 6-polytopes, with a current count of 41348 known uniform 6-polytopes outside infinite families (convex and non-convex), excluding the prisms of the uniform 5-polytopes. The list is not proven
27857:, where each node represents a mirror. Nodes are ringed to imply which mirrors are active. The full set of uniform polytopes generated are based on the unique permutations of ringed nodes. Uniform 6-polytopes are named in relation to the
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Coxeter-Dynkin diagram correspondences between families and higher symmetry within diagrams. Nodes of the same color in each row represent identical mirrors. Black nodes are not active in the correspondence.
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Coxeter-Dynkin diagram correspondences between families and higher symmetry within diagrams. Nodes of the same color in each row represent identical mirrors. Black nodes are not active in the correspondence.
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12945:
12935:
12925:
12915:
12905:
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12843:
12833:
12823:
12813:
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12751:
12741:
12731:
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12659:
12649:
12639:
12629:
12577:
12567:
12557:
12547:
12537:
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12475:
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12455:
12445:
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12261:
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12179:
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12077:
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10983:
10973:
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8122:
8112:
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7816:
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7754:
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7652:
7642:
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7580:
7570:
7560:
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7478:
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7294:
7284:
7274:
7264:
7212:
7202:
7192:
7182:
7172:
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7100:
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7018:
7008:
6998:
6988:
6936:
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6916:
6906:
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6824:
6814:
6804:
6752:
6742:
6732:
6722:
6712:
6660:
6650:
6640:
6630:
6620:
6568:
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6548:
6538:
6528:
6476:
6466:
6456:
6446:
6436:
6384:
6374:
6364:
6354:
6344:
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6282:
6272:
6262:
6252:
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6170:
6160:
6108:
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6088:
6078:
6068:
6016:
6006:
5996:
5986:
5976:
5924:
5914:
5904:
5894:
5884:
5832:
5822:
5812:
5802:
5792:
5740:
5730:
5720:
5710:
5700:
5648:
5638:
5628:
5618:
5608:
5556:
5546:
5536:
5526:
5516:
5464:
5454:
5444:
5434:
5424:
5372:
5362:
5352:
5342:
5332:
5280:
5270:
5260:
5250:
5240:
5188:
5178:
5168:
5158:
5148:
4824:
4814:
4804:
4794:
4784:
4766:
4756:
4746:
4704:
4694:
4684:
4674:
4664:
4646:
4636:
4626:
4581:
4571:
4561:
4520:
4510:
4500:
4490:
4480:
4456:
4446:
4436:
4426:
4416:
4389:
4379:
4369:
4359:
4349:
4314:
4304:
4294:
4284:
4274:
4247:
4237:
4227:
4217:
4207:
4168:
4158:
4148:
4138:
4128:
4044:
4034:
4024:
4014:
4004:
3961:
3951:
3941:
3931:
3921:
3878:
3868:
3858:
3848:
3838:
3795:
3785:
3775:
3765:
3755:
3708:
3698:
3688:
3678:
3668:
3625:
3615:
3605:
3595:
3585:
3529:
3519:
3509:
3455:
3445:
3435:
3425:
3415:
3371:
3361:
3351:
3341:
3331:
3287:
3277:
3267:
3257:
3247:
3203:
3193:
3183:
3173:
3163:
3068:
3058:
3048:
3038:
3028:
2978:
2968:
2958:
2948:
2938:
2888:
2878:
2868:
2858:
2848:
2785:
2775:
2765:
2713:
2703:
2693:
2683:
2673:
2631:
2621:
2611:
2601:
2591:
2481:
2384:
2374:
2364:
2332:
2322:
2312:
2302:
2292:
2260:
2250:
2240:
2230:
2220:
1714:
1704:
1694:
1655:
1645:
1635:
1594:
1584:
1574:
1535:
1525:
1515:
1476:
1466:
1456:
1415:
1405:
1395:
1385:
1375:
1346:
1336:
1326:
1316:
1306:
1277:
1267:
1257:
1247:
1237:
1206:
1196:
1186:
1176:
1166:
1137:
1127:
1117:
1107:
1097:
1066:
1056:
1046:
1036:
1026:
997:
987:
977:
967:
957:
926:
916:
906:
896:
886:
857:
847:
837:
827:
817:
788:
778:
768:
758:
748:
717:
707:
697:
687:
677:
648:
638:
628:
618:
608:
579:
569:
559:
549:
539:
508:
498:
488:
478:
468:
439:
429:
419:
409:
399:
368:
358:
348:
338:
328:
299:
289:
279:
269:
259:
228:
218:
208:
198:
188:
159:
149:
139:
129:
119:
90:
80:
70:
60:
50:
27867:
The prismatic forms and bifurcating graphs can use the same truncation indexing notation, but require an explicit numbering system on the nodes for clarity.
5069:
from the
Wythoff construction operations upon regular 6-simplex (heptapeton). Bowers-style acronym names are given in parentheses for cross-referencing.
5083:
The coordinates of uniform 6-polytopes with 6-simplex symmetry can be generated as permutations of simple integers in 7-space, all in hyperplanes with
2158:
21:
8395:
from the
Wythoff construction operations upon the regular 6-cube and 6-orthoplex. Bowers names and acronym names are given for cross-referencing.
14312:
family and 16 are unique to this family. The 16 unique forms are enumerated below. Bowers-style acronym names are given for cross-referencing.
2173:
Uniform 6-polytopes with reflective symmetry can be generated by these four
Coxeter groups, represented by permutations of rings of the
2148:
26829:
There are no compact hyperbolic
Coxeter groups of rank 6, groups that can generate honeycombs with all finite facets, and a finite
4081:
of three regular polygons. Each combination of at least one ring on every connected group produces a uniform prismatic 6-polytope.
2113:
enumerated the list of nonprismatic semiregular convex polytopes with regular facets (convex regular polytera) in his publication
29714:
28521:
with new rectangular faces appearing in their place. A uniform cantellation is halfway between both the parent and dual forms.
28437:
with new rectangular faces appearing in their place. A uniform cantellation is halfway between both the parent and dual forms.
29043:
29742:
13883:
13791:
13699:
29149:
29038:, edited by F. Arthur Sherk, Peter McMullen, Anthony C. Thompson, Asia Ivic Weiss, Wiley-Interscience Publication, 1995,
2037:. Each combination of at least one ring on every connected group of nodes in the diagram produces a uniform 6-polytope.
29010:, Verhandelingen of the Koninklijke academy van Wetenschappen width unit Amsterdam, Eerste Sectie 11,1, Amsterdam, 1910
28913:
8235:
8051:
7407:
21456:
12595:
29122:
28042:
The edges are fully truncated into single points. The 6-polytope now has the combined faces of the parent and dual.
30139:
30122:
30560:
30198:
14159:
14067:
13975:
12871:
12779:
12503:
12411:
12319:
7959:
7315:
7223:
29092:
29071:
29013:
21695:
8392:
5101:
5066:
2132:
21424:
8143:
7867:
7775:
7131:
6947:
6395:
28821:
Pentellation reduces 5-faces and creates new 5-faces at the vertices, edges, faces, and cells in the gaps. (
26834:
30572:
26837:
of rank 6, each generating uniform honeycombs in 5-space as permutations of rings of the
Coxeter diagrams.
16565:
13055:
12963:
12687:
11491:
11031:
10939:
10755:
10663:
26998:
26923:
11123:
30019:
29904:
29861:
29818:
29775:
27861:
in each family. Some families have two regular constructors and thus may have two ways of naming them.
14301:
This family has 3×16−1=47 Wythoffian uniform polytopes, generated by marking one or more nodes of the D
13607:
13515:
13423:
13331:
13239:
13147:
11399:
10847:
10571:
10479:
7683:
6855:
6763:
6303:
6211:
29983:
29947:
28901:
All five operators, truncation, cantellation, runcination, sterication, and pentellation are applied.
26715:
26679:
26571:
26535:
26442:
26406:
26293:
26257:
26149:
26113:
26020:
25984:
25881:
25845:
25747:
25711:
25628:
25592:
25469:
25433:
25397:
25274:
25238:
25202:
25079:
25043:
25007:
24894:
24858:
24822:
24709:
24673:
24637:
24534:
24498:
24462:
24319:
24283:
24247:
24211:
24175:
24052:
24016:
23980:
23944:
23811:
23775:
23739:
23703:
23570:
23534:
23498:
23462:
23359:
23323:
23287:
23169:
23133:
23097:
22974:
22938:
22902:
22789:
22753:
22660:
22624:
22511:
22475:
22372:
22336:
22243:
22207:
21852:
21658:
21502:
21346:
21199:
21044:
20938:
20852:
18827:
30354:
30299:
30250:
28830:
21886:
9463:
7039:
4840:
2180:
There are four fundamental reflective symmetry groups which generate 153 unique uniform 6-polytopes.
27768:
27694:
27619:
27523:
27429:
27335:
27248:
27164:
27080:
26849:
30117:
29768:
29735:
29172:
28997:
28747:
Sterication reduces 4-faces and creates new 4-faces at the vertices, edges, and faces in the gaps.
27971:
7591:
6671:
6027:
5751:
4400:
63 uniform 6-polytopes as permutations of rings in the group diagram, including two regular forms:
30149:
29142:
28362:
19067:
18707:
16879:
16797:
16426:
16287:
16148:
16009:
11859:
11767:
11675:
11307:
11215:
9279:
9183:
8703:
8327:
5935:
1921:
1859:
736:
28676:
28526:
27883:
27854:
22195:
16611:
14305:
11583:
9647:
9371:
8404:
8374:
6579:
6119:
5096:
5062:
2194:
2174:
2034:
1552:
874:
805:
20811:
2519:
30598:
30591:
30584:
30406:
30344:
30289:
30240:
30178:
29686:
29679:
29672:
28129:
21699:
12227:
12135:
12043:
11951:
9087:
8607:
7499:
5659:
5567:
5475:
4592:
47 uniform 6-polytopes (16 unique) as permutations of rings in the group diagram, including:
4258:
35 uniform 6-polytopes as permutations of rings in the group diagram, including one regular:
1981:
1672:
1613:
665:
596:
456:
247:
29211:
29189:
29177:
27864:
Here's the primary operators available for constructing and naming the uniform 6-polytopes.
30618:
30548:
30541:
30536:
29343:
29290:
28822:
27850:
21885:, : There are 20 unique ringed permutations, and 3 new ones. Coxeter calls the first one a
16605:
14285:
14251:
9831:
8368:
6487:
5843:
5056:
4960:
4901:
2095:
2018:
1493:
387:
316:
8:
30451:
30389:
30384:
30327:
30322:
30272:
30267:
30223:
30218:
30166:
29728:
29698:
29597:
29347:
21539:
21382:
9739:
9555:
5383:
5291:
176:
107:
29083:
16614:
with one or more rings. Bowers-style acronym names are given for cross-referencing. The
29567:
29517:
29467:
29394:
29354:
29317:
29135:
29003:
15870:
15731:
15592:
15453:
15314:
15175:
10291:
10015:
9923:
8799:
5026:
3117:
3109:
2546:
2030:
2007:
1154:
945:
28972:
27878:
8409:
2077:
30396:
30334:
30279:
30230:
30208:
30188:
30070:
29756:
29752:
29706:
29039:
20792:
10199:
10107:
4078:
3105:
1999:
1085:
1014:
20823:
and 27 prismatic groups that generate regular and uniform tessellations in 5-space:
30171:
30107:
29710:
29275:
29264:
29253:
29242:
29233:
29224:
29163:
29159:
29106:
27858:
27846:
21543:
20788:
16615:
10383:
8895:
4071:
3098:
2542:
2410:
2066:
2041:
2003:
1995:
1363:
1294:
25:
28948:
5025:
In addition, there are 57 uniform 6-polytope constructions based on prisms of the
30129:
29300:
29285:
28960:
28117:
20837:
20800:
20796:
20787:
In 6 dimensions and above, there are an infinite amount of non-Wythoffian convex
20370:
18464:
16630:
14321:
4896:
39 uniform 6-polytopes as permutations of rings in the group diagram, including:
3113:
27840:
30438:
30431:
30424:
30371:
30364:
30309:
30065:
29650:
29111:
28989:
28932:
20820:
2110:
2022:
29117:
29008:
Geometrical deduction of semiregular from regular polytopes and space fillings
5022:
These fundamental families generate 153 nonprismatic convex uniform polypeta.
30612:
30097:
30087:
30077:
29667:
29555:
29548:
29541:
29505:
29498:
29491:
29455:
29448:
28440:
28121:
26830:
22190:
20832:
18587:
16715:
15036:
14897:
14758:
14615:
5084:
4535:
4090:
3556:
3541:
3129:
2811:
2558:
2189:
1795:
1733:
3108:
of lower-dimensional uniform polytopes. Five are formed as the product of a
29607:
28671:
Runcination reduces cells and creates new cells at the vertices and edges.
28597:
Runcination reduces cells and creates new cells at the vertices and edges.
28204:
4056:
3977:
3811:
3080:
29616:
29577:
29527:
29477:
29434:
29404:
29336:
29322:
29023:, Philosophical Transactions of the Royal Society of London, Londne, 1954
28212:
8511:
4723:
4468:
3807:
3720:
3637:
2900:
2053:
2026:
527:
29602:
29586:
29536:
29486:
29443:
29413:
29327:
14472:
5061:
There are 32+4−1=35 forms, derived by marking one or more nodes of the
4603:
2797:
1990:
1434:
5029:: , , , excluding the penteract prism as a duplicate of the hexeract.
29658:
29572:
29522:
29472:
29429:
29399:
29368:
20803:
in 2 dimensions. It is not yet proven whether or not there are more.
20250:
14295:
8385:
5199:
5077:
4333:
4329:
4262:
4074:
3299:
2643:
2085:
2045:
38:
5032:
In addition, there are infinitely many uniform 6-polytope based on:
2168:
1667:
1608:
1547:
1488:
29632:
29387:
29383:
29310:
20285:
3467:
3101:
3084:
2994:
2904:
1984:
1429:
29641:
29611:
29378:
29373:
29364:
29305:
4191:
3383:
28994:
On the
Regular and Semi-Regular Figures in Space of n Dimensions
28937:
On the
Regular and Semi-Regular Figures in Space of n Dimensions
18439:
Demicelligreatorhombated icosiheptaheptacontidipeton (hocgarjik)
2115:
On the
Regular and Semi-Regular Figures in Space of n Dimensions
1916:
1854:
1790:
1728:
451:
382:
311:
242:
102:
29581:
29531:
29481:
29438:
29408:
29359:
29295:
20756:
20278:
8991:
4404:
3215:
2725:
2049:
1225:
171:
33:
27841:
Notes on the
Wythoff construction for the uniform 6-polytopes
4185:
1289:
1149:
1080:
1009:
940:
869:
800:
731:
591:
26824:
17655:
Demiprismatorhombated icosiheptaheptacontidipeton (haprojak)
17431:
Demiprismatotruncated icosiheptaheptacontidipeton (hopitjak)
1358:
1220:
660:
522:
29331:
28357:
Tritruncation transforms 4-faces to their dual truncation.
18019:
Celligreatorhombated icosiheptaheptacontidipeton (cograjik)
3973:
3890:
3724:
2990:
12967:
Teriprismatorhombi-hexeractihexacontitetrapeton (tiprixog)
18229:
Demicellitruncated icosiheptaheptacontidipeton (hictijik)
18089:
Great demirhombated icosiheptaheptacontidipeton (ghorjak)
17942:
Great demiprismated icosiheptaheptacontidipeton (ghopjak)
17725:
Small demirhombated icosiheptaheptacontidipeton (shorjak)
17050:
Small demiprismated icosiheptaheptacontidipeton (shopjak)
29019:
H.S.M. Coxeter, M.S. Longuet-Higgins und J.C.P. Miller:
28517:
In addition to vertex truncation, each original edge is
28433:
In addition to vertex truncation, each original edge is
12691:
Great biprismato-hexeractihexacontitetrapeton (gobpoxog)
9743:
Small biprismato-hexeractihexacontitetrapeton (sobpoxog)
2084:
that there are exactly 3 regular polytopes in 5 or more
28283:
Bitrunction transforms cells to their dual truncation.
13887:
Tericelligreatorhombated hexacontatetrapeton (tecagorg)
2025:. These construction operations are represented by the
20277:>2. {4}×{4}×{4} makes a lower symmetry form of the
18299:
Prismatorhombated icosiheptaheptacontidipeton (projak)
18159:
Prismatotruncated icosiheptaheptacontidipeton (potjak)
30022:
29986:
29950:
29907:
29864:
29821:
29778:
27771:
27697:
27622:
27526:
27432:
27338:
27251:
27167:
27083:
27001:
26926:
26852:
26718:
26682:
26574:
26538:
26445:
26409:
26296:
26260:
26152:
26116:
26023:
25987:
25884:
25848:
25750:
25714:
25631:
25595:
25472:
25436:
25400:
25277:
25241:
25205:
25082:
25046:
25010:
24897:
24861:
24825:
24712:
24676:
24640:
24537:
24501:
24465:
24322:
24286:
24250:
24214:
24178:
24055:
24019:
23983:
23947:
23814:
23778:
23742:
23706:
23573:
23537:
23501:
23465:
23362:
23326:
23290:
23172:
23136:
23100:
22977:
22941:
22905:
22792:
22756:
22663:
22627:
22514:
22478:
22375:
22339:
22246:
22210:
21855:
21661:
21505:
21349:
21202:
21047:
20941:
20855:
21691:
There are 47 uniform honeycombs, 16 new, including:
18369:
Great prismated icosiheptaheptacontidipeton (gapjak)
17795:
Small prismated icosiheptaheptacontidipeton (spojak)
17354:
Great rhombated icosiheptaheptacontidipeton (girjak)
16968:
Small rhombated icosiheptaheptacontidipeton (sirjak)
16610:
There are 39 forms based on all permutations of the
8373:
There are 63 forms based on all permutations of the
21379:There are 12 unique uniform honeycombs, including:
17508:
Cellitruncated icosiheptaheptacontidipeton (catjak)
12599:
Celliprismatorhombated hexacontatetrapeton (coprag)
12507:
Celliprismatotruncated hexacontatetrapeton (captog)
30050:
30008:
29972:
29935:
29892:
29849:
29806:
29036:Kaleidoscopes: Selected Writings of H.S.M. Coxeter
28914:List of regular polytopes § Higher dimensions
27793:
27719:
27644:
27548:
27454:
27360:
27273:
27189:
27105:
27028:
26953:
26874:
26740:
26704:
26596:
26560:
26467:
26431:
26318:
26282:
26174:
26138:
26045:
26009:
25906:
25870:
25772:
25736:
25653:
25617:
25494:
25458:
25422:
25299:
25263:
25227:
25104:
25068:
25032:
24919:
24883:
24847:
24734:
24698:
24662:
24559:
24523:
24487:
24344:
24308:
24272:
24236:
24200:
24077:
24041:
24005:
23969:
23836:
23800:
23764:
23728:
23595:
23559:
23523:
23487:
23384:
23348:
23312:
23194:
23158:
23122:
22999:
22963:
22927:
22814:
22778:
22685:
22649:
22536:
22500:
22397:
22361:
22268:
22232:
21877:
21683:
21527:
21371:
21224:
21069:
20963:
20877:
17865:Tritruncated icosiheptaheptacontidipeton (titajak)
17578:Demitruncated icosiheptaheptacontidipeton (hotjak)
17277:Demirectified icosiheptaheptacontidipeton (harjak)
12875:Teriprismatotruncated hexacontatetrapeton (tocrax)
29078:, Ph.D. Dissertation, University of Toronto, 1966
20806:
17207:Bitruncated icosiheptaheptacontidipeton (botajik)
14255:Great teri-hexeractihexacontitetrapeton (gotaxog)
13151:Tericelli-hexeractihexacontitetrapeton (tactaxog)
12415:Celligreatorhombated hexacontatetrapeton (cagorg)
5065:. All 35 are enumerated below. They are named by
2169:Uniform 6-polytopes by fundamental Coxeter groups
2017:has not been determined, but most can be made as
30610:
13795:Terigreatoprismated hexacontatetrapeton (tagpog)
12783:Terigreatorhombated hexacontatetrapeton (togrig)
11035:Biprismatotruncated hexacontatetrapeton (boprax)
10019:Small teri-hexeractihexacontitetrapeton (stoxog)
19880:Great birhombated pentacontatetrapeton (gabrim)
19765:Small birhombated pentacontatetrapeton (sabrim)
14308:. Of these, 31 (2×16−1) are repeated from the B
8239:tericelligreatorhombated heptapeton (tacogral)
29076:The Theory of Uniform Polytopes and Honeycombs
19995:Prismatotruncated pentacontatetrapeton (patom)
16430:Celliprismatorhombated hemihexeract (caprohax)
14180:
14088:
13996:
13904:
13812:
13720:
13628:
13536:
13444:
13352:
13260:
13168:
13076:
12984:
12892:
12800:
12708:
12616:
12524:
12432:
12340:
12248:
12156:
12064:
11972:
11880:
11788:
11696:
11604:
11512:
11420:
11328:
11236:
11144:
11052:
10960:
10868:
10776:
10759:Great birhombated hexacontatetrapeton (gaborg)
10684:
10592:
10500:
10408:
10312:
10220:
10128:
10036:
9944:
9852:
9760:
9668:
9576:
9484:
9467:Small birhombated hexacontatetrapeton (siborg)
9392:
9300:
9208:
9112:
9016:
8920:
8824:
8728:
8632:
8536:
8440:
29736:
29143:
27845:Construction of the reflective 6-dimensional
20782:
20110:Prismatorhombated pentacontatetrapeton (prom)
16886:Truncated icosiheptaheptacontidipeton (tojak)
16804:Rectified icosiheptaheptacontidipeton (rojak)
16291:Celliprismatotruncated hemihexeract (capthix)
10575:Prismatotruncated hexacontatetrapeton (potag)
2531:
21535:There are 35 uniform honeycombs, including:
20225:Great prismated pentacontatetrapeton (gopam)
17125:Demified icosiheptaheptacontidipeton (hejak)
16152:Celligreatorhombated hemihexeract (cagrohax)
13979:Tericelligreatorhombated hexeract (tocagrax)
10667:Prismatorhombated hexacontatetrapeton (prog)
2131:: The search was expanded systematically by
28939:, Messenger of Mathematics, Macmillan, 1900
20265:}, form an infinite class for all integers
19650:Small prismated pentacontatetrapeton (spam)
19535:Great rhombated pentacontatetrapeton (gram)
19420:Small rhombated pentacontatetrapeton (sram)
12323:Great prismated hexacontatetrapeton (gopog)
7963:teriprismatorhombi-tetradecapeton (taporf)
7227:celliprismatorhombated heptapeton (copril)
7135:celliprismatotruncated heptapeton (captal)
3116:, and six are formed by the product of two
29743:
29729:
29150:
29136:
13703:Great cellated hexacontatetrapeton (gocog)
11127:Celliprismated hexacontatetrapeton (copog)
10851:Cellitruncated hexacontatetrapeton (catog)
10483:Great rhombated hexacontatetrapeton (grog)
9375:Small prismated hexacontatetrapeton (spog)
9187:Small rhombated hexacontatetrapeton (srog)
4186:Enumerating the convex uniform 6-polytopes
18:
26825:Regular and uniform hyperbolic honeycombs
19305:Tritruncated pentacontatetrapeton (titam)
11495:Terirhombated hexacontatetrapeton (tapox)
11403:Teritruncated hexacontatetrapeton (tacox)
10943:Cellirhombated hexacontatetrapeton (crag)
9651:Small cellated hexacontatetrapeton (scag)
8055:terigreatoprismated heptapeton (tagopal)
7319:great biprismato-tetradecapeton (gibpof)
6951:celligreatorhombated heptapeton (cagral)
6583:small biprismato-tetradecapeton (sibpof)
1851:
1725:
1605:
1426:
1217:
1077:
937:
728:
519:
379:
239:
30:
29093:"Uniform polytopes truncation operators"
26835:12 paracompact hyperbolic Coxeter groups
21340:Regular and uniform honeycombs include:
20810:
19190:Bitruncated pentacontatetrapeton (bitem)
18954:Trirectified pentacontatetrapeton (trim)
13335:Celliprismatotruncated hexeract (captix)
13059:Celliprismatorhombated hexeract (coprix)
8147:tericellitrunki-tetradecapeton (tactaf)
7779:terigreatorhombated heptapeton (togral)
6859:biprismatorhombated heptapeton (bapril)
2099:: (Various definitions before Coxeter's
29715:List of regular polytopes and compounds
18834:Birectified pentacontatetrapeton (barm)
15457:Prismatorhombated hemihexeract (prohax)
15318:Prismatotruncated hemihexeract (pithax)
13243:Teriprismatotruncated hexeract (tocrag)
9283:Bitruncated hexacontatetrapeton (botag)
7871:tericellirhombated heptapeton (tocral)
4077:families of polytopes constructed as a
2059:
30611:
29064:Regular and Semi-Regular Polytopes III
14294:family has symmetry of order 23040 (6
13519:Celligreatorhombated hexeract (cagorx)
8707:Birectified hexacontatetrapeton (brag)
8384:family has symmetry of order 46080 (6
6307:great birhombated heptapeton (gabril)
5939:small birhombated heptapeton (sabril)
4179:Family based on p,q,r-gonal triprisms
29057:Regular and Semi-Regular Polytopes II
16621:family has symmetry of order 51,840.
16013:Great prismated hemihexeract (gophax)
15179:Great rhombated hemihexeract (girhax)
14901:Small prismated hemihexeract (sophax)
14762:Small rhombated hemihexeract (sirhax)
14071:Terigreatoprismated hexeract (tagpox)
13427:Terigreatorhombated hexeract (togrix)
11219:Biprismatotruncated hexeract (boprag)
6031:prismatotruncated heptapeton (patal)
5076:family has symmetry of order 5040 (7
29090:
29081:
29050:Regular and Semi Regular Polytopes I
19074:Truncated pentacontatetrapeton (tim)
18714:Rectified pentacontatetrapeton (ram)
16569:Great cellated hemihexeract (gochax)
15874:Celliprismated hemihexeract (cophix)
15735:Cellirhombated hemihexeract (crohax)
15596:Cellitruncated hemihexeract (cathix)
15040:Small cellated demihexeract (sochax)
13884:Pentistericantitruncated 6-orthoplex
13792:Pentiruncicantitruncated 6-orthoplex
13700:Steriruncicantitruncated 6-orthoplex
6215:prismatorhombated heptapeton (pril)
29030:, 3rd Edition, Dover New York, 1973
27853:process, and represented through a
27029:{\displaystyle {\widehat {AR}}_{5}}
26954:{\displaystyle {\widehat {AU}}_{5}}
11311:Great birhombated hexeract (gaborx)
9835:Small birhombated hexeract (saborx)
9091:Truncated hexacontatetrapeton (tag)
8611:Rectified hexacontatetrapeton (rag)
6399:great prismated heptapeton (gapil)
13:
30051:{\displaystyle {\tilde {E}}_{n-1}}
29936:{\displaystyle {\tilde {D}}_{n-1}}
29893:{\displaystyle {\tilde {B}}_{n-1}}
29850:{\displaystyle {\tilde {C}}_{n-1}}
29807:{\displaystyle {\tilde {A}}_{n-1}}
20819:There are four fundamental affine
12139:Prismatotruncated hexeract (potax)
9559:Hexeractihexacontitetrapeton (xog)
8331:great teri-tetradecapeton (gotaf)
8236:Pentistericantitruncated 6-simplex
8052:Pentiruncicantitruncated 6-simplex
7503:small teri-tetradecapeton (staff)
7411:great cellated heptapeton (gacal)
7408:Steriruncicantitruncated 6-simplex
7043:celliprismated heptapeton (copal)
6675:cellitruncated heptapeton (catal)
5847:small prismated heptapeton (spil)
5755:great rhombated heptapeton (gril)
5571:small rhombated heptapeton (sril)
2137:Regular and Semi-Regular Polytopes
2082:Theorie der vielfachen Kontinuität
2040:The simplest uniform polypeta are
14:
30630:
29100:
29084:"6D uniform polytopes (polypeta)"
21457:Omnitruncated 5-simplex honeycomb
16722:Icosiheptaheptacontidipeton (jak)
13611:Great prismated hexeract (gippox)
12596:Steriruncicantellated 6-orthoplex
11863:Prismatorhombated hexeract (prox)
7687:teriprismated heptapeton (topal)
6767:cellirhombated heptapeton (cral)
6491:small cellated heptapeton (scal)
2145:Nonregular uniform star polytopes
30009:{\displaystyle {\tilde {F}}_{4}}
29973:{\displaystyle {\tilde {G}}_{2}}
28893:
28888:
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231:
226:
221:
216:
211:
206:
201:
196:
191:
186:
181:
170:
162:
157:
152:
147:
142:
137:
132:
127:
122:
117:
112:
101:
93:
88:
83:
78:
73:
68:
63:
58:
53:
48:
43:
32:
29112:Polytopes of Various Dimensions
14163:Great cellated hexeract (gocax)
14160:Steriruncicantitruncated 6-cube
14068:Pentiruncicantitruncated 6-cube
13976:Pentistericantitruncated 6-cube
12872:Pentiruncitruncated 6-orthoplex
12780:Penticantitruncated 6-orthoplex
12504:Steriruncitruncated 6-orthoplex
12412:Stericantitruncated 6-orthoplex
12320:Runcicantitruncated 6-orthoplex
12231:Great rhombated hexeract (grox)
12047:Cellitruncated hexeract (catax)
11587:Celliprismated hexeract (copox)
10295:Small rhombated hexeract (srox)
10203:Small prismated hexeract (spox)
7960:Pentiruncicantellated 6-simplex
7316:Biruncicantitruncated 6-simplex
7224:Steriruncicantellated 6-simplex
5663:bitruncated heptapeton (batal)
3104:families of polytopes based on
30030:
29994:
29958:
29915:
29872:
29829:
29786:
28965:
28954:
28942:
28926:
27794:{\displaystyle {\bar {L}}_{5}}
27779:
27720:{\displaystyle {\bar {M}}_{5}}
27705:
27645:{\displaystyle {\bar {Q}}_{5}}
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27549:{\displaystyle {\bar {R}}_{5}}
27534:
27455:{\displaystyle {\bar {X}}_{5}}
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27361:{\displaystyle {\bar {U}}_{5}}
27346:
27274:{\displaystyle {\bar {N}}_{5}}
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27190:{\displaystyle {\bar {O}}_{5}}
27175:
27106:{\displaystyle {\bar {S}}_{5}}
27091:
26875:{\displaystyle {\bar {P}}_{5}}
26860:
26841:Hyperbolic paracompact groups
26726:
26690:
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26546:
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26160:
26124:
26031:
25995:
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25856:
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24186:
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24027:
23991:
23955:
23822:
23786:
23750:
23714:
23581:
23545:
23509:
23473:
23370:
23334:
23298:
23180:
23144:
23108:
22985:
22949:
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22800:
22764:
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22635:
22522:
22486:
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22347:
22254:
22218:
21863:
21696:alternated hypercube honeycomb
21669:
21513:
21357:
21210:
21055:
20949:
20863:
20807:Regular and uniform honeycombs
11955:Teritruncated hexeract (tacog)
11771:Cellirhombated hexeract (crax)
11679:Terirhombated hexeract (topag)
10111:Small cellated hexeract (scox)
5479:birectified heptapeton (bril)
5036:Duoprism prism families: , , .
16:Uniform 6-dimensional polytope
1:
28983:
21985:. The other two new ones are
21425:Truncated 5-simplex honeycomb
20244:
14619:Truncated hemihexeract (thax)
8144:Pentisteritruncated 6-simplex
7868:Pentiruncitruncated 6-simplex
7776:Penticantitruncated 6-simplex
7132:Steriruncitruncated 6-simplex
6948:Stericantitruncated 6-simplex
6396:Runcicantitruncated 6-simplex
21192:
21037:
20931:
20845:
20709:
20657:
20547:
20401:
18385:
18315:
18245:
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18105:
18035:
17958:
17881:
17811:
17741:
17671:
17594:
17524:
17447:
17370:
17293:
17223:
17146:
17071:
16989:
16907:
16825:
16743:
16661:
16566:Pentisteriruncicantic 6-cube
16453:
16314:
16175:
16036:
15897:
15758:
15619:
15480:
15341:
15202:
15063:
14924:
14785:
14646:
14503:
14360:
13056:Steriruncicantellated 6-cube
12964:Pentiruncicantellated 6-cube
12688:Biruncicantitruncated 6-cube
11492:Penticantellated 6-orthoplex
11032:Biruncitruncated 6-orthoplex
10940:Stericantellated 6-orthoplex
10756:Bicantitruncated 6-orthoplex
10664:Runcicantellated 6-orthoplex
9927:Bitruncated hexeract (botox)
8171:
7987:
7803:
7711:
7619:
7527:
7343:
7159:
7067:
6975:
6883:
6791:
6699:
6607:
6423:
6331:
6239:
6147:
5963:
5871:
5779:
5687:
5595:
5503:
5411:
5319:
5227:
5135:
2514:
7:
29062:(Paper 24) H.S.M. Coxeter,
29055:(Paper 23) H.S.M. Coxeter,
29048:(Paper 22) H.S.M. Coxeter,
28907:
27616:
27331:
27076:
26845:
11124:Steriruncinated 6-orthoplex
8803:Birectified hexeract (brox)
5387:truncated heptapeton (til)
5295:rectified heptapeton (ril)
2149:nonconvex uniform polyhedra
10:
30635:
29704:
29131:
29118:Multi-dimensional Glossary
21542:of Euclidean 5-space, the
20783:Non-Wythoffian 6-polytopes
16603:
14283:
13608:Runcicantitruncated 6-cube
13516:Stericantitruncated 6-cube
13424:Penticantitruncated 6-cube
13332:Steriruncitruncated 6-cube
13240:Pentiruncitruncated 6-cube
13148:Pentisteritruncated 6-cube
11400:Pentitruncated 6-orthoplex
10848:Steritruncated 6-orthoplex
10572:Runcitruncated 6-orthoplex
10480:Cantitruncated 6-orthoplex
8366:
7684:Penticantellated 6-simplex
6856:Biruncitruncated 6-simplex
6764:Stericantellated 6-simplex
6304:Bicantitruncated 6-simplex
6212:Runcicantellated 6-simplex
5106:Bowers name and (acronym)
5054:
4775:, a half symmetry form of
2532:Uniform prismatic families
2015:convex uniform 6-polytopes
29724:
27882:
22189:
21889:, with symbols q{4,3,4},
21887:quarter 5-cubic honeycomb
21702:, with symbols h{4,3,4},
20831:
20377:
20374:
20369:
18594:Pentacontatetrapeton (mo)
18471:
18468:
18463:
18460:
16637:
16634:
16629:
16626:
14336:
14333:
14328:
14325:
14320:
14317:
9464:Bicantellated 6-orthoplex
8515:Hexacontatetrapeton (gee)
8416:
8413:
8408:
8403:
8400:
7040:Steriruncinated 6-simplex
5111:
5108:
5100:
5095:
5092:
4089:
3555:
3128:
3097:There are 11 categorical
2810:
2557:
2409:
2406:
2188:
2080:proved in his manuscript
2056:(hexacross) {3,3,3,3,4}.
1998:. A uniform polypeton is
1914:
1852:
1788:
1726:
1665:
1606:
1545:
1486:
1427:
1356:
1287:
1218:
1147:
1078:
1007:
938:
867:
798:
729:
658:
589:
520:
449:
380:
309:
240:
169:
100:
31:
30118:Uniform convex honeycomb
28998:Messenger of Mathematics
28919:
28825:operation for polypeta)
28116:Birectification reduces
27899:
21546:, with symbols {4,3,4},
20799:in 4 dimensions and any
10387:Truncated hexeract (tox)
8899:Rectified hexeract (rax)
8377:with one or more rings.
7592:Pentitruncated 6-simplex
6672:Steritruncated 6-simplex
6028:Runcitruncated 6-simplex
5752:Cantitruncated 6-simplex
5039:Duoprism families: , , .
2541:There are 6 categorical
2123:Convex uniform polytopes
29123:Glossary for hyperspace
27966:Any regular 6-polytope
16612:Coxeter-Dynkin diagrams
16427:Pentisteriruncic 6-cube
16288:Pentistericantic 6-cube
16149:Pentiruncicantic 6-cube
16010:Steriruncicantic 6-cube
11860:Runcicantellated 6-cube
11768:Stericantellated 6-cube
11676:Penticantellated 6-cube
11308:Bicantitruncated 6-cube
11216:Biruncitruncated 6-cube
9280:Bitruncated 6-orthoplex
9184:Cantellated 6-orthoplex
8704:Birectified 6-orthoplex
8375:Coxeter-Dynkin diagrams
8328:Omnitruncated 6-simplex
5936:Bicantellated 6-simplex
2175:Coxeter-Dynkin diagrams
2035:Coxeter-Dynkin diagrams
737:Cantellated 6-orthoplex
30052:
30010:
29974:
29937:
29894:
29851:
29808:
27855:Coxeter-Dynkin diagram
27795:
27721:
27646:
27550:
27456:
27362:
27275:
27191:
27107:
27030:
26955:
26876:
26742:
26706:
26598:
26562:
26469:
26433:
26320:
26284:
26176:
26140:
26047:
26011:
25908:
25872:
25774:
25738:
25655:
25619:
25496:
25460:
25424:
25301:
25265:
25229:
25106:
25070:
25034:
24921:
24885:
24849:
24736:
24700:
24664:
24561:
24525:
24489:
24346:
24310:
24274:
24238:
24202:
24079:
24043:
24007:
23971:
23838:
23802:
23766:
23730:
23597:
23561:
23525:
23489:
23386:
23350:
23314:
23196:
23160:
23124:
23001:
22965:
22929:
22816:
22780:
22687:
22651:
22538:
22502:
22399:
22363:
22270:
22234:
22196:Coxeter-Dynkin diagram
21879:
21685:
21529:
21373:
21226:
21071:
20965:
20879:
20816:
14306:Coxeter-Dynkin diagram
11584:Steriruncinated 6-cube
9648:Stericated 6-orthoplex
9372:Runcinated 6-orthoplex
8405:Coxeter-Dynkin diagram
6580:Biruncinated 6-simplex
6120:Tritruncated 6-simplex
5063:Coxeter-Dynkin diagram
3079:Prism family based on
2989:Prism family based on
2899:Prism family based on
2796:Prism family based on
2724:Prism family based on
2642:Prism family based on
2195:Coxeter-Dynkin diagram
1553:Cantellated 6-demicube
875:Stericated 6-orthoplex
806:Runcinated 6-orthoplex
30492:Uniform 10-honeycomb
30053:
30011:
29975:
29938:
29895:
29852:
29809:
27796:
27722:
27647:
27551:
27457:
27363:
27276:
27192:
27108:
27031:
26956:
26877:
26833:. However, there are
26743:
26707:
26599:
26563:
26470:
26434:
26321:
26285:
26177:
26141:
26048:
26012:
25909:
25873:
25775:
25739:
25656:
25620:
25497:
25461:
25425:
25302:
25266:
25230:
25107:
25071:
25035:
24922:
24886:
24850:
24737:
24701:
24665:
24562:
24526:
24490:
24347:
24311:
24275:
24239:
24203:
24080:
24044:
24008:
23972:
23839:
23803:
23767:
23731:
23598:
23562:
23526:
23490:
23387:
23351:
23315:
23197:
23161:
23125:
23002:
22966:
22930:
22817:
22781:
22688:
22652:
22539:
22503:
22400:
22364:
22271:
22235:
21880:
21700:5-demicubic honeycomb
21686:
21530:
21374:
21227:
21072:
20966:
20880:
20814:
20688:{3}×{3}×{3} (trittip)
18013:Stericantitruncated 2
17936:Runcicantitruncated 2
16604:Further information:
14331:(Alternately signed)
14284:Further information:
12228:Cantitruncated 6-cube
12136:Runcitruncated 6-cube
12044:Steritruncated 6-cube
11952:Pentitruncated 6-cube
9088:Truncated 6-orthoplex
8608:Rectified 6-orthoplex
8367:Further information:
7500:Pentellated 6-simplex
5660:Bitruncated 6-simplex
5568:Cantellated 6-simplex
5476:Birectified 6-simplex
5055:Further information:
2096:semiregular polytopes
2019:Wythoff constructions
1994:is a six-dimensional
1673:Stericated 6-demicube
1614:Runcinated 6-demicube
666:Rectified 6-orthoplex
597:Truncated 6-orthoplex
457:Pentellated 6-simplex
248:Cantellated 6-simplex
30020:
29984:
29948:
29905:
29862:
29819:
29776:
27851:Wythoff construction
27769:
27695:
27620:
27524:
27430:
27336:
27249:
27165:
27081:
26999:
26924:
26850:
26716:
26680:
26572:
26536:
26443:
26407:
26294:
26258:
26150:
26114:
26021:
25985:
25882:
25846:
25748:
25712:
25629:
25593:
25470:
25434:
25398:
25275:
25239:
25203:
25080:
25044:
25008:
24895:
24859:
24823:
24710:
24674:
24638:
24535:
24499:
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23740:
23704:
23571:
23535:
23499:
23463:
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23288:
23170:
23134:
23098:
22975:
22939:
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