421:
176:
2203:
31:
1189:
1649:
2757:
3988:
3621:
3818:
1976:
3193:
1481:
2089:
1792:
3446:
4218:
2509:
1466:
4095:
4607:
2875:
2610:
1327:
3826:
2304:
4426:
3452:
2599:
3676:
2961:
1830:
3023:
987:
385:
303:
158:
323:, which is the only ellipse, that fulfills the preconditions. The desired ellipse has to contain the triangle reflected at the center of the ellipse. This is true for the circumcircle. A
2197:
1644:{\displaystyle \ {\vec {x}}={\vec {p}}(t)={\overrightarrow {OS}}\;+\;{\overrightarrow {SC}}\;\cos t\;+\;{\frac {1}{\sqrt {3}}}{\overrightarrow {AB}}\;\sin t\;,\quad 0\leq t<2\pi \;.}
4466:
1059:
719:
653:
1981:
2971:
If the vertices are already known (see above), the semi axes can be determined. If one is interested in the axes and eccentricity only, the following method is more appropriate:
1662:
926:
4329:
341:
and the centroid of a triangle is mapped onto the centroid of the image triangle, the property (a unique circumellipse with the centroid as center) is true for any triangle.
3276:
3011:
3268:
4111:
2312:
807:
1088:
877:
852:
678:
1819:
500:
260:
4249:
529:
387:-fold of the area of the triangle. An affine map preserves the ratio of areas. Hence the statement on the ratio is true for any triangle and its Steiner ellipse.
228:
1174:
1151:
612:
3664:
3644:
3236:
3216:
1128:
1108:
1018:
827:
779:
759:
739:
589:
569:
549:
466:
446:
202:
1336:
4003:
109:
of a triangle is another circumconic that touches the triangle at its vertices, but is not centered at the triangle's centroid unless the triangle is
4477:
2762:
160:
and hence is 4 times the area of the
Steiner inellipse. The Steiner ellipse has the least area of any ellipse circumscribed about the triangle.
2752:{\displaystyle \quad A=(-{\tfrac {3}{2}}{\sqrt {3}},-{\tfrac {3}{2}}),\ B=({\tfrac {\sqrt {3}}{2}},-{\tfrac {3}{2}}),\ C=({\sqrt {3}},3)\quad }
3983:{\displaystyle \qquad M={\vec {SC}}^{2}+{\frac {1}{3}}{\vec {AB}}^{2}\ ,\quad N={\frac {1}{\sqrt {3}}}|\det({\vec {SC}},{\vec {AB}})|\qquad }
1199:
2215:
If the origin is the centroid of the triangle (center of the
Steiner ellipse) the equation corresponding to the parametric representation
163:
The
Steiner ellipse is the scaled Steiner inellipse (factor 2, center is the centroid). Hence both ellipses are similar (have the same
4352:
2218:
3616:{\displaystyle \rightarrow \quad (a+b)^{2}=M+2N,\ (a-b)^{2}=M-2N\quad \rightarrow \quad a+b={\sqrt {M+2N}},\ a-b={\sqrt {M-2N}}\ .}
4714:
4698:
3813:{\displaystyle \ a={\frac {1}{2}}({\sqrt {M+2N}}+{\sqrt {M-2N}})\ ,\qquad b={\frac {1}{2}}({\sqrt {M+2N}}-{\sqrt {M-2N}})\ ,}
17:
2517:
1971:{\displaystyle \cot(2t_{0})={\frac {{\vec {f}}_{1}^{\,2}-{\vec {f}}_{2}^{\,2}}{2{\vec {f}}_{1}\cdot {\vec {f}}_{2}}}\quad }
3188:{\displaystyle a^{2}+b^{2}={\vec {SC}}^{2}+{\vec {SD}}^{2}\ ,\quad a\cdot b=\left|\det({\vec {SC}},{\vec {SD}})\right|\ .}
2883:
1475:
From the investigation of the previous section one gets the following parametric representation of the
Steiner ellipse:
2092:
338:
938:
347:
265:
119:
2110:
4437:
3014:
2084:{\displaystyle \quad {\vec {f}}_{1}={\vec {SC}},\quad {\vec {f}}_{2}={\frac {1}{\sqrt {3}}}{\vec {AB}}\quad }
1787:{\displaystyle \quad {\vec {p}}(t_{0}),\;{\vec {p}}(t_{0}\pm {\frac {\pi }{2}}),\;{\vec {p}}(t_{0}+\pi ),\ }
4678:
3441:{\displaystyle a^{2}+b^{2}=M,\ ab=N\quad \rightarrow \quad a^{2}+2ab+b^{2}=M+2N,\ a^{2}-2ab+b^{2}=M-2N}
164:
4269:
1180:
With help of this pair of conjugate semi diameters the ellipse can be drawn, by hand or by computer.
4724:
4213:{\displaystyle F=\pi ab=\pi N={\frac {\pi }{\sqrt {3}}}\left|\det({\vec {SC}},{\vec {AB}})\right|}
2977:
2504:{\displaystyle \ (xf_{2y}-yf_{2x})^{2}+(yf_{1x}-xf_{1y})^{2}-(f_{1x}f_{2y}-f_{1y}f_{2x})^{2}=0\ ,}
4719:
3241:
407:
882:
4346:
The semi-major and semi-minor axes (of a triangle with sides of length a, b, c) have lengths
4260:
1023:
683:
617:
1797:
997:
473:
233:
110:
8:
4228:
784:
508:
207:
1461:{\displaystyle \ S=({\tfrac {a_{1}+b_{1}+c_{1}}{3}},{\tfrac {a_{2}+b_{2}+c_{2}}{3}})\ .}
1156:
1133:
1068:
857:
832:
658:
594:
327:
is uniquely determined by 5 points. Hence the circumcircle is the only
Steiner ellipse.
3649:
3629:
3221:
3201:
1113:
1093:
1003:
812:
764:
744:
724:
574:
554:
534:
451:
431:
187:
35:
2101:
The roles of the points for determining the parametric representation can be changed.
4694:
809:(symmetry reasons). This vertex can be determined from the data (ellipse with center
395:
An ellipse can be drawn (by computer or by hand), if besides the center at least two
90:
78:
39:
4614:
4341:
396:
4679:
CDKG: Computerunterstützte
Darstellende und Konstruktive Geometrie (TU Darmstadt)
4090:{\displaystyle c={\sqrt {a^{2}-b^{2}}}=\cdots ={\sqrt {\sqrt {M^{2}-4N^{2}}}}\ .}
410:
the vertices of the ellipse and draws the ellipse with a suitable ellipse compass
4627:
4602:{\displaystyle Z={\sqrt {a^{4}+b^{4}+c^{4}-a^{2}b^{2}-b^{2}c^{2}-c^{2}a^{2}}}.}
2870:{\displaystyle {\vec {f}}_{1}=({\sqrt {3}},3)^{T},\ {\vec {f}}_{2}=(2,0)^{T}\ }
4708:
324:
98:
82:
55:
320:
106:
2966:
102:
420:
1130:
is fixed, because it is a point on the shear axis. Hence semi diameter
334:
1330:
Wanted: Parametric representation and equation of its
Steiner ellipse
116:
The area of the
Steiner ellipse equals the area of the triangle times
1322:{\displaystyle \ A=(a_{1},a_{2}),\;B=(b_{1},b_{2}),\;C=(c_{1},c_{2})}
1192:
Steiner ellipse of a triangle including the axes and verices (purple)
175:
43:
2202:
184:
A Steiner ellipse is the only ellipse, whose center is the centroid
94:
70:
62:
47:
27:
Circumellipse of a triangle whose center is the triangle's centroid
30:
4655:
2299:{\textstyle {\vec {x}}={\vec {f}}_{1}\cos t+{\vec {f}}_{2}\sin t}
1188:
86:
38:. The three line segments inside the triangle are the triangle's
4421:{\displaystyle {\frac {1}{3}}{\sqrt {a^{2}+b^{2}+c^{2}\pm 2Z}},}
4342:
Alternative calculation of the semi axes and linear eccentricity
3238:
respectively and transforming the non linear system (respecting
3017:
on properties of conjugate semi diameters of ellipses one gets:
179:
Steiner ellipse of an equilateral (left) and isosceles triangle
426:
1) transformation of the triangle onto an isosceles triangle
424:
Steps for determining congugate points on a
Steiner ellipse:
344:
The area of the circumcircle of an equilateral triangle is
4251:
in this section with other meanings in this article !
416:
uses an parametric representation for drawing the ellipse.
1183:
319:
For an equilateral triangle the
Steiner ellipse is the
2967:
Determination of the semi-axes and linear eccentricity
2703:
2683:
2653:
2628:
2594:{\displaystyle \ {\vec {f}}_{i}=(f_{ix},f_{iy})^{T}\ }
2221:
1403:
1353:
352:
270:
4480:
4440:
4355:
4272:
4231:
4114:
4006:
3829:
3679:
3652:
3632:
3455:
3279:
3244:
3224:
3204:
3026:
2980:
2886:
2765:
2613:
2520:
2315:
2113:
1984:
1833:
1800:
1665:
1484:
1339:
1202:
1159:
1136:
1116:
1096:
1071:
1026:
1006:
941:
885:
860:
835:
815:
787:
767:
747:
727:
686:
661:
620:
614:
transforms the triangle onto the isosceles triangle
597:
577:
557:
537:
511:
476:
470:
3) drawing the ellipse with conjugate half diameters
454:
434:
350:
268:
236:
210:
190:
122:
2956:{\displaystyle 9x^{2}+7y^{2}-6{\sqrt {3}}xy-36=0\ .}
390:
4601:
4460:
4420:
4323:
4243:
4212:
4089:
3982:
3812:
3658:
3638:
3615:
3440:
3262:
3230:
3210:
3198:Denoting the right hand sides of the equations by
3187:
3005:
2955:
2869:
2751:
2593:
2503:
2298:
2191:
2083:
1970:
1813:
1786:
1643:
1460:
1321:
1168:
1145:
1122:
1102:
1082:
1053:
1012:
981:
920:
871:
846:
821:
801:
773:
753:
733:
713:
672:
647:
606:
583:
563:
543:
523:
494:
460:
440:
379:
297:
254:
222:
196:
152:
50:, which is also the center of the Steiner ellipse.
1020:of the Steiner ellipse of the isosceles triangle
4706:
4689:Georg Glaeser, Hellmuth Stachel, Boris Odehnal:
4159:
3928:
3128:
680:is a vertex of the Steiner ellipse of triangle
399:on conjugate diameters are known. In this case
46:a side. The medians coincide at the triangle's
2877:one gets the equation of the Steiner ellipse:
982:{\displaystyle |SD|={\frac {c}{\sqrt {3}}}\ .}
380:{\displaystyle {\tfrac {4\pi }{3{\sqrt {3}}}}}
337:of an equilateral triangle, an ellipse is the
298:{\displaystyle {\tfrac {4\pi }{3{\sqrt {3}}}}}
153:{\displaystyle {\frac {4\pi }{3{\sqrt {3}}}},}
4259:The equation of the Steiner circumellipse in
4649:
4647:
4645:
4643:
3013:the semi axes of the Steiner ellipse. From
2192:{\displaystyle A=(-5,-5),B=(0,25),C=(20,0)}
2993:
1743:
1698:
1637:
1614:
1604:
1576:
1572:
1562:
1546:
1542:
1283:
1244:
4461:{\displaystyle {\frac {2}{3}}{\sqrt {Z}}}
2206:Steiner ellipse as example for "equation"
1912:
1884:
4640:
2201:
1187:
419:
174:
29:
14:
4707:
1184:Parametric representation and equation
4653:
4254:
333:Because an arbitrary triangle is the
262:. The area of the Steiner ellipse is
24:
25:
4736:
2759:is the origin. From the vectors
391:Determination of conjugate points
93:) whose center is the triangle's
89:that touches the triangle at its
4324:{\displaystyle bcyz+cazx+abxy=0}
1333:The centroid of the triangle is
4681:(PDF; 3,4 MB), p. 65.
3979:
3904:
3830:
3746:
3544:
3540:
3459:
3331:
3327:
3110:
2748:
2614:
2080:
2028:
1985:
1967:
1666:
1618:
1065:The inverse shear mapping maps
339:affine image of the unit circle
4672:
4202:
4196:
4176:
4162:
3975:
3971:
3965:
3945:
3931:
3924:
3886:
3849:
3801:
3763:
3737:
3699:
3541:
3516:
3503:
3473:
3460:
3456:
3328:
3171:
3165:
3145:
3131:
3092:
3065:
2855:
2842:
2827:
2805:
2788:
2773:
2745:
2729:
2714:
2679:
2664:
2621:
2579:
2546:
2531:
2480:
2421:
2409:
2370:
2358:
2319:
2275:
2244:
2228:
2186:
2174:
2162:
2150:
2138:
2120:
2074:
2036:
2019:
1993:
1952:
1930:
1900:
1872:
1856:
1840:
1775:
1756:
1750:
1737:
1711:
1705:
1692:
1679:
1673:
1521:
1515:
1509:
1494:
1449:
1349:
1316:
1290:
1277:
1251:
1238:
1212:
954:
943:
908:
887:
551:. The shear mapping with axis
13:
1:
4715:Curves defined for a triangle
4633:
305:-fold of the triangle's area.
170:
3006:{\displaystyle a,b,\;a>b}
1000:(see center diagram) vertex
531:a triangle and its centroid
7:
4621:
3263:{\displaystyle a>b>0}
77:to distinguish it from the
10:
4741:
3997:of the Steiner ellipse is
1471:Parametric representation:
428:2) determination of point
53:
34:The Steiner ellipse of an
2607:The centroid of triangle
4612:The foci are called the
921:{\displaystyle |A'B'|=c}
741:of this ellipse lies on
230:and contains the points
101:, it is an example of a
54:Not to be confused with
4656:"Steiner Circumellipse"
4225:One should not confuse
4691:The Universe of Conics
4603:
4462:
4422:
4325:
4245:
4214:
4091:
3984:
3814:
3660:
3640:
3617:
3442:
3264:
3232:
3212:
3189:
3007:
2957:
2871:
2753:
2595:
2505:
2300:
2207:
2193:
2085:
1972:
1815:
1788:
1645:
1462:
1323:
1193:
1170:
1147:
1124:
1104:
1084:
1055:
1054:{\displaystyle A'B'C'}
1014:
983:
922:
873:
848:
823:
803:
775:
755:
735:
715:
714:{\displaystyle A'B'C'}
674:
649:
648:{\displaystyle A'B'C'}
608:
585:
565:
545:
525:
502:
496:
462:
448:which is conjugate to
442:
381:
299:
256:
224:
198:
180:
154:
51:
4660:mathworld.wolfram.com
4604:
4463:
4423:
4326:
4261:trilinear coordinates
4246:
4215:
4092:
3985:
3815:
3661:
3641:
3618:
3443:
3265:
3233:
3213:
3190:
3008:
2958:
2872:
2754:
2596:
2506:
2301:
2205:
2194:
2086:
1973:
1816:
1814:{\displaystyle t_{0}}
1789:
1646:
1463:
1324:
1191:
1171:
1148:
1125:
1105:
1085:
1056:
1015:
984:
923:
874:
849:
824:
804:
776:
756:
736:
716:
675:
655:(see diagram). Point
650:
609:
586:
566:
546:
526:
497:
495:{\displaystyle SC,SD}
463:
443:
423:
382:
300:
257:
255:{\displaystyle A,B,C}
225:
199:
178:
155:
75:Steiner circumellipse
33:
18:Steiner circumellipse
4478:
4438:
4353:
4270:
4229:
4112:
4004:
3827:
3677:
3650:
3630:
3453:
3277:
3242:
3222:
3202:
3024:
2978:
2884:
2763:
2611:
2518:
2313:
2219:
2111:
1982:
1831:
1798:
1663:
1659:of the ellipse are
1482:
1337:
1200:
1157:
1134:
1114:
1094:
1069:
1024:
1004:
939:
932:. It turns out that
883:
858:
833:
813:
785:
781:is perpendicular to
765:
745:
725:
684:
659:
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