1978:
1302:
8626:
1973:{\displaystyle {\begin{aligned}S_{x}&={\frac {1}{2}}\det {\begin{bmatrix}|\mathbf {A} |^{2}&A_{y}&1\\|\mathbf {B} |^{2}&B_{y}&1\\|\mathbf {C} |^{2}&C_{y}&1\end{bmatrix}},\\S_{y}&={\frac {1}{2}}\det {\begin{bmatrix}A_{x}&|\mathbf {A} |^{2}&1\\B_{x}&|\mathbf {B} |^{2}&1\\C_{x}&|\mathbf {C} |^{2}&1\end{bmatrix}},\\a&=\det {\begin{bmatrix}A_{x}&A_{y}&1\\B_{x}&B_{y}&1\\C_{x}&C_{y}&1\end{bmatrix}},\\b&=\det {\begin{bmatrix}A_{x}&A_{y}&|\mathbf {A} |^{2}\\B_{x}&B_{y}&|\mathbf {B} |^{2}\\C_{x}&C_{y}&|\mathbf {C} |^{2}\end{bmatrix}}\end{aligned}}}
7962:
151:
8621:{\displaystyle {\begin{aligned}\alpha ={\frac {\left|P_{2}-P_{3}\right|^{2}\left(P_{1}-P_{2}\right)\cdot \left(P_{1}-P_{3}\right)}{2\left|\left(P_{1}-P_{2}\right)\times \left(P_{2}-P_{3}\right)\right|^{2}}}\\\beta ={\frac {\left|P_{1}-P_{3}\right|^{2}\left(P_{2}-P_{1}\right)\cdot \left(P_{2}-P_{3}\right)}{2\left|\left(P_{1}-P_{2}\right)\times \left(P_{2}-P_{3}\right)\right|^{2}}}\\\gamma ={\frac {\left|P_{1}-P_{2}\right|^{2}\left(P_{3}-P_{1}\right)\cdot \left(P_{3}-P_{2}\right)}{2\left|\left(P_{1}-P_{2}\right)\times \left(P_{2}-P_{3}\right)\right|^{2}}}\end{aligned}}}
8689:
8677:
8665:
4346:
4616:
114:
3882:
8729:
8720:
11006:
4068:
3452:
4357:
3661:
9703:
4341:{\displaystyle p_{0}={\frac {((\left\|\mathbf {a} \right\|^{2}\mathbf {b} -\left\|\mathbf {b} \right\|^{2}\mathbf {a} )\cdot \mathbf {b} )\mathbf {a} -((\left\|\mathbf {a} \right\|^{2}\mathbf {b} -\left\|\mathbf {b} \right\|^{2}\mathbf {a} )\cdot \mathbf {b} )\mathbf {a} }{2(\left\|\mathbf {a} \right\|^{2}\left\|\mathbf {b} \right\|^{2}-(\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} )^{2})}}+\mathbf {C} }
7248:
1011:
1287:
142:. For three non-collinear points, these two lines cannot be parallel, and the circumcenter is the point where they cross. Any point on the bisector is equidistant from the two points that it bisects, from which it follows that this point, on both bisectors, is equidistant from all three triangle vertices. The circumradius is the distance from it to any of the three vertices.
4048:
3260:
3646:
645:
4611:{\displaystyle p_{0}={\frac {\left\|\mathbf {a} \right\|^{2}\left\|\mathbf {b} \right\|^{2}(\mathbf {a} +\mathbf {b} )-(\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} )(\left\|\mathbf {a} \right\|^{2}\mathbf {b} +\left\|\mathbf {b} \right\|^{2}\mathbf {a} )}{2(\left\|\mathbf {a} \right\|^{2}\left\|\mathbf {b} \right\|^{2}-(\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} )^{2})}}+\mathbf {C} }
7642:
3877:{\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {u} \times (\mathbf {v} \times \mathbf {w} )&=(\mathbf {u} \cdot \mathbf {w} )\mathbf {v} -(\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} )\mathbf {w} ,\\\left\|\mathbf {u} \times \mathbf {v} \right\|^{2}&=\left\|\mathbf {u} \right\|^{2}\left\|\mathbf {v} \right\|^{2}-(\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} )^{2}.\end{aligned}}}
10452:
9354:
7862:
2842:
6862:
707:
10769:
1034:
3897:
3447:{\displaystyle r={\frac {\left\|\mathbf {a} \right\|\left\|\mathbf {b} \right\|\left\|\mathbf {a} -\mathbf {b} \right\|}{2\left\|\mathbf {a} \times \mathbf {b} \right\|}}={\frac {\left\|\mathbf {a} -\mathbf {b} \right\|}{2\sin \theta }}={\frac {\left\|\mathbf {A} -\mathbf {B} \right\|}{2\sin \theta }},}
158:
An alternative method to determine the circumcenter is to draw any two lines each one departing from one of the vertices at an angle with the common side, the common angle of departure being 90° minus the angle of the opposite vertex. (In the case of the opposite angle being obtuse, drawing a line at
8702:
These locational features can be seen by considering the trilinear or barycentric coordinates given above for the circumcenter: all three coordinates are positive for any interior point, at least one coordinate is negative for any exterior point, and one coordinate is zero and two are positive for a
9955:
of three points is defined either by the circumcircle (where three points are on the minimum bounding circle) or by the two points of the longest side of the triangle (where the two points define a diameter of the circle). It is common to confuse the minimum bounding circle with the circumcircle.
3488:
425:
7417:
356:
7358:
3245:
6030:
6752:
2229:
9698:{\displaystyle {\begin{aligned}{\text{diameter}}&{}={\frac {abc}{2\cdot {\text{area}}}}={\frac {|AB||BC||CA|}{2|\Delta ABC|}}\\&{}={\frac {abc}{2{\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}}}}\\&{}={\frac {2abc}{\sqrt {(a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)}}}\end{aligned}}}
10285:
6541:
2540:
10260:
7653:
5215:
7243:{\displaystyle U={\frac {a^{2}\left(b^{2}+c^{2}-a^{2}\right)A+b^{2}\left(c^{2}+a^{2}-b^{2}\right)B+c^{2}\left(a^{2}+b^{2}-c^{2}\right)C}{a^{2}\left(b^{2}+c^{2}-a^{2}\right)+b^{2}\left(c^{2}+a^{2}-b^{2}\right)+c^{2}\left(a^{2}+b^{2}-c^{2}\right)}}.}
1006:{\displaystyle {\begin{bmatrix}|\mathbf {v} |^{2}&-2v_{x}&-2v_{y}&-1\\|\mathbf {A} |^{2}&-2A_{x}&-2A_{y}&-1\\|\mathbf {B} |^{2}&-2B_{x}&-2B_{y}&-1\\|\mathbf {C} |^{2}&-2C_{x}&-2C_{y}&-1\end{bmatrix}}}
2653:
10569:
9336:
9913:
8912:
1282:{\displaystyle \det {\begin{bmatrix}|\mathbf {v} |^{2}&v_{x}&v_{y}&1\\|\mathbf {A} |^{2}&A_{x}&A_{y}&1\\|\mathbf {B} |^{2}&B_{x}&B_{y}&1\\|\mathbf {C} |^{2}&C_{x}&C_{y}&1\end{bmatrix}}=0.}
4043:{\displaystyle r={\frac {\left\|\mathbf {a} \right\|\left\|\mathbf {b} \right\|\left\|\mathbf {a} -\mathbf {b} \right\|}{2{\sqrt {\left\|\mathbf {a} \right\|^{2}\left\|\mathbf {b} \right\|^{2}-(\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} )^{2}}}}}}
3641:{\displaystyle p_{0}={\frac {(\left\|\mathbf {a} \right\|^{2}\mathbf {b} -\left\|\mathbf {b} \right\|^{2}\mathbf {a} )\times (\mathbf {a} \times \mathbf {b} )}{2\left\|\mathbf {a} \times \mathbf {b} \right\|^{2}}}+\mathbf {C} .}
6855:
Since the
Cartesian coordinates of any point are a weighted average of those of the vertices, with the weights being the point's barycentric coordinates normalized to sum to unity, the circumcenter vector can be written as
2339:
3035:
640:{\displaystyle {\begin{aligned}|\mathbf {v} -\mathbf {u} |^{2}&=r^{2}\\|\mathbf {A} -\mathbf {u} |^{2}&=r^{2}\\|\mathbf {B} -\mathbf {u} |^{2}&=r^{2}\\|\mathbf {C} -\mathbf {u} |^{2}&=r^{2}\end{aligned}}}
7951:
6237:
6132:
7637:{\displaystyle \mathrm {P_{1}} ={\begin{bmatrix}x_{1}\\y_{1}\\z_{1}\end{bmatrix}},\mathrm {P_{2}} ={\begin{bmatrix}x_{2}\\y_{2}\\z_{2}\end{bmatrix}},\mathrm {P_{3}} ={\begin{bmatrix}x_{3}\\y_{3}\\z_{3}\end{bmatrix}}}
1307:
205:
9009:
2932:
10574:
9359:
9110:
7278:
3165:
10905:
5487:
5648:
4702:
6845:
6560:
9830:
2049:
6351:
2117:
10996:
10290:
10064:
7967:
7283:
3666:
3170:
430:
210:
5628:
9215:
10532:
10447:{\displaystyle {\begin{aligned}{\overline {IG}}&<{\overline {IO}},\\2{\overline {IN}}&<{\overline {IO}},\\{\overline {OI}}^{2}&=2R\cdot {\overline {IN}}.\end{aligned}}}
2106:
4689:
2260:
417:
5643:
7857:{\displaystyle \mathrm {r} ={\frac {\left|P_{1}-P_{2}\right|\left|P_{2}-P_{3}\right|\left|P_{3}-P_{1}\right|}{2\left|\left(P_{1}-P_{2}\right)\times \left(P_{2}-P_{3}\right)\right|}}}
6373:
2370:
10105:
9759:
4697:
2837:{\displaystyle \mathrm {R} (s)=\mathrm {P_{c}} +\cos \left({\frac {\mathrm {s} }{\mathrm {r} }}\right)(P_{0}-P_{c})+\sin \left({\frac {\mathrm {s} }{\mathrm {r} }}\right)\left.}
2597:
2643:
10764:{\displaystyle {\begin{aligned}3{\sqrt {3}}R&\geq a+b+c\\9R^{2}&\geq a^{2}+b^{2}+c^{2}\\{\frac {27}{4}}R^{2}&\geq m_{a}^{2}+m_{b}^{2}+m_{c}^{2}.\end{aligned}}}
692:
6287:
5561:
5524:
5384:
3092:
3130:
9253:
9842:
8783:
8739:
The angles which the circumscribed circle forms with the sides of the triangle coincide with angles at which sides meet each other. The side opposite angle
10924:, there exist an infinite number of other triangles with the same circumcircle and incircle, with any point on the circumcircle as a vertex. (This is the
2265:
2954:
7876:
11500:
3655:
is not defined in other dimensions, but it can be generalized to the other dimensions by replacing the cross products with following identities:
2108:
and – assuming the three points were not in a line (otherwise the circumcircle is that line that can also be seen as a generalized circle with
351:{\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {A} &=(A_{x},A_{y})\\\mathbf {B} &=(B_{x},B_{y})\\\mathbf {C} &=(C_{x},C_{y})\end{aligned}}}
11435:
10910:
8934:
7353:{\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {a} &=\mathbf {A} -\mathbf {C} ,\\\mathbf {b} &=\mathbf {B} -\mathbf {C} .\end{aligned}}}
3240:{\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {a} &=\mathbf {A} -\mathbf {C} ,\\\mathbf {b} &=\mathbf {B} -\mathbf {C} .\end{aligned}}}
2872:
9029:
11120:
10796:
6747:{\displaystyle a^{2}\left(b^{2}+c^{2}-a^{2}\right):\;b^{2}\left(c^{2}+a^{2}-b^{2}\right):\;c^{2}\left(a^{2}+b^{2}-c^{2}\right),\,}
6151:
11495:
8654:
For an obtuse triangle (a triangle with one angle bigger than a right angle), the circumcenter always lies outside the triangle.
6788:
2224:{\displaystyle \left|\mathbf {v} -{\tfrac {\mathbf {S} }{a}}\right|^{2}={\tfrac {b}{a}}+{\tfrac {|\mathbf {S} |^{2}}{a^{2}}},}
9764:
6552:
2935:
135:
117:
1986:
6306:
11480:
10938:
10913:
states that the sum of the distances from the circumcenter to the three sides equals the sum of the circumradius and the
10006:
6041:
3139:
Additionally, the circumcircle of a triangle embedded in three dimensions can be found using a generalized method. Let
10917:. Here a segment's length is considered to be negative if and only if the segment lies entirely outside the triangle.
11208:
9131:
5396:
10467:
6025:{\displaystyle {\begin{aligned}U'_{x}&={\frac {1}{D'}}\left,\\U'_{y}&={\frac {1}{D'}}\left\end{aligned}}}
2054:
8640:
For an acute triangle (all angles smaller than a right angle), the circumcenter always lies inside the triangle.
6536:{\displaystyle a\left(b^{2}+c^{2}-a^{2}\right):b\left(c^{2}+a^{2}-b^{2}\right):c\left(a^{2}+b^{2}-c^{2}\right).}
4638:
3153:
be three-dimensional points, which form the vertices of a triangle. We start by transposing the system to place
2535:{\displaystyle {\widehat {n}}={\frac {(P_{2}-P_{1})\times (P_{3}-P_{1})}{|(P_{2}-P_{1})\times (P_{3}-P_{1})|}}.}
2234:
368:
178:
is available. The horizontal angle between two landmarks defines the circumcircle upon which the observer lies.
10255:{\displaystyle {\overline {OH}}={\sqrt {R^{2}-8R^{2}\cos A\cos B\cos C}}={\sqrt {9R^{2}-(a^{2}+b^{2}+c^{2})}}.}
9986:
11113:
5567:
to these vertices. Observe that this trivial translation is possible for all triangles and the circumcenter
5210:{\displaystyle {\begin{aligned}U_{x}&={\frac {1}{D}}\left\\U_{y}&={\frac {1}{D}}\left\end{aligned}}}
11130:
9715:
5570:
8751:, which states that the angle between the tangent and chord equals the angle in the alternate segment.
5389:
Without loss of generality this can be expressed in a simplified form after translation of the vertex
2570:
11044:, have various special properties. In particular, the opposite angles of a cyclic quadrilateral are
2619:
11441:
11374:
11301:
8771:
675:
11390:
9952:
5226:
1017:
52:
3050:
11200:
9975:
150:
56:
9331:{\displaystyle {\text{diameter}}={\frac {a}{\sin A}}={\frac {b}{\sin B}}={\frac {c}{\sin C}}.}
3097:
11277:
11253:
11087:
11067:
9968:
9908:{\displaystyle {\text{diameter}}={\sqrt {\frac {2\cdot {\text{area}}}{\sin A\sin B\sin C}}}.}
8907:{\displaystyle {\frac {bc}{b^{2}-c^{2}}}:{\frac {ca}{c^{2}-a^{2}}}:{\frac {ab}{a^{2}-b^{2}}}}
8764:
7396:
6298:
4632:
3044:
2853:
695:
196:
139:
11170:
6255:
5529:
5492:
74:
with all its vertices on the same circle, also called the circumscribed circle, is called a
11147:
11062:
11057:
11045:
11041:
11037:. Every triangle is concyclic, but polygons with more than three sides are not in general.
11016:
11009:
10932:
10082:
9345:, it does not matter which side and opposite angle are taken: the result will be the same.
699:
86:
11442:
Semi-regular angle-gons and side-gons: respective generalizations of rectangles and rhombi
10935:). A necessary and sufficient condition for such triangles to exist is the above equality
8:
11445:
11107:
11082:
1021:
94:
10457:
The product of the incircle radius and the circumcircle radius of a triangle with sides
11474:
11470:
11395:
College
Geometry: An Introduction to the Modern Geometry of the Triangle and the Circle
11326:
11318:
11193:
11109:
Trilinear
Coordinates and Other Methods of Modern Analytical Geometry of Two Dimensions
9941:
9833:
8648:
7868:
3040:
1293:
11347:
Modern
Geometry: An Elementary Treatise on the Geometry of the Triangle and the Circle
11278:"Distances between the circumcenter of the extouch triangle and the classical centers"
11451:
11330:
11204:
11167:
10546:
10273:
9979:
9919:
40:
8774:: the non-vertex point of intersection of the circumcircle with the Steiner ellipse.
195:, it is possible to give explicitly an equation of the circumcircle in terms of the
11458:
11350:
11310:
11072:
11027:
11020:
10078:
10077:
is the circumcircle radius; hence the circumradius is at least twice the inradius (
9960:
9119:
102:
11454:
8688:
11077:
8919:
8676:
8664:
7369:
2611:
192:
60:
7372:, there is a unique circle passing through any given three non-collinear points
11354:
11033:
7400:
2334:{\displaystyle {\sqrt {{\tfrac {b}{a}}+{\tfrac {|\mathbf {S} |^{2}}{a^{2}}}}}.}
75:
11314:
11299:
Smith, G. C.; Leversha, Gerry (November 2007). "Euler and triangle geometry".
3030:{\displaystyle {\tfrac {a^{2}}{x}}+{\tfrac {b^{2}}{y}}+{\tfrac {c^{2}}{z}}=0.}
11489:
7408:
3652:
2361:
167:
7946:{\displaystyle \mathrm {P_{c}} =\alpha \,P_{1}+\beta \,P_{2}+\gamma \,P_{3}}
113:
9342:
9239:, can be computed as the length of any side of the triangle divided by the
2342:
154:
Alternative construction of the circumcenter (intersection of broken lines)
8643:
For a right triangle, the circumcenter always lies at the midpoint of the
10093:
9945:
9930:
9836:. Trigonometric expressions for the diameter of the circumcircle include
9017:
8682:
The circumcenter of a right triangle is at the midpoint of the hypotenuse
7404:
2358:
2346:
1025:
11322:
8728:
8719:
11005:
9934:
8644:
98:
11238:
Nelson, Roger, "Euler's triangle inequality via proof without words,"
166:, a triangle's circumcircle is sometimes used as a way of obtaining a
11463:
11175:
9925:
In any given triangle, the circumcenter is always collinear with the
7363:
90:
9004:{\displaystyle {\tfrac {1}{ax}}+{\tfrac {1}{by}}+{\tfrac {1}{cz}}=0}
10921:
10914:
10266:
9994:
9926:
9228:
163:
32:
20:
9974:
Circumcircles of triangles have an intimate relationship with the
9963:
is the line on which the three points lie, often referred to as a
2927:{\displaystyle {\tfrac {a}{x}}+{\tfrac {b}{y}}+{\tfrac {c}{z}}=0.}
10920:
If a triangle has two particular circles as its circumcircle and
10786:
all emanate from the same vertex of a triangle with circumradius
175:
171:
71:
11254:"Non-Euclidean versions of some classical triangle inequalities"
11165:
8743:
meets the circle twice: once at each end; in each case at angle
9105:{\displaystyle \sec(A+\omega ):\sec(B+\omega ):\sec(C+\omega )}
36:
11402:
8694:
The circumcenter of an obtuse triangle is outside the triangle
5393:
to the origin of the
Cartesian coordinate systems, i.e., when
2601:
one parametric equation of the circle starting from the point
1020:. Thus the circumcircle may alternatively be described as the
9244:
8636:
The circumcenter's position depends on the type of triangle:
11436:
Derivation of formula for radius of circumcircle of triangle
10900:{\displaystyle 4R^{2}h^{2}(t^{2}-h^{2})=t^{4}(m^{2}-h^{2}).}
8670:
The circumcenter of an acute triangle is inside the triangle
6232:{\displaystyle r=\|U'\|={\sqrt {{U'_{x}}^{2}+{U'_{y}}^{2}}}}
2341:
A similar approach allows one to deduce the equation of the
9933:. The line that passes through all of them is known as the
9240:
9348:
The diameter of the circumcircle can also be expressed as
3887:
This gives us the following equation for the circumradius
11031:, and a polygon whose vertices are concyclic is called a
8747:(similarly for the other two angles). This is due to the
6840:{\displaystyle \sin 2\alpha :\sin 2\beta :\sin 2\gamma .}
2847:
199:
of the vertices of the inscribed triangle. Suppose that
108:
9825:{\displaystyle \scriptstyle {\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}}}
8754:
11414:
9768:
9726:
8979:
8959:
8939:
7585:
7513:
7441:
7411:
to calculate the radius and center of the circle. Let
6782:, the barycentric coordinates of the circumcenter are
3043:
of the circumcircle is the line at infinity, given in
3003:
2981:
2959:
2907:
2892:
2877:
2565:
and a unit normal of the plane containing the circle,
2287:
2272:
2239:
2179:
2164:
2136:
2044:{\displaystyle a|\mathbf {v} |^{2}-2\mathbf {Sv} -b=0}
1809:
1684:
1523:
1345:
1046:
716:
10941:
10799:
10572:
10470:
10288:
10108:
10009:
9845:
9767:
9718:
9357:
9256:
9134:
9032:
8937:
8786:
7965:
7879:
7656:
7420:
7281:
6865:
6791:
6563:
6376:
6346:{\displaystyle \cos \alpha :\cos \beta :\cos \gamma }
6309:
6258:
6154:
6044:
5646:
5573:
5532:
5495:
5399:
5229:
4700:
4641:
4360:
4071:
3900:
3664:
3491:
3263:
3168:
3100:
3053:
2957:
2875:
2656:
2622:
2573:
2373:
2268:
2237:
2120:
2057:
1989:
1305:
1037:
710:
678:
428:
371:
208:
16:
Circle that passes through the vertices of a triangle
11025:
A set of points lying on the same circle are called
8926:), is the ellipse of least area that passes through
8631:
159:
a negative angle means going outside the triangle.)
10991:{\displaystyle {\overline {OI}}={\sqrt {R(R-2r)}}.}
10059:{\displaystyle {\overline {OI}}={\sqrt {R(R-2r)}},}
3651:This formula only works in three dimensions as the
698:, these equations reduce to the condition that the
11372:
11192:
10990:
10899:
10763:
10526:
10446:
10254:
10058:
9907:
9824:
9753:
9697:
9330:
9209:
9104:
9003:
8906:
8620:
7945:
7856:
7636:
7364:Cartesian coordinates from cross- and dot-products
7352:
7272:is the area of the triangle. As stated previously
7242:
6839:
6746:
6535:
6345:
6281:
6231:
6127:{\displaystyle D'=2(B'_{x}C'_{y}-B'_{y}C'_{x}).\,}
6126:
6024:
5622:
5555:
5518:
5481:
5378:
5209:
4683:
4610:
4340:
4042:
3876:
3640:
3446:
3239:
3124:
3086:
3029:
2926:
2836:
2637:
2591:
2534:
2333:
2254:
2223:
2100:
2043:
1972:
1281:
1005:
686:
639:
411:
350:
11148:"Part I: Introduction and Centers X(1) – X(1000)"
9712:are the lengths of the sides of the triangle and
11487:
11408:
11397:(2nd ed.). Barnes & Noble. p. 122, #96.
11389:
11373:Posamentier, Alfred S.; Lehmann, Ingmar (2012).
7261:are the vertex vectors. The divisor here equals
1801:
1676:
1515:
1337:
1038:
419:in the Cartesian plane satisfying the equations
11481:An interactive Java applet for the circumcenter
11190:
8759:In this section, the vertex angles are labeled
4053:and the following equation for the cicumcenter
2610:and proceeding in a positively oriented (i.e.,
2364:to the plane containing the circle is given by
365:. The circumcircle is then the locus of points
9210:{\displaystyle \csc(B-C):\csc(C-A):\csc(A-B).}
5489:In this case, the coordinates of the vertices
47:of the triangle, and its radius is called the
11298:
5482:{\displaystyle A'=A-A=(A'_{x},A'_{y})=(0,0).}
11251:
11226:100 Great Problems of Elementary Mathematics
8703:non-vertex point on a side of the triangle.
6172:
6161:
10527:{\displaystyle rR={\frac {abc}{2(a+b+c)}}.}
9922:has half the diameter of the circumcircle.
4621:
2101:{\displaystyle \mathbf {S} =(S_{x},S_{y}),}
145:
7647:Then the radius of the circle is given by
6683:
6623:
6546:
4684:{\displaystyle U=\left(U_{x},U_{y}\right)}
4626:
2255:{\displaystyle {\tfrac {\mathbf {S} }{a}}}
412:{\displaystyle \mathbf {v} =(v_{x},v_{y})}
43:. The center of this circle is called the
11126:
11105:
7932:
7915:
7898:
7867:The center of the circle is given by the
6743:
6123:
5375:
181:
11349:. Houghton Mifflin Co. p. 189, #298(d).
11252:Svrtan, Dragutin; Veljan, Darko (2012).
11004:
9989:, the distance between the circumcenter
9967:. Nearly collinear points often lead to
6292:
186:
149:
112:
11420:
11344:
11040:Cyclic polygons, especially four-sided
9832:above is the area of the triangle, by
11501:Compass and straightedge constructions
11488:
11448:, interactive dynamic geometry sketch.
11399:Reprinted by Dover Publications, 2007.
11223:
11156:The circumcenter is listed under X(3).
11145:
7257:is the vector of the circumcenter and
6850:
2352:
134:The circumcenter of a triangle can be
105:are cyclic, but not every polygon is.
11379:. Prometheus Books. pp. 289–290.
11359:Republished by Dover Publications as
11232:
11191:Coxeter, H.S.M. (1969). "Chapter 1".
11166:
9761:is the semiperimeter. The expression
9754:{\displaystyle s={\tfrac {a+b+c}{2}}}
2848:Trilinear and barycentric coordinates
109:Straightedge and compass construction
11275:
11141:
11139:
9971:in computation of the circumcircle.
8755:Triangle centers on the circumcircle
3134:
2934:An equation for the circumcircle in
2852:An equation for the circumcircle in
9222:
51:. The circumcenter is the point of
13:
11112:. Deighton, Bell, and Co. p.
11048:(adding up to 180° or π radians).
11000:
9468:
8930:. An equation for this ellipse is
7886:
7882:
7658:
7567:
7495:
7423:
6778:In terms of the triangle's angles
5623:{\displaystyle U'=(U'_{x},U'_{y})}
5563:represent the vectors from vertex
3094:and in barycentric coordinates by
2767:
2762:
2707:
2702:
2680:
2676:
2658:
59:of the triangle's sides, and is a
14:
11512:
11429:
11136:
11106:Whitworth, William Allen (1866).
11099:
8632:Location relative to the triangle
6137:Due to the translation of vertex
11152:Encyclopedia of Triangle Centers
9231:of the circumcircle, called the
8727:
8718:
8687:
8675:
8663:
7339:
7331:
7319:
7307:
7299:
7287:
6360:are the angles of the triangle.
6141:to the origin, the circumradius
4604:
4580:
4572:
4551:
4531:
4510:
4495:
4482:
4467:
4451:
4443:
4429:
4421:
4403:
4383:
4334:
4310:
4302:
4281:
4261:
4243:
4235:
4224:
4209:
4196:
4181:
4162:
4154:
4143:
4128:
4115:
4100:
4021:
4013:
3992:
3972:
3950:
3942:
3928:
3915:
3853:
3845:
3824:
3804:
3776:
3768:
3750:
3742:
3734:
3723:
3715:
3707:
3689:
3681:
3670:
3631:
3609:
3601:
3582:
3574:
3560:
3545:
3532:
3517:
3416:
3408:
3372:
3364:
3341:
3333:
3313:
3305:
3291:
3278:
3226:
3218:
3206:
3194:
3186:
3174:
2296:
2242:
2188:
2139:
2128:
2059:
2025:
2022:
1999:
1942:
1892:
1842:
1630:
1587:
1544:
1440:
1397:
1354:
1220:
1165:
1110:
1055:
935:
865:
795:
725:
680:
600:
592:
549:
541:
498:
490:
447:
439:
373:
304:
259:
214:
138:by drawing any two of the three
120:of the circumcircle of triangle
11383:
11366:
11338:
11292:
9020:: antipode of the Steiner point
6775:respectively) of the triangle.
6242:and the actual circumcenter of
2592:{\displaystyle {\widehat {n}},}
11496:Circles defined for a triangle
11269:
11245:
11217:
11184:
11159:
10980:
10965:
10891:
10865:
10849:
10823:
10515:
10497:
10244:
10205:
10048:
10033:
9816:
9804:
9801:
9789:
9786:
9774:
9685:
9667:
9664:
9646:
9643:
9622:
9619:
9601:
9564:
9552:
9549:
9537:
9534:
9522:
9481:
9464:
9454:
9443:
9438:
9427:
9422:
9411:
9201:
9189:
9177:
9165:
9153:
9141:
9099:
9087:
9075:
9063:
9051:
9039:
6117:
6059:
6010:
5960:
5941:
5891:
5823:
5773:
5754:
5704:
5617:
5585:
5473:
5461:
5455:
5423:
5364:
5338:
5322:
5296:
5280:
5254:
5195:
5169:
5166:
5130:
5124:
5098:
5095:
5059:
5053:
5027:
5024:
4988:
4944:
4918:
4915:
4879:
4873:
4847:
4844:
4808:
4802:
4776:
4773:
4737:
4594:
4585:
4568:
4555:
4547:
4535:
4527:
4522:
4514:
4499:
4491:
4471:
4463:
4458:
4455:
4439:
4433:
4417:
4407:
4399:
4387:
4379:
4324:
4315:
4298:
4285:
4277:
4265:
4257:
4252:
4239:
4228:
4213:
4205:
4185:
4177:
4172:
4169:
4158:
4147:
4132:
4124:
4104:
4096:
4091:
4088:
4026:
4009:
3996:
3988:
3976:
3968:
3955:
3937:
3932:
3924:
3919:
3911:
3858:
3841:
3828:
3820:
3808:
3800:
3781:
3763:
3746:
3730:
3719:
3703:
3693:
3677:
3614:
3596:
3586:
3570:
3564:
3549:
3541:
3521:
3513:
3508:
3461:is the interior angle between
3421:
3403:
3377:
3359:
3346:
3328:
3318:
3300:
3295:
3287:
3282:
3274:
2823:
2797:
2743:
2717:
2668:
2662:
2638:{\displaystyle {\widehat {n}}}
2522:
2518:
2492:
2486:
2460:
2456:
2450:
2424:
2418:
2392:
2302:
2291:
2194:
2183:
2092:
2066:
2005:
1994:
1948:
1937:
1898:
1887:
1848:
1837:
1636:
1625:
1593:
1582:
1550:
1539:
1446:
1435:
1403:
1392:
1360:
1349:
1226:
1215:
1171:
1160:
1116:
1105:
1061:
1050:
941:
930:
871:
860:
801:
790:
731:
720:
606:
587:
555:
536:
504:
485:
453:
434:
406:
380:
361:are the coordinates of points
341:
315:
296:
270:
251:
225:
39:that passes through all three
1:
11093:
10081:), with equality only in the
7399:to represent these points as
6363:In terms of the side lengths
650:guaranteeing that the points
11242:81(1), February 2008, 58-61.
10952:
10432:
10395:
10372:
10350:
10325:
10303:
10119:
10020:
7403:, it is possible to use the
4351:which can be simplified to:
687:{\displaystyle \mathbf {u} }
7:
11361:Advanced Euclidean Geometry
11276:Gras, Marie-Nicole (2014).
11051:
10079:Euler's triangle inequality
10073:is the incircle radius and
9987:Euler's theorem in geometry
9944:of the circumcenter is the
5379:{\displaystyle D=2\left.\,}
10:
11517:
11477:With interactive animation
11345:Johnson, Roger A. (1929).
11014:
9959:The circumcircle of three
8922:, with center = centroid (
3087:{\displaystyle ax+by+cz=0}
668:are all the same distance
11446:Dynamic Geometry Sketches
11335:See in particular p. 449.
11315:10.1017/S0025557200182087
11266:See in particular p. 198.
11224:Dörrie, Heinrich (1965).
11171:"Barycentric Coordinates"
9965:circle of infinite radius
8749:alternate segment theorem
8706:
2556:, a point on the circle,
2545:Hence, given the radius,
694:of the circle. Using the
78:, or in the special case
11391:Altshiller Court, Nathan
11376:The Secrets of Triangles
11302:The Mathematical Gazette
11195:Introduction to geometry
10782:, and internal bisector
9341:As a consequence of the
8763:and all coordinates are
4622:Circumcenter coordinates
3125:{\displaystyle x+y+z=0.}
2231:giving the circumcenter
146:Alternative construction
11409:Altshiller Court (1952)
9953:minimum bounding circle
9235:and equal to twice the
6553:barycentric coordinates
6547:Barycentric coordinates
2936:barycentric coordinates
672:from the common center
140:perpendicular bisectors
57:perpendicular bisectors
11012:
10992:
10901:
10765:
10528:
10448:
10256:
10060:
9976:Delaunay triangulation
9909:
9826:
9755:
9699:
9332:
9211:
9106:
9005:
8908:
8647:. This is one form of
8622:
7947:
7858:
7638:
7354:
7244:
6841:
6748:
6537:
6347:
6283:
6282:{\displaystyle U=U'+A}
6233:
6128:
6026:
5624:
5557:
5556:{\displaystyle C'=C-A}
5520:
5519:{\displaystyle B'=B-A}
5483:
5380:
5211:
4685:
4612:
4342:
4044:
3878:
3642:
3448:
3241:
3126:
3088:
3031:
2928:
2838:
2639:
2593:
2536:
2335:
2256:
2225:
2102:
2045:
1974:
1283:
1007:
688:
641:
413:
352:
182:Circumcircle equations
155:
131:
11471:Triangle circumcircle
11228:. Dover. p. 379.
11088:Problem of Apollonius
11068:Circumcevian triangle
11042:cyclic quadrilaterals
11010:Cyclic quadrilaterals
11008:
10993:
10902:
10766:
10529:
10449:
10257:
10088:The distance between
10061:
9969:numerical instability
9910:
9827:
9756:
9700:
9333:
9212:
9107:
9006:
8909:
8765:trilinear coordinates
8623:
7948:
7859:
7639:
7397:Cartesian coordinates
7355:
7245:
6842:
6749:
6551:The circumcenter has
6538:
6367:, the trilinears are
6348:
6299:trilinear coordinates
6297:The circumcenter has
6293:Trilinear coordinates
6284:
6234:
6129:
6027:
5625:
5558:
5521:
5484:
5381:
5212:
4686:
4633:Cartesian coordinates
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