35886:
20789:
20568:
20382:
33214:
37039:
25020:
32690:
28692:
21363:
27898:
35830:
17021:
24592:
31510:
6409:
28264:
25520:
20556:
7174:
18188:
24203:
20774:
14680:
33209:{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {C}{\pi (a+b)}}&=\sum _{n=0}^{\infty }{{\frac {1}{2}} \choose n}^{2}h^{n}\\&=\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {(2n-3)!!}{(2n)!!}}\right)^{2}h^{n}\\&=\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {(2n-3)!!}{2^{n}n!}}\right)^{2}h^{n}\\&=1+{\frac {h}{4}}+{\frac {h^{2}}{64}}+{\frac {h^{3}}{256}}+{\frac {25\,h^{4}}{16384}}+{\frac {49\,h^{5}}{65536}}+{\frac {441\,h^{6}}{2^{20}}}+{\frac {1089\,h^{7}}{2^{22}}}+\cdots .\end{aligned}}}
37025:
13268:
20370:
19528:
15716:
27393:
35806:
21355:
20759:
16339:
37081:
35854:
5990:
35842:
12734:
19975:
38317:
27311:
25078:
19963:
16331:
7205:
750:
5406:
18180:
13470:
1640:
742:
42:
6731:
26284:
22281:
13702:
50:
23717:
25015:{\displaystyle {\frac {\left({\color {red}{\vec {x}}}-{\vec {x}}_{1}\right)\cdot \left({\color {red}{\vec {x}}}-{\vec {x}}_{2}\right)}{\det \left({\color {red}{\vec {x}}}-{\vec {x}}_{1},{\color {red}{\vec {x}}}-{\vec {x}}_{2}\right)}}={\frac {\left({\vec {x}}_{3}-{\vec {x}}_{1}\right)\cdot \left({\vec {x}}_{3}-{\vec {x}}_{2}\right)}{\det \left({\vec {x}}_{3}-{\vec {x}}_{1},{\vec {x}}_{3}-{\vec {x}}_{2}\right)}}.}
28828:
20579:
19709:
9570:
58:
37011:
38329:
20807:
37053:
4331:
28687:{\displaystyle {\frac {\left({\color {red}{\vec {x}}}-{\vec {x}}_{1}\right)*\left({\color {red}{\vec {x}}}-{\vec {x}}_{2}\right)}{\det \left({\color {red}{\vec {x}}}-{\vec {x}}_{1},{\color {red}{\vec {x}}}-{\vec {x}}_{2}\right)}}={\frac {\left({\vec {x}}_{3}-{\vec {x}}_{1}\right)*\left({\vec {x}}_{3}-{\vec {x}}_{2}\right)}{\det \left({\vec {x}}_{3}-{\vec {x}}_{1},{\vec {x}}_{3}-{\vec {x}}_{2}\right)}},}
7193:
35818:
23636:
19986:
35908:, all light rays on the plane of the ellipse are reflected to the second focus. Since no other smooth curve has such a property, it can be used as an alternative definition of an ellipse. (In the special case of a circle with a source at its center all light would be reflected back to the center.) If the ellipse is rotated along its major axis to produce an ellipsoidal mirror (specifically, a
25815:
5857:
26782:
27893:{\displaystyle {\frac {({\color {red}x}-x_{1})({\color {red}x}-x_{2})+{\color {blue}q}\;({\color {red}y}-y_{1})({\color {red}y}-y_{2})}{({\color {red}y}-y_{1})({\color {red}x}-x_{2})-({\color {red}y}-y_{2})({\color {red}x}-x_{1})}}={\frac {(x_{3}-x_{1})(x_{3}-x_{2})+{\color {blue}q}\;(y_{3}-y_{1})(y_{3}-y_{2})}{(y_{3}-y_{1})(x_{3}-x_{2})-(y_{3}-y_{2})(x_{3}-x_{1})}}\ .}
37067:
12227:
8948:
6722:
6404:{\displaystyle {\begin{aligned}A&=a^{2}\sin ^{2}\theta +b^{2}\cos ^{2}\theta &B&=2\left(b^{2}-a^{2}\right)\sin \theta \cos \theta \\C&=a^{2}\cos ^{2}\theta +b^{2}\sin ^{2}\theta &D&=-2Ax_{\circ }-By_{\circ }\\E&=-Bx_{\circ }-2Cy_{\circ }&F&=Ax_{\circ }^{2}+Bx_{\circ }y_{\circ }+Cy_{\circ }^{2}-a^{2}b^{2}.\end{aligned}}}
11083:
4039:
36728:
25515:{\displaystyle {\begin{bmatrix}1&{\dfrac {y_{1}-y_{2}}{x_{1}-x_{2}}}\\{\dfrac {x_{1}-x_{3}}{y_{1}-y_{3}}}&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x_{\circ }\\y_{\circ }\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\dfrac {x_{1}^{2}-x_{2}^{2}+y_{1}^{2}-y_{2}^{2}}{2(x_{1}-x_{2})}}\\{\dfrac {y_{1}^{2}-y_{3}^{2}+x_{1}^{2}-x_{3}^{2}}{2(y_{1}-y_{3})}}\end{bmatrix}}.}
34728:
23126:
7169:{\displaystyle {\begin{aligned}a,b&={\frac {-{\sqrt {2{\big (}AE^{2}+CD^{2}-BDE+(B^{2}-4AC)F{\big )}{\big (}(A+C)\pm {\sqrt {(A-C)^{2}+B^{2}}}{\big )}}}}{B^{2}-4AC}},\\x_{\circ }&={\frac {2CD-BE}{B^{2}-4AC}},\\y_{\circ }&={\frac {2AE-BD}{B^{2}-4AC}},\\\theta &={\tfrac {1}{2}}\operatorname {atan2} (-B,\,C-A),\end{aligned}}}
25527:
24198:{\displaystyle {\frac {({\color {red}x}-x_{1})({\color {red}x}-x_{2})+({\color {red}y}-y_{1})({\color {red}y}-y_{2})}{({\color {red}y}-y_{1})({\color {red}x}-x_{2})-({\color {red}y}-y_{2})({\color {red}x}-x_{1})}}={\frac {(x_{3}-x_{1})(x_{3}-x_{2})+(y_{3}-y_{1})(y_{3}-y_{2})}{(y_{3}-y_{1})(x_{3}-x_{2})-(y_{3}-y_{2})(x_{3}-x_{1})}}.}
30867:
5611:
32444:
35233:
13162:
22163:
9202:
36749:; or of any object that moves under influence of an attractive force that is directly proportional to its distance from a fixed attractor. Unlike Keplerian orbits, however, these "harmonic orbits" have the center of attraction at the geometric center of the ellipse, and have fairly simple equations of motion.
11974:
8694:
8705:
3727:
27316:
At first the measure is available only for chords which are not parallel to the y-axis. But the final formula works for any chord. The proof follows from a straightforward calculation. For the direction of proof given that the points are on an ellipse, one can assume that the center of the ellipse is
6523:
36961:
In 1970 Danny Cohen presented at the "Computer
Graphics 1970" conference in England a linear algorithm for drawing ellipses and circles. In 1971, L. B. Smith published similar algorithms for all conic sections and proved them to have good properties. These algorithms need only a few multiplications
36027:
Keplerian elliptical orbits are the result of any radially directed attraction force whose strength is inversely proportional to the square of the distance. Thus, in principle, the motion of two oppositely charged particles in empty space would also be an ellipse. (However, this conclusion ignores
12947:
11852:
36957:
at IBM is most famous for the invention of 2D drawing primitives, including line and circle drawing, using only fast integer operations such as addition and branch on carry bit. M. L. V. Pitteway extended
Bresenham's algorithm for lines to conics in 1967. Another efficient generalization to draw
34157:
36268:
27306:{\displaystyle {\frac {(x_{4}-x_{1})(x_{4}-x_{2})+{\color {blue}q}\;(y_{4}-y_{1})(y_{4}-y_{2})}{(y_{4}-y_{1})(x_{4}-x_{2})-(y_{4}-y_{2})(x_{4}-x_{1})}}={\frac {(x_{3}-x_{1})(x_{3}-x_{2})+{\color {blue}q}\;(y_{3}-y_{1})(y_{3}-y_{2})}{(y_{3}-y_{1})(x_{3}-x_{2})-(y_{3}-y_{2})(x_{3}-x_{1})}}\ .}
10828:
36508:
31178:
35430:
36932:
because if rates of return on assets are jointly elliptically distributed then all portfolios can be characterized completely by their mean and variance—that is, any two portfolios with identical mean and variance of portfolio return have identical distributions of portfolio return.
34513:
13933:
7849:
13439:
30687:
31920:
36965:
It is beneficial to use a parametric formulation in computer graphics because the density of points is greatest where there is the most curvature. Thus, the change in slope between each successive point is small, reducing the apparent "jaggedness" of the approximation.
34977:
10532:
35020:
10342:
37481:: "If, then, we stretch a string surrounding the points A, B tightly around the first point from which the rays are to be reflected, the line will be drawn which is part of the so-called ellipse, with respect to which the surface of the mirror must be situated."
16281:
4326:{\displaystyle {\frac {\left(x_{1}+su\right)^{2}}{a^{2}}}+{\frac {\left(y_{1}+sv\right)^{2}}{b^{2}}}=1\ \quad \Longrightarrow \quad 2s\left({\frac {x_{1}u}{a^{2}}}+{\frac {y_{1}v}{b^{2}}}\right)+s^{2}\left({\frac {u^{2}}{a^{2}}}+{\frac {v^{2}}{b^{2}}}\right)=0\ .}
12976:
19444:
14142:
2480:
5379:
25946:
9007:
12525:
23631:{\displaystyle {\frac {(x_{4}-x_{1})(x_{4}-x_{2})+(y_{4}-y_{1})(y_{4}-y_{2})}{(y_{4}-y_{1})(x_{4}-x_{2})-(y_{4}-y_{2})(x_{4}-x_{1})}}={\frac {(x_{3}-x_{1})(x_{3}-x_{2})+(y_{3}-y_{1})(y_{3}-y_{2})}{(y_{3}-y_{1})(x_{3}-x_{2})-(y_{3}-y_{2})(x_{3}-x_{1})}}.}
11603:
36923:
if its iso-density contours—loci of equal values of the density function—are ellipses. The concept extends to an arbitrary number of elements of the random vector, in which case in general the iso-density contours are ellipsoids. A special case is the
25810:{\displaystyle r={\sqrt {\left(x_{1}-x_{\circ }\right)^{2}+\left(y_{1}-y_{\circ }\right)^{2}}}={\sqrt {\left(x_{2}-x_{\circ }\right)^{2}+\left(y_{2}-y_{\circ }\right)^{2}}}={\sqrt {\left(x_{3}-x_{\circ }\right)^{2}+\left(y_{3}-y_{\circ }\right)^{2}}}.}
35579:
31365:
35721:
10092:
1054:
17666:
17490:
3573:
21119:
12729:
8536:
19259:
3883:
19050:
8350:
26164:
5852:{\displaystyle \Delta ={\begin{vmatrix}A&{\frac {1}{2}}B&{\frac {1}{2}}D\\{\frac {1}{2}}B&C&{\frac {1}{2}}E\\{\frac {1}{2}}D&{\frac {1}{2}}E&F\end{vmatrix}}=ACF+{\tfrac {1}{4}}BDE-{\tfrac {1}{4}}(AE^{2}+CD^{2}+FB^{2}).}
28256:
31658:
22511:
11702:
33988:
19749:
For any method described below, knowledge of the axes and the semi-axes is necessary (or equivalently: the foci and the semi-major axis). If this presumption is not fulfilled one has to know at least two conjugate diameters. With help of
4587:
36066:
33717:
18601:
34319:
20667:. The strip is positioned onto the axes as described in the diagram. Then the free end of the strip traces an ellipse, while the strip is moved. For the proof, one recognizes that the tracing point can be described parametrically by
14335:
35244:
11360:
10788:
36023:
being one of the foci of each ellipse. The other focus of either ellipse has no known physical significance. The orbit of either body in the reference frame of the other is also an ellipse, with the other body at the same focus.
31864:
7673:
15552:
532:
12753:
22385:
15079:
13793:
24528:
12222:{\displaystyle \det {\left({\vec {x}}\!-\!{\vec {f}}\!_{0},{\vec {f}}\!_{2}\right)^{2}}+\det {\left({\vec {f}}\!_{1},{\vec {x}}\!-\!{\vec {f}}\!_{0}\right)^{2}}-\det {\left({\vec {f}}\!_{1},{\vec {f}}\!_{2}\right)^{2}}=0.}
28818:
7684:
26723:
26052:
17986:
3120:
18095:
8943:{\displaystyle \cos t={\frac {\cot t}{\pm {\sqrt {1+\cot ^{2}t}}}}={\frac {-ma}{\pm {\sqrt {m^{2}a^{2}+b^{2}}}}}\ ,\quad \quad \sin t={\frac {1}{\pm {\sqrt {1+\cot ^{2}t}}}}={\frac {b}{\pm {\sqrt {m^{2}a^{2}+b^{2}}}}}.}
11199:
14582:
13302:
6736:
2205:
29448:
26512:
6717:{\displaystyle {\begin{aligned}X&=\left(x-x_{\circ }\right)\cos \theta +\left(y-y_{\circ }\right)\sin \theta ,\\Y&=-\left(x-x_{\circ }\right)\sin \theta +\left(y-y_{\circ }\right)\cos \theta .\end{aligned}}}
4946:
18782:
11449:
15644:
4844:
23063:
22671:
10380:
29063:
4034:
654:
29302:
22951:
17240:
13584:
5995:
30993:
26621:
22859:
13252:
4414:
3562:
36513:
35923:
Sound waves are reflected in a similar way, so in a large elliptical room a person standing at one focus can hear a person standing at the other focus remarkably well. The effect is even more evident under a
28911:
26424:
21651:
19617:
19135:
17797:
17024:
Orthogonal diameters of a circle with a square of tangents, midpoints of parallel chords and an affine image, which is an ellipse with conjugate diameters, a parallelogram of tangents and midpoints of chords.
7929:
7424:
7326:
3482:
2872:
20025:. The tip of the pencil then traces an ellipse if it is moved while keeping the string taut. Using two pegs and a rope, gardeners use this procedure to outline an elliptical flower bed—thus it is called the
16114:
2341:
311:
30066:
11078:{\displaystyle 0={\vec {p}}'(t)\cdot \left({\vec {p}}(t)-{\vec {f}}\!_{0}\right)=\left(-{\vec {f}}\!_{1}\sin t+{\vec {f}}\!_{2}\cos t\right)\cdot \left({\vec {f}}\!_{1}\cos t+{\vec {f}}\!_{2}\sin t\right).}
8531:
6485:
5160:
4669:
3287:
36723:{\displaystyle {\begin{aligned}a&={\frac {r_{a}+r_{p}}{2}}\\b&={\sqrt {r_{a}r_{p}}}\\\ell &={\frac {2}{{\frac {1}{r_{a}}}+{\frac {1}{r_{p}}}}}={\frac {2r_{a}r_{p}}{r_{a}+r_{p}}}.\end{aligned}}}
19720:
as images (parallel or central projection) of circles. There exist various tools to draw an ellipse. Computers provide the fastest and most accurate method for drawing an ellipse. However, technical tools
9712:
8129:
28013:
24318:
19325:
17889:
29214:
20002:, a length of string, and a pencil. In this method, pins are pushed into the paper at two points, which become the ellipse's foci. A string is tied at each end to the two pins; its length after tying is
11707:
2350:
36859:
solid-state lasers, elliptical cylinder-shaped reflectors have been used to direct light from the pump lamp (coaxial with one ellipse focal axis) to the active medium rod (coaxial with the second focal
33895:
16433:
15178:
1337:
28154:
5258:
24430:
16908:
14221:
10600:
1560:
12384:
36781:
with the same elliptical outline, each pivoting around one focus and positioned at the proper angle, turn smoothly while maintaining contact at all times. Alternatively, they can be connected by a
34723:{\displaystyle {\begin{aligned}2\pi b&\leq C\leq 2\pi a\ ,\\\pi (a+b)&\leq C\leq 4(a+b)\ ,\\4{\sqrt {a^{2}+b^{2}\ }}&\leq C\leq {\sqrt {2\ }}\pi {\sqrt {a^{2}+b^{2}\ }}~.\end{aligned}}}
16840:
15306:
34846:
29548:
17042:
An affine transformation preserves parallelism and midpoints of line segments, so this property is true for any ellipse. (Note that the parallel chords and the diameter are no longer orthogonal.)
9553:
33617:
31221:
25073:
5965:
5253:
36071:
35476:
34518:
32695:
31925:
31287:
30692:
12981:
10192:
6528:
18922:
17563:
35624:
17007:
Additionally, because of the focus-to-focus reflection property of ellipses, if the rays are allowed to continue propagating, reflected rays will eventually align closely with the major axis.
10209:
9953:
9837:
942:
30495:
29127:
28975:
27388:
23712:
15781:
13760:
12325:
19320:
18356:
17352:
7555:
12605:
2595:
1878:
1791:
34476:
19140:
11969:
30862:{\displaystyle {\begin{aligned}A_{\text{ellipse}}&=\int _{-a}^{a}2b{\sqrt {1-{\frac {x^{2}}{a^{2}}}}}\,dx\\&={\frac {b}{a}}\int _{-a}^{a}2{\sqrt {a^{2}-x^{2}}}\,dx.\end{aligned}}}
16777:
16065:
8204:
30574:
26218:
26059:
13981:
11671:
5548:
32439:{\displaystyle {\begin{aligned}C&=2\pi a\left\\&=2\pi a\left\\&=-2\pi a\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {(2n-1)!!}{(2n)!!}}\right)^{2}{\frac {e^{2n}}{2n-1}},\end{aligned}}}
31168:
31116:
18170:
31540:
30170:
19518:
18832:
18495:
25827:
21805:
17340:
12600:
22557:
19687:
8199:
3038:
34816:
32637:
31738:
30392:
29918:
20987:
14950:
2059:
2003:
35228:{\displaystyle \rho =a^{2}b^{2}\left({\frac {x^{2}}{a^{4}}}+{\frac {y^{2}}{b^{4}}}\right)^{\frac {3}{2}}={\frac {1}{a^{4}b^{4}}}{\sqrt {\left(a^{4}y^{2}+b^{4}x^{2}\right)^{3}}}\ .}
29873:
21882:
17000:
The rays from one focus are reflected by the ellipse to the second focus. This property has optical and acoustic applications similar to the reflective property of a parabola (see
16672:
12376:
11461:
21983:
16630:
16501:
9480:
9380:
682:
of the Sun–planet pair). The same is true for moons orbiting planets and all other systems of two astronomical bodies. The shapes of planets and stars are often well described by
424:
33622:
31059:
20902:
20716:
20304:
20122:
19818:
914:
30126:
24587:
14835:
14744:
34164:
29971:
20467:
17719:
16444:
Because the tangent line is perpendicular to the normal, an equivalent statement is that the tangent is the external angle bisector of the lines to the foci (see diagram). Let
15919:
14226:
13157:{\displaystyle {\begin{aligned}x&=x_{\theta }(t)=a\cos \theta \cos t-b\sin \theta \sin t\,,\\y&=y_{\theta }(t)=a\sin \theta \cos t+b\cos \theta \sin t\,.\end{aligned}}}
11899:
9948:
9913:
2264:
1212:
38387:
29371:
21985:
and assign the division as shown in the diagram. The parallel projection together with the reverse of the orientation is part of the projective mapping between the pencils at
21914:
17568:
13687:
10131:
9777:
5409:
A general ellipse in the plane can be uniquely described as a bivariate quadratic equation of
Cartesian coordinates, or using center, semi-major and semi-minor axes, and angle
22145:
5593:
4993:
4736:
4481:
3950:
3779:
3404:
2792:
31489:
31462:
31435:
31408:
20995:
9296:
9260:
8409:
31767:
29753:
29703:
29614:
29492:
21692:
21324:
21259:
20945:
20866:
18449:
18408:
17091:
10671:
9633:
7560:
5042:
14459:
7235:
3784:
1631:, one can prove that any section of a cone with a plane is an ellipse, assuming the plane does not contain the apex and has slope less than that of the lines on the cone.
36871:, EUV light is generated by plasma positioned in the primary focus of an ellipsoid mirror and is collected in the secondary focus at the input of the lithography machine.
36745:
is also an ellipse. Such is the case, for instance, of a long pendulum that is free to move in two dimensions; of a mass attached to a fixed point by a perfectly elastic
34508:
21424:
19473:
18929:
13976:
9332:
9197:{\displaystyle {\vec {c}}_{\pm }(m)=\left(-{\frac {ma^{2}}{\pm {\sqrt {m^{2}a^{2}+b^{2}}}}},\;{\frac {b^{2}}{\pm {\sqrt {m^{2}a^{2}+b^{2}}}}}\right),\,m\in \mathbb {R} .}
7486:
1259:
1133:
802:
35934:. The same effect can be demonstrated with two reflectors shaped like the end caps of such a spheroid, placed facing each other at the proper distance. Examples are the
34762:
34356:
33373:
30925:
30434:
28159:
22111:
22074:
20048:
11236:
429:
35619:
35471:
33983:
33950:
32559:
30302:
22390:
21731:
21216:
16109:
14874:
13612:
13501:
10676:
374:
34392:
32515:
29831:
17155:
15222:
7965:
29795:
18675:
15679:
14777:
13635:
13297:
12971:
10823:
10633:
10375:
6518:
5985:
5452:
3151:
2632:
2092:
339:
33794:
30618:
30252:
26274:
26244:
21944:
20381:
15427:
15398:
15338:
14674:
9415:
9002:
8976:
8010:
4509:
2898:
36917:
36499:
36428:
36401:
36341:
36300:
35015:
33764:
33404:
33347:
33315:
32684:
26777:
26750:
23121:
23094:
22728:
22701:
22037:
22010:
21451:
21173:
21146:
20151:
18655:
18628:
18278:
18251:
18220:
17294:
17267:
17122:
16551:
16000:
15973:
15946:
15862:
15835:
15808:
15710:
15454:
5074:
3309:
3212:
2509:
1947:
1915:
1686:
1620:
1588:
1491:
1464:
1394:
1367:
33434:
33243:
31900:
30647:
25975:
22261:
22212:
21569:
21540:
21511:
16320:
3051:
2690:
2661:
35912:), this property holds for all rays out of the source. Alternatively, a cylindrical mirror with elliptical cross-section can be used to focus light from a linear
32470:
30330:
28039:
20665:
20361:
20189:
19852:
15368:
14648:
14611:
11697:
5194:
4762:
3177:
162:
132:
30892:
20023:
18500:
16951:
16715:
16524:
14482:
8033:
3722:{\displaystyle {\vec {x}}={\begin{pmatrix}x_{1}\\y_{1}\end{pmatrix}}+s\left({\begin{array}{r}-y_{1}a^{2}\\x_{1}b^{2}\end{array}}\right),\quad s\in \mathbb {R} .}
2981:
1417:
937:
825:
237:
214:
36472:
36448:
36367:
36061:
33917:
33737:
33283:
33263:
31758:
31680:
31535:
31269:
31249:
30272:
30226:
30206:
29661:
29638:
28714:
25970:
22232:
21827:
21491:
21471:
21281:
20736:
20639:
20615:
20547:
20527:
20507:
20487:
20430:
20410:
20324:
20253:
20233:
20213:
19950:
19926:
19899:
19879:
16990:
16970:
16928:
16692:
16591:
16571:
16462:
16368:
14797:
14487:
14424:
14404:
14384:
14364:
13788:
13459:
9857:
9732:
9435:
9224:
8689:{\displaystyle {\vec {x}}'(t)=(-a\sin t,\,b\cos t)^{\mathsf {T}}\quad \rightarrow \quad m=-{\frac {b}{a}}\cot t\quad \rightarrow \quad \cot t=-{\frac {ma}{b}}.}
8447:
5914:
5894:
4864:
4689:
4501:
4434:
3903:
3345:
2958:
2938:
2918:
2754:
2734:
1437:
1173:
1153:
1076:
845:
106:
30682:
8163:
2097:
26429:
14613:, which is the eccentricity of a circle, is not allowed in this context in the Euclidean plane. However, one may consider the directrix of a circle to be the
11365:
11250:
15557:
15459:
12942:{\displaystyle {\vec {f}}_{0}={0 \choose 0},\;{\vec {f}}_{1}=a{\cos \theta \choose \sin \theta },\;{\vec {f}}_{2}=b{-\sin \theta \choose \;\cos \theta }}
11847:{\displaystyle {\begin{aligned}a&={\frac {1}{2}}({\sqrt {M+2N}}+{\sqrt {M-2N}})\\b&={\frac {1}{2}}({\sqrt {M+2N}}-{\sqrt {M-2N}})\,.\end{aligned}}}
35885:
34152:{\displaystyle s=-b\int _{\arccos {\frac {x_{1}}{a}}}^{\arccos {\frac {x_{2}}{a}}}{\sqrt {\ 1+\left({\tfrac {a^{2}}{b^{2}}}-1\right)\ \sin ^{2}z~}}\;dz~.}
20567:
19998:
The characterization of an ellipse as the locus of points so that sum of the distances to the foci is constant leads to a method of drawing one using two
586:
22864:
13506:
30930:
3487:
36263:{\displaystyle {\begin{aligned}e&={\frac {r_{a}-r_{p}}{r_{a}+r_{p}}}={\frac {r_{a}-r_{p}}{2a}}\\r_{a}&=(1+e)a\\r_{p}&=(1-e)a\end{aligned}}}
22291:
14958:
7331:
37859:
20549:(see diagram). After this operation the movement of the unchanged half of the paperstrip is unchanged. This variation requires only one sliding shoe.
2269:
242:
29997:
24435:
6416:
3217:
28722:
31275:
ellipses. In charged-particle beam optics, for instance, the enclosed area of an erect or tilted ellipse is an important property of the beam, its
26629:
17896:
35425:{\displaystyle R(\theta )={\frac {a^{2}}{b}}{\biggl (}{\frac {1-e^{2}(2-e^{2})(\cos \theta )^{2})}{1-e^{2}(\cos \theta )^{2}}}{\biggr )}^{3/2}\,,}
20788:
17996:
33828:
11090:
20363:, which is the radius of the large circle. This restriction may be a disadvantage in real life. More flexible is the second paper strip method.
37510:
35971:
29376:
4873:
1496:
31761:
18684:
38075:
Owen, J.; Rabinovitch, R. (June 1983). "On the class of elliptical distributions and their applications to the theory of portfolio choice".
20040:) described how this method could be used to construct an elliptical reflector, and it was elaborated in a now-lost 9th-century treatise by
15227:
4769:
22964:
22572:
9485:
2900:(and hence the ellipse would be taller than it is wide). This form can be converted to the standard form by transposing the variable names
33439:
28980:
8699:
36805:
from a constant rotation of the driving axle, or in the case of a bicycle to allow a varying crank rotation speed with inversely varying
29219:
17166:
13928:{\displaystyle {\frac {\left|PF_{1}\right|}{\left|Pl_{1}\right|}}={\frac {\left|PF_{2}\right|}{\left|Pl_{2}\right|}}=e={\frac {c}{a}}\ .}
13790:
of the ellipse, the quotient of the distance to one focus and to the corresponding directrix (see diagram) is equal to the eccentricity:
3955:
26526:
22745:
22147:
the points of the second quarter of the ellipse can be determined. Analogously one obtains the points of the lower half of the ellipse.
18849:
13174:
4339:
28838:
26313:
21578:
19544:
19055:
17724:
7856:
7844:{\displaystyle {\begin{cases}x(u)=a\,{\dfrac {1-u^{2}}{1+u^{2}}}\\y(u)=b\,{\dfrac {2u}{1+u^{2}}}\\-\infty <u<\infty \end{cases}}}
7253:
3409:
2799:
37650:
13171:
The definition of an ellipse in this section gives a parametric representation of an arbitrary ellipse, even in space, if one allows
8452:
9647:
5079:
4592:
37106:
36005:
35963:
27906:
24211:
17805:
13434:{\displaystyle r(\theta )={\frac {ab}{\sqrt {(b\cos \theta )^{2}+(a\sin \theta )^{2}}}}={\frac {b}{\sqrt {1-(e\cos \theta )^{2}}}}}
8038:
85:, which is the special type of ellipse in which the two focal points are the same. The elongation of an ellipse is measured by its
29136:
20041:
16373:
15084:
12232:
11608:
5465:
5400:
1267:
37125:
30136:
28047:
19478:
34972:{\displaystyle \kappa ={\frac {1}{a^{2}b^{2}}}\left({\frac {x^{2}}{a^{4}}}+{\frac {y^{2}}{b^{4}}}\right)^{-{\frac {3}{2}}}\ ,}
24326:
16844:
14147:
10539:
10527:{\displaystyle \cot(2t_{0})={\frac {{\vec {f}}\!_{1}^{\,2}-{\vec {f}}\!_{2}^{\,2}}{2{\vec {f}}\!_{1}\cdot {\vec {f}}\!_{2}}}.}
38279:
38255:
37659:
37540:
37352:
37318:
37235:
32651:
37982:
35893:
If the water's surface is disturbed at one focus of an elliptical water tank, the circular waves of that disturbance, after
16781:
37854:
37151:
36761:, the relative phase of two sinusoidal signals can be compared by feeding them to the vertical and horizontal inputs of an
35997:
29497:
31184:
25027:
10337:{\displaystyle {\vec {p}}(t_{0}),\;{\vec {p}}\left(t_{0}\pm {\tfrac {\pi }{2}}\right),\;{\vec {p}}\left(t_{0}+\pi \right)}
5919:
5207:
81:, such that for all points on the curve, the sum of the two distances to the focal points is a constant. It generalizes a
35996:
discovered that the orbits along which the planets travel around the Sun are ellipses with the Sun at one focus, in his
23641:
At first the measure is available only for chords not parallel to the y-axis, but the final formula works for any chord.
20076:
16276:{\displaystyle \left(x-f_{1}\right)^{2}+\left(y-f_{2}\right)^{2}=e^{2}{\frac {\left(ux+vy+w\right)^{2}}{u^{2}+v^{2}}}\ .}
10136:
679:
38021:
21916:
of the rectangle is divided into n equal spaced line segments and this division is projected parallel with the diagonal
17497:
38046:
Chamberlain, G. (February 1983). "A characterization of the distributions that imply mean—Variance utility functions".
29643:
the ellipse, the intersection points of its polar with the ellipse are the tangency points of the two tangents passing
9782:
9561:
of an ellipse. The orthoptic article contains another proof, without differential calculus and trigonometric formulae.
33739:
takes on the same meaning as above. The errors in these approximations, which were obtained empirically, are of order
29068:
28916:
27329:
23653:
19439:{\displaystyle A_{\Delta }={\tfrac {1}{2}}\det \left({\vec {c}}_{1},\,{\vec {c}}_{2}\right)=\cdots ={\tfrac {1}{2}}ab}
15731:
14342:
The converse is also true and can be used to define an ellipse (in a manner similar to the definition of a parabola):
12240:
37931:
37616:
35901:. This is a consequence of the total travel length being the same along any wall-bouncing path between the two foci.
22154:
because one can use other points rather than the vertices, which starts with a parallelogram instead of a rectangle.
19266:
18285:
14137:{\textstyle \left|PF_{1}\right|^{2}=(x-c)^{2}+y^{2},\ \left|Pl_{1}\right|^{2}=\left(x-{\tfrac {a^{2}}{c}}\right)^{2}}
13712:
13614:
points towards the center (as illustrated on the right), and positive if that direction points away from the center.
7693:
2475:{\displaystyle y=\pm {\frac {b}{a}}{\sqrt {a^{2}-x^{2}}}=\pm {\sqrt {\left(a^{2}-x^{2}\right)\left(1-e^{2}\right)}}.}
1624:
of the ellipse. This property should not be confused with the definition of an ellipse using a directrix line below.
7513:
2518:
1799:
1712:
38010:
Encyclopedia of Laser
Physics and Technology - lamp-pumped lasers, arc lamps, flash lamps, high-power, Nd:YAG laser
37592:
37421:
37253:
which can be translated as "Director circle", but that term has a different meaning in the
English literature (see
36925:
34399:
20126:
This representation can be modeled technically by two simple methods. In both cases center, the axes and semi axes
11908:
1700:
The standard form of an ellipse in
Cartesian coordinates assumes that the origin is the center of the ellipse, the
37775:
Bessel, F. W. (1825). "Über die
Berechnung der geographischen Längen und Breiten aus geodätischen Vermesssungen".
16728:
16013:
5374:{\displaystyle {\frac {\left(x-x_{\circ }\right)^{2}}{a^{2}}}+{\frac {\left(y-y_{\circ }\right)^{2}}{b^{2}}}=1\ .}
36868:
33376:
26175:
25941:{\displaystyle {\tfrac {\left(x-x_{\circ }\right)^{2}}{a^{2}}}+{\tfrac {\left(y-y_{\circ }\right)^{2}}{b^{2}}}=1}
20555:
20369:
5459:
31123:
31064:
30506:
30439:
29920:, respectively, belong to pairs of pole and polar. Because they are even polar pairs with respect to the circle
18103:
12520:{\displaystyle {\vec {f}}_{1}={e \choose 0},\quad {\vec {f}}_{2}={\frac {e}{\sqrt {d^{2}-c^{2}}}}{-c \choose 1}}
37405:
20773:
18790:
6726:
Conversely, the canonical form parameters can be obtained from the general-form coefficients by the equations:
2713:
2512:
686:. A circle viewed from a side angle looks like an ellipse: that is, the ellipse is the image of a circle under
36823:
machine. The bobbin would need to wind faster when the thread is near the apex than when it is near the base.
21736:
18454:
17299:
12536:
11598:{\displaystyle \;M={\vec {f}}_{1}^{2}+{\vec {f}}_{2}^{2},\ N=\left|\det({\vec {f}}_{1},{\vec {f}}_{2})\right|}
38426:
36797:
similar to an ellipse in form. Such elliptical gears may be used in mechanical equipment to produce variable
22516:
19626:
2993:
38321:
36983:
of a circle. The spline methods used to draw a circle may be used to draw an ellipse, since the constituent
35574:{\displaystyle \rho _{0}={\frac {b^{2}}{a}}=p\ ,\qquad \left(\pm {\frac {c^{2}}{a}}\,{\bigg |}\,0\right)\ .}
34774:
32567:
31360:{\displaystyle A_{\text{ellipse}}=\pi \;y_{\text{int}}\,x_{\text{max}}=\pi \;x_{\text{int}}\,y_{\text{max}}}
30335:
29878:
20950:
20758:
14879:
8449:
of the tangent at a point of the ellipse can be obtained from the derivative of the standard representation
8171:
37887:
37183:, a two-dimensional geometric shape constructed of a rectangle with semicircles at a pair of opposite sides
31685:
29836:
21832:
16635:
14461:
the ellipse is the locus of points for which the quotient of the distances to the point and to the line is
12330:
2008:
1952:
569:
35716:{\displaystyle \rho _{1}={\frac {a^{2}}{b}}\ ,\qquad \left(0\,{\bigg |}\,\pm {\frac {c^{2}}{b}}\right)\ .}
21949:
16596:
16467:
10087:{\displaystyle {\vec {x}}={\vec {p}}(t)={\vec {f}}\!_{0}+{\vec {f}}\!_{1}\cos t+{\vec {f}}\!_{2}\sin t\,.}
9440:
9340:
1049:{\displaystyle E=\left\{P\in \mathbb {R} ^{2}\,\mid \,\left|PF_{2}\right|+\left|PF_{1}\right|=2a\right\}.}
583:
and the distance to the directrix is a constant. This constant ratio is the above-mentioned eccentricity:
38421:
37683:
32639:
31000:
20871:
20670:
20258:
19772:
17661:{\displaystyle {\vec {p}}\left(t+{\tfrac {\pi }{2}}\right),\ {\vec {p}}\left(t-{\tfrac {\pi }{2}}\right)}
850:
379:
135:
30104:
24544:
19727:) to draw an ellipse without a computer exist. The principle was known to the 5th century mathematician
17485:{\displaystyle {\vec {x}}={\vec {p}}(t)={\vec {f}}\!_{0}+{\vec {f}}\!_{1}\cos t+{\vec {f}}\!_{2}\sin t,}
14802:
14695:
8012:
this formula represents the right upper quarter of the ellipse moving counter-clockwise with increasing
552:(see figure). Ellipses have many similarities with the other two forms of conic sections, parabolas and
38472:
38443:
38048:
29923:
21114:{\displaystyle C_{1}=\left(a-{\tfrac {b^{2}}{a}},0\right),\,C_{3}=\left(0,b-{\tfrac {a^{2}}{b}}\right)}
20435:
17674:
15871:
12724:{\displaystyle {\vec {f}}_{1}={1 \choose 0},\quad {\vec {f}}_{2}={\frac {1}{\sqrt {2}}}{-1 \choose 1}.}
11864:
9918:
9862:
2216:
1182:
86:
37830:
Linderholm, Carl E.; Segal, Arthur C. (June 1995). "An
Overlooked Series for the Elliptic Perimeter".
36015:, if the two bodies are bound to each other (that is, the total energy is negative), their orbits are
35829:
32650:
derived an expression that converges much more rapidly. It is most concisely written in terms of the
29326:
21887:
19254:{\displaystyle \left|{\vec {c}}_{1}\right|^{2}+\left|{\vec {c}}_{2}\right|^{2}=\cdots =a^{2}+b^{2}\,.}
13644:
10099:
9745:
3878:{\textstyle {\vec {x}}={\begin{pmatrix}x_{1}\\y_{1}\end{pmatrix}}+s{\begin{pmatrix}u\\v\end{pmatrix}}}
38477:
38333:
38271:
38265:
37141:
36979:
may also be used to draw an ellipse to sufficient accuracy, since any ellipse may be construed as an
36029:
35796:
31903:
22116:
21571:, then the intersection points of corresponding lines form a non-degenerate projective conic section.
19974:
19045:{\textstyle {\vec {c}}_{1}={\vec {p}}(t),\ {\vec {c}}_{2}={\vec {p}}\left(t+{\frac {\pi }{2}}\right)}
8345:{\displaystyle \mapsto \left(a{\frac {v^{2}-u^{2}}{v^{2}+u^{2}}},b{\frac {2uv}{v^{2}+u^{2}}}\right).}
5553:
4951:
4694:
4439:
3908:
3737:
3362:
2759:
575:
An ellipse may also be defined in terms of one focal point and a line outside the ellipse called the
36976:
31467:
31440:
31413:
31386:
26159:{\displaystyle \left(x-x_{\circ }\right)^{2}+{\color {blue}q}\,\left(y-y_{\circ }\right)^{2}=a^{2},}
9265:
9229:
38432:
37230:, The Dolciani Mathematical Expositions #47, The Mathematical Association of America, p. 251,
35791:
32643:
30084:
except for the section on the area enclosed by a tilted ellipse, where the generalized form of Eq.(
29717:
29667:
29578:
29566:
By calculation one can confirm the following properties of the pole-polar relation of the ellipse:
29456:
28251:{\displaystyle {\frac {(x-1)^{2}}{2}}+{\frac {\left(y-{\frac {1}{2}}\right)^{2}}{\frac {1}{2}}}=1.}
21656:
21286:
21221:
20909:
20830:
18413:
18367:
17055:
10638:
9592:
8357:
5001:
565:
17:
37572:
34982:
31653:{\displaystyle C\,=\,4a\int _{0}^{\pi /2}{\sqrt {1-e^{2}\sin ^{2}\theta }}\ d\theta \,=\,4a\,E(e)}
23650:
As a consequence, one obtains an equation for the circle determined by three non-collinear points
22506:{\displaystyle \left(x_{1},y_{1}\right),\;\left(x_{2},\,y_{2}\right),\;\left(x_{3},\,y_{3}\right)}
14429:
8418:
7211:
38462:
37130:
37101:
36920:
35853:
34481:
31907:
31120:
The area can also be expressed in terms of eccentricity and the length of the semi-major axis as
22561:
21384:
20056:
19451:
13941:
9557:
This description of the tangents of an ellipse is an essential tool for the determination of the
9301:
7441:
1224:
1098:
767:
703:
38404:
38238:
36812:
Elliptical bicycle gears make it easier for the chain to slide off the cog when changing gears.
35841:
34735:
34326:
33352:
30897:
30497:. It is also easy to rigorously prove the area formula using integration as follows. Equation (
27326:
A consequence, one obtains an equation for the ellipse determined by three non-collinear points
22079:
22042:
16334:
Ellipse: the tangent bisects the supplementary angle of the angle between the lines to the foci.
11204:
7196:
The construction of points based on the parametric equation and the interpretation of parameter
37485:
35935:
35589:
35441:
33955:
33922:
32520:
30400:
30277:
26220:
vary over the real numbers. (Such ellipses have their axes parallel to the coordinate axes: if
21697:
21182:
19751:
16722:
16070:
14840:
13591:
13480:
7247:
4582:{\displaystyle {\begin{pmatrix}{\frac {x_{1}}{a^{2}}}&{\frac {y_{1}}{b^{2}}}\end{pmatrix}}}
691:
344:
37687:
37338:
37304:
34361:
32479:
29800:
22150:
Steiner generation can also be defined for hyperbolas and parabolas. It is sometimes called a
21362:
17127:
15186:
13477:
If instead we use polar coordinates with the origin at one focus, with the angular coordinate
7934:
5987:(the angle from the positive horizontal axis to the ellipse's major axis) using the formulae:
678:
is approximately an ellipse with the Sun at one focus point (more precisely, the focus is the
38467:
38416:
38217:
37994:
37915:
37186:
36980:
36016:
35939:
29767:
21328:
the intersection points of this line with the axes are the centers of the osculating circles.
18660:
15651:
15400:). All of these non-degenerate conics have, in common, the origin as a vertex (see diagram).
14749:
13620:
13282:
12956:
10795:
10605:
10347:
9578:
8414:
6490:
5970:
5424:
3127:
2604:
2064:
318:
37484:
33769:
33712:{\displaystyle C\approx \pi \left(a+b\right)\left(1+{\frac {3h}{10+{\sqrt {4-3h}}}}\right),}
30579:
30231:
26253:
26223:
21919:
19962:
15406:
15377:
15317:
14653:
9385:
8981:
8955:
7973:
2877:
37796:
37748:
37669:
37116:
36890:
36806:
36484:
36406:
36379:
36319:
36278:
35894:
34988:
34765:
33742:
33382:
33320:
33288:
32655:
26755:
26728:
23099:
23072:
22706:
22679:
22015:
21988:
21429:
21379:
21151:
21124:
20129:
20030:
19717:
19536:
19052:
are on conjugate diameters (see previous section). From trigonometric formulae one obtains
18633:
18606:
18596:{\displaystyle A_{\Delta }={\tfrac {1}{2}}c_{2}d_{1}={\tfrac {1}{2}}c_{1}c_{2}\sin \alpha }
18256:
18229:
18198:
17272:
17245:
17100:
16529:
15978:
15951:
15924:
15840:
15813:
15786:
15688:
15432:
9735:
9558:
8166:
5047:
3294:
3197:
2487:
1920:
1888:
1671:
1598:
1566:
1469:
1442:
1372:
1345:
34314:{\displaystyle s=b\ \left_{z\ =\ \arccos {\frac {x_{2}}{a}}}^{\arccos {\frac {x_{1}}{a}}}}
33419:
33219:
31876:
30623:
22237:
22188:
21545:
21516:
21496:
19448:
and from the diagram it can be seen that the area of the parallelogram is 8 times that of
16292:
14330:{\displaystyle \left|PF_{1}\right|^{2}-{\frac {c^{2}}{a^{2}}}\left|Pl_{1}\right|^{2}=0\,.}
3187:
The length of the chord through one focus, perpendicular to the major axis, is called the
2666:
2637:
8:
37911:
37016:
36864:
36820:
36790:
36738:
33409:
32449:
31867:
30394:
However, using the same approach for the circumference would be fallacious – compare the
30307:
28018:
20644:
20340:
20168:
19831:
19763:
17029:
16718:
15347:
14627:
14590:
12738:
11676:
7493:
7208:
Ellipse points calculated by the rational representation with equally spaced parameters (
5173:
4741:
3567:
3312:
3156:
726:
687:
549:
141:
111:
37800:
37752:
37611:. Heath, Thomas Little, Sir, 1861-1940. Mineola, N.Y.: Dover Publications. p. 115.
30874:
28261:
Analogously to the circle case, the equation can be written more clearly using vectors:
20005:
16933:
16697:
16506:
14464:
12737:
Whirls: nested, scaled and rotated ellipses. The spiral is not drawn: we see it as the
8015:
2963:
1399:
919:
807:
219:
196:
38231:
38162:
38094:
38090:
38077:
37964:
37812:
37786:
37764:
37738:
37728:(2010). "The calculation of longitude and latitude from geodesic measurements (1825)".
37707:
37504:
37443:
37180:
37044:
36942:
36746:
36457:
36433:
36352:
36046:
35724:
33902:
33805:
33722:
33268:
33248:
31743:
31665:
31520:
31254:
31234:
30257:
30228:
are the lengths of the semi-major and semi-minor axes, respectively. The area formula
30211:
30191:
29974:
29646:
29623:
28699:
25955:
22217:
21812:
21476:
21456:
21266:
20764:
20721:
20624:
20600:
20532:
20512:
20492:
20472:
20415:
20395:
20309:
20238:
20218:
20198:
19952:
that is parallel to the major axis. These lines meet at an ellipse point (see diagram).
19935:
19911:
19884:
19864:
19732:
17001:
16975:
16955:
16913:
16677:
16576:
16556:
16447:
16353:
14782:
14409:
14389:
14369:
14349:
13773:
13444:
11355:{\displaystyle \;{\vec {x}}={\vec {f}}_{0}+{\vec {f}}_{1}\cos t+{\vec {f}}_{2}\sin t\;}
10195:
9842:
9717:
9420:
9209:
8432:
5899:
5879:
4849:
4674:
4486:
4419:
3888:
3330:
2943:
2923:
2903:
2739:
2719:
2210:
1422:
1158:
1138:
1061:
830:
91:
38263:
38009:
36769:
display is an ellipse, rather than a straight line, the two signals are out of phase.
36479:
35805:
31859:{\displaystyle E(e)\,=\,\int _{0}^{\pi /2}{\sqrt {1-e^{2}\sin ^{2}\theta }}\ d\theta }
30652:
8136:
7668:{\displaystyle \cos t={\frac {1-u^{2}}{1+u^{2}}}\ ,\quad \sin t={\frac {2u}{1+u^{2}}}}
827:
which is greater than the distance between the foci, the ellipse is the set of points
38370:
38351:
38298:
38275:
38251:
38061:
37968:
37927:
37816:
37768:
37711:
37655:
37645:
37622:
37612:
37536:
37492:
37401:
37348:
37314:
37231:
37202:
37086:
37038:
36778:
36033:
35974:
Foellinger
Auditorium; and also at a side chamber of the Palace of Charles V, in the
35947:
35943:
35817:
35757:
35753:
34826:
34768:
33822:
21343:
19736:
16286:
15547:{\displaystyle 1-e^{2}={\tfrac {b^{2}}{a^{2}}},{\text{ and }}\ p={\tfrac {b^{2}}{a}}}
13690:
13276:
7434:
5414:
4504:
190:
38166:
36995:
It is sometimes useful to find the minimum bounding ellipse on a set of points. The
20215:. If the strip slides with both ends on the axes of the desired ellipse, then point
3359:. Through any point of an ellipse there is a unique tangent. The tangent at a point
38399:
38193:
38154:
38125:
38086:
38057:
37956:
37868:
37843:
37839:
37804:
37756:
37725:
37699:
37334:
37072:
37058:
36996:
36841:
36766:
36311:
36040:
36012:
35913:
35909:
34819:
32473:
31504:
29316:
20800:
20752:
can be established (see diagram) by cutting the part between the axes into halves.
15865:
14618:
14614:
11902:
5598:
1628:
695:
580:
527:{\displaystyle (x,y)=(a\cos(t),b\sin(t))\quad {\text{for}}\quad 0\leq t\leq 2\pi .}
78:
38409:
38373:
22214:, as shown in the adjacent image. The special case of a moving circle with radius
10783:{\displaystyle {\vec {p}}\,'(t)=-{\vec {f}}\!_{1}\sin t+{\vec {f}}\!_{2}\cos t\ .}
9437:
can be determined by inserting the coordinates of the corresponding ellipse point
37665:
37342:
37308:
37254:
37136:
37111:
36845:
36451:
36370:
35993:
35930:
35743:
31914:
29761:
The intersection point of two polars is the pole of the line through their poles.
22380:{\displaystyle \left(x-x_{\circ }\right)^{2}+\left(y-y_{\circ }\right)^{2}=r^{2}}
20780:
19697:
18677:
the angle between the half diameters. Hence the area of the ellipse (see section
15074:{\displaystyle (x-f)^{2}+y^{2}=e^{2}\left(x+{\frac {f}{e}}\right)^{2}=(ex+f)^{2}}
12950:
5455:
758:
38393:
38368:
37422:
http://encyclopediaofmath.org/index.php?title=Apollonius_theorem&oldid=17516
37195:, a generalization of an ellipse that can look more rectangular or more "pointy"
36984:
35946:
is said to have used this property for eavesdropping on political matters); the
35889:
Wave pattern of a little droplet dropped into mercury in the foci of the ellipse
18787:
The parallelogram of tangents adjacent to the given conjugate diameters has the
38294:
37777:
37730:
37095:
37030:
36954:
36815:
An example gear application would be a device that winds thread onto a conical
36475:
35987:
35955:
34771:
passing through the endpoints of the ellipse's major axis, and the lower bound
33821:
of any two points on the upper half of the ellipse), is given by an incomplete
33413:
29555:
24523:{\displaystyle (x-1)^{2}+\left(y-{\tfrac {1}{2}}\right)^{2}={\tfrac {5}{4}}\ .}
20392:
A variation of the paper strip method 1 uses the observation that the midpoint
19700:
of the ellipse (not to be confused with the circular directrix defined above).
17346:
Conjugate diameters in an ellipse generalize orthogonal diameters in a circle.
13279:, with the origin at the center of the ellipse and with the angular coordinate
5876:
The general equation's coefficients can be obtained from known semi-major axis
5418:
1092:
45:
An ellipse (red) obtained as the intersection of a cone with an inclined plane.
38437:
38130:
38113:
38025:
37960:
37703:
31509:
28813:{\displaystyle {\vec {u}}*{\vec {v}}=u_{x}v_{x}+{\color {blue}q}\,u_{y}v_{y}.}
20329:
A technical realization of the motion of the paper strip can be achieved by a
38456:
38354:
38198:
38181:
37808:
37177:, the ellipsoid obtained by rotating an ellipse about its major or minor axis
37146:
36885:
36856:
36844:
depends on the direction of the light. The dependency can be described by an
36798:
36502:
35951:
35917:
29713:
the ellipse, the polar has no point with the ellipse in common (see diagram:
26718:{\displaystyle (x-x_{\circ })^{2}+{\color {blue}q}\,(y-y_{\circ })^{2}=a^{2}}
26047:{\displaystyle {\color {blue}q}={\frac {a^{2}}{b^{2}}}={\frac {1}{1-e^{2}}},}
21371:
17981:{\displaystyle (x_{2},y_{2})=({\color {red}{\mp }}a\sin t,\pm b\cos t)\quad }
17020:
3115:{\displaystyle e={\frac {c}{a}}={\sqrt {1-\left({\frac {b}{a}}\right)^{2}}},}
561:
541:
180:
38158:
37872:
37626:
37270:
33814:
of a portion of the circumference, as a function of the angle subtended (or
28835:
Any ellipse can be described in a suitable coordinate system by an equation
26291:
Like a circle, such an ellipse is determined by three points not on a line.
21370:
The following method to construct single points of an ellipse relies on the
18090:{\displaystyle {\frac {x_{1}x_{2}}{a^{2}}}+{\frac {y_{1}y_{2}}{b^{2}}}=0\ .}
16342:
Rays from one focus reflect off the ellipse to pass through the other focus.
12527:
point to two conjugate points and the tools developed above are applicable.
38145:
Van Aken, J.R. (September 1984). "An
Efficient Ellipse-Drawing Algorithm".
37850:
37760:
37206:
37198:
37192:
36837:
36786:
36762:
36001:
35880:
35746:: ellipse through the vertices of the triangle with center at the centroid,
32647:
25524:
The radius is the distance between any of the three points and the center.
22182:
22167:
21339:
19723:
13638:
11194:{\displaystyle \;\cos ^{2}t-\sin ^{2}t=\cos 2t,\ \ 2\sin t\cos t=\sin 2t\;}
675:
671:
537:
34396:
Some lower and upper bounds on the circumference of the canonical ellipse
22162:
20621:
One marks the point, which divides the strip into two substrips of length
14577:{\displaystyle E=\left\{P\ \left|\ {\frac {|PF|}{|Pl|}}=e\right.\right\}.}
3643:
2699:
with respect to the coordinate axes and hence with respect to the origin.
38447:
38182:"Drawing ellipses, hyperbolae or parabolae with a fixed number of points"
37606:
36833:
36758:
36036:, which become significant when the particles are moving at high speed.)
33416:
for the circumference in §16 of "Modular Equations and Approximations to
28717:
24538:
24534:
22264:
20330:
19999:
18187:
13588:
where the sign in the denominator is negative if the reference direction
9739:
5606:
3952:. Inserting the line's equation into the ellipse equation and respecting
2200:{\displaystyle {\sqrt {(x-c)^{2}+y^{2}}}+{\sqrt {(x+c)^{2}+y^{2}}}=2a\ .}
667:
74:
66:
37947:
Jameson, G.J.O. (2014). "Inequalities for the perimeter of an ellipse".
29553:
Such a relation between points and lines generated by a conic is called
29443:{\displaystyle \left(-{\tfrac {ma^{2}}{d}},\,{\tfrac {b^{2}}{d}}\right)}
26507:{\displaystyle {\frac {1+{\color {blue}q}\;m_{1}m_{2}}{m_{2}-m_{1}}}\ .}
19742:
If there is no ellipsograph available, one can draw an ellipse using an
14679:
4941:{\displaystyle {\begin{pmatrix}-y_{1}a^{2}&x_{1}b^{2}\end{pmatrix}}}
38343:
38098:
37448:
37189:, the unique ellipse circumscribing a triangle and sharing its centroid
36881:
36782:
36307:
36020:
35752:: ellipses which touch the sides of a triangle. Special cases are the
33811:
31171:
18777:{\displaystyle A_{el}=\pi ab=\pi c_{2}d_{1}=\pi c_{1}c_{2}\sin \alpha }
13709:
Each of the two lines parallel to the minor axis, and at a distance of
13267:
11444:{\displaystyle A=\pi \left|\det({\vec {f}}_{1},{\vec {f}}_{2})\right|.}
579:: for all points on the ellipse, the ratio between the distance to the
557:
193:, the equation of a standard ellipse centered at the origin with width
37024:
34358:
is the incomplete elliptic integral of the second kind with parameter
29973:, the directrices can be constructed by compass and straightedge (see
19527:
15715:
15639:{\displaystyle {\frac {(x-a)^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1\,,}
4839:{\displaystyle {\frac {x_{1}}{a^{2}}}u+{\frac {y_{1}}{b^{2}}}v\neq 0.}
164:(the limiting case of infinite elongation, no longer an ellipse but a
38378:
38359:
38114:"Algorithm for drawing ellipses or hyperbolae with a digital plotter"
37156:
37120:
36946:
36849:
36742:
36344:
35777:
35749:
34838:
30620:
this curve is the top half of the ellipse. So twice the integral of
29309:
23058:{\displaystyle P_{i}=\left(x_{i},\,y_{i}\right),\ i=1,\,2,\,3,\,4,\,}
22666:{\displaystyle P_{i}=\left(x_{i},\,y_{i}\right),\ i=1,\,2,\,3,\,4,\,}
20067:
The two following methods rely on the parametric representation (see
12381:
of an ellipse centered at the origin is given, then the two vectors
720:
699:
683:
663:
553:
176:
37648:; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F.; Clark, Charles W. (eds.),
37535:. Translated by Shank, Michael H. New York: Routledge. p. 559.
37119:, an orthogonal coordinate system based on families of ellipses and
29989:
All metric properties given below refer to an ellipse with equation
29058:{\displaystyle {\tfrac {x_{1}x}{a^{2}}}+{\tfrac {y_{1}y}{b^{2}}}=1.}
22113:
are points of the uniquely defined ellipse. With help of the points
21354:
19762:
The following construction of single points of an ellipse is due to
4029:{\textstyle {\frac {x_{1}^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y_{1}^{2}}{b^{2}}}=1}
649:{\displaystyle e={\frac {c}{a}}={\sqrt {1-{\frac {b^{2}}{a^{2}}}}}.}
38264:
Miller, Charles D.; Lial, Margaret L.; Schneider, David I. (1990).
37577:, an Introduction to Möbius-, Laguerre- and Minkowski Planes, p. 55
37174:
36950:
36303:
35975:
35928:
shaped as a section of a prolate spheroid. Such a room is called a
35904:
Similarly, if a light source is placed at one focus of an elliptic
35786:
30395:
29297:{\displaystyle {\tfrac {x_{1}x}{a^{2}}}+{\tfrac {y_{1}y}{b^{2}}}=1}
26295:
25824:
This section considers the family of ellipses defined by equations
22946:{\displaystyle {\frac {1+m_{1}m_{2}}{m_{2}-m_{1}}}=\cot \theta \ .}
17235:{\displaystyle {\overline {P_{1}Q_{1}}},\,{\overline {P_{2}Q_{2}}}}
16338:
13579:{\displaystyle r(\theta )={\frac {a(1-e^{2})}{1\pm e\cos \theta }}}
9334:, having vertical tangents, are not covered by the representation.
3347:
intersects an ellipse at 0, 1, or 2 points, respectively called an
184:
165:
32:
24:
37791:
37743:
37080:
30988:{\displaystyle A_{\text{ellipse}}={\frac {b}{a}}\pi a^{2}=\pi ab.}
29574:
the ellipse, the polar is the tangent at this point (see diagram:
26616:{\displaystyle P_{i}=\left(x_{i},\,y_{i}\right),\ i=1,\,2,\,3,\,4}
22854:{\displaystyle y=m_{1}x+d_{1},\ y=m_{2}x+d_{2},\ m_{1}\neq m_{2},}
18846:
Let the ellipse be in the canonical form with parametric equation
14683:
Pencil of conics with a common vertex and common semi-latus rectum
13247:{\displaystyle {\vec {f}}\!_{0},{\vec {f}}\!_{1},{\vec {f}}\!_{2}}
12733:
5405:
4409:{\displaystyle {\frac {x_{1}}{a^{2}}}u+{\frac {y_{1}}{b^{2}}}v=0.}
3557:{\displaystyle {\frac {x_{1}}{a^{2}}}x+{\frac {y_{1}}{b^{2}}}y=1.}
38339:
38316:
36929:
35967:
35770:
35728:
34822:
31492:
31177:
29981:
Pole-polar relations exist for hyperbolas and parabolas as well.
28906:{\displaystyle {\tfrac {x^{2}}{a^{2}}}+{\tfrac {y^{2}}{b^{2}}}=1}
26419:{\displaystyle y=m_{1}x+d_{1},\ y=m_{2}x+d_{2},\ m_{1}\neq m_{2}}
23065:
no three of them on a line, we have the following (see diagram):
21646:{\displaystyle {\tfrac {x^{2}}{a^{2}}}+{\tfrac {y^{2}}{b^{2}}}=1}
19955:
Repeat steps (2) and (3) with different lines through the center.
19728:
19612:{\displaystyle {\tfrac {x^{2}}{a^{2}}}+{\tfrac {y^{2}}{b^{2}}}=1}
19130:{\displaystyle {\vec {c}}_{2}=(-a\sin t,\,b\cos t)^{\mathsf {T}}}
17792:{\displaystyle {\tfrac {x^{2}}{a^{2}}}+{\tfrac {y^{2}}{b^{2}}}=1}
16930:
must be outside the ellipse. As this is true for every choice of
16330:
7924:{\displaystyle {\tfrac {x^{2}}{a^{2}}}+{\tfrac {y^{2}}{b^{2}}}=1}
7419:{\displaystyle (x,\,y)=(a\cos t,\,b\sin t),\ 0\leq t<2\pi \,.}
7321:{\displaystyle {\tfrac {x^{2}}{a^{2}}}+{\tfrac {y^{2}}{b^{2}}}=1}
7204:
5861:
Then the ellipse is a non-degenerate real ellipse if and only if
3477:{\displaystyle {\tfrac {x^{2}}{a^{2}}}+{\tfrac {y^{2}}{b^{2}}}=1}
2867:{\displaystyle {\tfrac {x^{2}}{a^{2}}}+{\tfrac {y^{2}}{b^{2}}}=1}
749:
659:
172:
28:
38302:
37496:
23123:
are equal. In terms of the angle measurement above, this means:
18179:
13469:
12949:
one obtains a parametric representation of the standard ellipse
12741:
of points where the ellipses are especially close to each other.
9226:
is the slope of the tangent at the corresponding ellipse point,
8413:
Rational representations of conic sections are commonly used in
2336:{\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1,}
1639:
741:
306:{\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1.}
41:
16:
This article is about the geometric figure. For other uses, see
38328:
37641:
36945:
is common in standard display libraries, such as the MacIntosh
36816:
36802:
35925:
35905:
30061:{\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1}
26283:
25272:
25229:
25087:
22742:
In order to measure the angle between two lines with equations
22280:
20992:
The diagram shows an easy way to find the centers of curvature
20333:(see animation). The device is able to draw any ellipse with a
18174:
13701:
8526:{\displaystyle {\vec {x}}(t)=(a\cos t,\,b\sin t)^{\mathsf {T}}}
6480:{\displaystyle {\frac {X^{2}}{a^{2}}}+{\frac {Y^{2}}{b^{2}}}=1}
5196:, the ellipse is a circle and "conjugate" means "orthogonal".)
5155:{\textstyle {\frac {x_{1}u}{a^{2}}}+{\tfrac {y_{1}v}{b^{2}}}=0}
4866:
has a second point in common with the ellipse, and is a secant.
4664:{\textstyle {\frac {x_{1}}{a^{2}}}x+{\tfrac {y_{1}}{b^{2}}}y=k}
3282:{\displaystyle \ell ={\frac {b^{2}}{a}}=a\left(1-e^{2}\right).}
707:
82:
49:
35897:
off the walls, converge simultaneously to a single point: the
35235:
The radius of curvature of an ellipse, as a function of angle
31873:
The circumference of the ellipse may be evaluated in terms of
28827:
26310:
In order to measure an angle between two lines with equations
23069:
The four points are on a circle, if and only if the angles at
21335:
The centers for the remaining vertices are found by symmetry.
20578:
19708:
17349:
In the parametric equation for a general ellipse given above,
13503:
still measured from the major axis, the ellipse's equation is
9707:{\displaystyle {\vec {x}}\mapsto {\vec {f}}\!_{0}+A{\vec {x}}}
9569:
8124:{\textstyle \lim _{u\to \pm \infty }(x(u),\,y(u))=(-a,\,0)\;.}
1261:
yields a circle and is included as a special type of ellipse.
57:
36794:
30332:
to make an ellipse. This scales the area by the same factor:
28008:{\displaystyle P_{1}=(2,\,0),\;P_{2}=(0,\,1),\;P_{3}=(0,\,0)}
24313:{\displaystyle P_{1}=(2,\,0),\;P_{2}=(0,\,1),\;P_{3}=(0,\,0)}
22676:
The four points are on a circle if and only if the angles at
21493:, respectively) and a projective but not perspective mapping
20806:
17884:{\displaystyle (x_{1},y_{1})=(\pm a\cos t,\pm b\sin t)\quad }
9644:
An affine transformation of the Euclidean plane has the form
7180:
6413:
These expressions can be derived from the canonical equation
2266:(see diagram) produces the standard equation of the ellipse:
1086:, and the line perpendicular to it through the center is the
714:
32476:(extended to negative odd integers in the usual way, giving
29209:{\displaystyle P_{1}=\left(x_{1},\,y_{1}\right)\neq (0,\,0)}
26779:
are equal in the sense of the measurement above—that is, if
22734:
Usually one measures inscribed angles by a degree or radian
19744:
approximation by the four osculating circles at the vertices
10825:, the tangent is perpendicular to the major/minor axes, so:
7192:
576:
38439:"Why is there no equation for the perimeter of an ellipse‽"
37557:
Seventeenth century instruments for drawing conic sections.
37303:
Larson, Ron; Hostetler, Robert P.; Falvo, David C. (2006).
37169:
35959:
33890:{\displaystyle y=b\ {\sqrt {1-{\frac {x^{2}}{a^{2}}}\ }}~.}
31906:; this is a quadratically converging iterative method (see
30099:
22039:
needed. The intersection points of any two related lines
19985:
16428:{\displaystyle {\overline {PF_{1}}},\,{\overline {PF_{2}}}}
15173:{\displaystyle x^{2}\left(e^{2}-1\right)+2xf(1+e)-y^{2}=0.}
14563:
10635:.) This is derived as follows. The tangent vector at point
7837:
545:
26294:
For this family of ellipses, one introduces the following
13696:
11605:
the statements of Apollonios's theorem can be written as:
1332:{\displaystyle \left|PF_{2}\right|+\left|PF_{1}\right|=2a}
35916:
along a line of the paper; such mirrors are used in some
31231:
ellipses, whose major and minor axes are parallel to the
29129:
to be an arbitrary point different from the origin, then
28149:{\displaystyle {\frac {(x-2)x+4y(y-1)}{yx-(y-1)(x-2)}}=0}
22738:, but here the following measurement is more convenient:
38395:
The Shape and History of The Ellipse in Washington, D.C.
24425:{\displaystyle {\frac {(x-2)x+y(y-1)}{yx-(y-1)(x-2)}}=0}
22513:
not on a line. A simple way to determine the parameters
22270:
19743:
18280:
be halves of two conjugate diameters (see diagram) then
16903:{\displaystyle \left|QF_{2}\right|+\left|QF_{1}\right|,}
14216:{\displaystyle y^{2}=b^{2}-{\tfrac {b^{2}}{a^{2}}}x^{2}}
13299:
measured from the major axis, the ellipse's equation is
10595:{\displaystyle {\vec {f}}\!_{1}\cdot {\vec {f}}\!_{2}=0}
1555:{\displaystyle \left|PF_{1}\right|=\left|Pc_{2}\right|.}
1082:
of the ellipse. The line through the foci is called the
38074:
35723:
The locus of all the centers of curvature is called an
27320:
26517:
20748:
Similar to the variation of the paper strip method 1 a
20412:
of the paper strip is moving on the circle with center
20235:
traces the ellipse. For the proof one shows that point
20069:
19767:
38022:"Cymer - EUV Plasma Chamber Detail Category Home Page"
35874:
34076:
33216:
The coefficients are slightly smaller (by a factor of
31688:
31279:. In this case a simple formula still applies, namely
30871:
The second integral is the area of a circle of radius
30509:
30442:
30403:
29892:
29847:
29507:
29417:
29389:
29258:
29224:
29019:
28985:
28872:
28843:
25884:
25832:
24503:
24477:
23644:
22956:
21612:
21583:
21088:
21024:
20955:
20876:
20814:
20803:
instruments are based on the second paperstrip method.
20573:
Animation of the variation of the paper strip method 1
20440:
20387:
Ellipses with Tusi couple. Two examples: red and cyan.
19578:
19549:
19419:
19343:
18932:
18553:
18518:
18457:
17758:
17729:
17642:
17596:
16835:{\displaystyle \left|QF_{2}\right|+\left|QL\right|={}}
15948:
can be constructed as shown in the diagram. Directrix
15742:
15526:
15483:
15301:{\displaystyle x^{2}\left(e^{2}-1\right)+2px-y^{2}=0.}
14816:
14178:
14105:
13984:
13715:
10276:
8360:
8174:
8041:
7890:
7861:
7516:
7287:
7258:
7250:, a parametric representation of the standard ellipse
7117:
5784:
5760:
5626:
5116:
5082:
4882:
4627:
4595:
4518:
3958:
3854:
3808:
3787:
3597:
3443:
3414:
2833:
2804:
2011:
1955:
1193:
382:
37487:
Anthemius of Tralles: A Study in Later Greek Geometry
36893:
36511:
36487:
36460:
36436:
36409:
36382:
36355:
36322:
36281:
36069:
36049:
35627:
35592:
35479:
35444:
35247:
35023:
34991:
34849:
34777:
34738:
34516:
34484:
34402:
34364:
34329:
34167:
33991:
33958:
33925:
33905:
33831:
33772:
33745:
33725:
33625:
33442:
33422:
33385:
33355:
33323:
33291:
33271:
33251:
33222:
32693:
32658:
32570:
32523:
32482:
32452:
31923:
31879:
31770:
31746:
31668:
31543:
31523:
31470:
31443:
31416:
31389:
31290:
31257:
31237:
31187:
31126:
31067:
31003:
30933:
30900:
30877:
30690:
30655:
30626:
30582:
30338:
30310:
30280:
30260:
30234:
30214:
30194:
30139:
30107:
30000:
29926:
29881:
29839:
29803:
29770:
29720:
29670:
29649:
29626:
29581:
29543:{\displaystyle \left({\tfrac {a^{2}}{c}},\,0\right).}
29500:
29459:
29379:
29329:
29222:
29139:
29071:
28983:
28919:
28841:
28725:
28702:
28267:
28162:
28050:
28021:
27909:
27396:
27332:
26785:
26758:
26731:
26632:
26529:
26432:
26316:
26256:
26226:
26178:
26062:
25978:
25958:
25830:
25530:
25391:
25276:
25156:
25096:
25081:
25030:
24595:
24547:
24438:
24329:
24214:
23720:
23656:
23129:
23102:
23075:
22967:
22867:
22748:
22709:
22682:
22575:
22519:
22393:
22294:
22240:
22220:
22191:
22119:
22082:
22045:
22018:
21991:
21952:
21922:
21890:
21835:
21815:
21739:
21700:
21659:
21581:
21548:
21519:
21499:
21479:
21459:
21432:
21387:
21289:
21269:
21224:
21185:
21154:
21127:
20998:
20953:
20912:
20874:
20833:
20724:
20673:
20647:
20627:
20603:
20535:
20515:
20495:
20475:
20438:
20418:
20398:
20343:
20312:
20261:
20241:
20221:
20201:
20171:
20132:
20079:
20008:
19938:
19914:
19887:
19867:
19834:
19775:
19629:
19547:
19481:
19454:
19328:
19269:
19143:
19058:
18852:
18793:
18687:
18663:
18636:
18609:
18503:
18416:
18370:
18288:
18259:
18232:
18201:
18106:
17999:
17899:
17808:
17727:
17677:
17571:
17500:
17355:
17302:
17275:
17248:
17242:
of an ellipse are conjugate whenever the tangents at
17169:
17130:
17103:
17058:
16978:
16958:
16936:
16916:
16847:
16784:
16731:
16700:
16680:
16638:
16599:
16579:
16559:
16532:
16509:
16470:
16450:
16376:
16356:
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16016:
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15816:
15789:
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15230:
15189:
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14352:
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14150:
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13796:
13776:
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9595:
9548:{\displaystyle y=mx\pm {\sqrt {m^{2}a^{2}+b^{2}}}\,.}
9488:
9443:
9423:
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9212:
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8984:
8958:
8708:
8539:
8455:
8435:
8207:
8201:, then the corresponding rational parametrization is
8139:
8018:
7976:
7937:
7859:
7781:
7716:
7687:
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6526:
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3200:
3159:
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833:
810:
770:
589:
432:
347:
321:
245:
222:
199:
144:
114:
94:
37688:"A new series for the rectification of the ellipsis"
37533:
Classical Mathematics from Al-Khwarizmi to Descartes
37524:
37434:
Blake, E. M. (1900). "The Ellipsograph of Proclus".
37387:, GÖTTINGEN, VANDENHOECK & RUPRECHT, 1967, p. 26
37302:
37006:
33612:{\displaystyle C\approx \pi {\biggl }=\pi {\biggl }}
32564:
This series converges, but by expanding in terms of
31216:{\displaystyle \pi \;y_{\text{int}}\,x_{\text{max}}}
25068:{\displaystyle \left(x_{\circ },\,y_{\circ }\right)}
17015:
9589:
is an affine image of the unit circle with equation
5960:{\displaystyle \left(x_{\circ },\,y_{\circ }\right)}
5248:{\displaystyle \left(x_{\circ },\,y_{\circ }\right)}
757:
An ellipse can be defined geometrically as a set or
698:
formed when the horizontal and vertical motions are
38289:Protter, Murray H.; Morrey, Charles B. Jr. (1970),
37225:
35769:Ellipses appear as plane sections of the following
33825:. The upper half of an ellipse is parameterized by
24541:this formula can be arranged more clearly, letting
21342:one draws a curve, which has smooth contact to the
20810:
Approximation of an ellipse with osculating circles
18100:In case of a circle the last equation collapses to
17038:
The midpoints of parallel chords lie on a diameter.
15685:-axis as major axis, and the major/minor semi axis
10187:{\displaystyle {\vec {f}}\!_{1},\;{\vec {f}}\!_{2}}
1078:of the line segment joining the foci is called the
753:
Ellipse: definition by focus and circular directrix
702:with the same frequency: a similar effect leads to
38230:
37466:Vandenhoeck & Ruprecht, Göttingen 1967, S. 26.
37226:Apostol, Tom M.; Mnatsakanian, Mamikon A. (2012),
36911:
36722:
36493:
36466:
36442:
36422:
36395:
36361:
36335:
36306:, i.e., the farthest distance of the orbit to the
36294:
36262:
36055:
35715:
35613:
35573:
35465:
35424:
35227:
35009:
34971:
34829:at the endpoints of the major and the minor axes.
34810:
34756:
34722:
34502:
34470:
34386:
34350:
34313:
34151:
33977:
33944:
33911:
33889:
33788:
33758:
33731:
33711:
33611:
33428:
33398:
33367:
33341:
33309:
33277:
33257:
33237:
33208:
32678:
32631:
32553:
32509:
32464:
32438:
31894:
31858:
31752:
31732:
31674:
31652:
31529:
31483:
31456:
31429:
31402:
31359:
31263:
31243:
31215:
31162:
31110:
31053:
30987:
30919:
30886:
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30641:
30612:
30568:
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30246:
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30200:
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30120:
30060:
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29912:
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29697:
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29486:
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25067:
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22665:
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22004:
21977:
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21908:
21876:
21821:
21799:
21725:
21686:
21645:
21563:
21534:
21505:
21485:
21465:
21445:
21418:
21318:
21275:
21253:
21210:
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21140:
21113:
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20860:
20730:
20710:
20659:
20633:
20609:
20541:
20521:
20501:
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20461:
20424:
20404:
20355:
20318:
20298:
20247:
20227:
20207:
20183:
20145:
20116:
20017:
19944:
19920:
19893:
19873:
19846:
19812:
19757:
19681:
19611:
19512:
19467:
19438:
19314:
19253:
19129:
19044:
18917:{\displaystyle {\vec {p}}(t)=(a\cos t,\,b\sin t).}
18916:
18826:
18776:
18669:
18649:
18622:
18595:
18489:
18443:
18402:
18350:
18272:
18245:
18214:
18164:
18089:
17980:
17883:
17791:
17713:
17660:
17558:{\displaystyle {\vec {p}}(t),\ {\vec {p}}(t+\pi )}
17557:
17484:
17334:
17288:
17261:
17234:
17149:
17116:
17085:
16984:
16964:
16945:
16922:
16902:
16834:
16771:
16709:
16686:
16666:
16624:
16585:
16565:
16545:
16518:
16495:
16456:
16427:
16362:
16314:
16275:
16103:
16059:
15994:
15967:
15940:
15913:
15856:
15829:
15802:
15775:
15704:
15673:
15638:
15546:
15448:
15421:
15392:
15362:
15332:
15300:
15216:
15172:
15073:
14944:
14868:
14829:
14791:
14771:
14738:
14668:
14642:
14605:
14576:
14476:
14453:
14418:
14398:
14378:
14358:
14329:
14215:
14136:
13970:
13927:
13782:
13754:
13681:
13629:
13606:
13578:
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13453:
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13246:
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12941:
12723:
12594:
12519:
12370:
12319:
12221:
11963:
11893:
11846:
11691:
11665:
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11354:
11230:
11193:
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10817:
10782:
10665:
10627:
10594:
10526:
10369:
10336:
10186:
10125:
10086:
9942:
9907:
9851:
9831:
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9706:
9627:
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9409:
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9290:
9254:
9218:
9196:
8996:
8970:
8942:
8688:
8525:
8441:
8429:A parametric representation, which uses the slope
8403:
8344:
8193:
8157:
8123:
8027:
8004:
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7923:
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7229:
7168:
6716:
6512:
6479:
6403:
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5959:
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5888:
5851:
5587:
5542:
5446:
5373:
5247:
5204:If the standard ellipse is shifted to have center
5188:
5154:
5068:
5036:
4987:
4940:
4858:
4838:
4756:
4730:
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4663:
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4408:
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839:
819:
796:
648:
526:
418:
368:
333:
305:
231:
208:
156:
126:
100:
36987:behave appropriately under such transformations.
36958:ellipses was invented in 1984 by Jerry Van Aken.
35676:
35551:
35399:
35282:
34201:
33604:
33535:
33522:
33454:
32777:
32757:
20195:The point, where the semi axes meet is marked by
19828:centered at the center of the ellipse with radii
17463:
17431:
17408:
13237:
13214:
13191:
12933:
12900:
12862:
12833:
12795:
12782:
12712:
12694:
12647:
12634:
12511:
12493:
12426:
12413:
12194:
12171:
12126:
12112:
12108:
12086:
12041:
12018:
12004:
12000:
11051:
11019:
10977:
10945:
10909:
10758:
10726:
10579:
10556:
10511:
10488:
10457:
10428:
10177:
10153:
10116:
10064:
10032:
10009:
9832:{\displaystyle {\vec {f}}\!_{1},{\vec {f}}\!_{2}}
9822:
9799:
9762:
9679:
6487:by a Euclidean transformation of the coordinates
2990:This is the distance from the center to a focus:
2695:It follows from the equation that the ellipse is
38454:
38349:
38111:
37888:"Comparing approximations for ellipse perimeter"
36928:. The elliptical distributions are important in
35764:
29122:{\displaystyle P_{1}=\left(x_{1},\,y_{1}\right)}
28970:{\displaystyle P_{1}=\left(x_{1},\,y_{1}\right)}
28580:
28372:
27383:{\displaystyle P_{i}=\left(x_{i},\,y_{i}\right)}
26626:The four points are on an ellipse with equation
24908:
24700:
23707:{\displaystyle P_{i}=\left(x_{i},\,y_{i}\right)}
19354:
16972:only intersects the ellipse at the single point
16573:is the semi-major axis of the ellipse. Let line
15776:{\displaystyle c\cdot {\tfrac {a^{2}}{c}}=a^{2}}
15648:which is the equation of an ellipse with center
13755:{\textstyle d={\frac {a^{2}}{c}}={\frac {a}{e}}}
13262:
12320:{\displaystyle x^{2}+2cxy+d^{2}y^{2}-e^{2}=0\ ,}
12148:
12063:
11978:
11540:
11383:
11245:From Apollonios theorem (see below) one obtains:
8043:
736:
38270:(3rd ed.). Scott Foresman/Little. p.
38228:
38045:
37860:Journal für die Reine und Angewandte Mathematik
37829:
35727:. In the case of an ellipse, the evolute is an
19315:{\displaystyle {\vec {c}}_{1},\,{\vec {c}}_{2}}
18351:{\displaystyle c_{1}^{2}+c_{2}^{2}=a^{2}+b^{2}}
15975:is the perpendicular to the main axis at point
13464:
7550:{\textstyle u=\tan \left({\frac {t}{2}}\right)}
4738:is on the tangent and the ellipse, one obtains
1339:can be viewed in a different way (see figure):
1090:. The major axis intersects the ellipse at two
745:Ellipse: definition by sum of distances to foci
61:Ellipses: examples with increasing eccentricity
38144:
37692:Transactions of the Royal Society of Edinburgh
36043:, useful relations involving the eccentricity
22673:(see diagram) the following statement is true:
20326:is the angle of the slope of the paper strip.
2634:on the ellipse to the left and right foci are
2590:{\displaystyle V_{3}=(0,\,b),\;V_{4}=(0,\,-b)}
1873:{\displaystyle V_{1}=(a,\,0),\ V_{2}=(-a,\,0)}
1786:{\displaystyle F_{1}=(c,\,0),\ F_{2}=(-c,\,0)}
544:: a plane curve tracing the intersection of a
38410:Collection of animated ellipse demonstrations
38288:
37290:
34471:{\displaystyle \ x^{2}/a^{2}+y^{2}/b^{2}=1\ }
31762:complete elliptic integral of the second kind
31491:are maximum values. It follows directly from
29563:. The pole is the point; the polar the line.
22166:An ellipse (in red) as a special case of the
16346:An ellipse possesses the following property:
11964:{\displaystyle \;\cos ^{2}t+\sin ^{2}t-1=0\;}
9573:Ellipse as an affine image of the unit circle
8424:
6921:
6857:
6850:
6768:
5869:> 0, we have an imaginary ellipse, and if
2796:In principle, the canonical ellipse equation
37823:
30254:is intuitive: start with a circle of radius
29308:This relation between points and lines is a
21575:For the generation of points of the ellipse
20469:. Hence, the paperstrip can be cut at point
19861:, which intersects the two circles at point
18175:Theorem of Apollonios on conjugate diameters
16772:{\displaystyle 2a=\left|LF_{2}\right|<{}}
16593:be the external angle bisector of the lines
16060:{\displaystyle F=\left(f_{1},\,f_{2}\right)}
7187:
38224:. London: George Bell and Sons. p. 50.
38179:
37916:"Modular Equations and Approximations to π"
37857:[About the hypergeometric series].
37604:
37476:
37265:
37263:
30569:{\textstyle y(x)=b{\sqrt {1-x^{2}/a^{2}}}.}
30490:{\textstyle \int {\sqrt {1+f'^{2}(x)}}\,dx}
26623:, no three of them on a line (see diagram).
26213:{\displaystyle x_{\circ },\,y_{\circ },\,a}
20906:The radius of curvature at the co-vertices
20489:into halves, connected again by a joint at
11666:{\displaystyle a^{2}+b^{2}=M,\quad ab=N\ .}
9298:the lower half of the ellipse. The vertices
5543:{\displaystyle Ax^{2}+Bxy+Cy^{2}+Dx+Ey+F=0}
5458:that, in non-degenerate cases, satisfy the
1634:
38237:(2nd ed.). New York: Wiley. pp.
37509:: CS1 maint: location missing publisher (
37366:
37364:
36999:is quite useful for solving this problem.
35972:University of Illinois at Urbana–Champaign
34242:
34206:
34198:
34186:
34136:
31335:
31307:
31191:
31163:{\displaystyle a^{2}\pi {\sqrt {1-e^{2}}}}
31111:{\displaystyle 2\pi /{\sqrt {4AC-B^{2}}}.}
27975:
27942:
27701:
27462:
27114:
26857:
26449:
24280:
24247:
22468:
22430:
20738:is the angle of slope of the paper strip.
20582:Ellipse construction: paper strip method 2
20375:Ellipse construction: paper strip method 1
18165:{\displaystyle x_{1}x_{2}+y_{1}y_{2}=0\ .}
12920:
12871:
12804:
12591:
12540:
12364:
12334:
11971:, one obtains the implicit representation
11960:
11912:
11890:
11868:
11861:Solving the parametric representation for
11465:
11351:
11254:
11224:
11190:
11094:
10295:
10244:
10163:
9114:
8117:
7505:
7492:-axis, but has a geometric meaning due to
3179:) has zero eccentricity, and is a circle.
2554:
2497:
38374:"Ellipse as special case of hypotrochoid"
38197:
38129:
37910:
37790:
37742:
37447:
36875:
35681:
35673:
35556:
35548:
35418:
33169:
33136:
33110:
33084:
31787:
31783:
31637:
31630:
31626:
31551:
31547:
31346:
31318:
31271:axes. However, some applications require
31202:
31181:The area enclosed by a tilted ellipse is
30845:
30770:
30480:
30419:
30165:{\displaystyle A_{\text{ellipse}}=\pi ab}
29816:
29780:
29734:
29684:
29595:
29528:
29415:
29199:
29171:
29103:
28951:
28913:. The equation of the tangent at a point
28786:
27998:
27965:
27932:
27364:
26672:
26609:
26602:
26595:
26561:
26206:
26192:
26106:
25972:. It is convenient to use the parameter:
25049:
24572:
24303:
24270:
24237:
23688:
23054:
23047:
23040:
23033:
22999:
22662:
22655:
22648:
22641:
22607:
22487:
22449:
22133:
21870:
21863:
21849:
21787:
21771:
21758:
21733:be an upper co-vertex of the ellipse and
21716:
21673:
21439:
21403:
21201:
21056:
20926:
20847:
20692:
20280:
20139:
20098:
20070:§ Standard parametric representation
19993:
19928:that is parallel to the minor axis and a
19794:
19754:the axes and semi-axes can be retrieved.
19513:{\displaystyle {\text{Area}}_{12}=4ab\,.}
19506:
19384:
19292:
19247:
19102:
18895:
18827:{\displaystyle {\text{Area}}_{12}=4ab\ .}
18490:{\textstyle A_{\Delta }={\frac {1}{2}}ab}
18430:
18208:
17671:For the common parametric representation
17202:
17072:
16402:
16285:(The right side of the equation uses the
16041:
15698:
15664:
15632:
15442:
14859:
14762:
14714:
14323:
13461:is the eccentricity, not Euler's number.
13271:Polar coordinates centered at the center.
13146:
13061:
11836:
10693:
10464:
10435:
10080:
9541:
9317:
9187:
9179:
8590:
8498:
8391:
8110:
8079:
7992:
7950:
7779:
7714:
7412:
7372:
7344:
7146:
6503:
5941:
5437:
5229:
4971:
4714:
4459:
3928:
3757:
3712:
3382:
2617:
2577:
2544:
2077:
1863:
1825:
1776:
1738:
979:
975:
965:
187:is required to obtain an exact solution.
37464:Vorlesungen über Darstellende Geometrie.
37260:
37107:Distance of closest approach of ellipses
36962:and additions to calculate each vector.
35884:
35739:Ellipses appear in triangle geometry as
31508:
31176:
29304:, not through the center of the ellipse.
28826:
26282:
22279:
22161:
21800:{\displaystyle A=(-a,\,2b),\,B=(a,\,2b)}
21361:
21353:
20827:The radius of curvature at the vertices
20805:
20577:
19984:
19707:
19526:
18186:
18178:
17335:{\displaystyle {\overline {P_{2}Q_{2}}}}
17019:
16337:
16329:
15714:
14678:
13700:
13468:
13266:
12732:
12595:{\displaystyle \;x^{2}+2xy+3y^{2}-1=0\;}
9568:
7203:
7191:
5404:
5167:
5076:are two points of the ellipse such that
4503:is a tangent. The tangent direction has
1638:
1175:of the foci to the center is called the
748:
740:
56:
48:
40:
38291:College Calculus with Analytic Geometry
38245:
38147:IEEE Computer Graphics and Applications
37946:
37651:NIST Handbook of Mathematical Functions
37639:
37385:Vorlesungen über Darstellende Geometrie
37361:
36789:, or in the case of a bicycle the main
36732:
35734:
31174:, then computing the semi-minor axis).
22552:{\displaystyle x_{\circ },y_{\circ },r}
22387:is uniquely determined by three points
19682:{\displaystyle x^{2}+y^{2}=a^{2}+b^{2}}
17097:if the midpoints of chords parallel to
14779:is a point on the curve. The directrix
14339:The second case is proven analogously.
13697:Eccentricity and the directrix property
9004:of the standard representation yields:
8194:{\textstyle \mathbf {P} (\mathbf {R} )}
7557:and trigonometric formulae one obtains
7184:is the 2-argument arctangent function.
5401:Matrix representation of conic sections
3033:{\displaystyle c={\sqrt {a^{2}-b^{2}}}}
426:. The standard parametric equation is:
38455:
38414:
38215:
37999:. Philadelphia Gear Works. p. 72.
37879:
37849:
37774:
37724:
37589:Vorlesungen über Geomerie der Algebren
37530:
37526:Kitāb al-shakl al-mudawwar al-mustaṭīl
37482:
37162:, a generalization of the ellipse for
37126:Elliptic partial differential equation
36990:
36752:
34811:{\displaystyle 4{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}
32632:{\displaystyle h=(a-b)^{2}/(a+b)^{2},}
31740:is the eccentricity, and the function
31733:{\textstyle e={\sqrt {1-b^{2}/a^{2}}}}
31682:is the length of the semi-major axis,
30387:{\displaystyle \pi b^{2}(a/b)=\pi ab.}
29913:{\displaystyle x=-{\tfrac {a^{2}}{c}}}
28822:
26302:a function of the usual angle measure
26287:Inscribed angle theorem for an ellipse
26056:and to write the ellipse equation as:
20982:{\displaystyle {\tfrac {a^{2}}{b}}\ .}
20062:
19522:
19263:The area of the triangle generated by
19121:
18678:
17010:
15554:, and then the equation above becomes
14945:{\displaystyle |PF|^{2}=e^{2}|Pl|^{2}}
11087:Expanding and applying the identities
9577:Another definition of an ellipse uses
8609:
8517:
7853:which covers any point of the ellipse
3048:The eccentricity can be expressed as:
2985:
2054:{\textstyle {\sqrt {(x+c)^{2}+y^{2}}}}
1998:{\textstyle {\sqrt {(x-c)^{2}+y^{2}}}}
38388:Apollonius' Derivation of the Ellipse
38369:
38350:
37992:
37682:
37433:
37333:
36011:More generally, in the gravitational
36004:explained this as a corollary of his
33349:. For eccentricities less than 0.5 (
29868:{\displaystyle x={\tfrac {a^{2}}{c}}}
28780:
27695:
27456:
22271:Inscribed angles and three-point form
22181:The ellipse is a special case of the
21877:{\displaystyle V_{1},\,V_{2},\,B,\,A}
21653:one uses the pencils at the vertices
21372:Steiner generation of a conic section
21349:
21283:, which is perpendicular to the line
20794:Variation of the paper strip method 2
20750:variation of the paper strip method 2
20561:Variation of the paper strip method 1
17034:A circle has the following property:
16667:{\displaystyle {\overline {PF_{2}}}.}
12371:{\displaystyle \;d^{2}-c^{2}>0\;,}
10206:The four vertices of the ellipse are
9839:are the column vectors of the matrix
9337:The equation of the tangent at point
7498:
1179:or linear eccentricity. The quotient
38433:Trammel according Frans van Schooten
37885:
37347:. John Wiley and Sons. p. 831.
36936:
31281:
30130:
29991:
29984:
29833:, respectively, and the directrices
27321:Three-point form of ellipse equation
26518:Inscribed angle theorem for ellipses
26246:, the major axis is parallel to the
21978:{\displaystyle {\overline {V_{1}B}}}
21946:as direction onto the line segment
20741:This method is the base for several
19712:Central projection of circles (gate)
18451:(see diagram) has the constant area
16625:{\displaystyle {\overline {PF_{1}}}}
16496:{\displaystyle {\overline {PF_{2}}}}
16370:bisects the angle between the lines
16289:of a line to calculate the distance
13473:Polar coordinates centered at focus.
9564:
9475:{\displaystyle {\vec {c}}_{\pm }(m)}
9375:{\displaystyle {\vec {c}}_{\pm }(m)}
4995:, which proves the vector equation.
3182:
1695:
419:{\textstyle c={\sqrt {a^{2}-b^{2}}}}
37273:. Mathworld.wolfram.com. 2020-09-10
37249:The German term for this circle is
36772:
35981:
35875:Elliptical reflectors and acoustics
31054:{\displaystyle Ax^{2}+Bxy+Cy^{2}=1}
23645:Three-point form of circle equation
22957:Inscribed angle theorem for circles
20897:{\displaystyle {\tfrac {b^{2}}{a}}}
20815:Approximation by osculating circles
20711:{\displaystyle (a\cos t,\,b\sin t)}
20299:{\displaystyle (a\cos t,\,b\sin t)}
20117:{\displaystyle (a\cos t,\,b\sin t)}
19813:{\displaystyle (a\cos t,\,b\sin t)}
19703:
17565:belong to a diameter, and the pair
8165:is considered to be a point on the
5383:The axes are still parallel to the
4589:, so the tangent line has equation
909:{\displaystyle |PF_{1}|,\ |PF_{2}|}
847:such that the sum of the distances
694:. The ellipse is also the simplest
175:solution for its area, but for its
13:
38091:10.1111/j.1540-6261.1983.tb02499.x
37855:"Uber die Hypergeometrische Reihe"
37271:"Ellipse - from Wolfram MathWorld"
32931:
32825:
32761:
32748:
32328:
32184:
30121:{\displaystyle A_{\text{ellipse}}}
27108:
26851:
26666:
26443:
26100:
25980:
24582:{\displaystyle {\vec {x}}=(x,\,y)}
22157:
20255:has the parametric representation
20055:string is due to the Irish bishop
19768:standard parametric representation
19460:
19334:
18509:
18463:
17668:belong to its conjugate diameter.
16326:Focus-to-focus reflection property
14830:{\displaystyle x=-{\tfrac {f}{e}}}
14739:{\displaystyle F=(f,\,0),\ e>0}
12904:
12837:
12786:
12698:
12638:
12497:
12417:
11673:Solving this nonlinear system for
8056:
7831:
7819:
7681:parametric equation of an ellipse
7438:in astronomy) is not the angle of
7242:Standard parametric representation
7215:
5615:
5601:from the non-degenerate case, let
5394:
5199:
14:
38489:
38309:
37372:A Catalog of Special Plane Curves
37313:. Cengage Learning. p. 767.
37152:Kepler's laws of planetary motion
37098:, a generalization of the ellipse
33375:), the error is at the limits of
33265:is numerically much smaller than
31904:Gauss's arithmetic-geometric mean
30997:An ellipse defined implicitly by
30684:will be the area of the ellipse:
29966:{\displaystyle x^{2}+y^{2}=a^{2}}
28422:
28381:
28328:
28277:
28041:one obtains the three-point form
27602:
27576:
27547:
27521:
27493:
27467:
27430:
27404:
24750:
24709:
24656:
24605:
23918:
23892:
23863:
23837:
23809:
23783:
23754:
23728:
20462:{\displaystyle {\tfrac {a+b}{2}}}
17936:
17714:{\displaystyle (a\cos t,b\sin t)}
17016:Definition of conjugate diameters
15914:{\displaystyle x^{2}+y^{2}=a^{2}}
11894:{\displaystyle \;\cos t,\sin t\;}
9943:{\displaystyle 0\leq t\leq 2\pi }
9908:{\displaystyle (\cos(t),\sin(t))}
2707:
2259:{\displaystyle b^{2}=a^{2}-c^{2}}
1466:equals the distance to the focus
1207:{\displaystyle e={\tfrac {c}{a}}}
38405:Ellipse circumference calculator
38327:
38315:
38248:Fundamental Concepts of Geometry
37981:David Drew. "Elliptical Gears".
37079:
37065:
37051:
37037:
37023:
37009:
36926:multivariate normal distribution
36921:jointly elliptically distributed
36867:light sources used in microchip
36848:. (If the material is optically
36832:In a material that is optically
35962:; at an exhibit on sound at the
35852:
35840:
35828:
35816:
35804:
31513:Ellipses with same circumference
31498:
29366:{\displaystyle y=mx+d,\ d\neq 0}
21909:{\displaystyle {\overline {AB}}}
20787:
20772:
20757:
20566:
20554:
20380:
20368:
19973:
19961:
18191:For the alternative area formula
15864:are inverse with respect to the
13682:{\displaystyle \ell =a(1-e^{2})}
12533:: For the ellipse with equation
10198:, in general not perpendicular.
10126:{\displaystyle {\vec {f}}\!_{0}}
9772:{\displaystyle {\vec {f}}\!_{0}}
8184:
8176:
4436:and the ellipse have only point
2484:The width and height parameters
2213:by suitable squarings and using
804:called the foci and a distance
38267:Fundamentals of College Algebra
38173:
38138:
38105:
38068:
38039:
38014:
38003:
37986:
37975:
37940:
37904:
37718:
37676:
37633:
37598:
37581:
37566:
37549:
37517:
37491:. Cambridge, MA. pp. 8–9.
37469:
37456:
37436:American Journal of Mathematics
37427:
37411:
35864:
35664:
35583:Radius of curvature at the two
35522:
35435:Radius of curvature at the two
33806:Meridian arc § Calculation
33377:double-precision floating-point
22284:Circle: inscribed angle theorem
22140:{\displaystyle C_{1},\,\dotsc }
21829:is the center of the rectangle
19758:de La Hire's point construction
19731:, and the tool now known as an
17977:
17880:
12656:
12435:
11644:
8834:
8833:
8652:
8648:
8619:
8615:
7622:
5588:{\displaystyle B^{2}-4AC<0.}
4988:{\displaystyle (x_{1},\,y_{1})}
4731:{\displaystyle (x_{1},\,y_{1})}
4476:{\displaystyle (x_{1},\,y_{1})}
4159:
4155:
3945:{\displaystyle (x_{1},\,y_{1})}
3774:{\displaystyle (x_{1},\,y_{1})}
3704:
3399:{\displaystyle (x_{1},\,y_{1})}
3043:
2787:{\displaystyle a\geq b>0\ .}
1419:, then the distance of a point
502:
496:
37844:10.1080/0025570X.1995.11996318
37654:, Cambridge University Press,
37400:, Verlag Harri Deutsch, 1979,
37390:
37377:
37327:
37296:
37284:
37243:
37219:
36906:
36894:
36852:, this ellipsoid is a sphere.)
36250:
36238:
36211:
36199:
35964:Museum of Science and Industry
35621:and the centers of curvature:
35608:
35593:
35473:and the centers of curvature:
35460:
35445:
35384:
35371:
35350:
35341:
35328:
35325:
35306:
35257:
35251:
35004:
34992:
34608:
34596:
34577:
34565:
34345:
34333:
33579:
33566:
33555:
33543:
33515:
33500:
33497:
33482:
33474:
33462:
32959:
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32873:
32864:
32853:
32838:
32719:
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32617:
32604:
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32524:
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32483:
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32223:
32212:
32197:
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31883:
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31774:
31647:
31641:
31484:{\displaystyle y_{\text{max}}}
31457:{\displaystyle x_{\text{max}}}
31430:{\displaystyle x_{\text{int}}}
31403:{\displaystyle y_{\text{int}}}
30671:
30656:
30636:
30630:
30604:
30589:
30519:
30513:
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30469:
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30410:
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30352:
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29804:
29784:
29771:
29203:
29190:
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28732:
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28639:
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28595:
28561:
28539:
28507:
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28447:
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28406:
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28353:
28335:
28302:
28284:
28179:
28166:
28134:
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28119:
28107:
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28066:
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28002:
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27969:
27956:
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27878:
27852:
27849:
27823:
27817:
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27788:
27762:
27757:
27731:
27728:
27702:
27688:
27662:
27659:
27633:
27621:
27598:
27595:
27572:
27566:
27543:
27540:
27517:
27512:
27489:
27486:
27463:
27449:
27426:
27423:
27400:
27291:
27265:
27262:
27236:
27230:
27204:
27201:
27175:
27170:
27144:
27141:
27115:
27101:
27075:
27072:
27046:
27034:
27008:
27005:
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26973:
26947:
26944:
26918:
26913:
26887:
26884:
26858:
26844:
26818:
26815:
26789:
26693:
26673:
26653:
26633:
25494:
25468:
25379:
25353:
24989:
24967:
24945:
24923:
24889:
24867:
24835:
24813:
24775:
24757:
24734:
24716:
24681:
24663:
24630:
24612:
24576:
24563:
24554:
24452:
24439:
24410:
24398:
24395:
24383:
24369:
24357:
24345:
24333:
24307:
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24274:
24261:
24241:
24228:
24186:
24160:
24157:
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24096:
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24036:
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24004:
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23975:
23949:
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23914:
23911:
23888:
23882:
23859:
23856:
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23828:
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23802:
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23593:
23590:
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23558:
23532:
23529:
23503:
23498:
23472:
23469:
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23437:
23411:
23408:
23382:
23370:
23344:
23341:
23315:
23309:
23283:
23280:
23254:
23249:
23223:
23220:
23194:
23188:
23162:
23159:
23133:
21794:
21778:
21765:
21746:
21720:
21707:
21558:
21552:
21529:
21523:
21413:
21407:
21397:
21391:
21205:
21192:
20705:
20674:
20593:The second method starts with
20293:
20262:
20111:
20080:
19807:
19776:
19392:
19369:
19300:
19277:
19193:
19156:
19116:
19081:
19066:
19010:
18989:
18973:
18967:
18961:
18940:
18908:
18877:
18871:
18865:
18859:
18195:For an ellipse with semi-axes
17974:
17932:
17926:
17900:
17877:
17841:
17835:
17809:
17708:
17678:
17624:
17578:
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17540:
17534:
17519:
17513:
17507:
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17424:
17401:
17389:
17383:
17377:
17362:
16308:
16297:
15668:
15655:
15577:
15564:
15211:
15199:
15148:
15136:
15062:
15046:
14975:
14962:
14932:
14920:
14896:
14884:
14863:
14850:
14766:
14753:
14718:
14705:
14549:
14538:
14531:
14520:
14031:
14018:
13766:of the ellipse (see diagram).
13676:
13657:
13550:
13531:
13519:
13513:
13419:
13403:
13376:
13360:
13348:
13332:
13315:
13309:
13257:
13230:
13207:
13184:
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13089:
13010:
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12879:
12812:
12764:
12664:
12616:
12443:
12395:
12187:
12164:
12119:
12102:
12079:
12034:
12011:
11994:
11833:
11795:
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11575:
11553:
11543:
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11418:
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11386:
11330:
11299:
11277:
11261:
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11012:
10970:
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10902:
10890:
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10878:
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10855:
10845:
10751:
10719:
10704:
10698:
10686:
10660:
10654:
10648:
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10549:
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10421:
10406:
10390:
10302:
10251:
10238:
10225:
10219:
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10146:
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10057:
10025:
10002:
9990:
9984:
9978:
9963:
9950:, is mapped onto the ellipse:
9902:
9899:
9893:
9881:
9875:
9866:
9815:
9792:
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9672:
9663:
9657:
9469:
9463:
9451:
9369:
9363:
9351:
9321:
9305:
9291:{\displaystyle {\vec {c}}_{-}}
9276:
9255:{\displaystyle {\vec {c}}_{+}}
9240:
9036:
9030:
9018:
8649:
8616:
8604:
8569:
8563:
8557:
8547:
8512:
8480:
8474:
8468:
8462:
8404:{\textstyle \mapsto (-a,\,0).}
8395:
8379:
8376:
8373:
8361:
8223:
8220:
8208:
8188:
8180:
8152:
8140:
8133:Alternately, if the parameter
8114:
8098:
8092:
8089:
8083:
8073:
8067:
8061:
8050:
7996:
7983:
7954:
7938:
7770:
7764:
7705:
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7472:
7466:
7457:
7451:
7445:
7385:
7354:
7348:
7335:
7156:
7134:
6895:
6882:
6874:
6862:
6842:
6817:
6507:
6494:
5873:= 0, we have a point ellipse.
5843:
5795:
5441:
5428:
5417:, the ellipse is defined as a
5063:
5051:
5031:
5005:
4982:
4955:
4725:
4698:
4470:
4443:
4156:
3939:
3912:
3794:
3768:
3741:
3583:
3393:
3366:
3316:
2714:semi-major and semi-minor axes
2621:
2608:
2584:
2568:
2548:
2535:
2513:semi-major and semi-minor axes
2158:
2145:
2116:
2103:
2081:
2068:
2027:
2014:
1971:
1958:
1936:
1924:
1904:
1892:
1867:
1851:
1829:
1816:
1780:
1764:
1742:
1729:
1704:-axis is the major axis, and:
902:
884:
873:
855:
493:
490:
484:
469:
463:
451:
445:
433:
363:
348:
1:
38209:
37886:Cook, John D. (28 May 2023).
35998:first law of planetary motion
35765:As plane sections of quadrics
35432:where e is the eccentricity.
33799:
30304:) and stretch it by a factor
29748:{\displaystyle F_{1},\,l_{1}}
29698:{\displaystyle P_{2},\,p_{2}}
29609:{\displaystyle P_{1},\,p_{1}}
29487:{\displaystyle x=c,\ c\neq 0}
26725:if and only if the angles at
24432:, which can be rearranged to
24320:the three-point equation is:
21687:{\displaystyle V_{1},\,V_{2}}
21332:(proof: simple calculation.)
21319:{\displaystyle V_{1}V_{3}\ ,}
21254:{\displaystyle V_{1}V_{3}\ ,}
20940:{\displaystyle V_{3},\,V_{4}}
20861:{\displaystyle V_{1},\,V_{2}}
20161:The first method starts with
20047:A similar method for drawing
20034:
18444:{\displaystyle c_{1},\,c_{2}}
18403:{\displaystyle O,P_{1},P_{2}}
17721:of the ellipse with equation
17086:{\displaystyle d_{1},\,d_{2}}
16992:so must be the tangent line.
13263:Polar form relative to center
10666:{\displaystyle {\vec {p}}(t)}
9628:{\displaystyle x^{2}+y^{2}=1}
8035:The left vertex is the limit
5162:, then the points lie on two
5037:{\displaystyle (x_{1},y_{1})}
4948:is a tangent vector at point
3781:be a point on an ellipse and
3484:has the coordinate equation:
3315:at the vertices (see section
2712:Throughout this article, the
2702:
2601:. The distances from a point
1668:: semi-latus rectum (usually
737:Definition as locus of points
38062:10.1016/0022-0531(83)90129-1
37892:John D. Cook Consulting blog
36006:law of universal gravitation
34832:
28831:Ellipse: pole-polar relation
22234:inside a circle with radius
21970:
21901:
20432:(of the ellipse) and radius
19854:and the axes of the ellipse.
18497:, which can be expressed by
17327:
17227:
17194:
17159:From the diagram one finds:
16656:
16617:
16488:
16420:
16394:
14454:{\displaystyle 0<e<1,}
13641:of the point. The numerator
13465:Polar form relative to focus
7230:{\displaystyle \Delta u=0.2}
7200:, which is due to de la Hire
3885:be the equation of any line
3153:An ellipse with equal axes (
2515:. The top and bottom points
2094:is on the ellipse whenever:
1155:to the center. The distance
725:, "omission"), was given by
721:
7:
38422:Encyclopedia of Mathematics
38246:Meserve, Bruce E. (1983) ,
37573:E. Hartmann: Lecture Note '
37525:
37523:Al-Ḥasan's work was titled
37418:Encyclopedia of Mathematics
37396:Bronstein&Semendjajew:
37002:
36737:The general solution for a
34503:{\displaystyle \ a\geq b\ }
31866:which is in general not an
31373:
30499:
30178:
30128:enclosed by an ellipse is:
30086:
30074:
25819:
21419:{\displaystyle B(U),\,B(V)}
21366:Ellipse: Steiner generation
21358:Ellipse: Steiner generation
20597:a strip of paper of length
20165:a strip of paper of length
19623:tangents lie on the circle
19619:the intersection points of
19468:{\displaystyle A_{\Delta }}
16111:, one obtains the equation
15724:Construction of a directrix
15719:Construction of a directrix
15429:, introduce new parameters
15310:This is the equation of an
13978:follows from the fact that
13971:{\displaystyle F_{1},l_{1}}
13705:Ellipse: directrix property
9779:is an arbitrary vector. If
9327:{\displaystyle (\pm a,\,0)}
7481:{\displaystyle (x(t),y(t))}
1254:{\displaystyle F_{1}=F_{2}}
1128:{\displaystyle V_{1},V_{2}}
797:{\displaystyle F_{1},F_{2}}
10:
38494:
38218:"Chapter III. The Ellipse"
38049:Journal of Economic Theory
37563:Vol. 76, 1992, p. 222–230.
37478:Περί παραδόξων μηχανημάτων
37398:Taschenbuch der Mathematik
37291:Protter & Morrey (1970
36310:of the system, which is a
35985:
35878:
35869:
34764:is the circumference of a
34757:{\displaystyle \ 2\pi a\ }
34351:{\displaystyle E(z\mid m)}
33803:
33368:{\displaystyle h<0.005}
32652:binomial coefficient with
31502:
31227:So far we have dealt with
30920:{\displaystyle \pi a^{2}.}
30429:{\textstyle \int f(x)\,dx}
22275:
22106:{\displaystyle V_{2}A_{i}}
22069:{\displaystyle V_{1}B_{i}}
21218:and draw the line segment
20029:. The Byzantine architect
19989:Ellipse: gardener's method
19534:
19531:Ellipse with its orthoptic
17027:
15921:(in diagram green). Hence
14650:yields a parabola, and if
11231:{\displaystyle t=t_{0}\;.}
10194:are the directions of two
8425:Tangent slope as parameter
5398:
3322:
1917:the distance to the focus
1369:is the circle with center
715:
38:Plane curve: conic section
22:
15:
38293:(2nd ed.), Reading:
38112:Pitteway, M.L.V. (1967).
37996:A treatise on gear wheels
37993:Grant, George B. (1906).
37961:10.1017/S002555720000125X
37704:10.1017/s0080456800030817
37575:Planar Circle Geometries'
37561:The Mathematical Gazette.
37477:
37142:Geodesics on an ellipsoid
36970:Drawing with Bézier paths
36863:In laser-plasma produced
36826:
36793:may be elliptical, or an
36030:electromagnetic radiation
36019:ellipses with the common
35859:Hyperboloid of two sheets
35797:Hyperboloid of two sheets
35614:{\displaystyle (0,\pm b)}
35466:{\displaystyle (\pm a,0)}
33978:{\displaystyle \ x_{2}\ }
33945:{\displaystyle \ x_{1}\ }
32554:{\displaystyle (-3)!!=-1}
31170:(obtained by solving for
30297:{\displaystyle \pi b^{2}}
25024:The center of the circle
21726:{\displaystyle P=(0,\,b)}
21211:{\displaystyle H=(a,\,b)}
21179:mark the auxiliary point
18630:is the altitude of point
16464:be the point on the line
16104:{\displaystyle ux+vy+w=0}
14869:{\displaystyle P=(x,\,y)}
13607:{\displaystyle \theta =0}
13496:{\displaystyle \theta =0}
9640:Parametric representation
7188:Parametric representation
4870:Using (1) one finds that
369:{\displaystyle (\pm c,0)}
38233:Introduction to Geometry
38229:Coxeter, H.S.M. (1969).
37920:Quart. J. Pure App. Math
37867:(1, 2): 39–83, 127–172.
37809:10.1002/asna.18260041601
37228:New Horizons in Geometry
37213:
36941:Drawing an ellipse as a
35847:Hyperboloid of one sheet
35792:Hyperboloid of one sheet
34387:{\displaystyle m=k^{2}.}
32510:{\displaystyle (-1)!!=1}
29826:{\displaystyle (-c,\,0)}
29216:is mapped onto the line
26298:angle measure, which is
26276:, it is parallel to the
17988:(signs: (−,+) or (+,−) )
17891:(signs: (+,+) or (−,−) )
17150:{\displaystyle d_{2}\ .}
15837:(see diagram) and focus
15217:{\displaystyle p=f(1+e)}
14386:(directrix) not through
13254:to be vectors in space.
12746:Rotated Standard ellipse
7960:{\displaystyle (-a,\,0)}
3191:. One half of it is the
2940:and the parameter names
1709:the foci are the points
1635:In Cartesian coordinates
761:in the Euclidean plane:
171:An ellipse has a simple
108:, a number ranging from
23:Not to be confused with
18:Ellipse (disambiguation)
38159:10.1109/MCG.1984.275994
38131:10.1093/comjnl/10.3.282
37873:10.1515/crll.1836.15.39
37773:English translation of
37640:Carlson, B. C. (2010),
37608:The works of Archimedes
37531:Rashed, Roshdi (2014).
37310:Precalculus with Limits
37293:, pp. 304, APP-28)
37131:Elliptical distribution
37102:Circumconic and inconic
36977:Composite Bézier curves
34818:is the perimeter of an
30093:
29790:{\displaystyle (c,\,0)}
26426:one uses the quotient:
22861:one uses the quotient:
22562:inscribed angle theorem
22288:A circle with equation
21426:of lines at two points
19980:Animation of the method
19859:line through the center
18670:{\displaystyle \alpha }
18222:the following is true:
15674:{\displaystyle (a,\,0)}
14952:produces the equations
14772:{\displaystyle (0,\,0)}
13938:The proof for the pair
13770:For an arbitrary point
13630:{\displaystyle \theta }
13292:{\displaystyle \theta }
12966:{\displaystyle \theta }
11857:Implicit representation
11458:With the abbreviations
11247:The area of an ellipse
11201:gives the equation for
10818:{\displaystyle t=t_{0}}
10628:{\displaystyle t_{0}=0}
10370:{\displaystyle t=t_{0}}
7931:except the left vertex
7506:Rational representation
7499:§ Drawing ellipses
7248:trigonometric functions
6513:{\displaystyle (X,\,Y)}
5980:{\displaystyle \theta }
5447:{\displaystyle (x,\,y)}
3214:. A calculation shows:
3146:{\displaystyle a>b.}
2627:{\displaystyle (x,\,y)}
2087:{\displaystyle (x,\,y)}
2005:and to the other focus
1885:For an arbitrary point
764:Given two fixed points
704:elliptical polarization
658:Ellipses are common in
334:{\displaystyle a\geq b}
38415:Ivanov, A.B. (2001) ,
38320:Quotations related to
38250:, Dover Publications,
38199:10.1093/comjnl/14.1.81
37761:10.1002/asna.201011352
37483:Huxley, G. L. (1959).
36913:
36876:Statistics and finance
36724:
36495:
36468:
36454:, the semi-minor axis
36444:
36430:, the semi-major axis
36424:
36397:
36363:
36347:, the closest distance
36337:
36296:
36264:
36057:
35936:National Statuary Hall
35890:
35717:
35615:
35575:
35467:
35426:
35229:
35011:
34973:
34812:
34758:
34724:
34504:
34472:
34388:
34352:
34315:
34161:This is equivalent to
34153:
33979:
33946:
33913:
33891:
33790:
33789:{\displaystyle h^{5},}
33760:
33733:
33713:
33613:
33430:
33400:
33369:
33343:
33311:
33279:
33259:
33239:
33210:
32935:
32829:
32752:
32680:
32633:
32555:
32511:
32466:
32440:
32332:
32188:
31896:
31860:
31754:
31734:
31676:
31654:
31531:
31514:
31485:
31458:
31431:
31404:
31361:
31265:
31245:
31224:
31217:
31164:
31112:
31055:
30989:
30921:
30888:
30863:
30678:
30643:
30614:
30613:{\displaystyle x\in ,}
30570:
30503:) can be rewritten as
30491:
30430:
30388:
30326:
30298:
30268:
30248:
30247:{\displaystyle \pi ab}
30222:
30202:
30166:
30122:
30062:
29967:
29914:
29869:
29827:
29791:
29749:
29699:
29657:
29634:
29610:
29544:
29488:
29444:
29367:
29298:
29210:
29123:
29059:
28971:
28907:
28832:
28814:
28710:
28688:
28252:
28150:
28035:
28009:
27894:
27384:
27307:
26773:
26746:
26719:
26617:
26508:
26420:
26288:
26270:
26269:{\displaystyle q>1}
26240:
26239:{\displaystyle q<1}
26214:
26160:
26048:
25966:
25942:
25811:
25516:
25069:
25016:
24583:
24524:
24426:
24314:
24199:
23708:
23632:
23117:
23090:
23059:
22947:
22855:
22724:
22697:
22667:
22553:
22507:
22381:
22285:
22257:
22228:
22208:
22178:
22141:
22107:
22070:
22033:
22006:
21979:
21940:
21939:{\displaystyle AV_{2}}
21910:
21878:
21823:
21801:
21727:
21688:
21647:
21565:
21536:
21507:
21487:
21467:
21453:(all lines containing
21447:
21420:
21367:
21359:
21320:
21277:
21263:draw the line through
21255:
21212:
21169:
21142:
21115:
20983:
20941:
20898:
20862:
20811:
20732:
20712:
20661:
20635:
20611:
20583:
20543:
20523:
20503:
20483:
20463:
20426:
20406:
20357:
20320:
20300:
20249:
20229:
20209:
20185:
20147:
20118:
20019:
19994:Pins-and-string method
19990:
19946:
19922:
19895:
19875:
19848:
19814:
19766:. It is based on the
19713:
19692:This circle is called
19683:
19613:
19532:
19514:
19469:
19440:
19316:
19255:
19131:
19046:
18918:
18828:
18778:
18671:
18651:
18624:
18597:
18491:
18445:
18404:
18352:
18274:
18247:
18216:
18192:
18184:
18166:
18091:
17982:
17885:
17799:one gets: The points
17793:
17715:
17662:
17559:
17486:
17336:
17290:
17263:
17236:
17151:
17118:
17087:
17025:
16986:
16966:
16947:
16924:
16904:
16836:
16773:
16723:angle bisector theorem
16711:
16688:
16668:
16626:
16587:
16567:
16547:
16520:
16497:
16458:
16429:
16364:
16350:The normal at a point
16343:
16335:
16316:
16277:
16105:
16061:
15996:
15969:
15942:
15915:
15858:
15831:
15804:
15777:
15720:
15706:
15675:
15640:
15548:
15450:
15423:
15422:{\displaystyle e<1}
15394:
15393:{\displaystyle e>1}
15364:
15334:
15333:{\displaystyle e<1}
15302:
15218:
15174:
15075:
14946:
14870:
14831:
14793:
14773:
14740:
14684:
14670:
14669:{\displaystyle e>1}
14644:
14607:
14578:
14478:
14455:
14420:
14406:, and any real number
14400:
14380:
14360:
14331:
14217:
14138:
13972:
13929:
13784:
13756:
13706:
13683:
13631:
13608:
13580:
13497:
13474:
13455:
13435:
13293:
13272:
13248:
13158:
12967:
12943:
12742:
12725:
12596:
12521:
12372:
12321:
12223:
11965:
11895:
11848:
11693:
11667:
11599:
11445:
11356:
11232:
11195:
11079:
10819:
10792:At a vertex parameter
10784:
10667:
10629:
10596:
10528:
10371:
10338:
10188:
10127:
10088:
9944:
9909:
9853:
9833:
9773:
9728:
9708:
9629:
9579:affine transformations
9574:
9549:
9476:
9431:
9411:
9410:{\displaystyle y=mx+n}
9376:
9328:
9292:
9256:
9220:
9198:
8998:
8997:{\displaystyle \sin t}
8972:
8971:{\displaystyle \cos t}
8944:
8700:trigonometric formulae
8690:
8527:
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8405:
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8195:
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8005:{\displaystyle u\in ,}
7961:
7925:
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4477:
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4410:
4333:There are then cases:
4327:
4030:
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3879:
3775:
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3341:
3305:
3291:The semi-latus rectum
3283:
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1662:: linear eccentricity,
1616:
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1149:
1135:, which have distance
1129:
1072:
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798:
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692:perspective projection
674:of each planet in the
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528:
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210:
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62:
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37370:Lawrence, J. Dennis,
37187:Steiner circumellipse
36981:affine transformation
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36369:is the length of the
36364:
36338:
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36297:
36295:{\displaystyle r_{a}}
36265:
36058:
35992:In the 17th century,
35940:United States Capitol
35888:
35718:
35616:
35576:
35468:
35427:
35241:from the center, is:
35230:
35012:
35010:{\displaystyle (x,y)}
34974:
34813:
34759:
34732:Here the upper bound
34725:
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34473:
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33947:
33914:
33892:
33804:Further information:
33791:
33761:
33759:{\displaystyle h^{3}}
33734:
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33614:
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33370:
33344:
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33312:
33310:{\displaystyle h=e=0}
33280:
33260:
33240:
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32915:
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32732:
32681:
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31735:
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31655:
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31512:
31503:Further information:
31486:
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31246:
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28253:
28156:and after conversion
28151:
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23060:
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21448:
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21421:
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21141:{\displaystyle V_{1}}
21116:
20984:
20942:
20899:
20863:
20809:
20745:(see section below).
20733:
20713:
20662:
20636:
20612:
20581:
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20407:
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20301:
20250:
20230:
20210:
20186:
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20119:
20020:
19988:
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19876:
19849:
19815:
19711:
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19530:
19515:
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19441:
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19047:
18919:
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18652:
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18598:
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18275:
18273:{\displaystyle c_{2}}
18248:
18246:{\displaystyle c_{1}}
18217:
18215:{\displaystyle a,\,b}
18190:
18183:Theorem of Apollonios
18182:
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16712:
16689:
16674:Take any other point
16669:
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14223:satisfy the equation
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13762:from it, is called a
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5967:, and rotation angle
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2756:, respectively, i.e.
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1910:{\displaystyle (x,y)}
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1583:{\displaystyle c_{2}}
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1434:
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1364:
1362:{\displaystyle c_{2}}
1334:
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1130:
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1051:
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744:
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529:
421:
371:
336:
308:
234:
211:
159:
129:
103:
60:
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37117:Elliptic coordinates
36891:
36807:mechanical advantage
36733:Harmonic oscillators
36509:
36485:
36458:
36434:
36407:
36380:
36353:
36320:
36279:
36067:
36047:
35735:In triangle geometry
35625:
35590:
35477:
35442:
35245:
35021:
34989:
34985:, ρ = 1/κ, at point
34847:
34775:
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34482:
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34362:
34327:
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33989:
33956:
33923:
33903:
33899:Then the arc length
33829:
33810:More generally, the
33770:
33743:
33723:
33623:
33440:
33429:{\displaystyle \pi }
33420:
33383:
33353:
33321:
33289:
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33249:
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33220:
32691:
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31877:
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31666:
31541:
31521:
31493:Apollonios's theorem
31468:
31441:
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31255:
31235:
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31065:
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30875:
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30653:
30642:{\displaystyle y(x)}
30624:
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30507:
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20823:below, one obtains:
20779:Ellipsograph due to
20722:
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20529:fixed at the center
20513:
20509:and the sliding end
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18681:) can be written as
18661:
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9417:. The still unknown
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5612:
5554:
5466:
5425:
5421:: the set of points
5259:
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831:
808:
768:
587:
572:is also an ellipse.
568:of a right circular
556:, both of which are
430:
380:
345:
319:
243:
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197:
142:
112:
92:
37801:1825AN......4..241B
37753:2010AN....331..852K
37017:Solar System portal
36991:Optimization theory
36753:Phase visualization
36739:harmonic oscillator
34983:radius of curvature
34310:
34058:
33410:Srinivasa Ramanujan
32465:{\displaystyle n!!}
31868:elementary function
31810:
31580:
31437:are intercepts and
30814:
30729:
30325:{\displaystyle a/b}
29570:For a point (pole)
29556:pole-polar relation
28823:Pole-polar relation
28034:{\displaystyle q=4}
25462:
25444:
25426:
25408:
25347:
25329:
25311:
25293:
20660:{\displaystyle a-b}
20356:{\displaystyle a+b}
20184:{\displaystyle a+b}
20063:Paper strip methods
19968:de La Hire's method
19847:{\displaystyle a,b}
19752:Rytz's construction
19716:Ellipses appear in
19523:Orthogonal tangents
18321:
18303:
17494:any pair of points
17030:Conjugate diameters
17011:Conjugate diameters
16719:triangle inequality
15363:{\displaystyle e=1}
14643:{\displaystyle e=1}
14606:{\displaystyle e=0}
12231:Conversely: If the
11692:{\displaystyle a,b}
11522:
11495:
10469:
10440:
10196:conjugate diameters
7494:Philippe de La Hire
6370:
6323:
5597:To distinguish the
5189:{\displaystyle a=b}
5164:conjugate diameters
4757:{\displaystyle k=1}
4007:
3975:
3570:of the tangent is:
3568:parametric equation
3313:radius of curvature
3172:{\displaystyle a=b}
2986:Linear eccentricity
727:Apollonius of Perga
670:. For example, the
157:{\displaystyle e=1}
127:{\displaystyle e=0}
38371:Weisstein, Eric W.
38352:Weisstein, Eric W.
38078:Journal of Finance
37646:Olver, Frank W. J.
37420:, Springer, URL:
37181:Stadium (geometry)
37045:Mathematics portal
36943:graphics primitive
36909:
36779:non-circular gears
36720:
36718:
36505:. In other words,
36491:
36464:
36440:
36420:
36393:
36376:Also, in terms of
36359:
36333:
36292:
36260:
36258:
36053:
35970:; in front of the
35891:
35713:
35611:
35571:
35463:
35422:
35225:
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31650:
31558:
31537:of an ellipse is:
31527:
31517:The circumference
31515:
31481:
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31427:
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30887:{\displaystyle a,}
30884:
30859:
30857:
30797:
30712:
30674:
30649:over the interval
30639:
30610:
30566:
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30118:
30058:
29975:Inversive geometry
29963:
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29863:
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29013:
28977:of the ellipse is
28967:
28903:
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27460:
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27408:
27380:
27303:
27112:
26855:
26769:
26742:
26715:
26670:
26613:
26523:Given four points
26504:
26447:
26416:
26289:
26266:
26236:
26210:
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25430:
25412:
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25384:
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25315:
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25279:
25258:
25218:
25209:
25149:
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24763:
24722:
24669:
24618:
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21368:
21360:
21350:Steiner generation
21344:osculating circles
21316:
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20892:
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20812:
20799:Most ellipsograph
20765:Elliptical trammel
20728:
20718:, where parameter
20708:
20657:
20631:
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20316:
20306:, where parameter
20296:
20245:
20225:
20205:
20181:
20153:have to be known.
20143:
20114:
20027:gardener's ellipse
20018:{\displaystyle 2a}
20015:
19991:
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19733:elliptical trammel
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