1946:
127:
138:
819:
20:
163:
of a cube with 3 circles on 3 faces of the cube. The image plane for a military projection is horizontal. That means the circle on the top appears in its true shape (as circle). The images of the circles at the other two faces are obviously ellipses with unknown axes. But one recognizes in any case
2475:
81:
Conjugate diameters appear always if a circle or an ellipse is projected parallelly (the rays are parallel) as images of orthogonal diameters of a circle (see second diagram) or as images of the axes of an ellipse. An essential property of two conjugate diameters
2986:
158:
The parallel projection (skew or orthographic) of a circle that is in general an ellipse (the special case of a line segment as image is omitted). A fundamental task in descriptive geometry is to draw such an image of a circle. The diagram shows a
3120:
2673:
1494:
1940:
1691:
2831:
1810:
1287:
1223:
1141:
2334:
2839:
2732:
1560:
2261:
1597:
1048:
327:
1352:
3133:
509:
2045:
2991:
121:
2187:
164:
the images of two orthogonal diameters of the circles. These diameters of the ellipses are no more orthogonal but as images of orthogonal diameters of the circle they are
2535:
1723:
885:
357:
2136:
1361:
808:
769:
667:
637:
598:
2519:
2077:
977:
951:
857:
535:
423:
216:
471:
448:
2321:
2283:
2097:
1971:
925:
905:
724:
687:
559:
397:
377:
290:
268:
248:
190:
1821:
1602:
168:(the tangents at the end points of one diameter are parallel to the other diameter !). This is a standard situation in descriptive geometry:
2525:
A straight forward idea is: One can write a program that performs the steps described above. A better idea is to use the representation of an
2737:
51:. If the center and the semi axis of an ellipse are determined the ellipse can be drawn using an ellipsograph or by hand (see
3180:
2470:{\displaystyle P=(a\cos(t{\color {red}-}{\tfrac {\pi }{2}}),\;b\sin(t{\color {red}-}{\tfrac {\pi }{2}}))=(a\sin t,-b\cos t)}
1728:
1228:
1149:
1064:
165:
3147:
2526:
2981:{\displaystyle \cot(2t_{0})={\tfrac {{\vec {f}}_{1}^{\,2}-{\vec {f}}_{2}^{\,2}}{2{\vec {f}}_{1}\cdot {\vec {f}}_{2}}}}
3229:
3201:
160:
123:
is: The tangents at the ellipse points of one diameter are parallel to the second diameter (see second diagram).
2681:
3265:
2195:
982:
1300:
131:
3191:
1504:
3260:
1565:
295:
3115:{\displaystyle {\vec {p}}(t_{0}),\;{\vec {p}}(t_{0}\pm {\frac {\pi }{2}}),\;{\vec {p}}(t_{0}+\pi )\ .}
482:
2668:{\displaystyle {\vec {x}}={\vec {p}}(t)={\vec {f}}_{0}+{\vec {f}}_{1}\cos t+{\vec {f}}_{2}\sin t\ .}
1979:
85:
2145:
3175:]. Übungen für die gymnasiale Oberstufe (in German) (1st ed.). Bamberg: C. C. Buchner.
1489:{\displaystyle P=(a\cos(t+{\tfrac {\pi }{2}}),\;b\sin(t+{\tfrac {\pi }{2}}))=(-a\sin t,b\cos t)}
59:
2102:
826:
The standard proof is performed geometrically. An alternative proof uses analytic geometry:
774:
735:
646:
603:
564:
2492:
2050:
32:
8:
1700:
956:
930:
862:
836:
514:
402:
334:
195:
144:
48:
2833:(two conjugate half-diameters) one is able to calculate points and to draw the ellipse.
1935:{\displaystyle U=\left(0,\;(a+b)\sin t\right)\ ,\quad V=\left((a+b)\cos t,\;0\right)\ .}
453:
430:
2306:
2268:
2082:
1956:
910:
890:
709:
672:
544:
382:
362:
275:
253:
233:
175:
67:
63:
1058:(1): Any ellipse can be represented in a suitable coordinate system parametrically by
695:(6) The vertices and co-vertices are known and the ellipse can be drawn by one of the
3225:
3197:
3176:
3143:
2325:
2287:
1290:
728:
538:
696:
52:
40:
36:
2323:, then results (4) and (5) are still valid and the configuration shows now the
3245:
1686:{\displaystyle D=\left({\tfrac {a+b}{2}}\cos t,{\tfrac {a+b}{2}}\sin t\right)}
3254:
3167:" [5: "Ellipse as the orthogonal affine image of the unit circle"].
2826:{\displaystyle {\vec {f}}_{1}={\vec {CP}},\;{\vec {f}}_{2}={\vec {CQ}}}
75:
3142:] (in German) (17th ed.). München: Carl Hanser. p. 183.
1816:
The intersection points of this line with the axes of the ellipse are
3131:
3189:
1945:
399:. Intersect the circle and the line. The intersection points are
44:
126:
137:
2485:
To find the vertices of the ellipse with help of a computer,
818:
71:
74:
are allowed as aids. The design is named after its inventor
3162:
19:
3196:. Springer Science & Business Media. pp. 68–69.
3173:
Descriptive geometry in systematic collection of examples
887:
with the axes of the ellipse lie on the circle through
2872:
2411:
2370:
1805:{\displaystyle x\sin t+y\cos t=(a+b)\;\cos t\sin t\ .}
1650:
1618:
1430:
1393:
1262:
149:
sought: the semi-axes and the vertices of the ellipse.
2994:
2842:
2740:
2684:
2538:
2495:
2337:
2309:
2271:
2198:
2148:
2105:
2085:
2053:
1982:
1959:
1824:
1731:
1703:
1605:
1568:
1507:
1364:
1303:
1282:{\displaystyle t_{2}-t_{1}=\pm {\tfrac {\pi }{2}}\ .}
1231:
1218:{\displaystyle {\vec {p}}(t_{1}),\ {\vec {p}}(t_{2})}
1152:
1136:{\displaystyle {\vec {p}}(t)=(a\cos t,\;b\sin t)^{T}}
1067:
985:
959:
933:
913:
893:
865:
839:
777:
738:
712:
675:
649:
606:
567:
547:
517:
485:
456:
433:
405:
385:
365:
337:
298:
278:
256:
236:
198:
178:
88:
3165:
3169:
Darstellende
Geometrie in systematischen Beispielen
3114:
2980:
2825:
2726:
2667:
2513:
2469:
2315:
2277:
2255:
2181:
2130:
2091:
2071:
2039:
1965:
1934:
1804:
1717:
1685:
1591:
1554:
1488:
1346:
1281:
1217:
1135:
1042:
971:
945:
919:
899:
879:
851:
802:
763:
718:
681:
661:
631:
592:
553:
529:
503:
465:
442:
417:
391:
371:
351:
321:
284:
262:
242:
210:
184:
115:
3132:Rudolf Fucke; Konrad Kirch; Heinz Nickel (2007).
221:Task: find the axes and semi-axes of the ellipse.
153:
16:Method of finding axes and veritces of an ellipse
3252:
829:The proof is done, if one is able to show that
2477:, then the construction and proof work either.
3190:Alexander Ostermann; Gerhard Wanner (2012).
511:can be considered as a paperstrip of length
225:
2988:one gets the four vertices of the ellipse:
3163:Klaus Ulshöfer; Dietrich Tilp (2010). "5:
3071:
3026:
2783:
2727:{\displaystyle {\vec {f}}_{0}={\vec {OC}}}
2480:
2387:
1917:
1842:
1777:
1410:
1328:
1110:
102:
2922:
2894:
813:
732:(see second diagram in next section) and
1944:
817:
136:
125:
18:
2285:, which leads to a diagram showing the
3253:
2256:{\displaystyle |UQ|=a,\quad |VQ|=b\ .}
1043:{\displaystyle |UQ|=a,\quad |VQ|=b\ .}
3224:Quelle & Meyer, Heidelberg 1961,
3135:Darstellende Geometrie für Ingenieure
2265:The proof uses a right turn of point
1347:{\displaystyle Q=(a\cos t,\;b\sin t)}
218:on two conjugate diameters are known.
2489:the coordinates of the three points
1555:{\displaystyle P'=(b\cos t,a\sin t)}
726:, then the configuration shows the
147:half diameters CP, CQ of an ellipse.
13:
3140:Descriptive geometry for engineers
1498:two points on conjugate diameters.
14:
3277:
3239:
2404:
2363:
1592:{\displaystyle {\overline {P'Q}}}
1562:and the midpoint of line segment
322:{\displaystyle {\overline {P'Q}}}
3246:animation of Rytz's construction
504:{\displaystyle {\overline {AB}}}
2224:
1878:
1011:
141:Rytz's construction in 6 steps.
3214:
3103:
3084:
3078:
3065:
3039:
3033:
3020:
3007:
3001:
2962:
2940:
2910:
2882:
2865:
2849:
2817:
2791:
2774:
2748:
2718:
2692:
2638:
2607:
2585:
2572:
2566:
2560:
2545:
2464:
2431:
2425:
2422:
2397:
2381:
2356:
2344:
2237:
2226:
2211:
2200:
2118:
2107:
2079:lie on the circle with center
2040:{\displaystyle |UD|=|VD|=|CD|}
2033:
2022:
2014:
2003:
1995:
1984:
1902:
1890:
1855:
1843:
1774:
1762:
1549:
1519:
1483:
1450:
1444:
1441:
1420:
1404:
1383:
1371:
1341:
1310:
1225:lie on conjugate diameters if
1212:
1199:
1193:
1178:
1165:
1159:
1124:
1092:
1086:
1080:
1074:
1024:
1013:
998:
987:
796:
785:
757:
746:
625:
614:
586:
575:
154:Problem statement and solution
23:Rytz construction: start - end
1:
3124:
2294:
116:{\displaystyle d_{1},\;d_{2}}
3220:Ulrich Graf, Martin Barner:
2182:{\displaystyle A=U,\ B=V\ .}
1584:
1291:Ellipse: conjugate diameters
496:
314:
7:
359:and the circle with center
172:From an ellipse the center
10:
3282:
272:(2) Determine the center
226:Steps of the construction
58:Rytz’s construction is a
49:conjugated half-diameters
1053:
833:the intersection points
143:Given: center C and two
29:Rytz’s axis construction
3222:Darstellende Geometrie.
3193:Geometry by its History
2481:Computer aided solution
2131:{\displaystyle |CD|\ .}
43:and the vertices of an
3116:
2982:
2827:
2728:
2669:
2515:
2471:
2326:2nd paper strip method
2317:
2288:1st paper strip method
2279:
2257:
2183:
2132:
2093:
2073:
2041:
1973:
1967:
1936:
1806:
1719:
1687:
1593:
1556:
1490:
1348:
1283:
1219:
1137:
1044:
973:
947:
921:
901:
881:
853:
823:
814:Proof of the statement
804:
803:{\displaystyle b=|BQ|}
765:
764:{\displaystyle a=|AQ|}
729:2nd paper strip method
720:
683:
663:
662:{\displaystyle a>b}
633:
632:{\displaystyle b=|BQ|}
594:
593:{\displaystyle a=|AQ|}
555:
531:
505:
467:
444:
419:
393:
373:
353:
323:
286:
264:
244:
212:
186:
150:
134:
117:
78:of Brugg (1801–1868).
60:classical construction
35:to find the axes, the
24:
3117:
2983:
2828:
2729:
2670:
2516:
2514:{\displaystyle C,P,Q}
2472:
2318:
2280:
2258:
2184:
2133:
2094:
2074:
2072:{\displaystyle U,V,C}
2042:
1968:
1948:
1937:
1807:
1720:
1688:
1594:
1557:
1491:
1349:
1284:
1220:
1138:
1045:
974:
948:
922:
902:
882:
854:
821:
805:
766:
721:
684:
664:
634:
595:
556:
532:
506:
479:(5) The line segment
468:
445:
420:
394:
374:
354:
324:
287:
265:
245:
213:
187:
140:
129:
118:
31:is a basic method of
22:
3266:Descriptive geometry
2992:
2840:
2738:
2682:
2536:
2493:
2335:
2307:
2269:
2196:
2146:
2103:
2083:
2051:
1980:
1957:
1822:
1729:
1701:
1603:
1566:
1505:
1362:
1301:
1229:
1150:
1065:
983:
957:
931:
911:
891:
863:
837:
775:
736:
710:
673:
647:
604:
565:
545:
515:
483:
454:
431:
403:
383:
363:
335:
296:
292:of the line segment
276:
254:
234:
196:
176:
86:
47:, starting from two
33:descriptive geometry
2927:
2899:
2836:If necessary: With
1718:{\displaystyle P'Q}
972:{\displaystyle V=B}
946:{\displaystyle U=A}
880:{\displaystyle P'Q}
852:{\displaystyle U,V}
541:) generating point
530:{\displaystyle a+b}
418:{\displaystyle A,B}
352:{\displaystyle P'Q}
211:{\displaystyle P,Q}
161:military projection
132:military projection
130:Cube with circles:
3261:Euclidean geometry
3112:
2978:
2976:
2903:
2875:
2823:
2724:
2665:
2511:
2467:
2420:
2408:
2379:
2367:
2313:
2299:If one performs a
2275:
2253:
2179:
2128:
2089:
2069:
2037:
1974:
1963:
1932:
1802:
1715:
1683:
1667:
1635:
1589:
1552:
1486:
1439:
1402:
1344:
1279:
1271:
1215:
1133:
1040:
969:
943:
917:
897:
877:
849:
824:
800:
761:
716:
702:If one performs a
679:
659:
629:
590:
551:
527:
501:
466:{\displaystyle CB}
463:
443:{\displaystyle CA}
440:
415:
389:
369:
349:
331:(3) Draw the line
319:
282:
260:
240:
208:
182:
151:
135:
113:
64:Euclidean geometry
25:
3182:978-3-7661-6092-8
3108:
3081:
3063:
3036:
3004:
2975:
2965:
2943:
2913:
2885:
2820:
2794:
2777:
2751:
2734:(the center) and
2721:
2695:
2661:
2641:
2610:
2588:
2563:
2548:
2527:arbitrary ellipse
2521:have to be known.
2419:
2378:
2316:{\displaystyle P}
2278:{\displaystyle P}
2249:
2175:
2163:
2124:
2092:{\displaystyle D}
1966:{\displaystyle P}
1928:
1874:
1798:
1666:
1634:
1587:
1438:
1401:
1275:
1270:
1196:
1186:
1162:
1077:
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