26762:
14251:
26080:
8064:
13837:
7659:
3771:
26757:{\displaystyle {\begin{aligned}\|Tf\|_{p}^{p}&=p\int _{0}^{\infty }a^{p-1}m\{x:\,|Tf(x)|>a\}\,da\\&\leq p\int _{0}^{\infty }a^{p-1}\left(4a^{-2}\|T\|^{2}\|f_{a}\|_{2}^{2}+Ca^{-1}\|f^{a}\|_{1}\right)da\\&=4\|T\|^{2}\iint _{|f(x)|<a}|f(x)|^{2}a^{p-3}\,dx\,da+2C\iint _{|f(x)|\geq a}|f(x)|a^{p-2}\,dx\,da\\&\leq \left(4\|T\|^{2}(2-p)^{-1}+C(p-1)^{-1}\right)\int |f|^{p}\\&=C_{p}\|f\|_{p}^{p}.\end{aligned}}}
12205:
14246:{\displaystyle \left(T_{\varepsilon }(D)-T_{\varepsilon }^{\prime }(D)\right)f(w)={\frac {1}{\pi }}\iint _{U_{\varepsilon }}{\partial _{z}f(z) \over z-w}dx\,dy-{1 \over \pi }\iint _{V_{\varepsilon }}{\partial _{z}f(z) \over z-w}dx\,dy+{1 \over 2\pi i}\int _{\partial U_{\varepsilon }}{\frac {f(z)}{z-w}}d{\overline {z}}-{\frac {1}{2\pi i}}\int _{\partial V_{\varepsilon }}{f(z) \over z-w}\,d{\overline {z}}.}
13450:
15892:
1091:
7272:
3405:
5439:
25266:
8059:{\displaystyle {\begin{aligned}H_{\varepsilon ,R}f(x)&={1 \over \pi }\int _{\varepsilon \leq |y-x|\leq R}{f(y) \over x-y}\,dy={1 \over \pi }\int _{\varepsilon \leq |y|\leq R}{f(x-y) \over y}\,dy\\H_{\varepsilon }f(x)&={1 \over \pi }\int _{|y-x|\geq \varepsilon }{f(y) \over x-y}\,dy={1 \over \pi }\int _{|y|\geq \varepsilon }{f(x-y) \over y}\,dy.\end{aligned}}}
9779:
11949:
4742:
19728:
13095:
2968:
26071:
15587:
8892:
856:
19946:
24808:
1280:
6987:
18174:
17350:
19211:
21610:
21129:
12799:
15082:
5191:
3375:
24845:
699:
17845:
14773:
3766:{\displaystyle H_{\varepsilon }^{h}f(\zeta )={1 \over \pi i}\int _{|H(z)-H(\zeta )|\geq \varepsilon }{\frac {f(z)}{z-\zeta }}dz={1 \over \pi i}\int _{|H(z)-H(\zeta )|\geq \varepsilon }{f(z)-f(\zeta ) \over z-\zeta }\,dz+{\frac {f(\zeta )}{\pi i}}\int _{|H(z)-H(\zeta )|\geq \varepsilon }{dz \over z-\zeta }.}
24051:
22335:
introduced general techniques for studying singular integral operators of convolution type. In
Fourier transform the operators are given by multiplication operators. These will yield bounded operators on L if the corresponding multiplier function is bounded. To prove boundedness on L spaces, Calderón
1477:
22276:
9584:
8550:
and a small circle radius ε with the two portions of the real axis between them. By Cauchy's theorem, the integral round the contour is zero. The integral round the large contour tends to zero by the Paley-Wiener estimate. The integral on the real axis is the limit sought. It is therefore given as
4461:
12962:
19395:
2754:
25764:
19009:
8648:
19735:
10658:
these operators can be shown to be uniformly bounded in operator norm. For odd powers this can be deduced by the method of rotation of Calderón and
Zygmund, described below. If the operators are known to be bounded in operator norm it can also be deduced using the Poisson operators.
24530:
20009:
that the
Fourier series of L functions converge almost everywhere. In the more rudimentary forms of this approach, the L theory is given less precedence: instead there is more emphasis on the L theory, in particular its measure-theoretic and probabilistic aspects; results for other
10017:
1112:
25439:
17864:
4036:
17047:
13604:
19022:
21341:
20860:
16922:
12565:
2131:
24244:
12200:{\displaystyle {\begin{aligned}R&={1 \over 2\pi }\int _{0}^{2\pi }e^{-i\theta }U_{\theta }H^{(1)}U_{\theta }^{*}\,d\theta ,\\R_{\varepsilon }&={1 \over 2\pi }\int _{0}^{2\pi }e^{-i\theta }U_{\theta }H_{\varepsilon }^{(1)}U_{\theta }^{*}\,d\theta .\end{aligned}}}
10513:
14824:
5922:) consisting of functions for which the Fourier transform vanishes on the negative part of the real axis. Its orthogonal complement is given by functions for which the Fourier transform vanishes on the positive part of the real axis. It is the complex conjugate of H(
839:
11797:
3036:
4923:
20460:
16187:
14470:
13445:{\displaystyle {\begin{aligned}T_{\varepsilon }(\Omega )f(w)&=-{\frac {1}{\pi }}\iint _{D\backslash V_{\varepsilon }}\leftdx\,dy,\\T_{\varepsilon }(D)f(w)&=-{1 \over \pi }\iint _{D\backslash U_{\varepsilon }}{f(z) \over (z-w)^{2}}\,dx\,dy,\end{aligned}}}
16497:
501:
15887:{\displaystyle {\begin{aligned}R_{j}&=\int _{G}\varphi (g)gH^{(1)}g^{-1}\,dg,\\R_{j,\varepsilon }&=\int _{G}\varphi (g)gH_{\varepsilon }^{(1)}g^{-1}\,dg,\\R_{j,\varepsilon ,R}&=\int _{G}\varphi (g)gH_{\varepsilon ,R}^{(1)}g^{-1}\,dg.\end{aligned}}}
18695:
12552:
1086:{\displaystyle H_{\varepsilon }f(\varphi )={i \over \pi }\int _{\varepsilon \leq |\theta |\leq \pi }{f(\varphi -\theta ) \over 1-e^{i\theta }}\,d\theta ={1 \over \pi }\int _{|\zeta -e^{i\varphi }|\geq \delta }{f(\zeta ) \over \zeta -e^{i\varphi }}\,d\zeta ,}
25602:
22472:< 2α. Discard such intervals and repeat the halving process with the remaining interval, discarding intervals using the same criterion. This can be continued indefinitely. The discarded intervals are disjoint and their union is an open set Ω. For points
20807:
17572:
11647:
14604:
23822:
10850:
7267:{\displaystyle {1 \over 2\pi i}\int _{-\infty }^{\infty }{f(s) \over s-z}\,ds={1 \over {\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }f(s){\widehat {g_{z}}}(s)\,ds={1 \over {\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }{\widehat {f}}(s)g_{z}(s)\,ds=V_{y}Pf(x).}
24401:
10323:
23839:
15553:
2358:
22685:
5906:
11919:
9019:
1297:
22066:
4332:
20318:
22025:
10656:
12820:
6745:, part of the L theory on the real line and the upper halfplane is developed by transferring the results from the circle and the unit disk. The natural replacements for concentric circles in the disk are lines parallel to the real axis in
5434:{\displaystyle {\begin{aligned}\psi _{r}(e^{i\theta })&=1+{\frac {1-r}{1+r}}\cot \left({\tfrac {\theta }{2}}\right)K_{r}(e^{i\theta })\\&\leq 1+{\frac {1-r}{1+r}}\cot \left({\tfrac {1-r}{2}}\right)K_{r}(e^{i\theta })\end{aligned}}}
5126:
25261:{\displaystyle \int _{(J_{n}^{*})^{c}}|Tb_{n}(x)|\,dx=\int _{(J_{n}^{*})^{c}}\left|\int _{J_{n}}(K(x-y)-K(x-y_{n}))b_{n}(y)\,dy\right|\,dx\leq \int _{J_{n}}|b_{n}(y)|\int _{(J_{n}^{*})^{c}}|K(x-y)-K(x-y_{n})|\,dxdy\leq A\|b_{n}\|_{1}.}
23564:
20186:
1634:
11164:
8171:
2515:
18787:
6366:
5566:
2745:
16311:
12374:
23237:
24521:
15176:
6949:
6643:
5785:
9838:
8338:
23413:
20611:
18451:
25273:
3891:
22368:
by restricting the multiplier to the integers, or equivalently periodizing the kernel of the operator. Corresponding results for the circle were originally established by
Marcinkiewicz in 1939. These results generalize to
19388:
2216:
13459:
17034:
7644:
4452:
16761:
15291:
14597:
3874:
9774:{\displaystyle g_{\varepsilon }(x)={\begin{cases}{\frac {x}{\pi (x^{2}+\varepsilon ^{2})}}&|x|\leq \varepsilon \\{\frac {x}{\pi (x^{2}+\varepsilon ^{2})}}-{\frac {1}{\pi x}}&|x|>\varepsilon \end{cases}}}
9246:
2024:
221:
24072:
21920:
10330:
4737:{\displaystyle P_{r}f(e^{i\theta })=\sum _{n\in \mathbf {Z} }a_{n}r^{|n|}e^{in\theta }={1 \over 2\pi }\int _{0}^{2\pi }{(1-r^{2})f(e^{i\theta }) \over 1-2r\cos \theta +r^{2}}\,d\theta =K_{r}\star f(e^{i\theta }),}
12228:
The
Poisson operators can also be used to show that the truncated higher Riesz transforms of a function tend to the higher Riesz transform at the common Lebesgue points of the function and its transform. Indeed,
8627:
708:
11654:
19723:{\displaystyle {2\pi |T_{1-\varepsilon }Hf(x)-H_{\varepsilon }f(x)|\leq \int _{|y|\leq \varepsilon }|f(x-y)-f(x)|\cdot |Q_{r}(y)|\,dy+\int _{|y|\geq \varepsilon }|f(x-y)-f(x)|\cdot |Q_{1}(y)-Q_{r}(y)|\,dy.}}
10967:
4761:
20327:
16022:
14311:
22845:
11376:
2963:{\displaystyle H_{\varepsilon }^{h}f(e^{i\varphi })={\frac {1}{\pi }}\int _{|e^{ih(\theta )}-e^{ih(\varphi )}|\geq \varepsilon }{\frac {f(e^{i\theta })}{e^{i\theta }-e^{i\varphi }}}e^{i\theta }\,d\theta ,}
16363:
26066:{\displaystyle m\{x:\,|Tf(x)|>a\}\leq m\left\{x:\,|Tf_{a}(x)|>{\tfrac {a}{2}}\right\}+m\left\{x:\,|Tf^{a}(x)|>{\tfrac {a}{2}}\right\}\leq 4a^{-2}\|T\|^{2}\|f_{a}\|_{2}^{2}+Ca^{-1}\|f^{a}\|_{1}.}
18574:
12413:
11309:
8887:{\displaystyle H_{\varepsilon }f(x)={\frac {1}{\pi }}\int _{|y-x|\geq \varepsilon }{\frac {f(y)-f(x)}{y-x}}\,dy={\frac {1}{\pi }}\int _{|y-x|\geq \varepsilon }\int _{0}^{1}f^{\prime }(x+t(y-x))\,dt\,dy}
19993:
theory has been developed using maximal functions and maximal transforms. This approach has the advantage that it also extends to L spaces in an appropriate "weak" sense and gives refined estimates in
10140:
25448:
21304:
20620:
19941:{\displaystyle {\begin{aligned}\sup _{y\in }|Q_{1-\varepsilon }(y)|&\leq \varepsilon ^{-1}.\\\sup _{y\notin (-\varepsilon ,\varepsilon )}|Q_{1}(y)-Q_{1-\varepsilon }(y)|&\to 0.\end{aligned}}}
11531:
9333:
6737:
6004:
23029:
24803:{\displaystyle m\{x:\,x\notin \cup J_{m}^{*},\,\,\,|Tb(x)|\geq \lambda \}\leq \lambda ^{-1}\int _{(\cup J_{m}^{*})^{c}}|Tb(x)|\,dx\leq \lambda ^{-1}\sum _{n}\int _{(J_{n}^{*})^{c}}|Tb_{n}(x)|\,dx.}
23657:
6517:
2006:
1275:{\displaystyle H_{\varepsilon }{1}={i \over \pi }\int _{\varepsilon }^{\pi }2\Re (1-e^{i\theta })^{-1}\,d\theta ={i \over \pi }\int _{\varepsilon }^{\pi }1\,d\theta =i-{i\varepsilon \over \pi }.}
10684:
8514:
26085:
24253:
19740:
19027:
18169:{\displaystyle \|Hf\|_{2^{n+1}}^{2}=\left\|(Hf)^{2}\right\|_{2^{n}}\leq \left\|f^{2}\right\|_{2^{n}}+2\|H(fH(f))\|_{2^{n}}\leq \|f\|_{2^{n+1}}^{2}+2\|H\|_{2^{n}}\|f\|_{2^{n+1}}\|Hf\|_{2^{n+1}}.}
15592:
13100:
12825:
11954:
11469:
7664:
6188:
5196:
17345:{\displaystyle \|Hf\|_{2n}^{2n}\leq \sum _{k=0}^{n-1}{2n \choose 2k}\left|\left((Hf)^{2k},f^{2n-2k}\right)\right|\leq \sum _{k=0}^{n-1}{2n \choose 2k}\|Hf\|_{2n}^{2k}\cdot \|f\|_{2n}^{2n-2k}.}
10182:
9416:
9080:
1689:
392:
19206:{\displaystyle {\begin{aligned}\sup _{y\in }|P_{1-\varepsilon }(y)|&\leq \varepsilon ^{-1}.\\\sup _{y\notin (-\varepsilon ,\varepsilon )}|P_{1-\varepsilon }(y)|&\to 0.\end{aligned}}}
15401:
2139:
convolution operators are diagonal and their operator norms are given by taking the supremum of the moduli of the
Fourier coefficients. Direct computation shows that these all have the form
1846:
1792:
1528:
321:
26834:
23094:
21605:{\displaystyle m\{x:\,\Omega (f)(x)>\lambda \}=m\{x:\,\Omega (f-g)(x)>\lambda \}\leq m\{x:\,(f-g)^{*}(x)>\lambda \}+m\{x:\,|f(x)-g(x)|>\lambda \}\leq C\lambda ^{-1}\|f-g\|_{1}.}
21124:{\displaystyle m\{x:\,\omega (f)(x)>\lambda \}=m\{x:\,\omega (f-g)(x)>\lambda \}\leq m\{x:\,(f-g)^{*}(x)>\lambda \}+m\{x:\,|f(x)-g(x)|>\lambda \}\leq C\lambda ^{-1}\|f-g\|_{1}.}
15408:
7520:
4997:
2260:
22542:
5794:
460:
13809:
11816:
8899:
5141:. The convergence statement above follows by continuity from the result for trigonometric polynomials, where it is an immediate consequence of the formula for the Fourier coefficients of
22953:
12794:{\displaystyle Tf(w)=-{\frac {1}{\pi }}P.V.\iint {\frac {f(z)}{(w-z)^{2}}}dxdy=-{\frac {1}{\pi }}\lim _{\varepsilon \to 0}\iint _{|z-w|\geq \varepsilon }{\frac {f(z)}{(w-z)^{2}}}dx\,dy.}
4061:
22756:
21735:
20198:
18554:. The techniques for the simplest and best-known case, namely the Hilbert transform on the circle, are a prototype for all the other transforms. This case is explained in detail here.
18243:
8081:
are convolutions by bounded functions of compact support, so their operator norms are given by the uniform norm of their
Fourier transforms. As before the absolute values have the form
6421:
6262:
21929:
17526:
10520:
22377:. They provide an alternative method for showing that the Riesz transforms, the higher Riesz transforms and in particular the Beurling transform define bounded operators on L spaces.
15077:{\displaystyle R_{j}f(x)=c_{n}\lim _{\varepsilon \to 0}\int _{|y|\geq \varepsilon }f(x-y){y_{j} \over |y|^{n+1}}dy={\frac {c_{n}}{n-1}}\int \partial _{j}f(x-y){1 \over |y|^{n-1}}dy,}
21202:
5013:
6064:
3370:{\displaystyle (VH_{\varepsilon }^{h}V^{-1}-H_{\varepsilon })f(e^{i\varphi })={1 \over \pi }\int _{|e^{i\theta }-e^{i\varphi }|\geq \varepsilon }\left\,f(e^{i\theta })\,d\theta .}
7399:
23437:
20054:
1549:
25649:
11017:
8086:
2399:
694:{\displaystyle F(z)={1 \over 2\pi i}\int _{|\zeta |=1}{\frac {f(\zeta )}{\zeta -z}}\,d\zeta ={1 \over 2\pi }\int _{-\pi }^{\pi }{f(\theta ) \over 1-e^{-i\theta }z}\,d\theta .}
6271:
5456:
2632:
25714:
23629:
16194:
12295:
23137:
17840:{\displaystyle f^{2}-(Hf)^{2}=\left(f_{+}+f_{-}\right)^{2}+\left(f_{+}-f_{-}\right)^{2}=2\left(f_{+}^{2}+f_{-}^{2}\right)=-2iH\left(f_{+}^{2}-f_{-}^{2}\right)=-2H(f(Hf)).}
24410:
15089:
6847:
6530:
5663:
14768:{\displaystyle T_{\varepsilon }(f)(z)={1 \over \pi \varepsilon ^{2}}\iint f(T\chi )={1 \over \pi \varepsilon ^{2}}\iint (Tf)\chi =\mathbf {Av} _{D(z,\varepsilon )}\,Tf.}
8269:
1744:
23281:
20492:
18343:
19292:
2144:
16945:
7529:
4368:
15185:
14503:
24046:{\displaystyle m\{x:\,|Tg(x)|\geq 2\lambda \}\leq \lambda ^{-2}\|Tg\|_{2}^{2}\leq \lambda ^{-2}\|T\|^{2}\|g\|_{2}^{2}\leq 2\lambda ^{-1}\mu \|T\|^{2}\|f\|_{1}.}
11384:), the uniform boundedness of the truncated Riesz transforms implies that they converge in the strong operator topology to the corresponding Riesz transforms.
3790:
1472:{\displaystyle H_{\varepsilon }f(z)-{i(1-\varepsilon ) \over \pi }f(z)={1 \over \pi i}\int _{|\zeta -z|\geq \delta }{f(\zeta )-f(z) \over \zeta -z}\,d\zeta .}
22271:{\displaystyle m\{x:\,\omega (f)(x)>\lambda \}=m\{x:\,\omega (f-g)(x)>\lambda \}\leq m\{x:\,4(f-g)^{*}(x)>\lambda \}\leq C\lambda ^{-1}\|f-g\|_{1}.}
9144:
147:
21839:
6749:. Under the Cayley transform, these correspond to circles in the disk that are tangent to the unit circle at the point one. The behaviour of functions in H(
13824:) must also have uniformly bounded operator norms. To see that their difference tends to 0 in the strong operator topology, it is enough to check this for
12966:
Like the
Hilbert transform in one dimension, the Beurling transform has a compatibility with conformal changes of coordinate. Let Ω be a bounded region in
12957:{\displaystyle {\begin{aligned}T(\partial _{z}f)&=\partial _{z}T(f),\\T(\partial _{\overline {z}}f)&=\partial _{\overline {z}}T(f).\end{aligned}}}
8556:
10859:
42:
through convolution by distributions; equivalently they are the singular integral operators that commute with translations. The classical examples in
23242:
22763:
11318:
18261:
Exactly the same method works for the
Hilbert transform on the circle. The same identity of Cotlar is easily verified on trigonometric polynomials
246:< 0. These are precisely the square-integrable functions that arise as boundary values of holomorphic functions in the open unit disk. Indeed,
19004:{\displaystyle 2\pi |T_{r}f(x)-f(x)|=\int _{0}^{2\pi }|(f(x-y)-f(x))P_{r}(y)|\,dy\leq \int _{|y|\leq \varepsilon }+\int _{|y|\geq \varepsilon }.}
11197:
10042:
4044:. On the other hand, the right hand side is independent of the diffeomorphism. Since for the identity diffeomorphism, the left hand side equals
21227:
5637:
functions is particularly easy to develop. In fact, as observed by
Rosenblum and Devinatz, the two Hilbert transforms can be related using the
9255:
6682:
5944:
22968:
10012:{\displaystyle {\widehat {Rf}}(z)={{\overline {z}} \over |z|}{\widehat {f}}(z),\,\,\,{\widehat {R^{*}f}}(z)={z \over |z|}{\widehat {f}}(z).}
6436:
1874:
11380:
are given by convolution with integrable functions and have uniformly bounded operator norms. Since the Riesz transforms are unitary on L(
8413:
25434:{\displaystyle m\left\{x:\,x\notin \cup J_{m}^{*},|Tb(x)|\geq \lambda \right\}\leq \lambda ^{-1}A\|b\|_{1}\leq 2A\lambda ^{-1}\|f\|_{1}.}
11402:
6088:
4031:{\displaystyle \lim _{\varepsilon \to 0}H_{\varepsilon }^{h}f(\zeta )=f(\zeta )+{1 \over \pi i}\int {f(z)-f(\zeta ) \over z-\zeta }\,dz,}
13599:{\displaystyle T_{\varepsilon }^{\prime }(D)f(w)=-{1 \over \pi }\iint _{D\backslash V_{\varepsilon }}{\frac {f(z)}{(z-w)^{2}}}dx\,dy,}
9344:
9043:
330:
15338:
8631:
Where Γ is the small semicircular contour, oriented anticlockwise. By the usual techniques of contour integration, this limit equals
1494:
255:
26771:
23036:
16917:{\displaystyle f\left(e^{i\theta }\right)=\sum _{m=1}^{N}a_{m}e^{im\theta }+a_{-m}e^{-im\theta },\qquad a_{-m}={\overline {a_{m}}}.}
7443:
4947:
413:
13634:
23831:
22898:
28106:
Mateu, Joan; Verdera, Joan (2006), "L and weak L estimates for the maximal Riesz transform and the maximal Beurling transform",
22704:
21655:
18183:
6371:
6207:
2126:{\displaystyle S_{\varepsilon }f(\varphi )=\int _{\varepsilon \leq |\theta |\leq \pi }f(\varphi -\theta )\theta ^{-1}\,d\theta }
26839:
24239:{\displaystyle m\{x:\,|Tb(x)|\geq \lambda \}\leq m\{x:\,x\notin \cup J_{n}^{*},\,\,\,|Tb(x)|\geq \lambda \}+m(\cup J_{n}^{*}).}
18529:
17449:
17405:
16721:
10508:{\displaystyle M_{k}(z)={k \over 2\pi i^{k}}{z^{k} \over |z|^{k+2}}\,\,\,\,(k\geq 1),\,\,\,\,M_{-k}(z)={\overline {M_{k}(z)}}.}
27985:
27914:
27747:
27683:
27640:
27603:
27577:
27486:
27430:
27389:
27359:
27306:
27287:
27234:
27215:
27196:
27120:
27102:
27052:
27026:
26916:
26897:
19984:
91:
16327:, so under the Fourier transform they correspond to multiplication by these functions and form a contraction semigroup on L(
10983:, so under the Fourier transform they correspond to multiplication by these functions and form a contraction semigroup on L(
21149:
834:{\displaystyle F(re^{i\varphi })={1 \over 2\pi }\int _{-\pi }^{\pi }{f(\varphi -\theta ) \over 1-re^{i\theta }}\,d\theta .}
22476:
in the complement, they lie in a nested set of intervals with lengths decreasing to 0 and on each of which the average of
11792:{\displaystyle {(Bf,g)={1 \over 2\pi }\int _{0}^{2\pi }\varphi (\theta )(U_{\theta }A^{(1)}U_{\theta }^{*}f,g)\,d\theta }}
6011:
23115:
22345:
20015:
7345:
6066:
carries the extended real line onto the circle, sending the point at ∞ to 1, and the upper halfplane onto the unit disk.
4918:{\displaystyle K_{r}(e^{i\theta })=\sum _{n\in \mathbf {Z} }r^{|n|}e^{in\theta }={1-r^{2} \over 1-2r\cos \theta +r^{2}}.}
20455:{\displaystyle m(E_{f^{*}}(\lambda ))\leq {8 \over \lambda }\int _{E_{f}(\lambda )}|f|\leq {8\|f\|_{1} \over \lambda },}
16182:{\displaystyle T_{y}f(x)=c_{n}\int _{\mathbf {R} ^{n}}{\frac {yf(x)}{\left(|x-t|^{2}+y^{2}\right)^{\frac {n+1}{2}}}}dt.}
14465:{\displaystyle \iint (Tf)g=-{1 \over \pi }\lim \int _{|z-w|\geq \varepsilon }{\frac {f(w)g(z)}{(w-z)^{2}}}=\iint f(Tg).}
1856:
This is an immediate consequence of the result for trigonometric polynomials once it is established that the operators
25609:
16492:{\displaystyle R_{j}P_{\varepsilon }(x)=c_{n}{\frac {x_{j}}{\left(|x|^{2}+\varepsilon ^{2}\right)^{\frac {n+1}{2}}}}.}
1652:
28406:
28374:
28243:
28225:
28207:
28189:
28171:
28097:
28076:
28031:
27964:
27878:
27765:
22344:. This method showed that the operator defined a continuous operator from L to the space of functions of weak L. The
18551:
15968:
almost everywhere. This can be proved exactly as for the Hilbert transform by using the Poisson operators defined on
11387:
The uniform boundedness of the difference between the transform and the truncated transform can also be seen for odd
2623:
The Hilbert transform has a natural compatibility with orientation-preserving diffeomorphisms of the circle. Thus if
1812:
1758:
25670:
23575:
18690:{\displaystyle {A(\varepsilon )={1 \over 2\varepsilon }\int _{x-\varepsilon }^{x+\varepsilon }|f(t)-f(x)|\,dt\to 0}}
12547:{\displaystyle T_{\varepsilon }f(w)=-{\frac {1}{\pi }}\iint _{|z-w|\geq \varepsilon }{\frac {f(z)}{(w-z)^{2}}}dxdy.}
22505:
18547:
14778:
25597:{\displaystyle m\{x:\,|Tf(x)|\geq \lambda \}\leq \left(2\mu \|T\|^{2}+2\mu ^{-1}+2A\right)\lambda ^{-1}\|f\|_{1}.}
20802:{\displaystyle \omega (f)(x)=\limsup _{h\to 0}{\frac {\int _{x-h}^{x+h}|f(t)-f(x)|\,dt}{2h}}\leq f^{*}(x)+|f(x)|.}
17424:. Moreover, the arguments with the Poisson integral can be applied to show that the truncated Hilbert transforms
16740:. Moreover, the arguments with the Poisson integral can be applied to show that the truncated Hilbert transforms
11642:{\displaystyle {B={1 \over 2\pi }\int _{0}^{2\pi }\varphi (\theta )U_{\theta }A^{(1)}U_{\theta }^{*}\,d\theta .}}
106:
spaces. This article explains the theory for the classical operators and sketches the subsequent general theory.
27807:
3387:, it follows that the operators on the right hand side are uniformly bounded and hence so too are the operators
1702:
28356:
28335:
28317:
27721:
23817:{\displaystyle m\{x:\,|Tf(x)|\geq 2\lambda \}\leq m\{x:\,|Tg(x)|\geq \lambda \}+m\{x:\,|Tb(x)|\geq \lambda \}.}
23111:
10845:{\displaystyle {T_{s}f(x)={1 \over 2\pi }\int _{\mathbf {R} ^{2}}{sf(x) \over (|x-t|^{2}+s^{2})^{3/2}}\,dt.}}
9111:
24396:{\displaystyle m(\cup J_{n}^{*})\leq \sum m(J_{n}^{*})=2\sum m(J_{n})\leq 2\lambda ^{-1}\mu ^{-1}\|f\|_{1}.}
22390:
15555:
are uniformly bounded in the operator norm. This can either be proved directly or can be established by the
20026:. Katznelson's account is followed here for the particular case of the Hilbert transform of functions in L(
14268:
6839:
3009:
15570:
and their truncations in terms of the Hilbert transforms in one dimension and its truncations. In fact if
10318:{\displaystyle {R^{k}f(w)=\lim _{\varepsilon \to 0}\int _{|z-w|\geq \varepsilon }M_{k}(w-z)f(z)\,dx\,dy,}}
28446:
21618:) = 0 almost everywhere. A more refined argument shows that convergence occurs at each Lebesgue point of
25:
28441:
15548:{\displaystyle R_{j,\varepsilon }f(x)=c_{n}\int _{|y|\geq \varepsilon }f(x-y){y_{j} \over |y|^{n+1}}dy}
2353:{\displaystyle Hf=\mathrm {P.V.} \,{1 \over \pi }\int {f(\zeta ) \over \zeta -e^{i\varphi }}\,d\zeta .}
31:
22680:{\displaystyle {g(x)=\chi _{J_{n}}(f)\,\,\,(x\in J_{n}),\,\,\,\,\,g(x)=f(x)\,\,\,(x\in \Omega ^{c}).}}
5901:{\displaystyle {\widehat {f}}(t)={1 \over {\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }f(x)e^{-itx}\,dx.}
4336:
The direct method of evaluating Fourier coefficients to prove the uniform boundedness of the operator
28344:
21333:
20852:
11914:{\displaystyle {\|B\|\leq {1 \over 2\pi }\int _{0}^{2\pi }|\varphi (\theta )|\cdot \|A\|\,d\theta .}}
9014:{\displaystyle G(x)={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{1}\int _{-\infty }^{\infty }|f^{\prime }(x+ty)|\,dy}
6524:
3879:
18768:
17039:
9615:
4327:{\displaystyle (VHV^{-1}-H)f(e^{i\varphi })={\frac {1}{\pi }}\int \left\,f(e^{i\theta })\,d\theta .}
28436:
20313:{\displaystyle {E_{f}(\lambda )=\{x:\,|f(x)|>\lambda \},\,\,f_{\lambda }=\chi _{E(\lambda )}f,}}
20039:
2973:
2010:
The first term is bounded on the whole of , so it suffices to show that the convolution operators
28024:
The analysis of linear partial differential operators, I. Distribution theory and Fourier analysis
22292:
tends to zero almost everywhere. A more refined argument can be given to show that, as in case of
22020:{\displaystyle {\omega (f)=\limsup _{\varepsilon \to 0}|H_{\varepsilon }f-T_{1-\varepsilon }Hf|.}}
18522:
and that the differences with their truncations are also uniformly bounded. The continuity of the
17567:
extend to holomorphic functions in the upper and lower half plane, so too do their squares. Hence
10651:{\displaystyle {R_{\varepsilon }^{(k)}f(w)=\int _{|z-w|\geq \varepsilon }M_{k}(w-z)f(z)\,dx\,dy,}}
21629:
is integrable the conjugate Poisson integrals are defined and given by convolution by the kernel
13454:
and the operator norms of these truncated operators are uniformly bounded. On the other hand, if
20018:
between L and L spaces. The approach is described in numerous textbooks, including the classics
6757:. However, the theory of singular integrals can be developed more easily by working directly on
18767:
is an integrable function, the integral of |h| on intervals of decreasing length tends to 0 by
10177:
and its integer powers are unitary. They can also be expressed as singular integral operators:
2252:
23428:
In fact by the Marcinkiewicz interpolation argument and duality, it suffices to check that if
5121:{\displaystyle \|K_{r}\|_{1}={1 \over 2\pi }\int _{0}^{2\pi }K_{r}(e^{i\theta })\,d\theta =1.}
20006:
9539:
As for the Hilbert transform on the circle, the uniform boundedness of the operator norms of
22348:
and duality then implies that the singular integral operator is bounded on all L for 1 <
28396:
28265:
23559:{\displaystyle m\{x:\,|Tf(x)|\geq 2\lambda \}\leq (2A+4\|T\|)\cdot \lambda ^{-1}\|f\|_{1}.}
21834:< ∞ make sense for L functions by invoking the maximal function. The inequality becomes
18265:
by writing them as the sum of the terms with non-negative and negative exponents, i.e. the
8401:
1099:|. Since it is defined as convolution with a bounded function, it is a bounded operator on
87:
27864:, Functional Analysis (Proc. Conf., Irvine, Calif., 1966), Academic Press, pp. 81–118
20181:{\displaystyle {f^{*}(t)=\sup _{0<h\leq \pi }{1 \over 2h}\int _{t-h}^{t+h}|f(s)|\,ds.}}
18294:
The method of rotation for Riesz transforms and their truncations applies equally well on
16756:
It is enough to prove the bound for real trigonometric polynomials without constant term:
16514:
is given by convolution with this function. It can be checked directly that the operators
1629:{\displaystyle {\overline {H_{\varepsilon }f}}=-u^{-1}H_{\varepsilon }(u{\overline {f}}).}
102:
in 1952, were developed by a number of authors to give general criteria for continuity on
8:
22300:. In combination with the result for the conjugate Poisson integral, it follows that, if
11159:{\displaystyle {R^{k}P_{s}(z)={k \over 2\pi i^{k}}{z^{k} \over (|z|^{2}+s^{2})^{k/2+1}}}}
8264:
tends to zero, it suffices to check this on a dense set of functions. On the other hand,
8166:{\displaystyle {1 \over {\sqrt {2\pi }}}\left|\int _{a}^{b}{2\sin t \over t}\,dt\right|.}
2510:{\displaystyle T_{r}\left(\sum a_{n}e^{in\theta }\right)=\sum r^{|n|}a_{n}e^{in\theta },}
28269:
27803:
27774:
6361:{\displaystyle Uf_{w}(x)={\frac {1}{\sqrt {\pi }}}{\frac {1}{(1-w)(x-{\overline {z}})}}}
5561:{\displaystyle \psi _{r}(e^{i\theta })=1+{2r\sin \theta \over 1-2r\cos \theta +r^{2}}.}
2740:{\displaystyle H(e^{i\theta })=e^{ih(\theta )},\,\,\,h(\theta +2\pi )=h(\theta )+2\pi ,}
95:
28306:
28281:
28133:
28115:
28068:
28060:
27944:
27849:
18541:
17433:
are uniformly bounded in operator norm and converge in the strong operator topology to
16749:
are uniformly bounded in operator norm and converge in the strong operator topology to
16306:{\displaystyle P_{y}(x)=c_{n}{\frac {y}{\left(|x|^{2}+y^{2}\right)^{\frac {n+1}{2}}}}.}
15984:. Alternatively it can be proved directly from the result for the Hilbert transform on
14479:
12982:
12369:{\displaystyle {{\overline {z}} \over z}=\left({{\overline {z}} \over |z|}\right)^{2},}
123:
71:
55:
47:
23232:{\displaystyle W(f)=\lim _{\varepsilon \to 0}\int _{|x|\geq \varepsilon }K(x)f(x)\,dx}
22445:
into two equal intervals (omitting the midpoint). One of these intervals must satisfy
19950:
Exactly the same reasoning as before shows that the two integrals tend to 0 as ε → 0.
28402:
28370:
28352:
28331:
28313:
28285:
28239:
28221:
28203:
28185:
28167:
28093:
28072:
28027:
27981:
27960:
27948:
27910:
27874:
27761:
27743:
27717:
23250:
12285:
5788:
5628:
67:
51:
43:
28151:, International Series of Monographs in Pure and Applied Mathematics, vol. 83,
28137:
28092:, Carus Mathematical Monographs, vol. 27, Mathematical Association of America,
28019:
27994:
27824:
26838:
Continuity of the norms can be shown by a more refined argument or follows from the
24516:{\displaystyle b=\sum b_{n},\qquad b_{n}=(f-\mathbf {Av} _{J_{n}}(f))\chi _{J_{n}}.}
21830:
The inequality used above to prove pointwise convergence for L function with 1 <
15171:{\displaystyle c_{n}=\Gamma \left({\tfrac {n+1}{2}}\right)\pi ^{-{\frac {n+1}{2}}}.}
11528:. If φ is a continuous function on the circle then a new operator can be defined by
9097:
become multiplication operators by uniformly bounded functions. The multipliers for
6944:{\displaystyle F(z)={1 \over 2\pi i}\int _{-\infty }^{\infty }{f(s) \over s-z}\,ds.}
6638:{\displaystyle h_{z}(x)={\widehat {g_{z}}}(-x)={i \over {\sqrt {2\pi }}}(x+z)^{-1},}
5780:{\displaystyle {\widehat {H_{\mathbf {R} }f}}=\left(i\chi _{}\right){\widehat {f}},}
28273:
28125:
28085:
28006:
27936:
27923:
Gohberg, Israel; Krupnik, Naum (1968), "Norm of the Hilbert transformation in the L
27841:
27819:
27790:
22386:
22337:
20002:
20001:> 1. These finer estimates form an important part of the techniques involved in
16544:
norm. The operator norm of the difference is therefore uniformly bounded. We have (
9136:
8333:{\displaystyle {\overline {H_{\varepsilon }f}}=-H_{\varepsilon }({\overline {f}}),}
6754:
5638:
4356:
2616:
functions using the Poisson operators and the Hardy–Littlewood maximal function of
2387:
83:
23408:{\displaystyle A=\sup _{y\neq 0}\int _{|x|\geq 2|y|}|K(x-y)-K(x)|\,dx<\infty ,}
20606:{\displaystyle \lim _{h\to 0}{\frac {\int _{x-h}^{x+h}|f(t)-f(x)|\,dt}{2h}}\to 0.}
18446:{\displaystyle \left(\int _{G}\Phi (x)\,dx\,f,g\right)=\int _{G}(\Phi (x)f,g)\,dx}
2612:
Results of this kind on pointwise convergence are proved more generally below for
28253:
28184:, Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, vol. 273, Springer-Verlag,
28159:
28144:
28040:
27973:
27902:
27731:
18546:
The proofs of pointwise convergence for Hilbert and Riesz transforms rely on the
14798:
12213:
and its truncation. This gives a second way to verify estimates of the norms of
9796:
59:
28129:
27740:
Elliptic partial differential equations and quasiconformal mappings in the plane
17849:(Cotlar's identity can also be verified directly by taking Fourier transforms.)
9084:
This can also be deduced directly because, after passing to Fourier transforms,
28415:
28392:
28152:
27895:
27778:
22497:
21767:
to a countable family of concentric circles gives a sequence of functions in L(
20480:
20471:
The Hardy−Littlewood inequality above leads to a proof that almost every point
19383:{\displaystyle {Q_{r}(\theta )={2r\sin \theta \over 1-2r\cos \theta +r^{2}}.}}
18732:
9453:
4747:
2552:
2211:{\displaystyle {\frac {1}{\pi }}\left|\int _{a}^{b}{\sin t \over t}\,dt\right|}
99:
22496:
is only integrable this is only true almost everywhere, for it is true at the
28430:
22336:
and Zygmund introduced a method of decomposing L functions, generalising the
20193:* is finite almost everywhere and is of weak L type. In fact for λ > 0 if
18308:. Thus these operators can be expressed in terms of the Hilbert transform on
17444:
is a Schwartz function. In that case the following identity of Cotlar holds:
1866:
493:
22352:< ∞. A simple version of this theory is described below for operators on
17029:{\displaystyle {\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }(f+iHf)^{2n}\,d\theta =0.}
8551:
minus the limit on the small semicircular contour. But this is the limit of
7639:{\displaystyle f_{t}=\lim _{y\to 0}f_{y+t}=\lim _{y\to 0}V_{t}f_{y}=V_{t}f.}
4447:{\displaystyle f(e^{i\theta })=\sum _{n\in \mathbf {Z} }a_{n}e^{in\theta },}
28330:, Princeton Lectures in Analysis, vol. 3, Princeton University Press,
28044:
27742:, Princeton Mathematical Series, vol. 48, Princeton University Press,
27735:
27700:
21799:) has a radial limit almost everywhere. This is taken as the definition of
17389:
Once it is established that the operator norms of the Hilbert transform on
16709:
Once it is established that the operator norms of the Hilbert transform on
16663:
15286:{\displaystyle {\widehat {R_{j}f}}(t)={it_{j} \over |t|}{\widehat {f}}(t).}
14592:{\displaystyle T\chi (w)=-\varepsilon ^{2}{\frac {1-\chi (w)}{(w-z)^{2}}}.}
12221:* and their truncations. It has the advantage of being applicable also for
79:
8639:). In this case, it is easy to check that the convergence is dominated in
847:= 1, the integrand on the right-hand side has a singularity at θ = 0. The
28292:
27887:
20035:
12410:
is the limit in the strong operator topology of the truncated operators
225:
20:
27959:, Operator Theory: Advances and Applications, vol. 53, Birkhäuser,
12970:
with smooth boundary ∂Ω and let φ be a univalent holomorphic map of the
3869:{\displaystyle {1 \over \pi i}\int {f(z)-f(\zeta ) \over z-\zeta }\,dz.}
235:) consists of the functions for which the negative coefficients vanish,
94:. For more general operators, fundamental new techniques, introduced by
28277:
28011:
27940:
27853:
27795:
23425:< ∞ and a continuous operator from L into functions of weak type L.
18470:
12977:
onto Ω extending to a smooth diffeomorphism of the circle onto ∂Ω. If χ
9504:
and therefore almost everywhere. The absolute values of the functions
9241:{\displaystyle T_{y}f(x)=\int _{-\infty }^{\infty }P_{y}(x-t)f(t)\,dt,}
7332:
exists, by Cauchy's integral theorem and the above identity applied to
3400:, it suffices to check this on trigonometric polynomials. In that case
216:{\displaystyle f(\theta )=\sum _{n\in \mathbf {Z} }a_{n}e^{in\theta }.}
21915:{\displaystyle {|H_{\varepsilon }f-T_{1-\varepsilon }Hf|\leq 4f^{*}.}}
19732:
The conjugate Poisson kernel has two important properties for ε small
16693:
14255:
All four terms on the right hand side tend to 0. Hence the difference
8542:) can be computed by taking a standard semicircle contour centered on
28120:
27997:(1960), "Estimates for translation invariant operators in L spaces",
19227:
goes to 0; the second integral tends to 0 by the second inequality.
16666:
asserts that singular integral operators that are continuous for the
14286:
precisely at its Lebesgue points, that is almost everywhere. In fact
12971:
7328:
since this is true for the Fourier transforms. Conversely if such an
3775:
In the first integral the integrand is a trigonometric polynomial in
27845:
22324:
almost everywhere, a theorem originally proved by Privalov in 1919.
18286:
is a power of 2 and follow in general by interpolation and duality.
12406:
spaces. The results on the Riesz transform and its powers show that
27957:
One-dimensional linear singular integral equations, I. Introduction
25653:
The Markinciewicz interpolation argument extends the bounds to any
22341:
20031:
17373:
11012:
The higher Riesz transforms of the Poisson kernel can be computed:
2523:< 1. Since these operators are diagonal, it is easy to see that
25755:
and 0 otherwise. Then by Chebychev's inequality and the weak type
21312:
is continuous, then the difference tends to zero everywhere, so Ω(
20049:
is an L function on the circle its maximal function is defined by
8622:{\displaystyle {1 \over \pi }\int _{\Gamma }{F(z) \over z-x}\,dz.}
22533:
be the set of discarded intervals and define the "good" function
9532:
can be bounded pointwise by multiples of the maximal function of
28297:
Singular Integrals and Differentiability Properties of Functions
11005:
also define a contraction semigroup on each L space with 1 <
10962:{\displaystyle {P_{s}(x)={s \over 2\pi (|x|^{2}+s^{2})^{3/2}}.}}
1481:
By Cauchy's theorem the right-hand side tends to 0 uniformly as
27707:, Van Nostrand Mathematical Studies, vol. 10, Van Nostrand
4359:
of the Hilbert transform is used classically to prove this. If
28422:, Lecture Notes in Mathematics, vol. 204, Springer-Verlag
28328:
Real Analysis: Measure Theory, Integration, and Hilbert Spaces
22840:{\displaystyle {\|g\|_{p}^{p}\leq (2\alpha )^{p-1}\|f\|_{1}.}}
22033:
is smooth, then the difference tends to zero everywhere, so ω(
18719:
is an integrable function on the circle, the Poisson integral
11371:{\displaystyle {T_{\varepsilon }R^{k}-R_{\varepsilon }^{(k)}}}
28254:"Unitary representations of some infinite-dimensional groups"
27758:
The Cauchy transform, potential theory, and conformal mapping
22399:
be a non-negative integrable or continuous function on . Let
21614:
The right-hand side can be made arbitrarily small, so that Ω(
21133:
The right-hand side can be made arbitrarily small, so that ω(
16540:
are given by convolution with functions uniformly bounded in
2135:
are uniformly bounded. With respect to the orthonormal basis
18251:
sufficiently large, the M. Riesz theorem must also hold for
28047:(1996), "Riesz transforms and related singular integrals",
22280:
The right hand side can be made arbitrarily small, so that
21328:
can be approximated arbitrarily closely in L by continuous
20847:
can be approximated arbitrarily closely in L by continuous
16358:
The Riesz transforms of the Poisson kernel can be computed
11304:{\displaystyle {T_{s_{1}}F(x,y,s_{2})=F(x,y,s_{1}+s_{2}).}}
9767:
3779:
and ζ and so the integral is a trigonometric polynomial in
28149:
Multidimensional singular integrals and integral equations
27909:, Graduate Texts in Mathematics, vol. 236, Springer,
27781:(1952), "On the existence of certain singular integrals",
27716:, Lecture Notes in Mathematics, vol. 1785, Springer,
27214:
harvnb error: no target: CITEREFAstalaIwanieczMartin2009 (
27195:
harvnb error: no target: CITEREFAstalaIwanieczMartin2009 (
27101:
harvnb error: no target: CITEREFAstalaIvanieczMartin2009 (
22463:
so less than 2α. Otherwise the interval will satisfy α ≤
16338:
is positive and integrable with integral 1, the operators
14278:
For pointwise convergence there is simple argument due to
12279:
10996:
is positive and integrable with integral 1, the operators
10135:{\displaystyle R=-iR_{1}+R_{2},\,\,\,R^{*}=-iR_{1}-R_{2},}
8360:), for example the Fourier transforms of smooth functions
6772:
that arise of boundary values of holomorphic functions on
2228:. These integrals are well known to be uniformly bounded.
22296:, the difference tends to zero at all Lebesgue points of
21299:{\displaystyle {\Omega (f)=\limsup _{r\to 1}|T_{r}f-f|.}}
18569:> 1. The Lebesgue differentiation theorem states that
18528:
norms of a fixed Riesz transform is a consequence of the
11391:
using the Calderón-Zygmund method of rotation. The group
8364:
with compact support in (0,∞). But the Fourier transform
3878:
The integral in the second term can be calculated by the
62:
in Euclidean space. The continuity of these operators on
28182:
Treatise on the shift operator. Spectral function theory
24059:* is defined to be the interval with the same centre as
16657:
14792:
9790:
9328:{\displaystyle P_{y}(x)={\frac {y}{\pi (x^{2}+y^{2})}}.}
6732:{\displaystyle UH_{\mathbf {T} }U^{*}=H_{\mathbf {R} }.}
5999:{\displaystyle H_{\mathbf {R} }=i(2P_{\mathbf {R} }-I).}
4056:
is a trigonometric polynomial). Finally, letting ε → 0,
27388:
harvnb error: no target: CITEREFSteinShakarchi112-114 (
27025:
harvnb error: no target: CITEREFTitchmarsh1939102–105 (
23024:{\displaystyle {m(\Omega )\leq \alpha ^{-1}\|f\|_{1}.}}
15582:
is the Hilbert transform in the first coordinate, then
11504:
act on the first coordinate. With the identification L(
9106:
tend pointwise almost everywhere to the multiplier for
2251:, so in particular pointwise. The pointwise limit is a
25939:
25869:
18314:
and its truncations. The integration of the functions
18289:
15114:
13523:
13364:
13162:
6780:
is in H provided that there is a holomorphic function
6512:{\displaystyle g_{z}(t)=e^{itz}\chi _{[0,\infty )}(t)}
6192:
This operator carries the Hardy space of the circle H(
5375:
5278:
26774:
26083:
25767:
25673:
25612:
25451:
25276:
24848:
24533:
24413:
24256:
24075:
23842:
23660:
23578:
23440:
23284:
23140:
23040:
23039:
22971:
22901:
22766:
22707:
22545:
22069:
21932:
21842:
21658:
21344:
21230:
21152:
20863:
20623:
20495:
20330:
20201:
20057:
19738:
19398:
19295:
19025:
18790:
18577:
18346:
18186:
17867:
17575:
17452:
17050:
16948:
16764:
16366:
16197:
16025:
15590:
15411:
15341:
15188:
15092:
14827:
14607:
14506:
14314:
13840:
13637:
13462:
13098:
12823:
12568:
12560:
can be written as a Cauchy principal value integral:
12416:
12298:
11952:
11819:
11657:
11534:
11405:
11321:
11200:
11176:. Indeed, the right hand side is a harmonic function
11020:
10862:
10687:
10523:
10333:
10185:
10045:
9841:
9587:
9347:
9258:
9147:
9046:
8902:
8651:
8559:
8416:
8272:
8089:
7662:
7532:
7446:
7348:
6990:
6850:
6685:
6533:
6439:
6374:
6274:
6210:
6091:
6014:
5947:
5797:
5666:
5622:
5584:
is a bounded operator, it follows that the operators
5459:
5194:
5016:
4950:
4764:
4464:
4371:
4064:
3894:
3793:
3408:
3379:
Since the kernel on the right hand side is smooth on
3039:
2757:
2635:
2402:
2263:
2147:
2027:
2001:{\displaystyle (1-e^{i\theta })^{-1}=+i\theta ^{-1}.}
1877:
1815:
1761:
1705:
1655:
1552:
1497:
1300:
1115:
859:
711:
504:
416:
333:
258:
150:
28308:
Introduction to Fourier Analysis on Euclidean Spaces
27209:
27190:
27096:
19013:
The Poisson kernel has two important properties for
18782:, the difference can be estimated by two integrals:
9809:* in the complex plane are the unitary operators on
8509:{\displaystyle |F^{(m)}(z)|\leq K_{N,m}(1+|z|)^{-N}}
6645:
so the linear span of these functions is dense in H(
27729:
21650:has a radial limit for almost all angles, consider
19953:Combining these two limit formulas it follows that
16720:are bounded for even integers, it follows from the
16694:
Bochner's proof for Hilbert transform on the circle
16686:and that the operator norms vary continuously with
11464:{\displaystyle {U_{\theta }f(z)=f(e^{i\theta }z).}}
9825:| and its conjugate on the Fourier transform of an
6183:{\displaystyle Uf(x)=\pi ^{-1/2}(x+i)^{-1}f(C(x)).}
132:functions is particularly simple on the circle. If
28305:
26828:
26756:
26065:
25708:
25643:
25596:
25433:
25260:
24802:
24515:
24395:
24238:
24045:
23816:
23623:
23558:
23407:
23231:
23088:
23023:
22947:
22839:
22750:
22679:
22270:
22019:
21914:
21729:
21604:
21298:
21196:
21123:
20801:
20605:
20454:
20312:
20180:
20030:), the case not covered by the development above.
19940:
19722:
19382:
19205:
19003:
18689:
18516:. It follows that Riesz transforms are bounded on
18445:
18237:
18168:
17839:
17520:
17344:
17028:
16916:
16491:
16305:
16181:
15886:
15547:
15395:
15285:
15170:
15076:
14767:
14591:
14464:
14245:
13803:
13598:
13444:
12956:
12793:
12546:
12368:
12199:
11913:
11791:
11641:
11463:
11370:
11303:
11158:
10961:
10844:
10650:
10517:Defining the truncated higher Riesz transforms as
10507:
10317:
10134:
10011:
9773:
9410:
9327:
9240:
9074:
9013:
8886:
8621:
8508:
8332:
8165:
8058:
7638:
7514:
7393:
7266:
6943:
6731:
6637:
6511:
6415:
6360:
6256:
6182:
6058:
5998:
5900:
5779:
5560:
5433:
5120:
4991:
4917:
4736:
4446:
4326:
4030:
3868:
3765:
3369:
2962:
2739:
2509:
2352:
2210:
2125:
2000:
1840:
1786:
1738:
1683:
1628:
1522:
1471:
1274:
1085:
833:
693:
454:
386:
315:
215:
117:
27384:
27021:
22524:almost everywhere on Ω, the complement of Ω. Let
22380:
22288:) = 0 almost everywhere. Thus the difference for
20034:'s proof of convexity, originally established by
17354:So the M. Riesz theorem follows by induction for
17264:
17241:
17137:
17114:
16191:They are given by convolution with the functions
14282:showing that the truncated integrals converge to
10854:They are given by convolution with the functions
8384:. Up to a scalar these correspond to multiplying
2231:It also follows that, for a continuous function
1532:uniformly for polynomials. On the other hand, if
28428:
28233:
28215:
28158:
27682:harvnb error: no target: CITEREFTorchinsky2005 (
27639:harvnb error: no target: CITEREFTorchinsky2005 (
27602:harvnb error: no target: CITEREFTorchinsky2005 (
27576:harvnb error: no target: CITEREFKatznelson2004 (
27485:harvnb error: no target: CITEREFTorchinsky2005 (
27429:harvnb error: no target: CITEREFTorchinsky1986 (
27358:harvnb error: no target: CITEREFTorchinsky2005 (
27051:harvnb error: no target: CITEREFTorchinsky1986 (
26980:
26975:
26932:
26896:harvnb error: no target: CITEREFTorchinsky1986 (
23292:
23157:
21950:
21248:
20649:
20497:
20082:
19837:
19744:
19124:
19031:
18707:. The points at which this holds are called the
17374:Cotlar's proof for Hilbert transform on the line
14864:
14349:
12686:
11651:This definition is understood in the sense that
10213:
9787:norms of these functions are uniformly bounded.
9411:{\displaystyle {\widehat {P_{y}}}(t)=e^{-y|t|},}
9075:{\displaystyle H_{\varepsilon }f\rightarrow Hf.}
8546:. It consists of a large semicircle with radius
7582:
7547:
5153:The uniform boundedness of the operator norm of
3896:
2386:pointwise almost everywhere. In fact define the
1684:{\displaystyle H_{\varepsilon }f\rightarrow -if}
387:{\displaystyle f_{r}(\theta )=F(re^{i\theta }),}
28236:Topics in Hardy classes and univalent functions
27773:
26915:harvnb error: no target: CITEREFSteinRami2005 (
22332:
20038:, is established directly without resorting to
15396:{\displaystyle R_{1}^{2}+\cdots +R_{n}^{2}=-I.}
15329:is a bounded and skew-adjoint operator for the
13617:(Ω) is a truncated operator with smooth kernel
1841:{\displaystyle H_{\varepsilon }f\rightarrow Hf}
1787:{\displaystyle H_{\varepsilon }f\rightarrow Hf}
1523:{\displaystyle H_{\varepsilon }f\rightarrow if}
316:{\displaystyle F(z)=\sum _{n\geq 0}a_{n}z^{n},}
28325:
27954:
27922:
27868:
27760:, Studies in Advanced Mathematics, CRC Press,
27711:
27455:
27443:
27319:
27305:harvnb error: no target: CITEREFGrafakos2005 (
27286:harvnb error: no target: CITEREFGrafakos2005 (
27233:harvnb error: no target: CITEREFGrafokos2008 (
27119:harvnb error: no target: CITEREFGrafakos2005 (
27073:
27059:
26998:
26829:{\displaystyle \|Tf\|_{q}\leq C_{p}\|f\|_{q}.}
23089:{\displaystyle \displaystyle {f(x)=g(x)+b(x)}}
22364:can be deduced from corresponding results for
19223:) by the first inequality so tends to zero as
18763:is a Lebesgue point and elsewhere because, if
15980:is regarded as the boundary of a halfspace in
13608:then the difference between this operator and
9440:increases to 0. Moreover, as Lebesgue proved,
8380:) ≥ 0. The same is true of the derivatives of
8230:with compact support, and hence for arbitrary
8196:are uniformly bounded in operator norm. Since
7515:{\displaystyle V_{t}f_{y}=f_{y+t}=V_{y}f_{t},}
5607:) once it is known that the Hilbert transform
4992:{\displaystyle \|P_{r}f-f\|_{p}\rightarrow 0.}
2539:increases to 1. Moreover, as Lebesgue proved,
82:. The classical techniques include the use of
28197:
28039:
26942:
21787:is the radial limit for almost all angles of
12390:. This relation has been used classically in
8243:are also uniformly bounded in operator norm.
5633:As in the case of the circle, the theory for
455:{\displaystyle \|f_{r}-f\|_{2}\rightarrow 0.}
28401:(2nd ed.), Cambridge University Press,
28105:
27832:de Leeuw, Karel (1965), "On L multipliers",
26814:
26807:
26785:
26775:
26733:
26726:
26613:
26606:
26389:
26382:
26349:
26335:
26302:
26288:
26279:
26272:
26197:
26156:
26098:
26088:
26051:
26037:
26004:
25990:
25981:
25974:
25812:
25771:
25626:
25619:
25582:
25575:
25520:
25513:
25496:
25455:
25419:
25412:
25381:
25374:
25246:
25232:
24608:
24537:
24381:
24374:
24200:
24129:
24120:
24079:
24031:
24024:
24015:
24008:
23972:
23965:
23956:
23949:
23919:
23909:
23890:
23846:
23808:
23767:
23758:
23717:
23708:
23664:
23544:
23537:
23515:
23509:
23488:
23444:
23008:
23001:
22932:
22925:
22910:
22903:
22824:
22817:
22775:
22768:
22735:
22728:
22716:
22709:
22432:. Let α be a positive constant greater than
22256:
22243:
22221:
22171:
22162:
22119:
22110:
22073:
21590:
21577:
21555:
21502:
21493:
21446:
21437:
21394:
21385:
21348:
21109:
21096:
21074:
21021:
21012:
20965:
20956:
20913:
20904:
20867:
20434:
20427:
20263:
20225:
19230:The same reasoning can be used to show that
18216:
18209:
18141:
18131:
18109:
18102:
18086:
18079:
18046:
18039:
18020:
17992:
17878:
17868:
17310:
17303:
17280:
17270:
17061:
17051:
16347:also define a contraction semigroup on each
14279:
13804:{\displaystyle K(w,z)=-{1 \over \pi }\left.}
12811:* on Fourier transforms, it follows that if
12209:Taking adjoints gives a similar formula for
11897:
11891:
11827:
11821:
9579:is the convolution operator by the function
9117:As for the Hilbert transform on the circle,
6753:) on these circles is part of the theory of
5031:
5017:
4974:
4951:
437:
417:
23421:defines a bounded operator on L for 1 <
22948:{\displaystyle {\|b\|_{1}\leq 2\|f\|_{1}.}}
22053:can be approximated arbitrarily closely in
11473:This defines a unitary representation on L(
11192:) of three variable and for such functions
9460:. On the other hand, it is also known that
6204:| < 1, the linear span of the functions
2559:. On the other hand, it is also known that
28367:Real-Variable Methods in Harmonic Analysis
28364:
28343:
28303:
28234:Rosenblum, Marvin; Rovnyak, James (1994),
28216:Rosenblum, Marvin; Rovnyak, James (1997),
28059:
27677:
27634:
27620:
27598:
27571:
27559:
27547:
27535:
27523:
27481:
27425:
27372:
27353:
27340:
27334:
27270:
27258:
27179:
27167:
27144:
27133:
27085:
27047:
26892:
26857:
22751:{\displaystyle {\|g\|_{1}\leq \|f\|_{1}.}}
21730:{\displaystyle {F(z)=\exp(-f(z)-iHf(z)),}}
20023:
18238:{\displaystyle R^{2}>1+2\|H\|_{2^{n}}R}
17420:and that the norms vary continuously with
17408:and duality that they are bounded for all
16736:and that the norms vary continuously with
16724:and duality that they are bounded for all
12398:to establish the continuity properties of
9110:, so the statement above follows from the
8526:≥ 0. In particular, the integral defining
7436:lies in H. But then so too does the limit
6416:{\displaystyle z=C^{-1}({\overline {w}}).}
6257:{\displaystyle f_{w}(z)={\frac {1}{1-wz}}}
5591:are uniformly bounded in operator norm on
144:), then it has a Fourier series expansion
28351:(2nd ed.), Oxford University Press,
28326:Stein, Elias M.; Shakarchi, Rami (2005),
28304:Stein, Elías M.; Weiss, Guido L. (1971),
28119:
28018:
28010:
27993:
27823:
27794:
27665:
27593:
27010:
26910:
26581:
26574:
26485:
26478:
26200:
26165:
25902:
25832:
25780:
25464:
25291:
25213:
25066:
25054:
24916:
24790:
24690:
24576:
24575:
24574:
24546:
24168:
24167:
24166:
24138:
24088:
23855:
23776:
23726:
23673:
23568:Take a Calderón−Zygmund decomposition of
23453:
23389:
23222:
22650:
22649:
22648:
22620:
22619:
22618:
22617:
22616:
22590:
22589:
22588:
22180:
22128:
22082:
21511:
21455:
21403:
21357:
21222:pointwise almost everywhere. In fact let
21030:
20974:
20922:
20876:
20731:
20579:
20270:
20269:
20234:
20167:
19709:
19576:
18933:
18673:
18436:
18381:
18374:
18282:bounds can therefore be established when
17852:Hence, assuming the M. Riesz theorem for
17521:{\displaystyle (Hf)^{2}=f^{2}+2H(fH(f)).}
17013:
16323:is the Fourier transform of the function
15870:
15762:
15666:
14755:
14226:
14066:
13984:
13586:
13428:
13421:
13291:
12781:
12183:
12057:
11900:
11781:
11628:
10979:is the Fourier transform of the function
10831:
10637:
10630:
10448:
10447:
10446:
10445:
10426:
10425:
10424:
10423:
10304:
10297:
10086:
10085:
10084:
9926:
9925:
9924:
9228:
9004:
8877:
8870:
8763:
8609:
8148:
8042:
7969:
7858:
7779:
7226:
7141:
7056:
6931:
5888:
5105:
4686:
4314:
4291:
4018:
3856:
3651:
3357:
3334:
2950:
2688:
2687:
2686:
2340:
2287:
2196:
2116:
1459:
1238:
1200:
1073:
972:
821:
681:
593:
28198:Pressley, Andrew; Segal, Graeme (1986),
28179:
27972:
27859:
27831:
27802:
27653:
27610:
27493:
27300:
27281:
27247:
27228:
27156:
27115:
26985:
26970:
23253:. Suppose that the Fourier transform of
22357:
19252:tends to zero at each Lebesgue point of
18715:. Using this theorem it follows that if
18535:
14290:has the following symmetry property for
9476:tends to zero at each Lebesgue point of
7292:> 0, since the family of L functions
6742:
5179:is given as convolution by the function
3008:is an operator with smooth kernel, so a
2580:tends to zero at each Lebesgue point of
28414:
28391:
28143:
27955:Gohberg, Israel; Krupnik, Naum (1992),
27901:
27714:Pointwise Convergence of Fourier Series
27699:
27402:
26955:
22760:Combining these two inequalities gives
21140:The Poisson integrals of an L function
20019:
13026:). The same is true of the truncations
13010:, it induces an operator, also denoted
12395:
12280:Beurling transform in the complex plane
11484:commute with the Fourier transform. If
4348:< ∞. Instead a direct comparison of
2627:is a diffeomorphism of the circle with
28429:
28084:
27511:
27498:
27414:
27042:
26881:
22484:is continuous these averages tend to |
21755:is holomorphic in the unit disk with |
17038:Hence, taking the real part and using
15405:The corresponding truncated operators
9135:is an L function. In fact, define the
6969:(0,∞) induces a contraction semigroup
4052:(this can also be checked directly if
2972:are uniformly bounded and tend in the
250:is the boundary value of the function
28382:
28291:
28251:
27886:
27615:
27466:
26937:
24405:To estimate the first term note that
24248:The second term is easy to estimate:
23105:
21197:{\displaystyle {|T_{r}f|\leq f^{*}.}}
19280:, where the conjugate Poisson kernel
17440:It is enough to prove the bound when
17404:is a power of 2, it follows from the
16658:Elementary proofs of M. Riesz theorem
14793:Riesz transforms in higher dimensions
12391:
11492:) then it defines a bounded operator
9791:Riesz transforms in the complex plane
9250:where the Poisson kernel is given by
6957:(0,∞) via the Fourier transform, for
6527:, they are the Fourier transforms of
54:on the circle and the real line, the
28065:An Introduction to Harmonic Analysis
27755:
26869:
25606:The constant is minimized by taking
25443:Combining the three estimates gives
19978:
15557:Calderón−Zygmund method of rotations
11172:≥ 1 and the complex conjugate for −
8896:so that convergence is dominated by
6059:{\displaystyle C(x)={x-i \over x+i}}
5935:is the orthogonal projection onto H(
5599:). The same argument can be used on
3886:to the constant function 1, so that
3396:. To see that they tend strongly to
27705:Lectures on quasiconformal mappings
24063:but twice the length, the term for
23257:is bounded, so that convolution by
23116:Marcinkiewicz interpolation theorem
22346:Marcinkiewicz interpolation theorem
18290:Calderón–Zygmund method of rotation
15578:) with normalised Haar measure and
14781:, the right-hand side converges to
9114:applied to the Fourier transforms.
7394:{\displaystyle f_{y+t}=V_{t}Pf_{y}}
6838:is necessarily unique and given by
6433:, the linear span of the functions
5137:have operator norm bounded by 1 on
4456:its Poisson integral is defined by
13:
27210:Astala, Iwaniecz & Martin 2009
27191:Astala, Iwaniecz & Martin 2009
27097:Astala, Ivaniecz & Martin 2009
26840:Riesz–Thorin interpolation theorem
26230:
26132:
23432:is smooth of compact support then
23399:
22979:
22661:
21404:
21358:
21232:
18759:. Continuity at 0 follows because
18530:Riesz–Thorin interpolation theorem
18412:
18362:
17406:Riesz–Thorin interpolation theorem
17358:an even integer and hence for all
17245:
17118:
16722:Riesz–Thorin interpolation theorem
15106:
15003:
14182:
14099:
14025:
13943:
13878:
13473:
13209:
13190:
13116:
12921:
12893:
12858:
12835:
9420:from which it is easy to see that
9186:
9181:
8976:
8961:
8956:
8835:
8575:
8356:for a dense set of functions in H(
7181:
7176:
7096:
7091:
7022:
7017:
6897:
6892:
6768:) consists exactly of L functions
6492:
5852:
5847:
5743:
5718:
5623:Hilbert transform on the real line
4147:
3190:
2280:
2274:
1162:
14:
28458:
28218:Hardy classes and operator theory
28026:(2nd ed.), Springer-Verlag,
27873:, American Mathematical Society,
24840:, then by Hörmander's condition:
24067:can be broken up into two parts:
22327:
21823:almost everywhere. The function
19985:Hardy–Littlewood maximal function
19975:and therefore almost everywhere.
19967:on the common Lebesgue points of
19215:The first integral is bounded by
18552:Hardy-Littlewood maximal function
16634:on the common Lebesgue points of
12386:is the unitary operator equal to
11395:acts by rotation on functions on
9496:on the common Lebesgue points of
9341:> 0. Its Fourier transform is
6069:Define the unitary operator from
2609:and therefore almost everywhere.
2601:on the common Lebesgue points of
92:Hardy–Littlewood maximal function
28398:Trigonometric Series. Vol. I, II
25644:{\displaystyle \mu =\|T\|^{-1}.}
24812:By construction the integral of
24525:Thus by Chebychev's inequality:
24464:
24461:
22506:Lebesgue differentiation theorem
20014:spaces are deduced by a form of
18550:, which can be proved using the
18548:Lebesgue differentiation theorem
16672:norm are also continuous in the
16068:
15563:). This expresses the operators
14779:Lebesgue differentiation theorem
14730:
14727:
10736:
6720:
6695:
5978:
5954:
5677:
4809:
4512:
4409:
4340:does not generalize directly to
3787:to the trigonometric polynomial
325:in the sense that the functions
178:
78:spaces was first established by
28162:; Prössdorf, Siegfried (1986),
28090:A panorama of harmonic analysis
27869:Duoandikoetxea, Javier (2001),
27825:10.1090/s0002-9904-1966-11492-1
27671:
27659:
27647:
27628:
27584:
27565:
27553:
27541:
27529:
27517:
27505:
27472:
27460:
27449:
27437:
27419:
27408:
27396:
27378:
27366:
27347:
27325:
27313:
27294:
27275:
27264:
27252:
27241:
27222:
27203:
27184:
27173:
27161:
27150:
27138:
27127:
27109:
27090:
27079:
27067:
27033:
27015:
27004:
24436:
18751:) is a continuous function on
18332:into the space of operators on
16877:
13006:(Ω). Through the conformal map
9817:) defined as multiplication by
9131:pointwise almost everywhere if
5914:) to be the closed subspace of
5611:is bounded in operator norm on
5580:| are uniformly bounded. Since
118:Hilbert transform on the circle
28385:Generalized analytic functions
28312:, Princeton University Press,
27385:Stein, Shakarchi & 112-114
27022:Titchmarsh, 1939 & 102–105
26992:
26961:
26949:
26923:
26904:
26886:
26875:
26863:
26851:
26696:
26687:
26666:
26653:
26635:
26622:
26554:
26550:
26544:
26537:
26524:
26520:
26514:
26507:
26452:
26447:
26441:
26434:
26421:
26417:
26411:
26404:
26187:
26183:
26177:
26167:
25931:
25927:
25921:
25904:
25861:
25857:
25851:
25834:
25802:
25798:
25792:
25782:
25709:{\displaystyle f=f_{a}+f^{a},}
25486:
25482:
25476:
25466:
25340:
25336:
25330:
25320:
25209:
25205:
25186:
25177:
25165:
25158:
25146:
25127:
25118:
25114:
25108:
25094:
25051:
25045:
25032:
25029:
25010:
25001:
24989:
24983:
24950:
24931:
24912:
24908:
24902:
24885:
24873:
24854:
24786:
24782:
24776:
24759:
24747:
24728:
24686:
24682:
24676:
24666:
24654:
24632:
24598:
24594:
24588:
24578:
24490:
24487:
24481:
24450:
24339:
24326:
24311:
24293:
24281:
24260:
24230:
24209:
24190:
24186:
24180:
24170:
24110:
24106:
24100:
24090:
23877:
23873:
23867:
23857:
23798:
23794:
23788:
23778:
23748:
23744:
23738:
23728:
23695:
23691:
23685:
23675:
23624:{\displaystyle f(x)=g(x)+b(x)}
23618:
23612:
23603:
23597:
23588:
23582:
23518:
23494:
23475:
23471:
23465:
23455:
23385:
23381:
23375:
23366:
23354:
23347:
23340:
23332:
23321:
23313:
23219:
23213:
23207:
23201:
23186:
23178:
23164:
23150:
23144:
23100:Calderón–Zygmund decomposition
23081:
23075:
23066:
23060:
23051:
23045:
22982:
22976:
22802:
22792:
22670:
22651:
22645:
22639:
22630:
22624:
22610:
22591:
22585:
22579:
22556:
22550:
22381:Calderón-Zygmund decomposition
22212:
22206:
22197:
22184:
22153:
22147:
22144:
22132:
22101:
22095:
22092:
22086:
22009:
21966:
21957:
21943:
21937:
21888:
21845:
21720:
21717:
21711:
21696:
21690:
21681:
21669:
21663:
21545:
21541:
21535:
21526:
21520:
21513:
21484:
21478:
21469:
21456:
21428:
21422:
21419:
21407:
21376:
21370:
21367:
21361:
21288:
21264:
21255:
21241:
21235:
21173:
21155:
21064:
21060:
21054:
21045:
21039:
21032:
21003:
20997:
20988:
20975:
20947:
20941:
20938:
20926:
20895:
20889:
20886:
20880:
20792:
20788:
20782:
20775:
20768:
20762:
20727:
20723:
20717:
20708:
20702:
20695:
20656:
20642:
20636:
20633:
20627:
20597:
20575:
20571:
20565:
20556:
20550:
20543:
20504:
20414:
20406:
20400:
20394:
20363:
20360:
20354:
20334:
20298:
20292:
20253:
20249:
20243:
20236:
20219:
20213:
20163:
20159:
20153:
20146:
20075:
20069:
19928:
19920:
19916:
19910:
19888:
19882:
19868:
19862:
19847:
19805:
19801:
19795:
19775:
19769:
19754:
19705:
19701:
19695:
19679:
19673:
19659:
19651:
19647:
19641:
19632:
19620:
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19562:
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17152:
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16574:→ 0 at each Lebesgue point of
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12430:
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12338:
12272:→ 0 at each Lebesgue point of
12251:→ 0 at each Lebesgue point of
12163:
12157:
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12031:
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11880:
11874:
11867:
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9598:
9561:is known to be bounded, since
9399:
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9161:
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9025:by the Paley-Wiener estimate.
9000:
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8368:extends to an entire function
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5966:
5866:
5860:
5816:
5810:
5752:
5737:
5721:
5709:
5570:These estimates show that the
5486:
5470:
5424:
5408:
5319:
5303:
5225:
5209:
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5086:
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4821:
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4093:
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3980:
3950:
3944:
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3715:
3706:
3700:
3693:
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3667:
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3619:
3613:
3595:
3591:
3585:
3576:
3570:
3563:
3516:
3510:
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3482:
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3460:
3433:
3427:
3354:
3338:
3270:
3264:
3245:
3239:
3221:
3215:
3201:
3195:
3165:
3131:
3109:
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3087:
3040:
2900:
2884:
2866:
2860:
2854:
2835:
2829:
2814:
2792:
2776:
2722:
2716:
2707:
2692:
2678:
2672:
2655:
2639:
2472:
2464:
2313:
2307:
2100:
2088:
2073:
2065:
2047:
2041:
1973:
1942:
1919:
1916:
1901:
1878:
1829:
1775:
1752:is a trigonometric polynomial
1730:
1715:
1669:
1620:
1604:
1511:
1442:
1436:
1427:
1421:
1403:
1389:
1362:
1356:
1344:
1332:
1320:
1314:
1188:
1165:
1046:
1040:
1022:
998:
945:
933:
915:
907:
879:
873:
791:
779:
734:
715:
648:
642:
576:
570:
552:
544:
514:
508:
484:. It is a bounded operator on
446:
396:defined by the restriction of
378:
359:
350:
344:
268:
262:
160:
154:
1:
27712:Arias de Reyna, Juan (2002),
27693:
23112:Multiplier (Fourier analysis)
22333:Calderón & Zygmund (1952)
15302:corresponds to the operator ∂
15180:Under the Fourier transform:
13828:smooth of compact support in
13018:) which can be compared with
12815:is smooth of compact support
9801:The complex Riesz transforms
9112:dominated convergence theorem
8342:so it suffices to prove that
58:in the complex plane and the
48:harmonic conjugation operator
28365:Torchinsky, Alberto (2004),
28299:, Princeton University Press
26981:Rosenblum & Rovnyak 1994
26976:Rosenblum & Rovnyak 1997
26933:Mikhlin & Prössdorf 1986
22411:). For any open subinterval
18338:is taken in the weak sense:
16906:
16649:
14235:
14151:
12929:
12901:
12331:
12306:
11927:to be the Hilbert transform
11477:) and the unitary operators
10497:
10158:are the Riesz transforms on
9878:
8319:
8290:
7654:truncated Hilbert transforms
6953:In fact, identifying H with
6402:
6347:
3023:with corresponding function
1615:
1570:
109:
7:
28202:, Oxford University Press,
28164:Singular integral operators
28130:10.4310/mrl.2006.v13.n6.a10
27261:, pp. 222–223, 236–237
23261:defines a bounded operator
22454:< α since their sum is 2
21763:)| ≤ 1. The restriction of
21747:) denotes the extension of
11488:is a bounded operator on L(
7299:depends holomorphically on
849:truncated Hilbert transform
400:to the concentric circles |
32:singular integral operators
26:singular integral operators
10:
28463:
27980:(2nd ed.), Springer,
27978:Classical Fourier Analysis
27907:Bounded analytic functions
27444:Stein & Shakarchi 2005
27320:Gohberg & Krupnik 1992
27074:Stein & Shakarchi 2005
26999:Stein & Shakarchi 2005
23109:
22849:Define the "bad" function
22384:
20483:of an integrable function
20468:denotes Lebesgue measure.
20040:Riesz−Thorin interpolation
19982:
18539:
14796:
14785:at the Lebesgue points of
14280:Mateu & Verdera (2006)
12283:
9794:
5626:
1739:{\displaystyle H=i(2P-I).}
464:The orthogonal projection
121:
26943:Pressley & Segal 1986
25661:< 2 as follows. Given
23128:) be a kernel defined on
21137:) = 0 almost everywhere.
15318:denotes the Laplacian on
14807:in the Schwartz space of
9548:follows from that of the
8376:, which is bounded on Im(
6961:> 0 multiplication by
6840:Cauchy's integral formula
6660:'s onto multiples of the
6525:Fourier inversion formula
5910:Define the Hardy space H(
3880:principle of the argument
1865:are uniformly bounded in
28180:Nikolski, N. K. (1986),
27862:On Wiener-Hopf operators
27860:Devinatz, Allen (1967),
27756:Bell, Steven R. (1992),
26845:
22869:is 0 off Ω and equal to
21779:) with Poisson integral
20815:is continuous, then the
15988:using the expression of
15908:) matrix coefficient of
14269:Hilbert–Schmidt operator
12803:From the description of
11313:As before the operators
9448:also tends pointwise to
7288:) is holomorphic for Im
6792:such that the functions
6776:in the following sense:
5449:, and, for |θ| < 1 −
3010:Hilbert–Schmidt operator
2974:strong operator topology
2547:also tends pointwise to
72:multiplication operators
28349:The Theory of Functions
27637:, pp. 74–76, 84–85
23830:can be estimated using
22424:denote the average of |
21646:| < 1. To show that
20005:'s solution in 1966 of
19256:. In fact the operator
14480:characteristic function
12985:of Ω, the operator can
12983:characteristic function
12378:the Beurling transform
6425:On the other hand, for
2247:converges uniformly to
496:1. By Cauchy's theorem
66:is evident because the
28420:Intégrales singulières
28252:Segal, Graeme (1981),
27812:Bull. Amer. Math. Soc.
27621:Stein & Weiss 1971
27335:Stein & Weiss 1971
27271:Stein & Weiss 1971
27259:Stein & Weiss 1971
27180:Stein & Weiss 1971
27168:Stein & Weiss 1971
27145:Stein & Weiss 1971
27134:Stein & Weiss 1971
27086:Stein & Weiss 1971
26830:
26758:
26067:
25710:
25645:
25598:
25435:
25262:
24804:
24517:
24397:
24240:
24047:
23832:Chebychev's inequality
23818:
23625:
23560:
23409:
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20843:). On the other hand,
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217:
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28049:J. Reine Angew. Math.
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16:Mathematical concept
28270:1981CMaPh..80..301S
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70:converts them into
50:on the circle, the
28:of convolution type
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27076:, pp. 112–114
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11946:, it follows that
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213:
183:
124:Harmonic conjugate
56:Beurling transform
28442:Harmonic analysis
28345:Titchmarsh, E. C.
28258:Comm. Math. Phys.
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