3504:
2912:
2903:
3499:{\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{k=-\infty }^{\infty }S(f+k/T)&=\sum _{k=-\infty }^{\infty }{\mathcal {F}}\left\{s(x)\cdot e^{-i2\pi {\frac {k}{T}}x}\right\}\\&={\mathcal {F}}{\bigg \{}s(x)\underbrace {\sum _{k=-\infty }^{\infty }e^{-i2\pi {\frac {k}{T}}x}} _{T\sum _{n=-\infty }^{\infty }\delta (x-nT)}{\bigg \}}={\mathcal {F}}\left\{\sum _{n=-\infty }^{\infty }T\cdot s(nT)\cdot \delta (x-nT)\right\}\\&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }T\cdot s(nT)\cdot {\mathcal {F}}\left\{\delta (x-nT)\right\}=\sum _{n=-\infty }^{\infty }T\cdot s(nT)\cdot e^{-i2\pi nTf}.\end{aligned}}}
3933:
2445:
1736:
3513:
2100:
1336:
2898:{\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{k=-\infty }^{\infty }S(k)&=\sum _{k=-\infty }^{\infty }\left(\int _{-\infty }^{\infty }s(x)\ e^{-i2\pi kx}dx\right)=\int _{-\infty }^{\infty }s(x)\underbrace {\left(\sum _{k=-\infty }^{\infty }e^{-i2\pi kx}\right)} _{\sum _{n=-\infty }^{\infty }\delta (x-n)}dx\\&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }\left(\int _{-\infty }^{\infty }s(x)\ \delta (x-n)\ dx\right)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }s(n).\end{aligned}}}
1784:
3928:{\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{k=-\infty }^{\infty }S(f-k/T)&=S(f)*\sum _{k=-\infty }^{\infty }\delta (f-k/T)\\&=S(f)*{\mathcal {F}}\left\{T\sum _{n=-\infty }^{\infty }\delta (x-nT)\right\}\\&={\mathcal {F}}\left\{s(x)\cdot T\sum _{n=-\infty }^{\infty }\delta (x-nT)\right\}={\mathcal {F}}\left\{\sum _{n=-\infty }^{\infty }T\cdot s(nT)\cdot \delta (x-nT)\right\}\quad {\text{as above}}.\end{aligned}}}
2369:
1731:{\displaystyle {\begin{aligned}S\ &\triangleq \ {\frac {1}{P}}\int _{0}^{P}s_{_{P}}(x)\cdot e^{-i2\pi {\frac {k}{P}}x}\,dx\\&=\ {\frac {1}{P}}\int _{0}^{P}\left(\sum _{n=-\infty }^{\infty }s(x\pm nP)\right)\cdot e^{-i2\pi {\frac {k}{P}}x}\,dx\\&=\ {\frac {1}{P}}\sum _{n=-\infty }^{\infty }\int _{0}^{P}s(x\pm nP)\cdot e^{-i2\pi {\frac {k}{P}}x}\,dx,\end{aligned}}}
2154:
2095:{\displaystyle {\begin{aligned}S={\frac {1}{P}}\sum _{n=-\infty }^{\infty }\int _{nP}^{nP+P}s(\tau )\ e^{-i2\pi {\frac {k}{P}}\tau }\ \underbrace {e^{i2\pi kn}} _{1}\,d\tau \ =\ {\frac {1}{P}}\int _{-\infty }^{\infty }s(\tau )\ e^{-i2\pi {\frac {k}{P}}\tau }d\tau \triangleq {\frac {1}{P}}\cdot S\left({\frac {k}{P}}\right)\end{aligned}}}
43:. Consequently, the periodic summation of a function is completely defined by discrete samples of the original function's Fourier transform. And conversely, the periodic summation of a function's Fourier transform is completely defined by discrete samples of the original function. The Poisson summation formula was discovered by
6470:
5111:
Computationally, the
Poisson summation formula is useful since a slowly converging summation in real space is guaranteed to be converted into a quickly converging equivalent summation in Fourier space. (A broad function in real space becomes a narrow function in Fourier space and vice versa.) This
642:
818:
4806:
is known, and that of a rectangle is determined by taking the periodization. The
Poisson summation formula similarly provides a connection between Fourier analysis on Euclidean spaces and on the tori of the corresponding dimensions. In one dimension, the resulting solution is called a
2364:{\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }\delta (x\pm nT)\equiv \sum _{k=-\infty }^{\infty }{\frac {1}{T}}\cdot e^{\pm i2\pi {\frac {k}{T}}x}\quad {\stackrel {\mathcal {F}}{\Longleftrightarrow }}\quad {\frac {1}{T}}\cdot \sum _{k=-\infty }^{\infty }\delta (f\pm k/T).}
4457:
6285:
7416:
1026:
7770:
that appear in the sum. The generalised version of
Poisson summation is called the Selberg Trace Formula, and has played a role in proving many cases of Artin's conjecture and in Wiles's proof of Fermat's Last Theorem. The left-hand side of
467:
660:
6005:
5455:
4004:
374:
189:
5528:
The
Poisson summation formula may be used to derive Landau's asymptotic formula for the number of lattice points inside a large Euclidean sphere. It can also be used to show that if an integrable function,
6477:
Poisson's summation formula appears in
Ramanujan's notebooks and can be used to prove some of his formulas, in particular it can be used to prove one of the formulas in Ramanujan's first letter to Hardy.
5250:
4350:
1329:
7296:
4160:
5343:
6935:
5191:
3518:
2917:
2450:
1789:
1341:
6705:
5742:
6056:
7311:
880:
1114:
5054:
7474:. Then the statement is that the sum of delta-functions at each point of Λ, and at each point of Λ′, are again Fourier transforms as distributions, subject to correct normalization.
6775:
6609:
6124:
272:
5930:
7013:
5872:
4540:
4198:
5937:
5784:
7462:
7183:
7091:
6544:
5658:
4804:
5813:
5518:
6848:
6800:
5009:
227:
6193:
5276:
4586:
6085:
4696:
3949:
1278:
1160:
8070:
samples of the
Fourier transform of an aperiodic sequence x can be thought of as DFS coefficients of a periodic sequence obtained through summing periodic replicas of x.
1777:
7608:
6979:
6823:
284:
7033:
6649:
6511:
4307:
2397:
1213:
7815:
7748:
7678:
7580:
7062:
6219:
7708:
7658:
6280:
6254:
4963:
442:
416:
6875:
5678:
4899:
870:
6956:
6465:{\displaystyle \coth(x)=x\sum _{n\in \mathbb {Z} }{\frac {1}{x^{2}+\pi ^{2}n^{2}}}={\frac {1}{x}}+2x\sum _{n\in \mathbb {Z} _{+}}{\frac {1}{x^{2}+\pi ^{2}n^{2}}}.}
5597:
5484:
4928:
4654:
4625:
4501:
4250:
4045:
2433:
86:
5097:
4221:
1236:
7795:
7768:
7728:
7628:
7560:
7154:
7134:
7114:
6730:
6629:
6564:
5567:
5547:
5074:
4868:
4848:
4742:
4722:
4345:
4274:
2131:
1180:
462:
5348:
5124:
The
Poisson summation formula is also useful to bound the errors obtained when an integral is approximated by a (Riemann) sum. Consider an approximation of
7542:, and James Arthur, have generalised the Poisson summation formula to the Fourier transform on non-commutative locally compact reductive algebraic groups
637:{\displaystyle s_{_{P}}(x)\triangleq \sum _{n=-\infty }^{\infty }s(x+nP)\quad {\text{and}}\quad S_{1/T}(f)\triangleq \sum _{k=-\infty }^{\infty }S(f+k/T).}
4850:
is a function of time, then looking only at its values at equally spaced points of time is called "sampling." In applications, typically the function
813:{\displaystyle s_{_{P}}(x)=\sum _{k=-\infty }^{\infty }\underbrace {{\frac {1}{P}}\cdot S\left({\frac {k}{P}}\right)} _{S}\ e^{i2\pi {\frac {k}{P}}x},}
94:
2403:, corresponds to the discretization of its spectrum which is constantly one. Hence, this again is a Dirac comb but with reciprocal increments.
7190:
4054:
6126:
and this can be used to prove Jacobi's formula for the number of different ways to express an integer as the sum of eight perfect squares.
7829:
6656:
5685:
2138:
8338:
5196:
4543:, but then it is necessary to interpret it in the sense that the right-hand side is the (possibly divergent) Fourier series of
8159:
8099:
7966:
7930:
7839:
1283:
8451:
5610:, Poisson summation can also be used to derive a variety of functional equations including the functional equation for the
5100:
6880:
5287:
6138:
using the
Poisson summation formula, which subsequently led to a proof of optimal sphere packings in dimension 8 and 24.
5127:
8381:
8276:
8183:
8126:
8063:
8020:
7895:
6010:
4452:{\displaystyle 2\cdot s(x)=\lim _{\varepsilon \to 0}s(x+\varepsilon )+\lim _{\varepsilon \to 0}s(x-\varepsilon ).}
1116:, then the right-hand side is the (possibly divergent) Fourier series of the left-hand side. It follows from the
7890:
1066:
1046:
5815:
turns out to be important for number theory, since this kind of relation is one of the defining properties of a
8431:
8264:
5014:
4758:
1740:
where the interchange of summation with integration is once again justified by dominated convergence. With a
8441:
8202:(1995). "Comparative study of acceleration techniques for integrals and series in electromagnetic problems".
7820:
The
Poisson summation formula is the archetype for vast developments in harmonic analysis and number theory.
7520:
6735:
6569:
6090:
1117:
232:
8446:
7851:
40:
5877:
7880:
6984:
5822:
4507:
4165:
1741:
4588:
In this case, one may extend the region where equality holds by considering summability methods such as
7797:, and is called "the spectral side," while the right-hand side becomes a sum over conjugacy classes of
7485:. In fact in more recent work on counting lattice points in regions it is routinely used − summing the
7411:{\displaystyle \sum _{\nu \in \Lambda }s(x+\nu )=\sum _{\nu \in \Lambda }S(\nu )e^{i2\pi x\cdot \nu },}
5749:
2110:
1021:{\displaystyle S_{1/T}(f)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }\underbrace {T\cdot s(nT)} _{s}\ e^{-i2\pi nTf},}
7438:
7159:
7067:
6520:
5624:
4780:
8426:
7534:
A series of mathematicians applying harmonic analysis to number theory, most notably Martin
Eichler,
7531:, the idea is taken even further in the Selberg trace formula, but takes on a much deeper character.
5789:
5489:
6828:
6780:
4968:
194:
6150:
5255:
4546:
8436:
6063:
4659:
1241:
1123:
1747:
44:
7585:
7435:
More generally, a version of the statement holds if Λ is replaced by a more general lattice in
6961:
6805:
6777:, the above series converges pointwise almost everywhere, and thus defines a periodic function
6514:
4315:
holds in the strong sense that both sides converge uniformly and absolutely to the same limit.
3938:
The Poisson summation formula can also be proved quite conceptually using the compatibility of
36:
7018:
6634:
6496:
4279:
2379:
1185:
7800:
7733:
7663:
7565:
7514:
7502:
7038:
6198:
5611:
4324:
7683:
7633:
6259:
6224:
4933:
421:
395:
8320:
8213:
8030:
7956:
7875:
7863:
7855:
7498:
7494:
6853:
6000:{\displaystyle \theta \left({-1 \over \tau }\right)={\sqrt {\tau \over i}}\theta (\tau ),}
5663:
4877:
4762:
4253:
3943:
843:
8358:
7730:
plays the role of the real number line in the classical version of Poisson summation, and
6941:
5576:
5460:
4904:
4630:
4601:
4477:
4226:
4021:
2409:
62:
8:
7835:
7482:
4819:
8217:
5079:
4589:
4203:
1218:
8298:
8148:
7847:
7780:
7753:
7713:
7613:
7545:
7486:
7471:
7139:
7119:
7099:
6715:
6614:
6549:
5552:
5532:
5450:{\textstyle \left|\sum _{k\neq 0}S(k/\delta )\right|\leq \sum _{k\neq 0}|S(k/\delta )|}
5059:
4853:
4833:
4727:
4707:
4330:
4259:
3939:
2116:
1165:
447:
32:
8377:
8272:
8199:
8179:
8155:
8122:
8095:
8059:
8052:
8047:
8043:
8016:
7962:
7926:
7859:
7528:
2134:
89:
8408:
8000:
5076:
can be reconstructed from these sampled values. Then, by Fourier inversion, so can
4465:
is then understood as a (conditionally convergent) limit of symmetric partial sums.
3999:{\displaystyle 0\to \mathbb {Z} \to \mathbb {R} \to \mathbb {R} /\mathbb {Z} \to 0.}
8403:
8350:
8308:
8229:
8221:
8087:
8008:
7539:
4770:
8391:
369:{\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }s(n)=\sum _{k=-\infty }^{\infty }S(k).}
8316:
8248:
8026:
7885:
6490:
5570:
5113:
4815:
8312:
7952:
7478:
6135:
5618:
4808:
2146:
837:
28:
8091:
8012:
7156:
decay sufficiently fast at infinity, then one can "invert" the domain back to
184:{\textstyle S(f)\triangleq \int _{-\infty }^{\infty }s(x)\ e^{-i2\pi fx}\,dx,}
8420:
8204:
7524:
5607:
4766:
8289:
Cohn, Henry; Elkies, Noam (2003), "New upper bounds on sphere packings I",
7535:
7470:Λ′ can be defined as a subset of the dual vector space or alternatively by
7466:
5816:
4871:
4761:, the Poisson summation formula provides a rigorous justification for the
7830:
Convolution theorem § Convolution theorem for tempered distributions
5680:
a complex number in the upper half plane, and define the theta function:
4774:
2374:
20:
8354:
8234:
7843:
6474:
It can be used to prove the functional equation for the theta function.
2400:
2142:
2137:). The Poisson summation formula arises as a particular case of the
8225:
8303:
4818:, the method is also used to accelerate the computation of periodic
1331:
Proceeding from the definition of the Fourier coefficients we have:
1238:
So it is sufficient to show that the Fourier series coefficients of
4504:
4048:
4744:
are integrable and continuous, and the sums converge absolutely.
8178:(Second corrected ed.), New York: Dover Publications, Inc,
7418:
where both series converge absolutely and uniformly on Λ. When
8253:
Probability and Information Theory, with Applications to Radar
6546:
consisting of points with integer coordinates. For a function
7961:(2nd ed.), Cambridge University Press (published 1988),
840:
expansion with coefficients that are samples of the function
5457:. This is particularly useful when the Fourier transform of
5245:{\textstyle \delta \sum _{n=-\infty }^{\infty }s(n\delta )}
7834:
The Poisson summation formula is a particular case of the
7777:
becomes a sum over irreducible unitary representations of
6134:
Cohn & Elkies proved an upper bound on the density of
8058:(2nd ed.). Upper Saddle River, N.J.: Prentice Hall.
7493:
over lattice points is exactly the question, so that the
6611:, consider the series given by summing the translates of
8339:"Sampling multipliers and the Poisson summation formula"
8007:, Grundl. Math. Wissenschaft., vol. 256, Springer,
5345:. The error in the approximation can then be bounded as
1324:{\textstyle {\frac {1}{P}}S\left({\frac {k}{P}}\right).}
8005:
The analysis of linear partial differential operators I
7291:{\displaystyle |s(x)|+|S(x)|\leq C(1+|x|)^{-d-\delta }}
5011:
For band-limited functions, choosing the sampling rate
4155:{\displaystyle |s(x)|+|S(x)|\leq C(1+|x|)^{-1-\delta }}
5351:
5290:
5199:
5130:
5019:
4474:
holds under the much less restrictive assumption that
2109:
These equations can be interpreted in the language of
1286:
97:
7862:, the function that is constantly 1, this yields the
7803:
7783:
7756:
7736:
7716:
7686:
7666:
7636:
7616:
7588:
7568:
7548:
7441:
7314:
7193:
7162:
7142:
7122:
7102:
7070:
7041:
7021:
6987:
6964:
6944:
6883:
6856:
6831:
6808:
6783:
6738:
6718:
6659:
6637:
6617:
6572:
6552:
6523:
6499:
6288:
6262:
6227:
6201:
6153:
6093:
6066:
6013:
5940:
5880:
5825:
5792:
5752:
5688:
5666:
5627:
5617:
One important such use of Poisson summation concerns
5579:
5555:
5535:
5492:
5463:
5338:{\textstyle \sum _{k=-\infty }^{\infty }S(k/\delta )}
5258:
5082:
5062:
5017:
4971:
4936:
4907:
4880:
4856:
4836:
4783:
4730:
4710:
4662:
4633:
4604:
4549:
4510:
4480:
4353:
4333:
4309:
converges uniformly to a continuous function.
4282:
4262:
4229:
4206:
4168:
4057:
4024:
3952:
3516:
2915:
2448:
2412:
2382:
2157:
2119:
1787:
1750:
1339:
1244:
1221:
1188:
1168:
1126:
1069:
883:
846:
663:
652:
is a special case (P=1, x=0) of this generalization:
470:
450:
424:
398:
287:
235:
197:
65:
8150:
Introduction to Fourier Analysis on Euclidean Spaces
8042:
6930:{\displaystyle \|\mathbb {P} s\|_{1}\leq \|s\|_{1}.}
6480:
It can be used to calculate the quadratic Gauss sum.
5186:{\textstyle S(0)=\int _{-\infty }^{\infty }dx\,s(x)}
8336:
7497:of the summation formula is what is sought and the
392:Also consider periodic functions, where parameters
8147:
8051:
7983:Comptes Rendus de l'Académie des Sciences, Série I
7854:on the other side of the equation. Applied to the
7809:
7789:
7762:
7742:
7722:
7702:
7672:
7652:
7622:
7602:
7574:
7554:
7456:
7410:
7290:
7185:and make a stronger statement. More precisely, if
7177:
7148:
7128:
7108:
7085:
7056:
7027:
7007:
6973:
6950:
6929:
6869:
6842:
6817:
6794:
6769:
6724:
6700:{\displaystyle \sum _{\nu \in \Lambda }s(x+\nu ).}
6699:
6643:
6623:
6603:
6558:
6538:
6505:
6464:
6274:
6248:
6213:
6187:
6118:
6079:
6050:
5999:
5924:
5866:
5807:
5778:
5737:{\displaystyle \theta (\tau )=\sum _{n}q^{n^{2}}.}
5736:
5672:
5652:
5591:
5561:
5541:
5512:
5478:
5449:
5337:
5270:
5244:
5185:
5091:
5068:
5048:
5003:
4957:
4922:
4893:
4862:
4842:
4798:
4736:
4716:
4690:
4648:
4619:
4580:
4534:
4495:
4451:
4339:
4301:
4268:
4244:
4215:
4192:
4154:
4039:
3998:
3927:
3498:
2897:
2427:
2391:
2363:
2133:whose derivatives are all rapidly decreasing (see
2125:
2094:
1771:
1730:
1323:
1272:
1230:
1207:
1174:
1154:
1108:
1057:A proof may be found in either Pinsky or Zygmund.
1020:
864:
812:
636:
456:
436:
410:
368:
266:
221:
183:
80:
8081:
7981:Córdoba, A., "La formule sommatoire de Poisson",
5523:
4627:holds under the less restrictive conditions that
3220:
3084:
8418:
4656:is integrable and 0 is a point of continuity of
4413:
4376:
4327:sense under the strictly weaker assumption that
8371:
8154:, Princeton, N.J.: Princeton University Press,
6051:{\displaystyle {1/\lambda }={\sqrt {\tau /i}}.}
8392:"Five short stories about the cardinal series"
8082:Deitmar, Anton; Echterhoff, Siegfried (2014),
7923:Introduction to Fourier Analysis and Wavelets.
5119:
5056:guarantees that no information is lost: since
4930:is zero for frequencies exceeding the cutoff:
4874:, meaning that there is some cutoff frequency
8197:
8121:, Pearson Education, Inc., pp. 253–257,
4459:The Fourier series on the right-hand side of
4256:, this together with the decay assumption on
2139:Convolution Theorem on tempered distributions
6915:
6908:
6896:
6884:
4830:In the statistical study of time-series, if
4592:. When interpreting convergence in this way
249:
243:
8372:Gasquet, Claude; Witomski, Patrick (1999),
6087:has a simple transformation property under
5278:is the size of the bin. Then, according to
4769:with absorbing rectangular boundary by the
1109:{\displaystyle s(x)\in L_{1}(\mathbb {R} )}
1063:, for instance, holds in the sense that if
8288:
8173:
8145:
8112:
8110:
5621:: periodic summations of Gaussians . Put
8407:
8302:
8233:
8167:
7999:
7947:
7945:
7943:
7941:
7444:
7165:
7073:
6989:
6888:
6833:
6785:
6754:
6588:
6526:
6405:
6322:
5170:
5049:{\displaystyle {\tfrac {1}{T}}>2f_{o}}
4786:
4525:
3986:
3976:
3968:
3960:
1954:
1714:
1589:
1454:
1099:
171:
8337:Benedetto, J.J.; Zimmermann, G. (1997),
8191:
8116:
8036:
7993:
7916:
7914:
7912:
7910:
7508:
1215:is integrable on any interval of length
276:The basic Poisson summation formula is:
54:
8389:
8141:
8139:
8137:
8107:
7951:
6770:{\displaystyle L^{1}(\mathbb {R} ^{d})}
6604:{\displaystyle L^{1}(\mathbb {R} ^{d})}
6489:The Poisson summation formula holds in
6119:{\displaystyle \tau \mapsto {-1/\tau }}
2373:In other words, the periodization of a
267:{\displaystyle {\mathcal {F}}\{s\}(f).}
8419:
8075:
7974:
7938:
7920:
7823:
7817:, and is called "the geometric side."
1162:exists and is finite for almost every
8119:Classical and Modern Fourier Analysis
7907:
8282:
8176:An introduction to harmonic analysis
8134:
7116:is in addition continuous, and both
5925:{\displaystyle S(f)=e^{-\pi f^{2}},}
874:
654:
278:
8146:Stein, Elias; Weiss, Guido (1971),
7980:
7842:. If one of the two factors is the
7008:{\displaystyle \mathbb {P} S(\nu )}
5867:{\displaystyle s(x)=e^{-\pi x^{2}}}
4752:
4535:{\displaystyle L^{1}(\mathbb {R} )}
4193:{\displaystyle C>0,\delta >0}
13:
8330:
7804:
7737:
7667:
7597:
7569:
7501:something that can be attacked by
7363:
7326:
7022:
6965:
6809:
6671:
6638:
6500:
6484:
6129:
5310:
5305:
5284:this approximation coincides with
5222:
5217:
5159:
5154:
5106:
3857:
3852:
3828:
3792:
3787:
3745:
3702:
3697:
3670:
3612:
3607:
3540:
3535:
3432:
3427:
3374:
3343:
3338:
3259:
3254:
3230:
3190:
3185:
3124:
3119:
3077:
3003:
2996:
2991:
2939:
2934:
2871:
2866:
2797:
2792:
2774:
2769:
2714:
2709:
2654:
2649:
2610:
2605:
2538:
2533:
2515:
2510:
2472:
2467:
2327:
2322:
2286:
2225:
2220:
2177:
2172:
1993:
1988:
1836:
1831:
1638:
1633:
1523:
1518:
933:
928:
711:
706:
600:
595:
518:
513:
346:
341:
307:
302:
238:
126:
121:
14:
8463:
8374:Fourier Analysis and Applications
7896:Explicit formulae for L-functions
7610:has finite volume. For example,
7477:This is applied in the theory of
5779:{\displaystyle \theta (-1/\tau )}
7457:{\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}
7178:{\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}
7086:{\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}
6539:{\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}
5653:{\displaystyle q=e^{i\pi \tau }}
5601:
5101:Nyquist–Shannon sampling theorem
4799:{\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}
4704:may fail to hold even when both
4276:, show that the series defining
4008:
27:is an equation that relates the
8409:10.1090/S0273-0979-1985-15293-0
8258:
8242:
8084:Principles of Harmonic Analysis
8054:Discrete-time signal processing
7891:Discrete-time Fourier transform
7876:Fourier analysis § Summary
7750:plays the role of the integers
4747:
3912:
2294:
2275:
1182:. Furthermore it follows that
1047:Discrete-time Fourier transform
550:
544:
59:Consider an aperiodic function
8376:, Springer, pp. 344–352,
8271:. Academic Press, pp. 209–11.
7773:
7680:can be the integral points of
7521:locally compact abelian groups
7481:, and is a possible method in
7428:
7377:
7371:
7346:
7334:
7270:
7265:
7257:
7247:
7237:
7233:
7227:
7220:
7212:
7208:
7202:
7195:
7051:
7045:
7002:
6996:
6764:
6749:
6691:
6679:
6598:
6583:
6301:
6295:
6237:
6231:
6163:
6157:
6097:
5991:
5985:
5890:
5884:
5835:
5829:
5808:{\displaystyle \theta (\tau )}
5802:
5796:
5773:
5756:
5698:
5692:
5524:Lattice points inside a sphere
5513:{\displaystyle 1/\delta \gg 1}
5473:
5467:
5443:
5439:
5425:
5418:
5390:
5376:
5332:
5318:
5280:
5239:
5230:
5180:
5174:
5140:
5134:
4981:
4973:
4946:
4940:
4917:
4911:
4759:partial differential equations
4700:
4685:
4679:
4643:
4637:
4594:
4572:
4566:
4529:
4521:
4490:
4484:
4470:
4461:
4443:
4431:
4420:
4406:
4394:
4383:
4369:
4363:
4319:
4311:
4239:
4233:
4134:
4129:
4121:
4111:
4101:
4097:
4091:
4084:
4076:
4072:
4066:
4059:
4034:
4028:
4014:
3990:
3972:
3964:
3956:
3904:
3889:
3880:
3871:
3815:
3800:
3764:
3758:
3725:
3710:
3662:
3656:
3640:
3620:
3587:
3581:
3568:
3548:
3455:
3446:
3402:
3387:
3366:
3357:
3306:
3291:
3282:
3273:
3213:
3198:
3098:
3092:
3022:
3016:
2967:
2947:
2885:
2879:
2832:
2820:
2811:
2805:
2734:
2722:
2624:
2618:
2552:
2546:
2486:
2480:
2436:
2355:
2335:
2280:
2200:
2185:
2007:
2001:
1877:
1871:
1801:
1795:
1676:
1661:
1546:
1531:
1416:
1410:
1353:
1347:
1267:
1261:
1149:
1143:
1103:
1095:
1079:
1073:
1059:
1034:
979:
973:
960:
951:
908:
902:
856:
850:
826:
770:
764:
686:
680:
648:
628:
608:
575:
569:
541:
526:
493:
487:
382:
360:
354:
321:
315:
258:
252:
216:
210:
204:
140:
134:
107:
101:
75:
69:
1:
8086:, Universitext (2 ed.),
7901:
6843:{\displaystyle \mathbb {P} s}
6795:{\displaystyle \mathbb {P} s}
5112:is the essential idea behind
5004:{\displaystyle |f|>f_{o}.}
1118:dominated convergence theorem
222:{\displaystyle {\hat {s}}(f)}
8174:Katznelson, Yitzhak (1976),
6493:of arbitrary dimension. Let
6188:{\displaystyle s(x)=e^{-ax}}
5271:{\displaystyle \delta \ll 1}
4581:{\displaystyle s_{_{P}}(x).}
1044:also known as the important
191:alternatively designated by
41:continuous Fourier transform
39:to values of the function's
16:Equation in Fourier analysis
7:
8452:Series acceleration methods
8313:10.4007/annals.2003.157.689
7869:
6080:{\displaystyle \theta ^{8}}
5120:Approximations of integrals
4825:
4691:{\displaystyle s_{_{P}}(x)}
1273:{\displaystyle s_{_{P}}(x)}
1155:{\displaystyle s_{_{P}}(x)}
10:
8468:
7827:
7630:can be the real points of
7519:Further generalization to
7512:
6060:It follows from this that
4347:has bounded variation and
2105:Distributional formulation
1772:{\displaystyle \tau =x+nP}
8117:Grafakos, Loukas (2004),
8092:10.1007/978-3-319-05792-7
8013:10.1007/978-3-642-96750-4
7603:{\displaystyle G/\Gamma }
7562:with a discrete subgroup
6974:{\displaystyle \Lambda ,}
6818:{\displaystyle \Lambda .}
444:are in the same units as
25:Poisson summation formula
8255:. Academic Press, p. 36.
8050:; Buck, John R. (1999).
7881:Post's inversion formula
7028:{\displaystyle \Lambda }
6644:{\displaystyle \Lambda }
6506:{\displaystyle \Lambda }
6141:
5874:and using the fact that
4302:{\displaystyle s_{_{P}}}
2392:{\displaystyle \delta ,}
1208:{\displaystyle s_{_{P}}}
47:and is sometimes called
8269:Riemann's Zeta Function
7810:{\displaystyle \Gamma }
7743:{\displaystyle \Gamma }
7673:{\displaystyle \Gamma }
7575:{\displaystyle \Gamma }
7057:{\displaystyle S(\nu )}
6214:{\displaystyle 0\leq x}
5486:is rapidly decaying if
8396:Bull. Amer. Math. Soc.
8390:Higgins, J.R. (1985),
8343:J. Fourier Anal. Appl.
7840:tempered distributions
7811:
7791:
7764:
7744:
7724:
7704:
7703:{\displaystyle SL_{n}}
7674:
7654:
7653:{\displaystyle SL_{n}}
7624:
7604:
7576:
7556:
7458:
7412:
7292:
7179:
7150:
7130:
7110:
7087:
7064:(Fourier transform on
7058:
7029:
7015:(Fourier transform on
7009:
6975:
6952:
6931:
6871:
6844:
6819:
6796:
6771:
6726:
6701:
6645:
6625:
6605:
6560:
6540:
6507:
6466:
6276:
6275:{\displaystyle x<0}
6250:
6249:{\displaystyle s(x)=0}
6215:
6189:
6120:
6081:
6052:
6001:
5926:
5868:
5809:
5780:
5738:
5674:
5654:
5593:
5563:
5543:
5514:
5480:
5451:
5339:
5314:
5272:
5246:
5226:
5187:
5093:
5070:
5050:
5005:
4959:
4958:{\displaystyle S(f)=0}
4924:
4895:
4864:
4844:
4800:
4738:
4718:
4692:
4650:
4621:
4582:
4536:
4497:
4453:
4341:
4303:
4270:
4246:
4217:
4194:
4156:
4041:
4000:
3929:
3861:
3796:
3706:
3616:
3544:
3500:
3436:
3347:
3263:
3194:
3128:
3000:
2943:
2899:
2875:
2778:
2718:
2658:
2519:
2476:
2429:
2393:
2365:
2331:
2229:
2181:
2127:
2096:
1840:
1773:
1732:
1642:
1527:
1325:
1274:
1232:
1209:
1176:
1156:
1110:
1022:
937:
866:
814:
715:
638:
604:
522:
458:
438:
437:{\displaystyle P>0}
412:
411:{\displaystyle T>0}
370:
350:
311:
268:
223:
185:
82:
8432:Generalized functions
7812:
7792:
7765:
7745:
7725:
7710:. In this setting,
7705:
7675:
7655:
7625:
7605:
7577:
7557:
7527:. In non-commutative
7515:Selberg trace formula
7509:Selberg trace formula
7503:mathematical analysis
7459:
7413:
7293:
7180:
7151:
7131:
7111:
7088:
7059:
7030:
7010:
6976:
6953:
6932:
6872:
6870:{\displaystyle L^{1}}
6845:
6820:
6797:
6772:
6727:
6702:
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