2434:
534:
159:
772:
362:
647:
1000:
529:{\displaystyle S\left(\mathbb {R} ^{n},\mathbb {C} \right):=\left\{f\in C^{\infty }(\mathbb {R} ^{n},\mathbb {C} )\mid \forall {\boldsymbol {\alpha }},{\boldsymbol {\beta }}\in \mathbb {N} ^{n},\|f\|_{{\boldsymbol {\alpha }},{\boldsymbol {\beta }}}<\infty \right\},}
901:
310:
1252:
1331:
767:{\displaystyle \|f\|_{{\boldsymbol {\alpha }},{\boldsymbol {\beta }}}:=\sup _{{\boldsymbol {x}}\in \mathbb {R} ^{n}}\left|{\boldsymbol {x}}^{\boldsymbol {\alpha }}({\boldsymbol {D}}^{\boldsymbol {\beta }}f)({\boldsymbol {x}})\right|.}
1380:
587:
906:
805:
1149:
243:
1164:
121:
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357:
145:
69:
642:
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1420:
1289:
1446:
792:
2323:
2159:
1986:
2149:
1448:
a real constant, to give an element of the
Schwartz space. In particular, there is an embedding of polynomials inside a Schwartz space.
1347:
2276:
2131:
2107:
1659:
1615:
539:
995:{\displaystyle D^{\boldsymbol {\beta }}:=\partial _{1}^{\beta _{1}}\partial _{2}^{\beta _{2}}\ldots \partial _{n}^{\beta _{n}}}
1934:
896:{\displaystyle {\boldsymbol {x}}^{\boldsymbol {\alpha }}:=x_{1}^{\alpha _{1}}x_{2}^{\alpha _{2}}\ldots x_{n}^{\alpha _{n}}}
2458:
1999:
31:
1005:
To put common language to this definition, one could consider a rapidly decreasing function as essentially a function
2088:
1979:
1912:
1893:
1874:
1653:
1621:
92:
on this space. This property enables one, by duality, to define the
Fourier transform for elements in the dual space
17:
2358:
2478:
2003:
305:{\displaystyle \mathbb {N} ^{n}:=\underbrace {\mathbb {N} \times \dots \times \mathbb {N} } _{n{\text{ times}}}}
2154:
1132:
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2210:
2144:
1972:
1823:
1247:{\displaystyle {\boldsymbol {x}}^{\boldsymbol {\alpha }}e^{-a|x|^{2}}\in {\mathcal {S}}(\mathbf {R} ^{n}).}
35:
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1326:{\displaystyle {\boldsymbol {x}}^{\boldsymbol {\alpha }}{\boldsymbol {D}}^{\boldsymbol {\alpha }})f}
126:
50:
2473:
2266:
2164:
2067:
1867:
The
Analysis of Linear Partial Differential Operators I, (Distribution theory and Fourier Analysis)
625:
185:
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This article incorporates material from Space of rapidly decreasing functions on
1706:
1703:
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is a bounded smooth function with bounded derivatives of all orders, then
2328:
2318:
2225:
2027:
1156:
42:
84:
are rapidly decreasing. This space has the important property that the
27:
Function space of all functions whose derivatives are rapidly decreasing
2261:
2093:
1954:
81:
1765:
1905:
Fourier
Analysis: An Introduction (Princeton Lectures in Analysis I)
1737:
795:
209:
34:. For the Schwartz space of a locally compact abelian group, see
1717:
Relation of
Schwartz spaces with other topological vector spaces
1375:{\displaystyle \phi ({\boldsymbol {x}}^{\boldsymbol {\alpha }})}
1123:
158:
1886:
Methods of Modern
Mathematical Physics: Functional Analysis I
1344:
Because the
Schwartz space is a vector space, any polynomial
1888:(Revised and enlarged ed.). San Diego: Academic Press.
1994:
582:{\displaystyle C^{\infty }(\mathbb {R} ^{n},\mathbb {C} )}
151:. A function in the Schwartz space is sometimes called a
1840:
30:
For the
Schwartz space of a semisimple Lie group, see
1428:
1388:
1350:
1292:
1167:
1135:
909:
808:
780:
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336:
246:
218:
188:
129:
98:
53:
1927:
Topological Vector Spaces, Distributions and
Kernels
170:Schwartz space is named after French mathematician
2324:Spectral theory of ordinary differential equations
1440:
1414:
1374:
1325:
1246:
1143:
994:
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766:
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614:
581:
528:
351:
304:
232:
196:
139:
115:
63:
1682:of any Montel space, a sequence converges in the
2450:
1959:Creative Commons Attribution/Share-Alike License
781:
681:
166:is an example of a rapidly decreasing function.
1902:
1980:
658:
651:
493:
486:
1124:Examples of functions in the Schwartz space
1987:
1973:
1907:. Princeton: Princeton University Press.
1903:Stein, Elias M.; Shakarchi, Rami (2003).
1883:
1869:(2nd ed.). Berlin: Springer-Verlag.
1861:
1274:). This is clear since any derivative of
695:
630:
602:
572:
558:
473:
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428:
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226:
190:
2277:Group algebra of a locally compact group
329:space of rapidly decreasing functions on
157:
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811:
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14:
2451:
1921:
1846:
1457:
1968:
1929:. Mineola, N.Y.: Dover Publications.
1068:faster than any reciprocal power of
1686:if and only if it converges in the
24:
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515:
452:
418:
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116:{\displaystyle {\mathcal {S}}^{*}}
102:
56:
25:
2490:
1514:In particular, this implies that
233:{\displaystyle n\in \mathbb {N} }
2433:
2432:
2359:Topological quantum field theory
1282:and supported in the support of
1228:
615:{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}
352:{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}
32:Harish-Chandra's Schwartz space
1957:, which is licensed under the
1382:can be multiplied by a factor
1369:
1354:
1317:
1238:
1223:
1201:
1192:
1055:, ... all exist everywhere on
753:
745:
742:
724:
576:
553:
446:
423:
140:{\displaystyle {\mathcal {S}}}
64:{\displaystyle {\mathcal {S}}}
13:
1:
2155:Uniform boundedness principle
1834:
1528:-algebra. More generally, if
1452:
177:
1884:Reed, M.; Simon, B. (1980).
637:{\displaystyle \mathbb {C} }
197:{\displaystyle \mathbb {N} }
7:
1812:
1558:The Fourier transform is a
1415:{\displaystyle e^{-ax^{2}}}
1108:) of smooth functions from
10:
2495:
2298:Invariant subspace problem
1855:
29:
2459:Topological vector spaces
2428:
2387:
2311:
2290:
2249:
2188:
2130:
2076:
2018:
2011:
589:is the function space of
2267:Spectrum of a C*-algebra
1824:SchwartzâBruhat function
1698:Ultrabornological spaces
1678:It is known that in the
1477:pointwise multiplication
36:SchwartzâBruhat function
2364:Noncommutative geometry
2479:Schwartz distributions
2420:TomitaâTakesaki theory
2395:Approximation property
2339:Calculus of variations
1442:
1441:{\displaystyle a>0}
1416:
1376:
1327:
1248:
1151:is a multi-index, and
1145:
1092:of the function space
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768:
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149:tempered distributions
141:
117:
65:
2415:BanachâMazur distance
2378:Generalized functions
1475:is also closed under
1443:
1417:
1377:
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1328:
1249:
1146:
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216:
186:
127:
96:
51:
2344:Functional calculus
2303:Mahler's conjecture
2282:Von Neumann algebra
1996:Functional analysis
1849:, pp. 351â359.
1458:Analytic properties
991:
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944:
892:
867:
845:
2369:Riemann hypothesis
2068:Topological vector
1560:linear isomorphism
1467:, it follows that
1438:
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1372:
1323:
1244:
1141:
1061:and go to zero as
992:
970:
945:
923:
893:
871:
846:
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301:
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162:A two-dimensional
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113:
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2445:
2349:Integral operator
2126:
2125:
1936:978-0-486-45352-1
1800:, is included in
1779:The space of all
1646:strong dual space
1497:then the product
1333:has a maximum in
1072:. In particular,
680:
318:Cartesian product
298:
264:
262:
164:Gaussian function
153:Schwartz function
86:Fourier transform
18:Schwartz function
16:(Redirected from
2486:
2469:Fourier analysis
2464:Smooth functions
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2435:
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2272:Operator algebra
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2474:Function spaces
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2424:
2388:Advanced topics
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1383:
1363:
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