8913:. But, unfortunately, this is not our case, we would desire to “extend” a linear continuous mapping A from a tvs E into another tvs F, in order to obtain a linear continuous mapping from the dual E’ to the dual F’ (note the order of spaces). In general, this is not even an extension problem, because (in general) E is not necessarily a subset of its own dual E’. Moreover, It is not a classic topological transpose problem, because the transpose of A goes from F’ to E’ and not from E’ to F’. Our case needs, indeed, a new order of ideas, involving the specific topological properties of the Laurent Schwartz spaces D(U) and D’(U), together with the fundamental concept of weak (or Schwartz) adjoint of the linear continuous operator A.
12192:
11477:
9489:
9077:
1117:
2538:
933:
9484:{\displaystyle {\begin{aligned}\int _{\mathbb {R} }\phi '(x)f(x)\,dx&=\int _{a}^{b}\phi '(x)f(x)\,dx\\&=\phi (x)f(x){\big \vert }_{a}^{b}-\int _{a}^{b}f'(x)\phi (x)\,dx\\&=\phi (b)f(b)-\phi (a)f(a)-\int _{a}^{b}f'(x)\phi (x)\,dx\\&=-\int _{a}^{b}f'(x)\phi (x)\,dx\end{aligned}}}
1364:
6706:
1112:{\displaystyle {\begin{aligned}x^{\alpha }&=x_{1}^{\alpha _{1}}\cdots x_{n}^{\alpha _{n}}\\\partial ^{\alpha }&={\frac {\partial ^{|\alpha |}}{\partial x_{1}^{\alpha _{1}}\cdots \partial x_{n}^{\alpha _{n}}}}\end{aligned}}}
6400:
3391:
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5616:
1249:
2866:
3592:
9073:
598:
435:
7979: – commutative associative differential algebra of generalized functions into which smooth functions (but not arbitrary continuous ones) embed as a subalgebra and distributions embed as a subspace
4931:
2607:
2675:
8909:
The extension theorem for mappings defined from a subspace S of a topological vector space E to the topological space E itself works for non-linear mappings as well, provided they are assumed to be
7120:
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7793:
2483:
857:
Multi-indices are particularly useful when dealing with functions of several variables, in particular, we introduce the following notations for a given multi-index
7437:
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3792:
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8000:
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3536:
30:
This article is about generalized functions in mathematical analysis. For the concept of distributions in probability theory, see
12065:
11567:
11506:
11150:
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17:
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10706:
10672:
10599:
8375:
5700:
6829:
5762:
is bounded; every sequence that is Mackey convergent to the origin necessarily converges to the origin (in the usual sense);
5093:
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10949:
10664:
7331:
1648:
12075:
11572:
11542:
5389:
5173:
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4680:
1359:{\displaystyle {\binom {\beta }{\alpha }}:={\binom {\beta _{1}}{\alpha _{1}}}\cdots {\binom {\beta _{n}}{\alpha _{n}}}.}
12195:
11846:
11499:
11042:
10971:
10880:(requires very little knowledge of analysis; defines distributions as limits of sequences of functions under integrals)
10626:
10573:
11983:
11131:
11022:
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under the usual function comparison then we can take the finite collection to consist of a single element.
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11610:
11605:
11547:
11462:
11340:
11222:
10759:"Méthode nouvelle à résoudre le problème de Cauchy pour les équations linéaires hyperboliques normales"
7932:
6210:
4456:
3154:
3024:
2879:
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2787:
633:
12231:
11954:
11764:
11457:
11273:
10663:. International Series in Pure and Applied Mathematics. Vol. 8 (Second ed.). New York, NY:
10568:. Addison-Wesley series in mathematics. Vol. 1. Reading, MA: Addison-Wesley Publishing Company.
8089:
7137:
6790:
3979:
1934:
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8875:
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8162:
8060:
7898: – Method for assigning values to certain improper integrals which would otherwise be undefined
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11110:
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8261:
7927:
7910:
7904: – Construction linking the study of "bound" and continuous eigenvalues in functional analysis
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2008:
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11815:
11780:
11620:
11144:
8533:
7985:
7852:"Tempered distribution" redirects here. For tempered distributions on semisimple groups, see
6701:{\displaystyle |T(f)|\leq C_{K}\sup\{|\partial ^{\alpha }f(x)|:x\in K,|\alpha |\leq N_{K}\};}
4527:
4055:
3620:
301:
11140:
8993:
8430:
7037:
6184:
5929:
4090:
of seminorms described above. This topology is also equal to the vector topology induced by
3128:
12162:
12106:
12085:
11420:
10820:
10553:
10015:
8973:
8970:
to be the ordinary derivative for functions of one real variable and assume the support of
8910:
8527:
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is fixed, if the size of multi-indices is omitted then the size should be assumed to be
313:
12030:
11973:
11907:
11892:
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10595:
10583:
10569:
10539:
10035:
9943:
7976:
7921:
6395:{\displaystyle |T(f)|\leq C\sup\{|\partial ^{\alpha }f(x)|:x\in U,|\alpha |\leq N\};}
4219:
3386:{\displaystyle |T(f)|\leq C\sup\{|\partial ^{\alpha }f(x)|:x\in U,|\alpha |\leq N\}.}
10523:
6038:
is any collection of continuous seminorms that defines the canonical LF topology on
2777:{\displaystyle \Psi (r)=e^{-{\frac {1}{1-r^{2}}}}\cdot \mathbf {1} _{\{|r|<1\}}.}
12135:
11705:
11690:
11491:
11396:
11314:
11283:
11263:
11248:
11243:
11238:
10741:
10724:
10701:. Vol. 8 (Second ed.). New York, NY: Springer New York Imprint Springer.
10531:
10023:
9976:
4661:
12018:
11557:
11075:
4223:
12110:
11958:
11258:
11212:
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11126:
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12090:
11805:
11447:
11299:
11100:
10754:
10497:
10462:
10449:
7949:
7901:
7001:
188:
10535:
10027:
6962:
Topology on the space of distributions and its relation to the weak-* topology
12210:
12125:
12035:
11978:
11938:
11866:
11841:
11785:
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11673:
11452:
11376:
11105:
11090:
11080:
10842:
10716:
10636:
10621:. Pure and applied mathematics (Second ed.). Boca Raton, FL: CRC Press.
10609:
8012:
7968:
7020:
Decomposition of distributions as sums of derivatives of continuous functions
2542:
2485:
923:{\displaystyle \alpha =(\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n})\in \mathbb {N} ^{n}}
771:{\displaystyle \alpha =(\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n})\in \mathbb {N} ^{n}}
10682:
12172:
12120:
12080:
12070:
11948:
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11790:
11587:
11537:
11442:
11095:
11065:
10654:
10587:
9935:
8897:
7874:
1478:
9936:"Multiplication of two distributions whose singular supports are disjoint"
5690:{\displaystyle r_{\bullet }=\left(r_{i}\right)_{i=1}^{\infty }\to \infty }
12130:
12115:
12008:
11902:
11897:
11882:
11861:
11825:
11732:
11552:
11371:
11361:
11268:
11070:
10775:
8328:
8009: – Impulse response of an inhomogeneous linear differential operator
6888:
4459:
3615:
518:
7959: – Concept in the solution of linear partial differential equations
11943:
11856:
11820:
11680:
11562:
11304:
11136:
10727:(1954), "Sur l'impossibilité de la multiplications des distributions",
10646:
Introduction to the
Fourier Transform and Pseudo-Differential Operators
10510:
10242:
Introduction to the
Fourier Transform and Pseudo-Differential Operators
7204:
9981:
9964:
7728:
when that space is equipped with the subspace topology inherited from
7174:
1806:
is typically indicated. The justification for this common practice is
12095:
11912:
7943:
7199:
2873:
7152:
12060:
12055:
12013:
11993:
11963:
11754:
7764:(a coarser topology than the canonical LF topology), is continuous.
4294:
96:
10010:
1369:
12003:
7994: – function on finite sets which is analogous to an integral
4405:
Unless indicated otherwise, it is endowed with a topology called
10758:
9933:
7884:
7577:
7131:
6976:
6971:
5542:{\displaystyle \left(T\left(f_{i}\right)\right)_{i=1}^{\infty }}
5364:{\displaystyle \left(T\left(f_{i}\right)\right)_{i=1}^{\infty }}
10134:
10132:
7879:
7847:
6007:{\displaystyle \{g_{1},\ldots ,g_{m}\}\subseteq {\mathcal {P}}}
5611:{\displaystyle f_{\bullet }=\left(f_{i}\right)_{i=1}^{\infty }}
8504:
then this implies that each of the functions defined above is
10855:
Probability and
Information Theory with Applications to Radar
10257:
Probability and
Information Theory with Applications to Radar
7842:
2861:{\displaystyle C_{c}^{\infty }\left(\mathbb {R} ^{2}\right).}
10309:
10307:
10305:
10129:
10106:
10104:
10102:
10100:
10098:
10096:
10094:
10092:
10090:
10088:
10075:
10073:
10071:
9996:
Hairer, Martin (2014). "A theory of regularity structures".
9884:
9882:
9800:
9798:
9796:
9794:
9792:
9790:
9788:
9751:
9749:
9747:
9745:
9743:
9730:
9728:
9726:
9724:
9722:
9720:
9718:
9705:
9703:
9701:
9699:
7946: – Integration kernels for smoothing out sharp features
7002:
Distributions of finite order with support in an open subset
6991:
3587:{\displaystyle \{\partial ^{\alpha }f_{i}\}_{i=1}^{\infty }}
11037:
10592:
Elements of the Theory of
Functions and Functional Analysis
9649:
9647:
9645:
9643:
9641:
9639:
9637:
9624:
9622:
9597:
9595:
9558:
9556:
9068:{\displaystyle \operatorname {supp} (\phi )\subseteq (a,b)}
8848:
is continuous if and only if it is sequentially continuous.
5159:
is by definition any sequence that converges to the origin;
593:{\displaystyle \langle f,g\rangle :=\int _{U}f(x)g(x)\,dx.}
430:{\displaystyle \{x\in \operatorname {Dom} (f):f(x)\neq 0\}}
10870:
Introduction to
Fourier Analysis and Generalised Functions
10396:
10394:
4926:{\textstyle \lim _{i\to \infty }T\left(f_{i}\right)=T(f);}
2602:{\displaystyle (x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\mapsto \Psi (r),}
1119:
We also introduce a partial order of all multi-indices by
27:
Mathematical analysis term similar to generalized function
10367:
10343:
10331:
10319:
10302:
10263:
10085:
10068:
9879:
9785:
9761:
9740:
9715:
9696:
9659:
2670:{\displaystyle r=\left(x^{2}+y^{2}\right)^{\frac {1}{2}}}
10530:, Grundl. Math. Wissenschaft., vol. 256, Springer,
10379:
9905:
9903:
9901:
9899:
9897:
9810:
9634:
9619:
9607:
9592:
9553:
7875:
Expressing tempered distributions as sums of derivatives
7115:{\displaystyle T=\sum \nolimits _{p}\partial ^{p}g_{p}.}
2908:
It is non-zero on the open unit disk and it is equal to
1807:
10528:
The analysis of linear partial differential operators I
10496:
10391:
10163:
8420:{\displaystyle x\mapsto \left|\partial ^{p}f(x)\right|}
7906:
Pages displaying short descriptions of redirect targets
7587:
7179:
5755:{\displaystyle \left(r_{i}f_{i}\right)_{i=1}^{\infty }}
5146:{\textstyle \lim _{i\to \infty }T\left(f_{i}\right)=0;}
2537:
9580:
8003: – Linear function satisfying a support condition
7537:
7490:
7409:{\textstyle f\in C_{c}^{0}(U),T(f)=\int _{U}f\,d\mu ,}
7334:
6880:{\displaystyle \{\partial ^{p}f_{i}\}_{i=1}^{\infty }}
5386:
explicitly, for every Mackey convergent null sequence
5096:
4867:
10803:
10594:. Dover Books on Mathematics. New York: Dover Books.
10418:
10406:
10355:
10173:
9915:
9894:
9831:
9671:
9497:
9080:
9031:
8996:
8976:
8956:
8928:
8878:
8813:
8772:
8722:
8702:
8657:
8610:
8565:
8536:
8510:
8484:
8459:
8433:
8378:
8356:
8336:
8290:
8264:
8235:
8203:
8165:
8130:
8092:
8063:
8043:
7988: – Distributions on spaces of differential forms
7805:
7781:
7734:
7690:
7670:
7647:
7598:
7449:
7425:
7310:
7247:
7184:
7072:
7040:
6986:
6919:
6896:
6832:
6793:
6742:
6716:
6577:
6555:
6504:
6469:
6436:
6410:
6285:
6241:
6213:
6187:
6161:
6085:
6044:
6020:
5958:
5932:
5891:
5850:
5830:
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5703:
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5010:
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4577:
4536:
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3911:
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3757:
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3256:
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3157:
3131:
3105:
3060:
3027:
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2882:
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2683:
2615:
2550:
2514:
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2444:
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2343:
2318:
2292:
2256:
2215:
2189:
2147:
2106:
2053:
2011:
1970:
1937:
1897:
1858:
1816:
1764:
1736:
1694:
1651:
1609:
1567:
1531:
1502:
1447:
1386:
1252:
1246:
we define their multi-index binomial coefficient as:
1226:
1191:
1151:
1125:
936:
863:
830:
784:
711:
685:
665:
636:
616:
527:
480:
443:
378:
339:
316:
268:
244:
219:
199:
141:
108:
81:
61:
11521:
10825:
Topological Vector Spaces, Distributions and
Kernels
10782:
Introduction to
Fourier Analysis on Euclidean Spaces
10290:
9867:
9773:
8716:
endowed with the subspace topology it inherits from
7996:
Pages displaying wikidata descriptions as a fallback
7981:
Pages displaying wikidata descriptions as a fallback
7214:
7205:
Convolution of a smooth function with a distribution
7006:
6996:
1679:{\displaystyle \operatorname {supp} (f)\subseteq K.}
1603:
both denote the vector space of all those functions
10153:, §IV.2 proves the uniqueness of such an extension.
8453:) is itself a compact, and thus bounded, subset of
7219:
7175:
Multiplication of distributions by smooth functions
7147:
11367:Spectral theory of ordinary differential equations
10779:
9683:
9533:
9483:
9067:
9017:
8982:
8962:
8942:
8888:
8840:
8799:
8749:
8708:
8684:
8643:
8596:
8542:
8518:
8496:
8470:
8445:
8419:
8364:
8342:
8311:
8276:
8250:
8221:
8189:
8151:
8116:
8078:
8049:
7826:
7787:
7756:
7720:
7676:
7653:
7631:
7582:
7560:
7523:
7476:
7431:
7408:
7316:
7296:
7200:Convolution of a test function with a distribution
7114:
7056:
6950:
6905:
6879:
6818:
6779:
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6700:
6564:
6537:
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6394:
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5610:
5541:
5475:
5432:{\displaystyle \left(f_{i}\right)_{i=1}^{\infty }}
5431:
5363:
5297:
5256:
5216:{\displaystyle \left(f_{i}\right)_{i=1}^{\infty }}
5215:
5145:
5078:
5037:
4997:{\displaystyle \left(f_{i}\right)_{i=1}^{\infty }}
4996:
4925:
4854:
4804:
4763:
4723:{\displaystyle \left(f_{i}\right)_{i=1}^{\infty }}
4722:
4604:
4563:
4518:
4498:
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4397:
4360:
4335:
4256:
4210:
4174:
4127:
4082:
4040:
4005:define all the functions above to be the constant
3997:
3968:
3923:
3897:
3858:
3838:
3806:
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3763:
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3606:
3586:
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3505:
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3413:
3385:
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2860:
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2500:
2477:
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2430:
2389:
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1553:
1517:
1469:
1431:
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1137:
1111:
922:
849:
816:
770:
691:
671:
651:
622:
592:
509:
464:
429:
360:
325:
286:
250:
228:
205:
179:
126:
87:
67:
10616:
10214:. Reading, MA: Addison-Wesley Publishing Company.
9934:Per Persson (username: md2perpe) (Jun 27, 2017).
8851:
7918: – Objects extending the notion of functions
7153:Differential operators acting on smooth functions
4052:topology induced by any one of the four families
1347:
1320:
1308:
1281:
1269:
1256:
12208:
10988:
10473:
10281:
9965:"Differential equations driven by rough signals"
7837:
6966:
6613:
6314:
5697:of positive real numbers such that the sequence
5098:
4869:
3305:
10582:
7209:
6146:{\displaystyle |T|\leq C(g_{1}+\cdots +g_{m});}
1432:{\displaystyle k\in \{0,1,2,\ldots ,\infty \}.}
1370:Definitions of test functions and distributions
817:{\displaystyle \alpha _{1}+\cdots +\alpha _{n}}
10888:Methods of the theory of generalized functions
10617:Narici, Lawrence; Beckenstein, Edward (2011).
10442:An Introduction to the Theory of Distributions
10227:An Introduction to the Theory of Distributions
7924: – Integral transform and linear operator
7126:
3744:{\displaystyle k\in \{0,1,2,\ldots ,\infty \}}
180:{\displaystyle \mathbb {N} =\{0,1,2,\ldots \}}
11507:
11023:
10689:
9927:
9228:
7935: – Limit of sequence of smooth functions
7885:Using holomorphic functions as test functions
7848:Tempered distributions and Fourier transform
7578:Locally integrable functions as distributions
7132:Preliminaries: Transpose of a linear operator
7034:intersects the support of only finitely many
6977:Gluing and distributions that vanish in a set
6972:Extensions and restrictions to an open subset
10478:. Cambridge, UK: Cambridge University Press.
10469:. Princeton, NJ: Princeton University Press.
10286:. Cambridge, UK: Cambridge University Press.
10196:. Princeton, NJ: Princeton University Press.
7880:Restriction of distributions to compact sets
6981:
6857:
6833:
6757:
6743:
6692:
6616:
6386:
6317:
5991:
5959:
4411:, whose definition is given in the article:
3738:
3708:
3564:
3540:
3442:
3428:
3377:
3308:
2766:
2744:
1423:
1393:
540:
528:
424:
379:
174:
150:
10566:Topological Vector Spaces and Distributions
10476:Introduction to the Theory of Distributions
10439:
10284:Introduction to the Theory of Distributions
10224:
10212:Topological Vector Spaces and Distributions
9948:: CS1 maint: numeric names: authors list (
8863:is a sequence that converges to the origin.
7194:
7011:
5086:to the origin (such a sequence is called a
517:the following notation defines a canonical
11514:
11500:
11030:
11016:
10966:
10944:
10922:
10900:
10800:
10774:
9857:
9843:: CS1 maint: location missing publisher (
9828:
8807:is not metrizable, a linear functional on
8693:
7843:Structure of distributions of finite order
7572:
7231:Spaces of test functions and distributions
7224:
6546:
4612:is endowed with its canonical LF topology.
4413:Spaces of test functions and distributions
4289:Spaces of test functions and distributions
3247:
2869:
2508:is also a complex-valued test function on
2204:
1178:{\displaystyle \beta _{i}\geq \alpha _{i}}
10522:
10489:Some Points of Analysis and their History
10448:
10167:
10150:
10062:
10049:
10009:
9980:
9470:
9406:
9291:
9184:
9126:
9091:
8936:
8512:
8461:
8358:
7864:
7551:
7396:
7142:
6992:Support in a point set and Dirac measures
6780:{\displaystyle \{f_{i}\}_{i=1}^{\infty }}
6484:
6221:
3465:{\displaystyle \{f_{i}\}_{i=1}^{\infty }}
3165:
2885:
2841:
2793:
2571:
910:
758:
639:
580:
500:
361:{\displaystyle \operatorname {supp} (f),}
143:
111:
11320:Group algebra of a locally compact group
10849:
10740:
10723:
10643:
10296:
10254:
10239:
8651:is defined to be the vector subspace of
8001:Distribution on a linear algebraic group
7632:{\displaystyle T\in {\mathcal {E}}'(U).}
7297:{\displaystyle T\in (C_{c}^{0}(U))'_{b}}
5167:maps null sequences to bounded subsets;
4855:{\displaystyle f\in C_{c}^{\infty }(U),}
4282:
2536:
465:{\displaystyle \operatorname {Dom} (f).}
10950:"Generalized function, derivative of a"
10753:
10560:
10483:
10474:Friedlander, F.G.; Joshi, M.S. (1998).
10461:
10282:Friedlander, F.G.; Joshi, M.S. (1998).
10206:
10191:
8990:to be contained in the finite interval
7795:whose support is completely outside of
6538:{\displaystyle f\in C_{c}^{\infty }(U)}
4948:maps null sequences to null sequences;
4267:Trivial extensions and independence of
3239:{\displaystyle f\in C_{c}^{\infty }(U)}
287:{\displaystyle \operatorname {Dom} (f)}
14:
12209:
11653:Uniform boundedness (Banach–Steinhaus)
10819:
10424:
10412:
10400:
10373:
10361:
10349:
10337:
10325:
10313:
10269:
10179:
10138:
10110:
10079:
9995:
9921:
9909:
9888:
9861:
9804:
9767:
9755:
9734:
9709:
9677:
9665:
9628:
9613:
9601:
9586:
9562:
510:{\displaystyle f,g:U\to \mathbb {C} ,}
213:will denote a non-negative integer or
11495:
11011:
10827:. Mineola, N.Y.: Dover Publications.
10653:
10509:
10385:
10123:
9962:
9873:
9816:
9779:
9690:
9653:
9574:
7965: – Type of differential operator
6491:{\displaystyle N_{K}\in \mathbb {N} }
5625:if there exists a divergent sequence
2488:. Every real-valued test function on
10665:McGraw-Hill Science/Engineering/Math
9534:{\displaystyle \phi (a)=\phi (b)=0.}
8015: – Type of generalized function
7869:
7180:Problem of multiplying distributions
6887:converges uniformly to zero for all
6273:{\displaystyle f\in C^{\infty }(K),}
4506:Said differently, a distribution on
4137:
4128:{\displaystyle A\cup B\cup C\cup D.}
3682:
2784:This function is a test function on
1852:will only be used when the notation
1489:real or complex-valued functions on
10989:Oberguggenberger, Michael (2001) ,
10972:"Generalized functions, product of"
9491:where the last equality is because
7721:{\displaystyle C_{c}^{\infty }(U),}
7080:
5824:There exists a continuous seminorm
5808:{\displaystyle C_{c}^{\infty }(U);}
5476:{\displaystyle C_{c}^{\infty }(U),}
5383:null sequences to bounded subsets;
4499:{\displaystyle C_{c}^{\infty }(U).}
2312:ranges over all compact subsets of
24:
10862:
10454:Harmonic Analysis and Applications
8881:
8841:{\displaystyle C_{c}^{\infty }(U)}
8824:
8800:{\displaystyle C_{c}^{\infty }(U)}
8783:
8537:
8497:{\displaystyle K\neq \varnothing }
8391:
8271:
8242:
8222:{\displaystyle 0\leq i<\infty }
8216:
8152:{\displaystyle \infty +1=\infty ,}
8143:
8131:
8070:
7775:such that for every test function
7740:
7701:
7608:
7588:Distributions with compact support
7304:then there exists a Radon measure
7185:Composition with a smooth function
7090:
6987:Distributions with compact support
6872:
6837:
6799:
6772:
6625:
6521:
6326:
6253:
6072:{\displaystyle C_{c}^{\infty }(U)}
6055:
6023:
5999:
5878:{\displaystyle C_{c}^{\infty }(U)}
5861:
5788:
5747:
5684:
5676:
5603:
5534:
5456:
5424:
5356:
5298:{\displaystyle C_{c}^{\infty }(U)}
5281:
5257:{\displaystyle C_{c}^{\infty }(U)}
5240:
5208:
5108:
5079:{\displaystyle C_{c}^{\infty }(U)}
5062:
5038:{\displaystyle C_{c}^{\infty }(U)}
5021:
4989:
4879:
4835:
4805:{\displaystyle C_{c}^{\infty }(U)}
4788:
4764:{\displaystyle C_{c}^{\infty }(U)}
4747:
4715:
4616:Characterizations of distributions
4605:{\displaystyle C_{c}^{\infty }(U)}
4588:
4564:{\displaystyle C_{c}^{\infty }(U)}
4547:
4479:
4398:{\displaystyle {\mathcal {D}}(U).}
4378:
4336:{\displaystyle C_{c}^{\infty }(U)}
4319:
3924:{\displaystyle K\neq \varnothing }
3771:is an arbitrary compact subset of
3735:
3579:
3544:
3506:{\displaystyle C_{c}^{\infty }(U)}
3489:
3457:
3317:
3222:
3088:{\displaystyle C_{c}^{\infty }(U)}
3071:
3030:
3004:{\displaystyle C_{c}^{\infty }(U)}
2987:
2953:{\displaystyle C_{c}^{\infty }(U)}
2936:
2830:
2684:
2584:
1420:
1324:
1285:
1260:
1239:{\displaystyle \beta \geq \alpha }
1138:{\displaystyle \beta \geq \alpha }
1077:
1049:
1029:
1010:
220:
25:
12258:
12222:Generalizations of the derivative
10928:"Generalized functions, space of"
9969:Revista Matemática Iberoamericana
8491:
7859:
7235:
7215:Convolution versus multiplication
7007:Global structure of distributions
6997:Distribution with compact support
6228:{\displaystyle N\in \mathbb {N} }
3989:
3918:
3172:{\displaystyle N\in \mathbb {N} }
3047:{\displaystyle {\mathcal {D}}(U)}
2901:{\displaystyle \mathbb {R} ^{2}.}
1944:
127:{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}.}
34:. For artificial landscapes, see
12191:
12190:
11476:
11475:
11402:Topological quantum field theory
10648:. Boston, MA: Pitman Publishing.
10467:Harmonic Analysis in Phase Space
10244:. Boston, MA: Pitman Publishing.
10194:Harmonic Analysis in Phase Space
7220:Tensor products of distributions
7148:Differentiation of distributions
4418:
3513:whose supports are contained in
2806:{\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}
2739:
652:{\displaystyle \mathbb {N} ^{n}}
75:is a fixed positive integer and
12178:With the approximation property
10991:"Generalized function algebras"
10504:, vol. 1–5, Academic Press
10491:, American Mathematical Society
10433:
10275:
10248:
10233:
10218:
10200:
10185:
10164:Gel'fand & Shilov 1966–1968
10156:
10144:
10116:
10055:
10042:
9989:
9956:
9851:
9822:
8916:
8903:
8866:
8760:
8117:{\displaystyle 0\leq i<k+1.}
8086:This is sometimes expressed as
7583:Test functions as distributions
6819:{\displaystyle C^{\infty }(K),}
5170:explicitly, for every sequence
4951:explicitly, for every sequence
4944:at the origin; in other words,
4677:explicitly, for every sequence
4299:Topology of uniform convergence
4182:we will henceforth assume that
3998:{\displaystyle K=\varnothing ,}
3594:converges uniformly to zero on
2872:of this function is the closed
1953:{\displaystyle K=\varnothing .}
36:Test functions for optimization
11641:Open mapping (Banach–Schauder)
10872:. Cambridge University Press.
10786:, Princeton University Press,
9568:
9522:
9516:
9507:
9501:
9467:
9461:
9455:
9449:
9403:
9397:
9391:
9385:
9356:
9350:
9344:
9338:
9329:
9323:
9317:
9311:
9288:
9282:
9276:
9270:
9222:
9216:
9210:
9204:
9181:
9175:
9169:
9163:
9123:
9117:
9111:
9105:
9062:
9050:
9044:
9038:
9009:
8997:
8943:{\displaystyle U=\mathbb {R} }
8889:{\displaystyle {\mathcal {P}}}
8835:
8829:
8794:
8788:
8744:
8733:
8679:
8668:
8638:
8621:
8588:
8576:
8553:
8526:-valued (that is, none of the
8409:
8403:
8382:
8321:
8312:{\displaystyle 0\leq i\leq k.}
8190:{\displaystyle 0\leq i<k+1}
8079:{\displaystyle i\neq \infty .}
8031:
7815:
7809:
7757:{\displaystyle C^{\infty }(U)}
7751:
7745:
7712:
7706:
7623:
7617:
7561:{\textstyle \int _{U}f\,d\mu }
7524:{\textstyle f\in C_{c}^{0}(U)}
7518:
7512:
7471:
7465:
7443:then the linear functional on
7377:
7371:
7362:
7356:
7282:
7278:
7272:
7254:
7189:
6951:{\displaystyle T(f_{i})\to 0;}
6939:
6936:
6923:
6810:
6804:
6675:
6667:
6647:
6643:
6637:
6620:
6596:
6592:
6586:
6579:
6532:
6526:
6376:
6368:
6348:
6344:
6338:
6321:
6304:
6300:
6294:
6287:
6264:
6258:
6137:
6105:
6095:
6087:
6066:
6060:
6031:{\displaystyle {\mathcal {P}}}
5901:
5893:
5872:
5866:
5799:
5793:
5681:
5467:
5461:
5292:
5286:
5251:
5245:
5105:
5073:
5067:
5032:
5026:
4917:
4911:
4876:
4846:
4840:
4799:
4793:
4758:
4752:
4599:
4593:
4558:
4552:
4490:
4484:
4389:
4383:
4369:and it may also be denoted by
4330:
4324:
4248:
4242:
4205:
4199:
4035:
4029:
3969:{\displaystyle f\in C^{k}(U),}
3960:
3954:
3882:
3874:
3672:{\displaystyle T(f_{i})\to 0.}
3663:
3660:
3647:
3500:
3494:
3367:
3359:
3339:
3335:
3329:
3312:
3295:
3291:
3285:
3278:
3233:
3227:
3082:
3076:
3041:
3035:
2998:
2992:
2947:
2941:
2756:
2748:
2693:
2687:
2593:
2587:
2581:
2563:
2551:
2425:
2419:
2273:
2267:
2237:
2231:
2170:
2164:
2128:
2122:
2076:
2070:
2034:
2028:
1992:
1986:
1914:
1908:
1875:
1869:
1839:
1827:
1781:
1775:
1717:
1711:
1664:
1658:
1632:
1626:
1590:
1578:
1548:
1542:
1464:
1458:
1213:{\displaystyle 1\leq i\leq n.}
1042:
1034:
902:
870:
840:
832:
750:
718:
577:
571:
565:
559:
496:
456:
450:
415:
409:
400:
394:
352:
346:
281:
275:
13:
1:
11198:Uniform boundedness principle
10857:. Oxford, UK: Pergamon Press.
10259:. Oxford, UK: Pergamon Press.
9547:
8471:{\displaystyle \mathbb {R} .}
8277:{\displaystyle k\neq \infty }
7971: – Mathematical solution
7838:Distributions of finite order
6967:Localization of distributions
4175:{\displaystyle K\subseteq U,}
3866:is a multi-index with length
3839:{\displaystyle 0\leq i\leq k}
2357:is a real-valued function on
2250:is equal to the union of all
2176:{\displaystyle f\in C^{k}(U)}
2082:{\displaystyle f\in C^{k}(K)}
2040:{\displaystyle f\in C^{k}(U)}
1723:{\displaystyle f\in C^{k}(K)}
1638:{\displaystyle f\in C^{k}(U)}
1518:{\displaystyle K\subseteq U,}
10693:; Wolff, Manfred P. (1999).
10500:; Shilov, G.E. (1966–1968),
8766:Even though the topology of
8519:{\displaystyle \mathbb {R} }
8365:{\displaystyle \mathbb {R} }
8019:Malgrange–Ehrenpreis theorem
7992:Distribution (number theory)
7963:Pseudo-differential operator
7477:{\displaystyle C_{c}^{0}(U)}
7210:Convolution of distributions
6729:{\displaystyle K\subseteq U}
6423:{\displaystyle K\subseteq U}
6174:{\displaystyle K\subseteq U}
5305:to the origin, the sequence
4425:Continuous linear functional
3414:{\displaystyle K\subseteq U}
3118:{\displaystyle K\subseteq U}
2431:{\displaystyle C_{c}^{k}(U)}
2305:{\displaystyle K\subseteq U}
2243:{\displaystyle C_{c}^{k}(U)}
2134:{\displaystyle C_{c}^{k}(U)}
1998:{\displaystyle C_{c}^{k}(U)}
7:
11862:Radially convex/Star-shaped
11847:Pre-compact/Totally bounded
10996:Encyclopedia of Mathematics
10977:Encyclopedia of Mathematics
10955:Encyclopedia of Mathematics
10933:Encyclopedia of Mathematics
10911:Encyclopedia of Mathematics
10515:Distributions and Operators
9829:Strichartz, Robert (1993).
8644:{\displaystyle C^{k}(K;U')}
8597:{\displaystyle C^{k}(K;U),}
7889:
7827:{\displaystyle T(\phi )=0.}
7127:Operations on distributions
1487:continuously differentiable
50:
10:
12263:
11548:Continuous linear operator
11341:Invariant subspace problem
10644:Petersen, Bent E. (1983).
10440:Barros-Neto, José (1973).
10240:Petersen, Bent E. (1983).
10225:Barros-Neto, José (1973).
8372:-valued map (for example,
8251:{\displaystyle k=\infty ,}
7933:Laplacian of the indicator
7851:
7767:There is a compact subset
7228:
7135:
6456:{\displaystyle C_{K}>0}
5917:{\displaystyle |T|\leq g;}
4422:
4292:
4286:
3898:{\displaystyle |p|\leq k.}
1845:{\displaystyle C^{k}(K;U)}
1596:{\displaystyle C^{k}(K;U)}
850:{\displaystyle |\alpha |.}
45:
40:Distribution § Mathematics
29:
12186:
11931:
11893:Algebraic interior (core)
11875:
11773:
11661:
11635:Vector-valued Hahn–Banach
11596:
11530:
11523:Topological vector spaces
11471:
11430:
11354:
11333:
11292:
11231:
11173:
11119:
11061:
11054:
10746:Théorie des distributions
10695:Topological Vector Spaces
10619:Topological Vector Spaces
10536:10.1007/978-3-642-96750-4
10028:10.1007/s00222-014-0505-4
9938:. Stack Exchange Network.
8750:{\displaystyle C^{k}(U')}
8685:{\displaystyle C^{k}(U')}
8057:being an integer implies
7138:Transpose of a linear map
6982:Support of a distribution
6404:For every compact subset
6155:For every compact subset
4408:the canonical LF topology
4257:{\displaystyle C^{k}(U).}
4153:: For any compact subset
3395:For every compact subset
3099:For every compact subset
2912:everywhere outside of it.
11723:Topological homomorphism
11583:Topological vector space
11310:Spectrum of a C*-algebra
10890:. Taylor & Francis.
10868:M. J. Lighthill (1959).
10748:, vol. 1–2, Hermann
10166:, v. 1, pp. 103–104 and
9998:Inventiones Mathematicae
8692:consisting of maps with
8530:above are ever equal to
8024:
7928:Homogeneous distribution
7195:Translation and symmetry
5926:There exists a constant
5771:is a closed subspace of
4211:{\displaystyle C^{k}(K)}
4041:{\displaystyle C^{k}(U)}
3814:is an integer such that
2279:{\displaystyle C^{k}(K)}
2089:for some compact subset
1920:{\displaystyle C^{k}(K)}
1881:{\displaystyle C^{k}(K)}
1787:{\displaystyle C^{k}(K)}
1554:{\displaystyle C^{k}(K)}
1470:{\displaystyle C^{k}(U)}
229:{\displaystyle \infty .}
32:Probability distribution
11407:Noncommutative geometry
10801:Strichartz, R. (1994),
10778:; Weiss, Guido (1971),
10444:. New York, NY: Dekker.
10255:Woodward, P.M. (1953).
10229:. New York, NY: Dekker.
8543:{\displaystyle \infty }
7854:Tempered representation
7573:Positive Radon measures
7225:Spaces of distributions
6710:For any compact subset
4942:sequentially continuous
4672:sequentially continuous
4346:space of test functions
4083:{\displaystyle A,B,C,D}
3630:{\displaystyle \alpha }
3014:space of test functions
1496:For any compact subset
12242:Differential equations
12237:Schwartz distributions
11781:Absolutely convex/disk
11463:Tomita–Takesaki theory
11438:Approximation property
11382:Calculus of variations
10906:"Generalized function"
10729:C. R. Acad. Sci. Paris
10192:Folland, G.B. (1989).
9535:
9485:
9069:
9019:
9018:{\displaystyle (a,b),}
8984:
8964:
8944:
8890:
8842:
8801:
8751:
8710:
8686:
8645:
8598:
8544:
8520:
8498:
8472:
8447:
8446:{\displaystyle x\in U}
8421:
8366:
8344:
8313:
8278:
8252:
8223:
8191:
8153:
8118:
8080:
8051:
7939:Limit of distributions
7896:Cauchy principal value
7865:Tempered distributions
7828:
7789:
7758:
7722:
7678:
7655:
7633:
7562:
7525:
7478:
7439:is a Radon measure on
7433:
7410:
7318:
7298:
7143:Differential operators
7116:
7058:
7057:{\displaystyle g_{p},}
6952:
6907:
6881:
6820:
6781:
6730:
6702:
6566:
6539:
6492:
6457:
6430:there exist constants
6424:
6396:
6274:
6229:
6201:
6200:{\displaystyle C>0}
6181:there exist constants
6175:
6147:
6073:
6032:
6008:
5946:
5945:{\displaystyle C>0}
5918:
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10691:Schaefer, Helmut H.
10660:Functional Analysis
10388:, pp. 177–181.
10376:, pp. 300–304.
10352:, pp. 262–264.
10340:, pp. 240–252.
10328:, pp. 150–160.
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10170:, Definition 2.5.8.
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