3017:
4694:
4174:
2494:
2604:
3586:
4350:
5434:
According to the Peano theorem, this equation has solutions, but the Picard–Lindelöf theorem does not apply since the right hand side is not
Lipschitz continuous in any neighbourhood containing 0. Thus we can conclude existence but not uniqueness. It turns out that this ordinary differential equation
2218:
3864:
3012:{\displaystyle {\begin{aligned}|y_{k,n+1}(x)-y_{k,n}(x)|&\leq \textstyle \left|\int _{0}^{x}|f_{k}(x',y_{k,n}(x'))-f_{k}(x',y_{k,n-1}(x'))|\,\mathrm {d} x'\right|\\&\leq \textstyle L_{k}\left|\int _{0}^{x}|y_{k,n}(x')-y_{k,n-1}(x')|\,\mathrm {d} x'\right|,\end{aligned}}}
5093:
4689:{\displaystyle {\begin{aligned}\textstyle \left|y_{k,\varphi _{k}(n)}(x)-\int _{0}^{x}f_{k}(x',y_{k,\varphi _{k}(n)}(x'))\,\mathrm {d} x'\right|&=|y_{k,\varphi _{k}(n)}(x)-y_{k,\varphi _{k}(n)+1}(x)|\\&\leq M_{k,\varphi _{k}(n)}(x_{2})\end{aligned}}}
3373:
3365:
2210:
4818:
3233:
5193:
2489:{\displaystyle {\begin{aligned}|y_{k,n+1}(x)|&\leq \textstyle \left|\int _{0}^{x}|f_{k}(x',y_{k,n}(x'))|\,\mathrm {d} x'\right|\\&\leq \textstyle |x|\sup _{R}|f_{k}|\\&\leq x_{2}\cdot 2C\leq y_{1},\end{aligned}}}
4169:{\displaystyle {\begin{aligned}|y_{k,n+1}(x')-y_{k,n+1}(x)|&\leq \textstyle \int _{x}^{x'}|f_{k}(x'',y_{k,n}(x''))|\,\mathrm {d} x''\\&\textstyle \leq |x'-x|\sup _{R}|f_{k}|\leq 2C|x'-x|,\end{aligned}}}
5390:
4275:
3704:
1685:
4355:
3869:
3378:
2609:
2223:
1836:
5741:
3856:
1217:
920:
818:
2023:
5335:, while the Peano theorem requires only continuity; but it proves both existence and uniqueness where the Peano theorem proves only the existence of solutions. To illustrate, consider the
2566:
3581:{\displaystyle {\begin{aligned}M_{k,0}(x)&\leq \textstyle \left|\int _{0}^{x}|f_{k}(x',0)|\,\mathrm {d} x'\right|\\&\leq |x|\textstyle \sup _{R}|f_{k}|\leq 2C|x|.\end{aligned}}}
1944:
5775:
1076:
986:
852:
4316:
1734:
5297:
4919:
2071:
1588:
1042:
4950:
5689:
5632:
3238:
1472:
1292:
5553:
5229:
4945:
4885:
4342:
3730:
1149:
3792:
1426:
1373:
5503:
5468:
5429:
3756:
1243:
4845:
3074:
3047:
2593:
1127:
5579:
5709:
5652:
5317:
4205:
2076:
1856:
1778:
1758:
1631:
1611:
1492:
1393:
1340:
1312:
1096:
784:
4702:
3079:
697:
438:
5098:
758:
Peano first published the theorem in 1886 with an incorrect proof. In 1890 he published a new correct proof using successive approximations.
181:
6015:
312:
4210:
927:
5344:
3594:
5907:"Beweis der Existenz einer Lösung der Differentialgleichung dy/dx = f(x, y) ohne Hinzunahme der Cauchy-Lipschitzchen Bedingung"
5658:
1636:
353:
5986:
243:
690:
261:
145:
564:
218:
1783:
5714:
930:
793:
239:
191:
1949:
5795:
307:
226:
201:
3801:
5232:
683:
1867:
1154:
857:
6005:
5746:
5336:
1047:
940:
823:
715:
618:
171:
5328:
343:
6010:
5978:
4280:
1698:
1688:
358:
186:
176:
5777:
alone is insufficient for guaranteeing the existence of solutions for the associated initial value problem.
633:
484:
387:
274:
196:
4180:
5088:{\displaystyle \textstyle y_{\psi (k)}(x)=\int _{0}^{x}f_{\psi (k)}(x',y_{\psi (k)}(x'))\,\mathrm {d} x'}
4890:
1099:
319:
234:
2501:
2028:
1497:
995:
524:
392:
3360:{\displaystyle \textstyle M_{k,n}(x)\leq L_{k}\left|\int _{0}^{x}M_{k,n-1}(x')\,\mathrm {d} x'\right|}
5238:
495:
473:
5670:
4851:
of a relatively compact set, so they are themselves relatively compact. Thus there is a subsequence
638:
5974:
5584:
1431:
1251:
489:
397:
5508:
5198:
4924:
4854:
4321:
3709:
1132:
569:
559:
551:
507:
5817:
Peano, G. (1890). "Demonstration de l'intégrabilité des équations différentielles ordinaires".
382:
5819:
3764:
1398:
1345:
747:
735:
628:
613:
502:
445:
427:
266:
22:
5473:
5438:
5395:
3735:
1222:
5887:
5661:
is a generalization of the Peano existence theorem with weaker conditions than continuity.
5332:
4823:
3052:
3025:
2571:
1692:
1105:
514:
450:
423:
2205:{\displaystyle \textstyle y_{k,n+1}(x)=\int _{0}^{x}f_{k}(x',y_{k,n}(x'))\,\mathrm {d} x'}
8:
5558:
5327:
The Peano theorem can be compared with another existence result in the same context, the
1737:
923:
546:
531:
432:
296:
135:
102:
93:
5926:
5836:
5694:
5637:
5302:
4848:
4190:
4184:
1841:
1763:
1743:
1616:
1596:
1477:
1378:
1325:
1297:
1081:
769:
541:
536:
419:
5982:
5968:
5940:
5930:
5871:
5840:
598:
377:
112:
4813:{\displaystyle \textstyle y_{k}(x)=\int _{0}^{x}f_{k}(x',y_{k}(x'))\,\mathrm {d} x'}
653:
5918:
5828:
1862:
663:
648:
5883:
603:
519:
46:
5331:. The Picard–Lindelöf theorem both assumes more and concludes more. It requires
658:
5867:
3795:
3228:{\displaystyle \textstyle M_{k,n}(x)=\sup _{x'\in }|y_{k,n+1}(x')-y_{k,n}(x')|}
731:
623:
608:
414:
402:
121:
5664:
The Peano existence theorem cannot be straightforwardly extended to a general
5999:
5964:
5665:
643:
593:
479:
107:
5947:
787:
711:
51:
5188:{\displaystyle \textstyle z(x)=\int _{0}^{x}f(x',z(x'))\,\mathrm {d} x'}
16:
Theorem regarding the existence of a solution to a differential equation
5922:
5872:"A continuous differential equation in Hilbert space without existence"
5832:
668:
743:
409:
130:
73:
63:
5906:
5796:"Sull'integrabilitĂ delle equazioni differenziali del primo ordine"
739:
84:
79:
68:
1248:
The solution need not be unique: one and the same initial value
4270:{\displaystyle (y_{k,\varphi _{k}(n)})_{n\in \mathbb {N} }}
5385:{\displaystyle y'=\left\vert y\right\vert ^{\frac {1}{2}}}
3699:{\displaystyle M_{k,n}(x)\leq 2CL_{k}^{n}|x|^{n+1}/(n+1)!}
5231:
are equicontinuous by the Arzelà –Ascoli theorem. By the
1680:{\displaystyle \textstyle \sup _{R}|f|\leq C<\infty }
5957:
Existence
Theorems for Ordinary Differential Equations
5102:
4954:
4706:
4358:
4067:
3959:
3517:
3413:
3242:
3083:
2872:
2688:
2392:
2274:
2080:
1787:
1640:
5970:
5749:
5717:
5697:
5673:
5640:
5587:
5561:
5511:
5476:
5441:
5398:
5347:
5305:
5241:
5201:
5101:
4953:
4927:
4893:
4857:
4826:
4705:
4353:
4324:
4283:
4213:
4193:
3867:
3804:
3767:
3738:
3712:
3597:
3376:
3241:
3082:
3055:
3028:
2607:
2574:
2504:
2221:
2079:
2031:
1952:
1870:
1844:
1786:
1766:
1746:
1701:
1639:
1619:
1599:
1500:
1480:
1434:
1401:
1381:
1348:
1328:
1300:
1254:
1225:
1157:
1135:
1108:
1084:
1050:
998:
943:
860:
826:
796:
772:
5939:
5937:
5854:
5769:
5735:
5703:
5683:
5646:
5626:
5573:
5547:
5497:
5462:
5423:
5384:
5311:
5291:
5223:
5187:
5087:
4939:
4913:
4879:
4839:
4812:
4688:
4336:
4310:
4269:
4199:
4168:
3850:
3786:
3750:
3724:
3698:
3580:
3359:
3227:
3068:
3041:
3011:
2587:
2560:
2488:
2204:
2065:
2017:
1938:
1850:
1831:{\displaystyle \textstyle \sup _{R}|f_{k}|\leq 2C}
1830:
1772:
1752:
1728:
1679:
1625:
1605:
1582:
1486:
1466:
1420:
1387:
1367:
1334:
1306:
1286:
1237:
1211:
1143:
1121:
1090:
1070:
1036:
980:
914:
846:
812:
778:
5736:{\displaystyle \mathbb {R} \times {\mathcal {H}}}
5997:
5955:Murray, Francis J.; Miller, Kenneth S. (1976) .
4096:
3519:
3113:
2407:
1966:
1789:
1642:
813:{\displaystyle \mathbb {R} \times \mathbb {R} }
5938:Coddington, Earl A.; Levinson, Norman (1955).
4887:converging uniformly to a continuous function
4277:converging uniformly to a continuous function
2018:{\displaystyle x_{2}=\min\{x_{1},y_{1}/(2C)\}}
691:
5954:
5435:has two kinds of solutions when starting at
3851:{\displaystyle -x_{2}\leq x<x'\leq x_{2}}
2012:
1969:
1939:{\displaystyle y_{k,n}:I=\to \mathbb {R} }
1294:may give rise to many different solutions
1212:{\displaystyle z'(x)=f\left(x,z(x)\right)}
915:{\displaystyle y'(x)=f\left(x,y(x)\right)}
698:
684:
5942:Theory of Ordinary Differential Equations
5770:{\displaystyle f\colon D\to \mathbb {R} }
5763:
5719:
5170:
5070:
4907:
4795:
4496:
4304:
4261:
4047:
3474:
3337:
2982:
2842:
2362:
2212:. They are well-defined by induction: as
2187:
1932:
1722:
1137:
1071:{\displaystyle z\colon I\to \mathbb {R} }
1064:
981:{\displaystyle y\left(x_{0}\right)=y_{0}}
847:{\displaystyle f\colon D\to \mathbb {R} }
840:
806:
798:
1780:. Without loss of generality, we assume
4311:{\displaystyle y_{k}:I\to \mathbb {R} }
1729:{\displaystyle f_{k}:R\to \mathbb {R} }
5998:
5963:
5959:(Reprint ed.). New York: Krieger.
5904:
5866:
5816:
5793:
3591:By induction, this implies the bound
146:List of named differential equations
5322:
4914:{\displaystyle z:I\to \mathbb {R} }
937:, then every initial value problem
219:Dependent and independent variables
13:
5728:
5676:
5172:
5072:
4934:
4797:
4498:
4331:
4049:
3719:
3476:
3339:
2984:
2844:
2561:{\displaystyle (x',y_{k,n+1}(x'))}
2364:
2189:
2066:{\displaystyle y_{k,0}(x)\equiv 0}
1673:
1583:{\displaystyle R=\times \subset D}
1037:{\displaystyle (x_{0},y_{0})\in D}
14:
6027:
931:first-order differential equation
354:Carathéodory's existence theorem
6016:Ordinary differential equations
5292:{\displaystyle z'(x)=f(x,z(x))}
5233:fundamental theorem of calculus
716:ordinary differential equations
714:, specifically in the study of
5860:
5855:Coddington & Levinson 1955
5847:
5810:
5787:
5759:
5684:{\displaystyle {\mathcal {H}}}
5659:Carathéodory existence theorem
5607:
5594:
5521:
5515:
5486:
5480:
5451:
5445:
5337:ordinary differential equation
5286:
5283:
5277:
5265:
5256:
5250:
5216:
5210:
5167:
5164:
5153:
5136:
5112:
5106:
5067:
5064:
5053:
5048:
5042:
5020:
5015:
5009:
4980:
4974:
4969:
4963:
4931:
4903:
4872:
4866:
4792:
4789:
4778:
4754:
4723:
4717:
4679:
4666:
4661:
4655:
4620:
4616:
4610:
4599:
4593:
4566:
4560:
4555:
4549:
4524:
4493:
4490:
4479:
4474:
4468:
4433:
4402:
4396:
4391:
4385:
4328:
4300:
4250:
4244:
4238:
4214:
4154:
4135:
4121:
4106:
4091:
4072:
4043:
4039:
4036:
4025:
3995:
3981:
3948:
3944:
3938:
3910:
3899:
3873:
3716:
3690:
3678:
3657:
3648:
3620:
3614:
3566:
3558:
3544:
3529:
3513:
3505:
3470:
3466:
3449:
3435:
3403:
3397:
3334:
3323:
3265:
3259:
3220:
3216:
3205:
3183:
3172:
3146:
3140:
3128:
3106:
3100:
3076:. Thus for maximal difference
2978:
2974:
2963:
2935:
2924:
2904:
2838:
2834:
2831:
2820:
2784:
2768:
2765:
2754:
2724:
2710:
2677:
2673:
2667:
2645:
2639:
2613:
2555:
2552:
2541:
2505:
2432:
2417:
2402:
2394:
2358:
2354:
2351:
2340:
2310:
2296:
2263:
2259:
2253:
2227:
2184:
2181:
2170:
2140:
2109:
2103:
2054:
2048:
2009:
2000:
1928:
1925:
1896:
1814:
1799:
1718:
1660:
1652:
1571:
1542:
1536:
1507:
1281:
1255:
1201:
1195:
1172:
1166:
1060:
1025:
999:
904:
898:
875:
869:
836:
441: / Integral solutions
1:
5979:American Mathematical Society
5898:
5627:{\displaystyle y=(x-C)^{2}/4}
3049:is the Lipschitz constant of
1494:is open there is a rectangle
1467:{\displaystyle x_{0}=y_{0}=0}
1287:{\displaystyle (x_{0},y_{0})}
5548:{\displaystyle y(x)=x^{2}/4}
5224:{\displaystyle f_{\psi (k)}}
4940:{\displaystyle k\to \infty }
4880:{\displaystyle y_{\psi (k)}}
4337:{\displaystyle n\to \infty }
3725:{\displaystyle n\to \infty }
1144:{\displaystyle \mathbb {R} }
485:Exponential response formula
231:Coupled / Decoupled
7:
1691:there exists a sequence of
10:
6032:
5911:Monatshefte fĂĽr Mathematik
4187:. In particular, for each
854:a continuous function and
761:
753:
5555:. The transition between
1689:Stone–Weierstrass theorem
619:Józef Maria Hoene-Wroński
565:Undetermined coefficients
474:Method of characteristics
359:Cauchy–Kowalevski theorem
5780:
2568:is within the domain of
1317:
746:of solutions to certain
344:Picard–Lindelöf theorem
338:Existence and uniqueness
5800:Atti Accad. Sci. Torino
5329:Picard–Lindelöf theorem
4207:there is a subsequence
3787:{\displaystyle y_{k,n}}
3706:which tends to zero as
1633:is continuous, we have
1421:{\displaystyle x-x_{0}}
1368:{\displaystyle y-y_{0}}
720:Peano existence theorem
570:Variation of parameters
560:Separation of variables
349:Peano existence theorem
5905:Osgood, W. F. (1898).
5771:
5737:
5705:
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5424:{\displaystyle \left.}
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5313:
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5195:, using the fact that
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780:
748:initial value problems
639:Carl David Tolmé Runge
182:Differential-algebraic
23:Differential equations
6006:Augustin-Louis Cauchy
5820:Mathematische Annalen
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742:which guarantees the
736:Augustin-Louis Cauchy
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614:Joseph-Louis Lagrange
446:Numerical integration
428:Exponential stability
291:Relation to processes
6011:Theorems in analysis
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5743:, the continuity of
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738:, is a fundamental
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299:(discrete analogue)
136:Population dynamics
103:Continuum mechanics
94:Applied mathematics
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