22:
31227:
27912:
1059:
30976:
27682:
32314:
15930:
807:
29014:
15363:
1409:
in intuitive terms: since the usual operations of addition, multiplication and exponentiation are not sufficient to designate ordinals very far, we attempt to systematically create new names for ordinals by taking the first one which does not have a name yet, and whenever we run out of names, rather
128:
The details of the definition of ordinal collapsing functions vary, and get more complicated as greater ordinals are being defined, but the typical idea is that whenever the notation system "runs out of fuel" and cannot name a certain ordinal, a much larger ordinal is brought "from above" to give a
20741:
function (or the Veblen functions of so-many-variables) to the allowed primitives beyond addition, multiplication and exponentiation, but that does not get us very far. To create more systematic notations for countable ordinals, we need more systematic notations for uncountable ordinals: we cannot
28610:
1675:
18369:
10980:
29395:
31222:{\displaystyle C_{n+1}(\alpha ,\beta )=\{\gamma +\delta \mid \gamma ,\delta \in C_{n}(\alpha ,\beta )\}\cup \{I(\gamma ,\delta )\mid \gamma ,\delta \in C_{n}(\alpha ,\beta )\}\cup \{\psi _{\pi }(\gamma )\mid \pi ,\gamma ,\in C_{n}(\alpha ,\beta )\land \gamma <\alpha \}}
10831:
31719:
231:
The choice of the ordinal collapsing function given as example below imitates greatly the system introduced by
Buchholz but is limited to collapsing one cardinal for clarity of exposition. More on the relation between this example and Buchholz's system will be said
15618:
18245:
12782:
23457:
Most definitions of ordinal collapsing functions found in the recent literature differ from the ones we have given in one technical but important way which makes them technically more convenient although intuitively less transparent. We now explain this.
14852:
31404:
30553:
26049:
23326:
functions: this makes the entire scheme much more elegant and more concise to define, albeit more difficult to understand. This system is also sensibly equivalent to the earlier (and much more difficult to grasp) "ordinal diagrams" of
Takeuti and
30728:
26601:
15091:
26440:
27907:{\displaystyle C_{\nu }^{n+1}(\alpha )=C_{\nu }^{n}(\alpha )\cup \{\gamma \mid P(\gamma )\subseteq C_{\nu }^{n}(\alpha )\}\cup \{\psi _{\nu }(\xi )\mid \xi \in \alpha \cap C_{\nu }^{n}(\alpha )\land \xi \in C_{u}(\xi )\land u\leq \omega \}}
26246:
11671:
26856:
was invented by Heinz
Bachmann, somewhat cumbersome as it depends on fundamental sequences for all limit ordinals; and the original definition is complicated. Michael Rathjen has suggested a "recast" of the system, which goes like so:
30636:
25174:
14599:
4701:
32160:
30353:
28776:
28078:
15756:
1054:{\displaystyle C(\alpha )_{n+1}=C(\alpha )_{n}\cup \{\beta _{1}+\beta _{2},\beta _{1}\beta _{2},{\beta _{1}}^{\beta _{2}}:\beta _{1},\beta _{2}\in C(\alpha )_{n}\}\cup \{\psi (\beta ):\beta \in C(\alpha )_{n}\land \beta <\alpha \}}
11536:), we might define standard sequences converging to any one of them (provided it is a limit ordinal, of course). Actually we will define canonical sequences for certain uncountable ordinals, too, namely the uncountable ordinals of
5855:
31307:
29160:
28870:
28690:
27992:
15207:
28465:
21312:
20254:
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11315:
21390:
1529:
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12606:
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11102:
21818:
15451:
32029:
2395:
3844:
30107:
29799:
29082:
25861:
24784:
12147:
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2754:
22944:
9875:
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27335:
26772:
19418:
4941:
26111:
18250:
18058:
10836:
30875:
30232:
23238:
21222:
15696:
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18998:
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14416:
4487:
30409:
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14333:
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19984:
15751:
4226:
3953:
2510:
2275:
121:
at the cost of extra technical difficulty), and then "collapse" them down to a system of notations for the sought-after ordinal. For this reason, ordinal collapsing functions are described as an
27676:
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17828:
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2233:
2025:
27140:
26989:
25323:
22521:
A variation on this scheme, which makes little difference when using just two (or finitely many) collapsing functions, but becomes important for infinitely many of them, is to define
20877:
20670:
20377:
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1767:
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32371:
31491:
27102:
26822:
26658:
26330:
25087:
function also defines a system of ordinal notations up to the
Bachmann–Howard ordinal: the notations, and the conditions for canonicity, are slightly different (for example,
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16881:
16849:
14195:
14025:
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23855:
23700:
22551:
22065:
21675:
19035:
less than the
Bachmann–Howard ordinal, but it cannot do this uniformly, i.e., it cannot prove the termination starting from the Bachmann–Howard ordinal. Some theories like
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9420:
9402:: Actually, we have defined canonical notations not just for ordinals below the Bachmann–Howard ordinal but also for certain uncountable ordinals, namely those whose
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32309:{\displaystyle \Psi _{\pi }^{\xi }(\alpha )=\min(\{\rho \in M^{\xi }\cap \pi :C(\alpha ,\rho )\cap \pi =\rho \land \pi ,\alpha \in C(\alpha ,\rho )\}\cup \{\pi \})}
28178:
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20760:
20531:
19842:
19821:
is the same in our weaker system as in our original system, except that now we cannot go beyond it). This does not even go as far as the
Feferman–Schütte ordinal.
19124:
19101:
18660:
15925:{\displaystyle \psi (0),\psi (\Omega ^{\Omega ^{2}+\Omega 2+\psi (0)}),\psi (\Omega ^{\Omega ^{2}+\Omega 2+\psi (\Omega ^{\Omega ^{2}+\Omega 2+\psi (0)})}),\ldots }
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12883:
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10705:
10685:
10453:
10192:
10172:
9460:
9298:
9115:
7872:
7792:
7772:
7752:
6994:
6820:
6592:
5640:
5611:
3522:
2829:
1487:
1456:
1407:
1363:
710:
377:
193:
32632:
13359:
2057:
1524:
30562:
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14503:
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30287:
28696:
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19215:
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11783:
7556:
7536:
5875:
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2097:
2077:
1303:
1283:
1164:
1079:
616:
596:
29009:{\displaystyle C_{n+1}(\alpha )=\{\gamma +\delta ,\gamma \delta ,\gamma ^{\delta },\psi (\eta )\mid \gamma ,\delta ,\eta \in C_{n}(\alpha );\eta <\alpha \}}
15358:{\displaystyle \psi (0),\psi (\Omega ^{\Omega }2+\Omega ^{\psi (0)}),\psi (\Omega ^{\Omega }2+\Omega ^{\psi (\Omega ^{\Omega }2+\Omega ^{\psi (0)})}),\ldots }
5780:
31233:
29088:
28616:
27918:
10142:
is equal to the
Bachmann–Howard ordinal, this is not a "canonical notation" in the sense we have defined (canonical notations are defined only for ordinals
28605:{\displaystyle C_{\nu }^{n+1}(\alpha )=\{\beta +\gamma ,\psi _{\mu }(\eta )\mid \mu ,\beta ,\gamma ,\eta \in C_{\nu }^{n}(\alpha )\land \eta <\alpha \}}
10505:
Canonicalness can be checked recursively: an expression is canonical if and only if it is either the iterated Cantor normal form of an ordinal less than
21227:
20192:
12280:
11230:
1670:{\displaystyle 0,1,2,3,\omega ,\omega +1,\omega +2,\omega \cdot 2,\omega \cdot 3,\omega ^{2},\omega ^{3},\omega ^{\omega },\omega ^{\omega ^{\omega }}}
17670:
Then it is true that this process always terminates (as any decreasing sequence of ordinals is finite); however, like (but even more so than for) the
21317:
32329:, so the collapse of this or that large cardinal must be mentioned simultaneously with the theory for which it provides a proof-theoretic analysis.
28392:
12552:
11147:
11024:
21742:
15388:
31969:
2336:
3781:
51:
30043:
29731:
29020:
25793:
24718:
12076:
4258:
3237:
2713:
22869:
9820:
6451:
and repeat the operation until the process terminates (any decreasing sequence of ordinals is finite). We call the resulting expression the
1680:
33261:
32337:
to describe the ordinal-theoretic strength of Kripke–Platek set theory augmented by the recursive inaccessibility of the class of ordinals (
140:, since the large countable ordinals defined and denoted by a given collapse are used to describe the ordinal-theoretic strength of certain
33308:
28180: by mathematician Denis Maksudov. The limit of this system, sometimes called the Extended Buchholz Ordinal, is much greater, equal to
27287:
26702:
19358:
18364:{\displaystyle \psi (\Omega ^{\Omega ^{2}\omega ^{2}2+\Omega \psi (\Omega ^{\Omega ^{2}\omega ^{2}2+\Omega \omega ^{\omega ^{\omega }}})})}
10975:{\displaystyle \varphi _{1}(\varphi _{\omega +1}(\varphi _{2}(0))+\varphi _{\omega }(0)^{\varphi _{3}(0)}42)^{\varphi _{1}(1729)\,\omega }}
4882:
31431:
function is based on the least weakly compact cardinal to create large countable ordinals. For a weakly compact cardinal K, the functions
29390:{\displaystyle \theta (\Omega ^{n-1}a_{n-1}+\cdots +\Omega ^{2}a_{2}+\Omega a_{1}+a_{0},b)=\varphi (a_{n-1},\ldots ,a_{2},a_{1},a_{0},b)}
26058:
17995:
10833:
is a canonical notation for an ordinal which is less than the
Feferman–Schütte ordinal: it can be written using the Veblen functions as
33448:
30812:
30168:
23184:
21172:
18371:
and so on. It appears as though the expressions are getting more and more complicated whereas, in fact, the ordinals always decrease.
15643:
5946:
32446:
to describe the ordinal-theoretic strength of Kripke–Platek set theory augmented by the recursive
Mahloness of the class of ordinals (
28183:
18941:
17659:
Start with any ordinal less than or equal to the
Bachmann–Howard ordinal, and repeat the following process so long as it is not zero:
16496:
14358:
4428:
33424:
30361:
28140:
26694:
4110:
14877:
14273:
28086:
24259:
23350:
23266:
ordinals from the start, he does not need to allow multiplication or exponentiation; also, Buchholz does not introduce the numbers
23240:, we get a system essentially equivalent to that introduced by Buchholz, the inessential difference being that since Buchholz uses
19465:
17833:
129:
name to that critical point. An example of how this works will be detailed below, for an ordinal collapsing function defining the
31848:
27145:
18063:
17182:
9880:
9587:
3527:
2543:
25199:
19730:
13428:
10826:{\displaystyle \psi (\Omega ^{\omega +1}\,\psi (\Omega )+\psi (\Omega ^{\omega })^{\psi (\Omega ^{2})}42)^{\psi (1729)\,\omega }}
31714:{\displaystyle \{\pi <K\mid C(\alpha ,\pi )\cap K=\pi \land \forall \xi \in C(\alpha ,\pi )\cap \alpha ,M^{\xi }{\mathsf {}}}
30115:
29990:
24839:
24162:
19309:
32068:
27201:
21680:
32325:
As noted in the introduction, the use and definition of ordinal collapsing functions is strongly connected with the theory of
24500:
20031:
17939:
15116:
11532:
To witness the fact that we have defined notations for ordinals below the Bachmann–Howard ordinal (which are all of countable
29927:
29810:
27033:
21857:
17886:
17408:
9323:
31724:
30915:
28803:
24789:
24553:
24315:
21956:
18755:
9634:
9442:
representation and use the canonical representation for every piece). This canonical notation is used for arguments of the
3726:
741:
118:
29873:
21569:
19931:
15704:
4176:
3925:
2482:
2238:
32736:
Rathjen has investigated the collapse of yet larger cardinals, with the ultimate goal of achieving an ordinal analysis of
27627:
25651:
24897:
22364:
17778:
15613:{\displaystyle \psi (0),\psi (\Omega ^{\Omega }\psi (0)),\psi (\Omega ^{\Omega }\psi (\Omega ^{\Omega }\psi (0))),\ldots }
5103:
4766:
4565:
4519:
27247:
is the Bachmann–Howard ordinal, the proof-theoretic ordinal of Kripke–Platek set theory with the axiom of infinity (KP).
25328:
11540:
cofinality (if we are to hope to define a sequence converging to them...) which are representable (that is, all of whose
9037:
6395:
24650:
23725:
19645:
19587:
18240:{\displaystyle \psi (\Omega ^{\Omega ^{2}\omega ^{2}2+\Omega \psi (\Omega ^{\Omega ^{2}\omega ^{2}2+\Omega \psi (0)})})}
17692:
17611:
17139:
5549:
5363:
5285:
4367:
2906:
28240:
24159:
by recursively applying the following functions: ordinal addition, multiplication and exponentiation, and the function
23643:
by recursively applying the following functions: ordinal addition, multiplication and exponentiation, and the function
20594:
18817:
12777:{\displaystyle \psi (\alpha ),\psi (\alpha )^{\psi (\alpha )},\psi (\alpha )^{\psi (\alpha )^{\psi (\alpha )}},\ldots }
3686:
2300:
1438:, that is); so we give names to uncountable ordinals and, since in the end the list of names is necessarily countable,
32380:
30414:
30240:
26994:
20800:
20127:
20082:
19522:
17354:
5242:
4987:
4808:
4059:
29680:
29527: introduced by German mathematician Gerhard Jäger in 1984. It was developed on the base of Buchholz's approach.
23860:
23646:
21428:
20552:
20382:
19989:
19423:
18665:
18495:
18397:
17504:
17264:
16451:
14624:
14077:
12236:
12032:
11441:
10103:
5880:
5442:
5150:
665:
73:
31901:
19260:
7019:
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33301:
29620:
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6739:
32540:
31525:
24018:
23408:
17735:
13660:
9926:
9677:
8479:
6600:
5195:
2595:
32034:
26914:
24948:
23152:(rather than "downward") induction, and this is important if we are to use infinitely many collapsing functions.
14672:
13540:
11527:
3375:
1954:
1820:
33349:
32578:
31934:
25866:
25499:
24451:
19158:
15459:
13384:
13136:
7952:
7679:
7644:
5020:
4559:
3876:
2433:
24201:
17309:
17058:
15168:
13858:
10396:
9975:
9720:
9518:
9473:
7987:
6088:
3465:
3080:
2954:
2864:
2196:
1988:
27109:
26956:
25292:
20849:
20642:
20341:
19788:
18595:
17575:
17103:
16889:
16227:
16058:
14947:
14847:{\displaystyle \psi (0),\psi (\Omega ^{2}3+\psi (0)),\psi (\Omega ^{2}3+\psi (\Omega ^{2}3+\psi (0))),\ldots }
12613:
11405:
11320:
10988:
8363:
8261:
8168:
7917:
7177:
6276:
5513:
1874:
31399:{\displaystyle \psi _{\pi }(\alpha )=\min(\{\beta <\pi \mid C(\alpha ,\beta )\cap \pi \subseteq \beta \})}
25694:
21517:
21087:
20432:
14229:
10352:
9233:
4706:
1742:
1415:
295:
29534:
27588:
26120:
25899:
25398:
21913:
16560:
14030:
12931:
12789:
10555:
10257:
9002:
8613:
8444:
8084:
8046:
7601:
6944:
6329:
3651:
2400:
113:, whose principle is to give names to certain ordinals much larger than the one being defined, perhaps even
31570:
30548:{\displaystyle \gamma \in C_{\pi }(\gamma )\Rightarrow \psi _{\pi }(\gamma )\in C_{\kappa }^{n+1}(\alpha )}
27340:
26299:
26271:
26044:{\displaystyle \{\alpha \in OT:\alpha <\psi _{\Omega }(\omega _{n}(\mathbb {K} _{N}+1))\};n=1,2,\ldots }
25433:
24418:
22313:
19012:
16732:
6362:
4841:
161:
153:
25541:
25439:
21130:
19889:
19847:
8549:
7050:
6670:
6056:
33388:
33294:
28155:
27376:
26333:
25745:
22268:
21054:
9512:, the canonical ordinal notation defined coincides with the iterated Cantor normal form (by definition).
6220:
5590:
2788:
2644:
130:
31810:
29401:
28793:
function previously used throughout this article; it is a simpler, more efficient version of Buchholz's
23976:
22781:
22443:
impredicative: to create notations for countable ordinals we use notations for certain ordinals between
21395:
20886:
17019:
16983:
16348:
16312:
16188:
16152:
14467:
13613:
13280:
8847:
6168:
31775:
29468:
27619:
26606:
26445:
25767:
23511:
20297:
19703:
18893:, so the index of the function increases it is applied, then we create a much faster growing function:
8523:
8398:
7495:
7212:
6644:
1927:
1793:
715:
492:
169:
32134:
30723:{\displaystyle \psi _{\kappa }(\alpha )=\min(\{\xi \in \kappa \mid \xi \notin C_{\kappa }(\alpha )\})}
29436:
26663:
26596:{\displaystyle \psi _{\Omega }(\varepsilon _{\Omega _{\omega }+1})=|{\mathsf {KPl}}|={\mathsf {TFBO}}}
25470:
25061:
25009:
24689:
24369:
20765:
19042:
16694:
16659:
16624:
16387:
13814:
13030:
12497:
11486:
10508:
9789:
9762:
9560:
8720:
7438:-number, so ordinals less than it are closed under addition, multiplication and exponentiation). And
5713:
5410:
5332:
2996:
2169:
2142:
1745:
136:
The use and definition of ordinal collapsing functions is inextricably intertwined with the theory of
33481:
32989:
32344:
31461:
31422:
27081:
26797:
26633:
26305:
25388:
19001:
18896:
16854:
16822:
15086:{\displaystyle \psi (0),\psi (\Omega ^{\psi (0)}),\psi (\Omega ^{\psi (\Omega ^{\psi (0)})}),\ldots }
14168:
13992:
12430:
8956:
7053:, it could be expressed using sums, products and exponentiation from elements less than it, hence in
6062:
5062:
4946:
4304:
322:
265:
34:
27561:
26472:
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23676:
22527:
22041:
21651:
18439:
17546:
17471:
16954:
16793:
16595:
16422:
16283:
16123:
13934:
11716:
11376:
6825:
5484:
1239:
1174:
1113:
518:
410:
33506:
33235:
33020:
Bayerische Akademie der Wissenschaften. Mathematisch-Naturwissenschaftliche Klasse Sitzungsberichte
32491:
31496:
29584:
28797:
function defined by David Madore. Its use in this article lead to widespread use of the function.
28291:
27410:
26794:
is either the least recursively inaccessible ordinal or the least weakly inaccessible cardinal and
26435:{\displaystyle \psi _{\Omega }(\Omega _{\omega })=|{\mathsf {\Pi _{1}^{1}-CA_{0}}}|={\mathsf {BO}}}
25615:
17543:
itself has no canonical notation, it is also useful to define a canonical sequence for it: this is
10194:
function are always less than those of the "outer" one (this is a consequence of the fact that the
7466:
463:
175:
Ordinal collapsing functions are typically denoted using some variation of either the Greek letter
38:
30:
33120:
32739:
32637:
23796:
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6005:
4340:
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298:
33317:
33268:
32771:
32454:
31434:
26884:
26241:{\displaystyle \psi _{\Omega }(\varepsilon _{\Omega +1})=|{\mathsf {KP\omega }}|={\mathsf {BHO}}}
23050:
23003:
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270:
145:
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110:
32768:-comprehension (which is proof-theoretically equivalent to the augmentation of Kripke–Platek by
32703:
27512:
24623:
21024:
is a new ordinal guaranteed to be greater than all the ordinals which will be constructed using
20675:
20262:
19129:
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22976:
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22177:
21826:
21027:
20949:
18811:
17671:
11788:
11666:{\displaystyle \alpha =\delta ^{\beta _{1}}\gamma _{1}+\cdots +\delta ^{\beta _{k}}\gamma _{k}}
6883:
55:
32464:
29176:
26469:
is either the least limit of admissible ordinals or the least limit of infinite cardinals and
20490:
17232:
16925:
16764:
16094:
16032:
16009:
14441:
14200:
13963:
13584:
2519:
33405:
32915:
Arai, Toshiyasu (September 2020). "A simplified ordinal analysis of first-order reflection".
32520:
32334:
27541:
26864:
26497:
26251:
26052:
25725:
25370:
25179:
24122:
24102:
23956:
23936:
23776:
23606:
23586:
23464:
23330:
23289:
22761:
22710:
22616:
22596:
22446:
22224:
22130:
22110:
21461:
20976:
20704:
20470:
20172:
19567:
19240:
19018:
18472:
which counts the number of steps of the process before termination if one always selects the
18377:
17689:
To give some flavor of what the process feels like, here are some steps of it: starting from
15989:
14145:
13785:
13765:
13260:
13240:
13220:
13200:
13180:
13096:
13010:
12990:
12966:
12888:
12848:
12824:
12654:
12532:
12474:
12410:
12390:
12365:
11871:
11745:
11696:
11676:
11570:
11543:
11356:
11107:
10650:
10630:
10610:
10590:
10535:
10485:
10332:
10312:
10237:
10217:
10197:
10060:
10040:
9425:
9405:
9379:
9303:
9213:
9160:
9140:
9120:
9076:
8933:
8913:
8893:
8873:
8807:
8787:
8747:
8700:
8677:
8657:
8593:
8424:
8314:
8294:
8241:
8221:
8201:
8148:
8022:
7877:
7817:
7581:
7561:
7401:
7356:
7336:
7291:
7238:
7157:
7117:
6714:
6545:
6525:
6478:
6456:
6434:
6309:
6256:
6194:
6148:
6038:
5926:
5760:
5740:
5693:
5673:
5653:
3592:
3217:
3197:
3031:
2280:
2122:
2102:
1907:
1854:
1773:
1421:
1368:
1328:
1308:
641:
621:
439:
390:
247:
202:
32673:
32457:
to describe the ordinal-theoretic strength of Kripke–Platek set theory augmented by certain
30631:{\displaystyle C_{\kappa }(\alpha )=\bigcup \limits _{n<\omega }C_{\kappa }^{n}(\alpha )}
25592:
25169:{\displaystyle \psi (\Omega +1+\alpha )={\tilde {\psi }}({\tilde {\psi }}(\Omega )+\alpha )}
24142:
23626:
18720:
14594:{\displaystyle \psi (0),\psi (\Omega \psi (0)),\psi (\Omega \psi (\Omega \psi (0))),\ldots }
13811:, then we can state this more clearly using recursion. Using this notation, we can see that
7897:
4696:{\displaystyle \psi (\Omega ^{\Omega }+\Omega ^{\alpha })=\varphi _{\Gamma _{0}+\alpha }(0)}
33467:
33378:
33368:
32458:
30348:{\displaystyle \gamma <\pi <\kappa \Rightarrow \gamma \in C_{\kappa }^{n+1}(\alpha )}
28771:{\displaystyle \psi _{\nu }(\alpha )=\min(\{\gamma \mid \gamma \notin C_{\nu }(\alpha )\})}
28163:
28073:{\displaystyle \psi _{\nu }(\alpha )=\min(\{\gamma \mid \gamma \notin C_{\nu }(\alpha )\})}
27267:
26839:
26630:
is either the least limit of admissible ordinals or the least limit of infinite cardinals,
25392:
25038:
24989:
24603:
24398:
24239:
23916:
23705:
23484:
23309:
23104:
23030:
22690:
22248:
22204:
22018:
20745:
20516:
19827:
19109:
19086:
18638:
15623:
15368:
15096:
14857:
14604:
14421:
14338:
14125:
13520:
13116:
13076:
13056:
12908:
12868:
11127:
10707:
always trumps the lesser or even arbitrary sums, products and exponentials of the lesser).
10690:
10670:
10438:
10177:
10157:
9445:
9283:
9100:
7857:
7777:
7757:
7737:
6979:
6805:
6577:
5625:
5596:
5404:
5326:
3507:
2814:
2166:, using addition, multiplication and exponentiation. This contains all the ordinals up to
1472:
1441:
1392:
1348:
695:
362:
178:
32617:
24600:
is always satisfied. But at this point the functions start to differ: while the function
13344:
10647:. The order is checked by lexicographic verification at all levels (keeping in mind that
2033:
1500:
8:
384:
149:
7441:
7376:
7311:
3337:
itself, using addition, multiplication and exponentiation. The smallest ordinal not in
33453:
33248:
33205:
33176:
33168:
33075:
32974:
32942:
32924:
26777:
25773:
25572:
24082:
24062:
23566:
23546:
23403:, which could be called the Takeuti-Feferman–Buchholz ordinal, and which describes the
23269:
22576:
22556:
22090:
22070:
19220:
19200:
18715:
18475:
17663:
if the ordinal is a successor, subtract one (that is, replace it with its predecessor),
16263:
15969:
13745:
13725:
13364:
11768:
7541:
7521:
5860:
5850:{\displaystyle \delta ^{\beta _{1}}\gamma _{1}+\ldots +\delta ^{\beta _{k}}\gamma _{k}}
3873:
has been constructed there is nothing to prevent from going beyond this). However, at
3177:
3157:
2082:
2062:
1288:
1268:
1149:
1064:
659:
601:
581:
380:
87:
33188:
Kahle, Reinhard (2002). "Mathematical proof theory in the light of ordinal analysis".
33116:
32488:-reflection). Very roughly speaking, this proceeds by introducing the first cardinal
31302:{\displaystyle C(\alpha ,\beta )=\bigcup \limits _{n<\omega }C_{n}(\alpha ,\beta )}
29155:{\displaystyle \psi (\alpha )=\min(\{\beta \in \Omega \mid \beta \notin C(\alpha )\})}
28685:{\displaystyle C_{\nu }(\alpha )=\bigcup \limits _{n<\omega }C_{\nu }^{n}(\alpha )}
27987:{\displaystyle C_{\nu }(\alpha )=\bigcup \limits _{n<\omega }C_{\nu }^{n}(\alpha )}
21854:
we can somehow write down all countable ordinals!) for the uncountable ordinals below
17666:
if it is a limit, replace it by some element of the canonical sequence defined for it.
33358:
33107:
33049:
32946:
27403:. This function is likely the most well known out of all OCFs. The definition is so:
9584:
notation (the pieces being themselves written in iterated Cantor normal form): e.g.,
9422:-pieces are less than the Bachmann–Howard ordinal (viz.: write them in iterated base
5236:
318:
107:
33209:
33180:
32986:
Jäger, Gerhard; Pohlers, Wolfram (1983). "Eine beweistheoretische Untersuchung von (
13133:
will be the first fixed point of a certain (continuous and non-decreasing) function
6594:
is non-decreasing and continuous (this is more or less obvious from its definition).
1489:
is able to produce notations for certain ordinals, we now compute its first values.
165:
33252:
33240:
33197:
33160:
33103:
33079:
33067:
33044:
32966:
32934:
32697:
32326:
26268:
is either the least recursively regular ordinal or the least uncountable cardinal,
26114:
25395:
at the cost of extra technical difficulty). Throughout the course of this article,
23404:
22310:— which is the Bachmann–Howard ordinal. But now we can get beyond this, and
19036:
19008:
17685:
the proof of termination may be out of reach of certain weak systems of arithmetic.
137:
103:
21307:{\displaystyle \psi _{1}(\Omega )=\psi _{1}(\psi _{1}(0))=\varepsilon _{\Omega 2}}
20919:
be the smallest ordinal which cannot be expressed from all countable ordinals and
20249:{\displaystyle \psi (\Omega \omega )=\varepsilon _{\omega }=\varphi _{1}(\omega )}
19700:
and so on, but our construction ends there as there is no way to get at or beyond
10502:), but it is not a notation produced by the inductive algorithm we have outlined.
10393:
does not occur as a notation: it is a well-defined expression (and it is equal to
33328:
33218:
33088:
12355:{\displaystyle \delta ^{\beta _{k}}(\gamma _{k}-1)+\delta ^{\beta _{k}-1}\delta }
11310:{\displaystyle \psi (\Omega )^{\psi (\Omega )}=\varphi _{2}(0)^{\varphi _{2}(0)}}
10077:-base, and the pieces themselves need to be expressed using the largest possible
3586:
2537:
122:
12382:
in this expression by the elements of the fundamental sequence converging to it.
6085:). Of course, it may quite well be that the expression is uninteresting, i.e.,
33337:
32443:
25282:
21385:{\displaystyle \psi _{1}(\psi _{1}(1))=\varepsilon _{\varepsilon _{\Omega +1}}}
1418:, we seek them in the ordinals far beyond the ones we are constructing (beyond
33244:
33201:
18492:'th element from the canonical sequence (this function satisfies the identity
12176:
in the last term by the elements of the fundamental sequence converging to it;
8654:
Using the facts above, we can define a (canonical) ordinal notation for every
33500:
32954:
32374:
28454:{\displaystyle C_{\nu }^{0}(\alpha )=\{\beta \mid \beta <\Omega _{\nu }\}}
23443:
19844:
yet some more to allow only addition as a primitive for construction, we get
13007:
itself). Obviously it doesn't make sense to define a sequence converging to
12601:{\displaystyle \omega ,\omega ^{\omega },\omega ^{\omega ^{\omega }},\ldots }
11220:{\displaystyle \psi (\Omega ^{\psi (\Omega )})=\varphi _{\varphi _{2}(0)}(0)}
11097:{\displaystyle \psi (\Omega ^{\psi (\Omega )})=\varphi _{\varphi _{2}(0)}(0)}
157:
141:
32862:
Jäger & Pohlers, 1983 (Bayer. Akad. Wiss. Math.-Natur. Kl. Sitzungsber.)
29173:
Chris Bird devised the following shorthand for the extended Veblen function
24011:
We can now make a change to the definition which makes it subtly different:
21813:{\displaystyle \psi _{1}(\Omega _{2}+1)=\varepsilon _{\zeta _{\Omega +1}+1}}
15446:{\displaystyle \rho =\Omega ^{\Omega }2+\Omega ^{\psi (\Omega ^{\Omega }3)}}
33286:
32024:{\displaystyle (\xi ,\pi ,\delta )\rightarrow \Psi _{\pi }^{\xi }(\delta )}
25281:
is an ordinal collapsing function introduced by Toshiyasu Arai (husband of
20467:, at which point we can go no further since we cannot do anything with the
13027:
in this case; however, what we can define is a sequence converging to some
5642:
function defines notations for ordinals up to the Bachmann–Howard ordinal.
2390:{\displaystyle \psi (\alpha )=\varepsilon _{\alpha }=\varphi _{1}(\alpha )}
196:
20259:
If we alter the definition even more, to allow nothing except psi, we get
9157:: it remains to show that every piece of this representation is less than
3839:{\displaystyle \psi (\Omega +\zeta _{0})=\varepsilon _{\zeta _{0}\cdot 2}}
133:(i.e., defining a system of notations up to the Bachmann–Howard ordinal).
28284:
denotes the first omega fixed point. The function is defined as follows:
33032:
32938:
32575:
In a 2015 paper, Toshyasu Arai has created ordinal collapsing functions
30749:-weakly inaccessible if it is uncountable, regular and it is a limit of
30102:{\displaystyle \varphi _{\beta }(\gamma )\in C_{\kappa }^{n+1}(\alpha )}
29794:{\displaystyle C_{\kappa }^{0}(\alpha )=\{\kappa ^{-}\}\cup \kappa ^{-}}
29077:{\displaystyle C(\alpha )=\bigcup \limits _{n<\omega }C_{n}(\alpha )}
25856:{\displaystyle \alpha =\psi _{\Omega }(\omega _{n}(\mathbb {K} _{N}+1))}
25006:
so the extra condition does not come in play). Note in particular that
24779:{\displaystyle {\tilde {\psi }}(\zeta _{0})=\varepsilon _{\zeta _{0}+1}}
12142:{\displaystyle \delta ^{\beta _{k}}(\gamma _{k}-1)+\delta ^{\beta _{k}}}
5613:
is constant, and we can go no further with the definition we have given.
4294:{\displaystyle \varphi _{1}\colon \alpha \mapsto \varepsilon _{\alpha }}
3273:{\displaystyle \varphi _{1}\colon \alpha \mapsto \varepsilon _{\alpha }}
2749:{\displaystyle \varphi _{1}\colon \alpha \mapsto \varepsilon _{\alpha }}
33071:
32978:
22939:{\displaystyle \psi (\psi _{1}(\Omega _{2}))=\psi (\zeta _{\Omega +1})}
11533:
9870:{\displaystyle \omega ^{\omega ^{\varepsilon _{1}+\varepsilon _{0}+1}}}
1734:{\displaystyle \Omega ,\Omega +1,\omega ^{\Omega +1},\Omega ^{\Omega }}
226:
91:
33172:
29165:
This function was used by Chris Bird, who also invented the next OCF.
20721:, it is always the least upper bound of it). One could try to add the
13855:
quite easily. We can define the rest of the sequence using recursion:
5617:
32890:
27330:{\displaystyle \psi _{\nu }:{\mathsf {On}}\rightarrow {\mathsf {On}}}
26824:
is Kripke–Platek set theory with a recursively inaccessible universe.
26767:{\displaystyle \psi _{\Omega }(\varepsilon _{I+1})=|{\mathsf {KPi}}|}
22439:-number after the Bachmann–Howard ordinal). We have made our system
20639:
is no larger, with our definitions, is that there is no notation for
19413:{\displaystyle \psi (\psi (0))=\omega ^{\omega ^{\omega ^{\omega }}}}
18374:
Concerning the first statement, one could introduce, for any ordinal
10154:
The notations thus defined have the property that whenever they nest
7398:
is closed under addition, multiplication and exponentiation (because
4936:{\displaystyle \psi (\Omega ^{\Omega }(1+\alpha ))=\Gamma _{\alpha }}
32970:
5436:
predicatively using transfinitely-but-predicatively-many variables),
33164:
32929:
11563:
The following rules are more or less obvious, except for the last:
8674:
less than the Bachmann–Howard ordinal. We do this by induction on
6495:
and the various coefficients involved (including as exponents) the
1389:
Here is an attempt to explain the motivation for the definition of
32957:(1967). "Consistency proofs of subsystems of classical analysis".
26106:{\displaystyle \psi _{\Omega }(\varepsilon _{\mathbb {K} _{N}+1})}
22973:). This change is inessential because, intuitively speaking, the
19197:(as this is the smallest ordinal which cannot be constructed from
18053:{\displaystyle \psi (\Omega ^{\Omega ^{2}(\omega ^{2}2+\omega )})}
30870:{\displaystyle sup(\{I(\alpha ,\gamma )\mid \gamma <\beta \})}
30227:{\displaystyle I_{\beta }(\gamma )\in C_{\kappa }^{n+1}(\alpha )}
23233:{\displaystyle \Omega _{1},\Omega _{2},\ldots ,\Omega _{\omega }}
21217:{\displaystyle \psi _{1}(\alpha )=\varepsilon _{\Omega +\alpha }}
20762:
function itself because it only yields countable ordinals (e.g.,
15691:{\displaystyle \rho =\Omega ^{\Omega }\psi (\Omega ^{\Omega +1})}
13927:
Here are some examples for the last (and most interesting) case:
5995:{\displaystyle \beta _{1}>\beta _{2}>\cdots >\beta _{k}}
4838:
enumerates the fixed points in question (which can also be noted
3639:
32377:. Roughly speaking, this collapse can be obtained by adding the
28230:{\displaystyle \psi _{0}(\Omega _{\Omega _{\Omega _{\cdots }}})}
25569:-reflecting ordinal at the cost of extra technical difficulty),
18993:{\displaystyle g_{\psi (\Omega ^{\Omega ^{\omega }\omega })}(n)}
16547:{\displaystyle \psi (\Omega )^{\psi (\Omega )^{\psi (\Omega )}}}
14411:{\displaystyle \rho =\Omega +\psi (\Omega 2)=\Omega +\zeta _{1}}
8476:), the lemma gives the desired property. On the other hand, if
6165:; it may also be the case that the expression is trivial (i.e.,
4482:{\displaystyle \psi (\Omega ^{\alpha })=\varphi _{1+\alpha }(0)}
1871:
by assumption). The upper bound of the ordinals it contains is
32333:
Gerhard Jäger and Wolfram Pohlers described the collapse of an
30404:{\displaystyle \gamma \in \alpha \cap C_{\kappa }^{n}(\alpha )}
19007:
Concerning the second statement, a precise version is given by
13361:
is a variable) and perform a repeated iteration (starting from
10627:
representation all of whose pieces are canonical and less than
9280:(they are closed under the same operations, since the value of
4166:{\displaystyle \psi (\Omega (1+\alpha ))=\varphi _{2}(\alpha )}
22221:
function itself (to previously constructed ordinals less than
20973:
function itself (to previously constructed ordinals less than
20533:
function comes not so much from the operations allowed on the
14934:{\displaystyle \rho =\Omega ^{2}3+\psi (\Omega ^{2}3+\Omega )}
14328:{\displaystyle \psi (\Omega +\psi (\Omega +\psi (0))),\ldots }
1365:
function itself (to previously constructed ordinals less than
28132:{\displaystyle \psi _{0}(\varepsilon _{\Omega _{\omega }+1})}
24305:{\displaystyle {\tilde {C}}(\alpha ,\rho )\cap \Omega =\rho }
23396:{\displaystyle \psi _{0}(\varepsilon _{\Omega _{\omega }+1})}
20169:. But this time we can go no further: since we can only add
19512:{\displaystyle \psi (\Omega +1)={\varepsilon _{0}}^{\omega }}
17876:{\displaystyle \psi (\Omega ^{\Omega ^{2}\omega ^{\omega }})}
11587:
representations: to define a standard sequence converging to
4489:
for some time: this remains true until the first fixed point
233:
220:
33058:
Rathjen, Michael (1991). "Proof-theoretic analysis of KPM".
31891:{\displaystyle (\xi ,\eta )\rightarrow \varphi (\xi ,\eta )}
31563: are defined in mutual recursion in the following way:
27189:{\displaystyle C^{\Omega }(\alpha ,\rho )\cap \Omega =\rho }
19126:
above to omit exponentiation from the repertoire from which
18814:. If we instead make a function that satisfies the identity
18121:{\displaystyle \psi (\Omega ^{\Omega ^{2}(\omega ^{2}2+1)})}
17222:{\displaystyle \psi (\Omega ^{\omega ^{\omega ^{\omega }}})}
9916:{\displaystyle {\varepsilon _{1}}^{\varepsilon _{0}\omega }}
9624:{\displaystyle \omega ^{\omega ^{\varepsilon _{0}+\omega }}}
9177:(so we have already defined a notation for it). If this is
3578:{\displaystyle \psi (\Omega +1)=\varepsilon _{\zeta _{0}+1}}
2582:{\displaystyle \varphi _{1}(\alpha )=\varepsilon _{\alpha }}
29492:, and its outputs are limited by the small Veblen ordinal.
25538:-indescribable cardinal (it may be replaced with the least
25251:{\displaystyle \psi (\Omega 2)={\tilde {\psi }}(\Omega +1)}
22490:
which are themselves defined using certain ordinals beyond
20544:
20513:
In both cases, we find that the limitation on the weakened
19778:{\displaystyle \psi (\Omega ^{\omega })=\phi _{\omega }(0)}
13510:{\displaystyle 0,h(\psi (0)),h(\psi (h(\psi (0)))),\ldots }
11521:
10552:
representation all of whose pieces are canonical, for some
1985:
and so on), but that is not so important. This shows that
32410:
function itself to the list of constructions to which the
30158:{\displaystyle \beta ,\gamma \in C_{\kappa }^{n}(\alpha )}
30033:{\displaystyle \beta ,\gamma \in C_{\kappa }^{n}(\alpha )}
29507: is a hierarchy of single-argument ordinal functions
27538:
be the set of distinct terms in the Cantor normal form of
24887:{\displaystyle {\tilde {\psi }}(\zeta _{0})>\zeta _{0}}
24191:{\displaystyle {\tilde {\psi }}\upharpoonright _{\alpha }}
19348:{\displaystyle \psi (\omega )=\omega ^{\omega ^{\omega }}}
13257:
is called for (something which cannot exist), replace the
32121:{\displaystyle \Xi (\alpha )=\min(M^{\alpha }\cup \{K\})}
27240:{\displaystyle \psi _{\Omega }(\varepsilon _{\Omega +1})}
21732:{\displaystyle \psi _{1}(\Omega _{2})=\zeta _{\Omega +1}}
11373:, so any sum-product-or-exponential expression involving
8999:-number: we have argued that, in this case, we can write
658:
by recursively applying the following functions: ordinal
24543:{\displaystyle {\tilde {\psi }}(\alpha )=\psi (\alpha )}
23155:
Indeed, there is no reason to stop at two levels: using
20072:{\displaystyle \psi (\Omega +1)=\varepsilon _{0}\omega }
19083:
It is instructive (although not exactly useful) to make
17985:{\displaystyle \psi (\Omega ^{\Omega ^{2}\omega ^{2}3})}
15155:{\displaystyle \rho =\Omega ^{\psi (\Omega ^{\Omega })}}
29977:{\displaystyle C_{\kappa }^{n+1}(\alpha )\subset M_{0}}
29860:{\displaystyle C_{\kappa }^{n+1}(\alpha )\subset M_{0}}
27071:{\displaystyle (\xi \rightarrow \psi _{\Omega }(\xi ))}
25287:
A simplified ordinal analysis of first-order reflection
22707:
function (to previously constructed ordinals less than
22553:
is the smallest ordinal which cannot be expressed from
22067:
is the smallest ordinal which cannot be expressed from
21903:{\displaystyle \psi _{1}(\varepsilon _{\Omega _{2}+1})}
17929:{\displaystyle \psi (\Omega ^{\Omega ^{2}\omega ^{3}})}
17468:... (this is derived from the fundamental sequence for
17461:{\displaystyle \psi (\Omega ^{\psi (\psi (\psi (0)))})}
17229:... (this is derived from the fundamental sequence for
10097:-number base which gives a non-trivial representation.
10034:-number base which gives a non-trivial representation.
9369:{\displaystyle \psi (\alpha +1)=\psi (\alpha )=\delta }
3609:) greater than the ones which are being defined (here,
1265:
is the smallest ordinal which cannot be expressed from
31764:{\displaystyle \pi \land \alpha \in C(\alpha ,\pi )\}}
30965:{\displaystyle C_{0}(\alpha ,\beta )=\beta \cup \{0\}}
29465:
This function is only defined for arguments less than
28859:{\displaystyle C_{0}(\alpha )=\{0,1,\omega ,\Omega \}}
24829:{\displaystyle \alpha \in {\tilde {C}}(\alpha ,\rho )}
24593:{\displaystyle \alpha \in {\tilde {C}}(\alpha ,\rho )}
24355:{\displaystyle \alpha \in {\tilde {C}}(\alpha ,\rho )}
22265:
coincides with the previous one up to (and including)
22005:{\displaystyle \psi _{1}({\Omega _{2}}^{\Omega _{2}})}
20879:), so the idea is to mimic its definition as follows:
19727:: so the range of this weakened system of notation is
18803:{\displaystyle f_{\psi (\varepsilon _{\Omega +1})}(n)}
9667:{\displaystyle {\varepsilon _{0}}^{\omega ^{\omega }}}
7256:
4614:
3771:{\displaystyle \alpha \leq \zeta _{1}=\varphi _{2}(1)}
797:{\displaystyle C(\alpha )_{0}=\{0,1,\omega ,\Omega \}}
33123:
32992:
32985:
32774:
32742:
32706:
32676:
32640:
32620:
32581:
32543:
32523:
32494:
32467:
32416:
32383:
32347:
32163:
32137:
32071:
32037:
31972:
31937:
31904:
31851:
31813:
31778:
31727:
31612:
31573:
31528:
31499:
31464:
31437:
31316:
31236:
30979:
30918:
30815:
30645:
30565:
30464:
30417:
30364:
30290:
30243:
30171:
30118:
30046:
29993:
29930:
29917:{\displaystyle C_{\kappa }^{n}(\alpha )\subset M_{0}}
29876:
29813:
29734:
29683:
29623:
29587:
29537:
29471:
29439:
29404:
29202:
29179:
29091:
29023:
28873:
28806:
28699:
28619:
28468:
28395:
28367:
28327:
28294:
28243:
28186:
28166:
28089:
28001:
27921:
27685:
27630:
27591:
27564:
27544:
27515:
27486:
27446:
27413:
27379:
27343:
27290:
27270:
27204:
27148:
27112:
27084:
27036:
26997:
26959:
26917:
26887:
26867:
26842:
26800:
26780:
26705:
26666:
26636:
26609:
26508:
26475:
26448:
26344:
26308:
26274:
26254:
26163:
26123:
26061:
25939:
25902:
25869:
25796:
25776:
25748:
25728:
25697:
25654:
25618:
25595:
25575:
25544:
25502:
25473:
25442:
25401:
25373:
25331:
25295:
25202:
25182:
25093:
25064:
25041:
25012:
24992:
24951:
24900:
24842:
24792:
24721:
24692:
24653:
24626:
24606:
24556:
24503:
24454:
24421:
24401:
24372:
24318:
24262:
24242:
24204:
24165:
24145:
24125:
24105:
24085:
24065:
24021:
23979:
23959:
23939:
23919:
23863:
23834:
23799:
23779:
23728:
23708:
23679:
23649:
23629:
23609:
23589:
23569:
23549:
23514:
23487:
23467:
23414:
23353:
23333:
23312:
23292:
23272:
23246:
23187:
23161:
23127:
23107:
23080:
23053:
23033:
23006:
22979:
22952:
22872:
22820:
22784:
22764:
22737:
22713:
22693:
22666:
22639:
22619:
22599:
22579:
22559:
22530:
22496:
22469:
22449:
22425:
22367:
22316:
22271:
22251:
22227:
22207:
22180:
22153:
22133:
22113:
22093:
22073:
22044:
22021:
21959:
21916:
21860:
21829:
21745:
21683:
21654:
21627:
21614:{\displaystyle \psi _{1}(\alpha )=\zeta _{\Omega +1}}
21572:
21520:
21484:
21464:
21431:
21398:
21320:
21230:
21175:
21133:
21090:
21057:
21030:
21003:
20979:
20952:
20925:
20889:
20852:
20803:
20768:
20748:
20727:
20707:
20678:
20645:
20597:
20555:
20519:
20493:
20473:
20435:
20385:
20344:
20300:
20265:
20195:
20175:
20130:
20085:
20034:
19992:
19979:{\displaystyle \psi (\psi (0))=\omega ^{\omega ^{2}}}
19934:
19892:
19850:
19830:
19791:
19733:
19706:
19648:
19590:
19570:
19525:
19468:
19426:
19361:
19312:
19263:
19243:
19223:
19203:
19161:
19132:
19112:
19089:
19045:
19021:
18944:
18938:
is already comparable to the Goodstein function, and
18899:
18820:
18758:
18723:
18668:
18641:
18598:
18571:
18498:
18478:
18442:
18400:
18380:
18253:
18134:
18066:
17998:
17942:
17889:
17836:
17781:
17738:
17695:
17614:
17578:
17549:
17507:
17474:
17411:
17357:
17312:
17267:
17235:
17185:
17142:
17106:
17061:
17022:
16986:
16957:
16928:
16892:
16857:
16825:
16796:
16767:
16735:
16697:
16662:
16627:
16598:
16563:
16499:
16454:
16425:
16390:
16351:
16315:
16286:
16266:
16230:
16191:
16155:
16126:
16097:
16061:
16035:
16012:
15992:
15972:
15945:
15759:
15746:{\displaystyle \psi (\Omega ^{\Omega ^{2}+\Omega 3})}
15707:
15646:
15626:
15504:
15462:
15391:
15371:
15210:
15171:
15119:
15099:
14986:
14950:
14880:
14860:
14720:
14675:
14627:
14607:
14506:
14470:
14444:
14424:
14361:
14341:
14276:
14232:
14203:
14171:
14148:
14128:
14080:
14033:
13995:
13966:
13937:
13861:
13817:
13788:
13768:
13748:
13728:
13663:
13616:
13587:
13543:
13523:
13431:
13387:
13367:
13347:
13318:
13283:
13263:
13243:
13223:
13203:
13183:
13139:
13119:
13099:
13079:
13059:
13033:
13013:
12993:
12969:
12934:
12911:
12891:
12871:
12851:
12827:
12792:
12677:
12657:
12616:
12555:
12535:
12500:
12477:
12433:
12413:
12393:
12368:
12283:
12239:
12212:
12185:
12155:
12079:
12035:
12008:
11981:
11951:
11924:
11897:
11874:
11847:
11820:
11791:
11771:
11748:
11719:
11699:
11679:
11593:
11573:
11546:
11489:
11444:
11408:
11379:
11359:
11323:
11233:
11150:
11130:
11110:
11027:
10991:
10839:
10716:
10693:
10673:
10653:
10633:
10613:
10593:
10558:
10538:
10511:
10488:
10461:
10441:
10399:
10355:
10335:
10315:
10295:
10260:
10240:
10220:
10200:
10180:
10160:
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10063:
10043:
10020:
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9929:
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9823:
9792:
9765:
9723:
9680:
9637:
9590:
9563:
9521:
9476:
9448:
9428:
9408:
9382:
9326:
9306:
9286:
9236:
9216:
9187:
9163:
9143:
9123:
9103:
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8959:
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8916:
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8750:
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8660:
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8337:
8317:
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8244:
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7860:
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7740:
7720:
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7564:
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7444:
7424:
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7359:
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7059:
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5929:
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5863:
5783:
5763:
5743:
5716:
5696:
5676:
5656:
5628:
5599:
5552:
5516:
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5413:
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4811:
4769:
4742:
4709:
4625:
4568:
4522:
4495:
4431:
4370:
4343:
4307:
4261:
4234:
4221:{\displaystyle \alpha \leq \varphi _{3}(0)=\eta _{0}}
4179:
4113:
4062:
4042:
4015:
3988:
3961:
3948:{\displaystyle \alpha \mapsto \varepsilon _{\alpha }}
3928:
3879:
3852:
3784:
3729:
3689:
3654:
3615:
3595:
3530:
3510:
3468:
3438:
3418:
3378:
3343:
3316:
3288:
3240:
3220:
3200:
3180:
3160:
3125:
3083:
3054:
3034:
2999:
2957:
2909:
2867:
2837:
2817:
2791:
2762:
2716:
2689:
2647:
2598:
2546:
2522:
2505:{\displaystyle \alpha \mapsto \varepsilon _{\alpha }}
2485:
2436:
2403:
2339:
2303:
2283:
2270:{\displaystyle \psi (\alpha )=\varepsilon _{\alpha }}
2241:
2199:
2172:
2145:
2125:
2105:
2085:
2065:
2036:
1991:
1957:
1930:
1910:
1877:
1857:
1823:
1796:
1776:
1748:
1683:
1532:
1503:
1475:
1444:
1424:
1395:
1371:
1351:
1331:
1311:
1291:
1271:
1242:
1206:
1177:
1152:
1116:
1087:
1067:
810:
744:
718:
698:
668:
644:
624:
604:
584:
555:
521:
495:
466:
442:
413:
393:
365:
331:
301:
273:
250:
205:
181:
28160:
This OCF is a sophisticated extension of Buchholz's
27671:{\displaystyle C_{\nu }^{0}(\alpha )=\Omega _{\nu }}
25684:{\displaystyle {\mathsf {KP\Pi _{N}}}\vdash \theta }
24938:{\displaystyle {\tilde {\psi }}(\Omega )=\zeta _{0}}
22412:{\displaystyle \varepsilon _{\psi (\psi _{1}(1))+1}}
22015:
Now we can reinject these notations in the original
19074:
19015:
can prove that the process terminates for any given
17823:{\displaystyle \psi (\Omega ^{\Omega ^{2}\psi (0)})}
11560:-pieces are less than the Bachmann–Howard ordinal).
10037:
Beyond this, we may need to express ordinals beyond
6055:
representation" is an obvious generalization of the
5645:
5140:{\displaystyle \alpha \mapsto \varphi (1,\alpha ,0)}
4798:{\displaystyle \alpha \mapsto \varphi _{\alpha }(0)}
4604:{\displaystyle \psi (\Omega ^{\Omega })=\Gamma _{0}}
4551:{\displaystyle \alpha \mapsto \varphi _{\alpha }(0)}
1200:
is defined as the smallest ordinal not belonging to
325:
is adequate for our purposes; but we will work with
227:
An example leading up to the Bachmann–Howard ordinal
33033:"A New System of Proof-Theoretic Ordinal Functions"
32838:
32341:), which is also proof-theoretically equivalent to
30237:For any ordinal γ and uncountable regular cardinal
29520: smaller than the least weakly Mahlo cardinal
25360:{\displaystyle \psi _{\Omega }(\alpha )<\Omega }
23481:) is completely equivalent to that of the function
23306:in the system as they will also be produced by the
13177:. To find it, apply the same rules (from the base
11972:
in the expression by the elements of that sequence;
11918:is limit, take the standard sequence converging to
9066:{\displaystyle \alpha <\varepsilon _{\Omega +1}}
6424:{\displaystyle \alpha <\varepsilon _{\Omega +1}}
5618:
Ordinal notations up to the Bachmann–Howard ordinal
2710:cannot be constructed using finite applications of
33262:"Proof Theory: Part III, Kripke–Platek Set Theory"
33141:
33010:
32787:
32760:
32725:
32688:
32658:
32626:
32606:
32564:
32529:
32509:
32480:
32431:
32402:
32365:
32308:
32149:
32120:
32055:
32023:
31958:
31923:
31890:
31837:
31799:
31763:
31713:
31595:
31555:
31514:
31485:
31450:
31398:
31301:
31221:
30964:
30869:
30769:, 0) be the first α-weakly inaccessible cardinal,
30741:This is a sophisticated simplification of Jäger's
30722:
30630:
30547:
30450:
30403:
30347:
30276:
30226:
30157:
30101:
30032:
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29916:
29859:
29793:
29718:
29657:
29606:
29565:
29484:
29454:
29425:
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28131:
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27906:
27670:
27610:
27577:
27550:
27530:
27498:
27472:
27432:
27395:
27365:
27329:
27284: is a hierarchy of single-argument functions
27276:
27239:
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27134:
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26766:
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19813:
19777:
19719:
19693:{\displaystyle \psi (\Omega ^{3})=\varphi _{3}(0)}
19692:
19635:{\displaystyle \psi (\Omega ^{2})=\varphi _{2}(0)}
19634:
19576:
19556:
19511:
19454:
19412:
19347:
19298:
19249:
19229:
19209:
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18557:
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18464:
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17928:
17875:
17822:
17767:
17725:{\displaystyle \psi (\Omega ^{\Omega ^{\omega }})}
17724:
17644:{\displaystyle \psi (\Omega ^{\Omega ^{\Omega }})}
17643:
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17564:
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17460:
17397:
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17250:
17221:
17172:{\displaystyle \psi (\Omega ^{\omega ^{\omega }})}
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16252:
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15978:
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15612:
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7049:). Indeed, if it were not, then by writing it in
7041:
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2581:
2528:
2504:
2471:
2422:
2389:
2322:
2289:
2269:
2227:
2185:
2158:
2131:
2111:
2091:
2071:
2051:
2019:
1977:
1943:
1916:
1896:
1863:
1843:
1809:
1782:
1761:
1741:. The first ordinal which it does not contain is
1733:
1669:
1518:
1481:
1450:
1430:
1401:
1377:
1357:
1337:
1317:
1297:
1277:
1257:
1221:
1192:
1158:
1138:
1102:
1073:
1053:
796:
730:
704:
684:
650:
630:
610:
590:
570:
536:
507:
481:
448:
428:
399:
371:
344:
307:
286:
256:
211:
187:
32442:Michael Rathjen then described the collapse of a
28277:{\displaystyle \Omega _{\Omega _{\Omega _{...}}}}
23913:, and furthermore the properties we described of
20632:{\displaystyle \psi (\varepsilon _{\Omega +1}+1)}
19420:until we come to a fixed point which is then our
18886:{\displaystyle g_{\alpha }(n)=g_{\alpha }(n+1)+1}
11021:(the Feferman–Schütte ordinal) is much more than
8870:then by induction we have defined a notation for
6431:): hence one can rewrite these exponents in base
3716:{\displaystyle \varepsilon _{\zeta _{0}+\alpha }}
2323:{\displaystyle \alpha <\varepsilon _{\alpha }}
352:because it allows the convenient use of the word
33498:
32810:
32808:
32403:{\displaystyle \alpha \mapsto \Omega _{\alpha }}
32191:
32087:
31603:, where Lim denotes the class of limit ordinals.
31339:
30668:
30451:{\displaystyle \pi \in C_{\kappa }^{n}(\alpha )}
30277:{\displaystyle \pi \in C_{\kappa }^{n}(\alpha )}
29107:
28722:
28024:
27023:{\displaystyle (\xi \rightarrow \omega ^{\xi })}
23347:functions of Feferman: their range is the same (
23000:function collapses the nameable ordinals beyond
20839:{\displaystyle \varepsilon _{\varphi _{2}(0)+1}}
20591:is the Bachmann–Howard ordinal. The reason why
20162:{\displaystyle \psi (\Omega 3)=\varepsilon _{2}}
20117:{\displaystyle \psi (\Omega 2)=\varepsilon _{1}}
19557:{\displaystyle \psi (\Omega 2)=\varepsilon _{1}}
17732:(the small Veblen ordinal), we might go down to
17398:{\displaystyle \psi (\Omega ^{\psi (\psi (0))})}
13923:. (The examples below should make this clearer.)
13237:, except that whenever a sequence converging to
9181:the case then, by the properties we have shown,
5273:{\displaystyle \varphi (\alpha ,\beta ,\gamma )}
5010:{\displaystyle \alpha \mapsto \Gamma _{\alpha }}
4879:using the many-valued Veblen functions) we have
4831:{\displaystyle \alpha \mapsto \Gamma _{\alpha }}
4097:{\displaystyle \psi (\Omega \cdot 2)=\zeta _{1}}
4009:cannot be constructed from smaller ordinals and
43:but its sources remain unclear because it lacks
32891:A simplified analysis of first-order reflection
29719:{\displaystyle \kappa ^{-}=I_{\alpha }(\beta )}
29516: indexed by uncountable regular cardinals
26154:. One can then make the following conversions:
24059:be the set of ordinals generated starting from
23906:{\displaystyle C(\alpha ,0)=C(\alpha ,\sigma )}
23666:{\displaystyle \psi \upharpoonright _{\alpha }}
23543:be the set of ordinals generated starting from
23452:
21451:{\displaystyle \xi \mapsto \varepsilon _{\xi }}
20584:{\displaystyle \psi (\varepsilon _{\Omega +1})}
20422:{\displaystyle \psi (\psi (\omega ))=\omega +2}
20021:{\displaystyle \psi (\Omega )=\varepsilon _{0}}
19455:{\displaystyle \psi (\Omega )=\varepsilon _{0}}
18707:{\displaystyle f_{\psi (\Omega ^{\omega })}(n)}
18558:{\displaystyle f_{\alpha }(n)=f_{\alpha }(n)+1}
18429:{\displaystyle \psi (\varepsilon _{\Omega +1})}
17536:{\displaystyle \psi (\varepsilon _{\Omega +1})}
17299:{\displaystyle \psi (\Omega ^{\psi (\Omega )})}
16486:{\displaystyle \psi (\Omega )^{\psi (\Omega )}}
14659:{\displaystyle \rho =\Omega \psi (\Omega ^{2})}
14115:{\displaystyle \rho =\psi (\Omega )=\zeta _{0}}
12270:{\displaystyle \delta ^{\beta _{k}}\gamma _{k}}
12066:{\displaystyle \delta ^{\beta _{k}}\gamma _{k}}
11476:{\displaystyle \psi (\Omega )^{\psi (\Omega )}}
10985:Concerning the order, one might point out that
10149:
10135:{\displaystyle \psi (\varepsilon _{\Omega +1})}
8238:. Indeed, we know that all ordinals less than
7734:-number less than some element in the range of
5916:{\displaystyle \gamma _{1},\ldots ,\gamma _{k}}
5474:{\displaystyle \psi (\varepsilon _{\Omega +1})}
5182:{\displaystyle \psi (\Omega ^{\Omega \cdot 2})}
2059:contains the ordinals which can be formed from
1233:In a more concise (although more obscure) way:
685:{\displaystyle \psi \upharpoonright _{\alpha }}
578:be the set of ordinals generated starting from
33449:the theories of iterated inductive definitions
31924:{\displaystyle \xi \rightarrow \Omega _{\xi }}
29867:is the smallest set satisfying the following:
27142:is the smallest countable ordinal ρ such that
23857:, then it is also the smallest ordinal not in
23027:below the latter so it matters little whether
19299:{\displaystyle \psi (1)=\omega ^{\omega ^{2}}}
19257:using addition and multiplication only), then
7042:{\displaystyle \beta \mapsto \omega ^{\beta }}
3154:contains all ordinals which can be built from
1677:and so on. It also contains such ordinals as
33302:
32805:
32320:
29658:{\displaystyle \kappa =I_{\alpha }(\beta +1)}
28354:{\displaystyle \Omega _{\nu }=\aleph _{\nu }}
27473:{\displaystyle \Omega _{\nu }=\aleph _{\nu }}
22859:{\displaystyle \psi (\psi _{1}(\Omega _{2}))}
22778:itself. With this definition, we must write
18592:can be a very fast growing function: already
18394:less or equal to the Bachmann–Howard ordinal
12845:cofinality, define the standard sequence for
11888:is successor and there is nothing to be done;
6766:{\displaystyle \beta \leq \beta '<\alpha }
5358:predicatively using finitely many variables),
2946:
1461:
33316:
32565:{\displaystyle \alpha \mapsto \Xi (\alpha )}
32300:
32294:
32288:
32197:
32112:
32106:
31832:
31820:
31758:
31613:
31556:{\displaystyle \Psi _{\pi }^{\xi }(\alpha )}
31390:
31345:
31216:
31139:
31133:
31072:
31066:
31014:
30959:
30953:
30889:to uncountable regular ordinals of the form
30861:
30828:
30714:
30674:
29775:
29762:
29146:
29113:
29003:
28902:
28853:
28829:
28762:
28728:
28599:
28502:
28448:
28423:
28064:
28030:
27901:
27800:
27794:
27746:
26978:
26966:
26014:
25940:
24052:{\displaystyle {\tilde {C}}(\alpha ,\beta )}
22660:using sums, products, exponentials, and the
21224:for all countable ordinals and even beyond (
20946:using sums, products, exponentials, and the
19069:
17768:{\displaystyle \psi (\Omega ^{\Omega ^{3}})}
13715:{\displaystyle \psi (h(\psi (h(\psi (0)))))}
9965:{\displaystyle \psi (1)^{\psi (0)\,\omega }}
9710:{\displaystyle \psi (0)^{\omega ^{\omega }}}
9557:, the notation coincides with iterated base
8744:, we use the iterated Cantor normal form of
8513:{\displaystyle \psi (\alpha )=\psi (\beta )}
7641:Under the hypothesis of the previous lemma,
6634:{\displaystyle \psi (\alpha )=\psi (\beta )}
5228:{\displaystyle \psi (\Omega ^{\Omega ^{2}})}
2634:{\displaystyle \psi (\zeta _{0})=\zeta _{0}}
2297:: the proof works, however, only as long as
1458:will "collapse" them to countable ordinals.
1345:using sums, products, exponentials, and the
1048:
993:
987:
861:
791:
767:
321:which will be constructed (for example, the
32056:{\displaystyle \xi \leq \delta <\alpha }
26946:{\displaystyle C^{\Omega }(\alpha ,\beta )}
24979:{\displaystyle \Omega \in C(\alpha ,\rho )}
23047:is invoked directly on the ordinals beyond
15935:Here are some examples of the other cases:
14707:{\displaystyle \psi (\Omega ^{2}3+\Omega )}
13574:{\displaystyle \psi (\alpha )=\psi (\rho )}
10667:is greater than any expression obtained by
9786:and then write the pieces in iterated base
5622:We now explain more systematically how the
3405:{\displaystyle \varepsilon _{\zeta _{0}+1}}
1978:{\displaystyle \Omega ^{\Omega ^{\Omega }}}
1844:{\displaystyle \omega ^{\omega ^{\omega }}}
660:addition, multiplication and exponentiation
33309:
33295:
32831:
32829:
32607:{\displaystyle \psi _{\pi }^{\vec {\xi }}}
32453:Rathjen later described the collapse of a
31959:{\displaystyle \xi \rightarrow \Xi (\xi )}
25889:{\displaystyle L_{\alpha }\models \theta }
25531:{\displaystyle {\mathsf {\Pi }}_{N-2}^{1}}
25055:, is not monotonic, nor is it continuous.
24490:{\displaystyle \zeta _{0}=\varphi _{2}(0)}
23461:The following definition (by induction on
22946:, of course, but it is now constant until
21392:): this holds up to the first fixed point
19190:{\displaystyle \psi (0)=\omega ^{\omega }}
15491:{\displaystyle \psi (\Omega ^{\Omega +1})}
13418:{\displaystyle \xi \mapsto h(\psi (\xi ))}
13170:{\displaystyle \xi \mapsto h(\psi (\xi ))}
9117:is continuous). We use the iterated base
9097:possible such ordinal (which exists since
7977:{\displaystyle \psi (\alpha )\leq \delta }
7704:{\displaystyle \delta \not \in C(\alpha )}
7669:{\displaystyle \psi (\alpha )\leq \delta }
5052:{\displaystyle \psi (\Omega ^{\Omega +1})}
3915:{\displaystyle \zeta _{1}=\varphi _{2}(1)}
2472:{\displaystyle \zeta _{0}=\varphi _{2}(0)}
317:and guaranteed to be greater than all the
33234:
33048:
32928:
32700:of Kripke–Platek set theory augmented by
32572:function itself to the collapsing system.
30745:created by Denis Maksudov. An ordinal is
29870:The sum of any finitely many ordinals in
26881:represent an uncountable ordinal such as
26660:is KPi without the collection scheme and
26082:
25992:
25831:
25476:
24229:{\displaystyle {\tilde {\psi }}(\alpha )}
21850:function gives us a system of notations (
17344:{\displaystyle \psi (\Omega ^{\psi (0)})}
17093:{\displaystyle \psi (\Omega ^{\psi (0)})}
15197:{\displaystyle \psi (\Omega ^{\Omega }3)}
13916:{\displaystyle \delta =\psi (h(\delta ))}
10966:
10817:
10739:
10428:{\displaystyle \psi (\Omega )=\zeta _{0}}
10349:, as we have shown above). For example,
10007:{\displaystyle \zeta _{0}=\psi (\Omega )}
9956:
9752:{\displaystyle \varepsilon _{2}=\psi (2)}
9550:{\displaystyle \varepsilon _{1}=\psi (1)}
9505:{\displaystyle \varepsilon _{0}=\psi (0)}
8012:{\displaystyle \psi (\alpha )<\delta }
6111:{\displaystyle \alpha =\delta ^{\alpha }}
3982:), the construction stops again, because
3497:{\displaystyle \psi (\Omega )=\zeta _{0}}
3112:{\displaystyle \psi (\Omega )=\zeta _{0}}
2986:{\displaystyle \psi (\Omega )=\zeta _{0}}
2896:{\displaystyle \psi (\alpha )=\zeta _{0}}
2228:{\displaystyle \psi (1)=\varepsilon _{1}}
2020:{\displaystyle \psi (0)=\varepsilon _{0}}
74:Learn how and when to remove this message
33030:
28146:
27135:{\displaystyle \psi _{\Omega }(\alpha )}
26984:{\displaystyle \beta \cup \{0,\Omega \}}
25318:{\displaystyle \psi _{\Omega }(\alpha )}
22174:using sums, products, exponentials, the
20872:{\displaystyle \varepsilon _{\Omega +1}}
20665:{\displaystyle \varepsilon _{\Omega +1}}
20545:Going beyond the Bachmann–Howard ordinal
20487:'s. So the range of this system is only
20372:{\displaystyle \psi (\omega )=\omega +1}
19814:{\displaystyle \psi (\Omega ^{\omega })}
18628:{\displaystyle f_{\omega ^{\omega }}(n)}
17654:
17601:{\displaystyle \psi (\Omega ^{\Omega })}
17501:Even though the Bachmann–Howard ordinal
17129:{\displaystyle \psi (\Omega ^{\omega })}
16915:{\displaystyle \psi (\Omega ^{\omega })}
16253:{\displaystyle \psi (\Omega )^{\omega }}
16084:{\displaystyle \psi (\omega ^{\omega })}
14973:{\displaystyle \psi (\Omega ^{\Omega })}
13053:with countable cofinality and such that
12644:{\displaystyle \delta =\psi (\alpha +1)}
11522:Standard sequences for ordinal notations
11431:{\displaystyle \psi (\Omega ^{\Omega })}
11402:and smaller value will remain less than
11346:{\displaystyle \Omega ^{\psi (\Omega )}}
11014:{\displaystyle \psi (\Omega ^{\Omega })}
10174:functions, the arguments of the "inner"
9034:for some (possibly uncountable) ordinal
8388:{\displaystyle \psi (\beta )<\delta }
8284:{\displaystyle \varepsilon _{\Omega +1}}
8191:{\displaystyle \varepsilon _{\Omega +1}}
7942:{\displaystyle \psi (\beta )<\delta }
7202:{\displaystyle \psi (\beta )<\delta }
6299:{\displaystyle \varepsilon _{\Omega +1}}
5539:{\displaystyle \psi (\Omega ^{\Omega })}
1897:{\displaystyle \varepsilon _{\Omega +1}}
33283:(slides of a talk given at Fischbachau)
33259:
33216:
33114:
33086:
33057:
32953:
32826:
30733:
28156:Buchholz psi functions § Extension
25715:{\displaystyle {\mathsf {\Sigma _{1}}}}
21559:{\displaystyle \psi _{1}(\psi _{1}(0))}
21117:{\displaystyle \Omega _{2}=\omega _{2}}
20541:ordinals we allow ourselves to denote.
20460:{\displaystyle \psi (\Omega )=\omega 2}
14263:{\displaystyle \psi (\Omega +\psi (0))}
13217:) as to find the canonical sequence of
10687:, and for canonical values the greater
10386:{\displaystyle \psi (\psi (\Omega )+1)}
9273:{\displaystyle C(\alpha +1)=C(\alpha )}
8953:It remains to deal with the case where
8649:
6565:
4729:{\displaystyle \alpha \leq \Gamma _{1}}
294:, or, in fact, any ordinal which is an
33499:
33117:"Recent Advances in Ordinal Analysis:
32835:Buchholz, 1986 (Ann. Pure Appl. Logic)
31588:
31585:
31582:
29566:{\displaystyle \kappa =I_{\alpha }(0)}
27611:{\displaystyle \xi \in {\mathsf {On}}}
27603:
27600:
27322:
27319:
27309:
27306:
26809:
26806:
26803:
26754:
26751:
26748:
26678:
26675:
26672:
26669:
26645:
26642:
26639:
26588:
26585:
26582:
26579:
26564:
26561:
26558:
26481:
26478:
26427:
26424:
26407:
26403:
26399:
26396:
26391:
26386:
26382:
26317:
26314:
26311:
26280:
26277:
26233:
26230:
26227:
26209:
26206:
26147:{\displaystyle {\mathsf {KP\Pi _{N}}}}
26137:
26133:
26129:
26126:
25926:{\displaystyle {\mathsf {KP\Pi _{N}}}}
25916:
25912:
25908:
25905:
25705:
25701:
25668:
25664:
25660:
25657:
25548:
25506:
25450:
25446:
25425:{\displaystyle {\mathsf {KP\Pi _{N}}}}
25415:
25411:
25407:
25404:
23101:. But it makes it possible to define
21946:{\displaystyle \psi _{1}(\Omega _{2})}
19039:are limited by much smaller ordinals (
16585:{\displaystyle \psi (\Omega +\omega )}
14335:This indeed converges to the value of
14067:{\displaystyle \psi (\psi (\psi (0)))}
12956:{\displaystyle \delta =\psi (\alpha )}
12814:{\displaystyle \delta =\psi (\alpha )}
12651:then take as fundamental sequence for
12529:then take as fundamental sequence for
11567:First, get rid of the (iterated) base
10580:{\displaystyle \delta =\psi (\alpha )}
10282:{\displaystyle \psi (\alpha )=\delta }
9759:, we similarly write in iterated base
9027:{\displaystyle \delta =\psi (\alpha )}
8638:{\displaystyle \psi (\alpha )=\delta }
8469:{\displaystyle \psi (\alpha )=\delta }
8109:{\displaystyle \psi (\alpha )=\delta }
8071:{\displaystyle \psi (\alpha )=\delta }
7854:-number not greater than the range of
7631:{\displaystyle C'\supseteq C(\alpha )}
6969:{\displaystyle \gamma =\psi (\alpha )}
6352:{\displaystyle \gamma _{i}<\Omega }
5777:can be uniquely expressed in the form
3676:{\displaystyle \psi (\Omega +\alpha )}
3048:was ("artificially") added to all the
2993:. However, when we come to computing
2423:{\displaystyle \alpha \leq \zeta _{0}}
33290:
33187:
32880:Rathjen, 1994 (Ann. Pure Appl. Logic)
31596:{\displaystyle K\cap {\mathsf {Lim}}}
27366:{\displaystyle \psi _{\nu }(\alpha )}
26291:{\displaystyle {\mathsf {KP\omega }}}
25261:
24441:{\displaystyle \alpha <\zeta _{0}}
23828:, which is how we originally defined
22354:{\displaystyle \psi (\psi _{1}(1)+1)}
16754:{\displaystyle \psi (\Omega \omega )}
10014:, we always use the largest possible
9462:function (which may be uncountable).
8764:. Otherwise, there exists a largest
6385:{\displaystyle \beta _{i}<\alpha }
4872:{\displaystyle \varphi (1,0,\alpha )}
3077:, we are permitted to take the value
32914:
32817:
32814:Rathjen, 1995 (Bull. Symbolic Logic)
30785:-weakly inaccessible cardinal after
25562:{\displaystyle {\mathsf {\Pi }}_{N}}
25460:{\displaystyle {\mathsf {\Pi _{N}}}}
24894:. On the other hand, we still have
22866:(although it is still also equal to
21162:{\displaystyle \psi _{1}(0)=\Omega }
19921:{\displaystyle \psi (1)=\omega ^{3}}
19879:{\displaystyle \psi (0)=\omega ^{2}}
12928:It remains to handle the case where
12925:is continuous and increasing, here).
9817:in iterated Cantor normal form): so
8583:{\displaystyle C(\alpha )=C(\beta )}
7333:be the set of ordinals all of whose
6909:is closed by everything under which
6704:{\displaystyle C(\alpha )=C(\beta )}
6499:of the representation (they are all
3504:and the next values of the function
1492:
148:(such as those seen in the light of
15:
33018:-CA)+(BI) und verwandter Systeme".
31259:
30753:-weakly inaccessible cardinals for
30589:
29040:
28643:
27945:
27396:{\displaystyle \psi _{\nu }\alpha }
25759:{\displaystyle {\mathsf {\theta }}}
25325:is a collapsing function such that
24236:is defined as the smallest ordinal
23702:is defined as the smallest ordinal
22303:{\displaystyle \psi (\psi _{1}(1))}
21566:and so forth. Beyond this, we have
21077:{\displaystyle \Omega =\omega _{1}}
19584:'s is permitted, we can still form
10607:is itself written in iterated base
10146:than the Bachmann–Howard ordinal).
8145:consists exactly of those ordinals
6243:{\displaystyle \gamma _{1}=\alpha }
4615:Beyond the Feferman–Schütte ordinal
2804:{\displaystyle \alpha \leq \Omega }
2676:{\displaystyle \psi (\zeta _{0}+1)}
13:
33219:"An ordinal analysis of stability"
33125:
32994:
32844:Rathjen, 2005 (Fischbachau slides)
32776:
32744:
32708:
32642:
32550:
32495:
32469:
32391:
32349:
32165:
32072:
31998:
31944:
31912:
31838:{\displaystyle \beta \cup \{0,K\}}
31661:
31530:
31500:
29473:
29426:{\displaystyle \theta (\alpha ,0)}
29273:
29251:
29210:
29122:
28850:
28439:
28342:
28329:
28296:
28255:
28250:
28245:
28211:
28206:
28201:
28109:
27659:
27461:
27448:
27415:
27373: occasionally abbreviated as
27223:
27210:
27177:
27154:
27118:
27051:
26975:
26923:
26868:
26711:
26611:
26528:
26514:
26450:
26359:
26350:
26255:
26182:
26169:
26067:
25969:
25808:
25729:
25620:
25374:
25354:
25337:
25301:
25236:
25209:
25151:
25100:
24952:
24916:
24673:
24293:
24126:
24001:{\displaystyle C(\alpha ,\sigma )}
23960:
23750:
23610:
23416:
23373:
23221:
23202:
23189:
23055:
23008:
22954:
22922:
22893:
22841:
22807:{\displaystyle \psi (\Omega _{2})}
22792:
22641:
22620:
22498:
22471:
22450:
22155:
22134:
21988:
21976:
21931:
21880:
21791:
21760:
21718:
21698:
21661:
21629:
21600:
21465:
21418:{\displaystyle \zeta _{\Omega +1}}
21404:
21369:
21296:
21244:
21203:
21156:
21092:
21058:
21005:
20927:
20912:{\displaystyle \psi _{1}(\alpha )}
20858:
20775:
20651:
20609:
20567:
20474:
20442:
20202:
20176:
20137:
20092:
20041:
19999:
19799:
19741:
19708:
19656:
19598:
19571:
19532:
19475:
19433:
19066:in the case of Peano arithmetic).
18962:
18957:
18775:
18681:
18412:
18331:
18306:
18301:
18291:
18266:
18261:
18212:
18187:
18182:
18172:
18147:
18142:
18079:
18074:
18011:
18006:
17955:
17950:
17902:
17897:
17849:
17844:
17794:
17789:
17751:
17746:
17708:
17703:
17631:
17627:
17622:
17590:
17586:
17556:
17519:
17481:
17419:
17365:
17320:
17285:
17275:
17193:
17150:
17114:
17069:
17045:{\displaystyle \psi (\Omega ^{3})}
17030:
17009:{\displaystyle \psi (\Omega ^{2})}
16994:
16964:
16900:
16864:
16832:
16803:
16742:
16704:
16669:
16634:
16605:
16570:
16534:
16520:
16506:
16475:
16461:
16432:
16397:
16374:{\displaystyle \psi (\Omega )^{3}}
16358:
16338:{\displaystyle \psi (\Omega )^{2}}
16322:
16293:
16237:
16214:{\displaystyle \psi (\omega ^{3})}
16178:{\displaystyle \psi (\omega ^{2})}
15885:
15873:
15868:
15852:
15840:
15835:
15799:
15787:
15782:
15732:
15720:
15715:
15674:
15670:
15658:
15654:
15581:
15577:
15565:
15561:
15531:
15527:
15474:
15470:
15430:
15426:
15415:
15403:
15399:
15323:
15311:
15307:
15296:
15284:
15280:
15249:
15237:
15233:
15183:
15179:
15142:
15138:
15127:
15051:
15040:
15009:
14962:
14958:
14925:
14910:
14888:
14805:
14783:
14743:
14698:
14683:
14644:
14634:
14564:
14555:
14528:
14493:{\displaystyle \psi (\Omega ^{2})}
14478:
14445:
14392:
14380:
14368:
14295:
14283:
14239:
14178:
14149:
14093:
13944:
13762:) of the fundamental sequence for
13650:{\displaystyle \psi (h(\psi (0)))}
13305:{\displaystyle \alpha =h(\Omega )}
13296:
13277:in question, in the expression of
13264:
13244:
13184:
12994:
11749:
11547:
11496:
11465:
11451:
11420:
11416:
11386:
11360:
11335:
11325:
11254:
11240:
11168:
11158:
11111:
11045:
11035:
11003:
10999:
10783:
10762:
10746:
10724:
10654:
10614:
10489:
10406:
10368:
10254:is the largest possible such that
10201:
10118:
10064:
10057:: this is always done in iterated
10044:
9998:
9429:
9409:
9376:, contradicting the maximality of
9124:
9052:
8863:{\displaystyle \delta <\gamma }
8298:
8270:
8205:
8177:
7585:
7340:
7242:
6938:is the closure, so they are equal.
6529:
6509:
6460:
6438:
6410:
6346:
6313:
6285:
6184:{\displaystyle \alpha <\delta }
5744:
5670:is an ordinal which is a power of
5569:
5565:
5560:
5528:
5524:
5494:
5457:
5383:
5379:
5374:
5301:
5296:
5211:
5206:
5165:
5161:
5035:
5031:
4998:
4924:
4897:
4893:
4819:
4744:
4717:
4667:
4646:
4637:
4633:
4592:
4580:
4576:
4497:
4439:
4378:
4120:
4069:
3791:
3661:
3644:up to the Feferman–Schütte ordinal
3596:
3537:
3475:
3350:
3221:
3132:
3090:
3035:
3006:
2964:
2929:
2798:
2126:
1968:
1964:
1959:
1936:
1932:
1911:
1883:
1858:
1726:
1722:
1707:
1690:
1684:
1425:
1332:
788:
645:
251:
117:(though they can be replaced with
14:
33518:
33425:Takeuti–Feferman–Buchholz ordinal
32902:Rathjen, 2005 (Arch. Math. Logic)
32871:Rathjen, 1991 (Arch. Math. Logic)
31800:{\displaystyle C(\alpha ,\beta )}
30411:and uncountable regular cardinal
29485:{\displaystyle \Omega ^{\omega }}
28141:Takeuti–Feferman–Buchholz ordinal
26695:Takeuti–Feferman–Buchholz ordinal
26623:{\displaystyle \Omega _{\omega }}
26462:{\displaystyle \Omega _{\omega }}
25933:proves that each initial segment
23536:{\displaystyle C(\alpha ,\beta )}
20331:{\displaystyle \psi (\psi (0))=2}
19720:{\displaystyle \Omega ^{\omega }}
13537:, and the canonical sequence for
8539:{\displaystyle \beta <\alpha }
8414:{\displaystyle \beta <\alpha }
7511:{\displaystyle \beta <\alpha }
7228:{\displaystyle \beta <\alpha }
6660:{\displaystyle \beta <\alpha }
5646:A note about base representations
4611:is the Feferman–Schütte ordinal.
3589:because they use ordinals (here,
2235:. In this manner, we prove that
1944:{\displaystyle \Omega ^{\Omega }}
1810:{\displaystyle \omega ^{\omega }}
731:{\displaystyle \beta <\alpha }
508:{\displaystyle \beta <\alpha }
33260:Rathjen, Michael (August 2005).
33096:Annals of Pure and Applied Logic
33037:Annals of Pure and Applied Logic
32150:{\displaystyle \xi \leq \alpha }
29455:{\displaystyle \theta (\alpha )}
26686:{\displaystyle {\mathsf {TFBO}}}
25489:{\displaystyle \mathbb {K} _{N}}
25080:{\displaystyle {\tilde {\psi }}}
25028:{\displaystyle {\tilde {\psi }}}
24708:{\displaystyle {\tilde {\psi }}}
24388:{\displaystyle {\tilde {\psi }}}
23773:(This is equivalent, because if
20790:{\displaystyle \psi (\Omega +1)}
19059:{\displaystyle \varepsilon _{0}}
16719:{\displaystyle \psi (\Omega +3)}
16684:{\displaystyle \psi (\Omega +2)}
16649:{\displaystyle \psi (\Omega +1)}
16412:{\displaystyle \psi (\Omega +1)}
13848:{\displaystyle \delta =\psi (0)}
13046:{\displaystyle \rho <\alpha }
12522:{\displaystyle \delta =\psi (0)}
12471:as the fundamental sequence for
12029:is limit, rewrite the last term
11811:and there is nothing to be done;
11511:{\displaystyle \psi (\Omega +1)}
10525:{\displaystyle \varepsilon _{0}}
9806:{\displaystyle \varepsilon _{0}}
9779:{\displaystyle \varepsilon _{1}}
9577:{\displaystyle \varepsilon _{0}}
8737:{\displaystyle \varepsilon _{0}}
8546:, then we have already remarked
8258:, hence all ordinals (less than
7894:be the least upper bound of the
7518:by assumption, and it contains
7016:-number (i.e., a fixed point of
6326:representation has coefficients
5923:are non-zero ordinals less than
5730:{\displaystyle \varepsilon _{0}}
5429:{\displaystyle \varphi (\cdot )}
5351:{\displaystyle \varphi (\cdot )}
3021:{\displaystyle \psi (\Omega +1)}
2186:{\displaystyle \varepsilon _{1}}
2159:{\displaystyle \varepsilon _{0}}
1762:{\displaystyle \varepsilon _{0}}
20:
33011:{\displaystyle \Delta _{2}^{1}}
32896:
32366:{\displaystyle \Delta _{2}^{1}}
31486:{\displaystyle C(\alpha ,\pi )}
27250:
27097:{\displaystyle \xi <\alpha }
26836:The first true OCF, Bachmann's
26828:
26817:{\displaystyle {\mathsf {KPi}}}
26653:{\displaystyle {\mathsf {KPl}}}
26325:{\displaystyle {\mathsf {BHO}}}
23793:is the smallest ordinal not in
23501:
22035:function, modified as follows:
20189:'s, the range of our system is
18931:{\displaystyle g_{\psi (0)}(n)}
16876:{\displaystyle \psi (\Omega 3)}
16844:{\displaystyle \psi (\Omega 2)}
15620:This converges to the value of
15365:This converges to the value of
15093:This converges to the value of
14854:This converges to the value of
14601:This converges to the value of
14190:{\displaystyle \psi (\Omega 2)}
14020:{\displaystyle \psi (\psi (0))}
12464:{\displaystyle 0,1,2,3,\ldots }
12233:is also, rewrite the last term
11528:Fundamental sequence (ordinals)
8972:{\displaystyle \gamma =\delta }
8019:would contradict the fact that
6078:{\displaystyle \delta =\omega }
5093:{\displaystyle \varphi (2,0,0)}
4977:{\displaystyle \varphi (1,1,0)}
4330:{\displaystyle \varphi _{3}(0)}
4255:enumerates the fixed points of
3028:, something has changed: since
2479:is the smallest fixed point of
387:), taking an arbitrary ordinal
102:) is a technique for defining (
33223:Archive for Mathematical Logic
33153:The Bulletin of Symbolic Logic
33060:Archive for Mathematical Logic
32883:
32874:
32865:
32856:
32847:
32696:. These are used to carry out
32597:
32559:
32553:
32547:
32504:
32498:
32461:(concentrating on the case of
32426:
32420:
32387:
32303:
32285:
32273:
32240:
32228:
32194:
32185:
32179:
32115:
32090:
32081:
32075:
32018:
32012:
31994:
31991:
31973:
31953:
31947:
31941:
31908:
31885:
31873:
31867:
31864:
31852:
31794:
31782:
31755:
31743:
31685:
31673:
31643:
31631:
31550:
31544:
31509:
31503:
31480:
31468:
31413:
31393:
31375:
31363:
31342:
31333:
31327:
31296:
31284:
31252:
31240:
31201:
31189:
31158:
31152:
31130:
31118:
31090:
31078:
31063:
31051:
31008:
30996:
30941:
30929:
30864:
30846:
30834:
30825:
30717:
30711:
30705:
30671:
30662:
30656:
30625:
30619:
30582:
30576:
30542:
30536:
30509:
30503:
30490:
30487:
30481:
30445:
30439:
30398:
30392:
30342:
30336:
30306:
30271:
30265:
30221:
30215:
30188:
30182:
30152:
30146:
30096:
30090:
30063:
30057:
30027:
30021:
29958:
29952:
29898:
29892:
29841:
29835:
29756:
29750:
29713:
29707:
29652:
29640:
29560:
29554:
29449:
29443:
29420:
29408:
29384:
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29305:
29206:
29149:
29143:
29137:
29110:
29101:
29095:
29071:
29065:
29033:
29027:
28988:
28982:
28948:
28942:
28896:
28890:
28823:
28817:
28765:
28759:
28753:
28725:
28716:
28710:
28679:
28673:
28636:
28630:
28584:
28578:
28533:
28527:
28496:
28490:
28417:
28411:
28224:
28197:
28126:
28100:
28067:
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27975:
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27932:
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27880:
27858:
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27578:{\displaystyle \omega ^{\xi }}
27525:
27519:
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27129:
27123:
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27037:
27017:
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26998:
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26552:
26545:
26519:
26489:{\displaystyle {\mathsf {BO}}}
26415:
26375:
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3087:
3064:
3058:
3015:
3003:
2967:
2961:
2877:
2871:
2772:
2766:
2733:
2670:
2651:
2615:
2602:
2563:
2557:
2489:
2466:
2460:
2384:
2378:
2349:
2343:
2251:
2245:
2209:
2203:
2046:
2040:
2001:
1995:
1513:
1507:
1258:{\displaystyle \psi (\alpha )}
1252:
1246:
1216:
1210:
1193:{\displaystyle \psi (\alpha )}
1187:
1181:
1139:{\displaystyle C(\alpha )_{n}}
1127:
1120:
1097:
1091:
1027:
1020:
1005:
999:
978:
971:
849:
842:
821:
814:
755:
748:
673:
565:
559:
537:{\displaystyle \psi (\alpha )}
531:
525:
476:
470:
429:{\displaystyle \psi (\alpha )}
423:
417:
1:
33456: < ω
32917:The Journal of Symbolic Logic
32908:
32510:{\displaystyle \Xi (\alpha )}
31515:{\displaystyle \Xi (\alpha )}
29607:{\displaystyle \kappa ^{-}=0}
28789:This OCF was the same as the
28781:
28314:{\displaystyle \Omega _{0}=1}
27433:{\displaystyle \Omega _{0}=1}
25896:. It can also be proven that
25638:{\displaystyle \Omega _{0}=0}
22758:only for arguments less than
12885:to the standard sequence for
7485:{\displaystyle \psi (\beta )}
3778:. (Note, in particular, that
482:{\displaystyle \psi (\beta )}
239:
33447:Proof-theoretic ordinals of
33142:{\displaystyle \Pi _{2}^{1}}
33108:10.1016/0168-0072(94)90074-4
33089:"Proof theory of reflection"
33050:10.1016/0168-0072(86)90052-7
32761:{\displaystyle \Pi _{2}^{1}}
32659:{\displaystyle \Pi _{n}^{1}}
32537:-hyper-Mahlo and adding the
31606:For α > 0, M is the set
29495:
28083:The limit of this system is
27558:(with each term of the form
23821:{\displaystyle C(\alpha ,0)}
23433:{\displaystyle \Pi _{1}^{1}}
22432:{\displaystyle \varepsilon }
21621:and this remains true until
21507:{\displaystyle \psi _{1}(0)}
20734:{\displaystyle \varepsilon }
19155:is constructed, then we get
10302:{\displaystyle \varepsilon }
10150:Conditions for canonicalness
10090:{\displaystyle \varepsilon }
10027:{\displaystyle \varepsilon }
8992:{\displaystyle \varepsilon }
8837:{\displaystyle \varepsilon }
8824:(this is because the set of
8777:{\displaystyle \varepsilon }
8360:. Conversely, if we assume
7949:: then by the above we have
7847:{\displaystyle \varepsilon }
7807:{\displaystyle \varepsilon }
7727:{\displaystyle \varepsilon }
7431:{\displaystyle \varepsilon }
7147:{\displaystyle \varepsilon }
7009:{\displaystyle \varepsilon }
6118:, but in any other case the
6028:{\displaystyle \beta _{k}=0}
5407:(the range of the notations
5329:(the range of the notations
4357:{\displaystyle \varphi _{2}}
4337:is the first fixed point of
4248:{\displaystyle \varphi _{2}}
4049:{\displaystyle \varepsilon }
3846:: but since now the ordinal
3425:{\displaystyle \varepsilon }
3365:{\displaystyle C(\Omega +1)}
3147:{\displaystyle C(\Omega +1)}
2756:and thus never belongs to a
1851:and so on — less than
1469:To clarify how the function
308:{\displaystyle \varepsilon }
7:
33031:Buchholz, Wilfried (1986).
32788:{\displaystyle \Sigma _{1}}
31451:{\displaystyle M^{\alpha }}
29168:
26901:{\displaystyle \omega _{1}}
25391:(it can be replaced by the
25266:
25196:less than the common value
25058:Despite these changes, the
24139:and all ordinals less than
23623:and all ordinals less than
23181:new cardinals in this way,
23067:{\displaystyle \Omega _{2}}
23020:{\displaystyle \Omega _{2}}
22966:{\displaystyle \Omega _{2}}
22653:{\displaystyle \Omega _{2}}
22510:{\displaystyle \Omega _{2}}
22483:{\displaystyle \Omega _{2}}
22167:{\displaystyle \Omega _{2}}
21641:{\displaystyle \Omega _{2}}
21017:{\displaystyle \Omega _{2}}
20939:{\displaystyle \Omega _{2}}
19564:. Since multiplication of
18585:{\displaystyle f_{\alpha }}
17261:The canonical sequence for
17055:The canonical sequence for
16886:The canonical sequence for
16729:The canonical sequence for
16557:The canonical sequence for
16384:The canonical sequence for
16224:The canonical sequence for
16055:The canonical sequence for
15959:{\displaystyle \omega ^{2}}
15939:The canonical sequence for
15701:The canonical sequence for
15456:The canonical sequence for
15165:The canonical sequence for
14944:The canonical sequence for
14669:The canonical sequence for
14464:The canonical sequence for
14165:The canonical sequence for
13931:The canonical sequence for
13334:{\displaystyle \psi (\xi )}
12865:to be obtained by applying
12199:{\displaystyle \gamma _{k}}
11995:{\displaystyle \gamma _{k}}
11965:{\displaystyle \gamma _{k}}
11938:{\displaystyle \gamma _{k}}
11911:{\displaystyle \gamma _{k}}
11861:{\displaystyle \gamma _{k}}
9465:
8610:by the least possible with
8441:is the least possible with
6515:{\displaystyle <\Omega }
6392:(because of the assumption
5239:(the range of the notation
5059:(and the first fixed point
4763:is the next fixed point of
4756:{\displaystyle \Gamma _{1}}
4509:{\displaystyle \Gamma _{0}}
3462:We say that the definition
692:, i.e., the restriction of
345:{\displaystyle \omega _{1}}
287:{\displaystyle \omega _{1}}
125:manner of naming ordinals.
96:ordinal collapsing function
10:
33523:
33470: ≥ ω
32853:Takeuti, 1967 (Ann. Math.)
32726:{\displaystyle \Pi _{n+2}}
32439:collapsing system applies.
32321:Collapsing large cardinals
31420:
28153:
27620:Cantor normal form theorem
27531:{\displaystyle P(\alpha )}
27257:
25589:is a fixed natural number
24786:because the new condition
24640:{\displaystyle \zeta _{0}}
20694:{\displaystyle C(\alpha )}
20287:{\displaystyle \psi (0)=1}
19148:{\displaystyle C(\alpha )}
12226:{\displaystyle \beta _{k}}
12169:{\displaystyle \beta _{k}}
12022:{\displaystyle \beta _{k}}
11834:{\displaystyle \beta _{k}}
11525:
10475:{\displaystyle \zeta _{0}}
9717:. For ordinals less than
9203:{\displaystyle C(\alpha )}
8353:{\displaystyle C(\alpha )}
8138:{\displaystyle C(\alpha )}
7754:is itself in the range of
7281:{\displaystyle C(\alpha )}
7104:{\displaystyle C(\alpha )}
7075:{\displaystyle C(\alpha )}
6931:{\displaystyle C(\alpha )}
6873:{\displaystyle C(\alpha )}
6795:{\displaystyle C(\alpha )}
6138:{\displaystyle \beta _{i}}
5593:: after this our function
4029:{\displaystyle \zeta _{0}}
4002:{\displaystyle \zeta _{1}}
3975:{\displaystyle \zeta _{0}}
3922:(the first fixed point of
3866:{\displaystyle \zeta _{0}}
3629:{\displaystyle \zeta _{0}}
3452:{\displaystyle \zeta _{0}}
3330:{\displaystyle \zeta _{0}}
3302:{\displaystyle \zeta _{0}}
3070:{\displaystyle C(\alpha )}
2947:First impredicative values
2851:{\displaystyle \zeta _{0}}
2778:{\displaystyle C(\alpha )}
2703:{\displaystyle \zeta _{0}}
1222:{\displaystyle C(\alpha )}
1103:{\displaystyle C(\alpha )}
571:{\displaystyle C(\alpha )}
170:intuitionistic type theory
144:, typically subsystems of
119:recursively large ordinals
33482:First uncountable ordinal
33324:
33245:10.1007/s00153-004-0226-2
33217:Rathjen, Michael (2005).
33115:Rathjen, Michael (1995).
33087:Rathjen, Michael (1994).
32614:for a vector of ordinals
32432:{\displaystyle C(\cdot )}
28380:{\displaystyle \nu >0}
27499:{\displaystyle \nu >0}
25389:first uncountable ordinal
23259:{\displaystyle \omega +1}
23174:{\displaystyle \omega +1}
23141:{\displaystyle \psi _{1}}
23094:{\displaystyle \psi _{1}}
22993:{\displaystyle \psi _{1}}
22751:{\displaystyle \psi _{1}}
22680:{\displaystyle \psi _{1}}
22194:{\displaystyle \psi _{1}}
21843:{\displaystyle \psi _{1}}
21044:{\displaystyle \psi _{1}}
20966:{\displaystyle \psi _{1}}
19070:Variations on the example
17497:, which was given above).
12149:and replace the exponent
11804:{\displaystyle \alpha =0}
11227:is itself much more than
9813:(and write the pieces of
6902:{\displaystyle C(\beta )}
4036:by finitely applying the
1462:Computation of values of
489:has been defined for all
266:first uncountable ordinal
33350:Feferman–Schütte ordinal
33318:Large countable ordinals
33149:-CA and Related Systems"
32799:
32733:-reflection principles.
32481:{\displaystyle \Pi _{3}}
29186:{\displaystyle \varphi }
26300:Kripke–Platek set theory
25434:Kripke–Platek set theory
21910:, which is the limit of
21478:, which is the limit of
20503:{\displaystyle \omega 2}
19013:Kripke–Platek set theory
17251:{\displaystyle \psi (0)}
16944:{\displaystyle \psi (1)}
16783:{\displaystyle \psi (0)}
16113:{\displaystyle \psi (1)}
16045:{\displaystyle \omega 3}
16022:{\displaystyle \omega 2}
14454:{\displaystyle \Omega 2}
14219:{\displaystyle \psi (0)}
13982:{\displaystyle \psi (0)}
13742:th element (starting at
13603:{\displaystyle \psi (0)}
13425:: this gives a sequence
12427:, then take the obvious
9320:can never be taken), so
8844:-numbers is closed): if
7638:, which was to be shown.
6880:— impossible); so
6802:(otherwise its image by
6273:is an ordinal less than
4560:Feferman–Schütte ordinal
2529:{\displaystyle \varphi }
1526:. It contains ordinals
1061:for all natural numbers
738:. (Formally, we define
515:, and we wish to define
162:constructive mathematics
154:Kripke–Platek set theory
111:large countable ordinals
29:This article includes a
33389:Bachmann–Howard ordinal
33202:10.1023/A:1020892011851
32668:indescribable cardinals
32530:{\displaystyle \alpha }
32455:weakly compact cardinal
27551:{\displaystyle \alpha }
26874:{\displaystyle \Omega }
26334:Bachmann–Howard ordinal
26261:{\displaystyle \Omega }
26115:proof-theoretic ordinal
25735:{\displaystyle \Omega }
25380:{\displaystyle \Omega }
25189:{\displaystyle \alpha }
24395:coincide with those of
24132:{\displaystyle \Omega }
24112:{\displaystyle \omega }
23966:{\displaystyle \Omega }
23946:{\displaystyle \sigma }
23786:{\displaystyle \sigma }
23616:{\displaystyle \Omega }
23596:{\displaystyle \omega }
23474:{\displaystyle \alpha }
23340:{\displaystyle \theta }
23299:{\displaystyle \omega }
22771:{\displaystyle \alpha }
22731:i.e., allow the use of
22720:{\displaystyle \alpha }
22626:{\displaystyle \Omega }
22606:{\displaystyle \omega }
22456:{\displaystyle \Omega }
22245:This modified function
22234:{\displaystyle \alpha }
22140:{\displaystyle \Omega }
22120:{\displaystyle \omega }
21471:{\displaystyle \Omega }
20986:{\displaystyle \alpha }
20714:{\displaystyle \alpha }
20672:(it does not belong to
20480:{\displaystyle \Omega }
20182:{\displaystyle \Omega }
19577:{\displaystyle \Omega }
19250:{\displaystyle \omega }
19028:{\displaystyle \alpha }
18810:is comparable with the
18714:is comparable with the
18436:, the integer function
18387:{\displaystyle \alpha }
17682:long time to terminate,
15999:{\displaystyle \omega }
14155:{\displaystyle \Omega }
13804:{\displaystyle \delta }
13775:{\displaystyle \delta }
13381:, say) of the function
13270:{\displaystyle \Omega }
13250:{\displaystyle \Omega }
13230:{\displaystyle \alpha }
13210:{\displaystyle \alpha }
13190:{\displaystyle \Omega }
13106:{\displaystyle \alpha }
13020:{\displaystyle \alpha }
13000:{\displaystyle \Omega }
12976:{\displaystyle \alpha }
12898:{\displaystyle \alpha }
12858:{\displaystyle \delta }
12834:{\displaystyle \alpha }
12664:{\displaystyle \delta }
12542:{\displaystyle \delta }
12484:{\displaystyle \delta }
12420:{\displaystyle \omega }
12400:{\displaystyle \delta }
12375:{\displaystyle \delta }
11881:{\displaystyle \alpha }
11755:{\displaystyle \Omega }
11706:{\displaystyle \omega }
11686:{\displaystyle \delta }
11580:{\displaystyle \delta }
11553:{\displaystyle \Omega }
11366:{\displaystyle \Omega }
11117:{\displaystyle \Omega }
10660:{\displaystyle \Omega }
10640:{\displaystyle \delta }
10620:{\displaystyle \Omega }
10600:{\displaystyle \alpha }
10545:{\displaystyle \delta }
10495:{\displaystyle \Omega }
10342:{\displaystyle \delta }
10322:{\displaystyle \delta }
10247:{\displaystyle \alpha }
10227:{\displaystyle \alpha }
10207:{\displaystyle \Omega }
10070:{\displaystyle \Omega }
10050:{\displaystyle \Omega }
9923:, or, more accurately,
9674:, or, more accurately,
9515:For ordinals less than
9470:For ordinals less than
9435:{\displaystyle \Omega }
9415:{\displaystyle \Omega }
9389:{\displaystyle \alpha }
9313:{\displaystyle \alpha }
9223:{\displaystyle \alpha }
9170:{\displaystyle \delta }
9150:{\displaystyle \alpha }
9130:{\displaystyle \Omega }
9086:{\displaystyle \alpha }
8943:{\displaystyle \gamma }
8923:{\displaystyle \gamma }
8903:{\displaystyle \delta }
8883:{\displaystyle \delta }
8817:{\displaystyle \gamma }
8797:{\displaystyle \delta }
8757:{\displaystyle \gamma }
8710:{\displaystyle \gamma }
8687:{\displaystyle \gamma }
8667:{\displaystyle \gamma }
8603:{\displaystyle \alpha }
8434:{\displaystyle \alpha }
8324:{\displaystyle \delta }
8304:{\displaystyle \Omega }
8251:{\displaystyle \delta }
8231:{\displaystyle \delta }
8211:{\displaystyle \Omega }
8158:{\displaystyle \gamma }
8043:upper bound — so
8032:{\displaystyle \alpha }
7887:{\displaystyle \alpha }
7827:{\displaystyle \delta }
7591:{\displaystyle \Omega }
7571:{\displaystyle \omega }
7411:{\displaystyle \delta }
7366:{\displaystyle \delta }
7353:-pieces are less than
7346:{\displaystyle \Omega }
7301:{\displaystyle \delta }
7248:{\displaystyle \Omega }
7167:{\displaystyle \alpha }
7127:{\displaystyle \delta }
6729:{\displaystyle \beta '}
6555:{\displaystyle \alpha }
6535:{\displaystyle \Omega }
6488:{\displaystyle \alpha }
6466:{\displaystyle \Omega }
6444:{\displaystyle \Omega }
6319:{\displaystyle \Omega }
6266:{\displaystyle \alpha }
6210:{\displaystyle k\leq 1}
6158:{\displaystyle \alpha }
6048:{\displaystyle \delta }
5936:{\displaystyle \delta }
5770:{\displaystyle \alpha }
5750:{\displaystyle \Omega }
5703:{\displaystyle \omega }
5683:{\displaystyle \omega }
5663:{\displaystyle \delta }
5591:Bachmann–Howard ordinal
5280:defined predicatively),
4425:Again, we can see that
3602:{\displaystyle \Omega }
3227:{\displaystyle \Omega }
3207:{\displaystyle \omega }
3041:{\displaystyle \Omega }
2290:{\displaystyle \alpha }
2193:but not the latter, so
2132:{\displaystyle \Omega }
2112:{\displaystyle \omega }
1917:{\displaystyle \Omega }
1864:{\displaystyle \Omega }
1783:{\displaystyle \omega }
1770:(which is the limit of
1431:{\displaystyle \Omega }
1410:than invent them in an
1378:{\displaystyle \alpha }
1338:{\displaystyle \Omega }
1318:{\displaystyle \omega }
651:{\displaystyle \Omega }
631:{\displaystyle \omega }
449:{\displaystyle \alpha }
407:to a countable ordinal
400:{\displaystyle \alpha }
257:{\displaystyle \Omega }
212:{\displaystyle \theta }
131:Bachmann–Howard ordinal
58:more precise citations.
33329:First infinite ordinal
33143:
33012:
32823:Kahle, 2002 (Synthese)
32789:
32762:
32727:
32690:
32689:{\displaystyle n>0}
32660:
32628:
32608:
32566:
32531:
32511:
32482:
32433:
32404:
32367:
32310:
32151:
32122:
32057:
32025:
31960:
31925:
31892:
31839:
31801:
31765:
31715:
31597:
31557:
31516:
31487:
31452:
31423:Rathjen's psi function
31400:
31303:
31223:
30966:
30871:
30724:
30632:
30549:
30452:
30405:
30349:
30278:
30228:
30159:
30103:
30034:
29978:
29918:
29861:
29795:
29720:
29659:
29608:
29567:
29486:
29456:
29427:
29391:
29187:
29156:
29078:
29010:
28860:
28772:
28686:
28606:
28455:
28381:
28355:
28315:
28278:
28231:
28174:
28133:
28074:
27988:
27908:
27672:
27612:
27579:
27552:
27532:
27500:
27474:
27434:
27397:
27367:
27331:
27278:
27260:Buchholz psi functions
27241:
27190:
27136:
27098:
27072:
27024:
26985:
26947:
26902:
26875:
26850:
26818:
26788:
26768:
26687:
26654:
26624:
26597:
26490:
26463:
26436:
26326:
26292:
26262:
26242:
26148:
26107:
26045:
25927:
25890:
25857:
25784:
25760:
25736:
25716:
25685:
25639:
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