22:
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The Kripke-Platek or CZF set theories are weak set theories without axioms for the full powerset given as set of all subsets. Instead, they tend to either have axioms of restricted separation and formation of new sets, or they grant existence of certain function spaces (exponentiation) instead of
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104:
In addition to obtaining the proof-theoretic ordinal of a theory, in practice ordinal analysis usually also yields various other pieces of information about the theory being analyzed, for example characterizations of the classes of provably recursive, hyperarithmetical, or
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1557:, Feferman's constructive system of explicit mathematics has a larger proof-theoretic ordinal, which is also the proof-theoretic ordinal of the KPi, Kripke–Platek set theory with iterated admissibles and
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Most theories capable of describing the power set of the natural numbers have proof-theoretic ordinals that are so large that no explicit combinatorial description has yet been given. This includes
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Some theories, such as subsystems of second-order arithmetic, have no conceptualization or way to make arguments about transfinite ordinals. For example, to formalize what it means for a subsystem
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2334:
23162:
S. Feferman, G. Jäger, "Choice principles, the bar rule and autonomously iterated comprehension schemes in analysis", Journal of
Symbolic Logic vol. 48, no. (1983), pp.63--70.
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23388:
23081:
Fischer, Martin; Nicolai, Carlo; Pablo Dopico
Fernandez (2020). "Nonclassical truth with classical strength. A proof-theoretic analysis of compositional truth over HYPE".
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18718:
is not exactly a first-order arithmetic system, but captures what one can get by predicative reasoning based on ν-times iterated generalized inductive definitions.
2041:
180:
Ordinal analysis concerns true, effective (recursive) theories that can interpret a sufficient portion of arithmetic to make statements about ordinal notations.
618:
However, some pathological notation systems exist that are unexpectedly difficult to work with. For example, Rathjen gives a primitive recursive notation system
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305:
285:
263:
205:
15857:
23064:
A. Cantini, "On the relation between choice and comprehension principles in second order arithmetic", Journal of
Symbolic Logic vol. 51 (1986), pp. 360--373.
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6515:
14583:
8123:
4399:
23110:, Studies in Logic and the Foundations of Mathematics vol. 117 (1985), ed. L. Harrington, M. Morley, A. Šcedrov, S. G. Simpson, pub. North-Holland.
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Jeroen Van der Meeren; Rathjen, Michael; Weiermann, Andreas (2014). "An order-theoretic characterization of the Howard-Bachmann-hierarchy".
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described in a 1983 paper of Jäger and
Pohlers, where I is the smallest inaccessible. This ordinal is also the proof-theoretic ordinal of
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is not exactly a first-order arithmetic system, but captures what one can get by predicative reasoning based on the natural numbers.
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has a rather large proof-theoretic ordinal, which was described by
Takeuti in terms of "ordinal diagrams", and which is bounded by
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1531:, the theory of finitely iterated inductive definitions. And also the ordinal of MLW, Martin-Löf type theory with indexed W-Types
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6961:
5201:
24024:, Studies in Logic and the Foundations of Mathematics, vol. 81 (Second ed.), Amsterdam: North-Holland Publishing Co.,
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13102:
101:, and if one theory has a larger proof-theoretic ordinal than another it can often prove the consistency of the second theory.
23349:
F. Ranzi, T. Strahm, "A flexible type system for the small Veblen ordinal" (2019). Archive for
Mathematical Logic 58: 711–751.
22638:
13444:
1755:
1421:
23817:
23264:
G. Jäger, T. Strahm, "Fixed point theories and dependent choice". Archive for
Mathematical Logic vol. 39 (2000), pp.493--508.
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97:) to mathematical theories as a measure of their strength. If theories have the same proof-theoretic ordinal they are often
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23868:, Studies in Logic and the Foundations of Mathematics, vol. 137, Amsterdam: Elsevier Science B. V., pp. 210–335,
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23390:-comprehensions and relevant subsystems of set theory". Annals of Pure and Applied Logic, vol. 166 (2015), pp. 409--463.
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suggests that much "ordinary" mathematics can be proved in weak systems having this as their proof-theoretic ordinal.
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65:
43:
23985:, Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, vol. 225, Berlin-New York: Springer-Verlag, pp. xii+299,
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Since an ordinal notation must be recursive, the proof-theoretic ordinal of any theory is less than or equal to the
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TTM, an extension of Martin-Löf type theory by one Mahlo-universe, has an even larger proof-theoretic ordinal
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883:-sound, the existence of a recursive ordering that the theory fails to prove is well-ordered follows from the
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18985:-formulas. It happens to be the representation of the ordinal notation when used in first-order arithmetic.
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12202:
4525:
22961:, Studies in Logic and the Foundations of Mathematics vol. 90 (1977), ed. J. Barwise, pub. North Holland.
21802:
21156:
21024:
20669:
20267:
19420:
19347:
19308:
19235:
19192:
19149:
17315:
15658:
15002:
12295:
12042:
7997:
7389:
7351:
7149:
5957:
5759:
4489:
4220:
3513:
3205:
3168:
2415:
1345:
577:
496:
21832:
21744:
21435:
21355:
21272:
18227:
18101:
17863:
17666:
15176:
13687:
11391:{\displaystyle \Pi _{1}^{1}{\mathsf {-CA}}_{0}+\Pi _{2}^{1}{\mathsf {-BI}}+\Pi _{3}^{1}{\mathsf {-IND}}}
8929:
5650:
5117:
3746:
3706:
2604:
1187:
23055:
D. Probst, "A modular ordinal analysis of metapredicative subsystems of second-order arithmetic" (2017)
21538:
21505:
19889:
19789:
18496:
17590:{\displaystyle L_{\mathbb {I} _{N}}\models {\mathsf {KP}}\omega +\Pi _{N}-{\mathsf {Collection}}+(V=L)}
15045:
11953:
10922:
8408:
5924:
5685:
5614:
3075:
2313:
1543:
1357:
23313:
21200:
20473:
20255:{\displaystyle \forall \alpha \exists \kappa \geq \alpha (L_{\kappa }\preceq _{1}L_{\kappa +\alpha })}
17451:
17398:
17118:
15573:
3457:
3245:
1501:
23619:
21471:
21233:
21066:
20992:
20924:
20756:
20637:
20605:
20021:
20016:
asserts that the universe is hyperinaccessible: an inaccessible set and a limit of inaccessible sets.
19989:
19957:
19925:
19857:
19825:
19390:
19278:
19117:
19039:
18264:
17975:
17899:
17365:
15696:
15540:
15217:
14969:
11563:
10587:
9167:
9136:
8035:
7487:
7054:
7017:
6321:
6086:
4805:
4369:
4006:
3103:
2784:
2679:
982:
886:
822:
736:
108:
21622:
20111:
19704:
18899:
18340:
9065:
9008:
4835:
3485:
2287:
1333:
24095:
21651:
17834:
2580:
94:
30:
23677:
23361:
22866:
22298:
18956:
17427:
17376:
2046:
1070:(although the definition of the proof-theoretic ordinal for such weak theories has to be tweaked).
950:
918:
854:
23478:
22913:
Marcone, Alberto; Montalbán, Antonio (2011). "The Veblen functions for computability theorists".
21792:
9734:{\displaystyle \mathbf {ACA} +(\Pi _{1}^{1}{\text{-CA}})^{-}+(\mathrm {BI} _{\mathrm {PR} })^{-}}
5542:
2951:
2756:
2651:
2461:
1475:
23439:
Proof Theory of
Impredicative Subsystems of Analysis (Studies in Proof Theory, Monographs, Vol 2
23337:
23245:
22980:
22030:
represents the first recursively weakly compact ordinal. Uses Arai's ψ rather than
Buchholz's ψ.
4047:
23120:
22658:
22652:
20956:
17276:
2247:
1495:
915:
bounding theorem, and said provably well-founded ordinal notations are in fact well-founded by
816:, because an inconsistent theory trivially proves that all ordinal notations are well-founded.
47:
23976:, Oxford logic guides, vol. 9, Oxford, New York: Clarendon Press, Oxford University Press
23733:
21871:
16095:{\displaystyle \Psi _{(\omega ^{+};P_{0},\epsilon ,\epsilon ,0)}^{\varepsilon _{\Upsilon +1}}}
24090:
23278:
T. Strahm, "Autonomous fixed point progressions and fixed point transfinite recursion" (2000)
22525:
22505:
22441:
22421:
22357:
22197:
22143:
19767:
18256:
18130:
2559:
2267:
1216:
679:- including such a notation in the ordinal analysis of PA would result in the false equality
662:
537:
473:
415:
377:
353:
310:
226:
220:
22715:
19625:
24039:
24000:
23950:
23919:
23891:
23857:
23479:
Investigations of
Subsystems of Second Order Arithmetic and Set Theory in Strength between
23427:
Iterated Inductive Definitions and Subsystems of Analysis: Recent Proof-Theoretical Studies
23150:
22798:
22744:
22673:
defines the rudimentary sets and rudimentary functions, and proves them equivalent to the Δ
22170:
2517:
1084:
24073:
Ordinal Proof Theory of Kripke-Platek Set Theory Augmented by Strong Reflection Principles
23636:
Ordinal Proof Theory of Kripke-Platek Set Theory Augmented by Strong Reflection Principles
22278:
20447:
18094:
is elementary function arithmetic augmented by an axiom ensuring that each element of the
10105:{\displaystyle \Sigma _{1}^{1}{\mathsf {-AC}}_{0}^{\bullet }+({\mathsf {SUB}}^{\bullet })}
9977:{\displaystyle \Sigma _{1}^{1}{\mathsf {-DC}}_{0}^{\bullet }+({\mathsf {SUB}}^{\bullet })}
2026:
8:
19067:
17856:
17371:). Countability is considered necessary for an ordinal to be regarded as proof theoretic.
15936:{\displaystyle \Psi _{(\omega ^{+};P_{0},\epsilon ,\epsilon ,0)}^{\varepsilon _{\Xi +1}}}
1152:
1136:
1067:
328:
22268:
represents the first weakly compact cardinal. Uses Rathjen's Ψ rather than Buchholz's ψ.
1310:
23923:
23828:
23798:
23758:
23707:
23654:
23590:
23406:
23405:
Krombholz, Martin; Rathjen, Michael (2019). "Upper bounds on the graph minor theorem".
23358:
K. Fujimoto, "Notes on some second-order systems of iterated inductive definitions and
23082:
22940:
22922:
22825:
22581:
22337:
22251:
22224:
22123:
22096:
22013:
20544:
1907:
1742:
1627:
1340:
This ordinal is sometimes considered to be the upper limit for "predicative" theories.
557:
449:
421:
397:
333:
290:
270:
248:
190:
24047:
23873:
7340:{\displaystyle Ax_{{\mathsf {ATR}}+\Sigma _{1}^{1}{\mathsf {-DC}}}{\mathsf {RFN}}_{0}}
3948:{\displaystyle {\mathsf {RCA}}_{0}+\forall Y\forall n\exists X({\textrm {TJ}}(n,X,Y))}
24063:
24025:
23986:
23958:
23877:
23843:
23813:
23779:
A direct computational interpretation of second-order arithmetic via update recursion
22752:
22684:
22662:
22616:
20398:
with an axiom stating that 'there exists an non-empty and transitive set M such that
1483:
1368:
1012:
216:
23927:
22772:
22113:
represents the first inaccessible cardinal. Uses Jäger's ψ rather than Buchholz's ψ.
8327:{\displaystyle {\mathsf {KPm}}^{0}+({\mathcal {L}}^{*}{\mathsf {-I}}_{\mathsf {N}})}
1343:
24059:
23907:
23869:
23835:
23805:
22932:
21807:
21499:
17927:
14273:{\displaystyle \Delta _{2}^{1}{\mathsf {-CA}}_{0}+(\Sigma _{2}^{1}{\mathsf {-BI}})}
7931:{\displaystyle (\Pi _{2}^{1}{\mathsf {-RFN}})_{0}^{\Sigma _{1}^{1}{\mathsf {-DC}}}}
4153:{\displaystyle {\mathsf {ACA}}_{0}+\forall X\exists Y({\textrm {TJ}}(\omega ,X,Y))}
1382:
1280:
1160:
491:
212:
158:
23778:
23106:
S. G. Simpson, "Friedman's Research on Subsystems of Second Order Arithmetic". In
22944:
12570:{\displaystyle \Pi _{1}^{1}{\mathsf {-TR}}_{0}+\Delta _{2}^{1}{\mathsf {-CA}}_{0}}
7657:{\displaystyle Ax_{{\mathsf {ATR}}+\Sigma _{1}^{1}{\mathsf {-DC}}}{\mathsf {RFN}}}
24035:
23996:
23946:
23915:
23887:
23853:
23121:
An ordinal analysis of admissible set theory using recursion on ordinal notations
22900:
B. Afshari, M. Rathjen, "Ordinal Analysis and the Infinite Ramsey Theorem" (2012)
22740:
21787:
17265:{\displaystyle {\mathsf {KP}}+\Pi _{\omega }^{\text{set}}-{\mathsf {Separation}}}
12954:{\displaystyle {\mathsf {KPi}}^{w}+{\mathsf {FOUNDR}}({\mathsf {impl-}})\Sigma )}
1292:
1166:
150:
146:
98:
24008:
23898:
Rathjen, Michael (1990), "Ordinal notations based on a weakly Mahlo cardinal.",
22677:-predicates on the naturals. An ordinal analysis of the system can be found in
13044:{\displaystyle {\mathsf {KPi}}^{w}+{\mathsf {FOUND}}({\mathsf {impl-}})\Sigma )}
6583:{\displaystyle {\mathsf {ATR}}_{0}+({\mathsf {\Sigma }}_{1}^{1}{\mathsf {-DC}})}
1073:
PA, the first-order theory of the nonnegative part of a discretely ordered ring.
23295:
22241:
represents the first Mahlo cardinal. Uses Rathjen's ψ rather than Buchholz's ψ.
17894:
is the first-order theory of the nonnegative part of a discretely ordered ring.
14655:{\displaystyle \Delta _{2}^{1}{\mathsf {-CA}}+(\Sigma _{2}^{1}{\mathsf {-BI}})}
8199:{\displaystyle (\Pi _{2}^{1}{\mathsf {-RFN}})^{\Sigma _{1}^{1}{\mathsf {-DC}}}}
4468:{\displaystyle {\mathsf {ACA}}+\forall X\exists Y({\textrm {TJ}}(\omega ,X,Y))}
90:
23839:
24084:
22936:
8997:{\displaystyle {\text{W-}}{\widetilde {\mathbf {E} {\boldsymbol {\Omega }}}}}
244:
23253:
23134:
Iterated inductive fixed-point theories: application fo Hancock's conjecture
22957:
S. Feferman, "Theories of finite type related to mathematical practice". In
19764:
is Kripke-Platek set theory, whose universe is an admissible set containing
17599:
N is a variable that defines a series of ordinal analyses of the results of
17107:{\displaystyle {\mathsf {PA}}+\bigcup \limits _{N<\omega }{\mathsf {TI}}}
10754:{\displaystyle \Pi _{1}^{1}{\mathsf {-CA}}_{0}+\Pi _{2}^{1}{\mathsf {-IND}}}
6832:{\displaystyle {\mathsf {ATR}}+({\mathsf {\Sigma }}_{1}^{1}{\mathsf {-DC}})}
18585:
18365:
16954:{\displaystyle {\mathsf {KP}}\omega +\Pi _{N}-{\mathsf {Collection}}+(V=L)}
16732:{\displaystyle \psi _{\omega _{1}^{CK}}(\varepsilon _{\mathbb {I} _{N}+1})}
16648:{\displaystyle {\mathsf {KP}}\omega +\Pi _{1}-{\mathsf {Collection}}+(V=L)}
16230:{\displaystyle \psi _{\omega _{1}^{CK}}(\varepsilon _{\mathbb {S} ^{+}+1})}
11205:{\displaystyle \Pi _{1}^{1}{\mathsf {-CA}}_{0}+\Pi _{2}^{1}{\mathsf {-BI}}}
5043:{\displaystyle {\text{W-}}{\widehat {\mathbf {E} {\boldsymbol {\Omega }}}}}
3695:{\displaystyle {\text{R-}}{\widehat {\mathbf {E} {\boldsymbol {\Omega }}}}}
776:
82:
13940:{\displaystyle \Pi _{1}^{1}{\mathsf {-TR}}+\Sigma _{2}^{1}{\mathsf {-AC}}}
13864:{\displaystyle \Pi _{1}^{1}{\mathsf {-TR}}+\Delta _{2}^{1}{\mathsf {-CA}}}
8391:{\displaystyle {\mathsf {EMA}}+(\mathbb {L} {\mathsf {-I}}_{\mathsf {N}})}
23834:, Lecture Notes in Mathematics, vol. 1407, Berlin: Springer-Verlag,
23246:
Autonomous fixed point progressions and fixed point transfinite recursion
18053:-predicates augmented by an axiom asserting that exponentiation is total.
8858:{\displaystyle {\mathsf {p}}_{1}({\mathsf {p}}_{3}({\mathsf {ACA}}_{0}))}
6225:{\displaystyle {\mathsf {KPI}}^{0}+({\mathsf {\Sigma _{1}-I}}_{\omega })}
1123:-predicates augmented by an axiom asserting that exponentiation is total.
307:
is an ordinal notation. Equivalently, it is the supremum of all ordinals
23622:". Annals of Pure and Applied Logic vol. 68, iss. 2 (1994), pp.181--224.
23153:", Annals of Pure and Applied Logic vol. 104, no.1--3 (2000), pp.75--96.
10315:{\displaystyle \psi _{0}(\varphi ({\mathsf {<}}\Omega ,0,\Omega +1))}
23911:
23809:
22888:
16438:{\displaystyle \psi _{\omega _{1}^{CK}}(\varepsilon _{\mathbb {I} +1})}
12750:{\displaystyle \Delta _{2}^{1}{\mathsf {-CA+BR(impl-}}\Sigma _{2}^{1})}
12660:{\displaystyle \Delta _{2}^{1}{\mathsf {-CA+BI(impl-}}\Sigma _{2}^{1})}
12150:{\displaystyle \psi _{\Omega _{1}}(\varepsilon _{\Omega _{\Omega }+1})}
8674:{\displaystyle {\mathsf {RCA}}_{0}^{*}+\Pi _{1}^{1}{\mathsf {-CA}}^{-}}
6651:{\displaystyle {\mathsf {KPi}}^{0}{\mathsf {+\Sigma _{1}-I}}_{\omega }}
1401:
371:
208:
23864:
Pohlers, Wolfram (1998), "Set Theory and Second Order Number Theory",
23140:, Studies in Logic and the Foundations of Mathematics vol. 109 (1982).
8523:{\displaystyle {\mathsf {p}}_{1}(\Sigma _{1}^{1}{\mathsf {-TDC}}_{0})}
3436:{\displaystyle {\mathsf {RCA}}_{0}+(\Pi _{2}^{0})^{-}{\mathsf {-IND}}}
2401:{\displaystyle \mathbb {X} =(\omega ^{+};P_{0};\epsilon ,\epsilon ,0)}
2140:{\displaystyle \mathbb {X} =(\omega ^{+};P_{0};\epsilon ,\epsilon ,0)}
1727:{\displaystyle \Delta _{2}^{1}{\mbox{-}}{\mathsf {CA}}+{\mathsf {BI}}}
1612:{\displaystyle \Sigma _{2}^{1}{\mbox{-}}{\mathsf {AC}}+{\mathsf {BI}}}
22823:
17970:-predicates without any axiom asserting that exponentiation is total.
7249:{\displaystyle Ax_{\Sigma _{1}^{1}{\mathsf {-AC}}}{\mathsf {TR}}_{0}}
1745:, has a very large proof-theoretic ordinal θ, which was described by
1098:-predicates without any axiom asserting that exponentiation is total.
659:
that is well-founded iff PA is consistent, despite having order type
23187:
23080:
20751:
is type theory with one universe and Aczel's type of iterative sets.
20503:
is the Herbelin-Patey Calculus of Primitive Recursive Constructions.
1409:
What is the proof-theoretic ordinal of full second-order arithmetic?
24013:
Mathématiques et Sciences Humaines. Mathematics and Social Sciences
23763:
23712:
23659:
23411:
23087:
22598:
represents the first Mahlo cardinal. Uses (presumably) Rathjen's ψ.
22327:-indescribable cardinal. Uses Stegert's Ψ rather than Buchholz's ψ.
20980:, also polymorphic lambda calculus or second-order lambda calculus.
20977:
24071:
23804:, Lecture Notes in Math., vol. 897, Berlin: Springer-Verlag,
23635:
23235:(2016), ed. D. Probst, P. Schuster. DOI 10.1515/9781501502620-007.
23233:
Concepts of Proof in Mathematics, Philosophy, and Computer Science
23123:". Journal of Mathematical Logic vol. 2, no. 1, pp.91--112 (2002).
22927:
22830:
16299:{\displaystyle {\mathsf {KP}}\omega +\Pi _{1}^{1}-{\mathsf {Ref}}}
9891:{\displaystyle {\widehat {\mathsf {ID}}}_{<\omega }^{\bullet }}
9280:{\displaystyle {\widetilde {\mathbf {E} {\boldsymbol {\Omega }}}}}
5914:{\displaystyle \Delta _{1}^{1}\mathrm {-CA} _{0}+\mathrm {(SUB)} }
20101:{\displaystyle {\mathsf {KP+\Pi }}_{\mathsf {n}}-{\mathsf {Ref}}}
19519:{\displaystyle {\mathsf {\Delta }}_{2}^{1}{\mathsf {-CA+BI+(M)}}}
15529:{\displaystyle {\mathsf {\Delta }}_{2}^{1}{\mathsf {-CA+BI+(M)}}}
7573:{\displaystyle Ax_{\Sigma _{1}^{1}{\mathsf {-AC}}}{\mathsf {TR}}}
6504:{\displaystyle {\widehat {\mathsf {ID}}}_{<\omega ^{\omega }}}
2237:{\displaystyle \Psi _{\mathbb {X} }^{\varepsilon _{\Upsilon +1}}}
1288:
574:
can now work with various transfinite induction principles along
22867:
Second order theories with ordinals and elementary comprehension
22086:, as the amount of weakening given by the W-types is not enough.
20600:
is type theory without W-types and with finitely many universes.
20464:-induction is removed (making the theory significantly weaker).
11271:{\displaystyle \psi _{0}(\Omega _{\omega }^{\omega ^{\omega }})}
8591:{\displaystyle \psi _{\Omega _{1}}(\Omega ^{\Omega ^{\omega }})}
6760:{\displaystyle {\widehat {\mathsf {ID}}}_{<\varepsilon _{0}}}
5281:{\displaystyle {\widehat {\mathbf {E} {\boldsymbol {\Omega }}}}}
1397:
9324:{\displaystyle {\widetilde {\mathbf {EID} }}_{\boldsymbol {1}}}
7787:{\displaystyle {\mathsf {KPh}}_{0}+({\mathsf {F-I}}_{\omega })}
1180:
or EFA augmented by an axiom ensuring that each element of the
615:, which substitute for reasoning about set-theoretic ordinals.
23653:
Arai, Toshiyasu (2023-04-01). "Lectures on Ordinal Analysis".
20361:{\displaystyle {\mathsf {KP}}\omega +(M\prec _{\Sigma _{1}}V)}
16361:{\displaystyle {\mathsf {KP}}\omega +(M\prec _{\Sigma _{1}}V)}
15456:{\displaystyle \psi _{\Omega }(\chi _{\varepsilon _{M+1}}(0))}
14725:{\displaystyle \mathbf {KPi} ^{w}+(\Sigma {\mathsf {-FOUND}})}
14343:{\displaystyle \mathbf {KPi} ^{r}+(\Sigma {\mathsf {-FOUND}})}
10574:{\displaystyle {\mathsf {\Delta }}_{2}^{1}{\mathsf {-CA}}_{0}}
9569:{\displaystyle \psi (\varepsilon _{\varepsilon _{\Omega +1}})}
9239:{\displaystyle \psi (\varepsilon _{\Omega +\varepsilon _{0}})}
3652:{\displaystyle {\mathsf {\Sigma }}_{1}^{1}{\mathsf {-AC}}_{0}}
3596:{\displaystyle {\mathsf {\Delta }}_{1}^{1}{\mathsf {-CA}}_{0}}
22654:
Bounded Arithmetic, Propositional Logic and Complexity Theory
19577:{\displaystyle {\mathsf {\Delta }}_{2}^{1}{\mathsf {-CA+BI}}}
15997:{\displaystyle {\mathsf {KP+\Pi }}_{\omega }-{\mathsf {Ref}}}
14958:{\displaystyle {\mathsf {\Sigma }}_{2}^{1}{\mathsf {-AC+BI}}}
14900:{\displaystyle {\mathsf {\Delta }}_{2}^{1}{\mathsf {-CA+BI}}}
11458:{\displaystyle \psi _{0}(\varepsilon _{\Omega _{\omega }+1})}
10667:{\displaystyle \psi _{0}(\Omega _{\omega }\omega ^{\omega })}
9388:{\displaystyle \mathbf {ACA} +(\Pi _{1}^{1}{\text{-CA}})^{-}}
6893:{\displaystyle {\mathsf {KPi}}^{0}{\mathsf {+F-I}}_{\omega }}
6402:{\displaystyle {\mathsf {KPI}}^{0}{\mathsf {+F-I}}_{\omega }}
5844:{\displaystyle {\mathsf {\Delta }}_{1}^{1}{\mathsf {-CA+BR}}}
5325:{\displaystyle {\widehat {\mathbf {EID} }}_{\boldsymbol {1}}}
23108:
Harvey Friedman's Research on the Foundations of Mathematics
22621:
Studies in Logic and the Foundations of Mathematics vol. 134
18491:
extends PA by ν iterated fixed points of monotone operators.
14788:{\displaystyle \mathbf {KPi} ^{w}+(\Sigma {\mathsf {-REC}})}
14406:{\displaystyle \mathbf {KPi} ^{r}+(\Sigma {\mathsf {-REC}})}
13566:{\displaystyle \Pi _{1}^{1}{\mathsf {-TR}}+({\mathsf {BI}})}
10820:{\displaystyle \psi _{0}(\Omega _{\omega }\varepsilon _{0})}
23795:
21303:
is basic explicit mathematics plus elementary comprehension
10518:{\displaystyle {\mathsf {\Pi }}_{1}^{1}{\mathsf {-CA}}_{0}}
9509:{\displaystyle ({\mathsf {ID}}_{1}^{2})_{0}+{\mathsf {BR}}}
7002:{\displaystyle {\widehat {\mathsf {ID}}}_{<\Gamma _{0}}}
5240:{\displaystyle \varphi (\varepsilon _{\varepsilon _{0}},0)}
1270:
1223:
1102:
1077:
23800:
Iterated inductive definitions and sub-systems of analysis
23796:
Buchholz, W.; Feferman, S.; Pohlers, W.; Sieg, W. (1981),
23674:
Arai, Toshiyasu (2023-04-07). "Well-foundedness proof for
21734:{\displaystyle {\mathsf {EM}}_{0}{\mathsf {+J+IG+FZ}}_{2}}
19684:{\displaystyle {\mathsf {\Delta }}_{2}^{1}{\mathsf {-CA}}}
11942:{\displaystyle {\mathsf {\Sigma }}_{2}^{1}{\mathsf {-AC}}}
11893:{\displaystyle {\mathsf {\Delta }}_{2}^{1}{\mathsf {-CA}}}
11737:{\displaystyle {\mathsf {\Delta }}_{2}^{1}{\mathsf {-CR}}}
11552:{\displaystyle {\mathsf {\Pi }}_{1}^{1}{\mathsf {-CA+BI}}}
5000:{\displaystyle {\mathsf {\Sigma }}_{1}^{1}{\mathsf {-DC}}}
4951:{\displaystyle {\mathsf {\Sigma }}_{1}^{1}{\mathsf {-AC}}}
4902:{\displaystyle {\mathsf {\Delta }}_{1}^{1}{\mathsf {-CA}}}
4602:{\displaystyle {\mathsf {\Delta }}_{1}^{1}{\mathsf {-CR}}}
1060:
23945:, vol. II, Zürich: Eur. Math. Soc., pp. 45–69,
23473:
23471:
23469:
23467:
22739:, vol. II, Zürich: Eur. Math. Soc., pp. 45–69,
22495:{\displaystyle \forall \theta <Y\forall \kappa <Y(}
22411:{\displaystyle \forall \theta <Y\exists \kappa <Y(}
21996:{\displaystyle \psi (\varepsilon _{\Omega _{\omega }+1})}
20865:{\displaystyle {\mathsf {ML}}_{<\omega }{\mathsf {W}}}
15282:{\displaystyle {\mathsf {ML}}_{<\omega }{\mathsf {W}}}
14008:{\displaystyle \mathbf {AUT-KPl} ^{w}+\mathbf {KPi} ^{w}}
13160:{\displaystyle \mathbf {AUT-KPl} ^{r}+\mathbf {KPi} ^{r}}
1924:
refers to the first weakly compact, due to (Rathjen 1993)
1375:
23465:
23463:
23461:
23459:
23457:
23455:
23453:
23451:
23449:
23447:
20872:
is type theory with W-types and finitely many universes.
20664:
is type theory without W-types and with a superuniverse.
19884:
asserts that the universe is a limit of admissible sets.
18220:
augmented by an axiom ensuring that each element of the
17825:
This is a list of the abbreviations used in this table:
13499:{\displaystyle \psi _{0}(\varepsilon _{\Phi _{1}(0)+1})}
1801:{\displaystyle \psi _{\Omega _{1}}(\Omega _{M+\omega })}
1467:{\displaystyle \Pi _{1}^{1}{\mbox{-}}{\mathsf {CA}}_{0}}
23400:
23398:
23396:
22908:
22906:
22710:
22708:
22706:
22704:
22702:
22700:
22071:
22056:
20904:
20892:
20693:
20684:
19622:-sentence with parameters holds in a (countable coded)
19511:
19505:
18803:
18784:
18756:
18753:
18744:
18738:
18703:
18684:
18569:
18549:
18514:
18505:
18172:{\displaystyle {\mathsf {I\Delta }}_{0}^{\mathsf {n+}}}
15838:{\displaystyle {\mathsf {KP+\Pi }}_{3}-{\mathsf {Ref}}}
15777:{\displaystyle \Psi _{\Omega }^{0}(\varepsilon _{K+1})}
15521:
15515:
15376:
15364:
13229:{\displaystyle \psi _{0}(\Phi _{1}(0)\varepsilon _{0})}
12709:
12619:
12066:
12057:
10911:{\displaystyle {\mathsf {\Pi }}_{1}^{1}{\mathsf {-CA}}}
10359:
10356:
10347:
10341:
9834:
9815:
7413:
7404:
7131:
7111:
5632:
5623:
5604:{\displaystyle {\widehat {\mathsf {ID}}}_{<\omega }}
5511:
5499:
5106:{\displaystyle \mathrm {KPu} ^{r}+(\mathrm {IND} _{N})}
3052:{\displaystyle {\mathsf {I\Delta }}_{0}^{\mathsf {n+}}}
706:
697:
23730:
Arai, Toshiyasu (2024-02-12). "An ordinal analysis of
21888:
with countably infinitely iterated least fixed points.
18213:{\displaystyle {\mathsf {I\Delta }}_{0}^{\mathsf {+}}}
18042:{\displaystyle {\mathsf {I\Delta }}_{0}^{\mathsf {+}}}
14474:{\displaystyle \psi _{0}(\Phi _{\varepsilon _{0}}(0))}
13785:{\displaystyle \psi _{0}(\Phi _{1}(\varepsilon _{0}))}
11687:{\displaystyle {\mathsf {ID}}_{<\omega ^{\omega }}}
11642:{\displaystyle \psi _{0}(\Omega _{\omega ^{\omega }})}
11119:{\displaystyle \psi _{0}(\Omega _{\omega }^{\omega })}
8731:{\displaystyle {\mathsf {p}}_{3}({\mathsf {ACA}}_{0})}
4210:{\displaystyle {\mathsf {p}}_{1}({\mathsf {ACA}}_{0})}
2845:{\displaystyle {\mathsf {I\Delta }}_{0}^{\mathsf {+}}}
1695:
1580:
1441:
24009:"Proof theory of Martin-Löf type theory. An Overview"
23736:
23680:
23530:
23485:
23444:
23364:
23194:
23006:
22983:
22584:
22548:
22528:
22508:
22464:
22444:
22424:
22380:
22360:
22340:
22301:
22281:
22254:
22227:
22214:-inaccessible cardinals. Uses (presumably) Jäger's ψ.
22200:
22173:
22160:-inaccessible cardinals. Uses (presumably) Jäger's ψ.
22146:
22126:
22099:
22044:
22016:
21960:
21902:
21874:
21835:
21747:
21678:
21654:
21625:
21572:
21541:
21508:
21474:
21438:
21394:
21358:
21311:
21275:
21236:
21203:
21159:
21101:
21069:
21027:
20995:
20959:
20927:
20880:
20834:
20791:
20759:
20716:
20672:
20640:
20608:
20569:
20547:
20511:
20476:
20450:
20404:
20374:
20312:
20270:
20191:
20143:
20135:
augmented by a certain first-order reflection scheme.
20114:
20056:
20024:
19992:
19960:
19928:
19892:
19860:
19828:
19792:
19770:
19740:
19707:
19648:
19628:
19592:
19532:
19462:
19423:
19393:
19350:
19311:
19281:
19238:
19195:
19152:
19120:
19078:
19042:
19000:
18959:
18902:
18866:
18826:
18777:
18726:
18677:
18637:
18594:
18537:
18499:
18456:
18413:
18376:
18343:
18303:
18267:
18230:
18185:
18141:
18104:
18061:
18014:
17978:
17938:
17902:
17866:
17837:
17703:
17669:
17605:
17483:
17454:
17430:
17401:
17379:
17279:
17196:
17150:
17121:
16981:
16869:
16808:
16748:
16672:
16563:
16508:
16454:
16385:
16312:
16248:
16170:
16113:
16019:
15954:
15860:
15795:
15736:
15699:
15661:
15614:
15576:
15543:
15472:
15404:
15352:
15302:
15251:
15220:
15179:
15131:
15082:
15048:
15005:
14972:
14913:
14855:
14810:
14738:
14669:
14586:
14535:
14490:
14428:
14356:
14287:
14197:
14139:
14087:
14032:
13953:
13877:
13801:
13739:
13690:
13634:
13579:
13515:
13447:
13391:
13340:
13290:
13245:
13180:
13105:
13058:
12967:
12874:
12818:
12763:
12673:
12583:
12493:
12441:
12386:
12335:
12298:
12245:
12205:
12164:
12100:
12045:
12001:
11956:
11906:
11857:
11843:{\displaystyle {\mathsf {ID}}_{<\varepsilon _{0}}}
11812:
11798:{\displaystyle \psi _{0}(\Omega _{\varepsilon _{0}})}
11761:
11701:
11656:
11605:
11566:
11507:
11472:
11415:
11287:
11229:
11135:
11084:
11019:
10970:
10925:
10875:
10834:
10780:
10681:
10627:
10590:
10531:
10475:
10437:
10393:
10329:
10258:
10205:
10166:
10118:
10032:
9990:
9904:
9855:
9808:
9758:
9647:
9612:
9585:
9533:
9457:
9441:{\displaystyle \psi (\varepsilon _{\Omega +\Omega })}
9412:
9337:
9293:
9255:
9203:
9170:
9139:
9097:
9068:
9038:
9011:
8967:
8932:
8882:
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8755:
8687:
8607:
8547:
8461:
8411:
8341:
8261:
8212:
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8075:
8038:
8000:
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7853:
7809:
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7681:
7586:
7521:
7490:
7441:
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7354:
7262:
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7152:
7099:
7057:
7020:
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6915:
6846:
6774:
6722:
6673:
6597:
6518:
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6424:
6355:
6324:
6282:
6247:
6165:
6126:
6089:
6052:
5997:
5960:
5927:
5857:
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5762:
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5653:
5617:
5573:
5545:
5487:
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5204:
5157:
5120:
5057:
5013:
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3609:
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3516:
3488:
3460:
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3330:
3316:{\displaystyle \omega ^{\omega ^{\omega ^{\omega }}}}
3288:
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336:
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293:
273:
251:
229:
193:
111:
23393:
23320:". Annals of Pure and Applied Logic vol. 122 (2003).
22973:
22971:
22969:
22967:
22903:
22697:
18953:
is a transfinite induction of length α no more than
18811:{\displaystyle {\mathsf {U(ID}}_{\nu }{\mathsf {)}}}
18711:{\displaystyle {\mathsf {U(ID}}_{\nu }{\mathsf {)}}}
14184:{\displaystyle \Sigma _{2}^{1}{\mathsf {-TRDC}}_{0}}
4303:{\displaystyle {\mathsf {ACA}}_{0}+({\mathsf {BR}})}
23298:". Journal of Symbolic Logic vol. 67, no. 3 (2002).
23296:
Transfinite dependent choice and ω-model reflection
22891:". Journal of Symbolic Logic vol. 49, no. 3 (1984).
21612:{\displaystyle {\mathsf {EM}}_{0}{\mathsf {+J+IG}}}
16855:{\displaystyle \Sigma _{N+2}^{1}{\mathsf {-AC+BI}}}
16795:{\displaystyle \Sigma _{N+2}^{1}{\mathsf {-DC+BI}}}
11003:{\displaystyle \psi _{0}(\Omega _{\omega }\Omega )}
9599:{\displaystyle \mathbf {E} {\boldsymbol {\Omega }}}
8918:{\displaystyle \psi _{0}(\varepsilon _{\Omega +1})}
7986:{\displaystyle \Sigma _{1}^{1}{\mathsf {-TDC}}_{0}}
6310:{\displaystyle {\widehat {\mathsf {ID}}}_{\omega }}
6038:{\displaystyle {\mathsf {KPu}}^{0}+(\mathrm {BR} )}
5473:{\displaystyle \varphi ({\mathsf {<}}\Omega ,0)}
3856:{\displaystyle {\mathsf {ACA}}_{0}+{\mathsf {iRT}}}
775:. In particular, the proof-theoretic ordinal of an
23827:
23797:
23749:
23698:
23570:
23516:
23382:
23340:". Journal of Symbolic Logic vol. 67, no. 1 (2002)
23332:
23330:
23328:
23326:
23222:
23025:
22992:
22590:
22563:
22534:
22514:
22494:
22450:
22430:
22410:
22366:
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22132:
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22022:
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21222:
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21145:
21085:
21055:
21011:
20968:
20943:
20911:
20864:
20818:
20775:
20743:
20708:is an automorphism on type theory without W-types.
20700:
20656:
20624:
20592:
20553:
20533:
20495:
20456:
20430:
20390:
20360:
20293:
20254:
20177:
20127:
20100:
20040:
20008:
19976:
19944:
19914:
19876:
19844:
19814:
19776:
19756:
19720:
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19634:
19614:
19576:
19518:
19446:
19409:
19373:
19334:
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19261:
19218:
19175:
19136:
19106:
19058:
19028:
18977:
18945:
18886:
18852:
18810:
18763:
18710:
18657:
18621:
18576:
18521:
18483:
18440:
18399:
18356:
18323:
18283:
18247:
18212:
18171:
18121:
18086:
18041:
17994:
17958:
17918:
17886:
17847:
17814:
17687:
17655:
17589:
17469:
17438:
17416:
17395:is an ordinal term denoting a stable ordinal, and
17387:
17288:
17264:
17181:
17136:
17106:
16953:
16854:
16794:
16731:
16647:
16548:
16494:
16437:
16360:
16298:
16229:
16147:
16094:
15996:
15935:
15837:
15776:
15715:
15684:
15642:
15595:
15559:
15528:
15455:
15383:
15331:
15281:
15236:
15201:
15158:
15110:
15065:
15033:
14988:
14957:
14899:
14838:
14787:
14724:
14654:
14572:
14521:
14473:
14405:
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14272:
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14126:{\displaystyle \Delta _{2}^{1}{\mathsf {-TR}}_{0}}
14125:
14070:
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12282:{\displaystyle {\mathsf {ID}}^{2*}+{\mathsf {BI}}}
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1003:
971:
947:-soundness. Thus the proof-theoretic ordinal of a
939:
907:
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342:
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299:
279:
257:
235:
219:, see next section) that the theory can prove are
199:
129:
23571:{\displaystyle \Delta _{2}^{1}{\mathsf {-CA+BI}}}
22964:
21345:{\displaystyle {\mathsf {EM}}_{0}{\mathsf {+JR}}}
17477:is an ordinal term denoting an ordinal such that
17182:{\displaystyle \Pi _{\infty }^{1}-{\mathsf {CA}}}
16549:{\displaystyle \Sigma _{3}^{1}{\mathsf {-AC+BI}}}
16495:{\displaystyle \Sigma _{3}^{1}{\mathsf {-DC+BI}}}
9842:{\displaystyle {\mathsf {U(ID}}_{1}{\mathsf {)}}}
4708:{\displaystyle {\mathsf {EM}}_{0}{\mathsf {+JR}}}
2016:{\displaystyle \Psi _{X}^{\varepsilon _{\Xi +1}}}
1971:{\displaystyle {\mathsf {KP}}+\Pi _{\omega }-Ref}
24082:
23963:: CS1 maint: bot: original URL status unknown (
23404:
23252:, ed. S. R. Buss, P. Hájek, and P. Pudlák . DOI
22977:M. Heissenbüttel, "Theories of ordinal strength
22912:
22889:The Strength of Admissibility Without Foundation
22793:
22791:
22789:
22787:
22785:
22783:
22781:
22757:: CS1 maint: bot: original URL status unknown (
21425:{\displaystyle {\mathsf {EM}}_{0}{\mathsf {+J}}}
20303:"at least one recursively Mahlo ordinal exists".
18622:{\displaystyle {\widehat {\mathsf {ID}}}_{\nu }}
18577:{\displaystyle {\mathsf {Aut({\widehat {ID}})}}}
18484:{\displaystyle {\widehat {\mathsf {ID}}}_{\nu }}
18441:{\displaystyle {\widehat {\mathsf {ID}}}_{\nu }}
14573:{\displaystyle \Sigma _{2}^{1}{\mathsf {-TRDC}}}
9634:{\displaystyle \mathbf {EID} _{\boldsymbol {1}}}
7139:{\displaystyle {\mathsf {Aut({\widehat {ID}})}}}
5188:{\displaystyle {\mathsf {EM}}_{0}{\mathsf {+J}}}
23425:W. Buchholz, S. Feferman, W. Pohlers, W. Sieg,
23323:
22861:
21931:{\displaystyle \psi (\varepsilon _{\Omega +1})}
20919:is an automorphism on type theory with W-types.
20819:{\displaystyle {\mathsf {ML}}_{1}{\mathsf {W}}}
20744:{\displaystyle {\mathsf {ML}}_{1}{\mathsf {V}}}
19984:asserts that the universe is inaccessible sets.
17656:{\displaystyle \Pi _{N}-{\mathsf {Collection}}}
17321:Ψ represents either Rathjen's or Stegert's Psi.
15159:{\displaystyle {\mathsf {ML}}_{1}{\mathsf {W}}}
12480:{\displaystyle \Pi _{1}^{1}{\mathsf {-TR}}_{0}}
9125:{\displaystyle {\mathsf {ML}}_{1}{\mathsf {V}}}
8247:{\displaystyle \Sigma _{1}^{1}{\mathsf {-TDC}}}
5386:{\displaystyle \varphi (\varphi (\omega ,0),0)}
3993:{\displaystyle \varepsilon _{\varepsilon _{0}}}
1403:
1151:, a second order form of EFA sometimes used in
1135:, a second order form of EFA sometimes used in
22859:
22857:
22855:
22853:
22851:
22849:
22847:
22845:
22843:
22841:
22799:A Model-Theoretic Approach to Ordinal Analysis
22571:'). Uses Stegert's Ψ rather than Buchholz's ψ.
22564:{\displaystyle \rightarrow \theta <\kappa }
18448:but with induction only for positive formulas.
17310:This is a list of symbols used in this table:
14522:{\displaystyle \Delta _{2}^{1}{\mathsf {-TR}}}
11060:{\displaystyle \Pi _{1}^{1}{\mathsf {-CA+BR}}}
10234:{\displaystyle {\mathsf {ATR}}_{0}^{\bullet }}
10019:{\displaystyle {\mathsf {ATR}}_{0}^{\bullet }}
9794:{\displaystyle \psi _{0}(\Gamma _{\Omega +1})}
8110:{\displaystyle \varphi (\varepsilon _{0},0,0)}
7716:{\displaystyle \varphi (2,\varepsilon _{0},0)}
7476:{\displaystyle \varphi (2,0,\varepsilon _{0})}
6708:{\displaystyle \varphi (1,\varepsilon _{0},0)}
5748:{\displaystyle {\mathcal {U}}(\mathrm {NFA} )}
1546:. Its proof-theoretic ordinal is equal to the
145:The field of ordinal analysis was formed when
23607:A Model for a type theory with Mahlo universe
23591:The Strength of Some Martin-Löf Type Theories
23338:Wellordering Proofs for Metapredicative Mahlo
23274:
23272:
23270:
23051:
23049:
23047:
23045:
23043:
23041:
23039:
22778:
20826:is type theory with W-types and one universe.
20632:is type theory with a next universe operator.
18087:{\displaystyle {\mathsf {EFA}}^{\mathsf {n}}}
14071:{\displaystyle \psi _{0}(\Phi _{\omega }(0))}
12364:{\displaystyle {\mathsf {KPl}}_{\Omega }^{r}}
10192:{\displaystyle {\mathsf {FP}}_{0}^{\bullet }}
8778:{\displaystyle \vartheta (\Omega ^{\Omega })}
4795:{\displaystyle {\widehat {\mathsf {ID}}}_{1}}
3008:{\displaystyle {\mathsf {EFA}}^{\mathsf {n}}}
1398:Theories with larger proof-theoretic ordinals
1336:with arbitrarily many finite level universes.
1167:Theories with proof-theoretic ordinal ω (for
23630:
23628:
23308:
23306:
23304:
23290:
23288:
23286:
23284:
23102:
23100:
23098:
21195:plus the full-second order induction scheme.
20593:{\displaystyle {\mathsf {ML}}_{<\omega }}
20534:{\displaystyle {\mathsf {ML}}_{\mathsf {n}}}
19454:plus the full second-order induction scheme.
19342:plus the full second-order induction scheme.
18331:is arithmetic with induction restricted to Σ
18049:is arithmetic with induction restricted to Δ
17966:is arithmetic with induction restricted to Δ
12031:{\displaystyle \psi _{0}(\Omega _{\Omega })}
10461:{\displaystyle {\mathsf {ID}}_{<\omega }}
10423:{\displaystyle \psi _{0}(\Omega _{\omega })}
6076:{\displaystyle {\mathsf {ML}}_{<\omega }}
4753:{\displaystyle \varphi (\varepsilon _{0},0)}
4356:{\displaystyle \varphi (2,\varepsilon _{0})}
2523:
2512:) and set theories with powersets including
2264:is a cardinal analogue of the least ordinal
1011:axiomatization will always be a (countable)
23601:
23599:
23517:{\displaystyle \Pi _{1}^{1}{\mathsf {-CA}}}
22838:
22716:Proof Theory: From Arithmetic to Set Theory
22683:. University of Michigan: Clarendon Press.
17327:ω represents the first transfinite ordinal.
13676:{\displaystyle \mathbf {AUT-ID} _{2}^{mon}}
13621:{\displaystyle \mathbf {AUT-ID} _{2}^{pos}}
13277:{\displaystyle \Pi _{1}^{1}{\mathsf {-TR}}}
12860:{\displaystyle \mathbf {AUT-ID} _{0}^{mon}}
12805:{\displaystyle \mathbf {AUT-ID} _{0}^{pos}}
12192:{\displaystyle {\mathsf {ID}}_{\prec ^{*}}}
6147:{\displaystyle \Gamma _{\omega ^{\omega }}}
1855:{\displaystyle {\mathsf {KP}}+\Pi _{3}-Ref}
1630:, has a very large proof-theoretic ordinal
1045:{\displaystyle \omega _{1}^{\mathrm {CK} }}
809:{\displaystyle \omega _{1}^{\mathrm {CK} }}
768:{\displaystyle \omega _{1}^{\mathrm {CK} }}
720:{\displaystyle {\mathsf {PTO(PA)}}=\omega }
78:Mathematical technique used in proof theory
23953:, archived from the original on 2009-12-22
23648:
23646:
23644:
23267:
23223:{\displaystyle \psi (\Gamma _{\Omega +1})}
23036:
22883:
22881:
22879:
22877:
22875:
22747:, archived from the original on 2009-12-22
21775:is the full second-order induction scheme.
21146:{\displaystyle {\mathsf {CZF+REA+FZ}}_{2}}
15643:{\displaystyle \psi (\Omega _{M+\omega })}
15111:{\displaystyle \psi (\Omega _{I+\omega })}
10861:{\displaystyle {\mathsf {W-ID}}_{\omega }}
6268:{\displaystyle \Gamma _{\varepsilon _{0}}}
1544:theory of ω-iterated inductive definitions
1344:Theories with proof-theoretic ordinal the
1311:Theories with proof-theoretic ordinal the
23762:
23725:
23723:
23711:
23658:
23625:
23410:
23301:
23281:
23095:
23086:
23026:{\displaystyle \varphi 2\varepsilon _{0}}
22926:
22829:
21946:Uses Madore's ψ rather than Buchholz's ψ.
20048:asserts that the universe is a Mahlo set.
17797:
17739:
17491:
17457:
17432:
17404:
17381:
17318:as defined in their respective citations.
17080:
16708:
16420:
16206:
14839:{\displaystyle \psi (\varepsilon _{I+1})}
8362:
6950:{\displaystyle \varphi (1,\Gamma _{0},0)}
2505:{\displaystyle \Pi _{\infty }^{1}-CA_{0}}
2344:
2210:
2083:
1897:{\displaystyle \Psi (\varepsilon _{K+1})}
1665:{\displaystyle \psi (\varepsilon _{I+1})}
629:
66:Learn how and when to remove this message
23943:International Congress of Mathematicians
23596:
23182:
23180:
23178:
23176:
23174:
23172:
23170:
23168:
23151:The unfolding of non-finitist arithmetic
23076:
23074:
23072:
23070:
22737:International Congress of Mathematicians
22650:
20541:is type theory without W-types and with
19615:{\displaystyle {\mathsf {\Pi }}_{3}^{1}}
18324:{\displaystyle {\mathsf {I\Sigma }}_{1}}
17959:{\displaystyle {\mathsf {I\Delta }}_{0}}
11493:{\displaystyle {\mathsf {ID}}_{\omega }}
3351:{\displaystyle {\mathsf {I}}\Sigma _{3}}
3157:{\displaystyle {\mathsf {I\Sigma }}_{1}}
2733:{\displaystyle {\mathsf {I\Delta }}_{0}}
1394:carving them out from bigger relations.
1376:constructive Zermelo–Fraenkel set theory
29:This article includes a list of general
24069:
24045:
24019:
23980:
23974:Subrecursion. Functions and Hierarchies
23933:
23897:
23863:
23825:
23667:
23641:
22872:
22727:
22681:Subrecursion: functions and hierarchies
22657:. Cambridge University Press. pp.
22644:
22633:
22631:
22629:
19107:{\displaystyle {\mathsf {WKL}}_{0}^{*}}
19029:{\displaystyle {\mathsf {RCA}}_{0}^{*}}
18853:{\displaystyle {\mathsf {W-ID}}_{\nu }}
18400:{\displaystyle {\mathsf {ID}}_{\nu }\#}
13377:{\displaystyle \mathbf {AUT-ID} ^{mon}}
13327:{\displaystyle \mathbf {AUT-ID} ^{pos}}
12425:{\displaystyle \psi _{0}(\Phi _{1}(0))}
2930:{\displaystyle {\mathsf {WKL}}_{0}^{*}}
2888:{\displaystyle {\mathsf {RCA}}_{0}^{*}}
2197:has a proof-theoretic ordinal equal to
1978:has a proof-theoretic ordinal equal to
1862:has a proof-theoretic ordinal equal to
1746:
1413:(more unsolved problems in mathematics)
1271:Theories with proof-theoretic ordinal ε
1224:Theories with proof-theoretic ordinal ω
1103:Theories with proof-theoretic ordinal ω
1078:Theories with proof-theoretic ordinal ω
1061:Theories with proof-theoretic ordinal ω
652:{\displaystyle (\mathbb {N} ,<_{T})}
490:well-ordered", we instead construct an
24083:
24006:
23720:
23563:
23560:
23557:
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23188:Theories of proof-theoretic strength
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20951:is type theory with a Mahlo universe.
20391:{\displaystyle {\mathsf {KP}}\omega }
20178:{\displaystyle {\mathsf {Stability}}}
19757:{\displaystyle {\mathsf {KP\omega }}}
18887:{\displaystyle {\mathsf {ID}}_{\nu }}
18658:{\displaystyle {\mathsf {ID}}_{\nu }}
17360:represent the uncountable ordinals (Ω
16148:{\displaystyle {\mathsf {Stability}}}
9055:{\displaystyle {\mathsf {KP\omega }}}
7837:{\displaystyle \varphi (\omega ,0,0)}
6452:{\displaystyle \varphi (1,\omega ,0)}
5519:{\displaystyle {\mathsf {Aut(ID\#)}}}
5418:{\displaystyle \mathrm {PRS} \omega }
2190:{\displaystyle {\mathsf {Stability}}}
1119:+ exp, arithmetic with induction on Δ
23971:
23729:
23673:
23652:
23186:U. Buchholtz, G. Jäger, T. Strahm, "
23156:
22678:
22626:
22038:Also the proof-theoretic ordinal of
20912:{\displaystyle {\mathsf {Aut(MLW)}}}
20783:is type theory with indexed W-Types.
15384:{\displaystyle {\mathsf {Aut(MLW)}}}
12232:{\displaystyle {\mathsf {BID}}^{2*}}
4552:{\displaystyle {\mathsf {ID}}_{1}\#}
441:
223:—the supremum of all ordinals
153:to prove, in modern terms, that the
15:
22812:Hydrae and subsystems of arithmetic
21188:{\displaystyle {\mathsf {CZF+REA}}}
21056:{\displaystyle {\mathsf {CZF+REA}}}
21019:is Aczel's constructive set theory.
20701:{\displaystyle {\mathsf {Aut(ML)}}}
20294:{\displaystyle {\mathsf {KPM}}^{+}}
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19374:{\displaystyle {\mathsf {ATR}}_{0}}
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17424:the least admissible ordinal above
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608:{\displaystyle (A,{\tilde {<}})}
527:{\displaystyle (A,{\tilde {<}})}
13:
23738:
23682:
23532:
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23366:
23206:
23202:
22617:Admissible Proof Theory and Beyond
22477:
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21296:{\displaystyle {\mathsf {EM}}_{0}}
20444:A superscript zero indicates that
20414:
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20198:
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2529:Table of proof-theoretic ordinals
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1328:arithmetical transfinite recursion
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756:
370:(the set of natural numbers) that
113:
35:it lacks sufficient corresponding
14:
24107:
23314:The proof-theoretic analysis of Σ
21559:{\displaystyle {\mathsf {T}}_{0}}
21526:{\displaystyle {\mathsf {T}}_{0}}
21093:plus the regular extension axiom.
19915:{\displaystyle {\mathsf {W-KPi}}}
19815:{\displaystyle {\mathsf {W-KPI}}}
18522:{\displaystyle {\mathsf {U(PA)}}}
15066:{\displaystyle {\mathsf {T}}_{0}}
11979:{\displaystyle {\mathsf {W-KPi}}}
10948:{\displaystyle {\mathsf {W-KPI}}}
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5707:{\displaystyle \mathbf {KF} ^{*}}
5640:{\displaystyle {\mathsf {U(PA)}}}
3092:{\displaystyle \omega ^{\omega }}
2329:{\displaystyle \beta <\alpha }
1548:Takeuti-Feferman-Buchholz ordinal
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21954:Can also be commonly written as
21896:Can also be commonly written as
21223:{\displaystyle {\mathsf {CZFM}}}
20496:{\displaystyle {\mathsf {CPRC}}}
17470:{\displaystyle \mathbb {I} _{N}}
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1628:recursively inaccessible ordinal
1524:{\displaystyle ID_{<\omega }}
1385:'s explicit mathematics system T
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17345:represents the gamma numbers (Γ
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3123:{\displaystyle {\mathsf {PRA}}}
2804:{\displaystyle {\mathsf {EFA}}}
2699:{\displaystyle {\mathsf {RFA}}}
1404:Unsolved problem in mathematics
1358:theory of inductive definitions
1313:Feferman–Schütte ordinal Γ
1004:{\displaystyle \Sigma _{1}^{1}}
908:{\displaystyle \Sigma _{1}^{1}}
844:{\displaystyle \Sigma _{1}^{1}}
418:of arithmetical statements for
130:{\displaystyle \Delta _{2}^{1}}
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22721:
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22575:
22549:
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20210:
20185:is KPi augmented by the axiom
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1015:, that is, strictly less than
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646:
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596:
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521:
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23699:{\displaystyle \Pi _{1}^{1}}
23383:{\displaystyle \Pi _{1}^{1}}
23318:transfinite dependent choice
22602:
22320:{\displaystyle \Pi _{0}^{2}}
22194:represents the limit of the
22140:represents the limit of the
18978:{\displaystyle \Pi _{0}^{1}}
17439:{\displaystyle \mathbb {S} }
17388:{\displaystyle \mathbb {S} }
17316:ordinal collapsing functions
2520:ZF (IZF) equals that of ZF.
2068:{\displaystyle \Pi _{0}^{2}}
1498:. It is also the ordinal of
972:{\displaystyle \Pi _{1}^{1}}
940:{\displaystyle \Pi _{1}^{1}}
876:{\displaystyle \Pi _{1}^{1}}
7:
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21813:Gentzen's consistency proof
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19732:with the axiom of infinity.
5559:{\displaystyle \Gamma _{0}}
2968:{\displaystyle \omega ^{n}}
2773:{\displaystyle \omega ^{3}}
2668:{\displaystyle \omega ^{2}}
1381:EON, a weak variant of the
1055:
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170:Gentzen's consistency proof
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19271:arithmetical comprehension
19114:is a second order form of
19036:is a second order form of
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21498:is a weak variant of the
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19922:is a weakened version of
19822:is a weakened version of
19699:Kripke-Platek set theory
18860:is a weakened version of
18665:extends PA by ν iterated
17289:{\displaystyle \lambda 2}
2543:Kripke-Platek set theory
2524:Table of ordinal analyses
2516:and ZFC. The strength of
2257:{\displaystyle \Upsilon }
1743:recursively Mahlo ordinal
979:-sound theory that has a
327:such that there exists a
243:for which there exists a
137:functions of the theory.
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23750:{\displaystyle \Pi _{N}}
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21798:Feferman–Schütte ordinal
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20987:Constructive set theory
19730:Kripke-Platek set theory
18992:Second-order arithmetic
17351:Feferman–Schütte ordinal
2549:Constructive set theory
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2408:, due to (Stegert 2010).
2147:, due to (Stegert 2010).
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22535:{\displaystyle \theta }
22515:{\displaystyle \kappa }
22451:{\displaystyle \theta }
22431:{\displaystyle \kappa }
22367:{\displaystyle \alpha }
22207:{\displaystyle \Omega }
22153:{\displaystyle \omega }
21803:Bachmann–Howard ordinal
21793:Large cardinal property
19777:{\displaystyle \omega }
19185:recursive comprehension
17829:First-order arithmetic
2569:{\displaystyle \omega }
2537:First-order arithmetic
2462:second-order arithmetic
2277:{\displaystyle \alpha }
1346:Bachmann–Howard ordinal
1235:recursive comprehension
672:{\displaystyle \omega }
547:{\displaystyle \alpha }
483:{\displaystyle \alpha }
387:{\displaystyle \alpha }
363:{\displaystyle \omega }
320:{\displaystyle \alpha }
236:{\displaystyle \alpha }
207:is the supremum of the
185:proof-theoretic ordinal
155:proof-theoretic ordinal
50:more precise citations.
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23700:
23572:
23518:
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23224:
23138:Patras Logic Symposion
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22994:
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22536:
22516:
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