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Hausdorff locally convex topologies that are compatible with the same duality.
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15794:
15631:
15525:
15002:
14982:
14881:{\displaystyle \left(X^{\prime },\sigma \left(X^{\prime },X\right)\right)^{\prime }=X\qquad {\text{ or }}\qquad \left(X_{\sigma }^{\prime }\right)^{\prime }=X.}
14682:
14662:
14642:
14553:
14471:
14424:
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14145:
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13319:
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13229:
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799:
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6433:
755:{\displaystyle {\begin{alignedat}{4}b(x,\,\cdot \,):\,&Y&&\to &&\,\mathbb {K} \\&y&&\mapsto &&\,b(x,y)\end{alignedat}}}
2977:
20501:
29680:
25809:{\displaystyle \left\langle x,F^{\#}\left(w^{\prime }\right)\right\rangle =\left\langle F(x),w^{\prime }\right\rangle \quad {\text{ for all }}>x\in X,}
39653:
38816:
38949:
7440:
9537:
33018:
13585:
8991:
5389:
Although it is technically incorrect and an abuse of notation, this article will adhere to the nearly ubiquitous convention of treating a pairing
39397:
29190:
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28814:
27404:
38652:
29058:
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17296:
6739:
37806:
35657:
10108:{\displaystyle b\left(x\otimes y,x^{*}\otimes y^{*}\right)=\left\langle x^{\prime },x\right\rangle \left\langle y^{\prime },y\right\rangle }
2387:
33440:
on the continuous dual space. Consequently, the closed and convex subsets are the same in any topology compatible with duality;that is, if
17440:
4182:
35247:
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5321:
39153:
23926:
23803:
14476:
13397:
The following theorem is of fundamental importance to duality theory because it completely characterizes the continuous dual space of
35133:
34666:
17647:
31947:
17147:
39737:
38769:
38624:
27565:
26866:
15642:
1167:{\displaystyle b(X,\,\cdot \,):=\{b(x,\,\cdot \,):x\in X\}\qquad {\text{ and }}\qquad b(\,\cdot \,,Y):=\{b(\,\cdot \,,y):y\in Y\},}
37667:
37290:
36913:
36536:
19823:
15306:
15132:
15007:
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40205:
39707:
39646:
39053:
38600:
24521:
23075:
19991:
5918:
32093:
20402:). It is easy to see that the two conditions mentioned above (i.e. for "the transpose is well-defined") are also necessary for
39950:
39774:
35930:{\displaystyle b(x,c\perp y)=b\left(x,{\overline {c}}y\right)=\langle x,{\overline {c}}y\rangle =c\langle x,y\rangle =cb(x,y),}
34410:
23235:
21120:
19055:
8891:
7660:
34500:
31454:
17836:
11435:
7657:
is a TVS, then unless indicated otherwise, it will be assumed without comment that it's associated with the canonical pairing
3580:
To use bookkeeping that helps keep track of the anti-symmetry of the two sides of the duality, the absolute polar of a subset
39145:
38428:
38381:
38347:
30422:
31241:
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22450:
21517:
17899:
38339:
25348:
20710:
By the conventions mentioned at the beginning of this article, this also defines the transpose of linear maps of the form
19540:
7819:
6358:
58:
50:
40215:
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11619:
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8618:{\displaystyle \,\cdot \,\perp \,\cdot \,:\mathbb {C} \times H\to H\quad {\text{ by }}\quad c\perp x:={\overline {c}}x,}
40371:
40335:
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39639:
39158:
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21053:
18202:
15500:{\displaystyle \left(X_{\beta }^{\prime }\right)^{\prime }~\supseteq ~\left(X_{\sigma }^{\prime }\right)^{\prime }~=~X}
15233:
10660:
9783:
8476:
8268:
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1652:
28232:{\displaystyle F:\left(X,\sigma \left(X,X^{\prime }\right)\right)\to \left(Y,\sigma \left(Y,Y^{\prime }\right)\right)}
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39517:
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35554:
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22602:
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8124:
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38373:
28514:
11887:
9403:{\displaystyle b\left(\left(x_{1},y_{1}\right),\left(x_{2},y_{2},z_{2}\right)\right):=x_{1}x_{2}+y_{1}y_{2}.}
7344:
6570:
6119:
32146:
Some authors (e.g. and ) require that a topology of a pair also be
Hausdorff, which it would have to be if
28656:
28623:
25548:
22870:
The following result shows that the existence of the transpose map is intimately tied to the weak topology.
6316:
40356:
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9061:
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34347:
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32856:. The following consequence of the above Mackey-Arens theorem is also called the Mackey-Arens theorem.
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is a complex pre-Hilbert space with scalar multiplication denoted as usual by juxtaposition or by a dot
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is a normed space whose continuous dual space is separable (when given the usual norm topology), then
24419:
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39193:
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38723:
38338:. International Series in Pure and Applied Mathematics. Vol. 8 (Second ed.). New York, NY:
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8764:
8705:
8651:
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then unless stated otherwise, it will be assumed that they are associated with the canonical pairing
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This very important fact is why results for polar topologies on continuous dual spaces, such as the
14727:
14397:{\displaystyle (X,\sigma (X,Y,b))^{\prime }=b(\,\cdot \,,Y):=\left\{b(\,\cdot \,,y):y\in Y\right\}.}
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15598:{\displaystyle \beta \left(\left(X_{\beta }^{\prime }\right)^{\prime },X_{\beta }^{\prime }\right)}
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16748:
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on a TVS are exactly those linear functionals that are bounded on a neighborhood of the origin.
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3760:
3683:
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27:
This article is about dual pairs of vector spaces. For dual pairs in representation theory, see
40317:
40307:
40291:
39991:
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39038:
38887:
38831:
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is weakly continuous then it is both Mackey continuous and strongly continuous (defined below).
24319:
19232:
10118:
9242:{\displaystyle \left(x_{1},y_{1}\right)\in X{\text{ and }}\left(x_{2},y_{2},z_{2}\right)\in Y,}
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5722:
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37531:
37154:
36777:
36400:
35557: – Continuous dual space endowed with the topology of uniform convergence on bounded sets
35551: – Continuous dual space endowed with the topology of uniform convergence on bounded sets
35534: – Subset of all points that is bounded by some given point of a dual (in a dual pairing)
33436:
The above theorem implies that the closed and convex subsets of a locally convex space depend
32814:
31342:
31129:
31022:
30930:
30603:
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28074:
27692:
27533:
27470:
27194:
27001:
26588:
is weakly continuous if and only if it satisfies any of the following equivalent conditions:
26559:
26527:
25394:
22923:
22663:
22570:
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39955:
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39760:
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15827:
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396:
289:
133:
38590:
38452:
35631:
35540: – Dual space topology of uniform convergence on some sub-collection of bounded subsets
34218:
32852:
A locally convex space whose given topology is identical to the Mackey topology is called a
25450:
24392:
24202:
24084:
23484:
20099:
20073:
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6073:
5357:
5325:
3152:
38457:
18074:
4779:
This following notation is almost ubiquitous and allows us to avoid assigning a symbol to
4696:") is defined as above, then this convention immediately produces the dual definition of "
2443:
8:
40185:
40180:
40138:
39717:
39620:
39477:
39452:
39043:
39033:
39028:
38836:
38774:
38488:
35713:
35543:
35488:
34944:{\displaystyle b\left(r_{\bullet },s_{\bullet }\right):=\sum _{i=1}^{\infty }r_{i}s_{i}.}
34788:
15527:
to be endowed with the subspace topology induced on it by, say, the strong dual topology
11105:
7253:
6511:{\displaystyle c\left(\,\cdot \,,x^{\prime }\right)=x^{\prime }(\,\cdot \,)=x^{\prime }.}
1929:
1600:
294:
106:
28:
37925:
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36080:
34765:
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34244:
34100:
33694:
33392:
33272:
32971:
32771:
32660:
29459:
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27105:
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37250:
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36873:
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35969:
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35748:
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35591:
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34270:
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34019:
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33955:
33795:
33775:
33755:
33674:
33603:
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33491:
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33304:
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33228:
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32907:
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32421:
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32033:
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29636:
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29264:
29170:
29150:
29130:
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26053:
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25277:
25257:
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25144:
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24969:
24949:
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24663:
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19168:
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18508:
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18132:
18112:
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17518:
17069:
17045:
16879:
16859:
16728:
16608:
16381:
16232:
16171:
15885:
15865:
15799:
15779:
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15510:
14987:
14967:
14667:
14647:
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14150:
14130:
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13816:
13670:
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13304:
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454:
434:
195:
175:
27721:
is a linear map between two
Hausdorff locally convex topological vector spaces, then:
39882:
39808:
39529:
39090:
38841:
38434:
38424:
38387:
38377:
38353:
38343:
38333:
38318:
38302:
38292:
35548:
31106:
24942:
is the natural evaluation map). In particular, in this situation it will be assumed
20399:
18015:
17512:
17063:
12113:
8119:
7990:
1370:(defined below) so as to avoid confusion for readers not familiar with this subject.
1002:
941:
298:
39382:
5848:
is a duality, then it's possible for a restriction to fail to be a duality (e.g. if
40275:
39845:
39830:
39631:
39599:
39243:
39188:
39079:
39074:
38846:
38764:
38733:
38713:
38698:
38693:
38688:
38376:. Vol. 8 (Second ed.). New York, NY: Springer New York Imprint Springer.
37922:
to be "compatible it a pairing" but this article will only deal with topologies on
29321:
29025:
1367:
40158:
39697:
38525:
23574:
is contained in a finite dimensional vector subspace and every vector subspace of
40250:
40098:
39524:
39417:
39263:
39234:
39208:
39129:
39114:
39023:
38995:
38972:
38708:
38662:
38610:
38605:
38576:
35483:
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33813:
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15610:
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4887:
38535:
4441:
There is a consistent theme in duality theory that any definition for a pairing
40281:
40230:
39945:
39462:
39350:
39258:
39119:
39018:
38897:
38749:
38550:
35537:
33322:
31941:
29823:
29538:
29487:
29311:
29052:
28571:
28481:
27873:
23890:
19226:
11881:
10185:
7506:{\displaystyle \left(X,X^{\prime },c{\big \vert }_{X\times X^{\prime }}\right)}
3570:{\displaystyle B^{\circ }:=\left\{x\in X:\sup _{y\in B}|b(x,y)|\leq 1\right\}.}
3395:{\displaystyle A^{\circ }:=\left\{y\in Y:\sup _{x\in A}|b(x,y)|\leq 1\right\}.}
600:
29167:
is separable if and only if the closed unit call the continuous dual space of
23777:
that are not weakly-complete (despite being complete in their norm topology).
9631:{\displaystyle X^{\perp }:=\{y\in Y:X\perp y\}=\{(0,0,z):z\in \mathbb {R} \}.}
40350:
40265:
40175:
40118:
40078:
40006:
39981:
39925:
39877:
39813:
39502:
39485:
39442:
39134:
38902:
38826:
38555:
38540:
38530:
38438:
38391:
38306:
38291:. Pure and applied mathematics (Second ed.). Boca Raton, FL: CRC Press.
35568:
35510:
35499:
34148:
33898:
33089:{\displaystyle \sigma (X,Y,b)\subseteq {\mathcal {T}}\subseteq \tau (X,Y,b).}
30646:
19815:
18925:
12704:
converges weakly to 0 but does not norm-converge to 0 (or any other vector).
10390:
8310:
8209:
2759:
2635:
1457:
546:
302:
38357:
24651:
9042:{\displaystyle \left(H,{\overline {H}},\langle \cdot ,\cdot \rangle \right)}
40312:
40260:
40220:
40210:
40088:
39935:
39930:
39727:
39677:
39355:
38892:
38545:
38515:
38400:
38329:
34152:
32853:
32362:
29851:
29320:
produces a range of locally convex topologies. Such topologies are called
29252:{\displaystyle \left(X^{\prime },\sigma \left(X^{\prime },X\right)\right).}
29017:{\displaystyle \left(X^{\prime },\sigma \left(X^{\prime },X\right)\right),}
28876:{\displaystyle \left(X^{\prime },\sigma \left(X^{\prime },X\right)\right).}
27454:{\displaystyle \operatorname {Im} {}^{t}F=(\operatorname {ker} F)^{\perp }}
23774:
18546:
11097:
10438:
8466:
494:
238:
169:
35522: – Generalization of inner products that applies to all normed spaces
29305:
29117:{\displaystyle \left(X^{\prime },\sigma \left(X^{\prime },X\right)\right)}
28784:{\displaystyle \left(X^{\prime },\sigma \left(X^{\prime },D\right)\right)}
28300:{\displaystyle \operatorname {Im} {}^{t}F={}^{t}F\left(Y^{\prime }\right)}
22024:{\displaystyle ^{\circ }=\left({}^{t}F\right)^{-1}\left(S^{\circ }\right)}
14617:{\displaystyle \left(X^{\prime },\sigma \left(X^{\prime },X\right)\right)}
13069:{\displaystyle \sup _{}|b(S,y)|<\infty \quad {\text{ for all }}y\in Y,}
5178:, then this dual definition would automatically be applied to the pairing
40270:
40255:
40148:
40042:
40037:
40022:
40001:
39965:
39872:
39692:
39345:
39224:
38821:
38811:
38718:
38520:
12648:
573:
284:
90:
35513: – Generalization of the dot product; used to define Hilbert spaces
24935:{\displaystyle \left\langle x,x^{\prime }\right\rangle :=x^{\prime }(x)}
14118:{\displaystyle X^{\perp }:=\{y\in Y:b(x,y)=0{\text{ for all }}x\in X\}.}
7630:
is a
Hausdorff locally convex space) then this pairing forms a duality.
3075:{\displaystyle R^{\perp }:=\{y\in Y:R\perp y\}:=\{y\in Y:b(R,y)=\{0\}\}}
40083:
39996:
39960:
39820:
39702:
39432:
39268:
39238:
39000:
38754:
38586:
38133:
38131:
38129:
38127:
38125:
38123:
38121:
38119:
38117:
38115:
38113:
38111:
38109:
38107:
38105:
38103:
38101:
38099:
38097:
38095:
38093:
38091:
38089:
38087:
38085:
38083:
38081:
38079:
38077:
38075:
38073:
38071:
38069:
38067:
38065:
38063:
38061:
38059:
38057:
38055:
38053:
37513:{\displaystyle c(x,H(\,\cdot \,))=b\left(\,\cdot \,,{}^{t}H(x)\right).}
37136:{\displaystyle c(w,H(\,\cdot \,))=b\left(\,\cdot \,,{}^{t}H(w)\right).}
36759:{\displaystyle c(x,G(\,\cdot \,))=c\left({}^{t}G(x),\,\cdot \,\right).}
35493:
32367:
The following is one of the most important theorems in duality theory.
29959:
The following table lists some of the more important polar topologies.
27223:
is a weakly continuous linear map. Then the following are equivalent:
26071:
22520:
20585:{\displaystyle c(F(\,\cdot \,),z)=b\left(\,\cdot \,,{}^{t}F(z)\right),}
17355:{\displaystyle b{\big \vert }_{M}:M\times Y/M^{\perp }\to \mathbb {K} }
11709:-converges" or "weakly converges" then this means that it converges in
11616:
may be omitted if no confusion arises. So, for instance, if a sequence
6794:{\displaystyle \left\langle x,x^{\prime }\right\rangle =x^{\prime }(x)}
3960:
3708:
38200:
38198:
38196:
38051:
38049:
38047:
38045:
38043:
38041:
38039:
38037:
38035:
38033:
37887:{\displaystyle c(H(\,\cdot \,),z)=b\left({}^{t}H(z),\,\cdot \,\right)}
33432:
is equal to the intersection of all closed half spaces containing it.
24487:(i.e. the topology of pointwise convergence). Consequently, when the
19356:
5915:
This article will use the common practice of denoting the restriction
40235:
40052:
39604:
39490:
39457:
35531:
29738:{\displaystyle \left\{rG^{\circ }:G\in {\mathcal {G}},r>0\right\}}
29317:
21908:
19366:
19282:
17504:{\displaystyle \sigma \left(M,Y/M^{\perp },b{\big \vert }_{M}\right)}
10208:
4237:{\displaystyle B^{\circ \circ }:=\left({}^{\circ }B\right)^{\circ }.}
3184:
2929:. The definition of a subset being orthogonal to a vector is defined
1483:, which means that it satisfies the following two separation axioms:
38315:
Methods of Modern
Mathematical Physics, Vol. 1, Functional Analysis,
35309:{\displaystyle t_{\bullet }=\left(t_{i}\right)_{i=1}^{\infty }\in T}
33099:
27995:
is continuous if and only if it is weakly continuous, in which case
25302:
In the special case where the dualities are the canonical dualities
10312:{\displaystyle \langle x,y\rangle :=\sum _{i=1}^{\infty }x_{i}y_{i}}
7984:
40200:
40195:
40153:
40133:
40103:
39894:
39277:
38227:
38225:
38210:
38193:
38030:
29746:
27073:
22243:{\displaystyle {}^{t}F\left(T^{\circ }\right)\subseteq S^{\circ },}
21845:{\displaystyle {}^{t}\left(F^{-1}\right)=\left({}^{t}F\right)^{-1}}
18832:
in particular "is an indispensable tool in working with dualities."
18326:
The following results are important for defining polar topologies.
11162:
6733:
The following notation is now nearly ubiquitous in duality theory.
3402:
38183:
38181:
38156:
38154:
38152:
38150:
38148:
38146:
22403:{\displaystyle {}^{t}F\left(T^{\circ }\right)\subseteq S^{\circ }}
22151:{\displaystyle {}^{t}F\left(T^{\circ }\right)\subseteq S^{\circ }}
8157:
in its second coordinate and homogeneous in its first coordinate.
7279:
40143:
39058:
36321:
is not clear from context then it should be assumed to be all of
35525:
26043:{\displaystyle {\mathcal {E}}=\left\{e_{1},\ldots ,e_{n}\right\}}
25644:{\displaystyle F^{\#}\left(w^{\prime }\right)=w^{\prime }\circ F}
19981:{\displaystyle c(F(\,\cdot \,),Z):=\{c(F(\,\cdot \,),z):z\in Z\}}
14555:
is also necessarily
Hausdorff) then the continuous dual space of
10771:
is not clear from context then it should be assumed to be all of
6646:
where if this pairing is a duality then it is instead called the
2930:
38249:
38222:
27666:
The transpose of map between two TVSs is defined if and only if
23978:{\displaystyle \left(Z,\sigma \left(Z,Z^{\prime }\right)\right)}
23862:{\displaystyle \left(X^{\#},\sigma \left(X^{\#},X\right)\right)}
14528:{\displaystyle \left(X,\sigma \left(X,X^{\prime }\right)\right)}
38178:
38143:
35189:{\displaystyle m_{\bullet }=\left(m_{i}\right)_{i=1}^{\infty }}
34722:{\displaystyle r_{\bullet }=\left(r_{i}\right)_{i=1}^{\infty }}
34380:
is a
Hausdorff locally convex space with continuous dual space
17711:{\displaystyle \left(M,Y/M^{\perp },b{\big \vert }_{M}\right).}
15606:
15377:
is endowed with the strong dual topology (and so is denoted by
11495:
etc.) then it means that definition when the first space (i.e.
37902:
Of course, there is an analogous definition for topologies on
33508:
with the same continuous dual spaces, then a convex subset of
32003:{\displaystyle \left(X,{\mathcal {T}}\right)=b(\,\cdot \,,Y).}
17208:{\displaystyle \left(M,Y/M^{\perp },b{\big \vert }_{M}\right)}
32296:
then the usual norm topology on its continuous dual space is
27650:{\displaystyle {}^{t}F::(Z,\sigma (Z,W))\to (Y,\sigma (Y,X))}
26951:{\displaystyle {}^{t}F::(Z,\sigma (Z,W))\to (Y,\sigma (Y,X))}
19371:
Transpose § Transposes of linear maps and bilinear forms
15685:{\displaystyle \left(X_{\beta }^{\prime }\right)^{\prime }=X}
38971:
38266:
38264:
37729:{\displaystyle c(H(\,\cdot \,),Z)\subseteq b(X,\,\cdot \,).}
37352:{\displaystyle b(X,H(\,\cdot \,))\subseteq c(\,\cdot \,,Z).}
36975:{\displaystyle c(W,H(\,\cdot \,))\subseteq b(\,\cdot \,,Y).}
36598:{\displaystyle b(X,G(\,\cdot \,))\subseteq c(W,\,\cdot \,).}
19885:{\displaystyle c(F(\,\cdot \,),Z)\subseteq b(\,\cdot \,,Y),}
15343:{\displaystyle \left(X_{\sigma }^{\prime }\right)^{\prime }}
15169:{\displaystyle \left(X_{\sigma }^{\prime }\right)^{\prime }}
15044:{\displaystyle \left(X_{\sigma }^{\prime }\right)^{\prime }}
13656:{\displaystyle b(\,\cdot \,,Y):=\{b(\,\cdot \,,y):y\in Y\}.}
8625:
where the right-hand side uses the scalar multiplication of
5803:{\displaystyle \left(M,N,b{\big \vert }_{M\times N}\right).}
38487:
23134:{\displaystyle c(F(\,\cdot \,),Z)\subseteq b(\,\cdot \,,Y)}
20059:{\displaystyle b(\,\cdot \,,Y):=\{b(\,\cdot \,,y):y\in Y\}}
14964:
for example, can also often be applied to the original TVS
6690:, so the canonical pairing is a dual system if and only if
5970:{\displaystyle \left(M,N,b{\big \vert }_{M\times N}\right)}
32139:{\displaystyle \left(X,{\mathcal {T}}\right)^{\prime }=Y.}
29187:
is metrizable when given the subspace topology induced by
27820:
is weakly continuous then it is continuous if and only if
24845:
becomes canonically identified with the canonical pairing
23456:
17428:{\displaystyle \left(m,y+M^{\perp }\right)\mapsto b(m,y).}
38261:
38237:
34446:{\displaystyle \left\langle X,X^{\prime }\right\rangle .}
31116:
24179:
In particular, with respect to the canonical duality, if
23329:{\displaystyle {}^{t}F:(Z,\sigma (Z,W,c))\to (Y,(Y,X,b))}
22567:
are normed spaces under their canonical dualities and if
21174:{\displaystyle \left(W,\sigma \left(W,Z,c\right)\right).}
8928:{\displaystyle b:H\times {\overline {H}}\to \mathbb {C} }
7696:{\displaystyle \left\langle X,X^{\prime }\right\rangle .}
34533:{\displaystyle \left\langle X,X^{\prime }\right\rangle }
31542:{\displaystyle F:(X,\beta (X,Y,b))\to (W,\beta (W,Z,c))}
29952:) then this neighborhood subbasis at 0 actually forms a
28239:
is relatively open) and every equicontinuous subsets of
25094:
forms a dual pair) then it is common practice to assume
20096:
there exists (by condition 2) a unique (by condition 1)
17889:{\displaystyle b/M:X/M\times M^{\perp }\to \mathbb {K} }
15819:
11488:{\displaystyle \operatorname {cl} _{\sigma (X,Y,b)}(S),}
308:
35559:
Pages displaying short descriptions of redirect targets
35515:
Pages displaying short descriptions of redirect targets
30449:{\displaystyle {\mathcal {G}}\subseteq {\mathcal {P}}X}
29306:
Polar topologies and topologies compatible with pairing
26208:
is a linear operator, and the matrix representation of
5216:
so as to obtain the definition of the weak topology on
1248:, in which in some cases the pairing may be denoted by
301:
because it has extensive applications to the theory of
35765:
is linear in its first coordinate is obvious. Suppose
35703:{\displaystyle b(s,y)=0\quad {\text{ for all }}s\in S}
31329:{\displaystyle F:(X,\tau (X,Y,b))\to (W,\tau (W,Z,c))}
27305:{\displaystyle F:(X,\sigma (X,Y))\to (W,\sigma (W,Z))}
26670:{\displaystyle F:(X,\sigma (X,Y))\to (W,\sigma (W,Z))}
26201:{\displaystyle F:\mathbb {K} ^{n}\to \mathbb {K} ^{n}}
25423:
is always well-defined. This transpose is called the
22952:
is a linear map. Then the following are equivalent:
22506:{\displaystyle \operatorname {ker} {}^{t}F=^{\perp }.}
21581:{\displaystyle {}^{t}(F\circ E)={}^{t}E\circ {}^{t}F.}
9803:
9788:
8465:
does not even form pairing since the inner product is
6020:
2433:{\displaystyle b(x,s)=0\quad {\text{ for all }}s\in S}
39412:
38016:
is contained in some set belonging to the collection.
38002:
37982:
37959:
37928:
37908:
37809:
37771:
37742:
37670:
37650:
37630:
37586:
37566:
37534:
37432:
37394:
37365:
37293:
37273:
37253:
37209:
37189:
37157:
37055:
37017:
36988:
36916:
36896:
36876:
36832:
36812:
36780:
36678:
36640:
36611:
36539:
36519:
36499:
36455:
36435:
36403:
36374:
36354:
36327:
36307:
36263:
36243:
36211:
36161:
36106:
36083:
36063:
36012:
35992:
35972:
35943:
35791:
35771:
35751:
35716:
35660:
35634:
35614:
35594:
35439:
35419:
35378:
35342:
35322:
35250:
35202:
35136:
35095:
35054:
35028:
34957:
34857:
34817:
34791:
34768:
34735:
34669:
34649:
34602:
34566:
34546:
34503:
34483:
34459:
34413:
34386:
34350:
34313:
34293:
34287:
is
Hausdorff and locally convex then every barrel in
34273:
34247:
34221:
34201:
34181:
34161:
34129:
34103:
34062:
34042:
34022:
33998:
33978:
33958:
33920:
33858:
33822:
33798:
33778:
33758:
33719:
33697:
33677:
33650:
33626:
33606:
33582:
33558:
33534:
33514:
33494:
33470:
33446:
33418:
33395:
33375:
33353:
33331:
33307:
33275:
33255:
33231:
33178:
33152:
33130:
33110:
33021:
32997:
32974:
32950:
32930:
32910:
32872:
32817:
32797:
32774:
32733:
32689:
32663:
32618:
32594:
32570:
32532:
32508:
32488:
32464:
32444:
32424:
32386:
32306:
32278:
32236:
32195:
32172:
32152:
32096:
32076:
32056:
32036:
32016:
31950:
31908:
31869:
31849:
31825:
31803:
31765:
31704:
31648:
31595:
31563:
31457:
31419:
31381:
31345:
31244:
31206:
31168:
31132:
31066:
31025:
30982:
30933:
30890:
30847:
30798:
30755:
30704:
30658:
30606:
30565:
30543:
30498:
30477:
30425:
30378:
30358:
30331:
30289:
30239:
30213:
30172:
30145:
30103:
30053:
30033:
30013:
29972:
29926:
29896:
29860:
29832:
29803:
29775:
29755:
29683:
29663:
29639:
29613:
29592:
29568:
29548:
29522:
29498:
29462:
29421:
29397:
29375:
29337:
29287:
29267:
29193:
29173:
29153:
29133:
29061:
29037:
28958:
28935:
28915:
28891:
28817:
28797:
28728:
28708:
28685:
28659:
28626:
28580:
28556:
28517:
28490:
28466:
28428:
28401:
28365:
28345:
28313:
28245:
28129:
28109:
28077:
28057:
28001:
27981:
27961:
27941:
27909:
27882:
27826:
27806:
27783:
27751:
27731:
27695:
27672:
27568:
27536:
27505:
27473:
27407:
27385:
27350:
27321:
27232:
27197:
27165:
27133:
27108:
27082:
27040:
27004:
26964:
26869:
26849:
26813:
26777:
26733:
26685:
26597:
26562:
26530:
26497:
26464:
26432:
26396:
26359:
26328:
26308:
26258:
26234:
26214:
26164:
26079:
26056:
25990:
25968:
25927:
25822:
25702:
25657:
25593:
25551:
25480:
25453:
25433:
25397:
25351:
25308:
25280:
25260:
25240:
25220:
25187:
25167:
25147:
25124:
25104:
25062:
25019:
24992:
24972:
24952:
24883:
24851:
24813:
24793:
24769:
24726:
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457:
437:
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246:
218:
198:
178:
136:
114:
39661:
38421:
Topological Vector Spaces, Distributions and
Kernels
38166:
35507: – General concept and operation in mathematics
35496: – In mathematics, vector space of linear forms
33904:) are exactly the polars of weakly bounded subsets.
32727:
which recall is the polar topology generated by all
31754:
25384:{\displaystyle \left\langle W,W^{\#}\right\rangle ,}
25118:
is a vector subspace of the algebraic dual space of
23800:
is a vector space then under the canonical duality,
20672:{\displaystyle c(F(x),z)=b\left(x,{}^{t}F(z)\right)}
19590:{\displaystyle c(F(\,\cdot \,),z):X\to \mathbb {K} }
18505:
The polars of the following sets are identical: (a)
16745:
is a normed space then under the canonical duality,
7855:{\displaystyle \left\langle X,X^{\#}\right\rangle ,}
6396:{\displaystyle c\left(\,\cdot \,,x^{\prime }\right)}
4479:
has a corresponding dual definition for the pairing
38401:"An Equivariant Version of the Hahn–Banach Theorem"
35372:It follows that there are weakly bounded (that is,
32090:'s algebraic dual, the defining condition becomes:
28952:when endowed with the subspace topology induced by
25338:{\displaystyle \left\langle X,X^{\#}\right\rangle }
23063:{\displaystyle F:(X,\sigma (X,Y,b))\to (W,(W,Z,c))}
22860:{\displaystyle F:(X,\sigma (X,Y,b))\to (W,(W,Z,c))}
19357:
Transposes of a linear map with respect to pairings
8458:{\displaystyle (H,H,\langle \cdot ,\cdot \rangle )}
8356:{\displaystyle (H,H,\langle \cdot ,\cdot \rangle )}
8255:{\displaystyle (H,H,\langle \cdot ,\cdot \rangle )}
4126:{\displaystyle {}^{\circ }\left(A^{\perp }\right).}
1327:{\displaystyle (X,Y,\langle \cdot ,\cdot \rangle )}
38817:Spectral theory of ordinary differential equations
38008:
37988:
37965:
37937:
37914:
37886:
37795:
37757:
37728:
37656:
37636:
37616:
37572:
37552:
37512:
37418:
37380:
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37259:
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37175:
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32588:is a polar topology determined by some collection
32580:
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3405:, the absolute polar set or polar set of a subset
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385:
344:
272:
226:
204:
184:
160:
122:
47:This reads like a textbook, not an encyclopedia's
38286:
38255:
38216:
38204:
38137:
36050:{\displaystyle b(x,\,\cdot \,):Y\to \mathbb {K} }
35130:-bounded) if and only if there exists a sequence
33100:Mackey's theorem, barrels, and closed convex sets
29316:Starting with only the weak topology, the use of
28613:{\displaystyle \sigma \left(X^{\prime },X\right)}
28455:
28395:) if and only if every equicontinuous subsets of
27865:{\displaystyle {}^{t}F:^{\prime }\to X^{\prime }}
24169:{\displaystyle z^{\prime }\mapsto z^{\prime }(z)}
21763:{\displaystyle {}^{t}\left(F^{-1}\right):Y\to Z,}
21090:{\displaystyle \operatorname {ker} {}^{t}F=\{0\}}
18238:{\displaystyle \sigma \left(X^{\prime },X\right)}
15269:{\displaystyle \sigma \left(X^{\prime },X\right)}
10701:{\displaystyle b(\,\cdot \,,y):X\to \mathbb {K} }
9823:{\displaystyle {\tfrac {1}{p}}+{\tfrac {1}{q}}=1}
8510:{\displaystyle (H,\langle \cdot ,\cdot \rangle )}
8302:{\displaystyle (H,\langle \cdot ,\cdot \rangle )}
8198:{\displaystyle (H,\langle \cdot ,\cdot \rangle )}
8029:{\displaystyle (H,\langle \cdot ,\cdot \rangle )}
7985:Inner product spaces and complex conjugate spaces
6096:(that is, the space of all linear functionals on
4808:: If a definition and its notation for a pairing
2025:{\displaystyle b(\,\cdot \,,y):X\to \mathbb {K} }
1693:{\displaystyle b(x,\,\cdot \,):Y\to \mathbb {K} }
293:is the study of dual systems and is important in
40348:
38317:Section III.3. Academic Press, San Diego, 1980.
34307:absorbs every convex bounded complete subset of
34056:if and only if it is equal to the polar of some
25538:{\displaystyle F^{\#}={}^{t}F:W^{\#}\to X^{\#}.}
14930:{\displaystyle \beta \left(X^{\prime },X\right)}
13208:is a pairing then the following are equivalent:
13008:
11350:" is attached to a topological definition (e.g.
3510:
3335:
1334:. However, this article will reserve the use of
28422:is the image of some equicontinuous subsets of
28307:is the image of some equicontinuous subsets of
27745:is continuous then it is weakly continuous and
26385:
25161:is the natural evaluation map, and also denote
24026:{\displaystyle Z=\left(Z^{\prime }\right)^{\#}}
19185:that is consistent with duality, then a subset
18104:
17826:{\displaystyle \left(X/M,M^{\perp },b/M\right)}
7280:Canonical duality on a topological vector space
5117:For another example, once the weak topology on
4246:
4066:, is the polar of the orthogonal complement of
38287:Narici, Lawrence; Beckenstein, Edward (2011).
33015:is compatible with the pairing if and only if
30047:endowed with this topology will be denoted by
27499:is injective (resp. bijective) if and only if
26800:{\displaystyle \left\langle X,Y\right\rangle }
26419:{\displaystyle \left\langle X,Y\right\rangle }
25689:{\displaystyle F^{\#}\left(w^{\prime }\right)}
22288:{\displaystyle F(S)\subseteq T^{\circ \circ }}
20826:
13392:
7341:Then the restriction of the canonical duality
1277:{\displaystyle \left\langle X,Y\right\rangle }
39647:
39398:
38957:
38473:
38364:
38231:
38187:
38160:
37953:Recall that a collection of subsets of a set
34663:denote the space of all sequences of scalars
34016:be a topology of the pair. Then a subset of
28042:{\displaystyle \|F\|=\left\|{}^{t}F\right\|.}
26322:is the matrix representation with respect to
22646:{\displaystyle \|F\|=\left\|{}^{t}F\right\|.}
17689:
17485:
17306:
17189:
13918:is not dependent on the particular choice of
8146:{\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }
7474:
5945:
5775:
1359:{\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }
35897:
35885:
35876:
35854:
35433:that are not strongly bounded (that is, not
35237:{\displaystyle \left|t_{i}\right|\leq m_{i}}
35015:{\displaystyle \sigma (X,X,b)=\tau (X,X,b).}
34638:
33552:topology if and only if it is closed in the
33212:
33179:
32791:is the strongest locally convex topology on
28008:
28002:
27178:
27166:
27146:
27134:
26826:
26814:
26445:
26433:
24864:
24852:
23633:{\displaystyle \sigma \left(X,X^{\#}\right)}
23547:{\displaystyle \sigma \left(X,X^{\#}\right)}
22612:
22606:
21084:
21078:
20053:
20018:
19975:
19931:
16278:{\displaystyle S\subseteq S^{\perp \perp }.}
14109:
14056:
13647:
13612:
13156:{\displaystyle |b(S,y)|:=\{b(s,y):s\in S\}.}
13147:
13114:
11782:, then this would mean that it converges in
10262:
10250:
9622:
9584:
9578:
9554:
9031:
9019:
8975:
8963:
8501:
8489:
8449:
8437:
8347:
8335:
8293:
8281:
8246:
8234:
8189:
8177:
8140:
8128:
8020:
8008:
7816:at the origin. Under the canonical duality
6982:
6970:
6840:
6828:
5899:
5893:
5867:
5861:
4993:then it is meant that definition applied to
3162:
3156:
3069:
3066:
3060:
3024:
3018:
2994:
2823:
2817:
2486:is defined analogously (see footnote). Thus
1353:
1341:
1318:
1306:
1200:
1188:
1158:
1123:
1090:
1055:
34844:{\displaystyle b:X\times X\to \mathbb {K} }
33389:is a non-empty closed and convex subset of
32339:{\displaystyle \left(N^{\prime },N\right).}
30457:("topology of uniform convergence on ...")
28791:is identical to the subspace topology that
27065:{\displaystyle g:A\to \operatorname {Im} g}
19681:if the following conditions are satisfied:
16598:{\displaystyle \left(S_{i}\right)_{i\in I}}
16330:{\displaystyle \left(S_{i}\right)_{i\in I}}
15176:can instead be thought of as a topology on
12415:{\displaystyle \left(x_{i}\right)_{i\in I}}
12291:{\displaystyle \left(x_{i}\right)_{i\in I}}
12180:{\displaystyle \left(x_{i}\right)_{i\in I}}
12105:{\displaystyle \left(x_{i}\right)_{i\in I}}
8981:{\displaystyle b(x,y):=\langle x,y\rangle }
8865:(instead of the scalar multiplication that
7706:
6940:is a vector space of linear functionals on
5551:
5031:(continuing the same example, the topology
529:{\displaystyle b:X\times Y\to \mathbb {K} }
273:{\displaystyle b:X\times Y\to \mathbb {K} }
39654:
39640:
39405:
39391:
38964:
38950:
38480:
38466:
15698:if in addition the strong bidual topology
14717:{\displaystyle x^{\prime }\in X^{\prime }}
14406:With respect to the canonical pairing, if
14127:This is true regardless of whether or not
13998:may be identified with the quotient space
8858:{\displaystyle \,\cdot \,\perp \,\cdot \,}
624:, but the mathematical theory is general.
37878:
37874:
37826:
37822:
37719:
37715:
37687:
37683:
37477:
37473:
37455:
37451:
37336:
37332:
37316:
37312:
37100:
37096:
37078:
37074:
36959:
36955:
36939:
36935:
36747:
36743:
36701:
36697:
36588:
36584:
36562:
36558:
36043:
36029:
36025:
34837:
33355:
33333:
33154:
33132:
31987:
31983:
31805:
29377:
26188:
26173:
25942:
25274:to be identified as a vector subspace of
25036:
25032:
24743:
24739:
23121:
23117:
23095:
23091:
21330:
20915:
20549:
20545:
20521:
20517:
20171:
20167:
20145:
20141:
20031:
20027:
20005:
20001:
19950:
19946:
19915:
19911:
19869:
19865:
19843:
19839:
19747:
19743:
19583:
19560:
19556:
19459:
18149:is a subset of the continuous dual space
17882:
17348:
17286:{\displaystyle Y/\left(M^{\perp }\right)}
15609:topology and it appears in the theory of
15605:(this topology is also called the strong
14364:
14360:
14336:
14332:
13793:
13789:
13625:
13621:
13599:
13595:
13508:
13277:
13273:
11911:
11059:
10694:
10674:
10670:
10449:
9978:
9867:
9618:
9110:
9073:
8921:
8854:
8850:
8846:
8842:
8564:
8559:
8555:
8551:
8547:
8064:
6488:
6484:
6449:
6445:
6374:
6370:
4612:These conventions also apply to theorems.
3235:
2018:
1998:
1994:
1900:
1896:
1686:
1672:
1668:
1577:
1573:
1442:
1136:
1132:
1110:
1106:
1074:
1070:
1048:
1044:
981:
977:
926:
922:
867:
844:
842:
825:
812:
808:
729:
706:
704:
687:
680:
676:
610:
584:
558:
522:
479:
338:
266:
220:
116:
77:Learn how and when to remove this message
38770:Group algebra of a locally compact group
26346:{\displaystyle {\mathcal {E}}^{\prime }}
26295:{\displaystyle M:=\left(f_{i,j}\right),}
25049:{\displaystyle y\mapsto b(\,\cdot \,,y)}
24756:{\displaystyle y\mapsto b(\,\cdot \,,y)}
21507:{\displaystyle {}^{t}(F\circ E):Z\to V,}
19760:{\displaystyle y\mapsto b(\,\cdot \,,y)}
18803:-closure of the convex balanced hull of
13833:exists then it is unique if and only if
13290:{\displaystyle y\mapsto b(\,\cdot \,,y)}
10933:or (if no confusion could arise) simply
8388:{\displaystyle \operatorname {dim} H=0.}
5236:, and this topology would be denoted by
538:bilinear map associated with the pairing
39054:Locally convex topological vector space
38398:
34596:are the same as the bounded subsets of
32348:
29822:. Every polar topology is necessarily
28540:{\displaystyle K\subseteq X^{\prime }.}
28391:is a TVS-embedding (or equivalently, a
23508:is its the algebraic dual. Then every
23457:Weak topology and the canonical duality
22523:is used in place of the absolute polar.
21417:is well-defined. Then the transpose of
11918:{\displaystyle p_{y}:X\to \mathbb {R} }
11024:Importantly, the weak topology depends
7383:{\displaystyle \left(X,X^{\#},c\right)}
6609:{\displaystyle \left(X,X^{\#},c\right)}
6158:{\displaystyle \left(X,X^{\#},c\right)}
550:. The examples here only describe when
14:
40349:
39793:Uniform boundedness (Banach–Steinhaus)
38415:
38270:
38243:
38172:
36344:in which case it is simply called the
34195:absorbs each convex compact subset of
34143:is a topological vector space, then:
31117:Definitions involving polar topologies
29749:of neighborhoods at the origin. When
28672:{\displaystyle \operatorname {span} D}
28646:{\displaystyle D\subseteq X^{\prime }}
25581:{\displaystyle w^{\prime }\in W^{\#},}
20398:(this should not be confused with the
17951:{\displaystyle (x+M,y)\mapsto b(x,y).}
15507:which (among other things) allows for
6736:The evaluation map will be denoted by
6349:{\displaystyle x^{\prime }\in X^{\#},}
540:, or more simply called the pairing's
39635:
39386:
38945:
38461:
38423:. Mineola, N.Y.: Dover Publications.
38328:
33488:are any locally convex topologies on
33218:{\displaystyle \{x\in X:f(x)\leq r\}}
29883:{\displaystyle G,K\in {\mathcal {G}}}
25214:In a completely analogous manner, if
24656:with a subspace of the algebraic dual
24573:{\displaystyle X_{\sigma }^{\prime }}
21212:being well-defined, the transpose of
20961:will be a linear map whose transpose
18271:{\displaystyle H\subseteq B^{\circ }}
15820:Orthogonals, quotients, and subspaces
14426:is a TVS whose continuous dual space
12549:{\displaystyle b\left(x_{i},y\right)}
9970:be vector spaces over the same field
8988:is linear in both coordinates and so
4526:: Given any definition for a pairing
3952:{\displaystyle A^{\circ }=A^{\perp }}
309:Definition, notation, and conventions
38340:McGraw-Hill Science/Engineering/Math
34497:that is compatible with the duality
32811:that is compatible with the pairing
32683:It follows that the Mackey topology
31944:and if the continuous dual space of
31552:
27095:{\displaystyle \operatorname {Im} g}
26958:will be continuous and furthermore,
26714:{\displaystyle F^{\#}(Z)\subseteq Y}
25955:{\displaystyle X=Y=\mathbb {K} ^{n}}
25297:
23643:
15402:{\displaystyle X_{\beta }^{\prime }}
15350:as a subset. So for instance, when
8808:) but with scalar multiplication in
7711:The following result shows that the
6991:{\displaystyle \langle X,N\rangle .}
4886:(for example, the definition of the
2236:(or, redundantly but explicitly, in
1952:; or equivalently, for all non-zero
1623:; or equivalently, for all non-zero
33:
39468:Topologies on spaces of linear maps
36149:{\displaystyle (Y,\sigma (Y,R,b)),}
35957:is linear in its second coordinate.
35564:Topologies on spaces of linear maps
35528: – Bilinear map in mathematics
35196:of positive real numbers such that
34628:{\displaystyle (X,{\mathcal {L}}).}
34407:and consider the canonical duality
33884:{\displaystyle (X,{\mathcal {L}}).}
33745:{\displaystyle A=A^{\circ \circ }.}
32502:(not necessarily Hausdorff). Then
30277:{\displaystyle Y_{\sigma (Y,X,b)},}
30091:{\displaystyle Y_{\Delta (Y,X,b)},}
29913:{\displaystyle K\in {\mathcal {G}}}
29481:
27184:{\displaystyle \langle W,Z\rangle }
27152:{\displaystyle \langle X,Y\rangle }
26832:{\displaystyle \langle W,Z\rangle }
26451:{\displaystyle \langle W,Z\rangle }
24870:{\displaystyle \langle X,Z\rangle }
24720:denotes the range of the injection
23232:is weakly continuous, meaning that
21622:is a vector space isomorphism then
19643:{\displaystyle x\mapsto c(F(x),z).}
18496:{\displaystyle (Y,\sigma (Y,X,b)).}
17584:{\displaystyle (X,\sigma (X,Y,b)).}
17135:{\displaystyle (X,\sigma (X,Y,b)).}
15613:: the Hausdorff locally convex TVS
15226:is endowed with a topology that is
13446:{\displaystyle (X,\sigma (X,Y,b)).}
12367:{\displaystyle (X,\sigma (X,Y,b)).}
11988:{\displaystyle p_{y}(x):=|b(x,y)|,}
10882:{\displaystyle X_{\sigma (X,S,b)},}
10174:{\displaystyle X^{\#}\times Y^{\#}}
9126:{\displaystyle Y=\mathbb {R} ^{3},}
9089:{\displaystyle X=\mathbb {R} ^{2},}
8788:is identical to vector addition in
8363:forms a dual system if and only if
6846:{\displaystyle \langle X,N\rangle }
6021:Canonical duality on a vector space
5072:would actually denote the topology
1836:separates (distinguishes) points of
1507:separates (distinguishes) points of
1206:{\displaystyle \langle x,y\rangle }
24:
35295:
35181:
34913:
34714:
34614:
34589:{\displaystyle (X,{\mathcal {L}})}
34578:
34520:
34462:
34430:
34392:
34373:{\displaystyle (X,{\mathcal {L}})}
34362:
34001:
33870:
33845:{\displaystyle (X,{\mathcal {L}})}
33834:
33653:
33629:
33585:
33561:
33537:
33473:
33449:
33051:
33000:
32953:
32597:
32573:
32511:
32467:
32317:
32122:
32111:
31964:
31872:
31828:
31635:{\displaystyle (X,\sigma (X,Y,b))}
30438:
30428:
30214:
30151:
30109:
30059:
29973:
29945:{\displaystyle G\cup H\subseteq K}
29905:
29875:
29835:
29806:
29778:
29713:
29616:
29571:
29501:
29415:will be a non-empty collection of
29400:
29225:
29204:
29093:
29072:
28990:
28969:
28849:
28828:
28760:
28739:
28638:
28594:
28529:
28496:
28434:
28407:
28319:
28288:
28214:
28166:
28103:is relatively open if and only if
27915:
27888:
27857:
27844:
26691:
26509:
26476:
26365:
26338:
26332:
26237:
26136:
26112:
26089:
26083:
25993:
25868:
25842:
25828:
25775:
25733:
25719:
25677:
25663:
25630:
25613:
25599:
25570:
25557:
25527:
25514:
25486:
25459:
25368:
25325:
25193:
24918:
24900:
24617:{\displaystyle X^{\prime }=X^{\#}}
24609:
24596:
24565:
24502:
24401:
24374:
24334:
24211:
24152:
24139:
24066:
24056:
24033:; that is, if and only if the map
24018:
24008:
23960:
23905:
23838:
23817:
23694:{\displaystyle (X,\sigma (X,Y,b))}
23620:
23534:
23493:
22655:
19799:
18219:
18161:
18064:{\displaystyle (X,\sigma (X,Y,b))}
17637:{\displaystyle (X,\sigma (X,Y,b))}
16784:
15756:
15738:
15728:
15671:
15661:
15585:
15567:
15557:
15480:
15470:
15441:
15431:
15394:
15362:
15335:
15325:
15288:
15276:then the continuous dual space of
15250:
15211:
15161:
15151:
15109:
15091:
15081:
15036:
15026:
14949:
14911:
14864:
14854:
14821:
14799:
14778:
14736:
14709:
14696:
14593:
14572:
14510:
14438:
14318:
14266:{\displaystyle (X,\sigma (X,Y,b))}
13991:{\displaystyle (X,\sigma (X,Y,b))}
13737:{\displaystyle (X,\sigma (X,Y,b))}
13575:{\displaystyle (X,\sigma (X,Y,b))}
13045:
12914:
12689:
12632:
11828:{\displaystyle (X,\sigma (X,Y,b))}
11755:{\displaystyle (Y,\sigma (Y,X,b))}
11654:
10284:
10166:
10153:
10089:
10063:
9869:
9668:{\displaystyle 0<p<\infty ,}
9659:
7965:
7938:
7839:
7781:
7757:
7680:
7575:
7545:
7491:
7460:
7422:
7364:
7323:
7033:
6777:
6759:
6590:
6552:
6500:
6476:
6458:
6415:
6383:
6338:
6325:
6295:
6238:
6220:
6191:
6139:
6057:
49:tone or style may not reflect the
25:
40383:
38446:
36198:{\displaystyle (Y,\sigma (Y,R)),}
35362:{\displaystyle m_{\bullet }\in X}
33893:The following theorem shows that
33852:if and only if it is a barrel in
33600:-closure of any convex subset of
33576:topology. This implies that the
31755:Topologies compatible with a pair
31744:{\displaystyle (X,\beta (X,Y,b))}
31691:{\displaystyle (X,\tau (X,Y,b)),}
28484:space with continuous dual space
27657:is relatively open and injective.
26517:{\displaystyle Z\subseteq W^{\#}}
26484:{\displaystyle Y\subseteq X^{\#}}
25651:where the defining condition for
23703:complete topological vector space
22599:is a continuous linear map, then
20679: for all
18755:{\displaystyle A^{\circ \circ },}
18129:is a locally convex space and if
15862:is a pairing then for any subset
14535:is Hausdorff, which implies that
13806:{\displaystyle f=b(\,\cdot \,,y)}
13321:into the algebraic dual space of
11762:whereas if it were a sequence in
10926:{\displaystyle X_{\sigma (X,S)},}
10555:) is the weakest TVS topology on
10243:with the bilinear map defined as
9052:
8036:is a dual pairing if and only if
7610:(which is true if, for instance,
6116:). There is a canonical duality
4950:) then by switching the order of
1919:{\displaystyle b(\,\cdot \,,y)=0}
1590:{\displaystyle b(x,\,\cdot \,)=0}
297:. Duality plays crucial roles in
40331:
40330:
38926:
38925:
38852:Topological quantum field theory
35555:Strong topology (polar topology)
32968:be a locally convex topology on
32482:be a locally convex topology on
30318:{\displaystyle Y_{\sigma (Y,X)}}
30132:{\displaystyle Y_{\Delta (Y,X)}}
29793:-topology then it is denoted by
28702:then the subspace topology that
28123:is weakly relatively open (i.e.
27528:is surjective (resp. bijective);
26524:) that are dual systems and let
24456:{\displaystyle (X,\sigma (X,Y))}
24309:{\displaystyle (Y,\sigma (Y,X))}
21451:{\displaystyle F\circ E:U\to W,}
21376:is a linear map whose transpose
19165:is a locally convex topology on
16819:{\displaystyle S^{\perp \perp }}
15816:'s original/starting topology).
14760:). This is commonly written as
13165:
11159:then the dual definition of the
10384:
7953:(where the polars are taken in
7637:: As is commonly done, whenever
6403:is just another way of denoting
6313:Note in particular that for any
4059:{\displaystyle A^{\circ \circ }}
2589:
2305:
1373:
431:consisting of two vector spaces
59:guide to writing better articles
38:
40318:With the approximation property
39159:Ekeland's variational principle
38280:
37947:
37896:
37624:is well-defined if and only if
37617:{\displaystyle {}^{t}H:Z\to X,}
37522:
37247:is well-defined if and only if
37240:{\displaystyle {}^{t}H:X\to Q,}
37145:
36870:is well-defined if and only if
36863:{\displaystyle {}^{t}H:W\to Y,}
36768:
36493:is well-defined if and only if
36486:{\displaystyle {}^{t}G:X\to W,}
36391:
36294:{\displaystyle \sigma (Y,R,b).}
36257:endowed with the weak topology
35986:is the weakest TVS topology on
35685:
32526:is compatible with the pairing
32230:is compatible with the pairing
30226:{\displaystyle \Delta =\sigma }
27662:Transpose of a map between TVSs
26764:{\displaystyle {}^{t}F:Z\to Y,}
25891:
25785:
24356:exist a proper vector subspace
23893:TVS with continuous dual space
23769:or (if no ambiguity can arise)
23368:is well-defined if and only if
22975:is weakly continuous (that is,
22438:{\displaystyle F(S)\subseteq T}
22062:{\displaystyle F(S)\subseteq T}
21663:is bijective, the transpose of
20431:to be well-defined. For every
14838:
14832:
13048:
12905:{\displaystyle \sigma (X,Y,b).}
12765:is a proper vector subspace of
12651:vectors in Hilbert space, then
11017:{\displaystyle \sigma (X,S,b).}
10980:endowed with the weak topology
10794:in which case it is called the
10373:{\displaystyle y\in X^{\beta }}
9712:{\displaystyle X:=L^{p}(\mu ),}
9511:does not distinguish points of
8828:{\displaystyle {\overline {H}}}
8781:{\displaystyle {\overline {H}}}
8722:{\displaystyle {\overline {H}}}
8668:{\displaystyle {\overline {H}}}
8586:
8580:
7796:be a basis of neighborhoods of
6670:always distinguishes points of
6306:{\displaystyle X\times X^{\#}.}
2415:
1181:It is common practice to write
1099:
1093:
994:{\displaystyle b(\,\cdot \,,y)}
933:{\displaystyle b(x,\,\cdot \,)}
39781:Open mapping (Banach–Schauder)
38313:Michael Reed and Barry Simon,
37868:
37862:
37836:
37827:
37819:
37813:
37790:
37784:
37720:
37706:
37697:
37688:
37680:
37674:
37605:
37544:
37499:
37493:
37459:
37456:
37448:
37436:
37413:
37407:
37343:
37329:
37320:
37317:
37309:
37297:
37228:
37167:
37122:
37116:
37082:
37079:
37071:
37059:
37036:
37030:
36966:
36952:
36943:
36940:
36932:
36920:
36851:
36790:
36737:
36731:
36705:
36702:
36694:
36682:
36659:
36653:
36589:
36575:
36566:
36563:
36555:
36543:
36474:
36413:
36285:
36267:
36224:
36212:
36189:
36186:
36174:
36162:
36140:
36137:
36119:
36107:
36039:
36030:
36016:
35960:
35921:
35909:
35813:
35795:
35739:
35676:
35664:
35582:
35461:
35443:
35406:{\displaystyle \sigma (X,X,b)}
35400:
35382:
35117:
35099:
35082:{\displaystyle \sigma (X,X,b)}
35076:
35058:
35006:
34988:
34979:
34961:
34833:
34619:
34603:
34583:
34567:
34470:{\displaystyle {\mathcal {L}}}
34367:
34351:
34090:{\displaystyle \sigma (Y,X,b)}
34084:
34066:
34009:{\displaystyle {\mathcal {T}}}
33939:
33921:
33875:
33859:
33839:
33823:
33661:{\displaystyle {\mathcal {T}}}
33637:{\displaystyle {\mathcal {L}}}
33593:{\displaystyle {\mathcal {T}}}
33569:{\displaystyle {\mathcal {L}}}
33545:{\displaystyle {\mathcal {T}}}
33481:{\displaystyle {\mathcal {L}}}
33457:{\displaystyle {\mathcal {T}}}
33203:
33197:
33080:
33062:
33043:
33025:
33008:{\displaystyle {\mathcal {T}}}
32961:{\displaystyle {\mathcal {T}}}
32891:
32873:
32836:
32818:
32761:{\displaystyle \sigma (X,Y,b)}
32755:
32737:
32711:
32693:
32646:{\displaystyle \sigma (Y,X,b)}
32640:
32622:
32605:{\displaystyle {\mathcal {G}}}
32581:{\displaystyle {\mathcal {T}}}
32551:
32533:
32519:{\displaystyle {\mathcal {T}}}
32475:{\displaystyle {\mathcal {T}}}
32405:
32387:
32292:is a normed space that is not
32255:
32237:
32223:{\displaystyle \sigma (X,Y,b)}
32217:
32199:
32186:(which these authors assume).
31994:
31980:
31927:
31909:
31880:{\displaystyle {\mathcal {T}}}
31836:{\displaystyle {\mathcal {T}}}
31784:
31766:
31738:
31735:
31717:
31705:
31682:
31679:
31661:
31649:
31629:
31626:
31608:
31596:
31536:
31533:
31515:
31503:
31500:
31497:
31494:
31476:
31464:
31438:
31420:
31400:
31382:
31355:
31323:
31320:
31302:
31290:
31287:
31284:
31281:
31263:
31251:
31225:
31207:
31187:
31169:
31142:
31088:
31070:
31047:
31029:
31010:{\displaystyle \sigma (X,Y,b)}
31004:
30986:
30955:
30937:
30918:{\displaystyle \sigma (X,Y,b)}
30912:
30894:
30875:{\displaystyle \sigma (X,Y,b)}
30869:
30851:
30826:{\displaystyle \gamma (X,Y,b)}
30820:
30802:
30783:{\displaystyle \sigma (X,Y,b)}
30777:
30759:
30726:
30708:
30686:{\displaystyle \sigma (X,Y,b)}
30680:
30662:
30628:
30610:
30593:{\displaystyle \sigma (X,Y,b)}
30587:
30569:
30526:{\displaystyle \sigma (X,Y,b)}
30520:
30502:
30406:{\displaystyle \sigma (X,Y,b)}
30400:
30382:
30310:
30298:
30266:
30248:
30200:{\displaystyle \sigma (Y,X,b)}
30194:
30176:
30124:
30112:
30080:
30062:
30000:{\displaystyle \Delta (X,Y,b)}
29994:
29976:
29843:{\displaystyle {\mathcal {G}}}
29814:{\displaystyle {\mathcal {G}}}
29786:{\displaystyle {\mathcal {G}}}
29624:{\displaystyle {\mathcal {G}}}
29579:{\displaystyle {\mathcal {G}}}
29509:{\displaystyle {\mathcal {G}}}
29449:{\displaystyle \sigma (X,Y,b)}
29443:
29425:
29408:{\displaystyle {\mathcal {G}}}
29356:
29338:
28456:Metrizability and separability
28375:
28181:
28087:
28032:
28015:
27849:
27705:
27644:
27641:
27629:
27617:
27614:
27611:
27608:
27596:
27584:
27546:
27483:
27442:
27429:
27366:
27354:
27299:
27296:
27284:
27272:
27269:
27266:
27263:
27251:
27239:
27207:
27050:
27030:between topological spaces is
27014:
26945:
26942:
26930:
26918:
26915:
26912:
26909:
26897:
26885:
26752:
26702:
26696:
26664:
26661:
26649:
26637:
26634:
26631:
26628:
26616:
26604:
26572:
26540:
26245:{\displaystyle {\mathcal {E}}}
26183:
25888:
25885:
25879:
25873:
25857:
25851:
25764:
25758:
25519:
25407:
25391:the transpose of a linear map
25081:
25063:
25056:is injective (especially when
25043:
25029:
25023:
24929:
24923:
24832:
24814:
24750:
24736:
24730:
24450:
24447:
24435:
24423:
24303:
24300:
24288:
24276:
24163:
24157:
24144:
24043:
23760:{\displaystyle \sigma (X,Y,b)}
23754:
23736:
23688:
23685:
23667:
23655:
23323:
23320:
23302:
23293:
23290:
23287:
23284:
23266:
23254:
23225:{\displaystyle {}^{t}F:Z\to Y}
23216:
23128:
23114:
23105:
23096:
23088:
23082:
23057:
23054:
23036:
23027:
23024:
23021:
23018:
23000:
22988:
22936:
22854:
22851:
22833:
22824:
22821:
22818:
22815:
22797:
22785:
22759:
22741:
22721:
22703:
22676:
22636:
22619:
22583:
22491:
22487:
22481:
22475:
22426:
22420:
22266:
22260:
22050:
22044:
21959:
21955:
21949:
21943:
21751:
21701:{\displaystyle F^{-1}:W\to X,}
21689:
21656:{\displaystyle {}^{t}F:Z\to Y}
21647:
21606:
21542:
21530:
21495:
21486:
21474:
21439:
21410:{\displaystyle {}^{t}E:Y\to V}
21401:
21360:
21309:
21291:
21097:) if and only if the range of
21039:{\displaystyle {}^{t}F:Z\to Y}
21030:
20995:{\displaystyle {}^{t}F:Z\to Y}
20986:
20945:
20894:
20876:
20856:
20838:
20804:
20776:
20748:
20720:
20661:
20655:
20623:
20614:
20608:
20602:
20571:
20565:
20531:
20522:
20514:
20508:
20485:
20479:
20384:
20366:
20346:
20328:
20286:{\displaystyle {}^{t}F:Z\to Y}
20277:
20236:
20230:
20178:
20164:
20155:
20146:
20138:
20132:
20038:
20024:
20012:
19998:
19960:
19951:
19943:
19937:
19925:
19916:
19908:
19902:
19876:
19862:
19853:
19844:
19836:
19830:
19754:
19740:
19734:
19634:
19625:
19619:
19613:
19607:
19579:
19570:
19561:
19553:
19547:
19489:
19438:
19420:
19400:
19382:
19319:{\displaystyle \sigma (Y,X,b)}
19313:
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19092:{\displaystyle \sigma (X,Y,b)}
19086:
19068:
19047:{\displaystyle \sigma (X,Y,b)}
19041:
19023:
18890:{\displaystyle \sigma (X,Y,b)}
18884:
18866:
18796:{\displaystyle \sigma (X,Y,b)}
18790:
18772:
18664:{\displaystyle \sigma (X,Y,b)}
18658:
18640:
18603:{\displaystyle \sigma (X,Y,b)}
18597:
18579:
18487:
18484:
18466:
18454:
18354:
18336:
18058:
18055:
18037:
18025:
17942:
17930:
17924:
17921:
17903:
17878:
17631:
17628:
17610:
17598:
17575:
17572:
17554:
17542:
17419:
17407:
17401:
17344:
17126:
17123:
17105:
17093:
17035:{\displaystyle \sigma (M,Y,b)}
17029:
17011:
16959:
16941:
16921:
16903:
16477:
16459:
16371:{\displaystyle \sigma (X,Y,b)}
16365:
16347:
16222:{\displaystyle \sigma (X,Y,b)}
16216:
16198:
16133:
16115:
16067:{\displaystyle \sigma (Y,X,b)}
16061:
16043:
15982:
15964:
15938:
15925:
15849:
15831:
14753:{\displaystyle x^{\prime }(x)}
14747:
14741:
14371:
14357:
14343:
14329:
14314:
14310:
14292:
14280:
14260:
14257:
14239:
14227:
14086:
14074:
13985:
13982:
13964:
13952:
13800:
13786:
13731:
13728:
13710:
13698:
13632:
13618:
13606:
13592:
13569:
13566:
13548:
13536:
13487:
13469:
13437:
13434:
13416:
13404:
13377:{\displaystyle \sigma (Y,X,b)}
13371:
13353:
13284:
13270:
13264:
13195:
13177:
13132:
13120:
13107:
13103:
13091:
13084:
13038:
13034:
13022:
13015:
12993:{\displaystyle \sigma (X,Y,b)}
12987:
12969:
12896:
12878:
12857:{\displaystyle \sigma (X,N,b)}
12851:
12833:
12810:
12792:
12732:
12714:
12578:
12566:
12455:{\displaystyle \sigma (X,Y,b)}
12449:
12431:
12358:
12355:
12337:
12325:
12221:{\displaystyle \sigma (X,Y,b)}
12215:
12197:
11978:
11974:
11962:
11955:
11948:
11942:
11907:
11873:{\displaystyle \sigma (X,Y,b)}
11867:
11849:
11822:
11819:
11801:
11789:
11749:
11746:
11728:
11716:
11549:{\displaystyle \sigma (X,Y,b)}
11543:
11525:
11479:
11473:
11465:
11447:
11425:{\displaystyle \sigma (X,Y,b)}
11419:
11401:
11384:{\displaystyle \sigma (X,Y,b)}
11378:
11360:
11343:{\displaystyle \sigma (X,Y,b)}
11337:
11319:
11289:
11277:
11260:{\displaystyle \sigma (Y,R,b)}
11254:
11236:
11008:
10990:
10915:
10903:
10871:
10853:
10690:
10681:
10667:
10641:
10629:
10612:{\displaystyle \sigma (X,S,b)}
10606:
10588:
10424:
10406:
9914:
9896:
9852:
9840:
9753:{\displaystyle Y:=L^{q}(\mu )}
9747:
9741:
9703:
9697:
9605:
9587:
9435:
9417:
8957:
8945:
8917:
8748:
8736:
8729:denotes the additive group of
8677:complex conjugate vector space
8574:
8504:
8480:
8452:
8422:
8350:
8320:
8296:
8272:
8249:
8219:
8192:
8168:
8023:
7999:
7946:{\displaystyle {\mathcal {N}}}
7789:{\displaystyle {\mathcal {N}}}
7745:be a TVS with algebraic dual
7205:
7199:
7113:
7095:
6878:
6860:
6788:
6782:
6489:
6481:
6249:
6243:
6002:
5984:
5835:
5817:
5706:
5688:
5581:
5563:
5528:
5510:
5490:
5472:
5452:
5434:
5414:
5396:
5373:
5361:
5341:
5329:
5311:{\displaystyle \sigma (Y,X,d)}
5305:
5287:
5270:{\displaystyle \sigma (Y,X,b)}
5264:
5246:
5203:
5185:
5171:{\displaystyle \sigma (X,Y,b)}
5165:
5147:
5100:
5082:
5059:
5041:
5018:
5000:
4917:
4899:
4833:
4815:
4596:
4578:
4571:by applying it to the pairing
4551:
4533:
4504:
4486:
4466:
4448:
4379:{\displaystyle d(y,x):=b(x,y)}
4373:
4361:
4352:
4340:
4317:
4299:
4276:
4258:
3959:and this is also equal to the
3549:
3545:
3533:
3526:
3374:
3370:
3358:
3351:
3214:
3196:
3054:
3042:
2858:
2846:
2811:
2799:
2686:
2674:
2406:
2394:
2289:
2271:
2100:
2088:
2014:
2005:
1991:
1907:
1893:
1768:
1756:
1682:
1673:
1659:
1578:
1564:
1403:
1385:
1321:
1291:
1235:
1223:
1143:
1129:
1117:
1103:
1075:
1061:
1049:
1035:
988:
974:
927:
913:
883:
871:
861:
836:
819:
805:
745:
733:
723:
698:
681:
667:
518:
415:
403:
377:
359:
262:
155:
137:
13:
1:
38648:Uniform boundedness principle
38256:Narici & Beckenstein 2011
38217:Narici & Beckenstein 2011
38205:Narici & Beckenstein 2011
38138:Narici & Beckenstein 2011
38023:
35467:{\displaystyle \beta (X,X,b)}
35123:{\displaystyle \beta (X,X,b)}
32720:{\displaystyle \tau (X,Y,b),}
31094:{\displaystyle \beta (X,Y,b)}
30643:pointwise/simple convergence
28359:is continuous injection then
27903:to equicontinuous subsets of
27562:is surjective if and only if
24352:Said differently, there does
23869:is complete. Conversely, if
22350:are weakly closed disks then
22091:{\displaystyle T\subseteq W,}
19351:
18389:{\displaystyle A\subseteq X,}
14029:{\displaystyle Y/X^{\perp },}
13945:The continuous dual space of
13518:{\displaystyle \mathbb {K} .}
11069:{\displaystyle \mathbb {C} ,}
10650:{\displaystyle \sigma (X,S),}
10459:{\displaystyle \mathbb {K} .}
10236:{\displaystyle Y:=X^{\beta }}
9988:{\displaystyle \mathbb {K} .}
7862:the continuous dual space of
7713:continuous linear functionals
7126:is a duality) if and only if
3178:
393:which may also be denoted by
38368:; Wolff, Manfred P. (1999).
35868:
35838:
35041:{\displaystyle T\subseteq X}
34560:then the bounded subsets of
33972:distinguishes the points of
33952:will be a pairing such that
33362:{\displaystyle \mathbb {C} }
33340:{\displaystyle \mathbb {R} }
33161:{\displaystyle \mathbb {C} }
33139:{\displaystyle \mathbb {R} }
32924:distinguishes the points of
32904:will be a pairing such that
32438:distinguishes the points of
32418:will be a pairing such that
32300:compatible with the duality
32166:distinguishes the points of
31812:{\displaystyle \mathbb {K} }
30732:{\displaystyle \tau (X,Y,b)}
30007:denotes a polar topology on
29384:{\displaystyle \mathbb {K} }
29324:. The weak topology is the
28445:{\displaystyle Y^{\prime }.}
28330:{\displaystyle Y^{\prime }.}
27926:{\displaystyle X^{\prime }.}
27372:{\displaystyle \sigma (Y,X)}
26386:Weak continuity and openness
25204:{\displaystyle X^{\prime }.}
24783:is a vector subspace of the
24382:{\displaystyle Y\neq X^{\#}}
23916:{\displaystyle Z^{\prime },}
22519:These results hold when the
22343:{\displaystyle S\subseteq X}
22317:{\displaystyle T\subseteq W}
22180:{\displaystyle T\subseteq W}
21873:{\displaystyle S\subseteq X}
21337:{\displaystyle \mathbb {K} }
20922:{\displaystyle \mathbb {K} }
19466:{\displaystyle \mathbb {K} }
18172:{\displaystyle X^{\prime },}
18105:Polars and the weak topology
17720:
17644:is a dual system then so is
17243:{\displaystyle Y/M^{\perp }}
16851:
16378:-closed vector subspaces of
13689:continuous linear functional
13500:be a pairing over the field
11302:(see footnote for details).
11295:{\displaystyle \sigma (Y,R)}
11152:{\displaystyle R\subseteq X}
10485:{\displaystyle S\subseteq Y}
9011:
8912:
8820:
8773:
8714:
8660:
8604:
8118:Here it is assumed that the
8071:{\displaystyle \mathbb {R} }
7556:{\displaystyle X^{\prime }.}
7334:{\displaystyle X^{\prime }.}
6900:: As is common practice, if
6853:will be written rather than
5106:{\displaystyle \tau (Y,X,d)}
5065:{\displaystyle \tau (Y,X,b)}
4923:{\displaystyle \tau (X,Y,b)}
4247:Dual definitions and results
4152:{\displaystyle B\subseteq Y}
4005:{\displaystyle A\subseteq X}
3242:{\displaystyle \mathbb {K} }
2967:{\displaystyle R\subseteq X}
2829:{\displaystyle b(R,S)=\{0\}}
2750:{\displaystyle S\subseteq Y}
2724:{\displaystyle R\subseteq X}
2112:{\displaystyle b(x,y)\neq 0}
1780:{\displaystyle b(x,y)\neq 0}
1449:{\displaystyle \mathbb {K} }
617:{\displaystyle \mathbb {C} }
591:{\displaystyle \mathbb {R} }
565:{\displaystyle \mathbb {K} }
486:{\displaystyle \mathbb {K} }
345:{\displaystyle \mathbb {K} }
227:{\displaystyle \mathbb {K} }
123:{\displaystyle \mathbb {K} }
7:
40002:Radially convex/Star-shaped
39987:Pre-compact/Totally bounded
39179:Hermite–Hadamard inequality
37765:the defining condition for
37388:the defining condition for
37011:the defining condition for
36634:the defining condition for
36237:may also be used to denote
36230:{\displaystyle (Y,\sigma )}
35477:
34762:for all sufficiently large
34400:{\displaystyle X^{\prime }}
30835:compact convex convergence
30345:{\displaystyle Y_{\sigma }}
30159:{\displaystyle Y_{\Delta }}
28504:{\displaystyle X^{\prime }}
28415:{\displaystyle X^{\prime }}
27896:{\displaystyle Y^{\prime }}
26458:are canonical pairings (so
24510:{\displaystyle X^{\prime }}
24316:is complete if and only if
23985:is complete if and only if
23481:is a vector space and that
23445:{\displaystyle {}^{tt}F=F.}
23188:is weakly continuous then
21275:{\displaystyle {}^{tt}F=F.}
20827:Properties of the transpose
20460:the defining condition for
20252:This defines a linear map
20245:{\displaystyle {}^{t}F(z).}
16792:{\displaystyle X^{\prime }}
16229:-closed vector subspace of
16019:⊥ ⊥ ⊥
15370:{\displaystyle X^{\prime }}
15296:{\displaystyle X^{\prime }}
15219:{\displaystyle X^{\prime }}
14957:{\displaystyle X^{\prime }}
14446:{\displaystyle X^{\prime }}
13457:Weak representation theorem
13393:Weak representation theorem
10953:{\displaystyle X_{\sigma }}
7583:{\displaystyle X^{\prime }}
7430:{\displaystyle X^{\prime }}
6423:{\displaystyle x^{\prime }}
5873:{\displaystyle Y\neq \{0\}}
5546:
3671:{\displaystyle B^{\circ }.}
3648:and then may be denoted by
313:
10:
40388:
39688:Continuous linear operator
38791:Invariant subspace problem
38399:Schmitt, Lothar M (1992).
37796:{\displaystyle {}^{t}H(z)}
37419:{\displaystyle {}^{t}H(x)}
37042:{\displaystyle {}^{t}H(w)}
36665:{\displaystyle {}^{t}G(x)}
34811:and define a bilinear map
34215:(i.e. there exists a real
33644:-closure and that for any
32352:
29485:
29309:
26989:{\displaystyle {}^{tt}F=F}
26863:is weakly continuous then
25447:and it will be denoted by
25096:without loss of generality
24944:without loss of generality
21900:{\displaystyle S^{\circ }}
21241:is also well-defined then
20491:{\displaystyle {}^{t}F(z)}
19724:(or equivalently, the map
19360:
18917:{\displaystyle A^{\circ }}
18420:{\displaystyle A^{\circ }}
18014:is identical to the usual
16994:{\displaystyle M\times Y.}
16934:denote the restriction of
16765:{\displaystyle S^{\perp }}
16605:is a family of subsets of
10388:
7902:{\displaystyle N^{\circ }}
6567:, then the restriction of
6045:is a vector space and let
3844:{\displaystyle B^{\circ }}
3777:{\displaystyle B^{\circ }}
3700:{\displaystyle B^{\circ }}
3465:{\displaystyle B^{\circ }}
3182:
3142:{\displaystyle R^{\perp }}
26:
40372:Topological vector spaces
40326:
40071:
40033:Algebraic interior (core)
40015:
39913:
39801:
39775:Vector-valued Hahn–Banach
39736:
39670:
39663:Topological vector spaces
39613:
39592:
39584:Transpose of a linear map
39576:
39555:
39476:
39425:
39364:
39331:
39286:
39217:
39143:
39067:
39009:
38983:
38921:
38880:
38804:
38783:
38742:
38681:
38623:
38569:
38511:
38504:
38370:Topological Vector Spaces
38289:Topological Vector Spaces
38232:Schaefer & Wolff 1999
38188:Schaefer & Wolff 1999
38161:Schaefer & Wolff 1999
35571: – Mathematical term
34639:Space of finite sequences
31110:Strongest polar topology
25294:'s algebraic dual space.
24624:(that is, if and only if
24345:{\displaystyle Y=X^{\#}.}
24107:to the evaluation map at
20191:), where this element of
19363:Transpose of a linear map
19254:{\displaystyle (X,\tau )}
18525:; (b) the convex hull of
17215:is a paired space (where
15303:will necessarily contain
13878:Note that whether or not
13000:-bounded if and only if
10134:{\displaystyle X\times Y}
6635:{\displaystyle X\times N}
5738:{\displaystyle M\times N}
4524:Convention and Definition
39863:Topological homomorphism
39723:Topological vector space
39365:Applications and related
39169:Fenchel-Young inequality
38760:Spectrum of a C*-algebra
37644:distinguishes points of
37553:{\displaystyle H:Y\to W}
37267:distinguishes points of
37176:{\displaystyle H:W\to Y}
36890:distinguishes points of
36799:{\displaystyle H:X\to Z}
36513:distinguishes points of
36422:{\displaystyle G:Z\to Y}
35575:
32845:{\displaystyle (X,Y,b).}
32070:as a vector subspace of
32030:distinguishes points of
31843:is a vector topology on
31364:{\displaystyle F:X\to W}
31151:{\displaystyle F:X\to W}
31053:{\displaystyle b(X,Y,b)}
30961:{\displaystyle c(X,Y,b)}
30790:-compact convex subsets
30634:{\displaystyle s(X,Y,b)}
30463:Name ("topology of...")
29655:topological vector space
28384:{\displaystyle F:X\to Y}
28096:{\displaystyle F:X\to Y}
27714:{\displaystyle F:X\to Y}
27555:{\displaystyle F:X\to W}
27492:{\displaystyle F:X\to W}
27216:{\displaystyle F:X\to W}
27023:{\displaystyle g:A\to B}
26581:{\displaystyle F:X\to W}
26549:{\displaystyle F:X\to W}
25416:{\displaystyle F:X\to W}
25254:then it is possible for
25234:distinguishes points of
24966:is a vector subspace of
24680:distinguishes points of
24199:is a vector subspace of
23388:distinguishes points of
22945:{\displaystyle F:X\to W}
22900:distinguishes points of
22685:{\displaystyle F:X\to W}
22592:{\displaystyle F:X\to Y}
21615:{\displaystyle F:X\to W}
21369:{\displaystyle E:U\to X}
20954:{\displaystyle F:X\to W}
19787:into the algebraic dual
19704:distinguishes points of
19498:{\displaystyle F:X\to W}
18973:distinguishes points of
18897:-bounded if and only if
18245:-bounded if and only if
17833:is a paired space where
17745:is a vector subspace of
16876:is a vector subspace of
15051:means that the topology
14684:(i.e. the map that send
14187:distinguishes points of
14147:distinguishes points of
13898:distinguishes points of
13853:distinguishes points of
13231:distinguishes points of
9468:distinguishes points of
7707:Polars and duals of TVSs
7306:topological vector space
7146:distinguishes points of
7068:distinguishes points of
7021:is a vector subspace of
6887:{\displaystyle (X,N,c).}
6540:is a vector subspace of
6011:{\displaystyle (M,N,b).}
5657:is a vector subspace of
5614:is a vector subspace of
5552:Restriction of a pairing
5537:{\displaystyle (Y,X,b).}
4846:depends on the order of
4716:distinguishes points of
4636:distinguishes points of
4605:{\displaystyle (Y,X,d).}
4560:{\displaystyle (X,Y,b),}
4513:{\displaystyle (Y,X,d).}
4285:{\displaystyle (X,Y,b),}
3896:is a vector subspace of
3804:is a vector subspace of
3227:defining a pairing over
2870:{\displaystyle b(r,s)=0}
2782:{\displaystyle R\perp S}
2698:{\displaystyle b(x,y)=0}
2657:{\displaystyle x\perp y}
386:{\displaystyle (X,Y,b),}
39125:Legendre transformation
39049:Legendre transformation
38857:Noncommutative geometry
37758:{\displaystyle z\in Z,}
37736:In this case, for each
37381:{\displaystyle x\in X,}
37359:In this case, for each
37004:{\displaystyle w\in W,}
36982:In this case, for each
36627:{\displaystyle x\in X,}
36605:In this case, for each
34755:{\displaystyle r_{i}=0}
33945:{\displaystyle (X,Y,b)}
32897:{\displaystyle (X,Y,b)}
32861:Mackey–Arens theorem II
32557:{\displaystyle (X,Y,b)}
32411:{\displaystyle (X,Y,b)}
32261:{\displaystyle (X,Y,b)}
31933:{\displaystyle (X,Y,b)}
31889:topology of the pairing
31790:{\displaystyle (X,Y,b)}
31444:{\displaystyle (W,Z,c)}
31406:{\displaystyle (X,Y,b)}
31231:{\displaystyle (W,Z,c)}
31193:{\displaystyle (X,Y,b)}
29369:will be a pairing over
29362:{\displaystyle (X,Y,b)}
29147:is a normed space then
28929:is equicontinuous then
27975:are normed spaces then
27767:{\displaystyle {}^{t}F}
27521:{\displaystyle {}^{t}F}
27337:{\displaystyle {}^{t}F}
26556:be a linear map. Then
26376:{\displaystyle F^{\#}.}
25087:{\displaystyle (X,Y,b)}
25006:is the evaluation map.
24838:{\displaystyle (X,Y,b)}
23361:{\displaystyle {}^{t}F}
22765:{\displaystyle (W,Z,c)}
22727:{\displaystyle (X,Y,b)}
21315:{\displaystyle (U,V,a)}
21234:{\displaystyle {}^{t}F}
21205:{\displaystyle {}^{t}F}
20900:{\displaystyle (W,Z,c)}
20862:{\displaystyle (X,Y,b)}
20816:{\displaystyle Y\to W,}
20788:{\displaystyle W\to Y,}
20760:{\displaystyle X\to Z,}
20732:{\displaystyle Z\to Y,}
20701:{\displaystyle x\in X.}
20453:{\displaystyle z\in Z,}
20424:{\displaystyle {}^{t}F}
20390:{\displaystyle (W,Z,c)}
20352:{\displaystyle (X,Y,b)}
19679:adjoint is well-defined
19530:{\displaystyle z\in Z,}
19444:{\displaystyle (W,Z,c)}
19406:{\displaystyle (X,Y,b)}
19138:{\displaystyle (X,Y,b)}
18360:{\displaystyle (X,Y,b)}
16965:{\displaystyle (X,Y,b)}
16927:{\displaystyle (M,Y,b)}
15855:{\displaystyle (X,Y,b)}
13744:then there exists some
13493:{\displaystyle (X,Y,b)}
13201:{\displaystyle (X,Y,b)}
12816:{\displaystyle (X,N,b)}
12738:{\displaystyle (X,Y,b)}
12587:{\displaystyle b(x,y).}
12504:{\displaystyle y\in Y,}
12482:if and only if for all
11702:{\displaystyle \sigma }
11307:Definition and Notation
11226:), which is denoted by
10430:{\displaystyle (X,Y,b)}
10341:{\displaystyle x\in X,}
9995:Then the bilinear form
9920:{\displaystyle (X,Y,b)}
9448:is a pairing such that
9441:{\displaystyle (X,Y,b)}
8761:(so vector addition in
8533:{\displaystyle \cdot .}
7119:{\displaystyle (X,N,c)}
6277:bilinear functional on
5905:{\displaystyle N=\{0\}}
5841:{\displaystyle (X,Y,b)}
5712:{\displaystyle (X,Y,b)}
5587:{\displaystyle (X,Y,b)}
5496:{\displaystyle (Y,X,d)}
5458:{\displaystyle (Y,X,d)}
5420:{\displaystyle (X,Y,b)}
5209:{\displaystyle (Y,X,d)}
5137:is defined, denoted by
5024:{\displaystyle (Y,X,d)}
4839:{\displaystyle (X,Y,b)}
4806:Convention and Notation
4472:{\displaystyle (X,Y,b)}
4323:{\displaystyle (Y,X,d)}
3757:is balanced then so is
3620:may also be called the
3220:{\displaystyle (X,Y,b)}
2295:{\displaystyle (X,Y,b)}
2173:, and one can say that
1974:{\displaystyle y\in Y,}
1409:{\displaystyle (X,Y,b)}
784:{\displaystyle y\in Y,}
424:{\displaystyle b(X,Y),}
161:{\displaystyle (X,Y,b)}
39921:Absolutely convex/disk
39372:Convexity in economics
39306:(lower) ideally convex
39164:Fenchel–Moreau theorem
39154:Carathéodory's theorem
38913:Tomita–Takesaki theory
38888:Approximation property
38832:Calculus of variations
38010:
37990:
37967:
37939:
37916:
37888:
37797:
37759:
37730:
37658:
37638:
37618:
37574:
37554:
37514:
37420:
37382:
37353:
37281:
37261:
37241:
37197:
37177:
37137:
37043:
37005:
36976:
36904:
36884:
36864:
36820:
36800:
36760:
36666:
36628:
36599:
36527:
36507:
36487:
36443:
36423:
36382:
36362:
36338:
36315:
36295:
36251:
36231:
36199:
36150:
36094:
36071:
36051:
36000:
35980:
35951:
35931:
35779:
35759:
35730:
35704:
35648:
35647:{\displaystyle y\in Y}
35622:
35602:
35468:
35427:
35407:
35363:
35330:
35310:
35238:
35190:
35124:
35083:
35042:
35016:
34945:
34917:
34845:
34805:
34779:
34756:
34723:
34657:
34629:
34590:
34554:
34534:
34491:
34471:
34447:
34401:
34374:
34324:
34301:
34281:
34258:
34235:
34234:{\displaystyle r>0}
34209:
34189:
34169:
34137:
34114:
34091:
34050:
34030:
34010:
33986:
33966:
33946:
33885:
33846:
33806:
33786:
33766:
33746:
33708:
33685:
33662:
33638:
33614:
33594:
33570:
33546:
33522:
33502:
33482:
33458:
33426:
33406:
33383:
33363:
33341:
33315:
33286:
33263:
33239:
33219:
33162:
33140:
33118:
33090:
33009:
32985:
32962:
32938:
32918:
32898:
32846:
32805:
32785:
32762:
32721:
32674:
32647:
32606:
32582:
32558:
32520:
32496:
32476:
32452:
32432:
32412:
32340:
32286:
32262:
32224:
32180:
32160:
32140:
32084:
32064:
32044:
32024:
32004:
31934:
31881:
31857:
31837:
31813:
31791:
31745:
31692:
31636:
31589:) if it is bounded in
31571:
31543:
31445:
31407:
31365:
31330:
31232:
31194:
31152:
31095:
31054:
31011:
30962:
30919:
30876:
30827:
30784:
30733:
30687:
30635:
30594:
30551:
30527:
30485:
30450:
30407:
30366:
30346:
30319:
30278:
30227:
30201:
30160:
30133:
30092:
30041:
30021:
30001:
29946:
29914:
29884:
29844:
29815:
29787:
29763:
29739:
29671:
29647:
29625:
29600:
29580:
29556:
29530:
29510:
29473:
29450:
29409:
29385:
29363:
29295:
29275:
29253:
29181:
29161:
29141:
29118:
29045:
29018:
28946:
28923:
28899:
28877:
28805:
28785:
28716:
28696:
28673:
28647:
28614:
28564:
28541:
28505:
28474:
28446:
28416:
28385:
28353:
28331:
28301:
28233:
28117:
28097:
28065:
28043:
27989:
27969:
27949:
27927:
27897:
27866:
27814:
27791:
27768:
27739:
27715:
27686:is weakly continuous.
27680:
27651:
27556:
27522:
27493:
27455:
27393:
27373:
27338:
27306:
27217:
27185:
27153:
27119:
27096:
27066:
27024:
26990:
26952:
26857:
26833:
26801:
26765:
26715:
26671:
26582:
26550:
26518:
26485:
26452:
26420:
26377:
26347:
26316:
26302:then the transpose of
26296:
26246:
26222:
26202:
26153:
26064:
26044:
25979:
25956:
25913:
25810:
25690:
25645:
25582:
25545:In this case, for all
25539:
25468:
25467:{\displaystyle F^{\#}}
25441:
25417:
25385:
25339:
25288:
25268:
25248:
25228:
25205:
25175:
25155:
25135:
25112:
25088:
25050:
25000:
24986:'s algebraic dual and
24980:
24960:
24936:
24871:
24839:
24801:
24777:
24757:
24714:
24694:
24674:
24642:
24618:
24574:
24538:
24511:
24477:
24457:
24410:
24409:{\displaystyle X^{\#}}
24383:
24346:
24310:
24263:
24240:
24220:
24219:{\displaystyle X^{\#}}
24193:
24170:
24121:
24101:
24100:{\displaystyle z\in Z}
24075:
24027:
23979:
23917:
23883:
23863:
23794:
23761:
23719:
23695:
23634:
23588:
23568:
23548:
23502:
23501:{\displaystyle X^{\#}}
23475:
23446:
23405:
23382:
23362:
23330:
23226:
23182:
23158:
23135:
23064:
22969:
22946:
22914:
22894:
22861:
22766:
22728:
22686:
22647:
22593:
22561:
22541:
22507:
22439:
22404:
22344:
22318:
22289:
22244:
22181:
22152:
22092:
22063:
22025:
21928:
21901:
21874:
21846:
21764:
21702:
21657:
21616:
21582:
21508:
21452:
21411:
21370:
21338:
21316:
21276:
21235:
21206:
21175:
21111:
21091:
21040:
20996:
20955:
20923:
20901:
20863:
20817:
20789:
20761:
20733:
20702:
20673:
20586:
20492:
20454:
20425:
20391:
20353:
20315:
20287:
20246:
20205:
20185:
20116:
20115:{\displaystyle y\in Y}
20090:
20089:{\displaystyle z\in Z}
20070:In this case, for any
20060:
19982:
19886:
19808:
19807:{\displaystyle X^{\#}}
19781:
19761:
19718:
19698:
19664:
19644:
19597:be the map defined by
19591:
19531:
19499:
19467:
19445:
19407:
19343:
19320:
19275:
19255:
19219:
19199:
19179:
19159:
19139:
19093:
19048:
19007:
18987:
18967:
18945:
18918:
18891:
18850:
18820:
18797:
18756:
18723:
18692:
18665:
18624:
18604:
18563:
18539:
18519:
18497:
18447:is a closed subset of
18441:
18421:
18390:
18361:
18318:
18295:
18272:
18239:
18193:
18173:
18143:
18123:
18096:
18065:
18008:
17952:
17890:
17827:
17762:
17739:
17712:
17638:
17585:
17529:
17505:
17429:
17356:
17287:
17244:
17209:
17136:
17080:
17056:
17036:
16995:
16966:
16928:
16890:
16870:
16843:
16820:
16793:
16766:
16739:
16716:
16619:
16599:
16549:
16392:
16372:
16331:
16279:
16243:
16223:
16182:
16159:
16068:
16027:
15896:
15876:
15856:
15810:
15790:
15770:
15692:and it will be called
15686:
15627:
15599:
15521:
15501:
15403:
15371:
15344:
15297:
15270:
15220:
15193:
15170:
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38775:Von Neumann algebra
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38366:Schaefer, Helmut H.
38335:Functional Analysis
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38246:, pp. 368–377.
38234:, pp. 128–130.
38219:, pp. 251–253.
38207:, pp. 260–264.
38190:, pp. 123–128.
38163:, pp. 122–128.
38140:, pp. 225–273.
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5677:. Then the
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10619:or simply
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