3566:
5737:
16709:
15994:
3032:
5374:
5471:
2217:
5156:
1406:
5732:{\displaystyle {\tilde {\omega }}^{i}(\mathbf {v} )=\left\langle {\frac {\sum _{1\leq i_{2}<i_{3}<\dots <i_{n}\leq n}\varepsilon ^{ii_{2}\dots i_{n}}(\star \mathbf {e} _{i_{2}}\wedge \cdots \wedge \mathbf {e} _{i_{n}})}{\star (\mathbf {e} _{1}\wedge \cdots \wedge \mathbf {e} _{n})}},\mathbf {v} \right\rangle ,}
7787:
1889:
5069:
4864:
4337:
1259:
5369:{\displaystyle {\tilde {\omega }}^{i}(\mathbf {v} )={\frac {1}{2}}\left\langle {\frac {\sum _{j=1}^{3}\sum _{k=1}^{3}\varepsilon ^{ijk}\,(\mathbf {e} _{j}\times \mathbf {e} _{k})}{\mathbf {e} _{1}\cdot \mathbf {e} _{2}\times \mathbf {e} _{3}}},\mathbf {v} \right\rangle ,}
11039:
14500:
10864:
9856:
11243:
7640:
7579:
901:
2620:
14782:
14018:
9639:
10108:
4871:
14648:
4210:
10522:
10361:
12166:
11156:
1632:
1083:
4674:
1013:
4219:
1207:
9692:
2212:{\displaystyle {\begin{aligned}I(f+g)&=\int _{a}^{b}\,dx=\int _{a}^{b}f(x)\,dx+\int _{a}^{b}g(x)\,dx=I(f)+I(g)\\I(\alpha f)&=\int _{a}^{b}\alpha f(x)\,dx=\alpha \int _{a}^{b}f(x)\,dx=\alpha I(f).\end{aligned}}}
4609:
4090:
3236:
10776:
10948:
11381:. In finite dimensions, every linear functional is continuous, so the continuous dual is the same as the algebraic dual, but in infinite dimensions the continuous dual is a proper subspace of the algebraic dual.
10631:
9398:
4409:
3467:
8987:
8295:
7274:
3709:
10715:
7487:
1558:
2398:
12640:
8402:
8088:
7919:
7853:
14389:
9029:
7320:
6362:
13879:
13032:
However, this extension cannot always be done while keeping the linear functional continuous. The Hahn–Banach family of theorems gives conditions under which this extension can be done. For example,
11091:
7363:
5144:
9746:
7956:
6895:
6664:
10953:
10263:
629:
10451:
10189:
3751:
4876:
2497:
1894:
766:
8164:
10008:
9285:
13782:
12572:
3059:, the sets of vectors which map to a given value. In three dimensions, the level sets of a linear functional are a family of mutually parallel planes; in higher dimensions, they are parallel
8755:
8708:
8028:
11995:
7404:
2452:
8606:
5455:
2492:
8639:
3894:
3799:
2766:
1401:{\displaystyle f_{\mathbf {a} }(\mathbf {x} )=\mathbf {a} \cdot \mathbf {x} ={\begin{bmatrix}a_{1}&\cdots &a_{n}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x_{1}\\\vdots \\x_{n}\end{bmatrix}}.}
10781:
6061:
14394:
11668:
8926:
8795:
1797:
9536:
9092:
12914:
9962:
14208:
10582:
10040:
9349:
9200:
8205:
11161:
1448:
14543:
14112:
12390:
8874:
14153:
12711:
7492:
5933:
14326:
13191:
13116:
13078:
12497:
12451:
8483:
3336:
3134:
2668:
13910:
7229:
10664:
9491:
8557:
7607:
6577:
1709:
10292:
10222:
7433:
6833:
6739:
6522:
6441:
6309:
6177:
4669:
1112:
938:
13334:
9125:
6925:
737:
13827:
12778:
8121:
14801:
13030:
11541:
11315:
9741:
9463:
9434:
8529:
7144:
6764:
6273:
6126:
2803:
2487:
13149:
12280:
11567:
11287:
10035:
9312:
9247:
8661:
8424:
7981:
7188:
7166:
7119:
7073:
7027:
6994:
6951:
6710:
6473:
6384:
6248:
6148:
4640:
4510:
4481:
4441:
3013:
1254:
1232:
14077:
12959:
12321:
3503:
11444:
9906:
9057:
5888:
240:
14679:
14274:
13915:
13251:
7782:{\displaystyle {\begin{alignedat}{4}\varphi (x)&=\varphi _{\mathbb {R} }(x)-i\varphi _{\mathbb {R} }(ix)\\&=\varphi _{i}(ix)+i\varphi _{i}(x)\\\end{alignedat}}}
2987:
2917:
1678:
1502:
430:
13446:
13410:
11760:
10393:
9712:
9220:
9171:
5998:
5415:
943:
14241:
13612:
13567:
13363:
13280:
12988:
12858:
12215:
12041:
11593:
7636:
5962:
3968:
3923:
3275:
2943:
183:
14674:
14044:
12820:
12737:
5757:
2350:
2274:
530:
210:
9531:
8322:
4124:
2834:
2251:
680:
158:
1117:
3160:
2694:
12189:
10887:
10545:
7051:
6600:
6206:
4129:
14548:
13528:
13491:
12330:
Any two linear functionals with the same kernel are proportional (i.e. scalar multiples of each other). This fact can be generalized to the following theorem.
12235:
12015:
11908:
11888:
11868:
11848:
11828:
11800:
11780:
11728:
11708:
11688:
11633:
11613:
11511:
11491:
11371:
11337:
10456:
10413:
10297:
10144:
9876:
9147:
8946:
8815:
8342:
7645:
7097:
6971:
6804:
6784:
6688:
6542:
6493:
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6226:
6101:
4528:
2870:
2729:
2309:
1884:
1832:
1652:
1468:
757:
455:
321:
1864:
359:
12046:
11096:
1563:
1020:
4344:
3341:
8210:
16030:
13007:
can be extended to the whole space; for example, the evaluation functionals described above can be extended to the vector space of polynomials on all of
5064:{\displaystyle {\begin{aligned}{\tilde {u}}({\mathbf {e} }_{j})&=\sum _{i}u_{i}\left\\&=\sum _{i}u_{i}{\delta }_{ij}\\&=u_{j}.\end{aligned}}}
3644:
15883:
8879:
9644:
15719:
4030:
16540:
11377:, then so is its (continuous) dual. To distinguish the ordinary dual space from the continuous dual space, the former is sometimes called the
3177:
15546:
10720:
10892:
4859:{\displaystyle {\tilde {u}}(\mathbf {e} _{j})=\sum _{i=1}^{n}\left(u_{i}\,{\tilde {\omega }}^{i}\right)\mathbf {e} _{j}=\sum _{i}u_{i}\left}
535:
10587:
9354:
8951:
7238:
16157:
16132:
15709:
4332:{\displaystyle {\tilde {\omega }}^{i}(\mathbf {e} _{j})={\begin{cases}1&{\text{if}}\ i=j\\0&{\text{if}}\ i\neq j.\end{cases}}}
3533:
to their own dual spaces. A state of a quantum mechanical system can be identified with a linear functional. For more information see
10669:
7438:
1507:
2406:
16114:
15836:
15691:
4448:
2355:
12579:
8347:
8033:
7858:
7792:
3845:
16582:
16084:
16023:
15667:
13628:
6003:
14331:
8992:
7283:
6314:
1736:
16327:
16151:
13832:
11044:
11034:{\displaystyle \left\|f_{\varphi _{\mathbb {R} }}\right\|=\left\|\varphi _{\mathbb {R} }\right\|_{X_{\mathbb {R} }^{\prime }}.}
7325:
5096:
1474:. Matrices can be multiplied by scalars and two matrices of the same dimension can be added together; these operations make a
15507:
15486:
15452:
15401:
15367:
15284:
15263:
15173:
15121:
7926:
6838:
6604:
10227:
270:, mapping every vector to zero, is trivially a linear functional. Every other linear functional (such as the ones below) is
15359:
10418:
10156:
3720:
16592:
16089:
16059:
8126:
5073:
So each component of a linear functional can be extracted by applying the functional to the corresponding basis vector.
16712:
16363:
16016:
15559:
15331:
15226:
15109:
9975:
9252:
17:
13686:
12502:
16500:
15648:
15539:
15431:
15313:
15238:
15200:
15144:
13285:
8713:
8666:
7986:
14495:{\textstyle \varphi _{\mathbb {R} }\left({\frac {1}{u_{b}}}b\right)=\varphi \left({\frac {1}{u_{b}}}b\right)=r_{b}.}
11913:
10859:{\displaystyle \varphi _{\mathbb {R} }(x)=\left\langle f_{\varphi _{\mathbb {R} }}|\,x\right\rangle _{\mathbb {R} }}
7368:
16405:
15918:
15478:
15230:
15113:
8562:
5428:
8611:
4011:
Below, we assume that the dimension is finite. For a discussion of analogous results in infinite dimensions, see
3760:
2734:
15563:
9851:{\displaystyle \sup _{b\in B}\left|\varphi _{\mathbb {R} }(b)\right|=\sup _{b\in B}\left|\varphi _{i}(b)\right|.}
11638:
8897:
8760:
16435:
13212:
11238:{\displaystyle \|\varphi \|_{X^{\prime }}=\left\|\varphi _{\mathbb {R} }\right\|_{X_{\mathbb {R} }^{\prime }},}
9062:
3292:, and so can be expressed as a linear combination of these basis elements. In symbols, there are coefficients
364:
12875:
9911:
16567:
16169:
16146:
15714:
15393:
15255:
15161:
14158:
10554:
9321:
9314:
are continuous or none are continuous. This remains true if the word "continuous" is replaced with the word "
9176:
8169:
7574:{\displaystyle z=\operatorname {Re} z-i\operatorname {Re} (iz)=\operatorname {Im} (iz)+i\operatorname {Im} z}
1421:
896:{\displaystyle \mathrm {NPV} (R(t))=\langle w,R\rangle =\int _{t=0}^{\infty }{\frac {R(t)}{(1+i)^{t}}}\,dt.}
16733:
16618:
15997:
15770:
15704:
15532:
14082:
12343:
10548:
8820:
3977:
633:
14505:
14117:
12652:
5893:
16748:
16439:
15734:
14279:
13162:
13087:
13049:
12456:
12410:
8429:
4868:
due to linearity of scalar multiples of functionals and pointwise linearity of sums of functionals. Then
3295:
3093:
2627:
13884:
7201:
16675:
16212:
16127:
16122:
16064:
15979:
15933:
15857:
15739:
13634:
11255:
10636:
9468:
8534:
7584:
6547:
3550:
1683:
10268:
10198:
7409:
6809:
6715:
6498:
6417:
6285:
6153:
5802:, where the latter is considered as a module over itself. The space of linear forms is always denoted
4645:
2615:{\displaystyle {\begin{aligned}(f+g)(c)&=f(c)+g(c)\\(\alpha f)(c)&=\alpha f(c).\end{aligned}}}
1088:
914:
16743:
16471:
16281:
15974:
15790:
15358:. International Series in Pure and Applied Mathematics. Vol. 8 (Second ed.). New York, NY:
13674:
In some texts the roles are reversed and vectors are defined as linear maps from covectors to scalars
9315:
9097:
6900:
685:
637:
13806:
12742:
8093:
4268:
16244:
16239:
16232:
16227:
16099:
16039:
15826:
15724:
15627:
14786:
14777:{\textstyle \sup _{x\in B}|\varphi (x)|\leq \sup _{x\in B}\left|\varphi _{\mathbb {R} }(x)\right|.}
14013:{\textstyle \sup _{x\in B}\left|\varphi _{\mathbb {R} }(x)\right|\leq \sup _{x\in B}|\varphi (x)|.}
13649:
13623:
13378:
13010:
11520:
11458:
11393:
11340:
11295:
10119:
9717:
9439:
9410:
9150:
8488:
7124:
6744:
6276:
6253:
6106:
6074:
2770:
2457:
640:
can be considered a one-form, where the one-form is the kernel shifted to the appropriate location.
13128:
12240:
11546:
11270:
10013:
9634:{\displaystyle \sup _{b\in B}|\varphi (b)|=\sup _{b\in B}\left|\varphi _{\mathbb {R} }(b)\right|.}
9290:
9225:
8644:
8407:
7964:
7171:
7149:
7102:
7056:
7010:
6977:
6934:
6693:
6446:
6367:
6231:
6131:
5778:
are generalizations of vector spaces, which removes the restriction that coefficients belong to a
4616:
4486:
4457:
4416:
2996:
1237:
1215:
16738:
16505:
16486:
16162:
16142:
15923:
15699:
14049:
12998:
12919:
12285:
3594:
3472:
3239:
2806:
11410:
10103:{\displaystyle \|\varphi \|=\left\|\varphi _{\mathbb {R} }\right\|=\left\|\varphi _{i}\right\|.}
9885:
9036:
5867:
215:
16694:
16684:
16668:
16368:
16317:
16217:
16202:
15954:
15898:
15862:
15301:
14246:
8883:
3020:
2948:
2878:
2841:
1657:
1481:
1416:
247:
114:
11733:
10366:
9697:
9205:
9156:
5967:
5379:
16663:
16350:
16332:
16297:
16137:
15661:
14213:
13582:
13382:
13339:
13256:
12964:
12825:
12194:
12020:
11572:
11349:
9401:
8886:
in the natural way. It has many important consequences, some of which will now be described.
7612:
5938:
5089:, then it is possible to write explicitly a formula for the dual basis of a given basis. Let
3996:
3944:
3899:
3254:
2922:
15657:
14653:
14023:
13646: – Map from multiple vectors to an underlying field of scalars, linear in each argument
12799:
12716:
8882:
in 1934 (although it is usually credited to F. Murray), and can be generalized to arbitrary
5742:
2314:
2256:
460:
188:
16679:
16623:
16602:
15937:
15440:
14643:{\textstyle |\varphi (b)|=r_{b}\leq \sup _{x\in B}\left|\varphi _{\mathbb {R} }(x)\right|.}
13586:
9500:
8300:
6928:
5854:
5771:
4205:{\displaystyle {\tilde {\omega }}^{1},{\tilde {\omega }}^{2},\dots ,{\tilde {\omega }}^{n}}
4102:
3546:
3534:
3506:
2812:
2229:
653:
136:
63:
15524:
10517:{\displaystyle {\sqrt {\langle x|x\rangle _{\mathbb {R} }}}={\sqrt {\langle x|x\rangle }}}
10356:{\displaystyle \langle x|y\rangle _{\mathbb {R} }:=\operatorname {Re} \langle x|y\rangle }
1212:
This can be interpreted as either the matrix product or the dot product of the row vector
8:
16562:
16557:
16515:
16094:
15903:
15841:
15555:
15165:
13614:
is weak-* compact (and thus that every equicontinuous subset weak-* relatively compact).
13423:
13387:
11344:
6667:
5779:
5760:
3139:
2673:
1719:
271:
59:
13592:
13547:
12171:
10869:
10527:
7033:
6582:
6188:
163:
16547:
16490:
16424:
16409:
16276:
16266:
15928:
15795:
15470:
15385:
15247:
13513:
13476:
13081:
12404:
12220:
12161:{\displaystyle f^{-1}(s)=s\left(f^{-1}(1)\right)=\left({\frac {1}{s}}f\right)^{-1}(1).}
12000:
11893:
11873:
11853:
11833:
11813:
11785:
11765:
11713:
11693:
11673:
11618:
11598:
11496:
11476:
11356:
11322:
10398:
10129:
9861:
9132:
8931:
8800:
8327:
7082:
6956:
6789:
6769:
6673:
6527:
6478:
6397:
6211:
6086:
5775:
5422:
4513:
3530:
3068:
3064:
2873:
2855:
2699:
2279:
1869:
1802:
1637:
1453:
742:
440:
285:
11870:
is a affine hyperplane if and only if there exists some non-trivial linear functional
11151:{\displaystyle \left\|f_{\varphi }\right\|=\left\|f_{\varphi _{\mathbb {R} }}\right\|}
3047:
maps to a given scalar value shown next to it along with the "sense" of increase. The
1837:
1627:{\displaystyle \operatorname {tr} (A+B)=\operatorname {tr} (A)+\operatorname {tr} (B)}
1078:{\displaystyle \mathbf {a} ={\begin{bmatrix}a_{1}&\cdots &a_{n}\end{bmatrix}}}
326:
282:
Indexing into a vector: The second element of a three-vector is given by the one-form
16259:
16185:
15908:
15513:
15503:
15482:
15458:
15448:
15427:
15419:
15407:
15397:
15373:
15363:
15353:
15337:
15327:
15309:
15293:
15280:
15259:
15234:
15206:
15196:
15179:
15169:
15140:
15134:
15130:
15117:
13119:
7002:
5861:
5836:
3518:
643:
11710:
is maximal if and only if it is the kernel of some non-trivial linear functional on
16652:
16222:
16207:
16008:
15913:
15831:
15800:
15780:
15765:
15760:
15755:
15396:. Vol. 8 (Second ed.). New York, NY: Springer New York Imprint Springer.
14910:
13643:
7006:
6078:
4447:. Here the superscripts of the basis functionals are not exponents but are instead
1731:
16535:
16074:
15592:
16627:
16475:
15775:
15729:
15677:
15672:
15643:
15495:
13570:
13123:
13004:
6974:
6280:
4444:
3754:
3597:
3016:
1008:{\displaystyle \mathbf {x} ={\begin{bmatrix}x_{1}\\\vdots \\x_{n}\end{bmatrix}}.}
760:
15602:
16658:
16607:
16322:
15964:
15816:
15617:
15153:
13458:
11389:
11290:
10192:
7277:
4012:
1723:
255:
71:
16727:
16642:
16552:
16495:
16455:
16383:
16358:
16302:
16254:
16190:
15969:
15893:
15622:
15607:
15597:
15517:
15462:
15411:
15341:
15326:. Pure and applied mathematics (Second ed.). Boca Raton, FL: CRC Press.
15101:
11454:
10151:
10147:
9969:
6181:
5086:
3973:
3613:
3605:
3554:
3522:
1471:
1202:{\displaystyle f_{\mathbf {a} }(\mathbf {x} )=a_{1}x_{1}+\cdots +a_{n}x_{n},}
267:
243:
15377:
15210:
15183:
3055:
In finite dimensions, a linear functional can be visualized in terms of its
16689:
16637:
16597:
16587:
16465:
16312:
16307:
16104:
16054:
15959:
15612:
15582:
15349:
13574:
12865:
11374:
11261:
10115:
9879:
9687:{\displaystyle \varphi _{i}:=\operatorname {Im} \varphi :X\to \mathbb {R} }
5825:
3565:
3063:. This method of visualizing linear functionals is sometimes introduced in
1475:
55:
4604:{\displaystyle {\tilde {u}}=\sum _{i=1}^{n}u_{i}\,{\tilde {\omega }}^{i}.}
16647:
16632:
16525:
16419:
16414:
16399:
16378:
16342:
15888:
15878:
15785:
15587:
15218:
13578:
11265:
9494:
5458:
4085:{\displaystyle \mathbf {e} _{1},\mathbf {e} _{2},\dots ,\mathbf {e} _{n}}
3802:
3621:
67:
31:
3231:{\displaystyle \operatorname {ev} _{x_{i}}:f\mapsto f\left(x_{i}\right)}
16460:
16373:
16337:
16197:
16079:
15821:
15653:
15297:
15068:
15066:
15064:
14976:
14974:
10771:{\displaystyle \varphi (x)=\left\langle f_{\varphi }|\,x\right\rangle }
4213:
4097:
4093:
3601:
3526:
3060:
3040:
251:
102:
51:
15078:
10943:{\displaystyle \left\|f_{\varphi }\right\|=\|\varphi \|_{X^{\prime }}}
2253:
denote the vector space of real-valued polynomial functions of degree
16612:
16429:
15272:
14961:
14959:
13501:
13470:
11830:
is a translate of a maximal vector subspace. By linearity, a subset
10626:{\displaystyle \varphi _{\mathbb {R} }\in X_{\mathbb {R} }^{\prime }}
10111:
9393:{\displaystyle \varphi _{\mathbb {R} }\in X_{\mathbb {R} }^{\prime }}
7959:
7232:
4404:{\displaystyle {\tilde {\omega }}^{i}(\mathbf {e} _{j})=\delta _{ij}}
3462:{\displaystyle I(f)=a_{0}f(x_{0})+a_{1}f(x_{1})+\dots +a_{n}f(x_{n})}
3056:
647:
98:
15061:
15049:
14971:
14946:
14944:
14942:
12325:
8982:{\displaystyle \varphi _{\mathbb {R} }:=\operatorname {Re} \varphi }
8290:{\displaystyle L_{g}(x):=g(x)-ig(ix)\quad {\text{ for all }}x\in X.}
7269:{\displaystyle \varphi _{\mathbb {R} }:=\operatorname {Re} \varphi }
5835:
The existence of "enough" linear forms on a module is equivalent to
16577:
16572:
16530:
16510:
16480:
16271:
15015:
15013:
13368:
11462:
9965:
1727:
14956:
13631: – A vector space with a topology defined by convex open sets
3704:{\displaystyle v^{*}(w):=\langle v,w\rangle \quad \forall w\in V,}
3031:
16520:
15037:
14939:
1504:
matrices. The trace is a linear functional on this space because
15010:
14986:
13589:
implies that the weak-* closure of an equicontinuous subset of
11461:
is closed, and a non-trivial continuous linear functional is an
11399:
is continuous if and only if there exists a continuous seminorm
10224:
becomes a real
Hilbert space when endowed with the real part of
10710:{\displaystyle f_{\varphi _{\mathbb {R} }}\in X_{\mathbb {R} }}
7482:{\displaystyle \varphi =\varphi _{\mathbb {R} }+i\varphi _{i}.}
1553:{\displaystyle \operatorname {tr} (sA)=s\operatorname {tr} (A)}
2393:{\displaystyle \operatorname {ev} _{c}:P_{n}\to \mathbb {R} }
12635:{\displaystyle \bigcap _{i=1}^{n}\ker g_{i}\subseteq \ker f}
12168:
This equality can be used to relate different level sets of
8397:{\displaystyle L_{\bullet }:X_{\mathbb {R} }^{\#}\to X^{\#}}
8083:{\displaystyle L_{\bullet }:X_{\mathbb {R} }^{\#}\to X^{\#}}
7914:{\displaystyle \varphi _{\mathbb {R} }(x)=\varphi _{i}(ix).}
7848:{\displaystyle \varphi _{i}(x)=-\varphi _{\mathbb {R} }(ix)}
3043:
of constant value, each corresponding to those vectors that
15554:
14384:{\textstyle \varphi \left({\frac {1}{u_{b}}}b\right)=r_{b}}
4325:
434:
11465:, even if the (topological) vector space is not complete.
9024:{\displaystyle \varphi _{i}:=\operatorname {Im} \varphi .}
7315:{\displaystyle \varphi _{i}:=\operatorname {Im} \varphi .}
6357:{\displaystyle X=X_{\mathbb {R} }\oplus X_{\mathbb {R} }i}
1209:
and each linear functional can be expressed in this form.
13874:{\displaystyle \left|\operatorname {Re} z\right|\leq |z|}
11086:{\displaystyle f_{\varphi }=f_{\varphi _{\mathbb {R} }}.}
7358:{\displaystyle \varphi _{\mathbb {R} }:X\to \mathbb {R} }
6389:
5139:{\displaystyle \mathbf {e} _{1},\dots ,\mathbf {e} _{n}.}
10195:
in its first coordinate (and linear in the second) then
11457:: a linear functional is continuous if and only if its
11453:
Continuous linear functionals have nice properties for
10110:
This conclusion extends to the analogous statement for
7951:{\displaystyle \varphi \mapsto \varphi _{\mathbb {R} }}
6890:{\displaystyle X^{\#}\cap X_{\mathbb {R} }^{\#}=\{0\},}
6659:{\displaystyle \varphi \left((s/\varphi (x))x\right)=s}
4516:
of basis functionals, with coefficients ("components")
15025:
14929:
14927:
14925:
14682:
14551:
14508:
14397:
14334:
13918:
13569:
then the following sets are also equicontinuous: the
10258:{\displaystyle \langle \,\cdot \,|\,\cdot \,\rangle .}
1353:
1310:
1037:
960:
624:{\displaystyle \operatorname {mean} (v)=\left\cdot v.}
250:
is fixed), then linear functionals are represented as
27:
Linear map from a vector space to its field of scalars
14789:
14656:
14282:
14249:
14216:
14161:
14120:
14085:
14052:
14026:
13887:
13835:
13809:
13689:
13595:
13550:
13516:
13479:
13426:
13390:
13342:
13288:
13259:
13215:
13165:
13131:
13090:
13052:
13013:
12967:
12922:
12878:
12828:
12802:
12745:
12719:
12655:
12582:
12505:
12459:
12413:
12346:
12288:
12243:
12223:
12197:
12174:
12049:
12023:
12003:
11916:
11896:
11876:
11856:
11836:
11816:
11788:
11768:
11736:
11716:
11696:
11676:
11641:
11621:
11601:
11575:
11549:
11523:
11499:
11479:
11413:
11359:
11325:
11298:
11273:
11164:
11099:
11047:
10956:
10895:
10872:
10784:
10723:
10672:
10639:
10590:
10557:
10530:
10459:
10446:{\displaystyle \langle \,\cdot \,|\,\cdot \,\rangle }
10421:
10401:
10369:
10300:
10271:
10230:
10201:
10184:{\displaystyle \langle \,\cdot \,|\,\cdot \,\rangle }
10159:
10132:
10043:
10016:
9978:
9914:
9888:
9864:
9749:
9720:
9700:
9647:
9539:
9503:
9471:
9442:
9413:
9357:
9324:
9293:
9255:
9228:
9208:
9179:
9159:
9135:
9100:
9065:
9039:
8995:
8954:
8934:
8900:
8823:
8803:
8763:
8716:
8669:
8647:
8614:
8565:
8537:
8491:
8432:
8410:
8350:
8330:
8303:
8213:
8172:
8129:
8096:
8036:
7989:
7967:
7929:
7861:
7795:
7643:
7615:
7587:
7495:
7441:
7412:
7371:
7328:
7286:
7241:
7204:
7174:
7152:
7127:
7105:
7085:
7059:
7036:
7013:
6980:
6959:
6937:
6903:
6841:
6812:
6792:
6772:
6747:
6718:
6696:
6676:
6607:
6585:
6550:
6530:
6501:
6481:
6449:
6420:
6400:
6370:
6317:
6288:
6256:
6234:
6214:
6191:
6156:
6134:
6109:
6089:
6006:
5970:
5941:
5896:
5870:
5745:
5474:
5431:
5382:
5159:
5099:
4874:
4677:
4648:
4619:
4531:
4489:
4460:
4419:
4347:
4222:
4132:
4105:
4033:
3947:
3902:
3848:
3763:
3746:{\displaystyle \langle \,\cdot \,,\,\cdot \,\rangle }
3723:
3647:
3475:
3344:
3298:
3257:
3180:
3142:
3096:
2999:
2951:
2925:
2881:
2858:
2815:
2773:
2737:
2702:
2676:
2630:
2495:
2460:
2409:
2358:
2317:
2282:
2259:
2232:
1892:
1872:
1840:
1805:
1739:
1686:
1660:
1640:
1566:
1510:
1484:
1456:
1424:
1262:
1240:
1218:
1120:
1091:
1023:
946:
917:
769:
745:
688:
656:
538:
463:
443:
367:
329:
288:
218:
191:
166:
139:
16038:
15445:
Topological Vector Spaces, Distributions and
Kernels
15246:
14849:
13639:
Pages displaying wikidata descriptions as a fallback
11468:
11245:
which is the same conclusion that was reached above.
1886:
follows from the standard facts about the integral:
254:, and their values on specific vectors are given by
15292:
14922:
14896:
6414:is complex-valued while every linear functional on
5076:
3553:can be realized as linear functionals on spaces of
3074:
15884:Spectral theory of ordinary differential equations
15195:(in Romanian). New York: Interscience Publishers.
14795:
14776:
14668:
14642:
14537:
14494:
14383:
14320:
14268:
14235:
14202:
14147:
14106:
14071:
14038:
14012:
13904:
13873:
13821:
13776:
13606:
13561:
13522:
13485:
13440:
13404:
13357:
13328:
13274:
13245:
13185:
13143:
13110:
13072:
13024:
12982:
12953:
12908:
12852:
12814:
12772:
12731:
12705:
12634:
12566:
12491:
12445:
12384:
12315:
12274:
12229:
12209:
12183:
12160:
12035:
12009:
11989:
11902:
11882:
11862:
11842:
11822:
11794:
11774:
11754:
11722:
11702:
11682:
11662:
11627:
11607:
11587:
11561:
11535:
11505:
11485:
11448:
11438:
11365:
11331:
11309:
11281:
11237:
11150:
11085:
11033:
10942:
10881:
10858:
10770:
10709:
10658:
10625:
10576:
10539:
10516:
10445:
10407:
10387:
10355:
10286:
10257:
10216:
10183:
10138:
10102:
10029:
10002:
9956:
9900:
9870:
9850:
9735:
9706:
9686:
9633:
9525:
9485:
9457:
9428:
9392:
9343:
9306:
9279:
9241:
9214:
9194:
9165:
9141:
9119:
9086:
9051:
9023:
8981:
8940:
8920:
8868:
8809:
8789:
8749:
8702:
8655:
8633:
8600:
8551:
8523:
8477:
8418:
8396:
8336:
8316:
8289:
8199:
8159:{\displaystyle g:X_{\mathbb {R} }\to \mathbb {R} }
8158:
8115:
8082:
8022:
7975:
7950:
7913:
7847:
7781:
7630:
7601:
7573:
7481:
7427:
7398:
7357:
7314:
7268:
7223:
7182:
7160:
7138:
7113:
7091:
7067:
7045:
7021:
6988:
6965:
6945:
6919:
6889:
6827:
6798:
6778:
6758:
6733:
6704:
6682:
6658:
6594:
6571:
6536:
6516:
6487:
6467:
6435:
6406:
6378:
6356:
6303:
6267:
6242:
6220:
6200:
6171:
6142:
6120:
6095:
6055:
5992:
5956:
5927:
5882:
5751:
5731:
5468:In higher dimensions, this generalizes as follows
5449:
5409:
5368:
5138:
5063:
4858:
4663:
4634:
4603:
4504:
4475:
4435:
4403:
4331:
4204:
4118:
4084:
3962:
3917:
3888:
3793:
3745:
3703:
3560:
3497:
3461:
3330:
3269:
3230:
3154:
3128:
3007:
2981:
2937:
2911:
2864:
2828:
2797:
2760:
2723:
2688:
2662:
2614:
2481:
2446:
2392:
2344:
2303:
2268:
2245:
2211:
1878:
1858:
1826:
1791:
1703:
1672:
1646:
1626:
1552:
1496:
1462:
1442:
1400:
1248:
1226:
1201:
1106:
1077:
1007:
932:
911:Suppose that vectors in the real coordinate space
895:
751:
731:
674:
623:
524:
449:
424:
353:
315:
234:
204:
177:
152:
15321:
15072:
15055:
15043:
15019:
14992:
14980:
14965:
14950:
13637: – ordered vector space with a partial order
12326:Relationships between multiple linear functionals
10003:{\displaystyle \varphi ,\varphi _{\mathbb {R} },}
9280:{\displaystyle \varphi ,\varphi _{\mathbb {R} },}
8608:Similarly for the imaginary part, the assignment
3517:Linear functionals are particularly important in
16725:
14725:
14684:
14591:
13970:
13920:
13777:{\displaystyle f(1+1)=a+2r\neq 2a+2r=f(1)+f(1).}
13369:Equicontinuity of families of linear functionals
12567:{\displaystyle sf=s_{1}g_{1}+\cdots +s_{n}g_{n}}
12237:can be reconstructed from the affine hyperplane
9801:
9751:
9582:
9541:
3549:, certain kinds of generalized functions called
3521:. Quantum mechanical systems are represented by
97:with addition and scalar multiplication defined
8889:
8750:{\displaystyle X_{\mathbb {R} }^{\#}\to X^{\#}}
8703:{\displaystyle X^{\#}\to X_{\mathbb {R} }^{\#}}
8023:{\displaystyle X^{\#}\to X_{\mathbb {R} }^{\#}}
7168:-linear functional has range too small to be a
15502:. Mineola, New York: Dover Publications, Inc.
15322:Narici, Lawrence; Beckenstein, Edward (2011).
15129:
13652: – Vector space with a notion of nearness
11990:{\displaystyle H=f^{-1}(1)=\{x\in X:f(x)=1\}.}
10633:) guarantees the existence of a unique vector
7399:{\displaystyle \varphi _{i}:X\to \mathbb {R} }
6544:) if and only if it is surjective (because if
2447:{\displaystyle \operatorname {ev} _{c}f=f(c).}
1726:. A typical example of a linear functional is
16024:
15540:
15426:, Cambridge, UK: Cambridge University Press,
15384:
15084:
8601:{\displaystyle g,h\in X_{\mathbb {R} }^{\#}.}
5450:{\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }
1799:is a linear functional from the vector space
11981:
11948:
11353:— is often simply called the dual space. If
11172:
11165:
10924:
10917:
10509:
10495:
10477:
10462:
10440:
10422:
10350:
10336:
10316:
10301:
10249:
10231:
10178:
10160:
10050:
10044:
9951:
9942:
9936:
9921:
9895:
9889:
9249:is continuous. That is, either all three of
8634:{\displaystyle \varphi \mapsto \varphi _{i}}
6881:
6875:
6835:is the trivial functional; in other words,
5922:
5897:
5444:
5432:
5153:), the dual basis can be written explicitly
3889:{\displaystyle \langle v,w\rangle =v^{*}(w)}
3861:
3849:
3794:{\displaystyle \langle v,w\rangle =v\cdot w}
3776:
3764:
3740:
3724:
3682:
3670:
3085:
2761:{\displaystyle \operatorname {ev} _{x_{i}},}
814:
802:
15500:Modern Methods in Topological Vector Spaces
9173:is continuous if and only if its real part
7193:
6056:{\displaystyle x=\sum _{a\in A}{f_{a}(x)a}}
3505:This forms the foundation of the theory of
1730:: the linear transformation defined by the
1410:
906:
16031:
16017:
15547:
15533:
11663:{\displaystyle M\subsetneq N\subsetneq X.}
8921:{\displaystyle \varphi :X\to \mathbb {C} }
8790:{\displaystyle I\in X_{\mathbb {R} }^{\#}}
6712:while the image of a linear functional on
6475:then a linear functional on either one of
4018:
1792:{\displaystyle I(f)=\int _{a}^{b}f(x)\,dx}
15164:. Vol. 96 (2nd ed.). New York:
14751:
14617:
14404:
14100:
13946:
13895:
13205:, i.e., there exists a linear functional
13179:
13104:
13066:
13015:
11300:
11275:
11249:
11219:
11202:
11136:
11072:
11015:
10998:
10972:
10850:
10839:
10826:
10791:
10759:
10701:
10684:
10612:
10597:
10482:
10439:
10435:
10429:
10425:
10321:
10278:
10248:
10244:
10238:
10234:
10208:
10177:
10173:
10167:
10163:
10066:
9991:
9777:
9680:
9608:
9479:
9379:
9364:
9268:
9186:
9087:{\displaystyle \varphi _{\mathbb {R} }=0}
9072:
8961:
8914:
8776:
8723:
8689:
8649:
8584:
8545:
8412:
8370:
8193:
8152:
8142:
8056:
8009:
7969:
7942:
7868:
7827:
7700:
7673:
7595:
7454:
7419:
7392:
7351:
7335:
7248:
7176:
7154:
7129:
7107:
7061:
7015:
6982:
6939:
6904:
6861:
6819:
6749:
6725:
6698:
6508:
6427:
6372:
6345:
6330:
6295:
6258:
6236:
6163:
6136:
6111:
5269:
4747:
4578:
3739:
3735:
3731:
3727:
3001:
2386:
2177:
2137:
2044:
2007:
1970:
1782:
1713:
920:
883:
160:; other notations are also used, such as
85:, the set of all linear functionals from
15837:Group algebra of a locally compact group
15494:
15252:A (Terse) Introduction to Linear Algebra
15133:; Goldberg, Samuel (1980), "Chapter 4",
13037:Hahn–Banach dominated extension theorem(
12909:{\displaystyle N\cap (x+U)=\varnothing }
9957:{\displaystyle B=\{x\in X:\|x\|\leq 1\}}
6524:is non-trivial (meaning not identically
5093:have (not necessarily orthogonal) basis
4006:
3564:
3030:
1834:of continuous functions on the interval
117:is also considered. It is often denoted
15190:
14203:{\displaystyle \varphi (b)=r_{b}u_{b},}
13629:Locally convex topological vector space
13159:, then there exists a linear extension
13003:Any (algebraic) linear functional on a
11595:) and does not exist a vector subspace
11158:and the previous equalities imply that
10577:{\displaystyle \varphi \in X^{\prime }}
10265:Explicitly, this real inner product on
9344:{\displaystyle \varphi \in X^{\prime }}
9195:{\displaystyle \varphi _{\mathbb {R} }}
8200:{\displaystyle L_{g}:X\to \mathbb {C} }
3512:
14:
16726:
16170:Uniform boundedness (Banach–Steinhaus)
15439:
15418:
15217:
15152:
14873:
12992:
12788:is a non-trivial linear functional on
6390:Real versus complex linear functionals
1866:to the real numbers. The linearity of
1443:{\displaystyle \operatorname {tr} (A)}
16012:
15528:
15447:. Mineola, N.Y.: Dover Publications.
15348:
15100:
15031:
15004:
14933:
14861:
14822:
14538:{\textstyle {\frac {1}{u_{b}}}b\in B}
14107:{\displaystyle u_{b}\in \mathbb {C} }
13038:
12396:, then the following are equivalent:
12385:{\displaystyle f,g_{1},\ldots ,g_{n}}
8869:{\displaystyle x\mapsto I(ix)+iI(x).}
6128:Restricting scalar multiplication to
5864:if and only if there exists a subset
4216:defined by the special property that
3616:on a finite-dimensional vector space
3251:, the space of polynomials of degree
3035:Geometric interpretation of a 1-form
1718:Linear functionals first appeared in
15424:A first course in general relativity
15360:McGraw-Hill Science/Engineering/Math
14833:
14831:
14148:{\displaystyle \left|u_{b}\right|=1}
12706:{\displaystyle |f(x)|\leq rg_{i}(x)}
9400:where the prime denotes the space's
8878:This relationship was discovered by
6786:that is both a linear functional on
5928:{\displaystyle \{f_{a}\mid a\in A\}}
15271:
14897:Misner, Thorne & Wheeler (1973)
14885:
14321:{\displaystyle |\varphi (b)|=r_{b}}
13186:{\displaystyle F:X\to \mathbb {R} }
13111:{\displaystyle f:M\to \mathbb {R} }
13073:{\displaystyle p:X\to \mathbb {R} }
12492:{\displaystyle s_{1},\ldots ,s_{n}}
12446:{\displaystyle g_{1},\ldots ,g_{n}}
8478:{\displaystyle L_{g+h}=L_{g}+L_{h}}
6766:Consequently, the only function on
3604:intersected by a vector equals the
3331:{\displaystyle a_{0},\ldots ,a_{n}}
3129:{\displaystyle x_{0},\ldots ,x_{n}}
3075:Misner, Thorne & Wheeler (1973)
2837:
2663:{\displaystyle x_{0},\ldots ,x_{n}}
258:(with the row vector on the left).
24:
15469:
15227:Undergraduate Texts in Mathematics
15110:Undergraduate Texts in Mathematics
14850:Katznelson & Katznelson (2008)
14837:
13905:{\displaystyle z\in \mathbb {C} ,}
11225:
11181:
11021:
10933:
10618:
10569:
9385:
9336:
8782:
8742:
8729:
8695:
8675:
8590:
8389:
8376:
8075:
8062:
8015:
7995:
7224:{\displaystyle \varphi \in X^{\#}}
7216:
6912:
6867:
6847:
6311:such that we can (formally) write
6150:gives rise to a real vector space
6066:
3686:
1470:is the sum of all elements on its
940:are represented as column vectors
836:
777:
774:
771:
197:
25:
16760:
15250:; Katznelson, Yonatan R. (2008),
14908:
14828:
13816:
12903:
11469:Hyperplanes and maximal subspaces
10889:The theorem also guarantees that
10659:{\displaystyle f_{\varphi }\in X}
9964:is the closed unit ball then the
9486:{\displaystyle u\in \mathbb {C} }
8552:{\displaystyle r\in \mathbb {R} }
7602:{\displaystyle z\in \mathbb {C} }
6572:{\displaystyle \varphi (x)\neq 0}
3051:zero plane is through the origin.
1704:{\displaystyle A{\text{ and }}B.}
457:-vector is given by the one-form
16708:
16707:
15993:
15992:
15919:Topological quantum field theory
15223:Finite-Dimensional Vector Spaces
10395:and it induces the same norm on
10287:{\displaystyle X_{\mathbb {R} }}
10217:{\displaystyle X_{\mathbb {R} }}
7428:{\displaystyle X_{\mathbb {R} }}
7030:), but unless it is identically
6828:{\displaystyle X_{\mathbb {R} }}
6734:{\displaystyle X_{\mathbb {R} }}
6517:{\displaystyle X_{\mathbb {R} }}
6436:{\displaystyle X_{\mathbb {R} }}
6304:{\displaystyle X_{\mathbb {R} }}
6172:{\displaystyle X_{\mathbb {R} }}
5717:
5697:
5676:
5646:
5618:
5498:
5354:
5337:
5322:
5307:
5290:
5275:
5183:
5123:
5102:
5077:The dual basis and inner product
4969:
4897:
4837:
4774:
4695:
4664:{\displaystyle \mathbf {e} _{j}}
4651:
4372:
4247:
4072:
4051:
4036:
3976:, analogous results hold by the
3540:
3026:
2731:then the evaluation functionals
1298:
1290:
1279:
1269:
1242:
1220:
1137:
1127:
1107:{\displaystyle f_{\mathbf {a} }}
1098:
1025:
948:
933:{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}
242:When vectors are represented by
16695:With the approximation property
15477:, Universitext (2nd ed.),
15158:A course in functional analysis
15094:
14998:
14902:
14676:was arbitrary, it follows that
13797:
13544:is an equicontinuous subset of
13448:the following are equivalent:
13329:{\displaystyle |F(x)|\leq p(x)}
12453:; that is, there exist scalars
11449:Characterizing closed subspaces
9120:{\displaystyle \varphi _{i}=0.}
8426:-linear operator, meaning that
8269:
6920:{\displaystyle \,{\cdot }^{\#}}
6279:; that is, there exists a real
3685:
3561:Dual vectors and bilinear forms
3283:is also a linear functional on
3080:
732:{\displaystyle w(t)=(1+i)^{-t}}
323:That is, the second element of
81:is a vector space over a field
16158:Open mapping (Banach–Schauder)
14890:
14879:
14867:
14855:
14843:
14816:
14763:
14757:
14717:
14713:
14707:
14700:
14629:
14623:
14570:
14566:
14560:
14553:
14301:
14297:
14291:
14284:
14171:
14165:
14003:
13999:
13993:
13986:
13958:
13952:
13867:
13859:
13822:{\displaystyle B=\varnothing }
13768:
13762:
13753:
13747:
13705:
13693:
13677:
13668:
13323:
13317:
13307:
13303:
13297:
13290:
13240:
13234:
13225:
13219:
13175:
13100:
13062:
12941:
12937:
12931:
12924:
12897:
12885:
12838:
12832:
12773:{\displaystyle i=1,\ldots ,n.}
12700:
12694:
12674:
12670:
12664:
12657:
12269:
12263:
12152:
12146:
12102:
12096:
12069:
12063:
11972:
11966:
11942:
11936:
11423:
11415:
11208:
11193:
11144:
11122:
11114:
11101:
11004:
10989:
10980:
10958:
10910:
10897:
10835:
10803:
10797:
10755:
10733:
10727:
10502:
10469:
10431:
10343:
10308:
10240:
10169:
10093:
10080:
10072:
10057:
9972:(defined in the usual way) of
9837:
9831:
9789:
9783:
9676:
9620:
9614:
9574:
9570:
9564:
9557:
9513:
9505:
9202:is continuous, if and only if
8910:
8860:
8854:
8842:
8833:
8827:
8734:
8680:
8618:
8381:
8266:
8257:
8245:
8239:
8230:
8224:
8189:
8148:
8116:{\displaystyle g\mapsto L_{g}}
8100:
8067:
8000:
7933:
7905:
7896:
7880:
7874:
7842:
7833:
7812:
7806:
7772:
7766:
7747:
7738:
7715:
7706:
7685:
7679:
7657:
7651:
7553:
7544:
7532:
7523:
7388:
7347:
6639:
6636:
6630:
6616:
6560:
6554:
6046:
6040:
5987:
5981:
5766:
5707:
5671:
5663:
5610:
5502:
5494:
5482:
5300:
5270:
5187:
5179:
5167:
4950:
4908:
4891:
4885:
4819:
4755:
4705:
4690:
4684:
4626:
4613:Then, applying the functional
4586:
4538:
4496:
4467:
4382:
4367:
4355:
4257:
4242:
4230:
4190:
4162:
4140:
3883:
3877:
3664:
3658:
3456:
3443:
3418:
3405:
3386:
3373:
3354:
3348:
3204:
3174:, then the linear functionals
2961:
2955:
2891:
2885:
2847:
2715:
2703:
2602:
2596:
2580:
2574:
2571:
2562:
2555:
2549:
2540:
2534:
2521:
2515:
2512:
2500:
2476:
2470:
2464:
2438:
2432:
2382:
2336:
2324:
2295:
2283:
2199:
2193:
2174:
2168:
2134:
2128:
2097:
2088:
2078:
2072:
2063:
2057:
2041:
2035:
2004:
1998:
1967:
1964:
1958:
1949:
1943:
1937:
1912:
1900:
1853:
1841:
1821:
1809:
1779:
1773:
1749:
1743:
1621:
1615:
1603:
1597:
1585:
1573:
1547:
1541:
1526:
1517:
1437:
1431:
1283:
1275:
1141:
1133:
871:
858:
853:
847:
796:
793:
787:
781:
717:
704:
698:
692:
666:
660:
551:
545:
410:
392:
386:
368:
348:
330:
307:
289:
274:(that is, its range is all of
93:is itself a vector space over
13:
1:
15715:Uniform boundedness principle
15256:American Mathematical Society
15162:Graduate Texts in Mathematics
15073:Narici & Beckenstein 2011
15056:Narici & Beckenstein 2011
15044:Narici & Beckenstein 2011
15020:Narici & Beckenstein 2011
14993:Narici & Beckenstein 2011
14981:Narici & Beckenstein 2011
14966:Narici & Beckenstein 2011
14951:Narici & Beckenstein 2011
14809:
14796:{\displaystyle \blacksquare }
13025:{\displaystyle \mathbb {R} .}
11536:{\displaystyle M\subsetneq X}
11310:{\displaystyle \mathbb {C} .}
9736:{\displaystyle iB\subseteq B}
9458:{\displaystyle uB\subseteq B}
9429:{\displaystyle B\subseteq X.}
8524:{\displaystyle L_{rg}=rL_{g}}
7139:{\displaystyle \mathbb {R} .}
6759:{\displaystyle \mathbb {R} .}
6268:{\displaystyle \mathbb {R} ,}
6121:{\displaystyle \mathbb {C} .}
3569:Linear functionals (1-forms)
2798:{\displaystyle i=0,\ldots ,n}
2482:{\displaystyle f\mapsto f(c)}
2221:
1085:there is a linear functional
15475:An Introduction to Manifolds
15388:; Wolff, Manfred P. (1999).
15136:Tensor Analysis on Manifolds
13661:
13144:{\displaystyle M\subseteq X}
12275:{\displaystyle H:=f^{-1}(1)}
11562:{\displaystyle M\subseteq X}
11282:{\displaystyle \mathbb {R} }
11041:It is readily verified that
10549:Riesz representation theorem
10030:{\displaystyle \varphi _{i}}
9694:denotes the complex part of
9307:{\displaystyle \varphi _{i}}
9242:{\displaystyle \varphi _{i}}
8890:Properties and relationships
8884:finite extensions of a field
8797:to the linear functional on
8656:{\displaystyle \mathbb {R} }
8419:{\displaystyle \mathbb {R} }
7976:{\displaystyle \mathbb {R} }
7190:-linear functional as well.
7183:{\displaystyle \mathbb {C} }
7161:{\displaystyle \mathbb {R} }
7114:{\displaystyle \mathbb {C} }
7099:because its range (which is
7068:{\displaystyle \mathbb {R} }
7022:{\displaystyle \mathbb {R} }
6989:{\displaystyle \mathbb {R} }
6946:{\displaystyle \mathbb {C} }
6705:{\displaystyle \mathbb {C} }
6468:{\displaystyle \dim X\neq 0}
6379:{\displaystyle \mathbb {R} }
6250:is also a vector space over
6243:{\displaystyle \mathbb {C} }
6143:{\displaystyle \mathbb {R} }
4635:{\displaystyle {\tilde {u}}}
4505:{\displaystyle {\tilde {V}}}
4483:belonging to the dual space
4476:{\displaystyle {\tilde {u}}}
4436:{\displaystyle \delta _{ij}}
3978:Riesz representation theorem
3008:{\displaystyle \mathbb {R} }
2840:proves this last fact using
1249:{\displaystyle \mathbf {x} }
1227:{\displaystyle \mathbf {a} }
7:
16379:Radially convex/Star-shaped
16364:Pre-compact/Totally bounded
14072:{\displaystyle r_{b}\geq 0}
13829:so assume otherwise. Since
13617:
12954:{\displaystyle |f(u)|<1}
12645:there exists a real number
12316:{\displaystyle \ker f=H-H.}
12017:is a linear functional and
11762:for some linear functional
6394:Every linear functional on
5824:is a field or not. It is a
3972:In an infinite dimensional
3816:The inverse isomorphism is
3713:where the bilinear form on
3498:{\displaystyle f\in P_{n}.}
3277:The integration functional
261:
101:. This space is called the
10:
16765:
16065:Continuous linear operator
15858:Invariant subspace problem
14918:. Unpublished. Lemma 3.12.
13635:Positive linear functional
12996:
12392:are linear functionals on
11439:{\displaystyle |f|\leq p.}
11256:Continuous linear operator
11253:
9901:{\displaystyle \|\cdot \|}
9052:{\displaystyle \varphi =0}
8928:is a linear functional on
8090:defined by the assignment
7406:are linear functionals on
6670:of a linear functional on
6072:
5883:{\displaystyle A\subset M}
4010:
1724:vector spaces of functions
235:{\displaystyle V^{\vee }.}
16703:
16448:
16410:Algebraic interior (core)
16392:
16290:
16178:
16152:Vector-valued Hahn–Banach
16113:
16047:
16040:Topological vector spaces
15988:
15947:
15871:
15850:
15809:
15748:
15690:
15636:
15578:
15571:
15390:Topological Vector Spaces
15324:Topological Vector Spaces
15106:Linear Algebra Done Right
15085:Schaefer & Wolff 1999
14269:{\displaystyle u_{b}:=1.}
13790:
13246:{\displaystyle F(m)=f(m)}
11347:linear functionals — the
10120:topological vector spaces
8710:whose inverse is the map
8166:to the linear functional
8030:whose inverse is the map
6806:and a linear function on
3927:The above defined vector
3838:is the unique element of
3600:. The number of (1-form)
3086:Application to quadrature
2982:{\displaystyle f(x)=1+2x}
2912:{\displaystyle f(x)=a+rx}
1673:{\displaystyle n\times n}
1497:{\displaystyle n\times n}
682:is given by the one-form
437:: The mean element of an
425:{\displaystyle \cdot =y.}
16240:Topological homomorphism
16100:Topological vector space
15827:Spectrum of a C*-algebra
15191:Dunford, Nelson (1988).
13656:
13650:Topological vector space
13624:Discontinuous linear map
13473:of some neighborhood of
13379:topological vector space
11802:that is not identically
11755:{\displaystyle M=\ker f}
11394:topological vector space
11341:topological vector space
10388:{\displaystyle x,y\in X}
9707:{\displaystyle \varphi }
9215:{\displaystyle \varphi }
9166:{\displaystyle \varphi }
9151:topological vector space
7194:Real and imaginary parts
7121:) is 2-dimensional over
6075:Linear complex structure
5993:{\displaystyle f_{a}(x)}
5410:{\displaystyle i=1,2,3,}
1411:Trace of a square matrix
15924:Noncommutative geometry
14236:{\displaystyle r_{b}=0}
13358:{\displaystyle x\in X.}
13275:{\displaystyle m\in M,}
12983:{\displaystyle u\in U.}
12853:{\displaystyle f(x)=1,}
12210:{\displaystyle f\neq 0}
12036:{\displaystyle s\neq 0}
11588:{\displaystyle M\neq X}
7789:and consequently, that
7631:{\displaystyle x\in X,}
7146:Conversely, a non-zero
6103:is a vector space over
5957:{\displaystyle x\in M,}
4019:Basis of the dual space
3963:{\displaystyle v\in V.}
3918:{\displaystyle w\in V.}
3270:{\displaystyle \leq n.}
2993:a linear functional on
2938:{\displaystyle a\neq 0}
2276:defined on an interval
907:Linear functionals in R
16298:Absolutely convex/disk
15980:Tomita–Takesaki theory
15955:Approximation property
15899:Calculus of variations
15279:, Wiley-Interscience,
15139:, Dover Publications,
14797:
14778:
14670:
14669:{\displaystyle b\in B}
14644:
14539:
14496:
14385:
14322:
14270:
14237:
14204:
14149:
14108:
14073:
14040:
14039:{\displaystyle b\in B}
14014:
13906:
13875:
13823:
13778:
13608:
13563:
13524:
13487:
13442:
13406:
13359:
13330:
13276:
13247:
13187:
13151:which is dominated by
13145:
13112:
13074:
13026:
12984:
12955:
12910:
12854:
12816:
12815:{\displaystyle x\in X}
12774:
12733:
12732:{\displaystyle x\in X}
12707:
12636:
12603:
12568:
12493:
12447:
12386:
12317:
12276:
12231:
12211:
12185:
12162:
12037:
12011:
11991:
11904:
11884:
11864:
11844:
11824:
11796:
11776:
11756:
11724:
11704:
11684:
11664:
11629:
11609:
11589:
11563:
11537:
11507:
11487:
11440:
11388:on a (not necessarily
11367:
11333:
11311:
11283:
11250:In infinite dimensions
11239:
11152:
11087:
11035:
10944:
10883:
10860:
10772:
10711:
10660:
10627:
10578:
10541:
10518:
10447:
10409:
10389:
10357:
10288:
10259:
10218:
10185:
10140:
10104:
10031:
10004:
9958:
9902:
9872:
9852:
9737:
9708:
9688:
9635:
9527:
9487:
9459:
9430:
9394:
9345:
9308:
9281:
9243:
9216:
9196:
9167:
9143:
9121:
9088:
9053:
9025:
8983:
8942:
8922:
8870:
8811:
8791:
8751:
8704:
8657:
8635:
8602:
8553:
8525:
8479:
8420:
8398:
8338:
8318:
8291:
8201:
8160:
8117:
8084:
8024:
7977:
7952:
7915:
7849:
7783:
7632:
7603:
7575:
7483:
7429:
7400:
7359:
7316:
7270:
7225:
7184:
7162:
7140:
7115:
7093:
7069:
7047:
7023:
6990:
6967:
6953:-linear functional on
6947:
6921:
6891:
6829:
6800:
6780:
6760:
6735:
6706:
6684:
6660:
6596:
6573:
6538:
6518:
6489:
6469:
6437:
6408:
6380:
6358:
6305:
6269:
6244:
6222:
6202:
6173:
6144:
6122:
6097:
6057:
5994:
5958:
5929:
5884:
5753:
5752:{\displaystyle \star }
5733:
5457:the inner product (or
5451:
5411:
5370:
5252:
5231:
5140:
5065:
4860:
4731:
4665:
4636:
4605:
4567:
4512:can be expressed as a
4506:
4477:
4437:
4405:
4333:
4206:
4120:
4086:
3964:
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3009:
2983:
2939:
2913:
2866:
2842:Lagrange interpolation
2830:
2799:
2762:
2725:
2690:
2664:
2616:
2483:
2448:
2394:
2346:
2345:{\displaystyle c\in ,}
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2270:
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15904:Functional calculus
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15842:Von Neumann algebra
15556:Functional analysis
15386:Schaefer, Helmut H.
15355:Functional Analysis
15248:Katznelson, Yitzhak
15075:, pp. 225–273.
15058:, pp. 177–220.
14983:, pp. 126–128.
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