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24959: 21300: 24954:{\displaystyle {\begin{aligned}-\sum _{i=1}^{n}m_{i}&=-\sum _{i=1}^{n}m_{i}\left({\begin{bmatrix}0&-\Delta r_{3,i}&\Delta r_{2,i}\\\Delta r_{3,i}&0&-\Delta r_{1,i}\\-\Delta r_{2,i}&\Delta r_{1,i}&0\end{bmatrix}}\left({\begin{bmatrix}0&-\Delta r_{3,i}&\Delta r_{2,i}\\\Delta r_{3,i}&0&-\Delta r_{1,i}\\-\Delta r_{2,i}&\Delta r_{1,i}&0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}u_{1}\\u_{2}\\u_{3}\end{bmatrix}}\right)\right)\;\ldots {\text{ cross-product as matrix multiplication}}\\&=-\sum _{i=1}^{n}m_{i}\left({\begin{bmatrix}0&-\Delta r_{3,i}&\Delta r_{2,i}\\\Delta r_{3,i}&0&-\Delta r_{1,i}\\-\Delta r_{2,i}&\Delta r_{1,i}&0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}-\Delta r_{3,i}\,u_{2}+\Delta r_{2,i}\,u_{3}\\+\Delta r_{3,i}\,u_{1}-\Delta r_{1,i}\,u_{3}\\-\Delta r_{2,i}\,u_{1}+\Delta r_{1,i}\,u_{2}\end{bmatrix}}\right)\\&=-\sum _{i=1}^{n}m_{i}{\begin{bmatrix}-\Delta r_{3,i}(+\Delta r_{3,i}\,u_{1}-\Delta r_{1,i}\,u_{3})+\Delta r_{2,i}(-\Delta r_{2,i}\,u_{1}+\Delta r_{1,i}\,u_{2})\\+\Delta r_{3,i}(-\Delta r_{3,i}\,u_{2}+\Delta r_{2,i}\,u_{3})-\Delta r_{1,i}(-\Delta r_{2,i}\,u_{1}+\Delta r_{1,i}\,u_{2})\\-\Delta r_{2,i}(-\Delta r_{3,i}\,u_{2}+\Delta r_{2,i}\,u_{3})+\Delta r_{1,i}(+\Delta r_{3,i}\,u_{1}-\Delta r_{1,i}\,u_{3})\end{bmatrix}}\\&=-\sum _{i=1}^{n}m_{i}{\begin{bmatrix}-\Delta r_{3,i}^{2}\,u_{1}+\Delta r_{1,i}\Delta r_{3,i}\,u_{3}-\Delta r_{2,i}^{2}\,u_{1}+\Delta r_{1,i}\Delta r_{2,i}\,u_{2}\\-\Delta r_{3,i}^{2}\,u_{2}+\Delta r_{2,i}\Delta r_{3,i}\,u_{3}+\Delta r_{2,i}\Delta r_{1,i}\,u_{1}-\Delta r_{1,i}^{2}\,u_{2}\\+\Delta r_{3,i}\Delta r_{2,i}\,u_{2}-\Delta r_{2,i}^{2}\,u_{3}+\Delta r_{3,i}\Delta r_{1,i}\,u_{1}-\Delta r_{1,i}^{2}\,u_{3}\end{bmatrix}}\\&=-\sum _{i=1}^{n}m_{i}{\begin{bmatrix}-(\Delta r_{2,i}^{2}+\Delta r_{3,i}^{2})\,u_{1}+\Delta r_{1,i}\Delta r_{2,i}\,u_{2}+\Delta r_{1,i}\Delta r_{3,i}\,u_{3}\\+\Delta r_{2,i}\Delta r_{1,i}\,u_{1}-(\Delta r_{1,i}^{2}+\Delta r_{3,i}^{2})\,u_{2}+\Delta r_{2,i}\Delta r_{3,i}\,u_{3}\\+\Delta r_{3,i}\Delta r_{1,i}\,u_{1}+\Delta r_{3,i}\Delta r_{2,i}\,u_{2}-(\Delta r_{1,i}^{2}+\Delta r_{2,i}^{2})\,u_{3}\end{bmatrix}}\\&=-\sum _{i=1}^{n}m_{i}{\begin{bmatrix}-(\Delta r_{2,i}^{2}+\Delta r_{3,i}^{2})&\Delta r_{1,i}\Delta r_{2,i}&\Delta r_{1,i}\Delta r_{3,i}\\\Delta r_{2,i}\Delta r_{1,i}&-(\Delta r_{1,i}^{2}+\Delta r_{3,i}^{2})&\Delta r_{2,i}\Delta r_{3,i}\\\Delta r_{3,i}\Delta r_{1,i}&\Delta r_{3,i}\Delta r_{2,i}&-(\Delta r_{1,i}^{2}+\Delta r_{2,i}^{2})\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}u_{1}\\u_{2}\\u_{3}\end{bmatrix}}\\&=-\sum _{i=1}^{n}m_{i}^{2}\mathbf {u} \\-\sum _{i=1}^{n}m_{i}&=\left(-\sum _{i=1}^{n}m_{i}^{2}\right)\mathbf {u} \;\ldots \;\mathbf {u} {\text{ is not characteristic of }}P_{i}\end{aligned}}} 17185: 16240: 17180:{\displaystyle {\begin{aligned}0&=\Delta \mathbf {r} _{i}\times ({\boldsymbol {\omega }}\times ({\boldsymbol {\omega }}\times \Delta \mathbf {r} _{i}))+{\boldsymbol {\omega }}\times (({\boldsymbol {\omega }}\times \Delta \mathbf {r} _{i})\times \Delta \mathbf {r} _{i})+({\boldsymbol {\omega }}\times \Delta \mathbf {r} _{i})\times (\Delta \mathbf {r} _{i}\times {\boldsymbol {\omega }})\\&=\Delta \mathbf {r} _{i}\times ({\boldsymbol {\omega }}\times ({\boldsymbol {\omega }}\times \Delta \mathbf {r} _{i}))+{\boldsymbol {\omega }}\times (({\boldsymbol {\omega }}\times \Delta \mathbf {r} _{i})\times \Delta \mathbf {r} _{i})+({\boldsymbol {\omega }}\times \Delta \mathbf {r} _{i})\times -({\boldsymbol {\omega }}\times \Delta \mathbf {r} _{i})\;\ldots {\text{ cross-product anticommutativity}}\\&=\Delta \mathbf {r} _{i}\times ({\boldsymbol {\omega }}\times ({\boldsymbol {\omega }}\times \Delta \mathbf {r} _{i}))+{\boldsymbol {\omega }}\times (({\boldsymbol {\omega }}\times \Delta \mathbf {r} _{i})\times \Delta \mathbf {r} _{i})+-\;\ldots {\text{ cross-product scalar multiplication}}\\&=\Delta \mathbf {r} _{i}\times ({\boldsymbol {\omega }}\times ({\boldsymbol {\omega }}\times \Delta \mathbf {r} _{i}))+{\boldsymbol {\omega }}\times (({\boldsymbol {\omega }}\times \Delta \mathbf {r} _{i})\times \Delta \mathbf {r} _{i})+-\;\ldots {\text{ self cross-product}}\\0&=\Delta \mathbf {r} _{i}\times ({\boldsymbol {\omega }}\times ({\boldsymbol {\omega }}\times \Delta \mathbf {r} _{i}))+{\boldsymbol {\omega }}\times (({\boldsymbol {\omega }}\times \Delta \mathbf {r} _{i})\times \Delta \mathbf {r} _{i})\end{aligned}}} 34574: 33291: 18170: 21271: 34569:{\displaystyle {\begin{aligned}I_{xy}=I_{yx}\ &{\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \sum _{k=1}^{N}m_{k}x_{k}y_{k},\\I_{xz}=I_{zx}\ &{\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \sum _{k=1}^{N}m_{k}x_{k}z_{k},\\I_{yz}=I_{zy}\ &{\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \sum _{k=1}^{N}m_{k}y_{k}z_{k},\\\mathbf {I} ={\begin{bmatrix}I_{11}&I_{12}&I_{13}\\I_{21}&I_{22}&I_{23}\\I_{31}&I_{32}&I_{33}\end{bmatrix}}&={\begin{bmatrix}I_{xx}&-I_{xy}&-I_{xz}\\-I_{yx}&I_{yy}&-I_{yz}\\-I_{zx}&-I_{zy}&I_{zz}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\sum _{k=1}^{N}m_{k}\left(y_{k}^{2}+z_{k}^{2}\right)&-\sum _{k=1}^{N}m_{k}x_{k}y_{k}&-\sum _{k=1}^{N}m_{k}x_{k}z_{k}\\-\sum _{k=1}^{N}m_{k}x_{k}y_{k}&\sum _{k=1}^{N}m_{k}\left(x_{k}^{2}+z_{k}^{2}\right)&-\sum _{k=1}^{N}m_{k}y_{k}z_{k}\\-\sum _{k=1}^{N}m_{k}x_{k}z_{k}&-\sum _{k=1}^{N}m_{k}y_{k}z_{k}&\sum _{k=1}^{N}m_{k}\left(x_{k}^{2}+y_{k}^{2}\right)\end{bmatrix}}.\end{aligned}}} 7648:: When a body moves parallel to a ground plane, the trajectories of all the points in the body lie in planes parallel to this ground plane. This means that any rotation that the body undergoes must be around an axis perpendicular to this plane. Planar movement is often presented as projected onto this ground plane so that the axis of rotation appears as a point. In this case, the angular velocity and angular acceleration of the body are scalars and the fact that they are vectors along the rotation axis is ignored. This is usually preferred for introductions to the topic. But in the case of moment of inertia, the combination of mass and geometry benefits from the geometric properties of the cross product. For this reason, in this section on planar movement the angular velocity and accelerations of the body are vectors perpendicular to the ground plane, and the cross product operations are the same as used for the study of spatial rigid body movement. 29440: 14020: 17196: 19301: 28878: 13333: 18165:{\displaystyle {\begin{aligned}\Delta \mathbf {r} _{i}\times ({\boldsymbol {\omega }}\times ({\boldsymbol {\omega }}\times \Delta \mathbf {r} _{i}))&=-\\&=-\;\ldots {\text{ vector triple product}}\\&=-\;\ldots {\text{ scalar triple product}}\\&=-\;\ldots {\text{ self cross-product}}\\&=-\\&=-\;\ldots {\text{ cross-product scalar multiplication}}\\&={\boldsymbol {\omega }}\times -(\Delta \mathbf {r} _{i}({\boldsymbol {\omega }}\cdot \Delta \mathbf {r} _{i}))\;\ldots {\text{ cross-product scalar multiplication}}\\\Delta \mathbf {r} _{i}\times ({\boldsymbol {\omega }}\times ({\boldsymbol {\omega }}\times \Delta \mathbf {r} _{i}))&={\boldsymbol {\omega }}\times -(\Delta \mathbf {r} _{i}(\Delta \mathbf {r} _{i}\cdot {\boldsymbol {\omega }}))\;\ldots {\text{ dot-product commutativity}}\\\end{aligned}}} 21266:{\displaystyle {\begin{aligned}{\boldsymbol {\tau }}&=\sum _{i=1}^{n}m_{i}\;\ldots {\text{ cross-product distributivity over addition}}\\&=\sum _{i=1}^{n}m_{i}\;\ldots {\text{ cross-product scalar multiplication}}\\&=\sum _{i=1}^{n}m_{i}\;\ldots {\text{ self cross-product}}\\&=\sum _{i=1}^{n}m_{i}\\&=\sum _{i=1}^{n}m_{i}\;\ldots {\text{ vector triple product}}\\&=\sum _{i=1}^{n}m_{i}\;\ldots {\text{ cross-product anticommutativity}}\\&=-\sum _{i=1}^{n}m_{i}\;\ldots {\text{ cross-product scalar multiplication}}\\&=-\sum _{i=1}^{n}m_{i}+-\sum _{i=1}^{n}m_{i}\;\ldots {\text{ summation distributivity}}\\{\boldsymbol {\tau }}&=-\sum _{i=1}^{n}m_{i}+{\boldsymbol {\omega }}\times -\sum _{i=1}^{n}m_{i}\;\ldots \;{\boldsymbol {\omega }}{\text{ is not characteristic of particle }}P_{i}\end{aligned}}} 33155: 29435:{\displaystyle {\begin{aligned}&\left(\mathbf {\hat {k}} \times \left(\mathbf {\hat {k}} \times \Delta \mathbf {r} _{i}\right)\right)\cdot \left(\mathbf {\hat {k}} \times \left(\mathbf {\hat {k}} \times \Delta \mathbf {r} _{i}\right)\right)\\={}&\left(\left(\mathbf {\hat {k}} \times \left(\mathbf {\hat {k}} \times \Delta \mathbf {r} _{i}\right)\right)\times \mathbf {\hat {k}} \right)\cdot \left(\mathbf {\hat {k}} \times \Delta \mathbf {r} _{i}\right)\\={}&\left(\mathbf {\hat {k}} \times \Delta \mathbf {r} _{i}\right)\cdot \left(-\Delta \mathbf {r} _{i}\times \mathbf {\hat {k}} \right)\\={}&-\mathbf {\hat {k}} \cdot \left(\Delta \mathbf {r} _{i}\times \Delta \mathbf {r} _{i}\times \mathbf {\hat {k}} \right)\\={}&-\mathbf {\hat {k}} \cdot \left^{2}\mathbf {\hat {k}} .\end{aligned}}} 14015:{\displaystyle {\begin{aligned}E_{\text{K}}&={\frac {1}{2}}\left(\sum _{i=1}^{n}m_{i}\left(\left{\boldsymbol {\omega }}\right)\cdot \left(\left{\boldsymbol {\omega }}\right)\right)+{\frac {1}{2}}\left(\sum _{i=1}^{n}m_{i}\right)\mathbf {V} _{\mathbf {C} }\cdot \mathbf {V} _{\mathbf {C} }\\&={\frac {1}{2}}\left(\sum _{i=1}^{n}m_{i}\left({\boldsymbol {\omega }}^{\mathsf {T}}\left^{\mathsf {T}}\left{\boldsymbol {\omega }}\right)\right)+{\frac {1}{2}}\left(\sum _{i=1}^{n}m_{i}\right)\mathbf {V} _{\mathbf {C} }\cdot \mathbf {V} _{\mathbf {C} }\\&={\frac {1}{2}}{\boldsymbol {\omega }}\cdot \left(-\sum _{i=1}^{n}m_{i}\left^{2}\right){\boldsymbol {\omega }}+{\frac {1}{2}}\left(\sum _{i=1}^{n}m_{i}\right)\mathbf {V} _{\mathbf {C} }\cdot \mathbf {V} _{\mathbf {C} }.\end{aligned}}} 9039: 32265: 858: 8477: 19297: 33150:{\displaystyle \mathbf {I} ={\begin{bmatrix}I_{11}&I_{12}&I_{13}\\I_{21}&I_{22}&I_{23}\\I_{31}&I_{32}&I_{33}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}I_{xx}&I_{xy}&I_{xz}\\I_{yx}&I_{yy}&I_{yz}\\I_{zx}&I_{zy}&I_{zz}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\sum _{k=1}^{N}m_{k}\left(y_{k}^{2}+z_{k}^{2}\right)&-\sum _{k=1}^{N}m_{k}x_{k}y_{k}&-\sum _{k=1}^{N}m_{k}x_{k}z_{k}\\-\sum _{k=1}^{N}m_{k}x_{k}y_{k}&\sum _{k=1}^{N}m_{k}\left(x_{k}^{2}+z_{k}^{2}\right)&-\sum _{k=1}^{N}m_{k}y_{k}z_{k}\\-\sum _{k=1}^{N}m_{k}x_{k}z_{k}&-\sum _{k=1}^{N}m_{k}y_{k}z_{k}&\sum _{k=1}^{N}m_{k}\left(x_{k}^{2}+y_{k}^{2}\right)\end{bmatrix}}.} 18177: 12001: 35496: 7638: 9034:{\displaystyle {\begin{aligned}E_{\text{K}}&={\frac {1}{2}}\sum _{i=1}^{n}m_{i}\mathbf {v} _{i}\cdot \mathbf {v} _{i},\\&={\frac {1}{2}}\sum _{i=1}^{n}m_{i}\left(\omega \,\Delta r_{i}\mathbf {\hat {t}} _{i}+\mathbf {V} \right)\cdot \left(\omega \,\Delta r_{i}\mathbf {\hat {t}} _{i}+\mathbf {V} \right),\\&={\frac {1}{2}}\omega ^{2}\left(\sum _{i=1}^{n}m_{i}\,\Delta r_{i}^{2}\mathbf {\hat {t}} _{i}\cdot \mathbf {\hat {t}} _{i}\right)+\omega \mathbf {V} \cdot \left(\sum _{i=1}^{n}m_{i}\,\Delta r_{i}\mathbf {\hat {t}} _{i}\right)+{\frac {1}{2}}\left(\sum _{i=1}^{n}m_{i}\right)\mathbf {V} \cdot \mathbf {V} .\end{aligned}}} 936: 11611: 29936: 13219: 8056: 47: 35125: 7302: 28812: 19292:{\displaystyle {\begin{aligned}{\boldsymbol {\tau }}&=\sum _{i=1}^{n}m_{i}\\&=\sum _{i=1}^{n}m_{i}\\&=\sum _{i=1}^{n}m_{i}\\&=\sum _{i=1}^{n}m_{i}-\Delta \mathbf {r} _{i}(\Delta \mathbf {r} _{i}\cdot {\boldsymbol {\omega }})\}]\;\ldots \;{\boldsymbol {\omega }}(\Delta \mathbf {r} _{i}\cdot \Delta \mathbf {r} _{i})-{\boldsymbol {\omega }}(\Delta \mathbf {r} _{i}\cdot \Delta \mathbf {r} _{i})=0\\&=\sum _{i=1}^{n}m_{i}-{\boldsymbol {\omega }}(\Delta \mathbf {r} _{i}\cdot \Delta \mathbf {r} _{i})\}]\;\ldots {\text{ addition associativity}}\\\end{aligned}}} 10594: 1254: 28521: 29518: 12892: 3964: 25351: 2479: 7659: 2032: 1242: 5970: 28528: 2692: 11996:{\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {L} &=\sum _{i=1}^{n}m_{i}\,\Delta \mathbf {r} _{i}\times \mathbf {v} _{i}\\&=\sum _{i=1}^{n}m_{i}\,\Delta \mathbf {r} _{i}\times \left({\boldsymbol {\omega }}\times \Delta \mathbf {r} _{i}+\mathbf {V} _{\mathbf {R} }\right)\\&=\left(-\sum _{i=1}^{n}m_{i}\,\Delta \mathbf {r} _{i}\times \left(\Delta \mathbf {r} _{i}\times {\boldsymbol {\omega }}\right)\right)+\left(\sum _{i=1}^{n}m_{i}\,\Delta \mathbf {r} _{i}\times \mathbf {V} _{\mathbf {R} }\right),\end{aligned}}} 4976: 10224: 15676: 10217: 35491:{\displaystyle I=mr^{2}=m\left(\mathbf {x} -\left(\mathbf {x} \cdot \mathbf {\hat {n}} \right)\mathbf {\hat {n}} \right)\cdot \left(\mathbf {x} -\left(\mathbf {x} \cdot \mathbf {\hat {n}} \right)\mathbf {\hat {n}} \right)=m\left(\mathbf {x} ^{2}-2\mathbf {x} \left(\mathbf {x} \cdot \mathbf {\hat {n}} \right)\mathbf {\hat {n}} +\left(\mathbf {x} \cdot \mathbf {\hat {n}} \right)^{2}\mathbf {\hat {n}} ^{2}\right)=m\left(\mathbf {x} ^{2}-\left(\mathbf {x} \cdot \mathbf {\hat {n}} \right)^{2}\right).} 28201: 7633:{\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {\hat {e}} _{i}&={\frac {\Delta \mathbf {r} _{i}}{\Delta r_{i}}},\quad \mathbf {\hat {k}} ={\frac {\boldsymbol {\omega }}{\omega }},\quad \mathbf {\hat {t}} _{i}=\mathbf {\hat {k}} \times \mathbf {\hat {e}} _{i},\\\mathbf {v} _{i}&={\boldsymbol {\omega }}\times \Delta \mathbf {r} _{i}+\mathbf {V} =\omega \mathbf {\hat {k}} \times \Delta r_{i}\mathbf {\hat {e}} _{i}+\mathbf {V} =\omega \,\Delta r_{i}\mathbf {\hat {t}} _{i}+\mathbf {V} \end{aligned}}} 31127: 6650: 24966: 2263: 35725: 1820: 12829: 871: 8467: 916: 29931:{\displaystyle {\begin{aligned}I_{L}&=\sum _{i=1}^{N}m_{i}\left|\Delta \mathbf {r} _{i}^{\perp }\right|^{2}\\&=-\sum _{i=1}^{N}m_{i}\mathbf {\hat {k}} \cdot \left^{2}\mathbf {\hat {k}} =\mathbf {\hat {k}} \cdot \left(-\sum _{i=1}^{N}m_{i}\left^{2}\right)\mathbf {\hat {k}} \\&=\mathbf {\hat {k}} \cdot \mathbf {I} _{\mathbf {R} }\mathbf {\hat {k}} =\mathbf {\hat {k}} ^{\mathsf {T}}\mathbf {I} _{\mathbf {R} }\mathbf {\hat {k}} ,\end{aligned}}} 13214:{\displaystyle E_{\text{K}}={\frac {1}{2}}\left(\sum _{i=1}^{n}m_{i}\left({\boldsymbol {\omega }}\times \Delta \mathbf {r} _{i}\right)\cdot \left({\boldsymbol {\omega }}\times \Delta \mathbf {r} _{i}\right)\right)+\left(\sum _{i=1}^{n}m_{i}\mathbf {V} _{\mathbf {C} }\cdot \left({\boldsymbol {\omega }}\times \Delta \mathbf {r} _{i}\right)\right)+{\frac {1}{2}}\left(\sum _{i=1}^{n}m_{i}\mathbf {V} _{\mathbf {C} }\cdot \mathbf {V} _{\mathbf {C} }\right).} 5354: 15152: 31526: 9948: 8051:{\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {L} &=\sum _{i=1}^{n}m_{i}\Delta \mathbf {r} _{i}\times \mathbf {v} _{i}\\&=\sum _{i=1}^{n}m_{i}\,\Delta r_{i}\mathbf {\hat {e}} _{i}\times \left(\omega \,\Delta r_{i}\mathbf {\hat {t}} _{i}+\mathbf {V} \right)\\&=\left(\sum _{i=1}^{n}m_{i}\,\Delta r_{i}^{2}\right)\omega \mathbf {\hat {k}} +\left(\sum _{i=1}^{n}m_{i}\,\Delta r_{i}\mathbf {\hat {e}} _{i}\right)\times \mathbf {V} .\end{aligned}}} 37127: 15133: 28807:{\displaystyle \left(\mathbf {\hat {k}} \times \left(\mathbf {\hat {k}} \times \Delta \mathbf {r} _{i}\right)\right)\cdot \left(\mathbf {\hat {k}} \times \left(\mathbf {\hat {k}} \times \Delta \mathbf {r} _{i}\right)\right)\equiv \left(\left(\mathbf {\hat {k}} \times \left(\mathbf {\hat {k}} \times \Delta \mathbf {r} _{i}\right)\right)\times \mathbf {\hat {k}} \right)\cdot \left(\mathbf {\hat {k}} \times \Delta \mathbf {r} _{i}\right),} 30727: 10589:{\displaystyle {\begin{aligned}{\boldsymbol {\tau }}&=\sum _{i=1}^{n}m_{i}\,\Delta r_{i}\mathbf {\hat {e}} _{i}\times \left(\alpha \Delta r_{i}\mathbf {\hat {t}} _{i}-\omega ^{2}\Delta r_{i}\mathbf {\hat {e}} _{i}+\mathbf {A} \right)\\&=\left(\sum _{i=1}^{n}m_{i}\,\Delta r_{i}^{2}\right)\alpha \mathbf {\hat {k}} +\left(\sum _{i=1}^{n}m_{i}\,\Delta r_{i}\mathbf {\hat {e}} _{i}\right)\times \mathbf {A} ,\end{aligned}}} 7053: 6224: 35509: 12586: 28516:{\displaystyle {\begin{aligned}\left|\Delta \mathbf {r} _{i}^{\perp }\right|^{2}&=\left(-\left^{2}\Delta \mathbf {r} _{i}\right)\cdot \left(-\left^{2}\Delta \mathbf {r} _{i}\right)\\&=\left(\mathbf {\hat {k}} \times \left(\mathbf {\hat {k}} \times \Delta \mathbf {r} _{i}\right)\right)\cdot \left(\mathbf {\hat {k}} \times \left(\mathbf {\hat {k}} \times \Delta \mathbf {r} _{i}\right)\right)\end{aligned}}} 27116: 1257: 1256: 1261: 1260: 1255: 27763: 9232: 5078: 1262: 25346:{\displaystyle {\begin{aligned}{\boldsymbol {\tau }}&=-\sum _{i=1}^{n}m_{i}+{\boldsymbol {\omega }}\times -\sum _{i=1}^{n}m_{i}\Delta \mathbf {r} _{i}\times (\Delta \mathbf {r} _{i}\times {\boldsymbol {\omega }})]\\&=\left(-\sum _{i=1}^{n}m_{i}^{2}\right){\boldsymbol {\alpha }}+{\boldsymbol {\omega }}\times \left(-\sum _{i=1}^{n}m_{i}^{2}\right){\boldsymbol {\omega }}\end{aligned}}} 14621: 2474:{\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {L} &=\mathbf {r} \times \mathbf {p} =\mathbf {r} \times \left(m{\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {r} \right)\\&=m\left(\left(\mathbf {r} \cdot \mathbf {r} \right){\boldsymbol {\omega }}-\left(\mathbf {r} \cdot {\boldsymbol {\omega }}\right)\mathbf {r} \right)\\&=mr^{2}{\boldsymbol {\omega }}=I\omega \mathbf {\hat {k}} ,\end{aligned}}} 31138: 2027:{\displaystyle {\begin{aligned}{\boldsymbol {\tau }}&=\mathbf {r} \times \mathbf {F} =\mathbf {r} \times (m{\boldsymbol {\alpha }}\times \mathbf {r} )\\&=m\left(\left(\mathbf {r} \cdot \mathbf {r} \right){\boldsymbol {\alpha }}-\left(\mathbf {r} \cdot {\boldsymbol {\alpha }}\right)\mathbf {r} \right)\\&=mr^{2}{\boldsymbol {\alpha }}=I\alpha \mathbf {\hat {k}} ,\end{aligned}}} 14971: 36035: 945: 4399: 11560: 6882: 1259: 15671:{\displaystyle {\begin{aligned}{\boldsymbol {\tau }}&=\sum _{i=1}^{n}(\mathbf {r_{i}} -\mathbf {R} )\times (m_{i}\mathbf {a} _{i})\\&=\sum _{i=1}^{n}\Delta \mathbf {r} _{i}\times (m_{i}\mathbf {a} _{i})\\&=\sum _{i=1}^{n}m_{i}\;\ldots {\text{ cross-product scalar multiplication}}\\&=\sum _{i=1}^{n}m_{i}\\&=\sum _{i=1}^{n}m_{i}\\\end{aligned}}} 10212:{\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {A} _{i}&=\alpha \mathbf {\hat {k}} \times \Delta r_{i}\mathbf {\hat {e}} _{i}-\omega \mathbf {\hat {k}} \times \omega \mathbf {\hat {k}} \times \Delta r_{i}\mathbf {\hat {e}} _{i}+\mathbf {A} \\&=\alpha \Delta r_{i}\mathbf {\hat {t}} _{i}-\omega ^{2}\Delta r_{i}\mathbf {\hat {e}} _{i}+\mathbf {A} .\end{aligned}}} 28164: 26891: 31122:{\displaystyle {\begin{aligned}I_{xx}\ &{\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \sum _{k=1}^{N}m_{k}\left(y_{k}^{2}+z_{k}^{2}\right),\\I_{yy}\ &{\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \sum _{k=1}^{N}m_{k}\left(x_{k}^{2}+z_{k}^{2}\right),\\I_{zz}\ &{\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \sum _{k=1}^{N}m_{k}\left(x_{k}^{2}+y_{k}^{2}\right),\end{aligned}}} 37900: 14964: 27586: 9501: 6645:{\displaystyle {\begin{aligned}I_{C,{\text{sphere}}}&=\int _{-R}^{R}{\tfrac {1}{2}}\pi \rho r(z)^{4}\,dz=\int _{-R}^{R}{\tfrac {1}{2}}\pi \rho \left(R^{2}-z^{2}\right)^{2}\,dz\\&={\tfrac {1}{2}}\pi \rho \left_{-R}^{R}\\&=\pi \rho \left(1-{\tfrac {2}{3}}+{\tfrac {1}{5}}\right)R^{5}\\&={\tfrac {2}{5}}mR^{2},\end{aligned}}} 14477: 35720:{\displaystyle I=m\left(\mathbf {x} ^{\textsf {T}}\mathbf {x} -\mathbf {\hat {n}} ^{\textsf {T}}\mathbf {x} \mathbf {x} ^{\textsf {T}}\mathbf {\hat {n}} \right)=m\cdot \mathbf {\hat {n}} ^{\textsf {T}}\left(\mathbf {x} ^{\textsf {T}}\mathbf {x} \cdot \mathbf {E_{3}} -\mathbf {x} \mathbf {x} ^{\textsf {T}}\right)\mathbf {\hat {n}} ,} 16229: 26391: 12824:{\displaystyle E_{\text{K}}={\frac {1}{2}}\sum _{i=1}^{n}m_{i}\mathbf {v} _{i}\cdot \mathbf {v} _{i}={\frac {1}{2}}\sum _{i=1}^{n}m_{i}\left({\boldsymbol {\omega }}\times \Delta \mathbf {r} _{i}+\mathbf {V} _{\mathbf {C} }\right)\cdot \left({\boldsymbol {\omega }}\times \Delta \mathbf {r} _{i}+\mathbf {V} _{\mathbf {C} }\right),} 9752: 8251: 35748: 5722: 25431: 14127: 4157: 11361: 5349:{\displaystyle I_{C,{\text{rod}}}=\iiint _{Q}\rho \,x^{2}\,dV=\int _{-{\frac {\ell }{2}}}^{\frac {\ell }{2}}\rho \,x^{2}s\,dx=\left.\rho s{\frac {x^{3}}{3}}\right|_{-{\frac {\ell }{2}}}^{\frac {\ell }{2}}={\frac {\rho s}{3}}\left({\frac {\ell ^{3}}{8}}+{\frac {\ell ^{3}}{8}}\right)={\frac {m\ell ^{2}}{12}},} 1092:(inertia) plays in linear kinetics—both characterize the resistance of a body to changes in its motion. The moment of inertia depends on how mass is distributed around an axis of rotation, and will vary depending on the chosen axis. For a point-like mass, the moment of inertia about some axis is given by 37534: 31521:{\displaystyle {\begin{aligned}I_{xy}=I_{yx}\ &{\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ -\sum _{k=1}^{N}m_{k}x_{k}y_{k},\\I_{xz}=I_{zx}\ &{\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ -\sum _{k=1}^{N}m_{k}x_{k}z_{k},\\I_{yz}=I_{zy}\ &{\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ -\sum _{k=1}^{N}m_{k}y_{k}z_{k}.\end{aligned}}} 30408: 5976: 4054: 1221: 1162: 27994: 10883: 8457: 1213: 33287: 38120: 15128:{\displaystyle \Delta \mathbf {r} _{i}\times \left({\boldsymbol {\omega }}\times \left({\boldsymbol {\omega }}\times \Delta \mathbf {r} _{i}\right)\right)+{\boldsymbol {\omega }}\times \left(\left({\boldsymbol {\omega }}\times \Delta \mathbf {r} _{i}\right)\times \Delta \mathbf {r} _{i}\right)=0,} 1197: 6710: 3466: 36352: 30220: 31790: 12286: 2613: 37780: 14771: 9343: 7048:{\displaystyle {\begin{aligned}\Delta \mathbf {r} _{i}&=\mathbf {r} _{i}-\mathbf {R} ,\\\mathbf {v} _{i}&={\boldsymbol {\omega }}\times \left(\mathbf {r} _{i}-\mathbf {R} \right)+\mathbf {V} ={\boldsymbol {\omega }}\times \Delta \mathbf {r} _{i}+\mathbf {V} ,\end{aligned}}} 15762: 26058: 5932: 36868: 9657: 8088: 14288: 1556: 27111:{\displaystyle I_{L}=\mathbf {\hat {k}} \cdot \left(-\sum _{i=1}^{N}m_{i}\left^{2}\right)\mathbf {\hat {k}} =\mathbf {\hat {k}} \cdot \mathbf {I} _{\mathbf {R} }\mathbf {\hat {k}} =\mathbf {\hat {k}} ^{\mathsf {T}}\mathbf {I} _{\mathbf {R} }\mathbf {\hat {k}} ,} 32038: 9186: 37637: 5528: 36574: 11174: 27758:{\displaystyle \Delta \mathbf {r} _{i}^{\perp }=\Delta \mathbf {r} _{i}-\left(\mathbf {\hat {k}} \cdot \Delta \mathbf {r} _{i}\right)\mathbf {\hat {k}} =\left(\mathbf {E} -\mathbf {\hat {k}} \mathbf {\hat {k}} ^{\mathsf {T}}\right)\Delta \mathbf {r} _{i},} 25359: 14027: 36756: 35091: 1258: 14616:{\displaystyle \mathbf {a} _{i}={\boldsymbol {\alpha }}\times \left(\mathbf {r} _{i}-\mathbf {R} \right)+{\boldsymbol {\omega }}\times \left({\boldsymbol {\omega }}\times \left(\mathbf {r} _{i}-\mathbf {R} \right)\right)+\mathbf {A} _{\mathbf {R} }.} 37369: 30227: 4986: 36030:{\displaystyle I=m{\begin{bmatrix}n_{1}&n_{2}&n_{3}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}y^{2}+z^{2}&-xy&-xz\\-yx&x^{2}+z^{2}&-yz\\-zx&-zy&x^{2}+y^{2}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}n_{1}\\n_{2}\\n_{3}\end{bmatrix}}.} 26051: 25775: 21305: 3334: 30071: 31656: 12160: 3037: 2487: 10735: 9943: 7297: 3188: 4518: 4394:{\displaystyle E_{\text{K}}=\sum _{i=1}^{N}{\frac {1}{2}}\,m_{i}\mathbf {v} _{i}\cdot \mathbf {v} _{i}=\sum _{i=1}^{N}{\frac {1}{2}}\,m_{i}\left(\omega r_{i}\right)^{2}={\frac {1}{2}}\,\omega ^{2}\sum _{i=1}^{N}m_{i}r_{i}^{2}.} 36343: 11555:{\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {b} \times \mathbf {y} &\equiv \left\mathbf {y} \\\left&\equiv {\begin{bmatrix}0&-b_{z}&b_{y}\\b_{z}&0&-b_{x}\\-b_{y}&b_{x}&0\end{bmatrix}}.\end{aligned}}} 3490:. A trifilar pendulum is a platform supported by three wires designed to oscillate in torsion around its vertical centroidal axis. The period of oscillation of the trifilar pendulum yields the moment of inertia of the system. 10662: 4514: 3948: 38144:(Definition 7. 422. A body's moment of inertia with respect to any axis is the sum of all of the products, which arise, if the individual elements of the body are multiplied by the square of their distances from the axis.) 37268: 30626: 10874: 32217: 26572: 4678: 30008: 25680: 12418: 5792: 6229: 3261: 2707: 27989: 8413: 2889: 38653: 38001: 32116: 28159:{\displaystyle -\left^{2}\equiv \left|\mathbf {\hat {k}} \right|^{2}\left(\mathbf {E} -\mathbf {\hat {k}} \mathbf {\hat {k}} ^{\mathsf {T}}\right)=\mathbf {E} -\mathbf {\hat {k}} \mathbf {\hat {k}} ^{\mathsf {T}},} 2232: 1782: 36761: 33296: 27260: 12884: 12155: 11102: 1674: 27835: 1010: 14189: 37100: 8356: 27493: 2827: 1266: 34931: 30000: 13290: 31901: 31896: 9097: 38142:"Definitio 7. 422. Momentum inertiae corporis respectu eujuspiam axis est summa omnium productorum, quae oriuntur, si singula corporis elementa per quadrata distantiarum suarum ab axe multiplicentur." 34812: 34697: 2699: 37895:{\displaystyle \mathbf {x} ^{\mathsf {T}}{\boldsymbol {\Lambda }}\mathbf {x} =\|\mathbf {x} \|^{2}\mathbf {n} ^{\mathsf {T}}{\boldsymbol {\Lambda }}\mathbf {n} =\|\mathbf {x} \|^{2}I_{\mathbf {n} }=1.} 37539: 14959:{\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}=\left(-\sum _{i=1}^{n}m_{i}\left^{2}\right){\boldsymbol {\alpha }}+{\boldsymbol {\omega }}\times \left(-\sum _{i=1}^{n}m_{i}\left^{2}\right){\boldsymbol {\omega }}} 37702: 36504: 11107: 212: 36695: 36455: 14766: 9496:{\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {F} &=\sum _{i=1}^{n}m_{i}\mathbf {A} _{i},\\{\boldsymbol {\tau }}&=\sum _{i=1}^{n}\Delta \mathbf {r} _{i}\times m_{i}\mathbf {A} _{i},\end{aligned}}} 4510: 37360: 37081:, the rigid body is a symmetric top. If a rigid body has at least two symmetry axes that are not parallel or perpendicular to each other, it is a spherical top, for example, a cube or any other 31143: 30732: 29523: 28883: 28206: 24971: 19306: 18182: 17201: 16245: 15767: 15157: 13338: 11616: 11366: 10229: 9953: 9348: 8482: 8093: 7664: 7307: 6887: 2268: 1825: 995: 6197: 3675: 31822: 16224:{\displaystyle {\begin{aligned}{\boldsymbol {\tau }}&=\sum _{i=1}^{n}m_{i}\\{\boldsymbol {\tau }}&=\sum _{i=1}^{n}m_{i}\\{\boldsymbol {\tau }}&=\sum _{i=1}^{n}m_{i}\end{aligned}}} 11356: 36634: 36395: 36202: 26386:{\displaystyle \mathbf {I} _{\mathbf {R} }=-\left(\sum _{i=1}^{n}m_{i}^{2}\right)+\left(\sum _{i=1}^{n}m_{i}\right)+\left(\sum _{i=1}^{n}m_{i}\right)-\left(\sum _{i=1}^{n}m_{i}\right)^{2}.} 15713: 4582: 14428: 6699: 3844: 3787: 3732: 1815: 26772: 9747:{\displaystyle \mathbf {A} _{i}={\boldsymbol {\alpha }}\times \Delta \mathbf {r} _{i}+{\boldsymbol {\omega }}\times {\boldsymbol {\omega }}\times \Delta \mathbf {r} _{i}+\mathbf {A} .} 8246:{\displaystyle {\begin{aligned}\Delta r_{i}\mathbf {\hat {e}} _{i}&=\mathbf {r} _{i}-\mathbf {C} ,\\\sum _{i=1}^{n}m_{i}\,\Delta r_{i}\mathbf {\hat {e}} _{i}&=0,\end{aligned}}} 37218: 36690: 34937: 6044: 28844: 27552: 25846: 25709: 14472: 14450: 11196: 9819: 9652: 9630: 8470: 7075: 6713: 2254: 2089: 1744: 1323: 35019: 3309: 129: 35120: 35014: 29513: 28873: 28193: 27864: 27581: 27414: 26864: 9783: 6754:. The definition of the polar moment of inertia can be obtained by considering momentum, kinetic energy and Newton's laws for the planar movement of a rigid system of particles. 6748: 5523: 2063: 31653: 27334: 12523: 10967: 9312: 6826: 2740: 38793:"A demonstration of the theorem that every homogeneous quadratic polynomial is reducible by real orthogonal substitutions to the form of a sum of positive and negative squares" 5764: 2936: 37753: 36080: 29965: 27363: 27145: 26422: 25550: 25460: 14317: 14156: 12581: 12552: 12315: 12030: 11225: 11025: 10996: 10819: 9870: 9530: 9217: 9092: 8444: 8282: 7224: 7173: 6877: 3486: 236: 9785: 1392: 3118: 12055: 5717:{\displaystyle I_{C,{\text{disc}}}=\iiint _{Q}\rho \,r^{2}\,dV=\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{R}\rho r^{2}sr\,dr\,d\theta =2\pi \rho s{\frac {R^{4}}{4}}={\frac {1}{2}}mR^{2},} 5386: 37946: 37924: 37775: 37724: 37661: 36892: 36668: 36598: 36499: 36477: 36417: 36283: 36106: 34985: 32062: 30715: 30685: 29987: 29484: 27785: 27436: 27385: 27167: 26886: 26638: 26616: 26594: 26494: 26444: 25841: 25819: 25797: 25704: 25572: 25518: 25496: 21295: 15757: 15735: 14645: 14397: 12440: 11606: 11584: 11247: 11047: 10790: 9841: 9608: 9586: 9338: 9063: 8083: 7195: 7144: 7119: 7097: 6848: 4763: 3502:. These calculations are commonly used in civil engineering for structural design of beams and columns. Cross-sectional areas calculated for vertical moment of the x-axis 2111: 1718: 1696: 26687: 25426:{\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}=\mathbf {I} _{\mathbf {C} }{\boldsymbol {\alpha }}+{\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {I} _{\mathbf {C} }{\boldsymbol {\omega }},} 14720: 14122:{\displaystyle E_{\text{K}}={\frac {1}{2}}{\boldsymbol {\omega }}\cdot \mathbf {I} _{\mathbf {C} }{\boldsymbol {\omega }}+{\frac {1}{2}}M\mathbf {V} _{\mathbf {C} }^{2}.} 39557: 37108:, which basically means adjusting the distribution of mass of a car wheel such that its principal axis of inertia is aligned with the axle so the wheel does not wobble. 36292: 5954: 1634: 1527: 1450: 37223: 36249: 15737: 10824: 3269:, which provides the "tick" and "tock" of a grandfather clock, takes one second to swing from side-to-side. This is a period of two seconds, or a natural frequency of 2651: 2190: 2147: 32154: 4801: 4741: 3470: 37079: 33277: 33247: 32149: 31608: 31558: 26717: 4431: 4032: 3560: 3530: 2681: 1120: 36973: 36946: 36919: 30653: 30062: 27924: 27520: 26835: 26502: 25476: 14375: 14344: 11289: 10762: 9564: 5453: 5053: 5033: 4703: 4593: 4130: 4103: 2767: 37529:{\displaystyle \left({\frac {x}{1/{\sqrt {I_{1}}}}}\right)^{2}+\left({\frac {y}{1/{\sqrt {I_{2}}}}}\right)^{2}+\left({\frac {z}{1/{\sqrt {I_{3}}}}}\right)^{2}=1,} 2913: 25577: 12320: 37188: 37168: 37148: 37043: 36222: 34963: 33217: 33197: 33177: 32257: 32237: 31648: 31628: 31578: 30513: 30493: 30473: 30453: 30433: 30403:{\displaystyle I_{ij}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \sum _{k=1}^{N}m_{k}\left(\left\|\mathbf {r} _{k}\right\|^{2}\delta _{ij}-x_{i}^{(k)}x_{j}^{(k)}\right)} 30035: 29462: 27884: 27283: 14176: 12472: 10916: 9261: 6775: 6219: 6106: 6086: 6066: 5952: 5787: 5477: 5433: 5413: 5073: 5013: 4959: 4939: 4915: 4895: 4871: 4841: 4821: 4150: 4076: 4052: 3590: 3329: 3193: 3113: 3085: 3057: 2931: 2911: 2887: 2867: 2847: 1595: 1575: 1160: 1140: 38949: 27205: 26800: 26472: 13328: 12100: 10667: 9875: 7229: 4843:. The moment of inertia of a flat surface is similar with the mass density being replaced by its areal mass density with the integral evaluated over its area. 39647: 8363: 4853: 37951: 32067: 11052: 1328: 2653: 10601: 8287: 3851: 3461:{\displaystyle L={\frac {g}{\omega _{\text{n}}^{2}}}\approx {\frac {9.81\ \mathrm {m/s^{2}} }{(3.14\ \mathrm {rad/s} )^{2}}}\approx 0.99\ \mathrm {m} .} 30520: 32042: 2772: 37022:(although it need not be spherical) and any axis can be considered a principal axis, meaning that the moment of inertia is the same about any axis. 30215:{\displaystyle \mathbf {I} ={\begin{bmatrix}I_{11}&I_{12}&I_{13}\\I_{21}&I_{22}&I_{23}\\I_{31}&I_{32}&I_{33}\end{bmatrix}}.} 31785:{\displaystyle \mathbf {I} =\iiint _{V}\rho (x,y,z)\left(\|\mathbf {r} \|^{2}\mathbf {E} _{3}-\mathbf {r} \otimes \mathbf {r} \right)\,dx\,dy\,dz,} 26719: 12281:{\displaystyle \mathbf {L} =\left(-\sum _{i=1}^{n}m_{i}\left^{2}\right){\boldsymbol {\omega }}=\mathbf {I} _{\mathbf {C} }{\boldsymbol {\omega }},} 2608:{\displaystyle E_{\text{K}}={\frac {1}{2}}m\mathbf {v} \cdot \mathbf {v} ={\frac {1}{2}}\left(mr^{2}\right)\omega ^{2}={\frac {1}{2}}I\omega ^{2}.} 37018: 5962: 38457: 14186: 38284: 27929: 5769: 2199: 1749: 902: 36422: 29992: 27210: 26646:: By using the skew symmetric matrix of position vectors relative to the reference point, the inertia matrix of each particle has the form 12834: 12105: 1641: 38314: 27790: 4436: 38394: 37273: 3997: 1073:) is proportional to the moment of inertia of the body. Moments of inertia may be expressed in units of kilogram metre squared (kg·m) in 491: 1465: 38942: 27441: 10892: 6111: 610: 36108: 6828:, are assembled into a rigid body, then the momentum of the system can be written in terms of positions relative to a reference point 36111: 37111: 34820: 5927:{\displaystyle I_{P}=I_{C,{\text{rod}}}+M_{\text{rod}}\left({\frac {L}{2}}\right)^{2}+I_{C,{\text{disc}}}+M_{\text{disc}}(L+R)^{2},} 40318: 13226: 4522: 583: 38706: 31852: 953: 38615: 36039: 34710: 34586: 1746:, of the string and mass around this axis. Since the mass is constrained to a circle the tangential acceleration of the mass is 38051: 37666: 37006: 36863:{\displaystyle {\boldsymbol {\Lambda }}={\begin{bmatrix}I_{1}&0&0\\0&I_{2}&0\\0&0&I_{3}\end{bmatrix}}.} 8458: 168: 40467: 9756: 5980: 38935: 38872: 38133: 38069: 1292: 14725: 14283:{\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}=\sum _{i=1}^{n}\left(\mathbf {r_{i}} -\mathbf {R} \right)\times m_{i}\mathbf {a} _{i},} 1490: 7642: 1245: 565: 32262: 2484: 40502: 40181: 38690: 38638: 38587: 38501: 38324: 38294: 37025: 3614: 999: 17: 31797: 11294: 1022: 39961: 38845: 38731: 38551: 38526: 38234: 38206: 38178: 37726: 37194: 36603: 36364: 32033:{\displaystyle \mathbf {I} =\iiint _{V}\rho (\mathbf {r} )^{\textsf {T}}\,dV=-\iiint _{Q}\rho (\mathbf {r} )^{2}\,dV} 9181:{\displaystyle E_{\text{K}}={\frac {1}{2}}I_{\mathbf {C} }\omega ^{2}+{\frac {1}{2}}M\mathbf {V} \cdot \mathbf {V} .} 3967: 1365: 895: 36644: 4152:, which is the nearest point on the axis of rotation. It is the sum of the kinetic energy of the individual masses, 40383: 39683: 39658: 39619: 37632:{\displaystyle a={\frac {1}{\sqrt {I_{1}}}},\quad b={\frac {1}{\sqrt {I_{2}}}},\quad c={\frac {1}{\sqrt {I_{3}}}}.} 36048: 15681: 1246: 36569:{\displaystyle \mathbf {I} _{\mathbf {C} }=\mathbf {A} \mathbf {I} _{\mathbf {C} }^{B}\mathbf {A} ^{\mathsf {T}}.} 11169:{\displaystyle \mathbf {v} _{i}={\boldsymbol {\omega }}\times \Delta \mathbf {r} _{i}+\mathbf {V} _{\mathbf {R} }} 6721: 857: 31847: 28814: 14402: 11258: 3794: 3737: 3682: 231: 6750: 6655: 1787: 40612: 38467: 38437: 38404: 36751:{\displaystyle \mathbf {I} _{\mathbf {C} }^{B}=\mathbf {Q} {\boldsymbol {\Lambda }}\mathbf {Q} ^{\mathsf {T}},} 36645: 35086:{\displaystyle \left|\mathbf {x} -\left(\mathbf {x} \cdot \mathbf {\hat {n}} \right)\mathbf {\hat {n}} \right|} 27889: 26722: 8446: 1600: 1493: 1416: 1234: 486: 226: 37201: 36673: 40234: 40166: 38961: 36984: 28817: 27525: 14455: 14433: 11179: 9788: 9635: 9613: 7058: 4765: 3474: 2237: 2072: 1727: 1082: 3272: 101: 40259: 6201: 1344: 888: 875: 636: 559: 481: 324: 26446:. And the last term is the total mass of the system multiplied by the square of the skew-symmetric matrix 40497: 35096: 34990: 29489: 28849: 28169: 27840: 27557: 27390: 26840: 12420: 9759: 6724: 5482: 2039: 555: 356: 38603: 27288: 26424: 12477: 10921: 9266: 6780: 2718: 1191: 334: 40308: 40128: 38913: 38016: 37220: 36501: 5959: 5727: 4970: 1638: 1546: 775: 664: 590: 450: 383: 135: 37729: 36056: 34699: 29941: 27339: 27121: 26398: 25526: 25436: 14293: 14132: 12557: 12528: 12291: 12006: 11201: 11001: 10972: 10795: 9846: 9506: 9193: 9068: 8420: 8258: 7200: 7149: 6853: 5966: 2893: 40627: 39980: 39590: 39395: 39249: 36397:, and define the orientation of the body frame relative to the inertial frame by the rotation matrix 36286: 32124: 2066: 1170: 922: 529: 38759: 1198: 40564: 40482: 40436: 40143: 39362: 38031: 12035: 5359: 1214: 1026: 805: 649: 38125: 38095: 37929: 37907: 37758: 37707: 37644: 36875: 36651: 36581: 36482: 36460: 36400: 36266: 36089: 34968: 32045: 30698: 30660: 29970: 29467: 27768: 27419: 27387: 27368: 27150: 26869: 26621: 26599: 26577: 26477: 26427: 25824: 25802: 25780: 25687: 25555: 25501: 25479: 21278: 15740: 15718: 14628: 14380: 12423: 11589: 11567: 11230: 11030: 10773: 9824: 9591: 9569: 9321: 9046: 8066: 7178: 7127: 7102: 7080: 6831: 4746: 2094: 1701: 1679: 935: 40534: 40221: 40138: 40108: 39373: 38917: 38837: 37115: 34703:. With the principal axes method, one makes inertia matrices from the following two assumptions: 26649: 14650: 755: 519: 39533: 39433: 38429: 26046:{\displaystyle \mathbf {I} _{\mathbf {R} }=-\sum _{i=1}^{n}m_{i}^{2}=-\sum _{i=1}^{n}m_{i}^{2}.} 25770:{\displaystyle \mathbf {R} =(\mathbf {R} -\mathbf {C} )+\mathbf {C} =\mathbf {d} +\mathbf {C} ,} 11564: 9239: 3067: 1479:. An arbitrary object's moment of inertia thus depends on the spatial distribution of its mass. 795: 40492: 40348: 40303: 38459: 37195: 36980: 7656: 5055: 4683: 2065: 1042: 1007: 800: 617: 38922: 38897: 36234: 2620: 2159: 2116: 1290: 40617: 40574: 40529: 40009: 39954: 39508: 39378: 39116: 25471: 10888: 5963: 4850: 4768: 4708: 3499: 3088: 1363: 810: 785: 471: 289: 46: 31: 38680: 37058: 33252: 33222: 32127: 31583: 31533: 26692: 4406: 4007: 3572:) are the linear measures, except for circles, which are effectively half-breadth derived, 3535: 3505: 2656: 1095: 40549: 40477: 40363: 40229: 40191: 40123: 39830: 39755: 39383: 39155: 38918: 38061: 37097: 36951: 36924: 36897: 30631: 30040: 27892: 27498: 26813: 14353: 14322: 11264: 10740: 9542: 5438: 5075:-axis with the rod and locate the origin its center of mass at the center of the rod, then 5038: 5018: 4873:-axis perpendicular to the cross-section, weighted by its density. This is also called the 4688: 4108: 4081: 3092: 2745: 1721: 1355: 1329: 1066: 988: 830: 790: 698: 694: 686: 676: 466: 459: 215: 38616: 3996: 3032:{\displaystyle I_{P}={\frac {mgr}{\omega _{\text{n}}^{2}}}={\frac {mgrt^{2}}{4\pi ^{2}}},} 825: 8: 40426: 40249: 40239: 40088: 40073: 40029: 39561: 39290: 39238: 38958: 10730:{\displaystyle \mathbf {\hat {e}} _{i}\times \mathbf {\hat {t}} _{i}=\mathbf {\hat {k}} } 9938:{\displaystyle \mathbf {\hat {t}} _{i}=\mathbf {\hat {k}} \times \mathbf {\hat {e}} _{i}} 7292:{\displaystyle \mathbf {\hat {t}} _{i}=\mathbf {\hat {k}} \times \mathbf {\hat {e}} _{i}} 5456: 3471: 1337: 1241: 1210: 605: 546: 524: 269: 264: 259: 159: 38118: 38089: 5455: 40559: 40416: 40269: 40083: 40019: 38422: 38341: 38167: 37173: 37153: 37133: 37028: 36289: 36207: 34948: 33202: 33182: 33162: 32242: 32222: 31633: 31613: 31563: 30498: 30478: 30458: 30438: 30418: 30020: 29447: 27869: 27268: 14161: 12457: 10901: 10792: 9246: 6760: 6204: 6091: 6071: 6051: 5937: 5772: 5462: 5418: 5398: 5058: 4998: 4944: 4924: 4900: 4880: 4856: 4826: 4806: 4135: 4061: 4037: 3575: 3314: 3183:{\displaystyle \omega _{\text{n}}={\sqrt {\frac {g}{L}}}={\sqrt {\frac {mgr}{I_{P}}}},} 3098: 3070: 3042: 2916: 2896: 2872: 2852: 2832: 1580: 1560: 1534: 1167: 1145: 1125: 735: 476: 351: 319: 279: 37104: 27172: 26777: 26449: 13295: 12067: 40622: 40554: 40323: 40298: 40113: 40024: 40004: 39580: 39334: 39093: 38902: 38868: 38841: 38727: 38686: 38634: 38583: 38547: 38522: 38497: 38463: 38433: 38400: 38320: 38290: 38230: 38202: 38174: 38129: 38065: 38026: 6718: 4921: 4587: 3963: 2712: 2704: 1171: 745: 702: 659: 654: 595: 361: 254: 33159: 12450: 40569: 40244: 40211: 40196: 40078: 39947: 39667: 39637: 39603: 39322: 39278: 39233: 38807: 38770: 38057: 37089: 36338:{\displaystyle \mathbf {I} =\mathbf {R} \mathbf {I_{0}} \mathbf {R} ^{\textsf {T}}} 30718: 26837:, of a body about a specified axis whose direction is specified by the unit vector 9065: 8451: 4918: 3266: 2257: 2193: 1282: 1275: 1202: 1070: 1062: 1027: 1023: 1016: 1012: 919: 840: 820: 765: 760: 706: 681: 536: 394: 339: 314: 38792: 10657:{\displaystyle \mathbf {\hat {e}} _{i}\times \mathbf {\hat {e}} _{i}=\mathbf {0} } 8474: 7124: 3943:{\displaystyle I_{xx}=I_{yy}={\frac {1}{4}}{\pi }r^{4}={\frac {1}{64}}{\pi }d^{4}} 3059: 2691: 54: 40597: 40539: 40487: 40431: 40411: 40313: 40201: 40068: 40039: 39912: 39872: 38862: 37263:{\displaystyle \mathbf {x} ^{\mathsf {T}}{\boldsymbol {\Lambda }}\mathbf {x} =1,} 37047: 35737: 31836: 30688: 30621:{\displaystyle \mathbf {r} _{k}=\left(x_{1}^{(k)},x_{2}^{(k)},x_{3}^{(k)}\right)} 17190: 16234: 15136: 10869:{\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}=I_{\mathbf {C} }\alpha \mathbf {\hat {k}} .} 9315: 5969: 1398: 1035: 835: 780: 730: 725: 644: 27: 39675: 39611: 36987:. The principal axis with the highest moment of inertia is sometimes called the 32212:{\displaystyle I_{12}=\mathbf {e} _{1}\cdot \mathbf {I} \cdot \mathbf {e} _{2},} 25552: 13292:, the second term in this equation is zero. Introduce the skew-symmetric matrix 1698: 1343: 40579: 40544: 40441: 40274: 40264: 40254: 40176: 40148: 40133: 40118: 40034: 39856: 39820: 39745: 39526: 39413: 39303: 39204: 38927: 38011: 37082: 37007: 36083: 12451: 12058: 10768: 8061: 4975: 1333: 1206: 1183: 1078: 1003: 862: 770: 671: 388: 40524: 38811: 36353: 29967: 27787: 27147: 26567:{\displaystyle \mathbf {I} _{\mathbf {R} }=\mathbf {I} _{\mathbf {C} }-M^{2},} 11261: 4673:{\displaystyle I_{P}=\iiint _{Q}\rho (x,y,z)\left\|\mathbf {r} \right\|^{2}dV} 40606: 40516: 40421: 40333: 40206: 39730: 39598: 39312: 38021: 36252: 31825: 15140: 11027: 1046: 923: 750: 577: 38747: 36361: 28525: 7146: 4403: 40584: 40388: 40373: 40338: 40186: 40171: 39805: 39791: 39691: 39627: 39352: 39135: 39046: 38912: 37105: 36999: 36894: 25675:{\displaystyle \mathbf {I} _{\mathbf {R} }=-\sum _{i=1}^{n}m_{i}\left^{2}.} 12413:{\displaystyle \mathbf {I} _{\mathbf {C} }=-\sum _{i=1}^{n}m_{i}\left^{2},} 3311: 815: 740: 429: 309: 10878: 3256:{\displaystyle L={\frac {g}{\omega _{\text{n}}^{2}}}={\frac {I_{P}}{mr}}.} 1676: 40472: 40446: 40368: 40057: 39996: 39173: 38907: 38681: 32121: 12454: 37536: 37114: 35975: 35816: 33808: 33675: 32411: 32282: 27984:{\displaystyle \left\mathbf {y} =\mathbf {\hat {k}} \times \mathbf {y} } 25356: 14350: 9539: 8408:{\displaystyle \mathbf {L} =I_{\mathbf {C} }\omega \mathbf {\hat {k}} .} 40353: 37996:{\displaystyle \|\mathbf {x} \|={\frac {1}{\sqrt {I_{\mathbf {n} }}}}.} 34578: 32111:{\displaystyle I_{n}=\mathbf {n} \cdot \mathbf {I} \cdot \mathbf {n} ,} 18174: 14347: 10737: 9536: 8466: 4004: 3475: 2696: 2227:{\displaystyle \mathbf {v} ={\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {r} } 1777:{\displaystyle \mathbf {a} ={\boldsymbol {\alpha }}\times \mathbf {r} } 980: 915: 600: 274: 38368: 37663: 33982: 32567: 14024: 983: 40328: 40279: 39266: 39193: 39181: 37363: 37126: 35501: 27255:{\displaystyle \Delta \mathbf {r} _{i}=\mathbf {r} _{i}-\mathbf {R} } 12886: 12879:{\displaystyle \Delta \mathbf {r} _{i}=\mathbf {r} _{i}-\mathbf {C} } 12150:{\displaystyle \Delta \mathbf {r} _{i}=\mathbf {r} _{i}-\mathbf {C} } 11097:{\displaystyle \Delta \mathbf {r} _{i}=\mathbf {r} _{i}-\mathbf {R} } 2709: 2260: 1669:{\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}=\mathbf {r} \times \mathbf {F} } 1454: 622: 38898: 37014:. If two principal moments are the same, the rigid body is called a 27830:{\displaystyle \mathbf {\hat {k}} \mathbf {\hat {k}} ^{\mathsf {T}}} 40358: 40343: 39570: 39469: 39223: 39082: 39036: 24963: 9236: 6709: 3487: 1235: 1218: 541: 424: 399: 51: 38124:(in Latin). Rostock and Greifswald (Germany): A. F. Röse. p.  11259: 8351:{\displaystyle I_{\mathbf {C} }=\sum _{i}m_{i}\,\Delta r_{i}^{2},} 40052: 40014: 39896: 37093: 27488:{\displaystyle \mathbf {L} (t)=\mathbf {R} +t\mathbf {\hat {k}} } 9610: 1458: 1088: 1006: 514: 367: 284: 72: 30: 38578: 14647: 8454: 8255: 2822:{\displaystyle \omega _{\text{n}}={\sqrt {\frac {mgr}{I_{P}}}},} 1720: 991: 40378: 39970: 39810: 39779: 39735: 39713: 39167: 39066: 39031: 36347: 30065: 30004: 14430: 5479:-axis with the axis of the disc and define a volume element as 4803: 1348: 1163: 1058: 984: 573: 419: 329: 38923: 34926:{\displaystyle (I_{12}=-I_{xy},I_{13}=-I_{xz},I_{23}=-I_{yz})} 39844: 39769: 39703: 39307: 39213: 39208: 39145: 39120: 13285:{\displaystyle \sum _{i=1}^{n}m_{i}\Delta \mathbf {r} _{i}=0} 9231: 3091: 1401:, this definition yields a formula for the moment of inertia 1179: 1038: 409: 404: 346: 38286: 34987: 31891:{\displaystyle \mathbf {x} =\mathbf {r} \times \mathbf {x} } 4849:: The moment of inertia of a body moving in a plane and the 2196: 1471: 39926: 39886: 39459: 39125: 39056: 39021: 38903: 38707: 38633:(7 ed.). New Jersey: Prentice Hall. pp. 192–196. 34807:{\displaystyle (I_{12}=I_{xy},I_{13}=I_{xz},I_{23}=I_{yz})} 34692:{\displaystyle (I_{xx},I_{yy},I_{zz},I_{xy},I_{xz},I_{yz})} 32219: 10821:, then the equation for the resultant torque simplifies to 5196: 2742:) of a compound pendulum depends on its moment of inertia, 1089: 992: 414: 377: 39939: 37055: 27495:. The perpendicular vector from this line to the particle 15759:. And distributing the cross product over the sum, we get 37697:{\displaystyle \mathbf {x} =\|\mathbf {x} \|\mathbf {n} } 35743: 25520:. This relationship is called the parallel axis theorem. 14158: 3594: 207:{\displaystyle {\textbf {F}}={\frac {d\mathbf {p} }{dt}}} 40598: 38517: 37130: 27837: 944: 37010: 31843: 30655: 10879: 1074: 36778: 36450:{\displaystyle \mathbf {x} =\mathbf {A} \mathbf {y} ,} 35766: 34940: 31580:-axis when the objects are rotated around the x-axis, 30088: 27207: 26805: 25462: 24625: 24181: 23588: 22980: 22348: 22077: 21909: 21787: 21619: 21446: 14761:{\displaystyle (\mathbf {r} _{i}-\mathbf {C} )\times } 11436: 6658: 6611: 6574: 6559: 6491: 6456: 6416: 6341: 6276: 39536: 38516: 37954: 37932: 37910: 37783: 37761: 37732: 37710: 37669: 37647: 37542: 37372: 37276: 37226: 37204: 37176: 37156: 37136: 37061: 37031: 37002: 36954: 36927: 36900: 36878: 36764: 36698: 36676: 36654: 36606: 36584: 36507: 36485: 36463: 36425: 36403: 36367: 36295: 36269: 36237: 36210: 36114: 36092: 36059: 35751: 35512: 35128: 35122: 35099: 35022: 34993: 34971: 34951: 34823: 34713: 34589: 33294: 33255: 33225: 33205: 33185: 33165: 32268: 32245: 32225: 32157: 32130: 32070: 32048: 31904: 31855: 31846: 31800: 31659: 31636: 31616: 31586: 31566: 31536: 31141: 30730: 30724: 30701: 30663: 30634: 30523: 30501: 30481: 30461: 30441: 30421: 30230: 30074: 30043: 30023: 29973: 29944: 29521: 29492: 29470: 29450: 28881: 28852: 28820: 28531: 28204: 28198: 28172: 27997: 27932: 27895: 27872: 27843: 27793: 27771: 27589: 27560: 27528: 27501: 27444: 27422: 27393: 27371: 27342: 27291: 27271: 27213: 27175: 27153: 27124: 26894: 26872: 26843: 26816: 26780: 26774:, if desired, by using the skew-symmetry property of 26725: 26695: 26652: 26624: 26602: 26580: 26505: 26480: 26452: 26430: 26401: 26061: 25849: 25827: 25805: 25783: 25712: 25690: 25580: 25558: 25529: 25504: 25482: 25439: 25362: 24969: 21303: 21281: 19304: 18180: 17199: 16243: 15765: 15743: 15721: 15684: 15155: 14974: 14774: 14728: 14653: 14631: 14480: 14458: 14436: 14405: 14383: 14356: 14325: 14296: 14192: 14164: 14135: 14030: 13336: 13298: 13229: 12895: 12837: 12589: 12560: 12531: 12480: 12460: 12426: 12323: 12294: 12163: 12108: 12070: 12038: 12009: 11614: 11592: 11570: 11364: 11297: 11267: 11233: 11204: 11182: 11110: 11055: 11033: 11004: 10975: 10924: 10904: 10827: 10798: 10776: 10743: 10670: 10604: 10227: 9951: 9878: 9849: 9827: 9791: 9762: 9660: 9638: 9616: 9594: 9572: 9545: 9509: 9346: 9324: 9269: 9249: 9196: 9100: 9071: 9049: 8480: 8423: 8366: 8360: 8290: 8261: 8091: 8069: 7662: 7305: 7232: 7203: 7181: 7152: 7130: 7105: 7083: 7061: 6885: 6856: 6834: 6783: 6763: 6727: 6227: 6207: 6114: 6094: 6074: 6054: 5983: 5940: 5795: 5775: 5730: 5531: 5485: 5465: 5441: 5421: 5401: 5362: 5081: 5061: 5041: 5021: 5001: 4947: 4927: 4903: 4883: 4859: 4829: 4809: 4771: 4749: 4711: 4691: 4596: 4525: 4439: 4409: 4160: 4138: 4111: 4084: 4064: 4055: 4040: 4010: 3854: 3797: 3740: 3685: 3617: 3578: 3538: 3508: 3337: 3317: 3275: 3196: 3121: 3101: 3073: 3045: 2939: 2919: 2899: 2875: 2855: 2835: 2775: 2748: 2721: 2659: 2623: 2490: 2481: 2266: 2240: 2202: 2162: 2119: 2097: 2075: 2042: 1823: 1790: 1752: 1730: 1704: 1682: 1644: 1603: 1583: 1563: 1496: 1419: 1368: 1295: 1148: 1128: 1098: 171: 104: 38577: 37366: 36479: 34579: 27265: 4505:{\displaystyle I_{P}=\sum _{i=1}^{N}m_{i}r_{i}^{2}.} 1030: 38771:"Physically Based Modeling - Rigid Body Simulation" 37355:{\displaystyle I_{1}x^{2}+I_{2}y^{2}+I_{3}z^{2}=1,} 25843:. Use this equation to compute the inertia matrix, 39551: 38421: 38166: 37995: 37940: 37918: 37894: 37769: 37747: 37718: 37696: 37655: 37631: 37528: 37354: 37262: 37212: 37182: 37162: 37142: 37073: 37037: 36967: 36940: 36913: 36886: 36862: 36750: 36684: 36662: 36628: 36592: 36568: 36493: 36471: 36449: 36411: 36389: 36337: 36277: 36243: 36216: 36196: 36100: 36082:be the inertia tensor of a body calculated at its 36074: 36049:Parallel axis theorem § Tensor generalization 36029: 35719: 35490: 35114: 35085: 35008: 34979: 34957: 34925: 34806: 34691: 34568: 33271: 33241: 33211: 33191: 33171: 33149: 32251: 32231: 32211: 32143: 32110: 32056: 32032: 31890: 31816: 31784: 31642: 31622: 31602: 31572: 31552: 31520: 31121: 30709: 30679: 30647: 30620: 30507: 30487: 30467: 30447: 30427: 30402: 30214: 30056: 30029: 29981: 29959: 29930: 29507: 29478: 29456: 29434: 28867: 28838: 28806: 28515: 28187: 28158: 27983: 27918: 27878: 27858: 27829: 27779: 27757: 27575: 27546: 27514: 27487: 27430: 27408: 27379: 27357: 27328: 27277: 27254: 27199: 27161: 27139: 27110: 26880: 26858: 26829: 26794: 26766: 26711: 26681: 26632: 26610: 26588: 26566: 26488: 26466: 26438: 26416: 26385: 26045: 25835: 25813: 25791: 25769: 25698: 25674: 25566: 25544: 25512: 25490: 25454: 25425: 25345: 24953: 21289: 21265: 19291: 18164: 17179: 16223: 15751: 15729: 15707: 15670: 15127: 14958: 14760: 14714: 14639: 14615: 14466: 14444: 14422: 14391: 14369: 14338: 14311: 14282: 14170: 14150: 14121: 14014: 13322: 13284: 13213: 12878: 12823: 12575: 12546: 12517: 12466: 12434: 12412: 12309: 12280: 12149: 12094: 12049: 12024: 11995: 11600: 11578: 11554: 11350: 11283: 11241: 11219: 11190: 11168: 11096: 11041: 11019: 10990: 10961: 10910: 10868: 10813: 10784: 10756: 10729: 10656: 10588: 10221:This yields the resultant torque on the system as 10211: 9937: 9864: 9835: 9813: 9777: 9746: 9646: 9624: 9602: 9580: 9558: 9524: 9495: 9332: 9306: 9255: 9211: 9180: 9086: 9057: 9033: 8438: 8407: 8350: 8276: 8245: 8077: 8050: 7632: 7291: 7218: 7189: 7167: 7138: 7113: 7091: 7069: 7047: 6871: 6842: 6820: 6769: 6742: 6693: 6644: 6213: 6191: 6100: 6080: 6060: 6038: 5946: 5926: 5781: 5758: 5716: 5517: 5471: 5447: 5427: 5407: 5380: 5348: 5067: 5047: 5027: 5007: 4953: 4933: 4909: 4889: 4865: 4835: 4815: 4795: 4757: 4735: 4697: 4672: 4586:Another expression replaces the summation with an 4576: 4504: 4425: 4393: 4144: 4124: 4097: 4070: 4046: 4026: 3942: 3838: 3781: 3726: 3669: 3584: 3554: 3524: 3460: 3323: 3303: 3255: 3182: 3107: 3079: 3051: 3031: 2925: 2905: 2881: 2861: 2841: 2821: 2761: 2734: 2675: 2645: 2607: 2473: 2248: 2226: 2184: 2141: 2105: 2083: 2057: 2026: 1809: 1776: 1738: 1712: 1690: 1668: 1628: 1589: 1569: 1521: 1444: 1386: 1317: 1154: 1134: 1114: 1077:units and pound-foot-second squared (lbf·ft·s) in 206: 123: 35708: 35622: 35595: 35556: 35463: 35400: 35376: 35347: 35330: 35266: 35249: 35203: 35186: 35106: 35072: 35055: 35000: 31131:while the off-diagonal elements, also called the 29915: 29881: 29865: 29836: 29814: 29723: 29708: 29661: 29499: 29419: 29372: 29339: 29283: 29250: 29186: 29135: 29110: 29067: 29047: 28986: 28966: 28918: 28898: 28859: 28772: 28747: 28704: 28684: 28631: 28611: 28563: 28543: 28475: 28455: 28407: 28387: 28330: 28272: 28179: 28139: 28126: 28090: 28077: 28042: 28012: 27967: 27943: 27906: 27850: 27813: 27800: 27718: 27705: 27677: 27642: 27567: 27479: 27400: 27099: 27065: 27049: 27020: 27005: 26914: 26850: 25498:and the inertia matrix relative to another point 10857: 10721: 10700: 10678: 10634: 10612: 10554: 10488: 10384: 10339: 10296: 10182: 10137: 10084: 10055: 10037: 10013: 9984: 9923: 9907: 9886: 9799: 9769: 8940: 8852: 8830: 8710: 8653: 8396: 8214: 8116: 8016: 7950: 7846: 7802: 7606: 7559: 7530: 7449: 7433: 7412: 7382: 7317: 7277: 7261: 7240: 6734: 6192:{\displaystyle r(z)^{2}=x^{2}+y^{2}=R^{2}-z^{2}.} 4877:, and is the sum of the second moments about the 3670:{\displaystyle I_{xx}=I_{yy}={\frac {b^{4}}{12}}} 2458: 2049: 2011: 1065:. The amount of torque needed to cause any given 40604: 38957: 38220: 38218: 36042: 31817:{\displaystyle \mathbf {r} \otimes \mathbf {r} } 25706:be the center of mass of the rigid system, then 19574: cross-product distributivity over addition 11351:{\displaystyle \mathbf {b} =(b_{x},b_{y},b_{z})} 1142:is the distance of the point from the axis, and 37045:, meaning it is symmetrical under rotations of 36629:{\displaystyle \mathbf {I} _{\mathbf {C} }^{B}} 36390:{\displaystyle \mathbf {I} _{\mathbf {C} }^{B}} 36197:{\displaystyle \mathbf {I} =\mathbf {I} _{0}+m} 34817:The alternate inertia convention has been used 33282: 3498:Moment of inertia of area is also known as the 38790: 38628: 38319:. Silly Beagle Productions. pp. 142–143. 38164: 38049: 34707:The standard inertia convention has been used 31630:-axis when the objects are rotated around the 9043:Let the reference point be the center of mass 4058:Consider the kinetic energy of an assembly of 3481: 1188:Theoria motus corporum solidorum seu rigidorum 1057:When a body is free to rotate around an axis, 1045:, simply "inertia" is often used to refer to " 39955: 38943: 38215: 38169:Classical dynamics of particles & systems 38160: 38158: 38156: 38154: 38152: 38150: 36258: 27554:by removing the component that projects onto 21246: is not characteristic of particle  15708:{\displaystyle \mathbf {A} _{\mathbf {R} }=0} 4577:{\displaystyle I_{P}=\sum _{i}m_{i}r_{i}^{2}} 2683:for all of the elements of mass in the body. 2234:of the pendulum mass around the pivot, where 896: 38831: 38717: 38715: 38444:ice skater conservation of angular momentum. 38396:New Understanding Physics for Advanced Level 38264: 38192: 38190: 38121:motions which can occur in such bodies.] 37963: 37955: 37865: 37856: 37820: 37811: 37686: 37678: 36348:Inertia matrix in different reference frames 33279:, for the components of the inertia tensor. 31716: 31707: 29444:Thus, the moment of inertia around the line 26055:Distribute over the cross product to obtain 21852: cross-product as matrix multiplication 21018: 20968: 20808: 20758: 20638: 20585: 20465: 20415: 20307: 20213: 20045: 19951: 19773: 19679: 19507: 19413: 19270: 19123: 18913: 18766: 18658: 18605: 11586:of the body chosen to be the center of mass 3493: 2153:of this single mass around the pivot point. 38494:Kinematics and Dynamics of Planar Machinery 38308: 38306: 14423:{\displaystyle \mathbf {A} _{\mathbf {R} }} 12889:This equation expands to yield three terms 12102:obtained from the relative position vector 11198:is the angular velocity of the system, and 9235:A 1920s John Deere tractor with the spoked 6694:{\textstyle m={\frac {4}{3}}\pi R^{3}\rho } 5459:) is determined by integration. Align the 3839:{\displaystyle I_{xx}={\frac {bh^{3}}{36}}} 3782:{\displaystyle I_{yy}={\frac {hb^{3}}{12}}} 3727:{\displaystyle I_{xx}={\frac {bh^{3}}{12}}} 39962: 39948: 38950: 38936: 38392: 38386: 38147: 24926: 24922: 21846: 21238: 21234: 21024: 20814: 20644: 20471: 20102: 19840: 19568: 19276: 18923: 18919: 18149: 18007: 17927: 17764: 17627: 17480: 17025: 16866: 16649: 15404: 7077:is the angular velocity of the system and 3953: 1810:{\displaystyle \mathbf {F} =m\mathbf {a} } 903: 889: 45: 38721: 38712: 38582:(4th ed.). Oxford University Press. 38573: 38571: 38569: 38567: 38565: 38563: 38487: 38485: 38483: 38481: 38479: 38312: 38224: 38187: 36329: 35691: 35649: 35630: 35583: 35564: 35535: 32239:-axis when the object rotates around the 32023: 31968: 31951: 31772: 31765: 31758: 31610:denotes the moment of inertia around the 31560:denotes the moment of inertia around the 26767:{\displaystyle m\left^{\mathsf {T}}\left} 26499:The result is the parallel axis theorem, 24113: 24042: 23990: 23934: 23882: 23811: 23755: 23703: 23651: 23520: 23482: 23430: 23392: 23336: 23298: 23246: 23194: 23152: 23100: 23062: 23010: 22909: 22876: 22815: 22782: 22717: 22684: 22623: 22590: 22525: 22492: 22431: 22398: 22275: 22242: 22205: 22172: 22135: 22102: 20820: cross-product scalar multiplication 19846: cross-product scalar multiplication 18013: cross-product scalar multiplication 17933: cross-product scalar multiplication 16872: cross-product scalar multiplication 15410: cross-product scalar multiplication 11948: 11852: 11734: 11662: 10533: 10455: 10275: 9532:denotes the trajectory of each particle. 8919: 8804: 8689: 8632: 8326: 8193: 7995: 7917: 7825: 7781: 7585: 6398: 6312: 5977:of the sphere is defined by the equation 5646: 5639: 5577: 5566: 5508: 5501: 5184: 5170: 5127: 5116: 4331: 4277: 4205: 1015:of mass with respect to distance from an 40319:Covariance and contravariance of vectors 38683:Vector mechanics for engineers: Dynamics 38629:Morrow, H. W.; Kokernak, Robert (2011). 38303: 38110: 37213:{\displaystyle {\boldsymbol {\Lambda }}} 37125: 36685:{\displaystyle {\boldsymbol {\Lambda }}} 25465: 13223:Since the center of mass is defined by 9230: 8465: 6708: 6039:{\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=R^{2},} 5968: 4974: 3962: 3062: 2690: 1274:is also defined as the ratio of the net 1252: 1240: 914: 38750:, Vol 1. 2nd Ed., Pergamon Press, 1969. 38676: 38674: 38672: 38670: 38668: 38666: 38664: 38662: 38660: 38510: 38419: 38413: 38339: 38333: 38056:(2 ed.). Oxford University Press. 38050:Escudier, Marcel; Atkins, Tony (2019). 28839:{\displaystyle \Delta \mathbf {r} _{i}} 27547:{\displaystyle \Delta \mathbf {r} _{i}} 26866:and passes through the body at a point 25416: 25394: 25386: 25364: 25335: 25257: 25249: 25158: 25077: 25063: 24975: 21240: 21224: 21140: 21126: 21038: 21011: 20961: 20910: 20801: 20751: 20740: 20631: 20578: 20567: 20440: 20408: 20379: 20300: 20217: 20206: 20177: 20038: 19955: 19944: 19915: 19830: 19822: 19766: 19683: 19672: 19643: 19522: 19514: 19500: 19417: 19406: 19377: 19310: 19227: 19213: 19130: 19116: 19087: 18972: 18925: 18906: 18820: 18773: 18759: 18730: 18651: 18598: 18569: 18490: 18440: 18411: 18314: 18303: 18253: 18186: 18139: 18089: 18053: 18042: 17979: 17947: 17896: 17867: 17822: 17793: 17685: 17656: 17614: 17606: 17538: 17509: 17449: 17438: 17391: 17362: 17293: 17279: 17237: 17226: 17127: 17113: 17081: 17070: 16964: 16950: 16918: 16907: 16838: 16806: 16747: 16733: 16701: 16690: 16624: 16589: 16536: 16522: 16490: 16479: 16440: 16390: 16337: 16323: 16291: 16280: 16186: 16175: 16125: 16058: 16020: 15970: 15903: 15771: 15161: 15066: 15048: 15012: 14999: 14952: 14868: 14860: 14776: 14551: 14538: 14497: 14467:{\displaystyle {\boldsymbol {\alpha }}} 14460: 14445:{\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}} 14438: 14194: 14077: 14055: 13916: 13832: 13712: 13640: 13478: 13435: 13091: 12997: 12961: 12774: 12721: 12271: 12249: 11895: 11759: 11191:{\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}} 11184: 11127: 10893:Euler's equations (rigid body dynamics) 10889:Precession § Classical (Newtonian) 10829: 10233: 9814:{\displaystyle \mathbf {\hat {e}} _{i}} 9711: 9703: 9677: 9647:{\displaystyle {\boldsymbol {\alpha }}} 9640: 9625:{\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}} 9618: 9414: 7488: 7393: 7070:{\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}} 7063: 7008: 6959: 2439: 2396: 2375: 2316: 2249:{\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}} 2242: 2212: 2084:{\displaystyle {\boldsymbol {\alpha }}} 2077: 1992: 1949: 1928: 1871: 1829: 1762: 1739:{\displaystyle {\boldsymbol {\alpha }}} 1732: 1646: 1318:{\displaystyle I={\frac {L}{\omega }}.} 14: 40605: 38784: 38560: 38541: 38476: 38455: 38449: 38278: 38276: 38260: 38258: 38256: 38254: 38252: 38250: 38248: 38246: 38083: 38081: 38053:A Dictionary of Mechanical Engineering 37837: 37792: 37235: 37112:Rotating molecules are also classified 36739: 36648:into the product of a rotation matrix 36557: 29889: 28147: 28098: 27821: 27726: 27073: 26745: 26596:is the vector from the center of mass 25799:is the vector from the center of mass 13680: 13646: 4034:for every particle in the body, where 3595:Sectional areas moment calculated thus 3304:{\displaystyle \pi \ \mathrm {rad/s} } 2869:is local acceleration of gravity, and 1201:The moment of inertia also appears in 124:{\displaystyle I={\frac {L}{\omega }}} 39943: 38931: 38860: 38685:(9th ed.). Boston: McGraw-Hill. 38366: 38360: 38265:Kane, T. R.; Levinson, D. A. (1985). 38196: 38116: 26395:The first term is the inertia matrix 20650: cross-product anticommutativity 16655: cross-product anticommutativity 11291:, constructed from the components of 11252: 9654:of the rigid system of particles as, 4705:gives the mass density at each point 3087:from the pivot to a point called the 2686: 1190:in 1765, and it is incorporated into 585:Newton's law of universal gravitation 38825: 38753: 38657: 38521:(7th ed.). Hoboken, NJ: Wiley. 38491: 38282: 38087: 38062:10.1093/acref/9780198832102.001.0001 24934: is not characteristic of  14319:is the acceleration of the particle 10887:For analysis of a spinning top, see 9243:Newton's laws for a rigid system of 3532:and horizontal moment of the y-axis 1482:In general, given an object of mass 1217:The moment of inertia of a rotating 40462: 38273: 38243: 38078: 36872:The columns of the rotation matrix 35115:{\displaystyle \mathbf {\hat {n}} } 35009:{\displaystyle \mathbf {\hat {n}} } 34941:Derivation of the tensor components 34700: 29508:{\displaystyle \mathbf {\hat {k}} } 28868:{\displaystyle \mathbf {\hat {k}} } 28188:{\displaystyle \mathbf {\hat {k}} } 27859:{\displaystyle \mathbf {\hat {k}} } 27576:{\displaystyle \mathbf {\hat {k}} } 27409:{\displaystyle \mathbf {\hat {k}} } 26859:{\displaystyle \mathbf {\hat {k}} } 26806:Scalar moment of inertia in a plane 14181: 12445: 12057:) sum to zero by the definition of 9778:{\displaystyle \mathbf {\hat {k}} } 7651: 6743:{\displaystyle \mathbf {\hat {k}} } 5518:{\displaystyle dV=sr\,dr\,d\theta } 2058:{\displaystyle \mathbf {\hat {k}} } 1332:pull in their outstretched arms or 1031: 566:Mechanics of planar particle motion 174: 24: 40182:Tensors in curvilinear coordinates 38864:Mechanics of Robotics Manipulation 38631:Statics and Strengths of Materials 36231:is the 3 × 3 identity matrix, and 33593: 33590: 33587: 33472: 33469: 33466: 33351: 33348: 33345: 31446: 31443: 31440: 31322: 31319: 31316: 31198: 31195: 31192: 31027: 31024: 31021: 30899: 30896: 30893: 30771: 30768: 30765: 30263: 30260: 30257: 29777: 29676: 29580: 29387: 29315: 29297: 29226: 29195: 29144: 29076: 28995: 28927: 28821: 28781: 28713: 28640: 28572: 28484: 28416: 28346: 28288: 28215: 27737: 27651: 27613: 27590: 27529: 27329:{\displaystyle P_{i},i=1,\dots ,n} 27214: 27179: 26968: 25306: 25220: 25139: 25118: 25044: 25023: 24889: 24811: 24790: 24721: 24585: 24558: 24531: 24512: 24491: 24472: 24449: 24430: 24401: 24374: 24347: 24328: 24305: 24286: 24265: 24246: 24217: 24190: 24086: 24059: 24023: 24004: 23971: 23952: 23915: 23896: 23855: 23828: 23792: 23773: 23736: 23717: 23684: 23665: 23624: 23597: 23496: 23463: 23444: 23406: 23373: 23354: 23312: 23279: 23260: 23227: 23208: 23170: 23133: 23114: 23076: 23043: 23024: 22986: 22890: 22857: 22832: 22796: 22763: 22738: 22698: 22665: 22640: 22604: 22571: 22546: 22506: 22473: 22448: 22412: 22379: 22354: 22256: 22223: 22186: 22153: 22116: 22083: 22040: 22019: 21993: 21964: 21941: 21920: 21750: 21729: 21703: 21674: 21651: 21630: 21577: 21556: 21530: 21501: 21478: 21457: 21366: 21345: 21205: 21184: 21107: 21086: 20992: 20971: 20891: 20870: 20782: 20761: 20721: 20700: 20612: 20588: 20548: 20524: 20447: 20418: 20386: 20357: 20281: 20263: 20242: 20224: 20184: 20155: 20072: 20054: 20019: 20001: 19980: 19962: 19922: 19893: 19800: 19782: 19747: 19729: 19708: 19690: 19650: 19621: 19547: 19529: 19481: 19463: 19442: 19424: 19384: 19355: 19252: 19234: 19194: 19176: 19155: 19137: 19094: 19065: 18997: 18979: 18950: 18932: 18887: 18869: 18845: 18827: 18798: 18780: 18737: 18708: 18632: 18614: 18576: 18547: 18471: 18453: 18418: 18389: 18321: 18281: 18260: 18231: 18120: 18102: 18060: 18020: 17986: 17960: 17903: 17877: 17829: 17800: 17731: 17713: 17692: 17663: 17584: 17566: 17545: 17516: 17456: 17419: 17398: 17369: 17321: 17300: 17244: 17204: 17193:can then be continued as follows: 17155: 17134: 17088: 17048: 16992: 16971: 16925: 16885: 16845: 16813: 16775: 16754: 16708: 16668: 16631: 16596: 16564: 16543: 16497: 16457: 16421: 16397: 16365: 16344: 16298: 16258: 16193: 16153: 16132: 16103: 15998: 15977: 15948: 15857: 15816: 15588: 15457: 15371: 15281: 15096: 15073: 15019: 14975: 14968:The calculation uses the identity 14920: 14828: 14659: 13884: 13691: 13658: 13457: 13414: 13302: 13261: 13098: 13004: 12968: 12838: 12781: 12728: 12518:{\displaystyle P_{i},i=1,\dots ,n} 12381: 12217: 12109: 12074: 11949: 11876: 11853: 11766: 11735: 11663: 11134: 11104:and the (absolute) velocities are 11056: 10962:{\displaystyle P_{i},i=1,\dots ,n} 10534: 10456: 10364: 10319: 10276: 10162: 10117: 10064: 9993: 9718: 9684: 9446: 9307:{\displaystyle P_{i},i=1,\dots ,n} 9094:so the kinetic energy is given by 8920: 8805: 8690: 8633: 8327: 8194: 8096: 7996: 7918: 7826: 7782: 7710: 7586: 7539: 7495: 7356: 7339: 7015: 6890: 6821:{\displaystyle P_{i},i=1,\dots ,n} 3451: 3424: 3416: 3413: 3410: 3388: 3379: 3297: 3289: 3286: 3283: 2735:{\displaystyle \omega _{\text{n}}} 1551: 1289: 25: 40639: 38891: 38768: 38746:L. D. Landau and E. M. Lifshitz, 38580:Theory of Machines and Mechanisms 38267:Dynamics, Theory and Applications 38165:Marion, JB; Thornton, ST (1995). 36979:. This result was first shown by 36639: 36600:changes as the body moves, while 29995: 29515:is obtained from the calculation 8461: 6068:of the disc at the cross-section 5759:{\displaystyle m=\pi R^{2}\rho s} 1409:of the pendulum and its distance 1362: 1361:around a principal axis, that is 1288:around a principal axis, that is 38726:(2nd ed.). Addison-Wesley. 38227:Fundamentals of Applied Dynamics 38201:(3rd ed.). Addison-Wesley. 37981: 37959: 37934: 37912: 37880: 37860: 37849: 37844: 37831: 37815: 37804: 37799: 37786: 37763: 37755:around an axis in the direction 37748:{\displaystyle I_{\mathbf {n} }} 37739: 37712: 37690: 37682: 37671: 37649: 37247: 37242: 37229: 37206: 36880: 36766: 36733: 36727: 36722: 36707: 36701: 36678: 36656: 36615: 36609: 36586: 36551: 36538: 36532: 36526: 36516: 36510: 36487: 36465: 36440: 36435: 36427: 36405: 36376: 36370: 36323: 36315: 36311: 36305: 36297: 36271: 36187: 36179: 36165: 36156: 36148: 36125: 36116: 36094: 36075:{\displaystyle \mathbf {I} _{0}} 36062: 35705: 35685: 35679: 35669: 35665: 35656: 35643: 35619: 35592: 35577: 35571: 35553: 35542: 35529: 35460: 35450: 35430: 35397: 35373: 35363: 35344: 35327: 35317: 35307: 35290: 35263: 35246: 35236: 35223: 35200: 35183: 35173: 35160: 35103: 35069: 35052: 35042: 35029: 34997: 34973: 33663: 32270: 32196: 32187: 32173: 32101: 32093: 32085: 32050: 32009: 31998: 31961: 31941: 31930: 31906: 31884: 31876: 31868: 31860: 31810: 31802: 31749: 31741: 31727: 31711: 31661: 30703: 30628:is the vector to the point mass 30526: 30317: 30076: 29975: 29960:{\displaystyle \mathbf {I_{R}} } 29951: 29947: 29912: 29903: 29897: 29878: 29862: 29853: 29847: 29833: 29811: 29782: 29720: 29705: 29681: 29658: 29585: 29496: 29472: 29416: 29392: 29369: 29336: 29320: 29302: 29280: 29247: 29231: 29200: 29183: 29149: 29132: 29107: 29081: 29064: 29044: 29000: 28983: 28963: 28932: 28915: 28895: 28856: 28826: 28786: 28769: 28744: 28718: 28701: 28681: 28645: 28628: 28608: 28577: 28560: 28540: 28489: 28472: 28452: 28421: 28404: 28384: 28351: 28327: 28293: 28269: 28220: 28176: 28136: 28123: 28113: 28087: 28074: 28064: 28039: 28009: 27977: 27964: 27954: 27940: 27903: 27847: 27810: 27797: 27773: 27742: 27715: 27702: 27692: 27674: 27656: 27639: 27618: 27595: 27564: 27534: 27476: 27463: 27446: 27424: 27397: 27373: 27358:{\displaystyle \mathbf {r} _{i}} 27345: 27248: 27234: 27219: 27184: 27155: 27140:{\displaystyle \mathbf {I_{R}} } 27131: 27127: 27096: 27087: 27081: 27062: 27046: 27037: 27031: 27017: 27002: 26973: 26911: 26874: 26847: 26785: 26756: 26735: 26665: 26626: 26604: 26582: 26547: 26531: 26525: 26514: 26508: 26482: 26457: 26432: 26417:{\displaystyle \mathbf {I_{C}} } 26408: 26404: 26366: 26306: 26292: 26244: 26230: 26214: 26200: 26137: 26123: 26070: 26064: 26026: 26013: 25999: 25933: 25925: 25906: 25858: 25852: 25829: 25807: 25785: 25760: 25752: 25744: 25733: 25725: 25714: 25692: 25654: 25640: 25589: 25583: 25560: 25545:{\displaystyle \mathbf {I_{R}} } 25536: 25532: 25506: 25484: 25455:{\displaystyle \mathbf {I_{C}} } 25446: 25442: 25409: 25403: 25379: 25373: 25144: 25123: 25049: 25028: 24928: 24918: 24830: 24816: 24795: 24745: 21385: 21371: 21350: 21283: 21210: 21189: 21112: 21091: 20997: 20976: 20896: 20875: 20787: 20766: 20726: 20705: 20617: 20593: 20553: 20529: 20452: 20423: 20391: 20362: 20286: 20268: 20247: 20229: 20189: 20160: 20077: 20059: 20024: 20006: 19985: 19967: 19927: 19898: 19805: 19787: 19752: 19734: 19713: 19695: 19655: 19626: 19552: 19534: 19486: 19468: 19447: 19429: 19389: 19360: 19257: 19239: 19199: 19181: 19160: 19142: 19099: 19070: 19002: 18984: 18955: 18937: 18892: 18874: 18850: 18832: 18803: 18785: 18742: 18713: 18637: 18619: 18581: 18552: 18476: 18458: 18423: 18394: 18326: 18286: 18265: 18236: 18125: 18107: 18065: 18025: 17991: 17965: 17908: 17882: 17834: 17805: 17736: 17718: 17697: 17668: 17589: 17571: 17550: 17521: 17461: 17424: 17403: 17374: 17326: 17305: 17249: 17209: 17160: 17139: 17093: 17053: 16997: 16976: 16930: 16890: 16850: 16818: 16780: 16759: 16713: 16673: 16636: 16601: 16569: 16548: 16502: 16462: 16426: 16402: 16370: 16349: 16303: 16263: 16198: 16158: 16137: 16108: 16029: 16003: 15982: 15953: 15877: 15862: 15836: 15821: 15745: 15723: 15693: 15687: 15634: 15611: 15593: 15532: 15526: 15503: 15480: 15462: 15391: 15376: 15314: 15286: 15237: 15212: 15202: 15198: 15101: 15078: 15024: 14980: 14925: 14833: 14748: 14734: 14703: 14689: 14664: 14633: 14604: 14598: 14579: 14565: 14525: 14511: 14483: 14452:and angular acceleration vector 14414: 14408: 14385: 14312:{\displaystyle \mathbf {a} _{i}} 14299: 14267: 14243: 14233: 14229: 14151:{\displaystyle \mathbf {I_{C}} } 14142: 14138: 14105: 14099: 14070: 14064: 13999: 13993: 13982: 13976: 13889: 13805: 13799: 13788: 13782: 13696: 13663: 13571: 13565: 13554: 13548: 13462: 13419: 13307: 13266: 13197: 13191: 13180: 13174: 13103: 13076: 13070: 13009: 12973: 12872: 12858: 12843: 12807: 12801: 12786: 12754: 12748: 12733: 12661: 12646: 12576:{\displaystyle \mathbf {v} _{i}} 12563: 12547:{\displaystyle \mathbf {r} _{i}} 12534: 12428: 12386: 12332: 12326: 12310:{\displaystyle \mathbf {I_{C}} } 12301: 12297: 12264: 12258: 12222: 12165: 12143: 12129: 12114: 12079: 12064:Then, the skew-symmetric matrix 12043: 12025:{\displaystyle \mathbf {V_{R}} } 12016: 12012: 11975: 11969: 11954: 11881: 11858: 11792: 11786: 11771: 11740: 11683: 11668: 11620: 11594: 11572: 11416: 11403: 11394: 11378: 11370: 11299: 11273: 11235: 11220:{\displaystyle \mathbf {V_{R}} } 11211: 11207: 11160: 11154: 11139: 11113: 11090: 11076: 11061: 11035: 11020:{\displaystyle \mathbf {v} _{i}} 11007: 10991:{\displaystyle \mathbf {r} _{i}} 10978: 10854: 10842: 10814:{\displaystyle I_{\mathbf {C} }} 10805: 10778: 10718: 10697: 10675: 10650: 10631: 10609: 10575: 10551: 10485: 10400: 10381: 10336: 10293: 10198: 10179: 10134: 10100: 10081: 10052: 10034: 10010: 9981: 9958: 9920: 9904: 9883: 9865:{\displaystyle \mathbf {r} _{i}} 9852: 9829: 9796: 9766: 9737: 9723: 9689: 9663: 9632:and angular acceleration vector 9596: 9574: 9525:{\displaystyle \mathbf {r} _{i}} 9512: 9476: 9451: 9396: 9352: 9326: 9318:and torque at a reference point 9226: 9212:{\displaystyle I_{\mathbf {C} }} 9203: 9171: 9163: 9130: 9087:{\displaystyle I_{\mathbf {C} }} 9078: 9051: 9020: 9012: 8937: 8876: 8849: 8827: 8726: 8707: 8669: 8650: 8560: 8545: 8439:{\displaystyle I_{\mathbf {C} }} 8430: 8393: 8381: 8368: 8297: 8277:{\displaystyle I_{\mathbf {C} }} 8268: 8211: 8151: 8137: 8113: 8071: 8037: 8013: 7947: 7862: 7843: 7799: 7730: 7715: 7668: 7622: 7603: 7575: 7556: 7527: 7514: 7500: 7470: 7446: 7430: 7409: 7379: 7344: 7314: 7274: 7258: 7237: 7219:{\displaystyle \mathbf {r} _{i}} 7206: 7183: 7168:{\displaystyle \mathbf {e} _{i}} 7155: 7132: 7107: 7085: 7034: 7020: 7000: 6987: 6973: 6941: 6928: 6914: 6895: 6872:{\displaystyle \mathbf {v} _{i}} 6859: 6836: 6731: 4751: 4650: 4233: 4218: 3115:is determined from the formula, 2526: 2518: 2455: 2406: 2388: 2365: 2357: 2324: 2300: 2292: 2284: 2272: 2220: 2204: 2099: 2046: 2008: 1959: 1941: 1918: 1910: 1879: 1857: 1849: 1841: 1803: 1792: 1770: 1754: 1706: 1684: 1662: 1654: 1577:with the square of its distance 1247:conservation of angular momentum 943: 934: 870: 869: 856: 189: 38974:Linear/translational quantities 38854: 38762: 38740: 38699: 38647: 38622: 38609: 38596: 38535: 37904:Thus, the magnitude of a point 37600: 37571: 37096:is often described in terms of 32151:is obtained by the computation 30012: 18155: dot-product commutativity 14722:to represent the cross product 9314:, can be written in terms of a 7404: 7375: 2067:vector triple product expansion 1387:{\displaystyle \tau =I\alpha .} 1340:during a dive, to spin faster. 1052: 38346:Wolfram Demonstrations Project 38289:. AuthorHouse. p. 10.10. 38043: 36191: 36160: 36144: 36141: 34920: 34824: 34801: 34714: 34686: 34590: 32014: 32005: 32002: 31994: 31965: 31957: 31946: 31937: 31934: 31926: 31864: 31856: 31699: 31681: 30695:Note that, by the definition, 30608: 30602: 30584: 30578: 30560: 30554: 30390: 30384: 30369: 30363: 30327: 30312: 30224:Its components are defined as 27456: 27450: 27194: 27176: 26810:The scalar moment of inertia, 26789: 26781: 26552: 26543: 26461: 26453: 26371: 26362: 26310: 26287: 26248: 26240: 26234: 26226: 26218: 26195: 26142: 26118: 26031: 25989: 25943: 25901: 25737: 25721: 25320: 25303: 25234: 25217: 25165: 25162: 25136: 25070: 25067: 25041: 25020: 24903: 24886: 24837: 24834: 24808: 24787: 24735: 24718: 24609: 24555: 24425: 24371: 24241: 24187: 24110: 24056: 23879: 23825: 23648: 23594: 22920: 22851: 22826: 22757: 22728: 22659: 22634: 22565: 22536: 22467: 22442: 22373: 21392: 21389: 21363: 21342: 21231: 21228: 21202: 21181: 21133: 21130: 21104: 21083: 21030: summation distributivity 21021: 21015: 20989: 20957: 20917: 20914: 20888: 20867: 20811: 20805: 20779: 20744: 20718: 20697: 20641: 20635: 20609: 20571: 20545: 20521: 20468: 20462: 20436: 20401: 20375: 20354: 20310: 20304: 20278: 20257: 20221: 20199: 20173: 20152: 20099: 20096: 20090: 20087: 20051: 20042: 20016: 19995: 19959: 19937: 19911: 19890: 19837: 19834: 19818: 19815: 19779: 19770: 19744: 19723: 19687: 19665: 19639: 19618: 19565: 19562: 19526: 19504: 19478: 19457: 19421: 19399: 19373: 19352: 19273: 19267: 19231: 19220: 19217: 19191: 19170: 19134: 19126: 19109: 19083: 19062: 19012: 18976: 18965: 18929: 18916: 18910: 18884: 18863: 18860: 18824: 18813: 18777: 18769: 18752: 18726: 18705: 18661: 18655: 18629: 18591: 18565: 18544: 18500: 18497: 18494: 18468: 18450: 18433: 18407: 18386: 18342: 18339: 18336: 18310: 18299: 18275: 18249: 18228: 18146: 18143: 18117: 18099: 18078: 18075: 18049: 18038: 18004: 18001: 17975: 17957: 17924: 17921: 17918: 17892: 17874: 17863: 17847: 17844: 17818: 17815: 17789: 17786: 17761: 17758: 17755: 17749: 17728: 17707: 17681: 17678: 17652: 17649: 17624: 17621: 17618: 17602: 17581: 17560: 17534: 17531: 17505: 17502: 17477: 17474: 17471: 17445: 17434: 17413: 17387: 17384: 17358: 17355: 17339: 17336: 17315: 17289: 17286: 17275: 17262: 17259: 17233: 17222: 17170: 17149: 17123: 17120: 17106: 17103: 17077: 17066: 17022: 17016: 17007: 16986: 16960: 16957: 16943: 16940: 16914: 16903: 16863: 16860: 16834: 16828: 16802: 16799: 16790: 16769: 16743: 16740: 16726: 16723: 16697: 16686: 16646: 16620: 16611: 16585: 16579: 16558: 16532: 16529: 16515: 16512: 16486: 16475: 16444: 16418: 16412: 16386: 16380: 16359: 16333: 16330: 16316: 16313: 16287: 16276: 16214: 16211: 16208: 16182: 16171: 16147: 16121: 16100: 16050: 16047: 16016: 15992: 15966: 15945: 15895: 15813: 15661: 15658: 15606: 15585: 15541: 15538: 15475: 15454: 15401: 15368: 15324: 15299: 15247: 15222: 15216: 15193: 14752: 14729: 13330:so the kinetic energy becomes 13317: 13299: 12525:be located at the coordinates 12089: 12071: 11345: 11306: 10969:be located at the coordinates 6303: 6296: 6125: 6118: 6048:then the square of the radius 5912: 5899: 4790: 4772: 4730: 4712: 4654: 4646: 4641: 4623: 3429: 3400: 1883: 1864: 1061:must be applied to change its 13: 1: 40235:Exterior covariant derivative 40167:Tensor (intrinsic definition) 38979:Angular/rotational quantities 38546:. Boca Raton, FL: CRC Press. 38428:. Light and Matter. pp.  38399:. Nelson Thomas. p. 64. 38373:The Physics of Everyday Stuff 38037: 36356: 36043:Inertia tensor of translation 15143:as shown in the proof below: 12583:, then the kinetic energy is 12050:{\displaystyle =\mathbf {C} } 11049:, the relative positions are 6704: 5381:{\displaystyle m=\rho s\ell } 4964: 4961:-axis depending on the load. 4847:Note on second moment of area 3958: 2695:Pendulums used in Mendenhall 2617:This shows that the quantity 2069:with the perpendicularity of 1817:the torque equation becomes: 1225: 492:Koopman–von Neumann mechanics 40260:Raising and lowering indices 38908:The moment of inertia tensor 38617:NACA Technical Note No. 1629 37948:on the inertia ellipsoid is 37941:{\displaystyle \mathbf {n} } 37919:{\displaystyle \mathbf {x} } 37770:{\displaystyle \mathbf {n} } 37719:{\displaystyle \mathbf {n} } 37656:{\displaystyle \mathbf {x} } 37121: 37118:is different for each type. 36977:principal moments of inertia 36887:{\displaystyle \mathbf {Q} } 36663:{\displaystyle \mathbf {Q} } 36593:{\displaystyle \mathbf {A} } 36494:{\displaystyle \mathbf {x} } 36472:{\displaystyle \mathbf {y} } 36412:{\displaystyle \mathbf {A} } 36278:{\displaystyle \mathbf {R} } 36101:{\displaystyle \mathbf {R} } 34980:{\displaystyle \mathbf {x} } 34583:If one has the inertia data 33283:Alternate inertia convention 32057:{\displaystyle \mathbf {n} } 30710:{\displaystyle \mathbf {I} } 30680:{\displaystyle \delta _{ij}} 29982:{\displaystyle \mathbf {R} } 29479:{\displaystyle \mathbf {R} } 27991:, then we have the identity 27780:{\displaystyle \mathbf {E} } 27431:{\displaystyle \mathbf {R} } 27416:through the reference point 27380:{\displaystyle \mathbf {R} } 27162:{\displaystyle \mathbf {R} } 26881:{\displaystyle \mathbf {R} } 26633:{\displaystyle \mathbf {R} } 26611:{\displaystyle \mathbf {C} } 26589:{\displaystyle \mathbf {d} } 26489:{\displaystyle \mathbf {d} } 26439:{\displaystyle \mathbf {C} } 25836:{\displaystyle \mathbf {R} } 25814:{\displaystyle \mathbf {C} } 25792:{\displaystyle \mathbf {d} } 25699:{\displaystyle \mathbf {C} } 25567:{\displaystyle \mathbf {R} } 25523:Consider the inertia matrix 25513:{\displaystyle \mathbf {R} } 25491:{\displaystyle \mathbf {C} } 21290:{\displaystyle \mathbf {u} } 19282: addition associativity 15752:{\displaystyle \mathbf {C} } 15730:{\displaystyle \mathbf {R} } 14640:{\displaystyle \mathbf {C} } 14392:{\displaystyle \mathbf {R} } 12435:{\displaystyle \mathbf {C} } 11601:{\displaystyle \mathbf {C} } 11579:{\displaystyle \mathbf {R} } 11242:{\displaystyle \mathbf {R} } 11042:{\displaystyle \mathbf {R} } 10785:{\displaystyle \mathbf {C} } 9836:{\displaystyle \mathbf {R} } 9603:{\displaystyle \mathbf {A} } 9581:{\displaystyle \mathbf {R} } 9333:{\displaystyle \mathbf {R} } 9058:{\displaystyle \mathbf {C} } 8078:{\displaystyle \mathbf {C} } 7190:{\displaystyle \mathbf {R} } 7139:{\displaystyle \mathbf {k} } 7114:{\displaystyle \mathbf {R} } 7092:{\displaystyle \mathbf {V} } 6843:{\displaystyle \mathbf {R} } 4995:with constant cross-section 4758:{\displaystyle \mathbf {r} } 2106:{\displaystyle \mathbf {r} } 1713:{\displaystyle \mathbf {F} } 1691:{\displaystyle \mathbf {r} } 560:Non-inertial reference frame 7: 40498:Gluon field strength tensor 39969: 38778:Pixar Graphics Technologies 38005: 35500:Rewrite the equation using 26682:{\displaystyle -m\left^{2}} 21275:Notice that for any vector 20477: vector triple product 17633: scalar triple product 17486: vector triple product 14715:{\displaystyle \left=\left} 12003:where the terms containing 6701:is the mass of the sphere. 5391:The moment of inertia of a 4991:The moment of inertia of a 4982:The moment of inertia of a 3482:Measuring moment of inertia 2849:is the mass of the object, 1540: 1002:(additive) property: for a 487:Appell's equation of motion 357:Inertial frame of reference 10: 40644: 40309:Cartan formalism (physics) 40129:Penrose graphical notation 39552:{\displaystyle {\dot {m}}} 38976: 38861:Mason, Matthew T. (2001). 38492:Paul, Burton (June 1979). 38462:. Macmillan. p. 304. 38420:Crowell, Benjamin (2003). 38017:List of moments of inertia 36985:Sylvester's law of inertia 36259:Inertia tensor of rotation 36046: 30455:is equal to 1, 2 or 3 for 26689:, which is similar to the 25469: 16237:is used on the last term: 10886: 8450:. Specifically, it is the 8085:as the reference point so 6850:, and absolute velocities 5960:list of moments of inertia 4971:List of moments of inertia 4968: 4105:that lie at the distances 1547:List of moments of inertia 1544: 1049:" or "moment of inertia". 987:applied and the resulting 29: 40515: 40455: 40404: 40397: 40289: 40220: 40157: 40101: 40048: 39995: 39988: 39981:Glossary of tensor theory 39977: 39250:specific angular momentum 38978: 38973: 38968: 38812:10.1080/14786445208647087 38606:, Happresearch.com, 2016. 38604:Trifilar Pendulum for MOI 38340:Wolfram, Stephen (2014). 38316:Honors Physics Essentials 38173:(4th ed.). Thomson. 31848:angular momentum operator 14377:in terms of the position 12157:, can be used to define, 9821:from the reference point 9566:in terms of the position 7646:Note on the cross product 7175:from the reference point 4917:-axes. The stresses in a 3494:Moment of inertia of area 1629:{\displaystyle I=mr^{2}.} 1522:{\displaystyle I=mk^{2},} 1462:to the axis of rotation. 1445:{\displaystyle I=mr^{2}.} 1413:from the pivot point as, 1336:curl their bodies into a 1034:for which this matrix is 963:, otherwise known as the 134: 91: 81: 71: 59: 44: 39: 40565:Gregorio Ricci-Curbastro 40437:Riemann curvature tensor 40144:Van der Waerden notation 38456:Tipler, Paul A. (1999). 38393:Breithaupt, Jim (2000). 38269:. New York: McGraw-Hill. 38117:Euler, Leonhard (1765). 38091:The Science of Mechanics 38032:Moment of inertia factor 36244:{\displaystyle \otimes } 30064:, the moment of inertia 20108: self cross-product 17770: self cross-product 17031: self cross-product 14474:of the rigid system as, 4875:polar moment of the area 3331:, can be computed to be 2646:{\displaystyle I=mr^{2}} 2185:{\displaystyle I=mr^{2}} 2142:{\displaystyle I=mr^{2}} 1222:in roll, pitch and yaw. 1178:("momentum inertiae" in 650:Rotating reference frame 482:Hamilton–Jacobi equation 40535:Elwin Bruno Christoffel 40468:Angular momentum tensor 40139:Tetrad (index notation) 40109:Abstract index notation 39374:rotational acceleration 38838:Oxford University Press 38791:Sylvester, J J (1852). 38602:C. Couch and J. Mayes, 38519:Fundamentals of physics 38313:Fullerton, Dan (2011). 26618:to the reference point 25821:to the reference point 21297:, the following holds: 17189:The result of applying 15678:In the last statement, 14625:Use the center of mass 9221:polar moment of inertia 8448:polar moment of inertia 6752:polar moment of inertia 5388:is the mass of the rod. 4796:{\displaystyle (x,y,z)} 4736:{\displaystyle (x,y,z)} 3954:Motion in a fixed plane 1211:Newton's laws of motion 1069:(the rate of change in 969:angular/rotational mass 591:Newton's laws of motion 451:Newton's laws of motion 40349:Levi-Civita connection 39553: 38800:Philosophical Magazine 38722:Goldstein, H. (1980). 38369:"Figure Skating Spins" 38367:Hokin, Samuel (2014). 38225:Tenenbaum, RA (2004). 37997: 37942: 37920: 37896: 37771: 37749: 37720: 37698: 37657: 37633: 37530: 37356: 37264: 37214: 37191: 37184: 37164: 37144: 37075: 37074:{\displaystyle m>2} 37039: 36981:J. J. Sylvester (1852) 36969: 36942: 36915: 36888: 36864: 36752: 36686: 36670:and a diagonal matrix 36664: 36630: 36594: 36570: 36495: 36473: 36451: 36413: 36391: 36339: 36279: 36245: 36218: 36198: 36102: 36076: 36031: 35721: 35492: 35116: 35087: 35010: 34981: 34959: 34927: 34808: 34693: 34570: 34497: 34444: 34388: 34330: 34251: 34198: 34140: 34084: 34005: 33624: 33503: 33382: 33273: 33272:{\displaystyle I_{xy}} 33243: 33242:{\displaystyle I_{xx}} 33213: 33193: 33173: 33151: 33082: 33029: 32973: 32915: 32836: 32783: 32725: 32669: 32590: 32253: 32233: 32213: 32145: 32144:{\displaystyle I_{12}} 32112: 32058: 32034: 31892: 31818: 31786: 31644: 31624: 31604: 31603:{\displaystyle I_{xy}} 31574: 31554: 31553:{\displaystyle I_{xx}} 31522: 31480: 31356: 31232: 31123: 31058: 30930: 30802: 30711: 30681: 30649: 30622: 30509: 30489: 30469: 30449: 30429: 30404: 30294: 30216: 30058: 30031: 30017:For a rigid object of 29983: 29961: 29932: 29760: 29644: 29563: 29509: 29480: 29458: 29436: 28869: 28840: 28808: 28517: 28189: 28160: 27985: 27920: 27880: 27860: 27831: 27781: 27759: 27577: 27548: 27516: 27489: 27432: 27410: 27381: 27359: 27330: 27279: 27256: 27201: 27163: 27141: 27112: 26951: 26882: 26860: 26831: 26796: 26768: 26713: 26712:{\displaystyle mr^{2}} 26683: 26644:Note on the minus sign 26634: 26612: 26590: 26568: 26490: 26468: 26440: 26418: 26387: 26346: 26276: 26184: 26107: 26047: 25978: 25890: 25837: 25815: 25793: 25771: 25700: 25676: 25621: 25568: 25546: 25514: 25492: 25456: 25427: 25347: 25292: 25206: 25107: 25009: 24955: 24875: 24776: 24707: 24165: 23572: 22964: 22332: 21888: 21425: 21331: 21291: 21267: 21170: 21072: 20946: 20856: 20686: 20510: 20343: 20141: 19879: 19607: 19341: 19293: 19051: 18694: 18533: 18375: 18217: 18166: 17181: 16225: 16089: 15934: 15802: 15753: 15731: 15709: 15672: 15574: 15443: 15357: 15280: 15192: 15129: 14960: 14903: 14811: 14762: 14716: 14641: 14617: 14468: 14446: 14424: 14393: 14371: 14340: 14313: 14284: 14221: 14172: 14152: 14123: 14016: 13958: 13867: 13764: 13622: 13530: 13393: 13324: 13286: 13250: 13215: 13161: 13057: 12944: 12880: 12825: 12704: 12633: 12577: 12548: 12519: 12468: 12436: 12414: 12364: 12311: 12282: 12200: 12151: 12096: 12051: 12026: 11997: 11937: 11841: 11723: 11651: 11602: 11580: 11556: 11352: 11285: 11243: 11221: 11192: 11170: 11098: 11043: 11021: 10992: 10963: 10912: 10870: 10815: 10786: 10758: 10731: 10658: 10590: 10522: 10444: 10264: 10213: 9939: 9866: 9837: 9815: 9779: 9748: 9648: 9626: 9604: 9582: 9560: 9526: 9497: 9445: 9383: 9334: 9308: 9257: 9240: 9213: 9190:The moment of inertia 9182: 9088: 9059: 9035: 8995: 8908: 8793: 8613: 8532: 8471: 8440: 8417:The moment of inertia 8409: 8352: 8278: 8247: 8182: 8079: 8052: 7984: 7906: 7770: 7699: 7634: 7293: 7226:, and the unit vector 7220: 7191: 7169: 7140: 7115: 7093: 7071: 7049: 6873: 6844: 6822: 6771: 6744: 6714: 6695: 6646: 6215: 6193: 6102: 6082: 6062: 6040: 5973: 5948: 5928: 5783: 5760: 5718: 5519: 5473: 5449: 5429: 5409: 5395:of constant thickness 5382: 5350: 5069: 5049: 5029: 5009: 4979: 4955: 4935: 4911: 4891: 4867: 4837: 4817: 4797: 4759: 4737: 4699: 4674: 4578: 4506: 4473: 4427: 4426:{\displaystyle mr^{2}} 4395: 4362: 4266: 4194: 4146: 4126: 4099: 4072: 4048: 4028: 4027:{\displaystyle mr^{2}} 4001: 3944: 3840: 3783: 3728: 3671: 3586: 3556: 3555:{\displaystyle I_{yy}} 3526: 3525:{\displaystyle I_{xx}} 3462: 3325: 3305: 3257: 3184: 3109: 3081: 3053: 3033: 2927: 2907: 2883: 2863: 2843: 2823: 2763: 2736: 2700: 2677: 2676:{\displaystyle mr^{2}} 2647: 2609: 2475: 2250: 2228: 2186: 2143: 2107: 2085: 2059: 2028: 1811: 1778: 1740: 1714: 1692: 1670: 1630: 1597:to the pivot, that is 1591: 1571: 1523: 1486:, an effective radius 1446: 1388: 1345:Newton's law of motion 1319: 1270:The moment of inertia 1267: 1250: 1156: 1136: 1116: 1115:{\displaystyle mr^{2}} 1043:mechanical engineering 1008:perpendicular distance 975:, or most accurately, 965:mass moment of inertia 927: 618:Simple harmonic motion 531:Euler's laws of motion 325:D'Alembert's principle 208: 125: 40613:Mechanical quantities 40575:Jan Arnoldus Schouten 40530:Augustin-Louis Cauchy 40010:Differential geometry 39554: 38834:Undergraduate algebra 38832:Norman, C.W. (1986). 38542:French, A.P. (1971). 38342:"Spinning Ice Skater" 37998: 37943: 37921: 37897: 37772: 37750: 37721: 37699: 37658: 37634: 37531: 37357: 37265: 37215: 37185: 37165: 37145: 37129: 37076: 37040: 36970: 36968:{\displaystyle I_{3}} 36943: 36941:{\displaystyle I_{2}} 36916: 36914:{\displaystyle I_{1}} 36889: 36865: 36753: 36687: 36665: 36631: 36595: 36571: 36496: 36474: 36452: 36414: 36392: 36340: 36280: 36246: 36219: 36199: 36103: 36077: 36032: 35722: 35493: 35117: 35088: 35011: 34982: 34960: 34928: 34809: 34694: 34571: 34477: 34424: 34368: 34310: 34231: 34178: 34120: 34064: 33985: 33604: 33483: 33362: 33274: 33244: 33214: 33194: 33174: 33152: 33062: 33009: 32953: 32895: 32816: 32763: 32705: 32649: 32570: 32254: 32234: 32214: 32146: 32113: 32059: 32035: 31893: 31819: 31787: 31645: 31625: 31605: 31575: 31555: 31523: 31460: 31336: 31212: 31124: 31038: 30910: 30782: 30712: 30682: 30650: 30648:{\displaystyle m_{k}} 30623: 30510: 30490: 30470: 30450: 30430: 30405: 30274: 30217: 30059: 30057:{\displaystyle m_{k}} 30032: 29984: 29962: 29933: 29740: 29624: 29543: 29510: 29481: 29459: 29437: 28870: 28841: 28809: 28518: 28190: 28161: 27986: 27921: 27919:{\displaystyle \left} 27881: 27861: 27832: 27782: 27760: 27578: 27549: 27517: 27515:{\displaystyle P_{i}} 27490: 27433: 27411: 27382: 27360: 27331: 27280: 27257: 27202: 27164: 27142: 27113: 26931: 26883: 26861: 26832: 26830:{\displaystyle I_{L}} 26797: 26769: 26714: 26684: 26635: 26613: 26591: 26569: 26491: 26469: 26441: 26419: 26388: 26326: 26256: 26164: 26087: 26048: 25958: 25870: 25838: 25816: 25794: 25772: 25701: 25677: 25601: 25569: 25547: 25515: 25493: 25472:Parallel axis theorem 25466:Parallel axis theorem 25457: 25428: 25348: 25272: 25186: 25087: 24989: 24956: 24855: 24756: 24687: 24145: 23552: 22944: 22312: 21868: 21405: 21311: 21292: 21268: 21150: 21052: 20926: 20836: 20666: 20490: 20323: 20121: 19859: 19587: 19321: 19294: 19031: 18674: 18513: 18355: 18197: 18167: 17182: 16226: 16069: 15914: 15782: 15754: 15732: 15710: 15673: 15554: 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Pilkey, 38348:. 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