1260:
785:
2764:. Schur convex functions are necessarily symmetric that the entries of it argument can be switched without modifying the value of the function. Therefore, linear functions, which are convex, are not Schur-convex unless they are symmetric. If a function is symmetric and convex, then it is Schur-convex.
277:
1873:
2020:
1678:
841:
92:
505:
2762:
950:
2907:
2711:
2573:
182:
2491:
1745:
1539:
2660:
2525:
2427:
1578:
1300:
1232:
1158:
871:
582:
423:
2263:
2836:
1128:
1087:
3100:
2185:
2126:
353:
1481:
1448:
1906:
690:
640:
317:
2938:
2626:
1415:
2325:
745:
3037:
3015:
2993:
2971:
2595:
1348:
1326:
1254:
1202:
1180:
1043:
997:
975:
915:
893:
552:
527:
139:
114:
2067:
1375:
1021:
765:
393:
373:
190:
3222:
1754:
1911:
3144:
Barry C. Arnold. "Majorization and the Lorenz Order: A Brief
Introduction". Springer-Verlag Lecture Notes in Statistics, vol. 43, 1987.
1583:
2436:: the singleton vector majorizes all other probability vectors, and the uniform distribution is majorized by all probability vectors.
795:
49:
1182:. Figure 2 shows the convex hull in 3D. The center of the convex hull, which is a 2D polygon in this case, is the "smallest" vector
3431:
3197:
428:
3414:
3401:
3388:
3375:
3357:
3266:
3231:
2718:
920:
2841:
2665:
2530:
147:
2453:
1686:
1486:
2635:
2500:
2330:
1547:
1275:
1207:
1133:
846:
557:
2777:
592:
for general vectors, since majorization is agnostic to the ordering of the entries in vectors, e.g., the statement
3450:
398:
2190:
1092:
1051:
2131:
2072:
326:
1453:
1420:
2810:
1883:
645:
595:
282:
2912:
2600:
1380:
3053:
3048:
2268:
953:
706:
3363:
A tribute to
Marshall and Olkin's book "Inequalities: Theory of Majorization and its Applications"
3020:
2998:
2976:
2954:
2578:
1331:
1309:
1237:
1185:
1163:
1026:
980:
958:
898:
876:
535:
510:
122:
97:
3470:
3261:. Ingram Olkin, Barry C. Arnold (2nd ed.). New York: Springer Science+Business Media, LLC.
3193:
3063:
1089:. Notice that the center of the convex hull, which is an interval in this case, is the vector
3465:
3058:
2494:
2445:
2034:
585:
20:
3189:
2575:. Hence, Schur-convex functions translate the ordering of vectors to a standard ordering in
3303:
2941:
1353:
8:
3352:, Barry Arnold, Second edition. Springer Series in Statistics. Springer, New York, 2011.
2804:
2781:
272:{\displaystyle \sum _{i=1}^{k}x_{i}^{\downarrow }\geq \sum _{i=1}^{k}y_{i}^{\downarrow }}
3307:
19:
This article is about a specific ordering on real vectors. For ordering in general, see
3171:
2948:
2433:
1006:
1000:
768:
750:
378:
358:
695:
Majorizing also sometimes refers to entrywise ordering, e.g. the real-valued function
3410:
3397:
3384:
3371:
3353:
3291:
3272:
3262:
3237:
3227:
3122:
2793:
3311:
3163:
3112:
2789:
3426:
3213:
3074:
2788:
lies below the other. As such, a Lorenz-greater wealth distribution has a higher
1868:{\displaystyle \sum _{i=1}^{d}\max(0,x_{i}-t)\geq \sum _{i=1}^{d}\max(0,y_{i}-t)}
3070:
2800:
3315:
1350:
by a finite sequence of "Robin Hood operations" where we replace two elements
895:
is in the convex hull of all vectors obtained by permuting the coordinates of
767:
in the domain, or other technical definitions, such as majorizing measures in
3459:
3276:
3241:
3126:
3117:
3080:
3349:
3217:
2785:
2773:
43:
39:
3256:
1259:
784:
3383:(1994) Roger A. Horn and Charles R. Johnson, Cambridge University Press,
27:
3175:
3394:
Majorization and Matrix
Monotone Functions in Wireless Communications
2015:{\displaystyle \sum _{j=1}^{d}|x_{j}-t|\geq \sum _{j=1}^{d}|y_{j}-t|}
3362:
3167:
1673:{\displaystyle \sum _{i=1}^{d}h(x_{i})\geq \sum _{i=1}^{d}h(y_{i})}
589:
35:
3331:
J. Karamata. "Sur une inegalite relative aux fonctions convexes."
3154:
Xingzhi, Zhan (2003). "The sharp Rado theorem for majorizations".
836:{\displaystyle \mathbf {x} ,\ \mathbf {y} \in \mathbb {R} ^{n},}
3447:
3443:
3258:
Inequalities : theory of majorization and its applications
87:{\displaystyle \mathbf {x} ,\ \mathbf {y} \in \mathbb {R} ^{n}}
3396:(2007) Eduard Jorswieck and Holger Boche, Now Publishers,
2715:
An example of a Schur-convex function is the max function,
3346:
3066:
relating diagonal entries of a matrix to its eigenvalues.
588:
for vectors whose entries are non-decreasing, but only a
500:{\displaystyle \sum _{i=1}^{n}x_{i}=\sum _{i=1}^{n}y_{i}}
3342:, 2nd edition, 1952, Cambridge University Press, London.
1272:
Each of the following statements is true if and only if
3226:(2nd ed.). Cambridge: Cambridge University Press.
2799:
The majorization preorder can be naturally extended to
1048:
Figure 1 displays the convex hull in 2D for the vector
3409:(2004) J. Michael Steele, Cambridge University Press,
2757:{\displaystyle \max(\mathbf {x} )=x_{1}^{\downarrow }}
3023:
3001:
2979:
2957:
2915:
2844:
2813:
2721:
2668:
2638:
2603:
2581:
2533:
2503:
2456:
2333:
2271:
2193:
2134:
2075:
2037:
1914:
1886:
1757:
1689:
1586:
1550:
1489:
1456:
1423:
1383:
1356:
1334:
1312:
1278:
1240:
1210:
1188:
1166:
1136:
1095:
1054:
1029:
1009:
983:
961:
945:{\displaystyle \mathbf {x} =\mathbf {D} \mathbf {y} }
923:
901:
879:
849:
798:
753:
709:
648:
598:
560:
538:
513:
431:
401:
381:
361:
329:
285:
193:
150:
125:
100:
52:
2902:{\displaystyle \mathrm {spec} \succ \mathrm {spec} }
2706:{\displaystyle f(\mathbf {x} )\leq f(\mathbf {y} ).}
2568:{\displaystyle f(\mathbf {x} )\geq f(\mathbf {y} )}
177:{\displaystyle \mathbf {x} \succ _{w}\mathbf {y} ,}
3031:
3009:
2987:
2965:
2932:
2901:
2830:
2756:
2705:
2654:
2620:
2589:
2567:
2519:
2486:{\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }
2485:
2421:
2319:
2257:
2179:
2120:
2069:and permutations of it majorize all other vectors
2061:
2031:Among non-negative vectors with three components,
2014:
1900:
1867:
1739:
1672:
1572:
1533:
1475:
1442:
1409:
1369:
1342:
1320:
1294:
1248:
1226:
1196:
1174:
1152:
1122:
1081:
1037:
1015:
991:
969:
944:
909:
887:
865:
835:
759:
739:
684:
634:
576:
546:
521:
499:
417:
387:
367:
347:
311:
271:
176:
133:
108:
86:
1740:{\displaystyle \sum _{i}{x_{i}}=\sum _{i}{y_{i}}}
3457:
2722:
1834:
1779:
3208:
3206:
1534:{\displaystyle \varepsilon \in (0,x_{i}-x_{j})}
2655:{\displaystyle \mathbf {x} \succ \mathbf {y} }
2520:{\displaystyle \mathbf {x} \succ \mathbf {y} }
2422:{\displaystyle (1/2,0,1/2)\succ (1/3,1/3,1/3)}
1573:{\displaystyle h:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }
1295:{\displaystyle \mathbf {x} \succ \mathbf {y} }
1227:{\displaystyle \mathbf {x} \prec \mathbf {y} }
1153:{\displaystyle \mathbf {x} \prec \mathbf {y} }
866:{\displaystyle \mathbf {x} \prec \mathbf {y} }
577:{\displaystyle \mathbf {x} \succ \mathbf {y} }
3212:
3338:G. H. Hardy, J. E. Littlewood and G. PĂłlya,
3203:
1130:. This is the "smallest" vector satisfying
3223:Quantum Computation and Quantum Information
3101:"Majorizing measures: the generic chaining"
2327:is majorized by all other such vectors, so
3116:
3098:
2583:
2479:
2465:
1894:
1566:
1558:
1113:
1072:
820:
418:{\displaystyle \mathbf {x} ,\mathbf {y} }
305:
298:
74:
3254:
3140:
3138:
3136:
2432:This behavior extends to general-length
2258:{\displaystyle (1,0,0)\succ (1/2,0,1/2)}
1258:
783:
774:
3188:July 3, 2005 post by fleeting_guest on
3153:
2772:Majorization can be generalized to the
779:
3458:
3255:Marshall, Albert W. (2011). "14, 15".
2784:is Lorenz-greater than another if its
3289:
3133:
1267:
1123:{\displaystyle \mathbf {x} =(2,\,2)}
1082:{\displaystyle \mathbf {y} =(3,\,1)}
917:. This is equivalent to saying that
3147:
2180:{\displaystyle p_{1}+p_{2}+p_{3}=1}
2121:{\displaystyle (p_{1},p_{2},p_{3})}
699:majorizes the real-valued function
348:{\displaystyle x_{i}^{\downarrow }}
16:Preorder on vectors of real numbers
13:
3370:(1996) Rajendra Bhatia, Springer,
2926:
2923:
2920:
2917:
2881:
2878:
2875:
2872:
2855:
2852:
2849:
2846:
2767:
2439:
1683:In fact, a special case suffices:
1476:{\displaystyle x_{j}+\varepsilon }
1443:{\displaystyle x_{i}-\varepsilon }
14:
3482:
3420:
3156:The American Mathematical Monthly
2831:{\displaystyle \rho \succ \rho '}
1901:{\displaystyle t\in \mathbb {R} }
1263:Figure 2. 3D Majorization Example
788:Figure 1. 2D majorization example
3190:"The Karamata Inequality" thread
3099:Talagrand, Michel (1996-07-01).
3025:
3003:
2981:
2959:
2729:
2693:
2676:
2648:
2640:
2611:
2558:
2541:
2513:
2505:
1336:
1314:
1288:
1280:
1242:
1220:
1212:
1190:
1168:
1146:
1138:
1097:
1056:
1031:
985:
963:
938:
933:
925:
903:
881:
859:
851:
811:
800:
685:{\displaystyle (2,1)\prec (3,0)}
635:{\displaystyle (1,2)\prec (0,3)}
570:
562:
540:
515:
411:
403:
312:{\displaystyle k=1,\,\dots ,\,n}
167:
152:
127:
102:
65:
54:
3407:The Cauchy Schwarz Master Class
3292:"General properties of entropy"
2995:, if the set of eigenvalues of
2933:{\displaystyle \mathrm {spec} }
2621:{\displaystyle f(\mathbf {x} )}
3290:Wehrl, Alfred (1 April 1978).
3283:
3248:
3182:
3092:
3073:, weak majorization is called
2896:
2885:
2865:
2859:
2749:
2733:
2725:
2697:
2689:
2680:
2672:
2615:
2607:
2562:
2554:
2545:
2537:
2475:
2416:
2374:
2368:
2334:
2314:
2272:
2252:
2218:
2212:
2194:
2115:
2076:
2056:
2038:
2008:
1987:
1958:
1937:
1862:
1837:
1807:
1782:
1667:
1654:
1624:
1611:
1562:
1528:
1496:
1410:{\displaystyle x_{j}<x_{i}}
1117:
1104:
1076:
1063:
734:
728:
719:
713:
679:
667:
661:
649:
629:
617:
611:
599:
340:
264:
225:
1:
3335: 1, 145–158, 1932.
3325:
2320:{\displaystyle (1/3,1/3,1/3)}
740:{\displaystyle f(x)\geq g(x)}
3032:{\displaystyle \mathbf {M} }
3010:{\displaystyle \mathbf {H} }
2988:{\displaystyle \mathbf {M} }
2966:{\displaystyle \mathbf {H} }
2590:{\displaystyle \mathbb {R} }
1343:{\displaystyle \mathbf {y} }
1321:{\displaystyle \mathbf {x} }
1249:{\displaystyle \mathbf {y} }
1197:{\displaystyle \mathbf {x} }
1175:{\displaystyle \mathbf {y} }
1038:{\displaystyle \mathbf {y} }
992:{\displaystyle \mathbf {x} }
970:{\displaystyle \mathbf {D} }
910:{\displaystyle \mathbf {y} }
888:{\displaystyle \mathbf {x} }
547:{\displaystyle \mathbf {y} }
522:{\displaystyle \mathbf {x} }
134:{\displaystyle \mathbf {y} }
109:{\displaystyle \mathbf {x} }
7:
3437:
3042:
2026:
10:
3487:
3451:code to check majorization
3432:Majorization in PlanetMath
3333:Publ. Math. Univ. Belgrade
2443:
1544:For every convex function
18:
3427:Majorization in MathWorld
3381:Topics in Matrix Analysis
3316:10.1103/RevModPhys.50.221
3296:Reviews of Modern Physics
3105:The Annals of Probability
2947:Similarly, one can say a
1483:, respectively, for some
3086:
954:doubly stochastic matrix
642:is simply equivalent to
46:. For two such vectors,
2062:{\displaystyle (1,0,0)}
3118:10.1214/aop/1065725175
3033:
3011:
2989:
2967:
2934:
2903:
2832:
2778:distribution functions
2758:
2707:
2656:
2622:
2591:
2569:
2521:
2487:
2423:
2321:
2259:
2181:
2122:
2063:
2016:
1985:
1935:
1902:
1869:
1833:
1778:
1741:
1674:
1650:
1607:
1574:
1535:
1477:
1444:
1411:
1371:
1344:
1322:
1296:
1264:
1250:
1234:for this given vector
1228:
1198:
1176:
1160:for this given vector
1154:
1124:
1083:
1039:
1017:
993:
971:
946:
911:
889:
867:
837:
789:
761:
741:
686:
636:
578:
548:
523:
501:
486:
452:
419:
389:
369:
349:
313:
273:
253:
214:
178:
135:
110:
88:
3059:Schur-convex function
3054:Karamata's Inequality
3049:Muirhead's inequality
3034:
3012:
2990:
2973:, majorizes another,
2968:
2935:
2904:
2833:
2776:, a partial order on
2759:
2708:
2657:
2623:
2592:
2570:
2522:
2488:
2446:Schur-convex function
2424:
2322:
2260:
2182:
2123:
2064:
2017:
1965:
1915:
1903:
1870:
1813:
1758:
1742:
1675:
1630:
1587:
1575:
1536:
1478:
1445:
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