884:
6872:
497:
8673:
879:{\displaystyle {\begin{alignedat}{7}d_{1}&\;\leq \;&&\lambda _{1}\\d_{2}+d_{1}&\;\leq &&\lambda _{1}+\lambda _{2}\\\vdots &\;\leq &&\vdots \\d_{N-1}+\cdots +d_{2}+d_{1}&\;\leq &&\lambda _{1}+\lambda _{2}+\cdots +\lambda _{N-1}\\d_{N}+d_{N-1}+\cdots +d_{2}+d_{1}&\;=&&\lambda _{1}+\lambda _{2}+\cdots +\lambda _{N-1}+\lambda _{N}.\\\end{alignedat}}}
502:
6970:
1996:
7665:
404:
2882:
4683:
3456:
6294:
56:
1823:
3134:
6532:
2563:
7580:
6283:
489:
4342:
6663:
8020:
4453:
8070:
1411:
1215:
988:
7842:
1569:
1159:
3200:
2785:
6140:
5149:
1217:
The left hand side of the theorem's characterization (that is, "there exists a
Hermitian matrix with these eigenvalues and diagonal elements") depends on the order of the desired diagonal elements
5306:
3967:
7229:
7961:
7746:
7267:
7079:
4887:
4064:
2498:
1523:
1457:
1362:
1314:
5467:
3860:
3764:
294:
171:
6596:
7009:
3343:
3292:
3241:
2995:
2704:
2655:
2350:
1645:
6215:
5363:
5078:
4193:
1861:
1113:
939:
7881:
6865:
6769:
6434:
3912:
2214:
7041:
4972:
4793:
4374:
3529:
2402:
2126:
7537:
7459:
6390:
5804:
5714:
4015:
3814:
3718:
2074:
1261:
221:
125:
7362:
7300:
7165:
7132:
6826:
6729:
6696:
6467:
6328:
4277:
2597:
5985:
4535:
2926:
2159:
299:
7506:
7406:
6880:
4245:
7903:
7768:
7428:
7325:
5024:
4940:
4476:
2431:
4995:
1866:
7585:
5921:
4727:
4113:
6354:
4139:
7099:
6161:
6066:
5650:
4560:
4394:
3018:
2255:
60:
7482:
7188:
5860:
5199:
3579:
7788:
6793:
5941:
5169:
3549:
2023:
248:
5594:
5222:
5886:
5830:
5740:
5565:
5519:
5493:
5415:
5389:
7708:
7382:
6028:
3657:
1672:
1015:
7923:
7685:
6005:
5614:
5539:
5326:
5242:
4911:
4833:
4813:
4555:
4496:
4213:
3634:
3599:
3476:
1712:
1692:
1596:
1477:
1058:
1037:
2352:
which in this case is the solid (filled) triangle whose vertices are the three points in this set. Notice, in particular, that rearranging the coordinates of
2793:
8562:
3348:
409:
8152:
8108:
1733:
3023:
8398:
8188:
6472:
2503:
8225:
8388:
7542:
6220:
4282:
6601:
6217:
Using the equivalence of (i) and (iii) in the lemma mentioned above, we see that any vector in the permutation polytope generated by
7966:
4399:
8515:
8370:
3668:
In view of the equivalence of (i) and (ii) in the lemma mentioned above, one may reformulate the theorem in the following manner.
8346:
1651:
with these eigenvalues and diagonal elements if and only if these two sequences have the same sum and for every possible integer
994:
with these eigenvalues and diagonal elements if and only if these two sequences have the same sum and for every possible integer
8025:
1367:
1171:
944:
7800:
1528:
1118:
3141:
2709:
6071:
5083:
5247:
3917:
8702:
7193:
7928:
7713:
7234:
7046:
4842:
8238:
4020:
2436:
1482:
1416:
1321:
1270:
5420:
3819:
3723:
253:
130:
8327:
8218:
6537:
8597:
6975:
4890:
3297:
3246:
3205:
2931:
2660:
2611:
2260:
1601:
8242:
6166:
5331:
5029:
4144:
1828:
1072:
898:
52:
8393:
5151:
also occurs as the diagonal of some
Hermitian matrix with the same set of eigenvalues, for any transposition
7847:
6831:
6734:
6399:
1263:(because changing their order would change the Hermitian matrix whose existence is in question) but it does
8676:
8449:
8383:
8211:
3865:
2164:
7014:
6285:
occurs as the diagonal of a
Hermitian matrix with the prescribed eigenvalues. This proves Horn's theorem.
4945:
4732:
4347:
3481:
2355:
2079:
8413:
7511:
7433:
6359:
5745:
5655:
6965:{\displaystyle {\tilde {\lambda }}=(\lambda _{1},\lambda _{2},\ldots ,\lambda _{n})\in \mathbb {R} ^{n}}
3974:
3773:
3677:
2032:
1220:
180:
84:
8658:
8612:
8536:
8418:
7334:
7272:
7137:
7104:
6798:
6701:
6668:
6439:
6300:
4250:
2570:
5946:
4501:
3971:
Note that in this formulation, one does not need to impose any ordering on the entries of the vectors
2888:
2135:
8653:
8469:
7487:
7387:
1991:{\displaystyle \{(x_{\pi (1)},x_{\pi (2)},\ldots ,x_{\pi (n)})\in \mathbb {R} ^{n}:\pi \in S_{n}\}.}
8712:
8505:
8403:
8306:
7660:{\displaystyle \Phi :{\mathcal {H}}(n)\cong {\mathfrak {u}}(n)^{*}\rightarrow {\mathfrak {t}}^{*},}
4836:
4218:
7886:
7751:
7411:
7308:
5000:
4916:
4461:
2407:
8602:
8378:
4980:
5891:
4690:
4076:
8707:
8633:
8577:
8541:
6333:
4118:
7084:
6146:
6035:
5619:
4379:
3000:
2219:
8697:
8340:
8336:
7464:
7170:
5835:
5174:
3554:
8616:
7773:
6778:
5926:
5154:
3534:
2001:
226:
8203:
5570:
5207:
8:
8582:
8520:
8234:
8196:
5865:
5809:
5719:
5544:
5498:
5472:
5394:
5368:
1598:
desired real eigenvalues and a non-increasing real sequence of desired diagonal elements
399:{\displaystyle \sum _{i=1}^{n}d_{i}\leq \sum _{i=1}^{n}\lambda _{i}\qquad n=1,\dots ,N-1}
48:
7690:
7367:
6010:
3639:
1654:
997:
8607:
8474:
7908:
7670:
5990:
5599:
5524:
5311:
5227:
4896:
4818:
4798:
4540:
4481:
4198:
3604:
3584:
3461:
1697:
1677:
1581:
1462:
1043:
1022:
8587:
8592:
8510:
8479:
8459:
8444:
8439:
8434:
6871:
6772:
3767:
2877:{\displaystyle {\tilde {y}}:=(y_{1},\cdots ,y_{n})\in {\mathcal {K}}_{\tilde {x}}.}
1648:
991:
174:
47:. It has inspired investigations and substantial generalizations in the setting of
40:
8271:
7190:
the symplectic structure on the corresponding coadjoint orbit may be brought onto
888:
The Schur–Horn theorem may thus be restated more succinctly and in plain
English:
8454:
8408:
8356:
8351:
8322:
8179:
8133:Über eine Klasse von Mittelbildungen mit Anwendungen auf die Determinantentheorie
7328:
4678:{\displaystyle a_{ii}=\sum _{j=1}^{n}\lambda _{j}|u_{ij}|^{2},\;i=1,2,\ldots ,n.}
3451:{\displaystyle {\tilde {x}}_{k+1}=t{\tilde {x}}_{k}+(1-t)\tau ({\tilde {x_{k}}})}
2026:
173:
be two sequences of real numbers arranged in a non-increasing order. There is a
8281:
8643:
8495:
8296:
8162:
8148:
8104:
8088:
6393:
2404:
does not change the resulting permutation polytope; in other words, if a point
24:
1318:
On the right hand right hand side of the characterization, only the values of
8691:
8648:
8572:
8301:
8286:
8276:
7364:
which consists of diagonal complex matrices with diagonal entries of modulus
1818:{\displaystyle {\tilde {x}}=(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})\in \mathbb {R} ^{n}}
8638:
8291:
8261:
8138:
8128:
3129:{\displaystyle y_{1}+y_{2}+\cdots +y_{n-1}\leq x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n-1}}
1064:
2567:
The following lemma characterizes the permutation polytope of a vector in
8567:
8557:
8464:
8266:
8169:, Proc. Natl. Acad. Sci. USA, vol. 99 no. 7 (2002):4178–4184 (electronic)
8095:, Proc. Natl. Acad. Sci. USA, vol. 99 no. 7 (2002):4178–4184 (electronic)
6527:{\displaystyle \Psi :{\mathcal {H}}(n)\rightarrow {\mathfrak {u}}(n)^{*}}
2129:
1018:
44:
36:
32:
20:
2558:{\displaystyle {\mathcal {K}}_{\tilde {y}}={\mathcal {K}}_{\tilde {x}}.}
8500:
8332:
7791:
895:: Given any non-increasing real sequences of desired diagonal elements
16:
Characterizes the diagonal of a
Hermitian matrix with given eigenvalues
8184:
4913:
can be written as a convex combination of permutation matrices. Thus
7539:
consists of diagonal matrices with real entries. The inclusion map
8143:
Doubly stochastic matrices and the diagonal of a rotation matrix,
8022:
in some order. Thus, these matrices generate the convex polytope
7575:{\displaystyle {\mathfrak {t}}\hookrightarrow {\mathfrak {u}}(n)}
6278:{\displaystyle (\lambda _{1},\lambda _{2},\ldots ,\lambda _{n}),}
484:{\displaystyle \sum _{i=1}^{N}d_{i}=\sum _{i=1}^{N}\lambda _{i}.}
7508:
consists of diagonal matrices with purely imaginary entries and
7430:
consists of diagonal skew-Hermitian matrices and the dual space
4337:{\displaystyle (\lambda _{1},\lambda _{2},\ldots ,\lambda _{n})}
7461:
consists of diagonal
Hermitian matrices, under the isomorphism
6658:{\displaystyle A\in {\mathcal {H}}(n),B\in {\mathfrak {u}}(n).}
8015:{\displaystyle \lambda _{1},\lambda _{2},\ldots ,\lambda _{n}}
5026:
occurs as the diagonal of a
Hermitian matrix with eigenvalues
4448:{\displaystyle \lambda _{1},\lambda _{2},\ldots ,\lambda _{n}}
1721:
1040:
desired diagonal elements never exceeds the sum of the first
8233:
6293:
The Schur–Horn theorem may be viewed as a corollary of the
8190:
254A, Notes 3a: Eigenvalues and sums of
Hermitian matrices
8065:{\displaystyle \Phi ({\mathcal {O}}_{\tilde {\lambda }}).}
1406:{\displaystyle \lambda _{1}\geq \cdots \geq \lambda _{N}.}
1210:{\displaystyle \lambda _{1}\geq \cdots \geq \lambda _{N}.}
983:{\displaystyle \lambda _{1}\geq \cdots \geq \lambda _{N},}
8072:
This is exactly the statement of the Schur–Horn theorem.
7837:{\displaystyle \Phi ({\mathcal {O}}_{\tilde {\lambda }})}
7687:
to the diagonal matrix with the same diagonal entries as
1564:{\displaystyle \lambda _{1}\geq \cdots \geq \lambda _{N}}
1154:{\displaystyle \lambda _{1}\geq \cdots \geq \lambda _{N}}
3195:{\displaystyle {\tilde {x}}_{1},\dots ,{\tilde {x}}_{n}}
2780:{\displaystyle x_{1}+\cdots +x_{n}=y_{1}+\cdots +y_{n},}
1162:
1065:
Reformation allowing unordered diagonals and eigenvalues
6135:{\displaystyle t{\tilde {a}}+(1-t)\tau ({\tilde {a}}).}
2161:
that can be obtained by rearranging the coordinates of
1694:
desired diagonal elements never exceeds the sum of the
1479:
largest desired eigenvalues. Replacing the expression
5144:{\displaystyle t{\tilde {a}}+(1-t)\tau ({\tilde {a}})}
3663:
2076:
In other words, the permutation polytope generated by
1413:
Notice that this assumption means that the expression
8028:
7969:
7931:
7911:
7889:
7850:
7803:
7776:
7754:
7716:
7693:
7673:
7588:
7545:
7514:
7490:
7467:
7436:
7414:
7390:
7370:
7337:
7311:
7275:
7237:
7196:
7173:
7140:
7107:
7087:
7049:
7017:
6978:
6883:
6834:
6801:
6781:
6737:
6704:
6671:
6604:
6540:
6475:
6442:
6402:
6362:
6336:
6303:
6223:
6169:
6149:
6074:
6038:
6013:
5993:
5949:
5929:
5894:
5868:
5838:
5812:
5748:
5722:
5658:
5622:
5602:
5573:
5547:
5527:
5501:
5475:
5423:
5397:
5371:
5334:
5314:
5250:
5230:
5210:
5177:
5157:
5086:
5032:
5003:
4983:
4948:
4919:
4899:
4845:
4821:
4801:
4735:
4693:
4563:
4543:
4504:
4484:
4464:
4402:
4382:
4350:
4285:
4253:
4221:
4201:
4147:
4121:
4079:
4023:
3977:
3920:
3868:
3822:
3776:
3726:
3680:
3642:
3607:
3587:
3557:
3537:
3484:
3464:
3351:
3300:
3249:
3208:
3144:
3026:
3003:
2934:
2891:
2796:
2712:
2663:
2614:
2573:
2506:
2439:
2410:
2358:
2263:
2222:
2167:
2138:
2082:
2035:
2004:
1869:
1831:
1736:
1700:
1680:
1657:
1604:
1584:
1531:
1485:
1465:
1419:
1370:
1324:
1273:
1223:
1174:
1121:
1075:
1046:
1025:
1000:
947:
901:
500:
494:
The inequalities above may alternatively be written:
412:
302:
256:
229:
183:
133:
87:
5301:{\displaystyle {\overline {\xi a_{jk}}}=-\xi a_{jk}}
3962:{\displaystyle (\lambda _{1},\ldots ,\lambda _{n}).}
8145:
American
Journal of Mathematics 76 (1954), 620–630.
7224:{\displaystyle {\mathcal {O}}_{\tilde {\lambda }}.}
8563:Spectral theory of ordinary differential equations
8157:Means and Convex Combinations of Unitary Operators
8113:Means and Convex Combinations of Unitary Operators
8064:
8014:
7956:{\displaystyle {\mathcal {O}}_{\tilde {\lambda }}}
7955:
7917:
7897:
7875:
7836:
7782:
7762:
7741:{\displaystyle {\mathcal {O}}_{\tilde {\lambda }}}
7740:
7702:
7679:
7659:
7574:
7531:
7500:
7476:
7453:
7422:
7400:
7376:
7356:
7319:
7294:
7262:{\displaystyle {\mathcal {O}}_{\tilde {\lambda }}}
7261:
7223:
7182:
7159:
7126:
7093:
7074:{\displaystyle {\mathcal {O}}_{\tilde {\lambda }}}
7073:
7035:
7003:
6964:
6859:
6820:
6787:
6763:
6723:
6690:
6657:
6590:
6526:
6461:
6428:
6384:
6348:
6322:
6288:
6277:
6209:
6155:
6134:
6060:
6022:
5999:
5979:
5935:
5915:
5880:
5854:
5824:
5798:
5734:
5708:
5644:
5608:
5588:
5559:
5533:
5513:
5487:
5461:
5409:
5383:
5357:
5320:
5300:
5236:
5216:
5193:
5163:
5143:
5072:
5018:
4989:
4966:
4934:
4905:
4882:{\displaystyle {\tilde {a}}=S{\tilde {\lambda }}.}
4881:
4827:
4807:
4787:
4721:
4677:
4549:
4529:
4490:
4470:
4447:
4388:
4368:
4336:
4271:
4239:
4207:
4195:counted with multiplicity. Denote the diagonal of
4187:
4133:
4107:
4068:
4058:
4009:
3961:
3906:
3854:
3808:
3758:
3712:
3651:
3628:
3593:
3573:
3543:
3523:
3470:
3450:
3337:
3286:
3235:
3194:
3128:
3012:
2989:
2920:
2876:
2779:
2698:
2649:
2591:
2557:
2492:
2425:
2396:
2344:
2249:
2208:
2153:
2120:
2068:
2017:
1990:
1855:
1817:
1706:
1686:
1666:
1639:
1590:
1563:
1525:with this written equivalent makes the assumption
1517:
1471:
1451:
1405:
1356:
1308:
1255:
1209:
1153:
1107:
1052:
1031:
1009:
982:
933:
878:
483:
398:
288:
242:
215:
165:
119:
7011:denote the diagonal matrix with entries given by
4059:{\displaystyle \lambda _{1},\dots ,\lambda _{N}.}
2493:{\displaystyle {\tilde {x}}=(x_{1},\dots ,x_{n})}
1518:{\displaystyle \lambda _{1}+\cdots +\lambda _{n}}
1452:{\displaystyle \lambda _{1}+\cdots +\lambda _{n}}
1357:{\displaystyle \lambda _{1}+\cdots +\lambda _{n}}
1309:{\displaystyle \lambda _{1},\dots ,\lambda _{N}.}
8689:
8135:, Sitzungsber. Berl. Math. Ges. 22 (1923), 9–20.
5462:{\displaystyle -{\sqrt {1-t}},\xi {\sqrt {1-t}}}
3855:{\displaystyle \lambda _{1},\dots ,\lambda _{N}}
3759:{\displaystyle \lambda _{1},\dots ,\lambda _{N}}
289:{\displaystyle \lambda _{1},\dots ,\lambda _{N}}
166:{\displaystyle \lambda _{1},\dots ,\lambda _{N}}
8195:Sheela Devadas, Peter J. Haine, Keaton Stubis:
7883:is fixed under conjugation by every element of
1267:depend on the order of the desired eigenvalues
6591:{\displaystyle \Psi (A)(B)=\mathrm {tr} (iAB)}
6356:unitary matrices. Its Lie algebra, denoted by
2787:then the following statements are equivalent:
8219:
7004:{\displaystyle \Lambda \in {\mathcal {H}}(n)}
3338:{\displaystyle {\tilde {x}}_{n}={\tilde {y}}}
3287:{\displaystyle {\tilde {x}}_{1}={\tilde {x}}}
6295:Atiyah–Guillemin–Sternberg convexity theorem
6184:
6170:
5974:
5950:
5201:One may prove that in the following manner.
5047:
5033:
4942:is in the permutation polytope generated by
4162:
4148:
3914:is in the permutation polytope generated by
3515:
3485:
3236:{\displaystyle {\mathcal {K}}_{\tilde {x}},}
2990:{\displaystyle y_{1}+y_{2}\leq x_{1}+x_{2},}
2699:{\displaystyle y_{1}\geq \cdots \geq y_{n},}
2650:{\displaystyle x_{1}\geq \cdots \geq x_{n},}
2345:{\displaystyle \{(1,1,2),(1,2,1),(2,1,1)\},}
2336:
2264:
2257:for instance, is the convex hull of the set
2060:
2036:
1982:
1870:
1640:{\displaystyle d_{1}\geq \cdots \geq d_{N},}
57:Atiyah–Guillemin–Sternberg convexity theorem
8167:The Pythagorean Theorem: I. The finite case
8093:The Pythagorean Theorem: I. The finite case
7925:is diagonal. The only diagonal matrices in
7797:By the Atiyah–Guillemin–Sternberg theorem,
6210:{\displaystyle \{\lambda _{i}\}_{i=1}^{n}.}
5358:{\displaystyle \xi {\sqrt {t}},{\sqrt {t}}}
5073:{\displaystyle \{\lambda _{i}\}_{i=1}^{n},}
4188:{\displaystyle \{\lambda _{i}\}_{i=1}^{n},}
1856:{\displaystyle {\mathcal {K}}_{\tilde {x}}}
1108:{\displaystyle d_{1}\geq \cdots \geq d_{N}}
934:{\displaystyle d_{1}\geq \cdots \geq d_{N}}
8226:
8212:
6396:matrices. One may identify the dual space
4644:
1722:Permutation polytope generated by a vector
801:
677:
609:
568:
523:
519:
7891:
7756:
7416:
7313:
6952:
4256:
2576:
2141:
1953:
1863:is defined as the convex hull of the set
1805:
8516:Group algebra of a locally compact group
6163:is a Hermitian matrix with eigenvalues
8690:
7876:{\displaystyle A\in {\mathcal {H}}(n)}
6860:{\displaystyle U\in {\mathcal {U}}(n)}
6764:{\displaystyle {\mathfrak {u}}(n)^{*}}
6429:{\displaystyle {\mathfrak {u}}(n)^{*}}
51:. A few important generalizations are
8207:
3907:{\displaystyle (d_{1},\ldots ,d_{n})}
2500:by rearranging its coordinates, then
2209:{\displaystyle (x_{1},\dots ,x_{n}).}
1161:be non-increasing, it is possible to
7134:-action i.e. conjugation. Under the
7036:{\displaystyle {\tilde {\lambda }}.}
4967:{\displaystyle {\tilde {\lambda }}.}
4788:{\displaystyle s_{ij}=|u_{ij}|^{2}.}
4369:{\displaystyle {\tilde {\lambda }}.}
3524:{\displaystyle \{1,2,\ldots ,n-1\},}
2397:{\displaystyle (x_{1},\dots ,x_{n})}
2121:{\displaystyle (x_{1},\dots ,x_{n})}
1459:is just notation for the sum of the
1069:Although this theorem requires that
7963:are the ones with diagonal entries
7643:
7616:
7558:
7548:
7532:{\displaystyle {\mathfrak {t}}^{*}}
7518:
7493:
7454:{\displaystyle {\mathfrak {t}}^{*}}
7440:
7393:
6740:
6638:
6503:
6436:with the set of Hermitian matrices
6405:
6385:{\displaystyle {\mathfrak {u}}(n),}
6365:
5799:{\displaystyle (1-t)a_{jj}+ta_{kk}}
5709:{\displaystyle ta_{jj}+(1-t)a_{kk}}
5541:at all diagonal entries other than
3664:Reformulation of Schur–Horn theorem
13:
8038:
8029:
7935:
7859:
7813:
7804:
7777:
7770:-manifold, and the restriction of
7720:
7597:
7589:
7468:
7340:
7278:
7241:
7200:
7174:
7143:
7110:
7088:
7053:
6987:
6979:
6843:
6804:
6782:
6707:
6674:
6613:
6569:
6566:
6541:
6484:
6476:
6445:
6306:
6150:
4508:
4383:
4141:Hermitian matrix with eigenvalues
4010:{\displaystyle d_{1},\dots ,d_{N}}
3809:{\displaystyle d_{1},\dots ,d_{N}}
3713:{\displaystyle d_{1},\dots ,d_{N}}
3212:
2853:
2534:
2510:
2069:{\displaystyle \{1,2,\ldots ,n\}.}
1835:
1256:{\displaystyle d_{1},\dots ,d_{N}}
216:{\displaystyle d_{1},\dots ,d_{N}}
120:{\displaystyle d_{1},\dots ,d_{N}}
39:, characterizes the diagonal of a
14:
8724:
8173:
8159:, Math. Scand. 57 (1985),249–266.
7357:{\displaystyle {\mathcal {U}}(n)}
7295:{\displaystyle {\mathcal {U}}(n)}
7160:{\displaystyle {\mathcal {U}}(n)}
7127:{\displaystyle {\mathcal {U}}(n)}
6821:{\displaystyle {\mathcal {U}}(n)}
6724:{\displaystyle {\mathcal {H}}(n)}
6691:{\displaystyle {\mathcal {U}}(n)}
6462:{\displaystyle {\mathcal {H}}(n)}
6323:{\displaystyle {\mathcal {U}}(n)}
4272:{\displaystyle \mathbb {R} ^{n},}
3138:There exist a sequence of points
2592:{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}.}
250:at the top-left) and eigenvalues
8672:
8671:
8598:Topological quantum field theory
8115:, Math. Scand. 57 (1985),249–266
6870:
6867:the following diagram commutes,
6828:-equivariant map i.e. for every
5980:{\displaystyle \{1,2,\dots ,n\}}
4530:{\displaystyle U\Lambda U^{-1},}
2921:{\displaystyle y_{1}\leq x_{1},}
2154:{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}
7844:is a convex polytope. A matrix
7501:{\displaystyle {\mathfrak {t}}}
7401:{\displaystyle {\mathfrak {t}}}
6289:Symplectic geometry perspective
5224:be a complex number of modulus
4069:Proof of the Schur–Horn theorem
368:
8098:
8082:
8056:
8049:
8032:
7946:
7870:
7864:
7831:
7824:
7807:
7731:
7637:
7628:
7621:
7608:
7602:
7569:
7563:
7553:
7351:
7345:
7289:
7283:
7252:
7211:
7154:
7148:
7121:
7115:
7064:
7024:
6998:
6992:
6944:
6899:
6890:
6854:
6848:
6815:
6809:
6752:
6745:
6718:
6712:
6685:
6679:
6649:
6643:
6624:
6618:
6585:
6573:
6559:
6553:
6550:
6544:
6515:
6508:
6498:
6495:
6489:
6456:
6450:
6417:
6410:
6376:
6370:
6317:
6311:
6269:
6224:
6126:
6120:
6111:
6105:
6093:
6084:
5761:
5749:
5690:
5678:
5138:
5132:
5123:
5117:
5105:
5096:
5010:
4984:
4955:
4926:
4870:
4852:
4772:
4753:
4716:
4700:
4631:
4612:
4465:
4396:be the diagonal matrix having
4357:
4331:
4286:
4228:
4102:
4086:
3953:
3921:
3901:
3869:
3620:
3608:
3445:
3439:
3423:
3417:
3405:
3390:
3359:
3329:
3308:
3278:
3257:
3223:
3180:
3152:
2864:
2844:
2812:
2803:
2545:
2521:
2487:
2455:
2446:
2417:
2391:
2359:
2333:
2315:
2309:
2291:
2285:
2267:
2241:
2223:
2200:
2168:
2115:
2083:
1945:
1940:
1934:
1912:
1906:
1890:
1884:
1873:
1846:
1797:
1752:
1743:
223:(in this order, starting with
1:
8394:Uniform boundedness principle
8122:
6297:in the following manner. Let
4974:This proves Schur's theorem.
4240:{\displaystyle {\tilde {a}},}
1168:We start with the assumption
7898:{\displaystyle \mathbb {T} }
7763:{\displaystyle \mathbb {T} }
7423:{\displaystyle \mathbb {T} }
7320:{\displaystyle \mathbb {T} }
5271:
5019:{\displaystyle {\tilde {a}}}
4935:{\displaystyle {\tilde {a}}}
4891:Birkhoff–von Neumann theorem
4471:{\displaystyle \Rightarrow }
3766:be real numbers. There is a
2426:{\displaystyle {\tilde {y}}}
2216:The permutation polytope of
2132:of the set of all points in
1165:without these assumptions.
66:
7:
6731:by conjugation and acts on
6469:via the linear isomorphism
5616:at all other entries. Then
4990:{\displaystyle \Leftarrow }
4498:may be written in the form
53:Kostant's convexity theorem
10:
8729:
8703:Theorems in linear algebra
8537:Invariant subspace problem
5916:{\displaystyle l\neq j,k.}
4722:{\displaystyle S=(s_{ij})}
4557:is a unitary matrix. Then
4247:thought of as a vector in
4108:{\displaystyle A=(a_{jk})}
3862:if and only if the vector
8667:
8626:
8550:
8529:
8488:
8427:
8369:
8315:
8257:
8250:
7167:-equivariant isomorphism
6349:{\displaystyle n\times n}
5328:be a unitary matrix with
4729:be the matrix defined by
4134:{\displaystyle n\times n}
1364:depend on the assumption
8506:Spectrum of a C*-algebra
8075:
7667:which projects a matrix
7094:{\displaystyle \Lambda }
6156:{\displaystyle \Lambda }
6061:{\displaystyle UAU^{-1}}
5943:be the transposition of
5645:{\displaystyle UAU^{-1}}
4837:doubly stochastic matrix
4389:{\displaystyle \Lambda }
3013:{\displaystyle \ldots ,}
2250:{\displaystyle (1,1,2),}
1571:completely unnecessary:
1163:reformulate this theorem
941:and desired eigenvalues
61:Kirwan convexity theorem
8603:Noncommutative geometry
6775:. Under these actions,
5521:entries, respectively,
5417:entries, respectively,
8659:Tomita–Takesaki theory
8634:Approximation property
8578:Calculus of variations
8198:The Schur-Horn Theorem
8066:
8016:
7957:
7919:
7899:
7877:
7838:
7784:
7764:
7742:
7704:
7681:
7661:
7576:
7533:
7502:
7478:
7477:{\displaystyle \Psi .}
7455:
7424:
7402:
7378:
7358:
7321:
7296:
7263:
7225:
7184:
7183:{\displaystyle \Psi ,}
7161:
7128:
7095:
7075:
7037:
7005:
6966:
6861:
6822:
6789:
6765:
6725:
6692:
6659:
6592:
6528:
6463:
6430:
6386:
6350:
6324:
6279:
6211:
6157:
6136:
6062:
6024:
6001:
5981:
5937:
5917:
5882:
5856:
5855:{\displaystyle a_{ll}}
5826:
5800:
5736:
5710:
5646:
5610:
5590:
5561:
5535:
5515:
5489:
5463:
5411:
5385:
5359:
5322:
5302:
5238:
5218:
5195:
5194:{\displaystyle S_{n}.}
5165:
5145:
5074:
5020:
4991:
4968:
4936:
4907:
4883:
4829:
4809:
4789:
4723:
4679:
4600:
4551:
4531:
4492:
4472:
4449:
4390:
4370:
4338:
4273:
4241:
4209:
4189:
4135:
4109:
4060:
4011:
3963:
3908:
3856:
3810:
3770:with diagonal entries
3760:
3714:
3653:
3630:
3595:
3575:
3574:{\displaystyle S_{n},}
3545:
3525:
3472:
3452:
3339:
3288:
3237:
3196:
3130:
3014:
2991:
2922:
2878:
2789:
2781:
2700:
2651:
2593:
2559:
2494:
2427:
2398:
2346:
2251:
2210:
2155:
2122:
2070:
2019:
1992:
1857:
1819:
1708:
1688:
1668:
1641:
1592:
1565:
1519:
1473:
1453:
1407:
1358:
1310:
1257:
1211:
1155:
1109:
1054:
1033:
1011:
984:
935:
880:
485:
467:
433:
400:
357:
323:
290:
244:
217:
167:
121:
8654:Banach–Mazur distance
8617:Generalized functions
8067:
8017:
7958:
7920:
7900:
7878:
7839:
7785:
7783:{\displaystyle \Phi }
7765:
7743:
7705:
7682:
7662:
7577:
7534:
7503:
7479:
7456:
7425:
7403:
7379:
7359:
7322:
7297:
7264:
7226:
7185:
7162:
7129:
7096:
7076:
7038:
7006:
6967:
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