7266:
6575:
7261:{\displaystyle {\begin{alignedat}{5}{\frac {64}{97}}&=\ \,{\frac {1}{1+{\frac {33}{64}}}}&&\approx {\frac {1}{1}},&{\frac {33}{64}}&=\,{\frac {1}{1+{\frac {31}{33}}}}&&\approx {\frac {1}{1}},\\{\frac {68}{161}}&=\ \,{\frac {1}{2+{\frac {25}{68}}}}&&\approx {\frac {1}{2}},&{\frac {25}{68}}&=\,{\frac {1}{2+{\frac {18}{25}}}}&&\approx {\frac {1}{2}},\\{\frac {168}{551}}&=\ {\frac {1}{3+{\frac {47}{168}}}}&&\approx {\frac {1}{3}},&{\frac {47}{168}}&=\,{\frac {1}{3+{\frac {27}{47}}}}&&\approx {\frac {1}{3}},\\{\frac {692}{2923}}&={\frac {1}{4+{\frac {155}{692}}}}&&\approx {\frac {1}{4}},&{\frac {155}{692}}&={\frac {1}{4+{\frac {72}{155}}}}&&\approx {\frac {1}{4}},\\{\frac {4080}{21153}}&={\frac {1}{5+{\frac {753}{4080}}}}&&\approx {\frac {1}{5}},&\quad {\frac {753}{4080}}&={\frac {1}{5+{\frac {315}{753}}}}&&\approx {\frac {1}{5}}.\end{alignedat}}}
6446:
3029:
5950:
2280:
6441:{\displaystyle {\begin{alignedat}{3}S(1)&=\ \ \,{\frac {97}{452}}&&=\ \ \ {\frac {1}{4+{\frac {64}{97}}}}&&\approx {\frac {1}{4}},\\S(2)&=\ \ {\frac {161}{1356}}&&=\ \ \,{\frac {1}{8+{\frac {68}{161}}}}&&\approx {\frac {1}{8}},\\S(3)&=\ \ {\frac {551}{6780}}&&=\ \,{\frac {1}{12+{\frac {168}{551}}}}&&\approx {\frac {1}{12}},\\S(4)&=\ {\frac {2923}{47460}}&&=\ {\frac {1}{16+{\frac {692}{2923}}}}&&\approx {\frac {1}{16}},\\S(5)&={\frac {21153}{427140}}&&={\frac {1}{20+{\frac {4080}{21153}}}}&&\approx {\frac {1}{20}}.\end{alignedat}}}
3024:{\displaystyle {\begin{aligned}&{\begin{aligned}{\frac {1}{p^{3}-p}}-{\frac {1}{(p+2)^{3}-(p+2)}}&<\left|{\frac {\pi }{4}}-s_{1}(n)\right|<{\frac {1}{p^{3}-p}},\\{\frac {4}{p^{5}+4p}}-{\frac {4}{(p+2)^{5}+4(p+2)}}&<\left|{\frac {\pi }{4}}-s_{2}(n)\right|<{\frac {4}{p^{5}+4p}},\end{aligned}}\\&{\begin{aligned}&{\frac {36}{p^{7}+7p^{5}+28p^{3}-36p}}-{\frac {36}{(p+2)^{7}+7(p+2)^{5}+28(p+2)^{3}-36(p+2)}}\cdots \\&{\phantom {{\frac {4}{p^{5}+4p}}-{\frac {4}{(p+2)^{5}+4(p+2)}}}}<\left|{\frac {\pi }{4}}-s_{3}(n)\right|<{\frac {36}{p^{7}+7p^{5}+28p^{3}-36p}}.\end{aligned}}\end{aligned}}}
1348:
1358:"To the diameter multiplied by 4 alternately add and subtract in order the diameter multiplied by 4 and divided separately by the odd numbers 3, 5, etc. That odd number at which this process ends, four times the diameter should be multiplied by the next even number, halved and divided by one added to that number squared. The result is to be added or subtracted according as the last term was subtracted or added. This gives the circumference more accurately than would be obtained by going on with that process."
1669:
5061:
1679:"A subtler method, with another correction. the first procedure involving division of four times the diameter by the odd numbers, 3, 5, etc. then add or subtract it multiplied by one added to the next even number halved and squared, and divided by one added to four times the preceding multiplier multiplied by the even number halved."
4588:
1843:
811:
5870:
5665:
5394:
1542:
611:
3195:
2174:
7751:
History of
Science, Philosophy and Culture in Indian Civilization General Editor D. P. Chattopadhyaya Volume X Part 4. Cultural Foundations of Mathematics: The Nature of Mathematical Proof and the Transmission of the Calculus from India to Europe in the 16th c.
5056:{\displaystyle {\cfrac {1}{4n+{\cfrac {1^{2}}{n+{\cfrac {2^{2}}{4n+{\cfrac {3^{2}}{n+{\cfrac {\cdots }{\cdots +{\cfrac {r^{2}}{n+\cdots }}}}}}}}}}}}={\cfrac {1}{4n+{\cfrac {2^{2}}{4n+{\cfrac {4^{2}}{4n+{\cfrac {6^{2}}{4n+{\cfrac {8^{2}}{4n+\cdots }}}}}}}}}}}
7621:
5195:
454:
7438:
5678:
In a paper published in 1990, a group of three
Japanese researchers proposed an ingenious method by which Madhava might have obtained the three correction terms. Their proposal was based on two assumptions: Madhava used
4580:
1689:
6580:
655:
2630:
2290:
2285:
5724:
5434:
1342:
an astronomer/mathematician belonging to the Kerala school of astronomy and mathematics and completed in 1501, presents the second correction term in the following verses (Chapter 2: Verses 271–274):
2272:
3294:
1054:
5206:
1389:
489:
3052:
2011:
968:
6564:
4457:
3401:
1918:
6569:
The fractions that were ignored can then be expressed with 1 as numerator, with the fractional parts in the denominators ignored to obtain the next approximation. Two such steps are:
4367:
900:
4327:
4168:
4009:
7487:
4250:
4205:
4091:
4046:
3932:
3887:
3850:
3773:
3691:
3614:
4287:
4128:
3969:
3810:
3728:
3651:
5955:
7904:"Power Series in Fifteenth-Century Kerala", except from Sources in the Development of Mathematics: Infinite Series and Products from the Fifteenth to the Twenty-first Century
8944:
8909:
5910:
5101:
7967:
1995:
1622:
7480:
7340:
6514:
3569:
3532:
3495:
1661:
1323:
1287:
1245:
1209:
1165:
1129:
1093:
5705:
2213:
1953:
1580:
8027:
7301:
5942:
6478:
5426:
5093:
3458:
843:
643:
3428:
3317:
1380:
477:
381:
9096:
8052:
1253:, a major treatise on mathematics and astronomy authored by the Indian astronomer Jyesthadeva of the Kerala school of mathematics around 1530, but that for
9132:
7347:
8646:
7728:
8921:
1838:{\displaystyle {\text{Circumference}}=4d-{\frac {4d}{3}}+{\frac {4d}{5}}-\cdots \pm {\frac {4d}{p}}\mp {\frac {4dm}{\left(1+4m\right)(p+1)/2}},}
4469:
8342:
9076:
8968:
806:{\displaystyle {\frac {\pi }{4}}\approx 1-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{7}}+\cdots +(-1)^{n-1}{\frac {1}{2n-1}}+(-1)^{n}F(n)}
8863:
7951:
352:
9038:
5944:
express them as a fraction with 1 as numerator, and finally ignore the fractional parts in the denominator to obtain approximations:
5865:{\displaystyle S(n)=\left|1-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{7}}+\cdots +{\frac {(-1)^{n-1}}{2n-1}}-{\frac {\pi }{4}}\right|}
9091:
5399:
The first three convergents of this infinite continued fraction are precisely the correction terms of
Madhava. Also, this function
7702:
5660:{\displaystyle f(2n)={\cfrac {1}{4n+{\cfrac {2^{2}}{4n+{\cfrac {4^{2}}{4n+{\cfrac {6^{2}}{4n+{\cfrac {8^{2}}{4n+\cdots }}}}}}}}}}}
7942:
1059:
In the extant writings of the mathematicians of the Kerala school there are some indications regarding how the correction terms
9101:
9043:
7911:
7824:
7784:
7759:
7712:
5389:{\displaystyle f(n)={\frac {1}{2}}\times {\cfrac {1}{n+{\cfrac {1^{2}}{n+{\cfrac {2^{2}}{n+{\cfrac {3^{2}}{n+\cdots }}}}}}}}}
2218:
1537:{\displaystyle =4d-{\frac {4d}{3}}+{\frac {4d}{5}}-\cdots \pm {\frac {4d}{p}}\mp {\frac {4d\left(p+1\right)/2}{1+(p+1)^{2}}}}
3201:
974:
606:{\displaystyle {\frac {\pi }{4}}\approx 1-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{7}}+\cdots +(-1)^{n-1}{\frac {1}{2n-1}}}
3190:{\displaystyle E(n)=\pi -4\left(1-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{7}}+\cdots +(-1)^{n-1}{\frac {1}{2n-1}}\right)}
8616:
2169:{\displaystyle s_{i}=1-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{7}}+\cdots +(-1)^{n-1}{\frac {1}{2n-1}}+(-1)^{n}F_{i}(n)}
9086:
8596:
7777:
Sources in the
Development of Mathematics Infinite Series and Products from the Fifteenth to the Twenty-first Century
97:
7800:
T. Hayashi, T. Kusuba and M. Yano (1990). "The
Correction of the Madhava Series for the Circumference of a Circle".
906:
240:
8335:
331:
8836:
6522:
8047:
4382:
3326:
76:
9071:
8686:
8440:
1851:
4333:
851:
302:
8480:
8359:
8227:
194:
7616:{\displaystyle S(n)\approx {\dfrac {1}{4n+{\dfrac {1}{n+{\dfrac {1}{n}}}}}}={\frac {n^{2}+1}{n(4n^{2}+5)}},}
92:
9137:
9127:
9061:
7754:. New Delhi: Centre for Studies in Civilizations and Dorling Kindersley (India) Pvt Ltd. pp. 173–174.
7703:
K. V. Sarma with explanatory notes in
English by K. Ramasubrahmanyan, M. D. Srinivas, M. S. Sriram (2008).
4293:
4134:
3975:
1167:
has been obtained. This has led to a lot of speculative work on how the formulas might have been derived.
113:
9081:
9066:
8328:
7982:
7935:
7665:
C. T. Rajagopal & M. S. Rangachari (1978). "On an
Untapped Source of Medieval Keralese Mathematics".
4216:
4174:
4057:
4015:
3898:
3856:
3816:
3739:
3657:
3580:
4256:
4097:
3938:
3779:
3697:
3620:
149:
8576:
144:
8586:
5190:{\displaystyle {\frac {\pi }{4}}=1-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}-\cdots \pm {\frac {1}{n}}\mp f(n+1)}
8876:
8742:
8591:
5878:
169:
9002:
8884:
8475:
8237:
8022:
7977:
7640:
348:
164:
1958:
1585:
9023:
8950:
8042:
7928:
7446:
7306:
184:
8763:
6483:
3538:
3501:
3464:
1630:
1292:
1256:
1214:
1178:
1134:
1098:
1062:
118:
8880:
8872:
8374:
8266:
7920:
5682:
2183:
1923:
1550:
355:, that can be used to give a better approximation to the value of the mathematical constant
8962:
8673:
8641:
7274:
5915:
324:
6454:
5402:
5069:
3434:
819:
619:
8:
9028:
8997:
8805:
8791:
8728:
8621:
8566:
8561:
8515:
8465:
8196:
8099:
8032:
8012:
7997:
5712:
1339:
284:
219:
209:
179:
449:{\displaystyle {\frac {\pi }{4}}=1-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{7}}+\cdots }
8530:
8351:
8057:
8017:
7972:
7873:
7865:
7722:
7682:
4460:
3413:
3302:
1365:
462:
174:
9033:
8915:
8735:
8510:
8505:
8379:
8222:
7907:
7885:
P. Rajasekhar (June 2011). "Derivation of remainder term for the Series expansion of
7877:
7820:
7780:
7755:
7708:
7686:
8749:
8631:
8601:
8571:
7857:
7674:
1347:
66:
8714:
8485:
8072:
7433:{\displaystyle S(n)\approx {\frac {1}{4n+{\dfrac {1}{n}}}}={\frac {n}{4n^{2}+1}},}
3299:
The following table gives the values of these errors for a few selected values of
816:
Three different expressions have been attributed to
Madhava as possible values of
189:
8956:
8903:
8831:
8777:
8626:
8495:
317:
294:
263:
246:
224:
8535:
8455:
8927:
8847:
8784:
8707:
8693:
8611:
8606:
8540:
8384:
8232:
8186:
8158:
8152:
8147:
8067:
8062:
7992:
7635:
1334:
364:
204:
8435:
9116:
9007:
8939:
8868:
8770:
8296:
8212:
8134:
8002:
289:
71:
8430:
8394:
8170:
7817:
A Passage to
Infinity Medieval Indian Mathematics from Kerala and Its Impact
1668:
8974:
8812:
8756:
8700:
8520:
8500:
8425:
8175:
8142:
8082:
8037:
4374:
1289:
appears there only as a step in the argument leading to the derivation of
9122:
8980:
8933:
8721:
8667:
8450:
8404:
8278:
8272:
3034:
1249:
214:
199:
154:
128:
20:
7869:
4575:{\displaystyle {\cfrac {1}{4n+{\cfrac {1}{n+{\cfrac {1}{n+\cdots }}}}}}}
1955:, the last term in the right hand side of the above equation reduces to
1582:, the last term in the right hand side of the above equation reduces to
8679:
8636:
8490:
8470:
8445:
8308:
8217:
8111:
7861:
7845:
7678:
1131:
have been obtained, but there are no indications on how the expression
7664:
8798:
8460:
8420:
8320:
8290:
8260:
8191:
8007:
159:
7843:
8581:
8545:
8525:
8302:
8284:
8242:
8077:
7987:
3042:
The errors in using these approximations in computing the value of
8399:
7799:
8647:
Shanti Swarup
Bhatnagar Prize recipients in Mathematical Science
7819:. New Delhi: SAGE Publications India Pvt Ltd. pp. 132–133.
363:) than the partial sum approximation obtained by truncating the
8389:
268:
7950:
4798:
1170:
7889:
as depicted in Yukthibhasa and its modern Interpretation".
7705:
Ganita-Yukti-Bhasha of Jyeshthadeva. Volume I – Mathematics
5670:
8848:
Infinite series expansions for the trigonometric functions
7814:
1362:
In modern notations this can be stated as follows (where
5615:
5596:
5579:
5560:
5543:
5524:
5507:
5488:
5471:
5459:
5352:
5333:
5319:
5300:
5286:
5267:
5253:
5241:
5011:
4992:
4975:
4956:
4939:
4920:
4903:
4884:
4867:
4855:
4771:
4752:
4738:
4726:
4712:
4693:
4676:
4657:
4643:
4624:
4607:
4595:
4543:
4531:
4517:
4505:
4488:
4476:
4375:
Continued fraction expressions for the correction terms
2267:{\displaystyle \left|{\frac {\pi }{4}}-s_{i}(n)\right|}
29:
7707:. New Delhi: Hindustan Book Agency. pp. 201–207.
5618:
5599:
5582:
5563:
5546:
5527:
5510:
5491:
5474:
5462:
5355:
5336:
5322:
5303:
5289:
5270:
5256:
5244:
5014:
4995:
4978:
4959:
4942:
4923:
4906:
4887:
4870:
4858:
4774:
4755:
4741:
4729:
4715:
4696:
4679:
4660:
4646:
4627:
4610:
4598:
4546:
4534:
4520:
4508:
4491:
4479:
3289:{\displaystyle E_{i}(n)=E(n)-4\times (-1)^{n}F_{i}(n)}
1854:
9097:
Ramanujan Institute for Advanced Study in Mathematics
8842:
7536:
7523:
7507:
7490:
7449:
7382:
7350:
7309:
7277:
6578:
6525:
6486:
6457:
5953:
5918:
5881:
5727:
5685:
5437:
5405:
5209:
5104:
5072:
4591:
4472:
4385:
4336:
4296:
4259:
4219:
4177:
4137:
4100:
4060:
4018:
3978:
3941:
3901:
3859:
3819:
3782:
3742:
3700:
3660:
3623:
3583:
3541:
3504:
3467:
3437:
3416:
3329:
3305:
3204:
3055:
3035:
Numerical values of the errors in the computation of
2283:
2221:
2186:
2014:
1961:
1926:
1692:
1663:
in the following verses (Chapter 2: Verses 295–296):
1633:
1588:
1553:
1392:
1368:
1295:
1259:
1217:
1181:
1137:
1101:
1065:
1049:{\displaystyle F_{3}(n)={\frac {n^{2}+1}{4n^{3}+5n}}}
977:
909:
854:
822:
658:
622:
492:
465:
384:
1683:
In modern notations, this can be stated as follows:
7779:. New York: Cambridge University Press. p. 5.
6451:This suggests the following first approximation to
2000:
1627:The same commentary also gives the correction term
7615:
7474:
7432:
7334:
7295:
7260:
6558:
6508:
6472:
6440:
5936:
5904:
5864:
5699:
5659:
5420:
5388:
5189:
5087:
5055:
4574:
4451:
4361:
4321:
4281:
4244:
4199:
4162:
4122:
4085:
4040:
4003:
3963:
3926:
3881:
3844:
3804:
3767:
3722:
3685:
3645:
3608:
3563:
3526:
3489:
3452:
3422:
3395:
3311:
3288:
3189:
3023:
2266:
2207:
2168:
1989:
1947:
1912:
1837:
1655:
1616:
1574:
1536:
1374:
1317:
1281:
1239:
1203:
1159:
1123:
1087:
1048:
962:
894:
837:
805:
637:
605:
471:
448:
4459:are the first three convergents of the following
9114:
645:, we have the following better approximation to
5200:exact can be expressed in the following form:
963:{\displaystyle F_{2}(n)={\frac {n}{4n^{2}+1}}}
8336:
7936:
7884:
7844:C. T. Rajagopal and M. S. Rangachari (1986).
479:terms we have the following approximation to
325:
7727:: CS1 maint: multiple names: authors list (
4379:It has been noted that the correction terms
7660:
7658:
7656:
7271:This yields the next two approximations to
6559:{\displaystyle S(n)\approx {\frac {1}{4n}}}
347:is a mathematical expression attributed to
9133:Kerala school of astronomy and mathematics
8864:Kerala school of astronomy and mathematics
8343:
8329:
7952:Kerala school of astronomy and mathematics
7943:
7929:
7901:
7891:Bulletin of Kerala Mathematics Association
7774:
7748:
4452:{\displaystyle F_{1}(n),F_{2}(n),F_{3}(n)}
3396:{\displaystyle F_{1}(n),F_{2}(n),F_{3}(n)}
1913:{\textstyle m=1+\left((p+1)/2\right)^{2}.}
371:. The Madhava–Leibniz infinite series for
353:Kerala school of astronomy and mathematics
332:
318:
7303:exactly the same as the correction terms
6942:
6806:
6740:
6669:
6603:
6207:
6110:
5983:
1171:Correction terms as given in Kerala texts
9092:Homi Bhabha Centre for Science Education
7653:
4362:{\displaystyle \approx 1\times 10^{-16}}
895:{\displaystyle F_{1}(n)={\frac {1}{4n}}}
616:Denoting the Madhava correction term by
351:(c. 1340 – c. 1425), the founder of the
7698:
7696:
9115:
8350:
7744:
7742:
7740:
7738:
8324:
8293:(Mahishamangalam Sankaran Namputhiri)
7924:
7850:Archive for History of Exact Sciences
7837:
7667:Archive for History of Exact Sciences
7693:
4322:{\displaystyle -3.18\times 10^{-12}}
4163:{\displaystyle -2.38\times 10^{-11}}
4004:{\displaystyle -7.24\times 10^{-10}}
459:Taking the partial sum of the first
8617:Subbayya Sivasankaranarayana Pillai
7735:
4245:{\displaystyle -6.62\times 10^{-3}}
4200:{\displaystyle 5.33\times 10^{-15}}
4086:{\displaystyle -9.90\times 10^{-3}}
4041:{\displaystyle 6.24\times 10^{-13}}
3927:{\displaystyle -1.96\times 10^{-2}}
3882:{\displaystyle 3.06\times 10^{-10}}
3845:{\displaystyle -6.07\times 10^{-8}}
3768:{\displaystyle -4.76\times 10^{-2}}
3686:{\displaystyle -1.51\times 10^{-6}}
3609:{\displaystyle -9.07\times 10^{-2}}
3323:Errors in using the approximations
1675:English translation of the verses:
1354:English translation of the verses:
13:
9077:Institute of Mathematical Sciences
7815:George Ghevarghese Joseph (2009).
7768:
5671:Speculative derivation by Hayashi
4282:{\displaystyle 7.26\times 10^{-8}}
4123:{\displaystyle 2.43\times 10^{-7}}
3964:{\displaystyle 1.88\times 10^{-6}}
3805:{\displaystyle 2.69\times 10^{-5}}
3723:{\displaystyle 2.69\times 10^{-8}}
3646:{\displaystyle 1.86\times 10^{-4}}
14:
9149:
9087:Harish-Chandra Research Institute
8597:K. R. Parthasarathy (probabilist)
8028:Mazhamaṅgalaṃ Nārāyaṇan Naṃpūtiri
7846:"On Medieval Kerala Mathematics"
2001:Accuracy of the correction terms
1667:
1382:is the diameter of the circle):
1346:
7190:
365:Madhava–Leibniz infinite series
9072:Chennai Mathematical Institute
8441:Melpathur Narayana Bhattathiri
7906:. Cambridge University Press.
7808:
7793:
7604:
7582:
7500:
7494:
7466:
7460:
7360:
7354:
7326:
7320:
7287:
7281:
6535:
6529:
6503:
6497:
6467:
6461:
6360:
6354:
6267:
6261:
6170:
6164:
6070:
6064:
5967:
5961:
5928:
5922:
5812:
5802:
5737:
5731:
5450:
5441:
5415:
5409:
5219:
5213:
5184:
5172:
5082:
5076:
4810:
4807:
4791:
4779:
4446:
4440:
4424:
4418:
4402:
4396:
3558:
3552:
3521:
3515:
3484:
3478:
3447:
3441:
3390:
3384:
3368:
3362:
3346:
3340:
3283:
3277:
3258:
3248:
3236:
3230:
3221:
3215:
3146:
3136:
3065:
3059:
2939:
2933:
2893:
2881:
2866:
2853:
2799:
2787:
2772:
2759:
2744:
2731:
2716:
2703:
2578:
2572:
2531:
2519:
2504:
2491:
2411:
2405:
2364:
2352:
2340:
2327:
2256:
2250:
2163:
2157:
2138:
2128:
2089:
2079:
1984:
1978:
1885:
1873:
1818:
1806:
1650:
1644:
1611:
1605:
1522:
1509:
1312:
1306:
1276:
1270:
1234:
1228:
1198:
1192:
1154:
1148:
1118:
1112:
1082:
1076:
994:
988:
926:
920:
871:
865:
832:
826:
800:
794:
782:
772:
733:
723:
632:
626:
567:
557:
1:
7646:
6480:which is the correction term
5905:{\displaystyle \pi =355/113,}
9062:Indian Statistical Institute
8157:Laghuvivṛti (commentary on
5428:has the following property:
1247:are given explicitly in the
7:
9082:Indian Institute of Science
9067:Bhaskaracharya Pratishthana
8945:A. A. Krishnaswamy Ayyangar
8910:Shankar Balakrishna Dikshit
8837:Hindu–Arabic numeral system
8279:Mahodayapuram (Kodungallur)
8068:Śaṅkara Varma of Kaṭattanāṭ
7902:Ranjan Roy (13 June 2011).
7629:
5095:that renders the equation
2274:have the following bounds:
10:
9154:
8577:Subrahmanyan Chandrasekhar
8299:(Nilakantha Somayaji, etc)
8269:(Govinda Bhattathiri, etc)
8228:Madhava's correction terms
1990:{\displaystyle 4dF_{3}(n)}
1617:{\displaystyle 4dF_{2}(n)}
9052:
9016:
8990:
8894:
8856:
8822:
8659:
8587:Veeravalli S. Varadarajan
8554:
8413:
8367:
8358:
8287:(Madhava of Sangamagrama)
8263:(Azhvanchery Thamprakkal)
8251:
8205:
8091:
8053:Śaṅkara of Mahiṣamaṅgalam
7958:
7475:{\displaystyle F_{3}(n),}
7335:{\displaystyle F_{2}(n),}
345:Madhava's correction term
124:Madhava's correction term
9003:Henry Thomas Colebrooke
8592:S. R. Srinivasa Varadhan
8305:(Putumana Somayaji, etc)
8043:Parameśvara of Vațaśśeri
6509:{\displaystyle F_{1}(n)}
3564:{\displaystyle E_{3}(n)}
3527:{\displaystyle E_{2}(n)}
3490:{\displaystyle E_{1}(n)}
3403:to compute the value of
1656:{\displaystyle F_{3}(n)}
1338:, a treatise written by
1330:Yuktidipika–Laghuvivrthi
1318:{\displaystyle F_{2}(n)}
1282:{\displaystyle F_{1}(n)}
1240:{\displaystyle F_{3}(n)}
1204:{\displaystyle F_{2}(n)}
1160:{\displaystyle F_{3}(n)}
1124:{\displaystyle F_{2}(n)}
1088:{\displaystyle F_{1}(n)}
303:Other topics related to
8476:Mādhava of Saṅgamagrāma
8023:Madhava of Sangamagrama
7626:attributed to Madhava.
5700:{\displaystyle 355/113}
1848:where the "multiplier"
349:Madhava of Sangamagrama
8252:Places associated with
8167:Mahābhāskarīya Bhāshya
7617:
7476:
7434:
7336:
7297:
7262:
6560:
6516:talked about earlier.
6510:
6474:
6442:
5938:
5906:
5866:
5701:
5661:
5422:
5390:
5191:
5089:
5057:
4576:
4453:
4363:
4323:
4283:
4246:
4201:
4164:
4124:
4087:
4042:
4005:
3965:
3928:
3883:
3846:
3806:
3769:
3724:
3687:
3647:
3610:
3565:
3528:
3491:
3454:
3424:
3397:
3313:
3290:
3191:
3025:
2268:
2209:
2208:{\displaystyle p=2n+1}
2170:
1991:
1949:
1948:{\displaystyle p=2n-1}
1914:
1839:
1657:
1618:
1576:
1575:{\displaystyle p=2n-1}
1538:
1376:
1319:
1283:
1241:
1205:
1161:
1125:
1089:
1050:
964:
896:
839:
807:
639:
607:
473:
450:
28:mathematical constant
8687:Brāhmasphuṭasiddhānta
8254:members of the school
8164:Madhyamanayanaprakara
8139:Jyotiśśāstra-saṃgraha
8131:Jātaka-sāara-saṃgraha
8128:Grahacāraṇinibandhana
8098:Aryabhatiya-bhashya (
7988:Dāmodara of Vațaśreņi
7978:Azhvāñceri Taṃprākkaḷ
7618:
7477:
7435:
7337:
7298:
7296:{\displaystyle S(n),}
7263:
6561:
6511:
6475:
6443:
5939:
5937:{\displaystyle S(n),}
5907:
5867:
5702:
5662:
5423:
5391:
5192:
5090:
5058:
4577:
4454:
4364:
4324:
4284:
4247:
4202:
4165:
4125:
4088:
4043:
4006:
3966:
3929:
3884:
3847:
3807:
3770:
3725:
3688:
3648:
3611:
3566:
3529:
3492:
3455:
3425:
3398:
3314:
3291:
3192:
3026:
2269:
2210:
2171:
1992:
1950:
1915:
1840:
1658:
1619:
1577:
1539:
1377:
1320:
1284:
1242:
1206:
1162:
1126:
1090:
1051:
965:
897:
840:
808:
640:
608:
474:
451:
77:Use in other formulae
8963:T. A. Saraswati Amma
8674:Bakhshali manuscript
8642:Kannan Soundararajan
8303:Sivapuram (Thrissur)
8238:Madhava's sine table
7641:Madhava's sine table
7488:
7447:
7348:
7307:
7275:
6576:
6523:
6484:
6473:{\displaystyle S(n)}
6455:
5951:
5916:
5879:
5725:
5683:
5435:
5421:{\displaystyle f(n)}
5403:
5207:
5102:
5088:{\displaystyle f(n)}
5070:
4589:
4470:
4383:
4334:
4294:
4257:
4217:
4175:
4135:
4098:
4058:
4016:
3976:
3939:
3899:
3857:
3817:
3780:
3740:
3698:
3658:
3621:
3581:
3539:
3502:
3465:
3453:{\displaystyle E(n)}
3435:
3414:
3327:
3303:
3202:
3053:
2899:
2281:
2219:
2184:
2012:
1959:
1924:
1852:
1690:
1631:
1586:
1551:
1390:
1366:
1293:
1257:
1215:
1179:
1175:The expressions for
1135:
1099:
1063:
975:
907:
852:
838:{\displaystyle F(n)}
820:
656:
638:{\displaystyle F(n)}
620:
490:
463:
382:
21:a series of articles
9138:Mathematical series
9128:History of calculus
9039:Islamic mathematics
8998:Walter Eugene Clark
8792:Vasishtha Siddhanta
8764:Siddhānta Shiromani
8743:Paitamaha Siddhanta
8622:Tilak Raj Prabhakar
8567:Satyendra Nath Bose
8562:Srinivasa Ramanujan
8516:Nilakantha Somayaji
8100:Nīlakaņțha Sōmayāji
8033:Nīlakaņțha Sōmayāji
7998:Govinda Bhattathiri
7775:Ranjan Roy (2011).
7749:C. K. Raju (2007).
5912:compute the values
5713:Euclidean algorithm
5617:
5598:
5581:
5562:
5545:
5526:
5509:
5490:
5473:
5461:
5354:
5335:
5321:
5302:
5288:
5269:
5255:
5243:
5013:
4994:
4977:
4958:
4941:
4922:
4905:
4886:
4869:
4857:
4773:
4754:
4740:
4728:
4714:
4695:
4678:
4659:
4645:
4626:
4609:
4597:
4545:
4533:
4519:
4507:
4490:
4478:
3407:
2815:
1340:Nilakantha Somayaji
285:Squaring the circle
220:Chudnovsky brothers
210:Srinivasa Ramanujan
8531:Gangesha Upadhyaya
8352:Indian mathematics
8018:Kochukrishnan Asan
7961:and mathematicians
7862:10.1007/BF00357622
7838:Additional reading
7679:10.1007/BF00348142
7613:
7553:
7549:
7545:
7472:
7430:
7391:
7332:
7293:
7258:
7256:
6556:
6506:
6470:
6438:
6436:
5934:
5902:
5862:
5697:
5657:
5653:
5648:
5643:
5638:
5633:
5612:
5576:
5540:
5504:
5468:
5418:
5386:
5382:
5377:
5372:
5367:
5349:
5316:
5283:
5250:
5187:
5085:
5053:
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