4165:
3523:
4160:{\displaystyle {\begin{aligned}J_{i}&=\sum _{k=1}^{n}\beta _{k}I_{i}(\alpha _{k})\\&=\sum _{k=1}^{n}\beta _{k}\left(e^{\alpha _{k}}\sum _{j=0}^{np-1}f_{i}^{(j)}(0)-\sum _{j=0}^{np-1}f_{i}^{(j)}(\alpha _{k})\right)\\&=\left(\sum _{j=0}^{np-1}f_{i}^{(j)}(0)\right)\left(\sum _{k=1}^{n}\beta _{k}e^{\alpha _{k}}\right)-\sum _{k=1}^{n}\sum _{j=0}^{np-1}\beta _{k}f_{i}^{(j)}(\alpha _{k})\\&=-\sum _{k=1}^{n}\sum _{j=0}^{np-1}\beta _{k}f_{i}^{(j)}(\alpha _{k})\end{aligned}}}
375:
2631:
2326:
10834:
7306:
with the lexicographic order and by choosing for each factor in the product the term with non-zero coefficient which has maximum exponent according to this ordering: the product of these terms has non-zero coefficient in the expansion and does not get simplified by any other term. This proves Lemma
2233:
9899:
912:
and linear independence is only assured over the rational integers, a result sometimes referred to as
Hermite's theorem. Although that appears to be a special case of the above theorem, the general result can be reduced to this simpler case. Lindemann was the first to allow algebraic numbers into
7915:
4951:
9143:
6165:
2626:{\displaystyle {\begin{aligned}&n_{0}=0,&&\\&n_{i}=\sum \nolimits _{k=1}^{i}m(k),&&i=1,\ldots ,r\\&n=n_{r},&&\\&\alpha _{n_{i-1}+j}=\gamma (i)_{j},&&1\leq i\leq r,\ 1\leq j\leq m(i)\\&\beta _{n_{i-1}+j}=c(i).\end{aligned}}}
1528:
10609:
6893:
2868:
8955:
3218:
10038:
5953:
7709:
1754:
5357:
2022:
9700:
8212:
7716:
11300:
10175:
8354:
4594:
4499:
6713:
3528:
4738:
5617:
732:
5140:
8966:
9689:
7438:
6586:
7081:
6401:
6016:
2708:
5459:
3033:
2927:
3457:
11044:
9266:
7225:
7295:
6966:
10540:
8717:
10614:
5805:
2331:
10829:{\displaystyle {\begin{aligned}\beta (m)=q_{m,1}\alpha (i_{1})+\cdots +q_{m,k}\alpha (i_{k}),&&q_{m,j}={\frac {c_{m,j}}{d_{m,j}}};\qquad c_{m,j},d_{m,j}\in \mathbb {Z} .\end{aligned}}}
7145:
8419:
10476:
10362:
9592:
9196:
8786:
6258:
11445:
8077:
11365:
9381:
4696:
4275:
7983:
6740:
4632:
9437:
9322:
11090:
4218:
2727:
10228:
9542:
8497:
5029:
3512:
10878:
6999:
5522:
5221:
10976:
7443:
We will show that this leads to contradiction and thus prove the theorem. The proof is very similar to that of Lemma B, except that this time the choices are made over the
6480:
2312:
1831:
10601:
10426:
10384:
8808:
1553:
1255:
1167:
829:
763:
654:
618:
8816:
5387:
3319:
10286:
8448:
6621:
5659:
11139:
10257:
1351:
913:
Hermite's work in 1882. Shortly afterwards
Weierstrass obtained the full result, and further simplifications have been made by several mathematicians, most notably by
6008:
4990:
1964:
10938:
4309:
3048:
1790:
10312:
9910:
9492:
6439:
5721:
4335:
2271:
11166:
10905:
6195:
5686:
5486:
5170:
4726:
4367:
4170:
In the last line we assumed that the conclusion of the Lemma is false. In order to complete the proof we need to reach a contradiction. We will do so by estimating
3350:
3281:
3250:
9466:
5816:
4393:
10563:
11385:
11110:
10404:
7300:
So we are in the situation of Lemma A. To reach a contradiction it suffices to see that at least one of the coefficients is non-zero. This is seen by equipping
7571:
1643:
2228:{\displaystyle c(1)\left(e^{\gamma (1)_{1}}+\cdots +e^{\gamma (1)_{m(1)}}\right)+\cdots +c(r)\left(e^{\gamma (r)_{1}}+\cdots +e^{\gamma (r)_{m(r)}}\right)=0}
9894:{\displaystyle Q(x_{11},\ldots ,x_{nd(n)},y_{1},\dots ,y_{n})=\prod \nolimits _{\sigma \in S}\left(x_{1\sigma (1)}y_{1}+\dots +x_{n\sigma (n)}y_{n}\right),}
7910:{\displaystyle Q(x_{11},\dots ,x_{nd(n)},y_{1},\dots ,y_{n})=\prod \nolimits _{\sigma \in S}\left(x_{1\sigma (1)}y_{1}+\dots +x_{n\sigma (n)}y_{n}\right).}
5236:
8085:
537:
11859:
11783:
11174:
10049:
8228:
11996:
4518:
4401:
6626:
11891:
12037:
4946:{\displaystyle J_{i}=-\sum _{j=0}^{np-1}\sum _{t=1}^{r}c(t)\left(f_{i}^{(j)}(\alpha _{n_{t-1}+1})+\cdots +f_{i}^{(j)}(\alpha _{n_{t}})\right).}
8528:) are all integers. Therefore, according to Lemma B, the equality cannot hold, and we are led to a contradiction which completes the proof. ∎
5538:
5227:
9138:{\displaystyle P\left(e^{\alpha (1)},\dots ,e^{\alpha (n)}\right)=\sum b_{i_{1},\dots ,i_{n}}e^{i_{1}\alpha (1)+\cdots +i_{n}\alpha (n)},}
666:
5037:
6160:{\displaystyle |J_{i}|\leq \sum _{k=1}^{n}\left|\beta _{k}\alpha _{k}\right|e^{|\alpha _{k}|}F_{i}\left(\left|\alpha _{k}\right|\right)}
11460:
9600:
7349:
6494:
8222:, for which the corresponding factor vanishes according to our assumption above. Thus, the evaluated polynomial is a sum of the form
7004:
6312:
5461:
appearing in the expansion and using the fact that these algebraic numbers are a complete set of conjugates). So the same is true of
2642:
530:
5392:
2939:
2880:
11638:
3366:
3356:
complex (in this case the integral has to be intended as a contour integral, for example along the straight segment from 0 to
12084:
12049:
11979:
11924:
10981:
9201:
7157:
7230:
6901:
11704:
10481:
7297:
form a complete set of conjugates and, if two terms have conjugate exponents, they are multiplied by the same coefficient.
8650:
8359:
where we already grouped the terms with the same exponent. So in the left-hand side we have distinct values β(1), ..., β(
5729:
5619:
is rational (again by the fundamental theorem of symmetric polynomials) and is a non-zero algebraic integer divisible by
12162:
12147:
7086:
523:
355:
8366:
1845:. Notice that Lemma B itself is already sufficient to deduce the original statement of Lindemann–Weierstrass theorem.
245:
10431:
10317:
9547:
9151:
8741:
6200:
336:
11387:
is a large enough positive integer, we get a non-trivial algebraic relation with rational coefficients connecting
12167:
11390:
8009:
11308:
7993:
is a polynomial with integer coefficients in elementary symmetric polynomials of the above variables, for every
81:
9327:
6888:{\displaystyle P(x_{1},\dots ,x_{N})=\prod _{\sigma \in S_{N}}(b(1)x_{\sigma (1)}+\cdots +b(N)x_{\sigma (N)})}
4641:
4226:
307:
11475:
11455:
A variant of
Lindemann–Weierstrass theorem in which the algebraic numbers are replaced by the transcendental
8516:
By multiplying the equation with an appropriate integer factor, we get an identical equation except that now
7927:
868:
199:
11821:
2863:{\displaystyle f_{i}(x)={\frac {\ell ^{np}(x-\alpha _{1})^{p}\cdots (x-\alpha _{n})^{p}}{(x-\alpha _{i})}},}
97:
4602:
553:
465:
128:
9390:
9275:
118:
11049:
4173:
1196:
809:
This equivalence transforms a linear relation over the algebraic numbers into an algebraic relation over
975:
is a linearly independent set over the rationals, and therefore by the first formulation of the theorem
154:
11971:
11961:
10183:
9497:
8453:
456:
149:
4995:
3465:
954:
939:
631:
365:
11489:; if proven, it would imply both the Gelfond–Schneider theorem and the Lindemann–Weierstrass theorem
10842:
9694:
As seen in the previous section, and with the same notation used there, the value of the polynomial
8950:{\displaystyle P(x_{1},\ldots ,x_{n})=\sum b_{i_{1},\ldots ,i_{n}}x_{1}^{i_{1}}\cdots x_{n}^{i_{n}}}
6971:
5491:
5179:
11839:
11676:
Chalebgwa, Prince Taboka; Morris, Sidney A. (2022). "Sin, Cos, Exp, and Log of
Liouville Numbers".
11486:
10943:
6444:
2276:
1795:
876:
511:
12123:
10568:
10409:
10367:
8791:
1536:
1523:{\displaystyle \left\{J(q_{1}),J'(q_{1}),J''(q_{1}),\ldots ,J(q_{n}),J'(q_{n}),J''(q_{n})\right\}}
1238:
1150:
812:
746:
637:
601:
174:
7470:) is algebraic, so it is a root of an irreducible polynomial with integer coefficients of degree
5365:
3286:
843:
169:
10262:
8424:
6597:
5622:
3213:{\displaystyle I_{i}(s)=e^{s}\sum _{j=0}^{np-1}f_{i}^{(j)}(0)-\sum _{j=0}^{np-1}f_{i}^{(j)}(s),}
11938:
11115:
10233:
10033:{\displaystyle \left(a(1)_{1},\ldots ,a(n)_{d(n)},e^{\alpha (1)},\ldots ,e^{\alpha (n)}\right)}
7227:
accordingly and grouping the terms with the same exponent, we see that the resulting exponents
3253:
189:
12104:
12070:
11626:
5977:
4959:
1933:
123:
12152:
11906:
10910:
4288:
2930:
1762:
1006:
949:
561:
10291:
9471:
6409:
5948:{\displaystyle |I_{i}(\alpha _{k})|\leq |\alpha _{k}|e^{|\alpha _{k}|}F_{i}(|\alpha _{k}|),}
5691:
4314:
2241:
864:
is transcendental (see below). Weierstrass proved the above more general statement in 1885.
12059:
11989:
11144:
10883:
6173:
5664:
5464:
5148:
4704:
4340:
3328:
3259:
3039:
832:
735:
592:
394:
329:
3226:
16:
On algebraic independence of exponentials of linearly independent algebraic numbers over Q
8:
11855:
11835:
11769:
9445:
7704:{\displaystyle x_{11},\dots ,x_{1d(1)},\dots ,x_{n1},\dots ,x_{nd(n)},y_{1},\dots ,y_{n}}
4372:
1842:
1087:
1068:
836:
415:
289:
224:
214:
184:
11749:
10545:
10180:
where we have grouped the exponentials having the same exponent. Here, as proved above,
8363:), each of which is still algebraic (being a sum of algebraic numbers) and coefficients
1749:{\displaystyle a_{1}e^{\alpha _{1}}+a_{2}e^{\alpha _{2}}+\cdots +a_{n}e^{\alpha _{n}}=0}
12076:
12041:
12016:
11883:
11813:
11734:
11677:
11480:
11370:
11095:
10389:
1288:
872:
431:
420:
179:
7532:
Let S be the functions σ which choose one element from each of the sequences (1, ...,
12120:
12101:
12080:
12045:
12027:
12020:
11975:
11920:
11887:
11817:
11738:
9198:
are algebraic numbers which are linearly independent over the rationals, the numbers
8738:
Baker's formulation of the theorem clearly implies the first formulation. Indeed, if
8536:
5352:{\displaystyle f_{i}^{(j)}(\alpha _{n_{t-1}+1})+\cdots +f_{i}^{(j)}(\alpha _{n_{t}})}
4278:
435:
410:
389:
12008:
11934:
11912:
11875:
11805:
11726:
11456:
8207:{\displaystyle Q(a(1)_{1},\dots ,a(n)_{d(n)},e^{\alpha (1)},\dots ,e^{\alpha (n)})}
7328:
6303:
1267:
909:
847:
588:
71:
11943:
Sitzungsberichte der Königlich
Preussischen Akademie der Wissen-schaften zu Berlin
8006:. Each of the latter symmetric polynomials is a rational number when evaluated in
194:
12066:
12055:
12031:
11985:
11965:
11916:
11844:
Sitzungsberichte der Königlich
Preussischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin
11765:
11745:
1277:
was conjectured by Daniel
Bertrand in 1997, and remains an open problem. Writing
896:
661:
596:
322:
299:
268:
251:
229:
11295:{\displaystyle b(1)e^{\beta (1)}+b(2)e^{\beta (2)}+\cdots +b(M)e^{\beta (M)}=0,}
10170:{\displaystyle b(1)e^{\beta (1)}+b(2)e^{\beta (2)}+\cdots +b(M)e^{\beta (M)}=0,}
8349:{\displaystyle b(1)e^{\beta (1)}+b(2)e^{\beta (2)}+\cdots +b(N)e^{\beta (N)}=0,}
6594:
Let us choose a polynomial with integer coefficients which vanishes on all the
4589:{\displaystyle \delta _{i}=\prod _{k\neq i}(\ell \alpha _{i}-\ell \alpha _{k})}
1139:
494:
209:
12012:
4494:{\displaystyle \ell ^{np}(p-1)!\prod _{k\neq i}(\alpha _{i}-\alpha _{k})^{p}.}
12141:
11779:
6708:{\displaystyle \gamma (1),\ldots ,\gamma (n),\gamma (n+1),\ldots ,\gamma (N)}
914:
294:
76:
4634:
the product of its conjugates (which is still non-zero), we would get that
2718:
1122:
1060:
would be algebraic as well, and then by the
Lindemann–Weierstrass theorem
12157:
11700:
5965:
is the polynomial whose coefficients are the absolute values of those of
1271:
918:
489:
219:
204:
159:
133:
25:
4992:
is obtained by dividing a fixed polynomial with integer coefficients by
11879:
11809:
11730:
1927:
12118:
12128:
12109:
11682:
5612:{\displaystyle J_{1}\cdots J_{n}=G(\alpha _{1})\cdots G(\alpha _{n})}
1335:
1036:
is linearly independent over the algebraic numbers and in particular
425:
164:
6268:, which contradicts the previous inequality. This proves Lemma A. ∎
727:{\displaystyle \mathbb {Q} (e^{\alpha _{1}},\dots ,e^{\alpha _{n}})}
374:
8567:≠ 0, which is a contradiction. Lemma A also suffices to prove that
5135:{\displaystyle f_{i}(x)=\sum _{m=0}^{np-1}g_{m}(\alpha _{i})x^{m},}
12099:
1876:
9684:{\displaystyle a(1)e^{\alpha (1)}+\cdots +a(n)e^{\alpha (n)}=0.}
9442:
Now assume that the first formulation of the theorem holds. For
7433:{\displaystyle a(1)e^{\alpha (1)}+\cdots +a(n)e^{\alpha (n)}=0.}
6581:{\displaystyle b(1)e^{\gamma (1)}+\cdots +b(n)e^{\gamma (n)}=0,}
10230:
are rational numbers, not all equal to zero, and each exponent
8726:
is transcendental, since otherwise we would have 1 +
7920:
Since the product is over all the possible choice functions σ,
7076:{\displaystyle x_{\tau (1)}^{h_{1}}\cdots x_{\tau (N)}^{h_{N}}}
6396:{\displaystyle b(1)e^{\gamma (1)}+\cdots +b(n)e^{\gamma (n)}=0}
2703:{\displaystyle \sum _{k=1}^{n}\beta _{k}e^{\alpha _{k}}\neq 0.}
273:
5362:
is a fixed polynomial with rational coefficients evaluated in
1012:
Alternatively, by the second formulation of the theorem, if
11905:
Murty, M. Ram; Rath, Purusottam (2014). "Baker's
Theorem".
11666:
The rest of the proof of the Lemma is analog to that proof.
5172:
is a polynomial (with integer coefficients) independent of
11939:"Zu Lindemann's Abhandlung. "Über die Ludolph'sche Zahl"."
8450:
is maximal in the lexicographic order, the coefficient of
5528:
is a polynomial with rational coefficients independent of
5454:{\displaystyle \alpha _{n_{t-1}+1},\dots ,\alpha _{n_{t}}}
3028:{\displaystyle I_{i}(s)=\int _{0}^{s}e^{s-x}f_{i}(x)\,dx.}
8960:
is a polynomial with rational coefficients, then we have
8788:
are algebraic numbers that are linearly independent over
2922:{\displaystyle \ell \alpha _{1},\ldots ,\ell \alpha _{n}}
1075:
is not algebraic, which means that it is transcendental.
1049:
is transcendental, we prove that it is not algebraic. If
3452:{\displaystyle -e^{s-x}\sum _{j=0}^{np-1}f_{i}^{(j)}(x)}
11637:
Up to a factor, this is the same integral appearing in
11168:
with integer coefficients. By multiplying the relation
11039:{\displaystyle v_{j}={\tfrac {1}{d_{j}}}\alpha (i_{j})}
9261:{\displaystyle i_{1}\alpha (1)+\cdots +i_{n}\alpha (n)}
7478:). Let us denote the distinct roots of this polynomial
7343:) distinct algebraic numbers. Then let us assume that:
7220:{\displaystyle P(e^{\gamma (1)},\dots ,e^{\gamma (N)})}
6968:
by assumption. Since the product is symmetric, for any
1020:
is a set of distinct algebraic numbers, and so the set
983:
is an algebraically independent set; or in other words
943:
34:
10999:
9468:
Baker's formulation is trivial, so let us assume that
7290:{\displaystyle h_{1}\gamma (1)+\dots +h_{N}\gamma (N)}
6961:{\displaystyle (e^{\gamma (1)},\dots ,e^{\gamma (N)})}
6591:
we will derive a contradiction, thus proving Lemma B.
1601:
Lindemann–Weierstrass
Theorem (Baker's reformulation).
1235:-adic numbers that are algebraically independent over
1071:) would be transcendental, a contradiction. Therefore
856:
is transcendental for every non-zero algebraic number
795:
are distinct algebraic numbers, then the exponentials
11393:
11373:
11311:
11177:
11147:
11118:
11098:
11052:
10984:
10946:
10913:
10886:
10845:
10612:
10571:
10548:
10535:{\displaystyle \alpha (i_{1}),\ldots ,\alpha (i_{k})}
10484:
10434:
10412:
10392:
10370:
10320:
10294:
10265:
10236:
10186:
10052:
9913:
9703:
9603:
9550:
9500:
9474:
9448:
9393:
9330:
9278:
9204:
9154:
8969:
8819:
8794:
8744:
8653:
8456:
8427:
8369:
8231:
8088:
8012:
7930:
7719:
7574:
7352:
7233:
7160:
7089:
7007:
6974:
6904:
6743:
6629:
6600:
6497:
6447:
6412:
6315:
6203:
6176:
6019:
5980:
5819:
5732:
5694:
5667:
5625:
5541:
5494:
5467:
5395:
5368:
5239:
5182:
5151:
5040:
4998:
4962:
4741:
4707:
4644:
4605:
4521:
4404:
4375:
4343:
4317:
4291:
4229:
4176:
3526:
3468:
3369:
3331:
3289:
3262:
3229:
3051:
2942:
2883:
2730:
2645:
2329:
2279:
2244:
2025:
1936:
1798:
1765:
1646:
1539:
1354:
1241:
1153:
1078:
A slight variant on the same proof will show that if
815:
805:
are linearly independent over the algebraic numbers.
749:
669:
640:
604:
9324:. So from Baker's formulation of the theorem we get
8733:
8712:{\displaystyle a_{n}e^{n}+\cdots +a_{0}e^{0}\neq 0.}
8559:
are non-zero integers, but by Lemma A we would have
4599:(which is a non-zero algebraic integer) and calling
560:
is a result that is very useful in establishing the
8513:'s (with possible repetitions), which is non-zero.
5800:{\displaystyle |J_{1}\cdots J_{n}|\geq (p-1)!^{n}.}
875:, and all of these would be further generalized by
11754:Comptes rendus de l'Académie des Sciences de Paris
11439:
11379:
11359:
11294:
11160:
11133:
11104:
11084:
11038:
10970:
10932:
10899:
10872:
10828:
10595:
10557:
10534:
10470:
10420:
10398:
10378:
10356:
10306:
10280:
10251:
10222:
10169:
10032:
9893:
9683:
9586:
9536:
9486:
9460:
9431:
9375:
9316:
9260:
9190:
9137:
8949:
8802:
8780:
8711:
8491:
8442:
8413:
8348:
8206:
8071:
7977:
7909:
7703:
7432:
7289:
7219:
7139:
7075:
6993:
6960:
6887:
6707:
6615:
6580:
6474:
6433:
6395:
6252:
6189:
6159:
6002:
5947:
5799:
5715:
5680:
5653:
5611:
5516:
5480:
5453:
5381:
5351:
5215:
5164:
5134:
5023:
4984:
4945:
4720:
4690:
4626:
4588:
4493:
4387:
4361:
4329:
4303:
4269:
4212:
4159:
3506:
3451:
3344:
3313:
3275:
3244:
3212:
3027:
2921:
2862:
2702:
2625:
2306:
2265:
2227:
1958:
1825:
1784:
1748:
1547:
1522:
1249:
1161:
1147:which are algebraic and linearly independent over
823:
757:
726:
648:
612:
11970:, Cambridge Mathematical Library (2nd ed.),
11523:
11521:
9268:are algebraic and they are distinct for distinct
7140:{\displaystyle x_{1}^{h_{1}}\cdots x_{N}^{h_{N}}}
1042:cannot be algebraic and so it is transcendental.
999:is transcendental. (A more elementary proof that
12139:
11504:
11502:
11447:, against the first formulation of the theorem.
8414:{\displaystyle b(1),\dots ,b(N)\in \mathbb {Q} }
1594:
1005:is transcendental is outlined in the article on
11675:
8624:Similarly, Lemma B is sufficient to prove that
11518:
8628:is transcendental, since Lemma B says that if
8531:Note that Lemma A is sufficient to prove that
8214:vanishes because one of the choices is just σ(
7147:have the same coefficient in the expansion of
5974:(this follows directly from the definition of
4728:is a non-zero algebraic integer divisible by (
11999:(1997), "Theta functions and transcendence",
11499:
10471:{\displaystyle \alpha (1),\ldots ,\alpha (n)}
10357:{\displaystyle \alpha (1),\ldots ,\alpha (n)}
9587:{\displaystyle \alpha (1),\ldots ,\alpha (n)}
9191:{\displaystyle \alpha (1),\ldots ,\alpha (n)}
8781:{\displaystyle \alpha (1),\ldots ,\alpha (n)}
8644:are integers not all of which are zero, then
6253:{\displaystyle |J_{1}\cdots J_{n}|\leq C^{p}}
5389:(this is seen by grouping the same powers of
1334:be non-zero algebraic numbers in the complex
772:, Chapter 1, Theorem 1.4), is the following:
531:
330:
12036:, Dover Books on Mathematics, translated by
11092:are algebraic numbers, they form a basis of
8571:is irrational, since otherwise we may write
6723: + 1) = ... =
5228:fundamental theorem of symmetric polynomials
11933:
11527:
11483:; an extension of Gelfond–Schneider theorem
11440:{\displaystyle e^{v_{1}},\cdots ,e^{v_{k}}}
8072:{\displaystyle a(i)_{1},\dots ,a(i)_{d(i)}}
7568:). We form the polynomial in the variables
4512:is large enough because otherwise, putting
924:
899:first proved the simpler theorem where the
887:The theorem is also known variously as the
11854:
11834:
11627:french Proof's Lindemann-Weierstrass (pdf)
11512:
11508:
11360:{\displaystyle e^{N(v_{1}+\cdots +v_{k})}}
538:
524:
337:
323:
11904:
11681:
11540:
10815:
10414:
10372:
9376:{\displaystyle b_{i_{1},\ldots ,i_{n}}=0}
8796:
8407:
4620:
3015:
1541:
1266:An analogue of the theorem involving the
1243:
1155:
817:
751:
671:
642:
606:
12065:
11995:
11611:
10907:be the least common multiple of all the
4691:{\displaystyle \ell ^{p}(p-1)!d_{i}^{p}}
4270:{\displaystyle f_{i}^{(j)}(\alpha _{k})}
964:are direct corollaries of this theorem.
839:of one another gives a rational number.
12026:
11778:
11764:
11744:
11587:
11575:
11564:
11552:
10288:with integer coefficients. Then, since
7978:{\displaystyle x_{i1},\dots ,x_{id(i)}}
5688:'s are algebraic integers divisible by
1215:), . . . , exp
1110:-adic Lindemann–Weierstrass Conjecture.
12140:
11699:
11599:
9594:distinct algebraic numbers such that:
7315:We turn now to prove the theorem: Let
2721:and define the following polynomials:
1090:counterparts are also transcendental.
12119:
12100:
11960:
5176:. The same holds for the derivatives
4627:{\displaystyle d_{i}\in \mathbb {Z} }
1848:
1637:are distinct algebraic numbers, then
1261:
1016:is a non-zero algebraic number, then
971:is a non-zero algebraic number; then
893:Hermite–Lindemann–Weierstrass theorem
769:
564:of numbers. It states the following:
12033:Transcendental and Algebraic Numbers
9432:{\displaystyle (i_{1},\dots ,i_{n})}
9317:{\displaystyle (i_{1},\dots ,i_{n})}
8722:Lemma B also suffices to prove that
7548:)), so that for every 1 ≤
1841:The proof relies on two preliminary
1093:
1082:is a non-zero algebraic number then
882:
11784:"Ueber die Transcendenz der Zahlen
11085:{\displaystyle v_{1},\ldots ,v_{k}}
9790:
9544:be non-zero algebraic numbers, and
7806:
4213:{\displaystyle |J_{1}\cdots J_{n}|}
2375:
13:
11954:
6170:and so by the construction of the
989:is transcendental. In particular,
14:
12179:
12093:
11450:
10223:{\displaystyle b(1),\ldots ,b(M)}
9537:{\displaystyle a(1),\ldots ,a(n)}
8734:Equivalence of the two statements
8492:{\displaystyle e^{|S|\alpha (i)}}
1533:are algebraically dependent over
11750:"Sur la fonction exponentielle."
2877:is a non-zero integer such that
1590:are multiplicatively dependent.
850:. Lindemann proved in 1882 that
373:
12124:"Lindemann-Weierstrass Theorem"
11669:
11631:
11617:
11141:is a linear combination of the
10775:
10478:is not trivial and we can pick
8539:, since otherwise we may write
6715:be all its distinct roots. Let
5024:{\displaystyle (x-\alpha _{i})}
3507:{\displaystyle e^{s-x}f_{i}(x)}
1555:. Then there exist two indices
1306:the conjecture is as follows.
12075:, vol. I (2nd ed.),
11771:Sur la fonction exponentielle.
11605:
11593:
11581:
11569:
11558:
11546:
11533:
11352:
11320:
11278:
11272:
11261:
11255:
11238:
11232:
11221:
11215:
11204:
11198:
11187:
11181:
11128:
11122:
11033:
11020:
10873:{\displaystyle j=1,\ldots ,k,}
10708:
10695:
10664:
10651:
10626:
10620:
10529:
10516:
10501:
10488:
10465:
10459:
10444:
10438:
10351:
10345:
10330:
10324:
10275:
10269:
10246:
10240:
10217:
10211:
10196:
10190:
10153:
10147:
10136:
10130:
10113:
10107:
10096:
10090:
10079:
10073:
10062:
10056:
10043:has an expression of the form
10020:
10014:
9992:
9986:
9970:
9964:
9957:
9950:
9929:
9922:
9868:
9862:
9827:
9821:
9783:
9746:
9740:
9707:
9670:
9664:
9653:
9647:
9630:
9624:
9613:
9607:
9581:
9575:
9560:
9554:
9531:
9525:
9510:
9504:
9426:
9394:
9311:
9279:
9255:
9249:
9224:
9218:
9185:
9179:
9164:
9158:
9127:
9121:
9096:
9090:
9020:
9014:
8992:
8986:
8855:
8823:
8775:
8769:
8754:
8748:
8484:
8478:
8471:
8463:
8437:
8431:
8400:
8394:
8379:
8373:
8332:
8326:
8315:
8309:
8292:
8286:
8275:
8269:
8258:
8252:
8241:
8235:
8201:
8196:
8190:
8168:
8162:
8146:
8140:
8133:
8126:
8105:
8098:
8092:
8064:
8058:
8051:
8044:
8023:
8016:
7970:
7964:
7884:
7878:
7843:
7837:
7799:
7762:
7756:
7723:
7664:
7658:
7611:
7605:
7560:) is an integer between 1 and
7419:
7413:
7402:
7396:
7379:
7373:
7362:
7356:
7284:
7278:
7253:
7247:
7214:
7209:
7203:
7181:
7175:
7164:
7056:
7050:
7022:
7016:
6994:{\displaystyle \tau \in S_{N}}
6955:
6950:
6944:
6922:
6916:
6905:
6882:
6877:
6871:
6860:
6854:
6837:
6831:
6820:
6814:
6808:
6779:
6747:
6702:
6696:
6681:
6669:
6660:
6654:
6639:
6633:
6610:
6604:
6564:
6558:
6547:
6541:
6524:
6518:
6507:
6501:
6422:
6416:
6406:has only the trivial solution
6382:
6376:
6365:
6359:
6342:
6336:
6325:
6319:
6233:
6205:
6115:
6100:
6036:
6021:
5997:
5991:
5939:
5935:
5920:
5916:
5900:
5885:
5875:
5860:
5852:
5848:
5835:
5821:
5781:
5769:
5762:
5734:
5707:
5695:
5638:
5626:
5606:
5593:
5584:
5571:
5517:{\displaystyle G(\alpha _{i})}
5511:
5498:
5346:
5326:
5321:
5315:
5293:
5261:
5256:
5250:
5216:{\displaystyle f_{i}^{(j)}(x)}
5210:
5204:
5199:
5193:
5116:
5103:
5057:
5051:
5018:
4999:
4979:
4973:
4932:
4912:
4907:
4901:
4879:
4847:
4842:
4836:
4818:
4812:
4667:
4655:
4583:
4551:
4479:
4452:
4430:
4418:
4264:
4251:
4246:
4240:
4206:
4178:
4150:
4137:
4132:
4126:
4039:
4026:
4021:
4015:
3875:
3869:
3864:
3858:
3795:
3782:
3777:
3771:
3725:
3719:
3714:
3708:
3602:
3589:
3501:
3495:
3446:
3440:
3435:
3429:
3306:
3300:
3204:
3198:
3193:
3187:
3141:
3135:
3130:
3124:
3068:
3062:
3012:
3006:
2959:
2953:
2851:
2832:
2821:
2801:
2789:
2769:
2747:
2741:
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2607:
2564:
2558:
2507:
2500:
2404:
2398:
2320:To simplify the notation set:
2254:
2248:
2238:has only the trivial solution
2207:
2201:
2194:
2187:
2159:
2152:
2136:
2130:
2106:
2100:
2093:
2086:
2058:
2051:
2035:
2029:
1953:
1947:
1759:has only the trivial solution
1512:
1499:
1485:
1472:
1458:
1445:
1430:
1417:
1403:
1390:
1376:
1363:
721:
675:
1:
11840:"Über die Ludolph'sche Zahl."
11693:
10971:{\displaystyle m=1,\ldots ,M}
7310:
6475:{\displaystyle i=1,\dots ,n.}
2307:{\displaystyle i=1,\dots ,r.}
1826:{\displaystyle i=1,\dots ,n.}
1595:Lindemann–Weierstrass theorem
908:exponents are required to be
569:Lindemann–Weierstrass theorem
558:Lindemann–Weierstrass theorem
474:Lindemann–Weierstrass theorem
11967:Transcendental number theory
11917:10.1007/978-1-4939-0832-5_19
10596:{\displaystyle m=1,\dots ,M}
10421:{\displaystyle \mathbb {C} }
10379:{\displaystyle \mathbb {Q} }
8803:{\displaystyle \mathbb {Q} }
8421:. The sum is nontrivial: if
3517:Consider the following sum:
1548:{\displaystyle \mathbb {Q} }
1250:{\displaystyle \mathbb {Q} }
1162:{\displaystyle \mathbb {Q} }
867:The theorem, along with the
824:{\displaystyle \mathbb {Q} }
758:{\displaystyle \mathbb {Q} }
649:{\displaystyle \mathbb {Q} }
613:{\displaystyle \mathbb {Q} }
554:transcendental number theory
7:
12105:"Hermite-Lindemann Theorem"
11469:
10364:are pairwise distinct, the
10259:is a linear combination of
5382:{\displaystyle \alpha _{i}}
3314:{\displaystyle f_{i}^{(j)}}
2636:Then the statement becomes
1926:be the roots of a non-zero
1624:are algebraic numbers, and
768:An equivalent formulation (
10:
12184:
11972:Cambridge University Press
11643:is a transcendental number
10281:{\displaystyle \alpha (i)}
8443:{\displaystyle \alpha (i)}
6616:{\displaystyle \gamma (k)}
5654:{\displaystyle (p-1)!^{n}}
4395:, in which case it equals
1930:with integer coefficients
937:
860:thereby establishing that
12163:Theorems in number theory
12148:E (mathematical constant)
11774:, Paris: Gauthier-Villars
11476:Gelfond–Schneider theorem
11134:{\displaystyle \beta (m)}
10252:{\displaystyle \beta (m)}
8082:The evaluated polynomial
6260:for a sufficiently large
5810:However one clearly has:
4504:This is not divisible by
940:e (mathematical constant)
889:Hermite–Lindemann theorem
869:Gelfond–Schneider theorem
842:The theorem is named for
831:by using the fact that a
777:An equivalent formulation
632:algebraically independent
129:Madhava's correction term
11493:
8621:≠ 0; but this is false.
8591:are integers) and then ±
6003:{\displaystyle I_{i}(s)}
4985:{\displaystyle f_{i}(x)}
1959:{\displaystyle T_{k}(x)}
1836:
835:whose arguments are all
308:Other topics related to
12013:10.1023/A:1009749608672
10933:{\displaystyle d_{m,j}}
8609:= 0; thus 2 − 1 − 1 = 2
7997:, and in the variables
4304:{\displaystyle j\geq p}
4220:in two different ways.
1785:{\displaystyle a_{i}=0}
1084:sin(α), cos(α), tan(α)
1030:} = {1,
844:Ferdinand von Lindemann
12168:Transcendental numbers
11908:Transcendental Numbers
11441:
11381:
11361:
11296:
11162:
11135:
11106:
11086:
11040:
10972:
10934:
10901:
10874:
10830:
10597:
10559:
10536:
10472:
10422:
10400:
10380:
10358:
10308:
10307:{\displaystyle n>1}
10282:
10253:
10224:
10171:
10034:
9895:
9685:
9588:
9538:
9488:
9487:{\displaystyle n>1}
9462:
9433:
9377:
9318:
9262:
9192:
9139:
8951:
8804:
8782:
8713:
8493:
8444:
8415:
8350:
8208:
8073:
7979:
7911:
7705:
7434:
7291:
7221:
7141:
7077:
6995:
6962:
6889:
6709:
6617:
6582:
6476:
6435:
6434:{\displaystyle b(i)=0}
6397:
6254:
6191:
6161:
6063:
6004:
5949:
5801:
5717:
5716:{\displaystyle (p-1)!}
5682:
5655:
5613:
5518:
5482:
5455:
5383:
5353:
5217:
5166:
5136:
5092:
5025:
4986:
4947:
4808:
4787:
4732: − 1)!. Now
4722:
4692:
4628:
4590:
4495:
4389:
4363:
4331:
4330:{\displaystyle j<p}
4305:
4281:which is divisible by
4271:
4214:
4161:
4105:
4075:
3994:
3964:
3908:
3847:
3760:
3697:
3635:
3568:
3508:
3453:
3418:
3352:. This also holds for
3346:
3315:
3277:
3246:
3214:
3176:
3113:
3029:
2923:
2864:
2704:
2666:
2627:
2308:
2267:
2266:{\displaystyle c(i)=0}
2229:
1960:
1827:
1786:
1750:
1549:
1524:
1287:for the square of the
1251:
1163:
1007:transcendental numbers
825:
759:
728:
650:
614:
363:mathematical constant
33:mathematical constant
12001:The Ramanujan Journal
11868:Mathematische Annalen
11798:Mathematische Annalen
11719:Mathematische Annalen
11541:Murty & Rath 2014
11530:, pp. 1067–1086,
11487:Schanuel's conjecture
11442:
11382:
11362:
11297:
11163:
11161:{\displaystyle v_{j}}
11136:
11107:
11087:
11041:
10973:
10935:
10902:
10900:{\displaystyle d_{j}}
10875:
10831:
10598:
10560:
10537:
10473:
10423:
10401:
10381:
10359:
10309:
10283:
10254:
10225:
10172:
10035:
9896:
9686:
9589:
9539:
9489:
9463:
9434:
9378:
9319:
9263:
9193:
9140:
8952:
8805:
8783:
8714:
8499:is just a product of
8494:
8445:
8416:
8351:
8209:
8074:
7980:
7912:
7706:
7435:
7292:
7222:
7142:
7078:
6996:
6963:
6890:
6710:
6618:
6583:
6477:
6436:
6398:
6255:
6192:
6190:{\displaystyle f_{i}}
6162:
6043:
6005:
5950:
5802:
5718:
5683:
5681:{\displaystyle J_{i}}
5656:
5614:
5519:
5483:
5481:{\displaystyle J_{i}}
5456:
5384:
5354:
5218:
5167:
5165:{\displaystyle g_{m}}
5137:
5063:
5026:
4987:
4948:
4788:
4758:
4723:
4721:{\displaystyle J_{i}}
4693:
4629:
4591:
4496:
4390:
4364:
4362:{\displaystyle j=p-1}
4332:
4306:
4272:
4215:
4162:
4076:
4055:
3965:
3944:
3888:
3818:
3731:
3668:
3615:
3548:
3509:
3454:
3389:
3347:
3345:{\displaystyle f_{i}}
3316:
3278:
3276:{\displaystyle f_{i}}
3247:
3215:
3147:
3084:
3030:
2924:
2865:
2705:
2646:
2628:
2309:
2268:
2230:
1961:
1828:
1787:
1751:
1550:
1525:
1252:
1164:
877:Schanuel's conjecture
826:
760:
729:
651:
615:
512:Schanuel's conjecture
82:Use in other formulae
11459:(or in general, the
11391:
11371:
11309:
11175:
11145:
11116:
11096:
11050:
10982:
10944:
10911:
10884:
10843:
10610:
10569:
10546:
10542:to form a basis for
10482:
10432:
10410:
10390:
10368:
10318:
10292:
10263:
10234:
10184:
10050:
9911:
9701:
9601:
9548:
9498:
9472:
9446:
9391:
9328:
9276:
9202:
9152:
8967:
8817:
8792:
8742:
8651:
8454:
8425:
8367:
8229:
8086:
8010:
7928:
7717:
7572:
7540:(2)), ..., (1, ...,
7350:
7231:
7158:
7087:
7005:
6972:
6902:
6741:
6627:
6598:
6495:
6445:
6410:
6313:
6201:
6174:
6017:
5978:
5817:
5730:
5692:
5665:
5623:
5539:
5492:
5465:
5393:
5366:
5237:
5180:
5149:
5038:
5031:, it is of the form
4996:
4960:
4739:
4705:
4642:
4603:
4519:
4402:
4373:
4341:
4315:
4289:
4227:
4174:
3524:
3466:
3367:
3329:
3287:
3260:
3245:{\displaystyle np-1}
3227:
3049:
3040:integration by parts
2940:
2881:
2728:
2643:
2327:
2277:
2242:
2023:
1934:
1796:
1763:
1644:
1537:
1352:
1239:
1151:
833:symmetric polynomial
813:
747:
736:transcendence degree
667:
660:In other words, the
638:
602:
593:linearly independent
395:Exponential function
356:a series of articles
26:a series of articles
11911:. pp. 95–100.
11614:, pp. 339–350.
11602:, pp. 222–224.
11590:, pp. 216–219.
9461:{\displaystyle n=1}
8946:
8921:
7136:
7111:
7072:
7038:
6290:) are integers and
6276: —
5325:
5260:
5203:
4911:
4846:
4687:
4388:{\displaystyle k=i}
4250:
4136:
4025:
3868:
3781:
3718:
3439:
3310:
3197:
3134:
2979:
2394:
1858: —
1604: —
1314: —
1113: —
780: —
572: —
466:representations of
290:Squaring the circle
225:Chudnovsky brothers
215:Srinivasa Ramanujan
12121:Weisstein, Eric W.
12102:Weisstein, Eric W.
12077:Dover Publications
12042:Dover Publications
11880:10.1007/bf01446522
11810:10.1007/bf01443645
11731:10.1007/bf01443647
11705:"Transcendenz von
11437:
11377:
11357:
11292:
11158:
11131:
11102:
11082:
11036:
11015:
10968:
10930:
10897:
10870:
10826:
10824:
10593:
10558:{\displaystyle V.}
10555:
10532:
10468:
10418:
10396:
10376:
10354:
10304:
10278:
10249:
10220:
10167:
10030:
9891:
9681:
9584:
9534:
9484:
9458:
9429:
9373:
9314:
9258:
9188:
9135:
8947:
8925:
8900:
8800:
8778:
8709:
8489:
8440:
8411:
8346:
8204:
8069:
7975:
7907:
7701:
7430:
7287:
7217:
7137:
7115:
7090:
7073:
7042:
7008:
6991:
6958:
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6807:
6705:
6613:
6578:
6472:
6431:
6393:
6274:
6250:
6187:
6157:
6000:
5945:
5797:
5713:
5678:
5651:
5609:
5514:
5478:
5451:
5379:
5349:
5305:
5240:
5213:
5183:
5162:
5132:
5021:
4982:
4943:
4891:
4826:
4718:
4698:, which is false.
4688:
4673:
4624:
4586:
4550:
4491:
4451:
4385:
4359:
4327:
4301:
4267:
4230:
4210:
4157:
4155:
4116:
4005:
3848:
3761:
3698:
3504:
3462:is a primitive of
3449:
3419:
3342:
3325:-th derivative of
3311:
3290:
3273:
3242:
3210:
3177:
3114:
3025:
2965:
2931:algebraic integers
2919:
2860:
2700:
2623:
2621:
2374:
2304:
2263:
2225:
1956:
1856:
1849:Preliminary lemmas
1823:
1782:
1746:
1602:
1545:
1520:
1312:
1311:Modular conjecture
1262:Modular conjecture
1247:
1202:-adic exponentials
1183: < 1/
1159:
1131:, ..., α
1111:
821:
788:, ..., α
778:
755:
724:
646:
610:
580:, ..., α
570:
180:Ludolph van Ceulen
12086:978-0-486-47189-1
12051:978-0-486-49526-2
11981:978-0-521-39791-9
11926:978-1-4939-0831-8
11555:, pp. 18–24.
11466:) is also known.
11457:Liouville numbers
11380:{\displaystyle N}
11105:{\displaystyle V}
11014:
10770:
10399:{\displaystyle V}
10386:-vector subspace
8598:are the roots of
7329:algebraic numbers
6785:
6731:) = 0.
6486:Proof of Lemma B:
6304:algebraic numbers
6272:
5488:, i.e. it equals
4535:
4436:
4311:and vanishes for
4279:algebraic integer
2855:
2542:
2318:Proof of Lemma A.
1854:
1600:
1310:
1104:
925:Transcendence of
910:rational integers
883:Naming convention
871:, is extended by
800:, ...,
776:
625:, ...,
589:algebraic numbers
568:
548:
547:
411:compound interest
390:Natural logarithm
347:
346:
12175:
12134:
12133:
12115:
12114:
12089:
12067:Jacobson, Nathan
12062:
12023:
11992:
11950:
11930:
11901:
11900:
11899:
11890:, archived from
11863:
11851:
11831:
11830:
11829:
11820:, archived from
11804:(2–3): 216–219,
11793:
11789:
11775:
11761:
11741:
11725:(2–3): 222–224,
11714:
11710:
11688:
11687:
11685:
11673:
11667:
11665:
11642:
11635:
11629:
11625:
11621:
11615:
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