1612:
907:
1607:{\displaystyle {\begin{aligned}0&<\int _{0}^{1}{\frac {x^{4}\left(1-x\right)^{4}}{1+x^{2}}}\,dx\\&=\int _{0}^{1}{\frac {x^{4}-4x^{5}+6x^{6}-4x^{7}+x^{8}}{1+x^{2}}}\,dx&{\text{expansion of terms in the numerator}}\\&=\int _{0}^{1}\left(x^{6}-4x^{5}+5x^{4}-4x^{2}+4-{\frac {4}{1+x^{2}}}\right)\,dx&{\text{ using polynomial long division}}&\\&=\left.\left({\frac {x^{7}}{7}}-{\frac {2x^{6}}{3}}+x^{5}-{\frac {4x^{3}}{3}}+4x-4\arctan {x}\right)\,\right|_{0}^{1}&{\text{definite integration}}\\&={\frac {1}{7}}-{\frac {2}{3}}+1-{\frac {4}{3}}+4-\pi \quad &{\text{with }}\arctan(1)={\frac {\pi }{4}}{\text{ and }}\arctan(0)=0\\&={\frac {22}{7}}-\pi .&{\text{addition}}\end{aligned}}}
5509:
20:
3353:
4667:
5135:
5104:
1914:
2940:
2929:
3634:
4195:
5504:{\displaystyle {\begin{aligned}\int _{0}^{1}x^{k}(1-x)^{\ell }\,dx&={\frac {\ell }{k+1}}\int _{0}^{1}x^{k+1}(1-x)^{\ell -1}\,dx\\&\,\,\,\vdots \\&={\frac {\ell }{k+1}}{\frac {\ell -1}{k+2}}\cdots {\frac {1}{k+\ell }}\int _{0}^{1}x^{k+\ell }\,dx\\&={\frac {1}{(k+\ell +1){\binom {k+\ell }{k}}}}.\qquad (2)\end{aligned}}}
4704:
3932:
1651:
2445:
2219:
3348:{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {1}{2^{2n-2}}}&\int _{0}^{1}{\frac {x^{4n}(1-x)^{4n}}{1+x^{2}}}\,dx\\={}&\sum _{j=0}^{2n-1}{\frac {(-1)^{j}}{2^{2n-j-2}(8n-j-1){\binom {8n-j-2}{4n+j}}}}+(-1)^{n}\left(\pi -4\sum _{j=0}^{3n-1}{\frac {(-1)^{j}}{2j+1}}\right)\end{aligned}}}
6154:
6467:
2626:
2561:
4662:{\displaystyle {\begin{aligned}x^{6n}-(-1)^{3n}&=\sum _{j=1}^{3n}(-1)^{3n-j}x^{2j}-\sum _{j=0}^{3n-1}(-1)^{3n-j}x^{2j}\\&=\sum _{j=0}^{3n-1}\left((-1)^{3n-(j+1)}x^{2(j+1)}-(-1)^{3n-j}x^{2j}\right)\\&=-(1+x^{2})\sum _{j=0}^{3n-1}(-1)^{3n-j}x^{2j},\end{aligned}}}
3379:
641:
4184:
5853:
5099:{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {x^{4n}(1-x)^{4n}}{2^{2n-2}(1+x^{2})}}=\sum _{j=0}^{2n-1}&{\frac {(-1)^{j}}{2^{2n-j-2}}}x^{4n+j}(1-x)^{4n-2j-2}\\&{}-4\sum _{j=0}^{3n-1}(-1)^{3n-j}x^{2j}+(-1)^{3n}{\frac {4}{1+x^{2}}}.\qquad (1)\end{aligned}}}
826:
6588:
6271:
1995:
858:. It is easier than most Putnam Competition problems, but the competition often features seemingly obscure problems that turn out to refer to something very familiar. This integral has also been used in the entrance examinations for the
3680:
5966:
5671:
1909:{\displaystyle {\frac {1}{1260}}=\int _{0}^{1}{\frac {x^{4}\left(1-x\right)^{4}}{2}}\,dx<\int _{0}^{1}{\frac {x^{4}\left(1-x\right)^{4}}{1+x^{2}}}\,dx<\int _{0}^{1}{\frac {x^{4}\left(1-x\right)^{4}}{1}}\,dx={1 \over 630}.}
912:
2290:
2055:
5140:
882:; the denominator is positive and the numerator is a product of nonnegative numbers. One can also easily check that the integrand is strictly positive for at least one point in the range of integration, say at
6011:
4200:
6320:
2924:{\displaystyle {\frac {1}{2^{2n-1}}}\int _{0}^{1}x^{4n}(1-x)^{4n}\,dx<{\frac {1}{2^{2n-2}}}\int _{0}^{1}{\frac {x^{4n}(1-x)^{4n}}{1+x^{2}}}\,dx<{\frac {1}{2^{2n-2}}}\int _{0}^{1}x^{4n}(1-x)^{4n}\,dx,}
3629:{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {1}{2^{2n-1}}}\int _{0}^{1}x^{4n}(1-x)^{4n}\,dx&={\frac {1}{2^{2n-1}(8n+1){\binom {8n}{4n}}}}\\&\sim {\frac {\sqrt {\pi n}}{2^{10n-2}(8n+1)}},\end{aligned}}}
4709:
3685:
3384:
2945:
2462:
2269:
553:
558:
3950:
383:(pi) date back to antiquity. One of these proofs, more recently developed but requiring only elementary techniques from calculus, has attracted attention in modern mathematics due to its
5722:
704:
6478:
3927:{\displaystyle {\begin{aligned}x^{k}(1-x)^{\ell }&=(1-2x+x^{2})x^{k}(1-x)^{\ell -2}\\&=(1+x^{2})\,x^{k}(1-x)^{\ell -2}-2x^{k+1}(1-x)^{\ell -2}.\end{aligned}}}
6165:
1925:
5864:
5534:
7991:
2440:{\displaystyle \int _{0}^{1}{\frac {x^{8}\left(1-x\right)^{8}\left(25+816x^{2}\right)}{6328}}\,dx={\frac {911}{5\,261\,111\,856}}=0.000\,000\,173\ldots ,}
7979:
2214:{\displaystyle 0<\int _{0}^{1}{\frac {x^{8}\left(1-x\right)^{8}\left(25+816x^{2}\right)}{3164\left(1+x^{2}\right)}}\,dx={\frac {355}{113}}-\pi .}
6881:
666:
is an overestimate in the 3rd century BCE, although he may not have been the first to use that approximation. His proof proceeds by showing that
855:
8101:
7986:
6149:{\displaystyle {\frac {1}{16}}\int _{0}^{1}{\frac {x^{12}\left(1-x\right)^{12}}{1+x^{2}}}\,dx={\frac {431\,302\,721}{137\,287\,920}}-\pi }
6462:{\displaystyle {\frac {1}{64}}\int _{0}^{1}{\frac {x^{16}(1-x)^{16}}{1+x^{2}}}\,dx=\pi -{\frac {741\,269\,838\,109}{235\,953\,517\,800}}}
7969:
7964:
7974:
7959:
7073:
7261:
2556:{\displaystyle {\frac {355}{113}}-{\frac {911}{2\,630\,555\,928}}<\pi <{\frac {355}{113}}-{\frac {911}{5\,261\,111\,856}}\,.}
7954:
898:. Since the integrand is continuous at that point and nonnegative elsewhere, the integral from 0 to 1 must be strictly positive.
2227:
636:{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {22}{7}}&=3.{\overline {142\,857}},\\\pi \,&=3.141\,592\,65\ldots \end{aligned}}}
7571:
7325:
7045:
4179:{\displaystyle x^{4n}(1-x)^{4n}=\left(1+x^{2}\right)\sum _{j=0}^{2n-1}(-2)^{j}x^{4n+j}(1-x)^{4n-2(j+1)}+(-2)^{2n}x^{6n}.}
7123:
8069:
7928:
6891:
6862:
6816:
6657:
108:
6649:
251:
7483:
7399:
342:
8064:
7996:
7621:
7476:
7444:
7203:
2613:(in both references, however, no calculations are given). For explicit calculations, consider, for every integer
859:
5848:{\displaystyle {\frac {1}{4}}\int _{0}^{1}{\frac {x^{8}(1-x)^{8}}{1+x^{2}}}\,dx=\pi -{\frac {47\,171}{15\,015}}}
87:
7697:
7674:
7389:
6667:
313:
7787:
7725:
7520:
7394:
7066:
205:
6675:
103:
7273:
7251:
3646:
134:
8081:
7847:
7461:
7283:
821:{\displaystyle 0<\int _{0}^{1}{\frac {x^{4}\left(1-x\right)^{4}}{1+x^{2}}}\,dx={\frac {22}{7}}-\pi .}
160:
7466:
7236:
388:
155:
7885:
7832:
6583:{\displaystyle {\frac {1}{128}}\int _{0}^{1}x^{16}(1-x)^{16}\,dx={\frac {1}{2\,538\,963\,567\,360}},}
524:
7293:
6913:
8001:
7772:
7320:
7059:
1618:
180:
8132:
7767:
7439:
175:
16:
This is the
Mathematical proof related to the constant pi 22/7 calculate the area of the sector c
3639:
where the approximation (the tilde means that the quotient of both sides tends to one for large
7895:
7777:
7598:
7546:
7352:
7330:
7198:
6877:
6266:{\displaystyle {\frac {1}{32}}\int _{0}^{1}x^{12}(1-x)^{12}\,dx={\frac {1}{2\,163\,324\,800}},}
3363:
195:
6641:
1990:{\displaystyle {\frac {22}{7}}-{\frac {1}{630}}<\pi <{\frac {22}{7}}-{\frac {1}{1260}},}
129:
8021:
7880:
7792:
7449:
7384:
7357:
7347:
7268:
7256:
7241:
7213:
6763:
3650:
391:. Stephen Lucas calls this proof "one of the more beautiful results related to approximating
384:
7837:
7456:
7303:
6947:
6826:
6786:
5121:
335:
6955:
6901:
6834:
6794:
8:
7857:
7782:
7669:
7626:
7377:
7362:
7193:
7181:
7168:
7128:
7108:
6848:
6703:
Proposition 3: The ratio of the circumference of any circle to its diameter is less than
295:
230:
220:
190:
6852:
1639:
in the denominator, one gets a lower bound on the integral, and if 0 is substituted for
7946:
7921:
7752:
7705:
7646:
7611:
7606:
7586:
7581:
7576:
7541:
7488:
7471:
7372:
7246:
7231:
7176:
7143:
7025:
7017:
5961:{\displaystyle {\frac {1}{8}}\int _{0}^{1}x^{8}(1-x)^{8}\,dx={\frac {1}{1\,750\,320}},}
5666:{\displaystyle \int _{0}^{1}x^{4n}(1-x)^{4n}\,dx={\frac {1}{(8n+1){\binom {8n}{4n}}}}.}
532:
396:
355:
185:
23:
This is not a perfect 22/7 circle, because 22/7 is not a perfect representation of pi.
8086:
7910:
7842:
7664:
7641:
7515:
7508:
7411:
7226:
7118:
7029:
6978:
6887:
6883:
The
William Lowell Putnam Mathematical Competition: Problems and Solutions: 1965–1984
6858:
6812:
544:
403:
with the result, describing it as "impossible to resist mentioning" in that context.
6939:
8044:
7827:
7740:
7720:
7651:
7561:
7503:
7495:
7429:
7342:
7103:
7098:
7009:
6996:
Backhouse, Nigel (July 1995), "Note 79.36, Pancake functions and approximations to
6951:
6935:
6897:
6830:
6790:
2004:< 3.1421 in decimal expansion. The bounds deviate by less than 0.015% from
77:
200:
8106:
8091:
7875:
7730:
7710:
7679:
7656:
7636:
7530:
7186:
7133:
6943:
6822:
6782:
687:
359:
328:
305:
274:
257:
235:
901:
It remains to show that the integral in fact evaluates to the desired quantity:
8016:
7915:
7762:
7715:
7616:
7419:
215:
7434:
8121:
7890:
7745:
7631:
7335:
7310:
6982:
300:
82:
476:, which is approximately 3.142857. But it takes much less work to show that
7900:
7870:
7735:
7298:
879:
8127:
7148:
7090:
3370:
2027:, the well-known Diophantine approximation and far better upper estimate
225:
210:
165:
139:
31:
19:
2601:
The above ideas can be generalized to get better approximations of
7865:
7797:
7551:
7424:
7288:
7278:
7221:
7021:
5994:, where the bold digits of the lower and upper bound are those of
2589:, where the bold digits of the lower and upper bound are those of
2274:
where the first six digits after the decimal point agree with those of
647:
406:
The purpose of the proof is not primarily to convince its readers that
8059:
7807:
7802:
7113:
2456:
in the denominator, we get twice this value as an upper bound, hence
875:
683:
170:
7013:
8054:
7556:
7082:
871:
854:
The evaluation of this integral was the first problem in the 1968
7905:
7158:
2028:
8074:
7138:
279:
7153:
5676:
Integrating equation (1) from 0 to 1 using equation (2) and
4684:
cancel, and the second equality arises from the index shift
690:
with 96 sides to the diameter of a circle it circumscribes.
7051:
6886:, Washington, DC: The Mathematical Association of America,
6876:
1295:
6811:, Princeton, NJ: Princeton University Press, p. 96,
2264:{\displaystyle {\frac {355}{113}}=3.141\,592\,92\ldots ,}
456:
is approximately 3.14159, then it trivially follows that
6880:; Klosinski, Leonard F.; Larson, Loren C., eds. (1985),
3653:
and shows the fast convergence of the integrals to
865:
378:
40:
4672:
where the first equality holds, because the terms for
6481:
6323:
6168:
6014:
5867:
5725:
5537:
5138:
4707:
4198:
3953:
3683:
3382:
2943:
2629:
2465:
2293:
2230:
2058:
1928:
1654:
910:
707:
556:
6916:, question 41 on page 12 of the mathematics section.
496:by the method used in this proof than to show that
6847:Archimedes (2002) , "Measurement of a circle", in
6764:"Integral proofs that 355/113 >
6582:
6461:
6265:
6148:
5960:
5847:
5665:
5503:
5098:
4661:
4178:
3926:
3628:
3347:
2923:
2555:
2439:
2263:
2213:
1989:
1908:
1606:
820:
646:The approximation has been known since antiquity.
635:
3660:Calculation of these integrals: For all integers
1633:, it is pointed out that if 1 is substituted for
8119:
2015:
1624:
448:; systematic methods of computing the value of
6969:Dalzell, D. P. (1971), "On 22/7 and 355/113",
7067:
5695:, we get the claimed equation involving
5651:
5628:
5475:
5454:
3549:
3526:
3222:
3181:
1645:in the denominator, one gets an upper bound:
336:
698:The proof can be expressed very succinctly:
7046:The problems of the 1968 Putnam competition
2284:in the denominator, we get the lower bound
874:is positive follows from the fact that the
7074:
7060:
6928:Journal of the London Mathematical Society
6846:
343:
329:
8102:Regiomontanus' angle maximization problem
6995:
6570:
6566:
6562:
6558:
6539:
6452:
6448:
6444:
6435:
6431:
6427:
6405:
6253:
6249:
6245:
6226:
6133:
6129:
6120:
6116:
6100:
5948:
5944:
5925:
5838:
5829:
5807:
5591:
5407:
5297:
5296:
5295:
5281:
5190:
3828:
3466:
3055:
2911:
2822:
2709:
2606:
2549:
2542:
2538:
2534:
2496:
2492:
2488:
2427:
2423:
2410:
2406:
2402:
2383:
2251:
2247:
2182:
1883:
1813:
1728:
1414:
1268:
1127:
1000:
789:
622:
618:
607:
587:
7945:
7048:, with this proof listed as question A1.
6755:
18:
7450:Differentiating under the integral sign
6968:
6925:
6775:Australian Mathematical Society Gazette
4698:Application of these two results gives
2934:where the middle integral evaluates to
2009:
1630:
8120:
6857:, Dover Publications, pp. 93–96,
7326:Inverse functions and differentiation
7055:
6806:
6761:
6159:with correction term and error bound
2610:
2024:
866:Details of evaluation of the integral
395:". Julian Havil ends a discussion of
387:and its connections to the theory of
1279: using polynomial long division
358:of the mathematical result that the
1138:expansion of terms in the numerator
531:. It is a convergent in the simple
13:
7124:Free variables and bound variables
6926:Dalzell, D. P. (1944), "On 22/7",
5632:
5458:
3937:Applying this formula recursively
3530:
3185:
14:
8144:
7929:The Method of Mechanical Theorems
7039:
6971:Eureka; the Archimedeans' Journal
6809:Gamma. Exploring Euler's Constant
2566:In decimal expansion, this means
682:is greater than the ratio of the
650:wrote the first known proof that
7484:Partial fractions in integration
7400:Stochastic differential equation
543:, as can be readily seen in the
7622:Jacobian matrix and determinant
7477:Tangent half-angle substitution
7445:Fundamental theorem of calculus
5487:
5082:
3362:. The last sum also appears in
1502:
860:Indian Institutes of Technology
500:is approximately 3.14159.
7698:Arithmetico-geometric sequence
7390:Ordinary differential equation
6989:
6962:
6919:
6907:
6870:
6840:
6800:
6697:
6530:
6517:
6375:
6362:
6217:
6204:
5916:
5903:
5777:
5764:
5622:
5607:
5579:
5566:
5494:
5488:
5448:
5430:
5266:
5253:
5181:
5168:
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1549:
1522:
1516:
1:
7521:Integro-differential equation
7395:Partial differential equation
6940:10.1112/jlms/19.75_part_3.133
6658:Lindemann–Weierstrass theorem
6650:Chronology of computation of
2596:
503:
7081:
6914:2010 IIT Joint Entrance Exam
6748:
6685:
3647:central binomial coefficient
1625:Quick upper and lower bounds
592:
7:
7675:Generalized Stokes' theorem
7462:Integration by substitution
6635:
2016:Proof that 355/113 exceeds
444:is indeed bigger than
10:
8149:
7204:(ε, δ)-definition of limit
6668:List of topics related to
3369:. The correction term and
2049:follows from the relation
389:Diophantine approximations
8097:Proof that 22/7 exceeds π
8034:
8012:
7938:
7886:Gottfried Wilhelm Leibniz
7856:
7833:e (mathematical constant)
7818:
7690:
7597:
7529:
7410:
7212:
7167:
7089:
525:Diophantine approximation
452:exist. If one knows that
135:Madhava's correction term
7848:Stirling's approximation
7321:Implicit differentiation
7269:Rules of differentiation
7002:The Mathematical Gazette
6690:
1619:polynomial long division
693:
314:Other topics related to
8082:Euler–Maclaurin formula
7987:trigonometric functions
7440:Constant of integration
6878:Alexanderson, Gerald L.
6854:The Works of Archimedes
6762:Lucas, Stephen (2005),
8051:Differential geometry
7896:Infinitesimal calculus
7599:Multivariable calculus
7547:Directional derivative
7353:Second derivative test
7331:Logarithmic derivative
7304:General Leibniz's rule
7199:Order of approximation
6934:(75 Part 3): 133–134,
6807:Havil, Julian (2003),
6584:
6463:
6267:
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1608:
822:
637:
39:mathematical constant
24:
7970:logarithmic functions
7965:exponential functions
7881:Generality of algebra
7759:Tests of convergence
7385:Differential equation
7369:Further applications
7358:Extreme value theorem
7348:First derivative test
7242:Differential operator
7214:Differential calculus
6585:
6464:
6268:
6151:
5963:
5850:
5709:are given above. For
5668:
5506:
5101:
4958:
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4581:
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3350:
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2442:
2278:. Substituting 1 for
2266:
2216:
1992:
1911:
1609:
823:
638:
539:. It is greater than
385:mathematical elegance
88:Use in other formulae
22:
8035:Miscellaneous topics
7975:hyperbolic functions
7960:irrational functions
7838:Exponential function
7691:Sequences and series
7457:Integration by parts
6479:
6321:
6307:. The next step for
6166:
6012:
5865:
5723:
5535:
5136:
5122:integration by parts
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1926:
1652:
1435:definite integration
908:
705:
554:
32:a series of articles
8022:List of derivatives
7858:History of calculus
7773:Cauchy condensation
7670:Exterior derivative
7627:Lagrange multiplier
7363:Maximum and minimum
7194:Limit of a sequence
7182:Limit of a function
7129:Graph of a function
7109:Continuous function
6506:
6348:
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2450:substituting 0 for
2308:
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1031:
939:
728:
296:Squaring the circle
231:Chudnovsky brothers
221:Srinivasa Ramanujan
7955:rational functions
7922:Method of Fluxions
7768:Alternating series
7665:Differential forms
7647:Partial derivative
7607:Divergence theorem
7489:Quadratic integral
7257:Leibniz's notation
7247:Mean value theorem
7232:Partial derivative
7177:Indeterminate form
6664:is transcendental)
6642:Approximations of
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5094:
4695:in the first sum.
4659:
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3922:
3651:Stirling's formula
3626:
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2000:hence 3.1412 <
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856:Putnam Competition
818:
714:
633:
631:
545:decimal expansions
533:continued fraction
399:approximations of
397:continued fraction
186:Ludolph van Ceulen
25:
8115:
8114:
8041:Complex calculus
8030:
8029:
7911:Law of Continuity
7843:Natural logarithm
7828:Bernoulli numbers
7819:Special functions
7778:Direct comparison
7642:Multiple integral
7516:Integral equation
7412:Integral calculus
7343:Stationary points
7317:Other techniques
7262:Newton's notation
7227:Second derivative
7119:Finite difference
6722:but greater than
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569:
547:of these values:
523:is a widely used
353:
352:
8140:
8045:Contour integral
7943:
7942:
7793:Limit comparison
7702:Types of series
7661:Advanced topics
7652:Surface integral
7496:Trapezoidal rule
7435:Basic properties
7430:Riemann integral
7378:Taylor's theorem
7104:Concave function
7099:Binomial theorem
7076:
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6016:
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5998:. Similarly for
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5715:
5708:
5702:The results for
5698:
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5693:
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