8577:
8029:
9546:
8572:{\displaystyle {\begin{aligned}&{\textbf {RHom}}(i^{*}\mathbf {L} _{\mathbb {A} ^{n}/{\text{Spec}}(k)},{\mathcal {O}}_{X_{0}})\leftarrow {\textbf {RHom}}(\mathbf {L} _{X_{0}/{\text{Spec}}(k)},{\mathcal {O}}_{X_{0}})\leftarrow {\textbf {RHom}}(\mathbf {L} _{X_{0}/\mathbb {A} ^{n}},{\mathcal {O}}_{X_{0}})\\\leftarrow &{\textbf {RHom}}(i^{*}\mathbf {L} _{\mathbb {A} ^{n}/{\text{Spec}}(k)},{\mathcal {O}}_{X_{0}})\leftarrow {\textbf {RHom}}(\mathbf {L} _{X_{0}/{\text{Spec}}(k)},{\mathcal {O}}_{X_{0}})\leftarrow {\textbf {RHom}}(\mathbf {L} _{X_{0}/\mathbb {A} ^{n}},{\mathcal {O}}_{X_{0}})\end{aligned}}}
3106:
9100:
5247:
2395:
2744:
9541:{\displaystyle {\begin{aligned}{\textbf {RHom}}(\mathbf {L} _{X_{0}/\mathbb {A} ^{n}},{\mathcal {O}}_{X_{0}})\cong &{\textbf {RHom}}({\mathcal {I}}/{\mathcal {I}}^{2},{\mathcal {O}}_{X_{0}})\\\cong &{\textbf {RHom}}({\mathcal {I}}/{\mathcal {I}}^{2},{\mathcal {O}}_{X_{0}})\\\cong &{\text{Ext}}^{0}({\mathcal {I}}/{\mathcal {I}}^{2},{\mathcal {O}}_{X_{0}})\\\cong &{\text{Hom}}({\mathcal {I}}/{\mathcal {I}}^{2},{\mathcal {O}}_{X_{0}})\\\cong &{\mathcal {O}}_{X_{0}}\end{aligned}}}
4895:
2060:
4306:
3101:{\displaystyle {\begin{aligned}\varepsilon b_{\alpha \beta }(f_{\beta \gamma }(z_{\gamma })+\varepsilon b_{\beta \gamma }(z_{\gamma }))=&\varepsilon b_{\alpha \beta }(f_{\beta \gamma }(z_{\gamma }))+\varepsilon ^{2}{\frac {\partial b_{\alpha \beta }}{\partial z_{\alpha }}}(z_{\alpha })b_{\beta _{\gamma }}(z_{\gamma })\\=&\varepsilon b_{\alpha \beta }(f_{\beta \gamma }(z_{\gamma }))\\=&\varepsilon b_{\alpha \beta }(z_{\beta })\end{aligned}}}
2733:
4736:
5242:{\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{\alpha =0}^{n}{\frac {\partial f_{ik}^{\alpha }(z_{k},t)}{\partial t}}{\frac {\partial }{\partial z_{i}^{\alpha }}}=&\sum _{\alpha =0}^{n}{\frac {\partial f_{ij}^{\alpha }(z_{j},t)}{\partial t}}{\frac {\partial }{\partial z_{i}^{\alpha }}}\\&+\sum _{\beta =0}^{n}{\frac {\partial f_{jk}^{\beta }(z_{k},t)}{\partial t}}{\frac {\partial }{\partial z_{j}^{\beta }}}\\\end{aligned}}}
7672:
2390:{\displaystyle {\begin{aligned}{\tilde {f}}_{\alpha \gamma }(z_{\gamma },\varepsilon )=&{\tilde {f}}_{\alpha \beta }({\tilde {f}}_{\beta \gamma }(z_{\gamma },\varepsilon ),\varepsilon )\\=&f_{\alpha \beta }(f_{\beta \gamma }(z_{\gamma })+\varepsilon b_{\beta \gamma }(z_{\gamma }))\\&+\varepsilon b_{\alpha \beta }(f_{\beta \gamma }(z_{\gamma })+\varepsilon b_{\beta \gamma }(z_{\gamma }))\end{aligned}}}
3987:
6369:
2485:
4467:
7464:
10290:
4884:
4301:{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial f_{ik}^{\alpha }(z_{k},t)}{\partial t}}&={\frac {\partial f_{ij}^{\alpha }(z_{j},t)}{\partial t}}+\sum _{\beta =0}^{n}{\frac {\partial f_{ij}^{\alpha }(z_{j},t)}{\partial f_{jk}^{\beta }(z_{k},t)}}\cdot {\frac {\partial f_{jk}^{\beta }(z_{k},t)}{\partial t}}\\\end{aligned}}}
10031:
8770:
1688:
6130:
2728:{\displaystyle {\begin{aligned}f_{\alpha \beta }(f_{\beta \gamma }(z_{\gamma })+\varepsilon b_{\beta \gamma }(z_{\gamma }))=&f_{\alpha \beta }(f_{\beta \gamma }(z_{\gamma }))+\varepsilon {\frac {\partial f_{\alpha \beta }}{\partial z_{\alpha }}}(z_{\alpha })b_{\beta _{\gamma }}(z_{\gamma })\\\end{aligned}}}
7954:
4731:{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial f_{ik}^{\alpha }(z_{k},t)}{\partial t}}&={\frac {\partial f_{ij}^{\alpha }(z_{j},t)}{\partial t}}+\sum _{\beta =0}^{n}{\frac {\partial z_{i}^{\alpha }}{\partial z_{j}^{\beta }}}\cdot {\frac {\partial f_{jk}^{\beta }(z_{k},t)}{\partial t}}\\\end{aligned}}}
9791:
5761:
1986:
3698:
One of the original constructions of this map used vector fields in the settings of differential geometry and complex analysis. Given the notation above, the transition from a deformation to the cocycle condition is transparent over a small base of dimension one, so there is only one parameter
9653:
5474:
7667:{\displaystyle {\begin{aligned}\phi _{1}{\frac {\partial }{\partial a_{1}}}+\phi _{2}{\frac {\partial }{\partial a_{2}}}\mapsto &\phi _{1}{\frac {\partial F}{\partial a_{1}}}+\phi _{2}{\frac {\partial F}{\partial a_{2}}}\\&=\phi _{1}+\phi _{2}\cdot x\end{aligned}}}
5891:
3266:
10083:
3594:
6115:
4747:
8876:
8998:
3899:
6364:{\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {R} {\text{Hom}}(\Omega _{X}^{1},{\mathcal {O}}_{X})&\cong \mathbf {R} {\text{Hom}}({\mathcal {O}}_{X},T_{X})\\&\cong {\text{Ext}}^{1}({\mathcal {O}}_{X},T_{X})\\&\cong H^{1}(X,T_{X})\end{aligned}}}
9857:
8588:
1586:
1516:
6711:
7793:
9092:
3492:
7409:
9661:
10556:
5663:
3418:
1850:
6979:
10374:
7745:
3329:
919:
1787:
1413:
1179:
6858:
6533:
5342:
2477:
9554:
7172:
3164:
1842:
1338:
5353:
251:
7291:
8021:
5772:
4459:
1575:
1066:
Because deformation theory has been extended to multiple other contexts, such as deformations in scheme theory, or ringed topoi, there are constructions of the
Kodaira–Spencer map for these contexts.
5950:
4384:
537:
3172:
10285:{\displaystyle {\text{Ext}}^{1}(\mathbf {L} _{X_{0}/k},{\mathcal {O}}_{X_{0}})\cong {\frac {k}{\left(f,{\frac {\partial f}{\partial x_{1}}},\ldots ,{\frac {\partial f}{\partial x_{n}}}\right)}}}
9105:
8034:
7469:
6135:
4900:
4472:
3992:
2749:
2490:
2065:
4879:{\displaystyle {\frac {\partial }{\partial z_{j}^{\beta }}}=\sum _{\alpha =1}^{n}{\frac {\partial z_{i}^{\alpha }}{\partial z_{j}^{\beta }}}\cdot {\frac {\partial }{\partial z_{i}^{\alpha }}}}
375:
7040:
3500:
6022:
5983:
10461:
8778:
7342:
2028:
781:
742:
3959:
6590:
8881:
8775:
from general theory of derived categories, and the ext group classifies the first-order deformations. Then, through a series of reductions, this group can be computed. First, since
9846:
3725:
822:
10075:
10026:{\displaystyle {\frac {(f)}{(f)^{2}}}\xrightarrow {\mapsto dg\otimes 1} \Omega _{\mathbb {A} ^{n}}^{1}\otimes {\mathcal {O}}_{X_{0}}\to \Omega _{X_{0}/{\text{Spec}}(k)}^{1}\to 0}
8765:{\displaystyle {\textbf {RHom}}(\mathbf {L} _{X_{0}/{\text{Spec}}(k)},{\mathcal {O}}_{X_{0}})\cong {\text{Ext}}^{1}(\mathbf {L} _{X_{0}/{\text{Spec}}(k)},{\mathcal {O}}_{X_{0}})}
1683:{\displaystyle {\begin{matrix}X&\to &{\mathfrak {X}}\\\downarrow &&\downarrow \\{\text{Spec}}(\mathbb {C} )&\to &{\text{Spec}}(\mathbb {C} )\end{matrix}}}
778:
441:
6014:
5578:
3688:
3627:
5617:
7456:
2052:
10582:
6434:
653:
7089:
297:
5507:
1722:
1421:
1224:
6604:
7949:{\displaystyle i^{*}\mathbf {L} _{\mathbb {A} ^{n}/{\text{Spec}}(k)}\to \mathbf {L} _{X_{0}/{\text{Spec}}(k)}\to \mathbf {L} _{X_{0}/\mathbb {A} ^{n}}\xrightarrow {} }
6759:
6404:
10877:
5647:
1000:
163:
1032:
946:
564:
133:
9003:
3423:
847:
7785:
7765:
3979:
3717:
1282:
1262:
1107:
1087:
1056:
970:
604:
584:
395:
106:
9786:{\displaystyle {\text{Hom}}_{{\mathcal {O}}_{X_{0}}}({\mathcal {I}}\otimes _{{\mathcal {O}}_{\mathbb {A} ^{n}}}{\mathcal {O}}_{X_{0}},{\mathcal {O}}_{X_{0}})}
7350:
5756:{\displaystyle {\begin{matrix}X&\to &{\mathfrak {X}}\\\downarrow &&\downarrow \\{\text{Spec}}(k)&\to &{\text{Spec}}(k)\end{matrix}}}
10469:
1981:{\displaystyle z_{\alpha }={\tilde {f}}_{\alpha \beta }(z_{\beta },\varepsilon )=f_{\alpha \beta }(z_{\beta })+\varepsilon b_{\alpha \beta }(z_{\beta })}
56:
3342:
1264:
the construction of the
Kodaira–Spencer map can be done using an infinitesimal interpretation of the cocycle condition. If we have a complex manifold
6880:
606:
with values in its tangent bundle. Since the base can be assumed to be a polydisk, this process gives a map between the tangent space of the base to
4741:
With a change of coordinates of the part of the previous holomorphic vector field having these partial derivatives as the coefficients, we can write
10298:
7685:
3272:
10717:
852:
10801:
Talpo, Mattia; Vistoli, Angelo (2011-01-30). "Deformation theory from the point of view of fibered categories". pp. 25, exercise 3.25.
1731:
1343:
1112:
9648:{\displaystyle {\mathcal {I}}/{\mathcal {I}}^{2}\cong {\mathcal {I}}\otimes _{{\mathcal {O}}_{\mathbb {A} ^{n}}}{\mathcal {O}}_{X_{0}}}
6764:
6439:
5469:{\displaystyle \theta _{ij}(t)={\frac {\partial f_{ij}^{\alpha }(z_{j},t)}{\partial t}}{\frac {\partial }{\partial z_{i}^{\alpha }}}}
5258:
7097:
6874:
3114:
1792:
1287:
5886:{\displaystyle 0\to \pi ^{*}\Omega _{{\text{Spec}}(k)}^{1}\to \Omega _{\mathfrak {X}}^{1}\to \Omega _{{\mathfrak {X}}/S}^{1}\to 0}
168:
7180:
2403:
7962:
4389:
3261:{\displaystyle b_{\alpha \gamma }={\frac {\partial f_{\alpha \beta }}{\partial z_{\beta }}}b_{\beta \gamma }+b_{\alpha \beta }}
1521:
10735:
5899:
10861:
10785:
10645:
4314:
446:
88:
The
Kodaira–Spencer map was originally constructed in the setting of complex manifolds. Given a complex analytic manifold
10688:. Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, Arbarello,E. Et al: Algebraic Curves I, II. Springer. pp. 172–174.
3589:{\displaystyle \theta _{\alpha \beta }=\sum _{i=1}^{n}b_{\alpha \beta }^{i}{\frac {\partial }{\partial z_{\alpha }^{i}}}}
10036:(which is a truncated version of the fundamental triangle) the connecting map of the long exact sequence is the dual of
6110:{\displaystyle 0\to {\mathcal {O}}_{X}\to \Omega _{\mathfrak {X}}^{1}\otimes {\mathcal {O}}_{X}\to \Omega _{X}^{1}\to 0}
302:
6987:
10833:
10693:
10672:
The main difference between a complex manifold and a complex space is that the latter is allowed to have a nilpotent.
8871:{\displaystyle \mathbf {L} _{\mathbb {A} ^{n}/{\text{Spec}}(k)}\cong \Omega _{\mathbb {A} ^{n}/{\text{Spec}}(k)}^{1}}
5955:
5766:
have a
Kodaira-Spencer class constructed cohomologically. Associated to this deformation is the short exact sequence
10382:
7296:
1994:
673:
8993:{\displaystyle {\textbf {RHom}}(i^{*}\mathbf {L} _{\mathbb {A} ^{n}/{\text{Spec}}(k)},{\mathcal {O}}_{X_{0}})=0}
3907:
6761:). If the two maps in the composition are smooth maps of schemes, then this class coincides with the class in
6556:
6873:
The
Kodaira–Spencer map when considering analytic germs is easily computable using the tangent cohomology in
3894:{\displaystyle f_{ik}^{\alpha }(z_{k},t)=f_{ij}^{\alpha }(f_{kj}^{1}(z_{k},t),\ldots ,f_{kj}^{n}(z_{k},t),t)}
790:
10893:
10039:
753:
400:
5988:
5512:
3632:
3602:
10587:
5583:
7417:
10577:
9796:
2033:
1511:{\displaystyle f_{\beta \alpha }:U_{\beta }|_{U_{\alpha \beta }}\to U_{\alpha }|_{U_{\alpha \beta }}}
849:
is the connecting homomorphism obtained by taking a long exact cohomology sequence of the surjection
10710:
6409:
609:
10629:
7048:
6706:{\displaystyle f^{*}\mathbf {L} _{Y/Z}\to \mathbf {L} _{X/Z}\to \mathbf {L} _{X/Y}\xrightarrow {} }
256:
5482:
1696:
1728:
and the vertical maps are flat, the deformation has the cohomological interpretation as cocycles
1184:
6596:
253:
gluing the charts together, the idea of deformation theory is to replace these transition maps
6719:
6377:
10621:
9087:{\displaystyle \mathbf {L} _{X_{0}/\mathbb {A} ^{n}}\cong {\mathcal {I}}/{\mathcal {I}}^{2}}
5622:
3487:{\displaystyle {\tilde {f}}_{\alpha \beta }=f_{\alpha \beta }+\varepsilon b_{\alpha \beta }}
975:
138:
10871:
1725:
1005:
924:
542:
111:
41:
586:. Then, these functions must also satisfy a cocycle condition, which gives a 1-cocycle on
8:
10622:
6374:
generalizing the
Kodaira–Spencer map. Notice this could be generalized to any smooth map
64:
829:
10802:
10567:
7770:
7750:
7404:{\displaystyle {\frac {\partial }{\partial a_{1}}},{\frac {\partial }{\partial a_{2}}}}
6121:
3964:
3702:
1267:
1247:
1092:
1072:
1041:
955:
589:
569:
380:
91:
37:
10857:
10829:
10821:
10781:
10689:
10641:
10572:
6544:
3339:
The cocycle of the deformation can easily be converted to a cocycle of vector fields
33:
29:
10551:{\displaystyle g\in {\text{Ext}}^{1}(\mathbf {L} _{X_{0}/k},{\mathcal {O}}_{X_{0}})}
10852:, Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften , vol. 283, Berlin, New York:
10843:
10773:
10744:
10633:
10592:
4889:
Hence we can write up the equation above as the following equation of vector fields
60:
45:
25:
6716:
and this boundary map forms the
Kodaira–Spencer map (or cohomology class, denoted
6543:
One of the most abstract constructions of the
Kodaira–Spencer maps comes from the
3413:{\displaystyle \theta =\{\theta _{\alpha \beta }\}\in C^{1}({\mathcal {U}},T_{X})}
10867:
10853:
10847:
10683:
10777:
10295:
Note this computation can be done by using the cotangent sequence and computing
6974:{\displaystyle f(z_{1},\ldots ,z_{n})\in \mathbb {C} \{z_{1},\ldots ,z_{n}\}=H}
10887:
785:
52:
10369:{\displaystyle {\text{Ext}}^{1}(\Omega _{X_{0}}^{1},{\mathcal {O}}_{X_{0}})}
10772:. Encyclopaedia of Mathematical Sciences. Vol. 10. pp. 138, 130.
7740:{\displaystyle i:X_{0}\hookrightarrow \mathbb {A} ^{n}\to {\text{Spec}}(k)}
6548:
3324:{\displaystyle f_{\alpha \gamma }=f_{\alpha \beta }\circ f_{\beta \gamma }}
68:
10597:
6877:
and its versal deformations. For example, given the germ of a polynomial
17:
914:{\displaystyle T{\mathcal {M}}|_{M}\to T_{0}B\otimes {\mathcal {O}}_{M}}
7677:
1782:{\displaystyle {\tilde {f}}_{\alpha \beta }(z_{\beta },\varepsilon )}
1408:{\displaystyle z_{\alpha }=(z_{\alpha }^{1},\ldots ,z_{\alpha }^{n})}
10637:
9898:
7931:
6688:
6567:
10737:
Complexe cotangent ; application a la theorie des deformations
10807:
1174:{\displaystyle {\mathcal {X}}\to S=\operatorname {Spec} (k/t^{2})}
2030:
satisfy the cocycle condition, then they glue to the deformation
6853:{\displaystyle H^{1}(X,T_{X/Y}\otimes f^{*}(\Omega _{Y/Z}^{1}))}
6528:{\displaystyle H^{1}(X,T_{X/Y}\otimes f^{*}(\Omega _{Y/Z}^{1}))}
5337:{\displaystyle \theta _{ik}(t)=\theta _{ij}(t)+\theta _{jk}(t)}
3599:
which is a 1-cochain. Then the rule for the transition maps of
1109:, there is a natural bijection between isomorphisms classes of
7167:{\displaystyle T^{1}={\frac {\mathbb {C} \{x,y\}}{(y,x^{2})}}}
566:
deform the complex structure of the original complex manifold
10583:
characteristic linear system of an algebraic family of curves
3159:{\displaystyle U_{\alpha }\times {\text{Spec}}(\mathbb {C} )}
1837:{\displaystyle U_{\alpha }\times {\text{Spec}}(\mathbb {C} )}
1333:{\displaystyle {\mathcal {U}}=\{U_{\alpha }\}_{\alpha \in I}}
10878:
Mathoverflow post relating deformations to the jacobian ring
246:{\displaystyle z_{k}\to z_{j}=(z_{j}^{1},\ldots ,z_{j}^{n})}
9851:
giving the desired isomorphism. From the cotangent sequence
7286:{\displaystyle F(x,y,a_{1},a_{2})=y^{2}-x^{3}+a_{1}+a_{2}x}
1580:
Recall that a deformation is given by a commutative diagram
10681:
3334:
2472:{\displaystyle g(a+b\varepsilon )=g(a)+\varepsilon g'(a)b}
8016:{\displaystyle \mathbf {RHom} (-,{\mathcal {O}}_{X_{0}})}
4454:{\displaystyle z_{i}^{\alpha }=f_{ij}^{\alpha }(z_{j},t)}
1570:{\displaystyle f_{\alpha \beta }(z_{\beta })=z_{\alpha }}
5945:{\displaystyle \pi :{\mathfrak {X}}\to {\text{Spec}}(k)}
10849:
Complex manifolds and deformation of complex structures
10624:
Complex
Manifolds and Deformation of Complex Structures
4379:{\displaystyle z_{j}^{\beta }=f_{jk}^{\beta }(z_{k},t)}
532:{\displaystyle f_{jk}(z_{k},0,\ldots ,0)=f_{jk}(z_{k})}
6981:, its space of deformations can be given by the module
5668:
1591:
10472:
10385:
10301:
10086:
10042:
9860:
9799:
9664:
9557:
9103:
9006:
8884:
8781:
8591:
8032:
7965:
7796:
7773:
7753:
7688:
7467:
7420:
7353:
7299:
7183:
7100:
7051:
6990:
6883:
6767:
6722:
6607:
6559:
6442:
6412:
6380:
6133:
6025:
5991:
5958:
5902:
5775:
5666:
5625:
5586:
5515:
5485:
5356:
5261:
4898:
4750:
4470:
4392:
4317:
3990:
3967:
3910:
3728:
3705:
3635:
3605:
3503:
3426:
3345:
3275:
3175:
3117:
2747:
2488:
2406:
2063:
2036:
1997:
1853:
1795:
1734:
1699:
1589:
1524:
1424:
1346:
1290:
1270:
1250:
1239:
1187:
1115:
1095:
1075:
1044:
1008:
978:
958:
927:
855:
832:
793:
756:
676:
612:
592:
572:
545:
449:
403:
383:
305:
259:
171:
141:
114:
94:
10768:
Palamodov (1990). "Deformations of
Complex Spaces".
10376:. Then, the Kodaira–Spencer map sends a deformation
6436:using the cotangent sequence, giving an element in
3629:gives this 1-cochain as a 1-cocycle, hence a class
10550:
10455:
10368:
10284:
10069:
10025:
9840:
9785:
9647:
9540:
9086:
8992:
8870:
8764:
8571:
8015:
7948:
7779:
7759:
7739:
7678:On affine hypersurfaces with the cotangent complex
7666:
7450:
7403:
7336:
7285:
7166:
7083:
7034:
6973:
6852:
6753:
6705:
6584:
6527:
6428:
6398:
6363:
6109:
6008:
5977:
5944:
5885:
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5611:
5572:
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5241:
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3953:
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2022:
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816:
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598:
578:
558:
531:
435:
397:(which could be a real manifold) with coordinates
389:
369:
291:
245:
157:
127:
100:
2400:Using the properties of the dual numbers, namely
370:{\displaystyle f_{jk}(z_{k},t_{1},\ldots ,t_{k})}
10885:
9551:The last isomorphism comes from the isomorphism
7035:{\displaystyle T^{1}={\frac {H}{df\cdot H^{n}}}}
3981:can be calculated from the previous equation as
7787:, there is the associated fundamental triangle
5978:{\displaystyle {\mathcal {O}}_{\mathfrak {X}}}
10711:"An overview of classical deformation theory"
10800:
10456:{\displaystyle {\frac {k}{f+\varepsilon g}}}
7337:{\displaystyle v\in T_{0}(\mathbb {C} ^{2})}
7134:
7122:
6962:
6930:
3719:. Then, the cocycle condition can be read as
3368:
3352:
2023:{\displaystyle {\tilde {f}}_{\alpha \beta }}
1315:
1301:
7177:hence an arbitrary deformation is given by
737:{\displaystyle KS:T_{0}B\to H^{1}(M,T_{M})}
10820:
10660:
6595:Then, associated to this composition is a
10806:
10767:
9932:
9721:
9610:
9142:
9031:
8914:
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8791:
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8353:
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8067:
7915:
7816:
7710:
7321:
7118:
6926:
3954:{\displaystyle f_{ik}^{\alpha }(z_{k},t)}
3140:
1818:
1701:
1660:
1637:
7091:then its versal deformations is given by
6585:{\displaystyle X\xrightarrow {f} Y\to Z}
83:
10842:
10682:Arbarello; Cornalba; Griffiths (2011).
10619:
6547:associated to a composition of maps of
3335:Conversion to cocycles of vector fields
1234:
1069:In the scheme theory over a base field
10886:
6868:
3693:
658:
10628:. Classics in Mathematics. pp.
10615:
10613:
8582:Recall that there is the isomorphism
817:{\displaystyle M={\mathcal {M}}_{0}}
10733:
10708:
10070:{\displaystyle \mapsto dg\otimes 1}
9296:
9200:
9110:
8887:
8594:
8494:
8416:
8326:
8232:
8142:
8040:
6055:
5969:
5911:
5857:
5836:
5683:
5652:
5479:gives the cocycle condition. Hence
5252:Rewriting this as the vector fields
2039:
1606:
921:whose kernel is the tangent bundle
773:{\displaystyle {\mathcal {M}}\to B}
436:{\displaystyle t_{1},\ldots ,t_{k}}
13:
10527:
10345:
10318:
10259:
10251:
10223:
10215:
10135:
9977:
9955:
9926:
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9738:
9713:
9700:
9675:
9627:
9602:
9589:
9573:
9560:
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9466:
9453:
9413:
9396:
9383:
9336:
9319:
9306:
9252:
9223:
9210:
9160:
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8741:
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6538:
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6172:
6152:
6087:
6072:
6050:
6035:
6009:{\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}
5995:
5962:
5851:
5831:
5793:
5573:{\displaystyle \in H^{1}(M,T_{M})}
5445:
5441:
5430:
5385:
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5210:
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5095:
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4715:
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4643:
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4542:
4523:
4478:
4285:
4240:
4188:
4143:
4107:
4062:
4043:
3998:
3683:{\displaystyle \in H^{1}(X,T_{X})}
3622:{\displaystyle b_{\alpha \gamma }}
3565:
3561:
3389:
3213:
3195:
2928:
2910:
2656:
2638:
1293:
1240:Cocycle condition for deformations
1118:
900:
861:
803:
759:
14:
10905:
10826:Complex Geometry: An Introduction
10610:
5612:{\displaystyle {\tilde {f}}_{ij}}
10723:from the original on 2020-04-27.
10496:
10104:
9120:
9009:
8907:
8784:
8699:
8604:
8504:
8426:
8346:
8242:
8152:
8060:
7976:
7973:
7970:
7967:
7893:
7852:
7809:
7451:{\displaystyle KS:v\mapsto v(F)}
6666:
6643:
6620:
6206:
6139:
5657:Deformations of a smooth variety
1284:covered by finitely many charts
1229:
655:called the Kodaira–Spencer map.
299:by parametrized transition maps
10685:Geometry of Algebraic Curves II
9841:{\displaystyle \mapsto g'g+(f)}
4461:, then the derivative reads as
3111:hence the cocycle condition on
2047:{\displaystyle {\mathfrak {X}}}
780:is a smooth proper map between
10794:
10761:
10727:
10702:
10675:
10666:
10654:
10545:
10491:
10433:
10401:
10398:
10392:
10363:
10314:
10197:
10165:
10153:
10099:
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10043:
10017:
10007:
10001:
9973:
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9905:
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9870:
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8599:
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8489:
8486:
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8451:
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8411:
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8373:
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8319:
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8309:
8300:
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8221:
8212:
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8177:
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8137:
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8131:
8122:
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8010:
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7932:
7888:
7883:
7877:
7847:
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7836:
7734:
7728:
7720:
7705:
7539:
7445:
7439:
7433:
7331:
7316:
7225:
7187:
7158:
7139:
6919:
6887:
6847:
6844:
6818:
6778:
6748:
6726:
6698:
6689:
6661:
6638:
6576:
6522:
6519:
6493:
6453:
6429:{\displaystyle {\text{Sch}}/S}
6390:
6354:
6335:
6312:
6282:
6257:
6254:
6245:
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6195:
6192:
6183:
6148:
6101:
6083:
6046:
6029:
6016:gives the short exact sequence
5939:
5936:
5930:
5924:
5916:
5877:
5847:
5827:
5817:
5814:
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5802:
5779:
5746:
5743:
5737:
5731:
5721:
5716:
5710:
5698:
5692:
5676:
5594:
5580:from the original deformation
5567:
5548:
5532:
5516:
5425:
5406:
5376:
5370:
5331:
5325:
5306:
5300:
5281:
5275:
5194:
5175:
5079:
5060:
4967:
4948:
4710:
4691:
4582:
4563:
4518:
4499:
4448:
4429:
4373:
4354:
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4261:
4228:
4209:
4183:
4164:
4102:
4083:
4038:
4019:
3948:
3929:
3888:
3879:
3860:
3830:
3811:
3790:
3766:
3747:
3677:
3658:
3642:
3636:
3434:
3420:as follows: given the cocycle
3407:
3384:
3153:
3150:
3144:
3136:
3091:
3078:
3050:
3047:
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2990:
2977:
2957:
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2891:
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2859:
2835:
2832:
2819:
2797:
2784:
2768:
2718:
2705:
2685:
2672:
2626:
2623:
2610:
2594:
2573:
2570:
2557:
2535:
2522:
2506:
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2457:
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2425:
2410:
2380:
2377:
2364:
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2313:
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2281:
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2233:
2217:
2192:
2183:
2164:
2149:
2139:
2124:
2109:
2090:
2075:
2005:
1975:
1962:
1940:
1927:
1908:
1889:
1874:
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1822:
1814:
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1757:
1742:
1711:
1705:
1673:
1670:
1664:
1656:
1646:
1641:
1633:
1621:
1615:
1599:
1551:
1538:
1488:
1473:
1453:
1402:
1360:
1213:
1198:
1168:
1150:
1144:
1138:
1123:
1021:
1015:
878:
868:
764:
731:
712:
699:
648:{\displaystyle H^{1}(M,T_{M})}
642:
623:
526:
513:
494:
463:
364:
319:
286:
273:
240:
198:
182:
1:
10603:
8023:gives the long exact sequence
7084:{\displaystyle f=y^{2}-x^{3}}
5952:) which when tensored by the
292:{\displaystyle f_{jk}(z_{k})}
78:
10770:Several Complex Variables IV
6124:, this defines an element in
5502:{\displaystyle \theta _{ij}}
3494:we can form the vector field
1717:{\displaystyle \mathbb {C} }
784:(i.e., a deformation of the
539:. This means the parameters
7:
10778:10.1007/978-3-642-61263-3_3
10561:
7682:For an affine hypersurface
6863:
5509:has an associated class in
3166:is the following two rules
1219:{\displaystyle H^{1}(X,TX)}
10:
10910:
1061:
1415:and transition functions
10077:, giving the isomorphism
9094:, there are isomorphisms
7767:defined by a polynomial
6754:{\displaystyle K(X/Y/Z)}
6399:{\displaystyle f:X\to Y}
3904:Then, the derivative of
135:and biholomorphic maps
10588:Gauss–Manin connection
10578:Schlessinger's theorem
10552:
10464:
10457:
10370:
10293:
10286:
10071:
10034:
10027:
9849:
9842:
9787:
9649:
9549:
9542:
9088:
8994:
8872:
8773:
8766:
8580:
8573:
8017:
7957:
7950:
7781:
7761:
7741:
7675:
7668:
7452:
7412:
7405:
7338:
7287:
7175:
7168:
7085:
7043:
7036:
6975:
6854:
6755:
6714:
6707:
6597:distinguished triangle
6593:
6586:
6529:
6430:
6400:
6372:
6365:
6118:
6111:
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5979:
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5894:
5887:
5764:
5757:
5643:
5642:{\displaystyle f_{ij}}
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5574:
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158:{\displaystyle f_{jk}}
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